Bài tập Hình học Lớp 11: Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11: Hai đường thẳng vuông góc

1. BÀI TẬP HAI ĐT VUÔNG GÓC Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , . STrongB SD các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. AC  SA. B. .S D  AC C. . SD.A . BD AC  BD Câu 2: Cho ba đường thẳng a, b, c và(P) . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Nếu a// P và b  P thì b  a . B. Nếu a  c và b  c thì b//a. . C. Nếu a  c và b  c thì b  a . D. Nếu a// P và b  P thì b  a . Câu 3: Cho tứ diện ABCD cóAB a, BD 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN . a 10 a 6 3a 2 2a 3 A. MN . B. .M N C. . D. . MN MN 2 3 2 3 Lời giải Chọn A Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB vàCD . Khi đó, ta có: NE / /MF / / AC Ta có: nên MENF là hình bình hành. ME / /NF / / B D NE / / AC Mặt khác: góc giữa AC và BD là ENF 900. NF / / B D Suy ra: MENF là hình chữ nhật. Hình như đề cho dữ kiện sai: AC a thay vì AB a . Nếu AB a thì không giải được. Nếu AC a thì ta giải như sau: Xét MNE vuông tại E. Theo định lí Pitago, ta có: 2 2 2 2 3a a a 10 MN ME NE . 2 2 2  Câu 4: Cho hai vectơ a,b thỏa mãn: a 4; b 3;a.b 10 . Xét hai vectơ y a b x a 2b, . Gọi α là góc  giữa hai vectơ x, y . Chọn khẳng định đúng. 2 1 3 2 A. .c os B. . C. . cos D. cos cos . 15 15 15 15 Lời giải Chọn D  2 2 Ta có x.y a 2b a b a 2 b 3a.b 4 . 2 2 2 2 x x a 2b a 4 b 4a.b 2 3 .   2 2 2 2 y y a b a b 2a.b 5 .  x.y 4 2 cos  x . y 2 3. 5 15
2. Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD ( Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. .3B.0o .C. .D. 45o 60o 90o . Lời giải Chọn D          Ta có: AB.CD CB CA .CD CB.CD CA.CD     CB.CD.cos CB,CD CA.CD.cos CA,CD a.a.cos60o a.a.cos60o 0 . Vậy AB,CD 900 . Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN, SC bằng: A. .3B.0o .C. .D. 45o 60o 90o . Lời giải Chọn D Ta có: MN / /SA MN, SC SA, SC . Ta lại có: AC a 2 . Xét SAC , nhận thấy: AC 2 SA2 SC 2 . Theo định lí Pitago đảo, SAC vuông tại S . Suy ra: ASC 900 hay MN, SC SA, SC 900 . Câu 7: Cho tứ diện ABCD cóAB CD . Gọi I, J , E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD . Góc IE , JF giữa bằng: A. .3B.0o .C. .D. 45o 60o 90o . Lời giải Chọn D
3. IJ / /EF / / AB Ta có: 1 nên IJEF là hình bình hành. IJ EF AB 2 a 0 Mặt khác: IJ JE nên IJEF là hình thoi. Suy ra: IE  JF hay IE , JF 90 . 2 a 3 Câu 8: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , IJ (I , J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). Số 2 đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. .3 0 B. . 45 C. 60 . D. .90 Lời giải Chọn C A J M O B D N I C Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC . Ta có: 1 1 a MI NI AB CD 2 2 2 MINJ là hình thoi. MI // AB // CD // NI Gọi O là giao điểm của MN và IJ . Ta có: M· IN 2M· IO . a 3 IO 3 Xét MIO vuông tại O , ta có: cos M· IO 4 M· IO 30 M· IN 60 . MI a 2 2 Mà: AB,CD IM , IN M· IN 60 . Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC a , BD 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN . a 10 a 6 3a 2 2a 3 A. MN . B. .M N C. . D. . MN MN 2 3 2 3 Lời giải Chọn A Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD . A EN // AC Ta có: AC, BD NE, NF 90 NE  NF (1). M NF // BD E 1 NE FM AC 2 C D Mà: (2). F 1 NF ME BD N 2 B Từ (1), (2) MENF là hình chữ nhật. 2 2 2 2 2 2 AC BD a 3a a 10 Từ đó ta có: MN NE NF . 2 2 2 2 2
4. Câu 10: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Giả sử tam giác AB C và A DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? A. .B· DB B. . ·AB C C. . D·D.B B D· A C . Lời giải Chọn D Ta có: AC // A C (tính chất của hình hộp) AC, A D A C , A D D· A C (do giả thiết cho DA C nhọn). a 3 Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB CD a, IJ= ( I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD ). Số đo 2 góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : A. .3 0 B. . 45 C. 60 . D. .90 Lời giải Chọn C A J M B D I Gọi M là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ. IM 2 MJ 2 IJ 2 1 Tính được: cosIMJ 2MI.MJ 2 Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 600. Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. 90 . Lời giải A Chọn D Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AH  BCD . Gọi E là trung điểm CD BE  CD (do BCD đều). Do AH  BCD AH  CD . B D CD  BE · H Ta có: CD  ABE CD  AB AB,CD 90 . E CD  AH C Câu 13: Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. .A C  BDB. BB  BD . C. .A B  DCD. . BC  A D Lời giải Chọn B A' D' Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn B' gọi là hình hộp thoi. C' A đúng vì: A D B C
5. A C  B D A C  BD . B D // BD B sai vì: A B  AB C đúng vì: A B  DC . AB // DC BC  B C D đúng vì: BC  A D . B C // A D Câu 14: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos AB, DM bằng 3 2 3 1 A. .B. . C. . D. . 6 2 2 2 A Lời giải Chọn A Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh bằng a . E Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AH  BCD . B D Gọi E là trung điểm AC ME // AB AB, DM ME,MD   M H Ta có: cos AB, DM cos ME,MD cos ME,MD cos E· MD . C Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của MED : a 3 ME a , ED MD . 2 2 2 2 a a 3 a 3 ME 2 MD2 ED2 2 2 2 3 Xét MED , ta có: cos E· MD . 2ME.MD a a 3 6 2. . 2 2 3 3 Từ đó: cos AB, DM . 6 6 Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc MN,SC bằng: A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. 90 . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn S ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2). N Từ (1) và (2) SO  ABCD . A B Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung bình M O của SAD ). MN,SC SA,SC . D C SA2 SC 2 a2 a2 2a2 Xét SAC , ta có: SAC vuông tại S SA  SC . 2 2 AC 2AD 2a SA,SC MN,SC 90 . Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ,CD bằng A. .3 0 B. . 45 C. 60 . D. .90 Lời giải Chọn C
6. S Gọi O là tâm của hình vuông ABCD O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1). Ta có: SA SB SC SD S nằm trên trục của đường tròn ngoại I A tiếp hình vuông ABCD (2). B Từ (1) và (2) SO  ABCD . O J Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình của D C SAB ). IJ,CD SB, AB . Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó S· BA 60 SB, AB 60 IJ,CD 60 . Câu 17: Cho tứ diện ABCD có AB CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của AC , BC , BD , AD . Góc giữa IE, JF bằng A. .3 0 B. . 45 C. . 60 D. 90 . Lời giải Chọn D A IJ // EF // AB Từ giả thiết ta có: (tính chất đường trung bình trong JE // IF // CD F tam giác) I Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành. 1 1 B D Mặt khác: AB CD IJ AB JE CD ABCD là hình thoi E 2 2 J IE  JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi) C IE, JF 90 . Câu 18: Cho hình lập phương ABCDEFGH , góc giữa hai đường thẳng EG và BC là: A. 0 . B. 45.C. .D. 90 30 Lời giải Chọn B ABCDEFGH là hình lập phương BC / /EG góc giữa hai đường thẳng EG và BC là E· GF 45 Câu 19: Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi AH là đường cao của tam giác SBA . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. SA  BC .B. .C.AH  SC . D.A H  BC AB  SC Lời giải Chọn D Ta có: SA  ABC SA  BC (1) (Câu A đúng) BC  AB (2) Từ (1) và (2) suy ra BC  (SAB) BC  AH (Câu C đúng) BC  (SAB) mà AH  SB AH  SBC AH  SC (Câu B đúng) Câu 20: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. AB  CD .B. .C.AC  BD AD  BC .D. AB  AD Lời giải Chọn C
7. Gọi H là trung điểm của BC ta có: AH  BC ,DH  BC BC  ADH BC  AD Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC . Hãy chọn khẳng định đúng A. BC  AH B. BC  SC C. BC  AB D. BC  AC Lời giải Chọn A Ta có: SA  ABC SA  BC mà SH  BC BC  SAH BC  AH Câu 22: Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và SA  ABC . Hỏi tứ diện S.ABC có mấy mặt là tam giác vuông? A. .1 B. 4 . C. .2 D. . 3 Lời giải Chọn B Có AB  BC ABC là tam giác vuông tại B. SA  AB Ta có SA  (ABC) SA  AC SAB, SAC là các tam giác vuông tại A. AB  BC Mặt khác BC  SB SBC là tam giác vuông tại B. SA  BC Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , .S TrongB SD các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. AC  SA . B. .S D  AC C. . SD.A  BD AC  BD Lời giải Chọn A Ta có: AC  BD (ABCD là hình thoi) Theo giả thuyết ta có: SO  AC, SO  BD SO  ABCD (Câu D đúng) Do SO  ABCD SO  AC mà BD  AC AC  SBD AC  SD (Câu B đúng) Tương tự: SO  ABCD SO  BD mà BD  AC BD  SAC BD  SA (Câu C đúng) Câu 24: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a và AA 2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 60 .B. .C. .D. 45 . 90 30 Lời giải Chọn A               Ta có AB .BC AB BB BC CC AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC         a2 3a2 AB.BC AB.CC BB .BC BB .CC 0 0 2a2 . 2 2 2   3a   AB .BC 1 Suy ra cos AB , BC   2 ·AB , BC 60 . AB . BC a 3.a 3 2
8. Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCA B C có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , B· AC 120 , cạnh bên AA a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC . A. .9 0 B. . 30 C. . 45 D. . 60 Lời giải Chọn D B C A B C D A Trong ABC : kẻ AD sao cho ACBD là hình bình hành. Ta có: BC // AD Nên AB ; BC AB ; AD B· AD . Ta có AD BC a 3 , AB AB2 AB 2 a 3 , DB BB 2 AC2 a 3 . Vậy tam giác B AD đều nên B· AD 60 . Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 2a , BC a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi Elà trung điểm của C .D Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE và SC. a 30 a 3 a 15 A. . B. . C. . D. . a 10 2 5 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của AB ta có: SI  AB mà SAB  ABCD nên SI  ABCD . Gọi H là giao điểm của IC và BE , kẻ HK  SC tại K. Khi đó : IBCE là hình vuông nên BE  IC mà BE  SI do đó BE  SIC . Suy ra BE  HK mà HK  SC nên d BE;SC HK. Do tam giác CKH và CIS đồng dạng nên 2 a .a 3 HK CH CH.IS a 30 HK 2 . IS CS CS 2 2 10 a 3 a 2 Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O  I , các tia Ox,Oy,Oz lần lượt là IE, IB, IS .    BS. BE;SC Sau đó tính khoảng cách bằng công thức: d BE;SC   . BE;SC Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB .
9. A. .3 0 B. 60 . C. .9 0 D. 1.2 0 Lời giải Chọn B Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM. Và cắt đường thẳng SA tại N. Do đó ·SM , BC ·BN, BC N· BC . Ta có SM / /BN và M là trung điểm của AB Nên SN SA SC a NC a 2 và NB 2SM a 2 . Mà BC SB2 SC 2 a 2 NBC là tam giác đều. Vậy N· BC 60 ·SM , BC 60 . Câu 28: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC , với I là trung điểm của AB . A. .1 0 B. 30 . C. .1 50 D. . 170 Lời giải Chọn B Ta có I là trung điểm của AB nên ·CI,CA I·CA . AB AC AI 1 Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI . 2 2 AC 2 IA 1 Suy ra sin I·CA I·CA 30 ·CI,CA 30 . CA 2 Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB , SAD , SAD là các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA a 3 , AB a , AD 3a . 1 3 4 8 A. . B. . C. . D. . 2 2 130 130 Lời giải Chọn D Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Nên SA  AB, SA  AD SA  ABCD . Gọi O AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM / /SC . Hay SC / / MBD nên ·SC, BD ·OM , BD M· OB . SA2 a 7 SC a 13 Có BM AM 2 AB2 AB2 , MO . 4 2 2 2 BD a 10 BO . Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB. 2 2 Ta được BM 2 OM 2 OB2 2OM.OB.cos M· OB
10. OM 2 OB2 BM 2 8 cos M· OB . 2OM.OB 130 Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD DC a , AB 2a , và 2a 3 SA . 3 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 42 42 42 42 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM AD DC a . Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A. Do đó DM song song với BC. Suy ra ·SD, BC ·SD, DM S·DM . a 21 Lại có SM SA2 AM 2 . 3 a 21 Và DM a 2, SD SA2 AD2 3 Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được SD2 DM 2 SM 2 3 cos S·DM . 2.SD.DM 42