›
›
›

30 Bộ đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Có đáp án

pdf 58 trang thaodu 9790
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "30 Bộ đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Có đáp án", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf30_bo_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_7_co_dap_an.pdf

Nội dung text: 30 Bộ đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Có đáp án

  1. §Ò 1 C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 hy so s¸nh: 1 1 1 1 a. A= + + + + víi 1 . 223 24 2 n2 1 1 1 1 b. B = + + + + víi 1/2 224 26 2 ()2n 2 3 4 n +1 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña α , víi α =2 +3 +4 + + n+1 2 3 n C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l−ît ®é di hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ l 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox v oy lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A v B ®Ó cho AB cã ®é di nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c v a+ b + c l c¸c sè h÷u tØ. §Ò 2: Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính  1 1 2  2 3  18− (0,06:7 + 3 .0,38) : 19− 2 .4   6 2 5  3 4  Bài 2: (4 điểm): Cho a= c chứng minh rằng: c b 2+ 2 2− 2 − a) a c= a b) b a= b a b2 + c2 b a2 + c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x + − 4= − 2 b) −x + = x − 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC 1
  2. Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ℕ biết: 25−y2 = 8( x − 2009)2 §Ò 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 12 5− 6 2 10 3− 5 2 = 2.3 4.9− 5.7 25.49 A 6 3 ()22 .3+ 8 4 .3 5 ()125.7+ 59 .14 3 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2− 2 n + 2 + 3n− 2 n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x − + =() −3,2 + 3 5 5 x+1 x+11 b. ()x−7 −() x − 7 = 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo :: . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 2+ 2 b) Cho a= c . Chứng minh rằng: a c= a c b b2 + c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ()HB∈ C . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM=BC §Ò 4 Bi 1: (2 ®iÓm) 2
  3. Cho A = 25+811+1417+ +98101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z v x− 2 y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z v xy = 90. + + + + + − c, y z1= x z 2 = x y 3 = 1 x y z x+ y + z Bi 3: ( 1 ®iÓm) a a a a a 1= 2 =3 = =8 = 9 1. Cho v (a1+a2+ +a9 ≠0) a2 a 3 a 4 a9 a 1 Chøng minh: a1 = a2 = a3= = a9 + + − + 2. Cho tØ lÖ thøc: a b c= a b c v b ≠ 0 a+ b − c a − b − c Chøng minh c = 0 Bi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 l ho¸n vÞ cña 5 sè ® cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1b1).(a2b2).(a3b3).(a4b4).(a5b5) ⋮ 2 Bi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB v O l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax v By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D v F sao cho AC = BD v AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt=== §Ò 5 Bi 1: (3 ®iÓm)   1   4,5: 47,375− 26 − 18.0,75 .2,4 : 0,88  3  1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:     2 5 17,81:1,37− 23 :1 3 6 3
  4. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x v y tho¶ mn: 2x − 272007 +() 3y + 102008 = 0 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab l b×nh ph−¬ng cña sè tù nhiªn. Bi 2: ( 2 ®iÓm) − − − 1. T×m x,y,z biÕt: x1= y 2 = z 3 v x2y+3z = 10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 v tho¶ mn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 3+ 3 + 3 Chøng minh r»ng: a b c= a b3+ c 3 + d 3 d Bi 3: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: + + + + > 10 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = 18 2x− 6 −3 y + 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E l ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK l tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== §Ò sè 6 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ mn: a,5x3 4 c, 4 x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =x +8 x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 C©u 5 : 4
  5. Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD HÕt §Ò sè 7 Thêi gian lm bi: 120 phót 3 a b c  a+ b + c  a C©u 1 . ( 2®) Cho: = = . Chøng minh:   = . b c d  b+ c + d  d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = = = . b+ c a+ b c+ a C©u 3. (2®). T×m x∈ Z ®Ó A∈ Z v t×m gi¸ trÞ ®ã. x + 3 1− 2x a). A = . b). A = . x − 2 x + 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x − 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n. HÕt §Ò sè 8 Thêi gian lm bi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é di l 4,12 ,a . BiÕt r»ng a l mét sè tù nhiªn. T×m a ? a c 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®−îc c¸c b d tØ lÖ thøc: a c a+ b c+ d a) = . b) = . a− b c− d b d C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | xa| + | xb| + |xc| + | xd| víi a<b<c<d. C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ. a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. x A vBi 5
  6. y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l−ît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 AN + BP + CM = AP + BM + CN HÕt §Ò sè 9 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1(2®): 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + + + + + 23 2 4 25 2100 b) T×m n ∈Z sao cho : 2n 3 ⋮ n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x 2x + 1 = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x1) = 2(y2), 4(y2) = 3(z3) v 2x+3yz = 50. C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng 213 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu 70 cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I l trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hng. C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + 1 = 1 7 y HÕt §Ò sè 10 Thêi gian lm bi: 120’. C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = + + + + . 2.1 3.2 4.3 99.100 1 1 1 1 b) B = 1+ (1++ 2) (1 +++ 2 3) (1 +++++ 2 3 4) (1 ++++ 2 3 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 +26 + 1 v 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: + + + + > 10 . 1 2 3 100 C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã l béi cña 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 6
  7. Cho tam gi¸c ABC cã gãc B v gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD v ACE ( trong ®ã gãc ABD v gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI v EK cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x−2001 + x − 1 hÕt §Ò sè 11 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: + + + + + a, x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 349 =0 327 326 325 324 5 b, 5x − 3 ≥ 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007  1   1   1   1  a, TÝnh tæng: S = −  + −  + −  + + −   7   7   7   7  1 2 3 99 b, CMR: + + + + < 1 !2 !3 !4 100 ! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d−¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é di ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t−¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè no? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B = 600 hai ®−êng ph©n gi¸c AP v CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B = . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. (2 n −1)2 + 3 hÕt §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ()x −1 5 = 243 . + + + + + b) x2 + x2 + x2 = x2 + x 2 11 12 13 14 15 c) x 2 x = 0 (x≥ 0 ) C©u 2 : (3®) 7
  8. 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x v y biÕt : + = x 4 8 x +1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ l 1 sè nguyªn biÕt : A = (x≥ 0 ) x − 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x − 3 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ∆ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoi t−¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè no . b, Cho ∆ ABC c©n t¹i A v ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . HÕt §Ò sè 13 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi1( 3 ®iÓm) 1 1 176 12 10 10 (26 −) −( −1,75) a, TÝnh: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91− 0,25). −1 11 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d−¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dy 234 trang. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ∆ ABC vu«ng t¹i B, ®−êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. hÕt §Ò sè 14 Thêi gian lm bi 120 phót Bi 1(2 ®iÓm). Cho A= x +5 + 2 − x. a.ViÕt biÓu thøc A d−íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 a.Chøng minh r»ng : < + + + + < . 6 52 62 72 1002 4 + + b.T×m sè nguyªn a ®Ó : 2a9 +5 a 17 − 3 a l sè nguyªn. a+3 a + 3 a + 3 8
  9. Bi 3(2,5 ®iÓm). T×m n l sè tù nhiªn ®Ó : A=()() n +5 n + 6 ⋮6 n . Bi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §−êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f()() x −f x −1= x ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. HÕt §Ò sè 15 Thêi gian lm bi: 120 phót x x − 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= x2 +8 x − 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®−îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®−îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®−îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®−îc ®Òu nh− nhau. 2006 + C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 10 53 l mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®−êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chøng minh r»ng: a, K l trung ®iÓm cña AC. b, BH = AC 2 c, KMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d−íi ®©y ®óng mét nöa v sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em hy x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. HÕt §Ò sè 16: Thêi gian lm bi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x− 2 − x = 7 b) 2x − 3 > 5 c) 3x − 1 ≤ 7 d) 3x− 5 + 2 x + 3 = 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+ + 5200 9
  10. b) So s¸nh 230 + 330 + 430 v 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM v CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB v Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®−êng ph©n gi¸c v ph©n gi¸c ngoi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®−êng th¼ng MN lÇn l−ît t¹i D v E c¸c tia AD v AE c¾t ®−êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P v Q. Chøng minh: a) BD ⊥AP;; BE ⊥ AQ b) B l trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE − C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn no cña x th× biÓu thøc A= 14 x Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? 4 − x T×m gi¸ trÞ ®ã. HÕt §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4x + 3 x = 15. b. 3x − 2 x > 1. c. 2x + 3 ≤ 5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 l: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é di c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh− thÕ no,biÕt nÕu céng lÇn l−ît ®é di tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng ny tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D l mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB > ADC . Chøng minh r»ng: DB 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n∈N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By. 10
  11. A α x C β γ B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC =1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (3)0 + (3)1+ (3)2 + + (3)2004. §Ò sè 19 Thêi gian lm bi: 120 phó Bi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: −1 − 1 −1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x −2 + 5 − x Bi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l−ît l trùc t©m , träng t©m v giao ®iÓm cña 3 ®−êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hng v GH = 2 GO Bi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®−îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (34x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. HÕt §Ò 20 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x + x + 2 = 3 ; b. 3x −5 = x + 2 C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù l trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®−êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù l trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 v IM c¾t nhau t¹i Q l trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) Hy suy ra c¸c kÕt qu¶ t−¬ng tù nh− kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 3|x5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. HÕt 11
  12. §Ò 21: x − 5 Bi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = x + 3 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 1 4 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 −x = x −1 b) TÝnh tæng M = 1 + ( 2) + ( 2)2 + +( 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC l tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM v CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN 2006 − x Bi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ 6 − x lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. HÕt §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 25 30  1   1   1   1  a.   .  b.   :    2   4   9   3  5 4 − 9 2. Rót gän: A = 4 .9 2.6 210 .3 8+ 6 8 .20 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n d−íi d¹ng ph©n sè v ng−îc l¹i: 12
  13. a. 7 b. 7 c. 0, (21) d. 0,5(16) 33 22 C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®−îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lm ®−îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 v 3. Khèi 8 v 9 tØ lÖ víi 4 v 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = 3 (x +2)2 + 4 b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) v ∠C = 800. Trong tam gi¸c sao cho MBA= 300 v MAB =100 .TÝnh MAC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. HÕt §Ò23 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®) − + − 1) Cho a1 = b3 = c 5 v 5a 3b 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6 2 − + 2 2 − + 2 2) Cho tØ lÖ thøc : a = c . Chøng minh : 2a 3 ab 5 b = 2c 3 cd 5 d . Víi ®iÒu b d 2b2 + 3 ab 2d 2 + 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 1 1 1 1) A = + + + 5.3 7.5 97.99 1 1 1 1 1 2) B = − + − + + − 3 323 3 350 351 C©u III : (1,5 ®) §æi thnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A l ABD v ACE . Gäi M;N;P lÇn l−ît l trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD v BE ⊥ víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n HÕt 13
  14. §Ò 24 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375− 0,3 + + 1,5+ 1 − 0,75 a) A = 11 12 + 5 5 5 −0,265 + 0,5 − −2,5 + − 1,25 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + + 2100 Bi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 v 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 v 29 + 14 Bi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®−îc 359 tÊn thãc. Sè ngy lm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®−îc bao nhiªu tÊn thãc. Bi 4 (1®): T×m x, y biÕt:  1 1 1 1 a) 3x − 4 ≤ 3 b)  + + + −2x =  1.2 2.3 99.100 2 Bi 5 ( 3®): Cho ∆ ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M l giao ®iÓm cña DC v BE. Chøng minh r»ng: a) BMC = 1200 b) AMB = 1200 Bi 6 (1®): Cho hm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu 1 cã: f() x+3. f ( ) = x2 . TÝnh f(2). x HÕt §Ò 25 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z ∈ Z, biÕt a. x+ − x = 3 x b. x −1 = 1 6 y 2 c. 2x = 3y; 5x = 7z v 3x 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 1 a. Cho A =( −1).( −1).( −1) ( −1) . Hy so s¸nh A víi − 2 2 32 4 2 100 2 2 14
  15. + b. Cho B = x 1 . T×m x ∈Z ®Ó B cã gi¸ trÞ l mét sè nguyªn d−¬ng x − 3 C©u 3 (2®) Mét ng−êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h v dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®−îc 1 qung ®−êng th× ng−êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr−a. 5 TÝnh qung ®−êngAB v ng−êi ®ã khëi hnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ∆ABC cã Aˆ > 900. Gäi I l trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh ∆AIB = ∆ CID b. Gäi M l trung ®iÓm cña BC; N l trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I l trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB< BIC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ∆ABC ®Ó AC⊥ CD 14 − x C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;〈x∈ Z〉 . Khi ®ã x nhËn gi¸ 4 − x trÞ nguyªn no? HÕt §Ò 26 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 2x − 6 +5x = 9  1 1 1 1  b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90). ( 12.34 – 6.68) : + + +  ;  3 4 5 6  c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 v B = 2101 . Bi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l−ît ®é di tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ l :5 : 7 : 8. + Bi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = x 1 . x −1 a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 16 v x = 25 . 9 9 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®−êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M v N. TÝnh gãc MCN ? Bi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ no cña x th× biÓu thøc : P = x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? HÕt §Ò 27 15
  16. Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) −2 − 2 −1 − 3 −1 1   4   5   2  a. TÝnh A = ()0, 25 .  .   .   .   4   3   4   3  b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 21.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d−¬ng th×: 3n+32n+2+3n2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét tr−êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®−îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®−îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: 0,7 ( 4343 1717 ) l mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D v E c¾t AB v AC lÇn l−ît ë M v N. Chøng minh: a. DM= ED b. §−êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I l trung ®iÓm cña MN. c. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. HÕt §Ò 28 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a+ a b. a− a c. 3()x− 1 −2 x − 3 C©u 2: T×m x biÕt: a. 5x − 3 x = 7 b. 2x + 3 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho ∆ ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D v E. Sao cho AD = BE. Qua D v E vÏ c¸c ®−êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M v N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. §Ò 29 Thêi gian lm bi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 16
  17. 102006 + 1 102007 + 1 Bi 1:(1®iÓm) Hy so s¸nh A v B, biÕt: A= ; B = . 102007 + 1 102008 + 1 Bi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1   1   1  A= 1− .  1 −   1−  1+ 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + + 2006  Bi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: x− 1 = 1 8 y 4 Bi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c l ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã B = C = 50 0 . Gäi K l ®iÓm trong tam gi¸c sao cho KBC = 100 KCB = 300 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. HÕt §Ò thi 30 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1. (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bi 2. (4 ®iÓm) a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : a= b = c v a + 2b – 3c = 20 2 3 4 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 1 x 4 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 1 4 TÝnh f(x) + g(x) v f(x) – g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = 1. Bi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a) So s¸nh c¸c ®é di DA v DE. b) TÝnh sè ®o gãc BED. 17
  18. Bi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù l trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 AD. 3 ®¸p ¸n - §Ò 1 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) 1 1 a. Do 1 víi k = 1,2 n ( 0,25 ®iÓm ) k ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: k +1 1+ 1 + + 1 + k +1 1.1 1. k +1 k 1 1 k +1 = k +1 . []α = n 18
  19. C©u 3 (2 ®iÓm ) Gäi ha , hb ,hc lÇn l−ît l ®é di c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bi ta cã: hhhhhh+ + + 2() hhh+ + hhh+ + a b= b c= c a = a b c= a b c ( 0,4 ®iÓm ) 5 7 8 20 10 h h h => c= b = a => h : h : h = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) 5 2 3 a b c 1 1 1 MÆt kh¸c S = a. h= bh = ch ( 0,4 ®iÓm ) 2 a 2 b 2 c a b c => = = (0 , 4 ®iÓm ) 1 1 1 hah bh c 1 1 1 1 1 1 => a :b : c = : : =: : = 10 :15 6: (0 ,4 ®iÓm ) ha h b h c 3 2 5 VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A′, trªn tia Oy lÊy B′ sao cho O A′ = O B′ = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A′ = B B′ ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H v K lÇn l−ît l h×nh chiÕu Cña A v B trªn ®−êng th¼ng A′ B′ y Tam gi¸c HA A′ = tam gi¸c KB B′ ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => H A′ = KB′, do ®ã HK = A′′B (0,25 ®iÓm) Ta chøng minh ®−îc HK ≤ AB (DÊu “ = “ ⇔ A trïng A′ B trïng B′ (0,25 ®iÓm) do ®ã A′B′ ≤ AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt ⇔ OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö a+ b + c = d ∈ Q ( 0,2 ®iÓm ) => a+ b = d − a => b +b +2 bc= d2 + a + 2 d a ( 0,2 ®iÓm) => 2 bc=( d2 + a − b − c) − 2 d a ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = (d2 + a − b − c)2 + 4 d2a – 4b (d2 + a − b − c) a ( 0,2 ®iÓm) => 4 d (d2 + a − b − c) a = (d2 + a − b − c)2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu 4 d (d2 + a − b − c) # 0 th×: ( d2 + a − b − c)2 +4 d2 a − 4ab a = l sè h÷u tØ (0,2 5®iÓm ) 4d ( d2 + a − b − c) 19
  20. NÕu 4 d (d2 + a − b − c) = 0 th×: d =0 hoÆc d 2+ ab – c = 0 ( 0,25 ®iÓm ) + d = 0 ta cã : a+ b + c = 0 => a= b = c =0 ∈ Q (0,25 ®iÓm ) + d 2+ ab – c = 0 th× tõ (1 ) => bc= − d a V× a, b, c, d ≥ 0 nªn a=0 ∈ Q ( 0,25 ®iÓm ) VËy a l sè h÷u tØ. Do a,b,c cã vai trß nh− nhau nªn a,, b c l c¸c sè h÷u tØ §Ò 2: Bài 1: 3 điểm  1 1 2  2 3  18− (0,06:7 + 3 .0,38) : 19− 2 .4  =  6 2 5  3 4  109 6151738  819  = −( : + . ) : 19− .  0.5đ  6 1002 5100  34  109− 3 2 + 17 19 − 38  =   . . :  19  1đ  6 50 15 5 50  3  109− 2 + 323  19 =    : 0.5  6 250 250  3 109 13  3 =− . = 0.5đ 6 10  19 506 3 253 = . = 0.5đ 30 19 95 Bài 2: a c a) Từ = suy ra c2 = a. b 0.5đ c b 2+ 2 2 + khi đó a c= a a. b 0.5đ b2+ c 2 b 2 + a. b + = a() a b= a 0.5đ b( a+ b) b a2+ c 2 a b2 + c2 b b) Theo câu a) ta có: = ⇒ = 0.5đ b2+ c 2 b a2+ c 2 a b2+ c 2 b b2 + c2 b từ = ⇒ −1 = − 1 1đ a2+ c 2 a a2+ c 2 a 2+ 2 −2 − 2 − hay b c a c= b a 0.5đ a2+ c 2 a 2− 2 − vậy b a= b a 0.5đ a2 + c2 a Bài 3: 20
  21. 1 a) x + −4 = − 2 5 1 x + = −2 + 4 0.5đ 5 1 1 1 x+ = 2 ⇒ x + = 2 hoặc x + = −2 1đ 5 5 5 1 1 9 Với x+ = 2 ⇒ x =2 − hay x = 0.25đ 5 5 5 1 1 11 Với x + = −2 ⇒ x = −2 − hay x = − 0.25đ 5 5 5 b) 15 3 6 1 −x + = x − 12 7 5 2 6 5 3 1 x+ x = + 0.5đ 5 4 7 2 6 5 13 ()+x = 0.5đ 5 4 14 49 13 x = 0.5đ 20 14 130 x = 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x= 4. y = 3.z và x+ x + y + z = 59 1đ x y z x+ x + y + z 59 hay: = = = = = 60 0.5đ 1 1 1 1+ 1 + 1 + 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: 1 1 1 x =60. = 12 ; x =60. = 15 ; x =60. = 20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1đ = 200 suy ra DAB DAC M Do đó DAB =200 : 2 = 100 b) ∆ ABC cân tại A, mà A = 200 (gt) nên ABC =(1800 − 20 0 ) : 2 = 800 D ∆ ABC đều nên DBC = 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra 0 0 0 B C ABD =80 − 60 = 20 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM =100 21
  22. Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD =200 ; ABM = DAB =100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 −y2 = 8(x − 2009)2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 ≤ 25 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ ℕ ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ §Ò 3 Bài 1:(4 điểm): Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 10 212 .35− 4 62 .9 5 103 .7− 25 52 .49 2 125 .3− 2 124 .3 5 103 .7− 5 .7 4 A = − = − 0,5 điểm 6 3 9 3 126 125 93 933 ()22 .3+ 8 4 .3 5 ()125.7+ 5 .14 2 .3+ 2 .3 5 .7+ 5 .2 .7 12 4 ()− 10 3 ()− = 2.3.3 1− 5.7.1 7 0,5 điểm 212 .3 5 .( 3+ 1) 59 .7 3 .() 1+ 2 3 12 4 10 3 ()− =2 .3 .2 − 5 .7 . 6 0,5 điểm 212 .3 5 .4 59 .7 3 .9 1− 10 7 0,5 điểm = − = 6 3 2 b) (2 điểm) n + 2 3 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n+2− 2 n + 2 + 3n− 2 n = 3n+2 + 3 n − 2n+2 − 2 n =3n (32 + 1) − 2n (22 + 1) 0,5 điểm =3n⋅ 10 − 2 n ⋅ 5 = 3n ⋅ 10 − 2 n−1 ⋅ 10 1 điểm = 10( 3n -2n) Vậy 3n+2− 2 n + 2 + 3n− 2 n ⋮ 10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang 22
  23. điểm a) (2 điểm) 1 4 2 1 4− 16 2 0,5 điểm x − + =() −3,2 + ⇔x − + = + 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 0,5 điểm ⇔x − + = 3 5 5  −1 = 1 x 2 ⇔x − =2 ⇔  3 0,5 điểm  −1 =− 3 x 2  3  x=2 +1 = 7 ⇔  3 3 đ ể − 0,5 i m  x=−2 +1 = 5  3 3  b) (2 điểm) + + ()()x−7x 1 − x − 7x 11 = 0 0,5 điểm x+1 10 ⇔()x −7 1 −() x − 7  = 0   ()x+1 10 đ ể ⇔ ()x −7 1 −()x −7  = 0 0,5 i m   x+1     x−7 = 0 ⇔     0,5 điểm 1− (x − 7)10 = 0   − = = ⇔ x7 0⇒ x 7  −10 = = (x 7) 1⇒x 8 0,5 điểm Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = :: (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 2 3 k Từ (1) ⇒ = = = k ⇒ a= k; b = k; c = 2 3 1 5 4 6 5 4 6 2 4 9 1 Do đó (2) ⇔ k ( + +) = 24309 0,5 điểm 25 16 36 ⇒k = 180 và k =−180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5 điểm + Với k =−180, ta được: a = −72 ; b =−135; c =−30 23
  24. Khi đó ta có só A = −72 +( −135) + ( −30 ) = −237. 0,5 điểm b) (1,5 điểm) a c Từ = suy ra c2 = a. b c b 0,5 điểm 2+ 2 2 + khi đó a c= a a. b b2+ c 2 b 2 + a. b 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4: (4 điểm) Thang Đáp án điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét ∆AMC và ∆EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI và ∆EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì ∆AMC = ∆ EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆ EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) 24
  25. Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o ⇒ HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm ⇒ HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1điểm suy ra DAB= DAC 0,5 điểm Do đó DAB =200 : 2 = 100 0,5 điểm b) ∆ ABC cân tại A, mà A = 200 (gt) nên ABC =(1800 − 20 0 ) : 2 = 800 ∆ ABC đều nên DBC = 600 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD =800 − 60 0 = 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM =100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD =200 ; ABM = DAB =100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm §Ò 4 Bi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè h¹ng thø nhÊt l (1)1+1(3.11) 1 25
  26. Sè h¹ng thø hai l (1)2+1(3.21) D¹ng tæng qu¸t cña sè h¹ng thø n l: (1)n+1(3n1) 1.2 A = (3).17 = 51 1 x2 y = , 3y = 5z. NÕu x2y = 5 ⇒ x= 15, y = 10, z = 6 0,5 2.1 3 4 NÕu x2y = 5 ⇒ x= 15, y = 10, z = 6 0,5 x y x2 xy = ⇒ = =9 ⇒ x = ±6 0,5 2.2 2 5 4 10 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 v 0,25 x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 0,25 y+ z +1 x+ z + 2 x+ y − 3 1 = = = =2 0,5 x y z x+ y + z 0,5−x + 1 0,5 − y + 2 0,5 −z − 3 2.3 ⇒ x+y+z = 0,5 ⇒ = = = 2 0,5 x y z 1 5 5 ⇒ x = ; y = ; z = 0,5 2 6 6 a a a a a a+ a + + a 1= 2 =3 = =8 =9 = 1 2 9 = 1 (v× a1+a2+ +a9 ≠0) 0,25 a a a a a a+ a + + a 3.1 2 3 4 9 1 1 2 9 ⇒ a = a ; a = a ; ;a = a 1 2 2 3 9 1 0,25 ⇒ a1 = a2 = a3= = a9 abcabc+ + − +() abc + + −() abc − + 2b = = = =1 (v× b≠0) 0,25 3.2 abcabc+ − − −()() abc + − − abc − − 2b ⇒ a+b+c = a+bc ⇒ 2c = 0 ⇒ c = 0 0,25 §Æt c1 = a1b1; c2 = a2b2; ; c5 = a5b5 0,25 XÐt tæng c + c + c + + c = (a b )+( a b )+ +( a b ) = 0 0,25 4.1 1 2 3 5 1 1 2 2 5 5 ⇒ c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n 0,25 ⇒ c1. c2. c3. c4. c5 ⋮ 2 0,25 ∆AOE = ∆BOF (c.g.c) ⇒ O,E,F th¼ng hng v OE = OF 0,5 4.2 ∆AOC = ∆BOD (c.g.c) ⇒ C,O,D th¼ng hng v OC = OD ∆EOD = ∆FOC (c.g.c) ⇒ ED = CF §Ò 5 Bi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè bÞ chia = 4/11 0,5 Sè chia = 1/11 0,25 KÕt qu¶ = 4 0,25 1.2 V× |2x27|2007 ≥ 0 ∀x v (3y+10)2008 ≥ 0 ∀y 0,25 ⇒ |2x27|2007 = 0 v (3y+10)2008 = 0 0,25 x = 27/2 v y = 10/3 0,5 1.3 V× 00≤ ab ≤99 v a,b ∈ N 0,25 ⇒ 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 0,25 ⇒ 4472 < 2007ab < 4492 0,25 ⇒ 2007ab = 4482 ⇒ a = 0; b= 4 0,25 26
  27. 2.1 x−1 y − 2 z − 3 0,25 §Æt = = = k 2 3 4 ¸p dông tÝnh chÊt dy tØ sè b»ng nhau k = 2 0,5 X = 3; y = 4; z = 5 0,25 2.2 Tõ gi¶ thiÕt suy ra b2 = ac; c2 = bd; ⇒ a= b = c 0,25 b c d 3 3 3 3+ 3 + 3 0,25 Ta cã a= b = c = a b c (1) b3 c 3 d 3 b 3+ c 3 + d 3 a3 a a a a b c a 0,25 L¹i cã = = = (2) b3 b b b b c d d 3+ 3 + 3 0,25 Tõ (1) v (2) suy ra: a b c= a b3+ c 3 + d 3 d 3.1 Ta cã: 1 > 1 ; 1 > 1 ; 1 > 1 1 > 1 ; 1 = 1 0,5 1 10 2 10 3 10 9 10 10 10 1 1 1 1 0,5 + + + + > 10 1 2 3 100 3.2 Ta cã C = 18 ( 2x− 6 +3 y + 9 ) ≤ 18 0,5 V× 2x − 6 ≥0; 3y + 9 ≥0 0,25 2x − 6 = 0 0,25 Max C = 18 ⇔  x = 3 v y = 3 3y + 9 = 0 4.1 ∆ABH = ∆CAK (g.c.g) ⇒ BH = AK 4.2 ∆MAH = ∆MCK (c.g.c) ⇒ MH = MK (1) ⇒ gãc AMH = gãc CMK ⇒ gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) v (2) ⇒ ∆ MHK vu«ng c©n t¹i M §¸p ¸n ®Ò sè 6 C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc : (abc)2=36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®−îc abc=36 +, Tõ abc =36 v ab=c ta ®−îc c2=36 nªn c=6;c=6 +, Tõ abc =36 v bc=4a ta ®−îc 4a2=36 nªn a=3; a=3 +, Tõ abc =36 v ab=9b ta ®−îc 9b2=36 nªn b=2; b=2 , NÕu c = 6 th× av b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=3 , b=2 , NÕu c = 6 th× av b tr¸i dÊu nªn a=3 b=2 hoÆc a=3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho mn bi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(3,2,6);(3,2,6);(3,2.6) C©u 2. (3®) a.(1®) 5x3 2 4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1 4=> x>1 27
  28. *NÕu 3x+1 x 1 hoÆc x x≤4 (0,25®) (1) 4x+2x=3 => x=1( tho¶ mn ®k) (0,25®) *4x x>4 (0,25®) (1) x4+2x=3 x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®) ¸p dông a+b ≤a+bTa cã A=x+8x≥x+8x=8 MinA =8 x(8x) ≥0 (0,25®) x ≥ 0 *  =>0≤x≤8 (0,25®) 8− x ≥ 0 x ≤ 0 x ≤ 0 *  =>  kh«ng tho mn(0,25®) 8− x ≤ 0 x ≥ 8 VËy minA=8 khi 0≤x≤8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®) A C©u5.(3®) D E C Chøng minh: a (1,5®) B M Gäi E l trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME l ®−êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I l trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) m ID//ME(gt) Nªn D l trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E l trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)v (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID l ®−êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME l §−êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) v (2) => ID =1/4 BD (0,25®) §¸p ¸n ®Ò sè 7 28
  29. a b c a a b c a+ b + c C©u 1. Ta cã = (1) Ta l¹i cã = = = . (2) b c d d b c d b+ c + a 3  a+ b + c  a Tõ (1) v(2) =>   = .  b+ c + d  d a c b a+ b + c C©u 2. A = = = .= . b+ c a+ b c+ a 2()a+ b + c 1 NÕu a+b+c ≠ 0 => A = . 2 NÕu a+b+c = 0 => A = 1. 5 C©u 3. a). A = 1 + ®Ó A ∈ Z th× x 2 l −íc cña 5. x − 2 => x – 2 = (± 1; ±5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = 4 * x = 3 => A = 0 7 b) A = 2 ®Ó A ∈ Z th× x+ 3 l −íc cña 7. x + 3 => x + 3 = (± 1; ±7) * x = 2 => A = 5 * x = 4 => A = 1 * x = 4 => A = 9 * x = 10 => A = 3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc 2 b). x = 7 hoÆc 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh)  MHK l  c©n t¹i M . ThËt vËy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH .  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy:  MHK c©n t¹i M . §¸p ¸n ®Ò sè 8 C©u 1: Gäi x, y, z l ®é di 3 c¹nh t−¬ng øng víi c¸c ®−êng cao b»ng 4, 12, a. Ta cã: 4x = 12y = az = 2S ⇒ x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do xy < z< x+y nªn SSS2 SS 2 2 2 − < < + ⇒ < < (0,5 ®iÓm) 2 6 a 2 6 6 a 3 ⇒ 3, a , 6 Do a ∈ N nªn a=4 hoÆc a= 5. (0,5 ®iÓm) a c a b a− b a a− b a c 2. a. Tõ = ⇒ = = ⇒ = ⇔ = (0,75 ®iÓm) b d c d c− d c c− d a− b c− d 29
  30. a c a b a+ b b a+ b a+ b c+ d b. = ⇒ = = ⇒ = ⇔ = (0,75 ®iÓm) b d c d c+ d d c+ d b d C©u 2: V× tÝch cña 4 sè : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 l sè ©m nªn ph¶i cã 1 sè ©m hoÆc 3 sè ©m. Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. XÐt 2 tr−êng hîp: + Cã 1 sè ©m: x2 – 10 < x2 – 7 ⇒ x2 – 10 < 0 < x2 – 7 ⇒ 7< x2 < 10 ⇒ x2 =9 ( do x ∈ Z ) ⇒ x = ± 3. ( 0,5 ®iÓm) + cã 3 sè ©m; 1 sè d−¬ng. x2 – 4< 0< x2 – 1 ⇒ 1 < x2 < 4 do x∈ Z nªn kh«ng tån t¹i x. VËy x = ± 3 (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tr−íc tiªn t×m GTNN B = |xa| + | xb| víi a<b. Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iÓm) Víi A = | xa| + | xb| + |xc| + | xd| = [| xa| + | xd|] + [|xc| + | xb|] Ta cã : Min [| xa| + | xd|] =da khi a[x[d Min [|xc| + | xb|] = c – b khi b[ x [ c ( 0,5 ®iÓm) VËy A min = da + c – b khi b[ x [ c ( 0, 5 ®iÓm) C©u 4: ( 2 ®iÓm) A, VÏ Bm // Ax sao cho Bm n»m trong gãc ABC ⇒ Bm // Cy (0, 5 ®iÓm) Do ®ã gãc ABm = gãc A; Gãc CBm = gãcC ⇒ ABm + CBm = A + C tøc l ABC = A + C ( 0, 5 ®iÓm) b. VÏ tia Bm sao cho ABm v A l 2 gãc so le trong v ABM = A ⇒ Ax// Bm (1) CBm = C ⇒ Cy // Bm(2) Tõ (1) v (2) ⇒ Ax // By C©u 5: ¸p dông ®Þnh lÝ Pi ta go vo tam gi¸c vu«ng NOA v NOC ta cã: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 ⇒ CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 ®iÓm) T−¬ng tù ta còng cã: AP2 BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 ®iÓm) 2 2 2 2 2 2 Tõ (1); (2) v (3) ta cã: AN + BP + CM = AP + BM + CN ( 0, 5 ®iÓm). H−íng dÉn chÊm ®Ò sè 9 C©u 1(2®): 1 100 102 a) A = 2 − =2 − (1® ) 299 2100 2100 b) 2n−3⋮ n + 1 ⇔ 5⋮ n + 1 (0,5® ) 30
  31. n + 1 1 1 5 5 n 2 0 6 4 ⇒ n ={ −6; −2;0;4} (0,5® ) C©u 2(2®): − a) NÕu x ≥ 1 th× : 3x 2x 1 = 2 => x = 3 ( th¶o mn ) (0,5®) 2 − NÕu x x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) 2 VËy: x = 3 − − − b) => x1= y 2 = z 3 v 2x + 3y z = 50 (0,5®) 2 3 4 => x = 11, y = 17, z = 23. (0,5®) C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m l: a, b, c ta cã : a + b + c = 213 70 3 4 5 9 12 15 v a : b : c = : := 6 : 40 : 25 (1®) => a=,, b = c = (1®) 5 1 2 35 7 14 C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) => DF = BD = CE (0,5® ) => ∆ IDF = ∆ IFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hng => B, I, C th¼ng hng (1®) C©u 5(1®): 7.2x +1 1 => = ⇒ y(14 x + 1) = 7 7 y => (x ; y ) cÇn t×m l ( 0 ; 7 ) §¸p ¸n ®Ò sè 10 C©u 1: a) Ta cã: 1 =1 − 1 ; 1 =1 − 1 ; 1 =1 − 1 ; ; 1 =1 − 1 2.1 1 2 3.2 2 3 4.3 3 4 99.100 99 100  −1 1   −1 1   −1 1  1 1 99 VËy A = 1+ + +  +  + +  + − =1 − =  2 2   3 3   99 99  100 100 100 1  3.2  1  4.3  1  5.4  1  20.21 b) A = 1+  +  +  + +   = 2  2  3  2  4  2  20  2  3 4 21 1 = 1+ + + + =(2 + 3 + 4 + +21) = 2 2 2 2 31
  32. 1  21.22  =  −1= 115. 2  2  C©u 2: a) Ta cã: 17> 4; 26> 5 nªn 17 +26 + 1 > 4 + 5 + 1 hay 17+ 26 + 1 > 10 Cßn 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 b) > ; > ; > ; ; = . 1 10 2 10 3 10 100 10 1 1 1 1 1 VËy: + + + + >100. = 10 1 2 3 100 10 C©u 3: Gäi a,b,cña l c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m . V× mçi ch÷ sè a,b,cña kh«ng v−ît qu¸ 9 v ba ch÷ sè a,b,cña kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0 , v× khi ®ã ta kh«ng ®−îc sè cã ba ch÷ sè nªn: 1 ≤ a+b+c ≤ 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m l béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 + + Theo gi¶ thiÕt, ta cã: a= b = c = a b c Do ®ã: ( a+b+c) chia hÕt cho 6 1 2 3 6 a b c 18 Nªn : a+b+c =18 ⇒ = = = = 3 ⇒ a=3; b=6 ; cña =9 1 2 3 6 V× sè ph¶i t×m chia hÕt cho 18 nªnch÷ sè hng ®¬n vÞ cña nã ph¶i l sè ch½n. VËy c¸c sè ph¶i t×m l: 396; 936. C©u 4: a) VÏ AH ⊥ BC; ( H ∈BC) cña ∆ABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB v BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) ⇒ ∆AHB= ∆BID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH⊥ BI (1) v DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC v CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) ⇒ ∆AHC= ∆CKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH= CK (2) tõ (1) v (2) ⇒ BI= CK v EK = HC. b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t−¬ng tù: EK = HC Tõ ®ã BC= BH +Hc= DI + EK. C©u 5: Ta cã: A = x−2001 + x − 1 = x −2001 + 1 −x ≥ x −2001 + 1 −x = 20 00 VËy biÓu thøc ® cho ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt l 2000 khi x2001 v 1x cïng dÊu, tøc l : 1 ≤ x ≤ 2001 biÓu ®iÓm : C©u 1: 2 ®iÓm . a. 1 ®iÓm b. 1 ®iÓm C©u 2: 2 ®iÓm : a. 1 ®iÓm b . 1 ®iÓm . 32
  33. C©u 3 : 1,5 ®iÓm C©u 4: 3 ®iÓm : a. 2 ®iÓm ; b. 1 ®iÓm . C©u 5 : 1,5 ®iÓm . §¸p ¸n ®Ò sè11 C©u1: x+ 2 x+ 3 x+ 4 x+ 5 x + 349 a, (1) ⇔ +1 + +1 + +1 + +1 + −4 = 0 (0,5 ® ) 327 326 325 324 5 1 1 1 1 1 ⇔(x + 329)( + + + +) = 0 327 326 325 324 5 ⇔x +329 = 0 ⇔x = −329 (0,5® ) b, a.T×m x, biÕt: 5x 3 x = 7 ⇔ 5x− 3 = x + 7 (1) (0,25 ®) §K: x ≥ 7 (0,25 ®) 5x− 3 = x + 7 ()1 ⇒  − = − + . (0,25 ®) 5x 3( x 7) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa mn ®iÒu kiÖn ®Çu bi. x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®). C©u 2: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a, S =1 − + − + + − ; 7S = 7 − 1 + − + − − (0.5®) 7 7 27 37 4 7 2007 7 7 27 3 7 2006 1 7 − 1 2007 8S =7 − ⇒ S = 7 (0,5®) 7 2007 8 1 2 3 99 2− 1 3− 1 100− 1 b, + + + + = + + + (0,5®) !2 !3 !4 100! !2 !3 100 ! 1 =1 − < 1 (0,5®) 100 ! c, Ta cã 3n+2 − 2n+2 + 3 n − 2 n = 3 n+2 + 3 n − (2n+2 − 2n ) (0,5®) 3n .10− 2n .5 = 3n .10 − 2n−2 .10 = 10() 3n − 2 n−2 ⋮10 (0,5®) C©u 3: Gäi ®é di 3 c¹nh l a , b, c, 3 chiÒu cao t−¬ng øng l x, y, z, diÖn tÝch S ( 0,5® ) 2S 2S 2S a b c2 S 2S 2S a = b = c = (0,5®) ⇒ = = ⇒ = = (0,5®) x y z 2 3 4 2x 3y 4z x y z ⇒ 2x= 3 y = 4 z ⇒ = = vËy x, y, z tØ lÖ víi 6 ; 4 ; 3 (0,5®) 6 4 3 C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy H∈ AC : AH = AQ ⇒ IQ= IH = IP (1 ® ) C©u5: B ; LN B;LN⇔ 2() n − 12 + 3 NN V× ()()n −12 ≥ 0⇒ 2n − 12 + 3 ≥ 3 ®¹t NN khi b»ng 3 (0,5®) DÊu b»ng x¶y ra khi n −1 = 0 ⇔ n = 1 33
  34. 1 vËy B ; LN ⇔B = v n = 1 (0,5®) 3 §¸p ¸n ®Ò sè 12 C©u 1 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1 ®iÓm a) (x1) 5 = (3) 5 ⇒ x1 = 3 ⇔ x = 3+1 ⇔ x = 2 b) (x+2)( 1 +1 +1 −1 − 1 ) = 0 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 + + − − ≠ 0 ⇒ x+2 = 0 ⇔ x = 2 11 12 13 14 15 c) x 2 x = 0 ⇔ ( x ) 2 2 x = 0 ⇔ x ( x 2) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0 hoÆc x 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 C©u 2 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1,5 ®iÓm 5 y 1 1− 2y a) + = , 5 +2y = 1 , 5 = x 4 8 x 8 8 x 8 x(1 2y) = 40 ⇒ 12y l íc lÎ cña 40 . ¦íc lÎ cña 40 l : ± 1 ; ± 5 . §¸p sè : x = 40 ; y = 0 x = 40 ; y = 1 x = 8 ; y = 2 x = 8 ; y = 3 x +1 4 b) T×m x∈z ®Ó A∈Z. A= =1 + x − 3 x − 3 4 − ∈ { } A nguyªn khi nguyªn ⇒ x 3 ¦(4) = 4 ; 2 ;1; 1; 2; 4 x − 3 C¸c gi¸ trÞ cña x l : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . C©u 3 : 1 ®iÓm 2 5x − 3 2x = 14 ⇔ 5x − 3 = x + 7 (1) §K: x ≥ 7 (0,25 ®) 5x− 3 = x + 7 ()1 ⇒  − = − + . (0,25 ®) 5x 3( x 7) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa mn ®iÒu kiÖn ®Çu bi. x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®). C©u4. (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, 3 ABCABC+ + 180 0 = = = = = 12 7 5 3 15 15 ⇒ A= 840 ⇒ gãc ngoi t¹i ®Ønh A l 960 B = 600 ⇒ gãc ngoi t¹i ®Ønh B l 1200 C = 360 ⇒ gãc ngoi t¹i ®Ønh C l 1440 ⇒ C¸c gãc ngoi t¬ng øng tØ lÖ víi 4 ; 5 ; 6 b) 34
  35. 1) AE = AD ⇒ ∆ ADE c©n = = ⇒ ED E1 EDA 1800 − A E = (1) ∆ ABC c©n ⇒ B = C 1 2 1800 − A ABC = (2) 1 2 = Tõ (1) v (2) ⇒ E1 ABC ⇒ ED // BC a) XÐt ∆ EBC v ∆ DCB cã BC chung (3) EBC= DCB (4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) ⇒ ∆ EBC = ∆ DCB (c.g.c) ⇒ BEC= CDB = 900 ⇒ CE ⊥ AB . . §¸p ¸n ®Ò sè 13 Bi 1: 3 ®iÓm 31 183 176 12 10 175 31 12 475 ( −) −( − 1. − . a, TÝnh: A = 3 7 7 11 3 100 = 3 11 300 5 1 60 − 71 60 ( − ). . −1 91 4 11−1 364 11 − 31 − 19 341 57 284 1001 284284 = 3 11 = 33 = . = 1056 − 1001 55 33 55 1815 1001 1001 1001 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: +) 1 + 4 +7 + + 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) + .+ ( 49+ 52) = 101 . 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 ≈ 103,17 Bi 2: 2 §iÓm Giäi sè cÇn t×m l x, y, z. Sè nhá l x , sè lín nhÊt l z. Ta cã: x ≤ y ≤ z (1) 35
  36. 1 1 1 1 1 1 3 Theo gi¶ thiÕt: + + = 2 (2). Do (1) nªn z = + + ≤ x y z x y z x 1 1 2 VËy: x = 1. Thay vo (2) , ®−îc: + =1 ≤ y z y VËy y = 2. Tõ ®ã z = 2. Ba sè cÇn t×m l 1; 2; 2. Bi 3: 2 §iÓm Cã 9 trang cã 1 ch÷ sè. Sè trang cã 2 ch÷ sè l tõ 10 ®Õn 99 nªn cã tÊt c¶ 90 trang. Trang cã 3 ch÷ sè cña cuèn s¸ch l tõ 100 ®Õn 234, cã tÊt c¶ 135 trang. Suy ra sè c¸c ch÷ sè trong tÊt c¶ c¸c trang l: 9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594 Bi 4 : 3 §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D sao cho ED = EA. Hai tam gi¸c vu«ng ∆ ABE = ∆ DBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; BAD= BDA . Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) v (2) Suy ra: DC = BD. VÏ tia ID l ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I ∈BC ). Hai tam gi¸c: ∆ CID v ∆ BID cã : ID l c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn). CID = IDB ( v× DI l ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy ∆ CID = ∆ BID ( c . g . c) ⇒ C = IBD . Gäi C l α ⇒ BDA = C + IBD = 2 ⇒ C = 2 α ( gãc ngoi cña ∆ BCD) m A = D ( Chøng minh trªn) nªn A = 2 α ⇒ 2α + α = 900 ⇒ α = 300 . Do ®ã ; C = 300 v A = 600 H−íng dÉn gi¶i ®Ò sè 14 Bi 1.a. XÐt 2 tr−êng hîp : * x ≥ 5 ta ®−îc : A=7. * x − − > − ≥ b. XÐt x 5 ⇒ 2x 10⇒ 2 x 3 10 3 hay A > 7. VËy : Amin = 7 khi x 5 . 1 1 1 1 Bi 2. a. §Æt : A = + + + + 52 6 2 72 1002 Ta cã : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * A + + + + = − > . 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 36
  37. + + + b. Ta cã : 2a 9 +5 a 17 − 3 a = 4a 26 = a+3 a + 3 a + 3 a + 3 4a + 1214 + 4(a + 3)14 + 14 = = =4 + l sè nguyªn a + 3 a + 3 a + 3 Khi ®ã (a + 3) l −íc cña 14 m ¦(14) = ±1; ± 2; ± 7; ± 14 . Ta cã : a = 2; 4; 1; 5; 4 ; 10; 11 ; 17. Bi 3. BiÕn ®æi : = + − + − + A12 n n() n 1 30. §Ó A⋮6 n⇒  n() n 1 30⋮ 6 n * n() n−1⋮ n⇒ 30 ⋮ n ⇒ n ∈ ¦(30) hay n∈ {1, 2 , 3, 5 , 6 , 10 , 15 , 30}. *30⋮6⇒ n()() n− 1⋮ 6⇒ n n − 1⋮ 3 + n⋮3⇒ n = { 3,6,15,30} . +()n−1⋮ 3 ⇒ n = {1,10} . ⇒ n∈ {1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 30}. Thö tõng tr−êng hîp ta ®−îc : n = 1, 3, 10, 30 tho mn bi to¸n. x Bi 4. z Trªn Oy lÊy M’ sao cho OM’ = m. Ta cã : m N n»m gi÷a O, M’ v M’N = OM. d Dùng d l trung trùc cña OM’ v Oz l ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t nhau t¹i D. △ODM= △ M'( ) DN c g c⇒ MD= ND o n i m' y ⇒ D thuéc trung trùc cña MN. d Râ rng : D cè ®Þnh. VËy ®−êng trung trùc cña MN ®i qua D cè ®Þnh. Bi 5. D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai l : f() x =ax2 + bx+ c (a ≠ 0). Ta cã : f() x −1 = a()() x− 1 2 + b x −1 + c . a = 1 2a = 1  2 f()() x −f x −1= 2 ax − a + b = x ⇒  ⇒  b− a = 0 b = 1  2 1 1 VËy ®a thøc cÇn t×m l : f() x =x2 + x+ c (c l h»ng sè). 2 2 ¸p dông : + Víi x = 1 ta cã : 1=f()() 1 − f 0 . + Víi x = 2 ta cã : 1=f()() 2 − f 1 . . + Víi x = n ta cã : n =f()() n − f n −1 . n2 n n()n +1 ⇒ S = 1+2+3+ +n = f ()()n − f 0 = + +c − c = . 2 2 2 37
  38. L−u ý : Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Bi h×nh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm. §¸p ¸n ®Ò sè 15 C©u1 (lm ®óng ®−îc 2 ®iÓm) x x − 2 x x − 2 x x − 2 Ta cã: = = (0,25®) x2 +8 x − 20 x2 −2 x + 10x − 20 (x− 2)( x + 10) §iÒu kiÖn (x2)(x+10) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2; x ≠ 10 (0,5®) MÆt kh¸c x − 2 = x2 nÕu x>2 x + 2 nÕu x 2 th× = x( x 2) = (0,5®) (x− 2)( x + 10) (x−2)( x + 10) x +10 * NÕu x 0; y >0 ; z >0) Theo ®Ò ra ta cã x+ y + z =94(1) { 3x= 4 y = 5 z (2) (0,5®) BCNN (3,4,5) = 60 Tõ (2) ⇒ 3x = 4y = 5z hay x = y = z (0,5®) 60 60 60 20 15 12 ¸p dông tÝnh chÊt dy tû sè b»ng nhau ta cã : + + x = y = z = x y z = 94 =2 (0,5®)⇒ x= 40, y=30 v z =24 (0,5®) 20 15 12 20 +15+ 12 47 Sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 líp 7A, 7B, 7C lÇn l−ît l 40, 30, 24. C©u 3 (lm ®óng cho 1,5®) 102006 + 53 §Ó l sè tù nhiªn ⇔ 102006 + 53 ⋮ 9 (0,5®) 9 §Ó 102006 + 53 ⋮ 9 ⇔ 102006 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 m 102006 + 53 = 1+ 0 +0 + + 0 + 5+3 = 9⋮ 9 102006 + 53 ⇒ 102006 + 53 ⋮ 9 hay l sè tù nhiªn (1®) 9 C©u 4 (3®) 38
  39. - VÏ ®−îc h×nh, ghi GT, KL ®−îc 0,25® ∆ = a, ABC cã AA1 2 (Az l tia ph©n gi¸c cña A ) = AC1 1 (Ay // BC, so le trong) = △ ⇒ AC2 1 ⇒ ABC c©n t¹i B m BK ⊥ AC ⇒ BK l ®−êng cao cña ∆ c©n ABC ⇒ BK còng l trung tuyÕn cña ∆ c©n ABC (0,75®) hay K l trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña ∆ c©n ABH v ∆ vu«ng BAK. Cã AB l c¹ng huyÒn (c¹nh chung) =A = 0 A2 30 0 2 = = { 0 0 0 AB ( 30 ) V× = − = 2 1 B1 90 60 30 AC AC ⇒ ∆ vu«ng ABH = ∆ vu«ng BAK⇒ BH = AK m AK = ⇒ BH = (1®) 2 2 c, ∆AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) ⇒ MK l trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn ⇒ KM = AC/2 (2) Tõ (10 v (2) ⇒ KM = KC ⇒ ∆KMC c©n. 0 0 0 0 0 MÆt kh¸c ∆AMC cã M = 90 A=30 ⇒ MKC =90 − 30 = 60 ⇒ ∆AMC ®Òu (1®) C©u 5. Lm ®óng c©u 5 ®−îc 1,5® X©y dùng s¬ ®å c©y v gi¶i bi to¸n §¸p ¸n : T©y ®¹t gi¶i nhÊt, Nam gi¶i nh×, §«ng gi¶i 3, B¾c gi¶i 4 §¸p ¸n ®Ò sè 16 C©u 1: (2®) 2 a) XÐt kho¶ng x ≥ ®−îc x = 4,5 phï hîp 0,25 ® 3 2 5 XÐt kho¶ng x 4 0,2® 2 3 XÐt kho¶ng x 4 hoÆc x < 1 0,1® 1 8 1 8 c) XÐt kho¶ng x ≥ Ta cã 3x 1 ≤ 7⇒ x ≤ Ta ®−îc ≤x ≤ 3 3 3 3 1 XÐt kho¶ng x < Ta cã 3x + 1 ≤ 7 ⇒ x −2≥ 3 39
  40. 1 Ta ®−îc −2 ≤x ≤ 3 8 VËy gi¸ trÞ cña x tho mn ®Ò bi l −2 ≤x ≤ 3 C©u 2: a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3® ⇒ = +2 + + 101 25S 25 25 25 0,3® ⇒ 24SSS= 25 − =25101 − 1 101 − VËy S = 25 1 0,1® 24 b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8® VËy 230+330+430> 3.224 0,2® C©u 3: a) H×nh a. AB//EF v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau EF//CD v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau VËy AB//CD b) H×nh b. AB//EF V× cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau 0,4® CD//EF v× cã cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau 0,4® VËy AB//CD 0,2® C©u 4: (3®) a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung ®iÓm AP 0,3 ® BP võa l ph©n gi¸c võa l trung tuyÕn nªn còng l ®−êng cao BD ⊥ AP 0,2® T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc BE ⊥ AQ 0,5 ® b) AD = DP ∆DBP = ∆BDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD 0,5 ® ⇒ ∆MBE = ∆MAD( ) c g c⇒ ME= MD 0,3® BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B l trung ®iÓm cña PQ 0,2® c) ∆BDE vu«ng ë B, BM l trung tuyÕn nªn BM = ME 0,4® ∆ADB vu«ng ë D cã DM l trung tuyÕn nªn DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2® C©u 5: 1® 10 10 A = 1+ A lín nhÊt → lín nhÊt 0,3® 4 − x 4 − x XÐt x > 4 th× 10 0 →a lín nhÊt →4 x nhá nhÊt ⇒ x = 3 0,6® 4 − x 40
  41. §¸p ¸n ®Ò sè 17 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ). a/. 4x + 3 x = 15. b/. 3x − 2 x > 1. ⇔ 4x + 3 = x + 15 ⇔ 3x − 2 > x + 1 * Tr−êng hîp 1: x ≥ 3 , ta cã: * Tr−êng hîp 1: x ≥ 2 , ta cã: 4 3 4x + 3 = x + 15 3x 2 > x + 1 3 ⇒ x = 4 ( TM§K). ⇒ x > ( TM§K). 2 * Tr−êng hîp 2: x 3 hoÆc x < 1 . 5 2 4 c/. 2x + 3 ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2x + 3 ≤ 5 ⇔ −4 ≤ x ≤ 1 C©u 2: a/.Ta cã: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007 ( 1 ) ( 7)A = (7)2 + ( 7)3 + + ( 7)2007 + ( 7)2008 ( 2) ⇒ 8A = ( 7) – (7)2008 Suy ra: A = 1 .[( 7) – (7)2008 ] = 1 ( 72008 + 7 ) 8 8 * Chøng minh: A ⋮ 43. Ta cã: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng. Nhãm 3 sè liªn tiÕp thnh mét nhãm (®−îc 669 nhãm), ta ®−îc: A=[( 7) + (7)2 + ( 7)3] + + [( 7)2005 + ( 7)2006 + ( 7)2007] = ( 7)[1 + ( 7) + ( 7)2] + + ( 7)2005. [1 + ( 7) + ( 7)2] = ( 7). 43 + + ( 7)2005. 43 = 43.[( 7) + + ( 7)2005] ⋮ 43 VËy : A ⋮ 43 b/. * §iÒu kiÖn ®ñ: NÕu m ⋮ 3 v n ⋮ 3 th× m2 ⋮ 3, mn ⋮ 3 v n2 ⋮ 3, do ®ã: m2+ mn + n2 ⋮ 9. * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m n)2 + 3mn. (*) 41
  42. NÕu m2+ mn + n2 ⋮ 9 th× m2+ mn + n2 ⋮ 3, khi ®ã tõ (*),suy ra: ( m n)2 ⋮ 3 ,do ®ã ( m n) ⋮ 3 v× thÕ ( m n)2 ⋮ 9 v 3mn ⋮ 9 nªn mn ⋮ 3 ,do ®ã mét trong hai sè m hoÆc n chia hÕt cho 3 m ( m n) ⋮ 3 nªn c¶ 2 sè m,n ®Òu chia hÕt cho 3. C©u 3: Gäi ®é di c¸c c¹nh tam gi¸c l a, b, c ; c¸c ®−êng cao t−¬ng øng víi c¸c c¹nh ®ã l ha , hb , hc . Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5 Hay: 1 (h +h ) = 1 ( h + h ) = 1 ( h + h ) = k ,( víi k ≠ 0). 3 a b 4 b c 5 a c Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k . Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: ha + hb + hc = 6k. Tõ ®ã ta cã: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k. MÆt kh¸c, gäi S l diÖn tÝch △ABC , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc ⇒ a.2k = b.k = c.3k a b c ⇒ = = 3 6 2 C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC ≤ DB. * NÕu DC = DB th× △BDC c©n t¹i D nªn DBC = A BCD .Suy ra: ABD = ACD .Khi ®ã ta cã: △ADB = △ADC (c_g_c) . Do ®ã: ADB = ADC ( tr¸i víi gi¶ thiÕt) . * NÕu DC ACD ( 1 ) . XÐt △ADB v △ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC DB. C©u 5: ( 1 ®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x− y ≥ x y , ta cã: A = x −1004 x +1003 ≤ (x− 1004) − ( x + 1003) = 2007 VËy GTLN cña A l: 2007. DÊu “ = ” x¶y ra khi: x ≤ 1003. H−íng dÉn chÊm ®Ò 18 42
  43. C©u 1a (1 ®iÓm ) XÐt 2 tr−êng hîp 3x2 ≥ 0. 3x 2 kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ no cña x tho¶ mn. b(1 ®iÓm ) XÐt 2 tr−êng hîp 2x +5 ≥ 0 v 2x+5 kÕt luËn. C©u 2a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m l abc abc ⋮18=> abc ⋮ 9. VËy (a+b+c) ⋮ 9 (1) Ta cã : 1 ≤ a+b+c ≤ 27 (2) Tõ (1) v (2) suy ra a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 (3) + + Theo bi ra a = b = c = a b c (4) 1 2 3 6 Tõ (3) v (4) => a+b+c=18. v tõ (4) => a, b, c m abc ⋮ 2 => sè cÇn t×m : 396, 936. b(1 ®iÓm ) A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n3+ 74n2+74n1+74n). = (7 +72+73+74) . (1+74+78+ +74n4). Trong ®ã : 7 +72+73+74=7.400 chia hÕt cho 400 . Nªn A ⋮ 400 C©u 3a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : C2 + CBy = 2v (gãc trong cïng phÝa) (1) α γ 0 ⇒ C1 + CAx = 2v V× theo gi¶ thiÕt C1+C2 + + = 4v =360 . VËy Cz//Ax. (2) Tõ (1) v (2) => Ax//By. C©u 4(3 ®iÓm) ∆ ABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trªn AB lÊy AE =AD. CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC) ∆ AED c©n, DAE = 400: 2 =200. => ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoi cña ∆ EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ sao cho AC’ = AC. C ∆ CAD = ∆ C’AD ( c.g.c) D  AC’D = 1000 v DC’E = 800. VËy ∆ DC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) v (2) cã EB=DC’. A C E B M DC’ =DC. VËy AD +DC =AB. C©u 5 (1 ®iÓm). S=(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+ + (3)2004. 3S= (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + +(3)2004] = (3)1+ (3)2+ +(3)2005] 3SS=[(3)1 + (3)2+ +(3)2005](3)0(3)1 (3)2005. − 2005 − 2005 + 4S = (3)2005 1. S = ( 3) 1 = 3 1 − 4 4 43
  44. §¸p ¸n ®Ò 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bi 1: Ta cã : − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( + + + + + + + + ) 1® 2.1 2 3 4.3 4 5 6.5 7.6 8.7 9.8 .9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − + − + − + + − + − ) 1® 1 2 2 3 3 4 8 9 9 10 1 1 − 9 = ( − ) = 0,5® 1 10 10 Bi 2: A = x−2 + 5 − x Víi x 3 0,5® Víi 2 ≤ x ≤ 5 th× A = x2 –x+5 = 3 0,5® Víi x>5 th× A = x2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 3 2 ≤ x ≤ 5 1® A Bi 3: a. Trªn tia ®èi cña tia OC lÊy ®iÓm N sao cho ON = OC .Gäi M l trung ®iÓm cña BC. G nªn OM l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c BNC. O H 1 Do ®ã OM //BN, OM = BN B C 2 Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC M AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T−¬ng tù AN//BH Do ®ã NB = AH. Suy ra AH = 2OM (1®) b. Gäi I, K theo thø tù l trung ®iÓm cña AG v HG th× IK l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c AGH nªn IK// AH IK = 1 AH => IK // OM v IK = OM ; 2 ∠ KIG = ∠ OMG (so le trong) ∆ IGK = ∆ MGO nªn GK = OG v ∠ IGK = ∠ MGO Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hng 1® Do GK = OG m GK = 1 HG nªn HG = 2GO 2 §−êng th¼ng qua 3 ®iÓm H, G, O ®−îc gäi l ®−êng th¼ng ¬ le. 1® Bi 4: Tæng c¸c hÖ sè cña mét ®a thøc P(x) bÊt kú b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc ®ã t¹i x=1. VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (34x+x2)2006 . (3+4x + x2)2007 B»ng P(1) = (34+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5® 44
  45. §¸p ¸n ®Ò 20 C©u 1: Ta cã: 220 ≡ 0 (mod2) nªn 22011969 ≡ 0 (mod2) 119 ≡ 1(mod2) nªn 11969220 ≡ 1(mod2) 69 ≡ 1 (mod2) nªn 69220119 ≡ 1 (mod2) VËy A ≡ 0 (mod2) hay A ⋮ 2 (1®) T−¬ng tù: A ⋮ 3 (1®) A ⋮ 17 (1®) V× 2, 3, 17 l c¸c sè nguyªn tè ⇒ A ⋮ 2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x 0 ⇒ x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x 5/3 ⇒ x = 3,5 (0,5®) Bi 3: a) DÔ dng chøng minh ®−îc IH = 0M A IH // 0M do ∆ 0MN = ∆ HIK (g.c.g) I E Do ®ã: ∆IHQ = ∆ M0Q (g.c.g) ⇒ QH = Q0 F H N QI = QM P b) ∆ DIM vu«ng cã DQ l ®−êng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M C Nh−ng QI l ®−êng trung b×nh cña ∆ 0HA nªn c) T−¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bi 4(1®): V× 3|x5| ≥ 0 ∀x ∈ R Do ®ã A = 10 3|x5| 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt l 10 ⇔ |x5| = 0 ⇔ x = 5 §¸p ¸n ®Ò 21 Bi 1. 45
  46. §iÒu kiÖn x ≥ 0 (0,25®) 9 a) A = (0,5®) 7 b) x + 3 > 0 ⇒ A = 1 ⇔ x−5 = − x − 3 ⇒ x = 1 (0,5®) 8 c) Ta cã: A = 1 . (0,25®) x + 3 §Ó A ∈ Z th× x + 3 l −íc cña 8 ⇒ x = {1; 25} khi ®ã A = { 1; 0} (0,5®) Bi 2. x −1 ≥ 0 x ≥ 1 − = − ⇔ ⇔  ⇔ = a) Ta cã: 7 x x 1  2  x 3 (1®) 7−x = ( x − 1) x=3; x = − 2 b) Ta cã: 2M = 2 – 22 + 23 – 24 + 22006 + 22007 (0,25®) 2007 + ⇒ 3M = 1 + 22007 (0,25®) ⇒ M = 2 1 (0,5®) 3 c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 ≥ 1 víi mäi x ⇒ §PCM. (1®) ABCˆˆ ˆ 1800 Bi 3. Ta cã: = = = = 300 ⇒ ABCˆ =300 ;ˆ = 600 ;ˆ = 900 (0,5®) 1 2 3 6 VËy tam gi¸c ABC l tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bi 4. GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H ∈ AC sao cho AH = AN (0,5®) Tõ ®ã chøng minh IH = IN = IM (1®) Bi 5. A = 1 + 2000 (0,5®) A ⇔ 6 – x > 0 v nhá nhÊt 6 − x Max ⇒ 6 – x = 1 ⇒ x = 5. VËy x = 5 tho mn ®iÒu kiÖn bi to¸n khi ®ã A Max= 2001 (0,5®) §¸p ¸n ®Ò 22 C©u 1: (2.5®) 15 20 15 40 55  1   1   1   1   1  a. a1.   .  =   .  =   (0.5®)  2   4   2   2   2  25 30 50 30 20  1   1   1   1    a2.   :   =   :   =   (0.5®)  9   3   3   3   3  5 4 − 9 10 8 − b. A = 4 .9 2.6 = 2 .3 .(1 3) = 1 (0.5®) 210 .3 8+ 6 8.20 210 .3 8 (1+ 5) 3 c. c1. 7 = 0.(21) c2. 7 = 0,3(18) (0.5®) 33 22 46
  47. c3. 0,(21) = 21 = 7 ; c4. 5,1(6) = 5 1 (0.5®) 99 33 6 C©u 2: (2®) Gäi khèi l−îng cña 3 khèi 7, 8, 9 lÇn l−ît l a, b, c (m3) ⇒ a + b + c = 912 m3. (0.5®) a b c ⇒ Sè häc sinh cña 3 khèi l : ; ; 1 2, 1 4, 1 6, Theo ®Ò ra ta cã: b= a v b= c (0.5®) 3.4,1 1 2, 4.1,4 5.1 6, a b c ⇒ = = = 20 (0.5®) 4.1,2 12.1,4 15.1,6 VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3. Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, 9 lÇn l−ît l: 80 hs, 240 hs, 300 hs. (0.5®) C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A. 3 Ta cã: (x + 2)2 ≥ 0 ⇒ (x = 2)2 + 4 ≥ 4 ⇒ A = khi x = 2 (0.75®) max 4 b.T×m min B. Do (x – 1)2 ≥ 0 ; (y + 3)2 ≥ 0 ⇒ B ≥ 1 VËy Bmin= 1 khi x = 1 v y = 3 (0.75®) ∆ C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E. Ta cã EAB c©n C t¹i E ⇒ ∠EAB =300 ⇒ ∠EAM = 200 ⇒ ∠CEA = ∠MAE = 200 (0.5®) Do ∠ACB = 800 ⇒ ∠ACE = 400 ⇒ ∠AEC = 1200 ( E 1 ) (0.5®) M 0 MÆt kh¸c: ∠EBC = 200 v ∠EBC = 400 ⇒ ∠CEB = 100 30 A H B 1200 ( 2 ) (0.5®) Tõ ( 1 ) v ( 2 ) ⇒ ∠AEM = 1200 Do ∆EAC = ∆EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ ∆MAC c©n t¹i A (0.5®) V ∠CAM = 400 ⇒ ∠AMC = 700. (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2 v a + b kh«ng nguyªn tè cïng nhau ⇒ a2 v a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒ a2 chia hÕt cho d ⇒ a chia hÕt cho d v a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®) ⇒ (a,b) = d ⇒ tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy (a2,a + b) =1. (0.5®) §Ò 23 47
  48. C©u I : 1) X¸c ®Þnh a, b ,c a−1 b+ 3 c − 5 5(a − 1) −3(b + 3) −4(c − 5) 5 a− 3 b − 4 c − 5 − 9 + 20 = = = = = = = −2 2 4 6 10 −12 − 24 10− 12 − 24 => a = 3 ; b = 11; c = 7. − + − C¸ch 2 : a1 = b3 = c 5 = t ; sau ®ã rót a, b ,c thay vo t×m t = 2 t×m a,b,c. 2 4 6 2) Chøng minh §Æt a = c = k => a= kb ; c = kd Thay vo c¸c biÓu thøc : b d 2a2 − 3 ab + 5 b 2 2c2 − 3 cd + 5 d 2 k2 −3 k + 5 k2 − 3 k + 5 − = − = 0 => ®pcm. 2b2 + 3 ab 2d 2 + 3cd 2+ 3k 2+ 3k C©u II: TÝnh: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 16 1) Ta cã :2A= 2( + + + ) = − + − + + − = − = =>A = 5.3 7.5 97.99 3 5 5 7 97 99 3 99 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2) B = = − + − + + − = + + + + + 3 323 3 350 351 (− 3) (− 32 ) (− 33 ) (− 350 ) (− 351 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 −351 − 1 (− 351 − )1 + + + + => B = − = => B = (− 32 ) (− 33 ) (− 3) 4 (− 351 ) (− 352 ) − 3 − 3 (− 352 ) 352 3.4 51 C©u III 2 1 2 3 1 7 Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = + . 0,(1).3 = + . = 10 10 10 10 9 30 1 1 12 32 1 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ .0,(32)= 0,12+ .0,(01).32 = + . 1000 1000 100 1000 99 = 1489 12375 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai l : P(x) = ax(x1)(x2) + bx(x1)+c(x3) + d P(0) = 10 => 3c+d =10 (1) P(1) = 12 => 2c+d =12 =>d =12+2c thay vo (1) ta cã 3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= 4 => 2b 2+16 = 4 > b= 5 P(3) = 1 => 6a30 +16 =1 => a = 5 2 5 VËy ®a thøc cÇn t×m l : P(x) = x( x−1)( x − 2 ) − 5 x ( x − 1 ) + 2 ( x − 3 ) + 16 2 5 25 => P(x) = x 3 x2 +12 x + 10 2 2 C©u V: a) DÔ thÊy ∆ ADC = ∆ ABE ( cgc) => DC =BE . V× AE ⊥ AC; AD ⊥ AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE 48 m tra
  49. => DC ⊥ Víi BE. b) Ta cã MN // DC v MP // BE => MN ⊥ MP MN = 1 DC = 1 BE =MP; 2 2 VËy ∆ MNP vu«ng c©n t¹i M. §¸p ¸n ®Ò 24 Bi 1: 3− 3 +3 + 3 3 + 3 − 3 a) A = 8 10 11 12+ 2 3 4 (0,25®) −5 + 5 − 5 − 5 5 + 5 − 5 8 10 11 12 2 3 4  1 1 1 1  1 1 1  3 − + + 3 + −  A =  8 10 11 12+  2 3 4  (0,25®)  1 1 1 1  1 1 1  −5 − + +5  + −   8 10 11 12  2 3 4  − A = 3 + 3 = 0 (0,25®) 5 5 102 − b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B = 2 1 (0,25®) 3 Bi 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 3.2410 = 230.311 (0,25®) m 415 > 311 ⇒ 430 > 311 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) 4 = 36 > 29 33 > 14 (0,25®) ⇒ 36 + 33 > 29 + 14 (0,25®) Bi 3: Gäi x1, x2 x3 lÇn l−ît l sè ngy lm viÖc cña 3 m¸y x x x ⇒ 1= 2 = 3 (1) (0,25®) 3 4 5 Gäi y1, y2, y3 lÇn l−ît l sè giê lm viÖc cña c¸c m¸y y y y ⇒ 1= 2 = 3 (2) (0,25®) 6 7 8 Gäi z1, z2, z3 lÇn l−ît l c«ng suÊt cña 3 m¸y z z z ⇒ 5z = 4z = 3z ⇔ 1 = 2 = 3 (3) (0,25®) 1 2 3 1 1 1 5 4 3 M x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) 49
  50. x y z x y z x y z 395 Tõ (1) (2) (3) ⇒ 1 1 1= 2 2 2 = 3 3 3 = = 15 (0,5®) 18 7 40 395 5 3 15 ⇒ x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®) VËy sè thãc mçi ®éi lÇn l−ît l 54, 105, 200 (0,25®) Bi 4: a) EAB = CAD (c.g.c) (0,5®) ⇒ ABM= ADM (1) (0,25®) Ta cã BMC= MBD + BDM (gãc ngoi tam gi¸c) (0,25®) 0 0 0 ⇒ BMC= MBA +60 + BDM = ADM + BDM +60 = 120 (0,25®) E b) Trªn DM lÊy F sao cho MF = MB (0,5®) A ⇒ FBM ®Òu (0,25®) D ⇒ DFB AMB (c.g.c) (0,25®) F ⇒ DFB= AMB = 1200 (0,5®) Bi 6: Ta cã M 1 x= 2⇒ f (2)+ 3. f ( ) = 4 (0,25®) 2 B C 1 1 1 x= ⇒ f( )+ 3. f (2) = (0,25®) 2 2 4 47 ⇒ f (2) = (0,5®) 32 ®¸p ¸n ®Ò 25 C©u 1 a.NÕu x ≥ 0 suy ra x = 1 (tho mn) NÕu < 0 suy ra x = 3 (tho mn) 1 x1 x − 3 y =1 y = −1 y = 2 b. = − = ⇒  ; hoÆc  ;hoÆc  y 6 2 6 x −3 = 6 x − 3= − 6 x −3 = 3 y = −3 y = 6 y = −6 hoÆc  ;hoÆc  ; hoÆc  x −3 = − 2 x −3 = 1 x −3 = − 1 y = −2 y = 3 hoÆc  ; hoÆc  x −3 = − 3 x −3 = 2 Tõ ®ã ta cã c¸c cÆp sè (x,y) l (9,1); (3, 1) ; (6, 2) ; (0, 2) ; (5, 3) ; (1, 3) ; (4, 6); (2, 6) x y z3 x7 y5 z 3 x− 7 y + 5 z 30 c. Tõ 2x = 3y v 5x = 7z biÕn ®æi vÒ = = ⇒ = = = = = 2 21 14 10 61 89 50 63− 89 + 50 15  x = 42; y = 28; z = 20 C©u 2 50
  51. a. A l tÝch cña 99 sè ©m do ®ã 1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.101 − = −  −  −   −  = i i iii A 1  1  1   1 2  2 2 2 2 4  9  16   100  2 3 4 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 1 = i = > ⇒ A 900  gãc AIB 900 d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u 5. 4−x + 10 10 10 P = =1+ P lín nhÊt khi lín nhÊt 4−x 4 − x 4 − x XÐt x > 4 th× 10 0 4 − x  10 lín nhÊt  4 – x l sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt 4 − x  4 – x = 1  x = 3 khi ®ã 10 = 10  P = 11. 4 − x lín nhÊt 51
  52. H−íng dÉn chÊm ®Ò 26 Bi 1 : a) T×m x . Ta cã 2x − 6 + 5x =9 2x − 6 = 95x 15 * 2x –6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 khi ®ã 2x –6 = 95x ⇒ x = kh«ng tho mn. (0,5) 7 * 2x – 6 1 . §Ó A = 5 tøc l =5 ⇔x = ⇔ x = . (1) x −1 2 4 Bi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra : tam gi¸c NEC c©n v ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n . v DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoi cña ∆CDM ) = 2DCM. 52
  53. T−¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . M AEN = ABC (gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän). MDB = CAB (gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450 . VËy MCN = 900 –450 =450 . (1,5) Bi 5 : Ta cã P = x2 –8x + 5 = x2 –8x –16 +21 = ( x2 +8x + 16) + 21 = ( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ≤ 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 ≤ 21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = 4 Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt l 21. h−íng dÉn ®Ò 27 C©u 1: (3®) b/ 21.2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n1 .9 =9. 25 suy ra n1 = 5 suy ra n=6. 0,5® c/ 3n+22n+2+3n2n=3n(32+1)2n(22+1) = 3n.102n.5 0,5® v× 3n.10 ⋮10 v 2n.5 = 2n1.10 ⋮10 suy ra 3n.102n.5 ⋮10 0,5® Bi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn l−ît l sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z v x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 m x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 7(43431717) b/ 0,7(43431717) = 0,5®10 Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 v× 434 tËn cïng l 1 cßn 433 tËn cïng l 7 suy ra 4343 tËn cïng bëi 7 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng l 1 suy ra (174)4 cã tËn cïng l 1 suy ra 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 7 0,5® suy ra 4343 v 1717 ®Òu cã tËn cïng l 7 nªn 43431717 cã tËn cïng l 0 suy ra 43431717 chia hÕt cho 10 0,5® suy ra 0,7(43431717) l mét sè nguyªn. Bi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB= ∆ NEC suy ra DN=EN 0,5® 53
  54. b/ MDI= NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I l trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gäi H l ch©n ®−êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã AHB= AHC suy ra HAB=HAC 0,5® gäi O l giao AH víi ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× OAB= OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® OIM= OIN suy ra OM=ON 0,5® suy ra OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) v (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5® VËy ®iÓm O cè ®Þnh. §¸p ¸n ®Ò 28 C©u 1: (2®). a. a + a = 2a víi a ≥ 0 (0,25®) Víi a < 0 th× a + a = 0 (0,25®). b. a a Víi a≥ 0 th× a a = a – a = 0 Víi a< 0 th× a a = a a = 2a c.3(x – 1) 2x + 3 Víi x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 Ta cã: 3(x – 1) – 2 x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5®) Víi x + 3 < 0 → x< 3 Tacã: 3(x – 1) 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5®). C©u 2: T×m x (2®). a.T×m x, biÕt: 5x 3 x = 7 ⇔ 5x− 3 = x + 7 (1) (0,25 ®) §K: x ≥ 7 (0,25 ®) 5x− 3 = x + 7 ()1 ⇒  − = − + . (0,25 ®) 5x 3( x 7) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa mn ®iÒu kiÖn ®Çu bi. x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®). b. 2x + 3 4x < 9 (1,5®) ⇔2x + 3 < 9 + 4x (1) 9 §K: 4x +9 ≥ 0 ⇔ x ≥ − (1) ⇔ −()4x + 9 <2x − 3 < 4x + 9 4 −2 <x < −3 (t/m§K) (0,5®). C©u 3: 54
  55. Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m l a, b, c. V× sè cn t×m chia hÕt 18 → sè ®ã ph¶i chia hÕt cho 9. VËy (a + b + c ) chia hÕt cho 9. (1) (0,5®). Tacã: 1 ≤ a + b + c ≤ 27 (2) V× 1 ≤ a ≤ 9 ; b ≥ 0 ; 0 ≤ c ≤ 9 Tõ (1) v (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3). Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5®). V× sè cn t×m chia hÕt 18 nªn võa chia hÕt cho 9 võa chia hÕt cho 2 → ch÷ sè hng ®¬n vÞ ph¶i l sè ch½n. VËy ssè cn t×m l: 396 ; 963 (0,5®). VÏ h×nh ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®óng (0,5®). Qua N kÎ NK // AB ta cã. EN // BK ⇒ NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) ⇒ AD = NK (1) Häc sinh chøng minh ∆ ADM = ∆ NKC (gcg) (1®) ⇒ DM = KC (1®) §¸p ¸n ®Ò 29 102007 + 10 9 Bi 1: Ta cã: 10A = = 1 + (1) 102007 + 1 102007 + 1 102008 + 10 9 T−¬ng tù: 10B = = 1 + (2) 102008 + 1 102008 + 1 9 9 Tõ (1) v (2) ta thÊy : > ⇒ 10A > 10B⇒ A > B 102007 + 1 102008 + 1 Bi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:             − 1 − 1 − 1 A = 1 + .  1+   1 +  (1 2).2   (1 3).3   (1 2006)2006  2  2   2  2 5 9 2007.2006− 2 4 10 18 2007.2006− 2 = . . = . . (1) 3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 M: 2007.2006 2 = 2006(2008 1) + 2006 2008 = 2006(2008 1+ 1) 2008 = 2008(2006 1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) v (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 A = . . = = = 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 55
  56. x 1 1 1 x 1 Bi 3:(2®iÓm) Tõ: − = ⇒ = − 8 y 4 y 8 4 1 x - 2 Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã : = . Do ®ã : y(x2) =8. y 8 §Ó x, y nguyªn th× y v x2 ph¶i l −íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t−¬ng øng cÇn t×m trong b¶ng sau: Y 1 1 2 2 4 4 8 8 x2 8 8 4 4 2 2 1 1 X 10 6 6 2 4 0 3 1 Bi 4:(2 ®iÓm) Trong tam gi¸c tæng ®é di hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: b + c > a. Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1) T−¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®−îc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c ABK c¾t ®−êng th¼ng CK ë I. A Ta cã: △IBC c©n nªn IB = IC. 0 △BIA = △CIA (ccc) nªn BIA= CIA = 120 . Do ®ã: I △BIA =△BIK (gcg) ⇒ BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: K C 0 BAK = 70 B §¸p ¸n ®Ò 30 Bi 1. 4® a) 74( 72 + 7 – 1) = 74. 55 ⋮ 55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) 1® 51 −1 Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – 1 => A = 5 4 1® Bi 2. 4® a b c a2 b3 c a+2 b − 3 c − 20 a) = =  = = = = = 5 => a = 10, b = 15, c =20. 2 3 4 2 6 12 2+ 6 − 12 − 4 2® 56
  57. b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù l x, y, z ( x, y, z ∈N *) 0,5® Theo bi ra ta cã: x + y + z = 16 v 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5® BiÕn ®æi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 20000x 50000 y 100000 z x y z x+ y + z 16 => = = ⇔ = = = = = 2 100000 100000 100000 5 2 1 5+ 2 + 1 8 0,5® Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù l 10; 4; 2. 0,5® Bi 3. 4® a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 1 x 1 4 4 1® f(x) g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 1 x + 1 4 4 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = 1 A = (1)2 + (1)4 + (1)6 + + (1)100 = 1 + 1 + 1 + + 1 = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bi 4. 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® phÇn b) 2® b a) ∆ ABD = ∆ EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ∆ ABD = ∆ EBD nªn gãc A b»ng gãc BED e Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 c a d Bi 5: 4® a) Tam gi¸c ABC v tam gi¸c ABG cã: a DE//AB, DE = 1 AB, IK//AB, IK= 1 AB 2 2 i e Do ®ã DE // IK v DE = IK G b) ∆ GDE = ∆ GIK (g. c. g) v× cã: DE = IK (c©u a) k Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) c Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) b d 2 ⇒ GD = GI. Ta cã GD = GI = IA nªn AG = AD 3 VÏ h×nh: 0,5® PhÇn a) ®óng: 2® PhÇn b) ®óng: 1,5® 57