Bài tập Hình học Lớp 8 - Huyền Trang

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 8 - Huyền Trang

1. Cho tam giác ABC, trung tuyến BI và CQ. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Lấy D là điểm nằm giữa B và C. Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với CQ cắt AB và BG lần lượt tại E và H. Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với BI cắt AC và CG lần lượt tại F và K. EF cắt BI, CQ theo thứ tự tại M và N. Chứng minh: a) EM = MN = NF. b) DG đi qua trung điểm của MN. 1 c) S S ( với S và S lần lượt là diện tích của tứ giác DHGK và tam giác ABC) 1 6 1 A I Q G F N M J E K O H B D C Hướng dẫn (Cách này hay hơn, hôm qua thầy giải vội cách giải chưa hay ) a)Ta có EH BH HD EH QG FK CK KD FK GI (1); (3) GQ BG GC HD GC GI CG GB KD GB QG GI EH FK (3) tu(1);(2)(3) HK / FE GC GB HD KD ta có các tứ giác EHNK,MHKF;GHDK là hình bình hành EH QG 1 FK GI 1 do G là trọng tâm ABC nên ; HD GC 2 KD GB 2 EM EH 1 1 EHM đồng dạng HDK (g,g) suy ra EM HK (4) HK HD 2 2 FN FK 1 1 FNK đồng dạng KHD (g,g) suy ra FN HK (5) HK KD 2 2
2. Từ (4) và (5) suy ra ME=NF mặt khác EN HK ( do EHKN là hình bình hành) mà 1 1 EM HK EM EN EM MN vậy EM=MN=FN 2 2 b) Gọi O là giao HK và GD; J là giao MN và GD suy ra OH=OK Xét GHO có JM//OH; GKO có JN//OK theo hệ quả Talét ta có MJ JG JN do OH OK JM JN HO GO OK Hay DG đi qua trung điểm của MN. 1 c) Trước hết chứng minh S S 2 BGC Đặt BD=x;DC=y 2 2 2 2 SBHD BD x SCKD CD y 2 ; 2 ; SBGC BC x y SBGC BC x y 2 x2 y2 x y 2xy 2xy 2xy 1 SBHD SCKD 2 .SBGC 2 .SBGC 1 2 1 .SBGD SBGC x y x y x y 4xy 2 1 S S vi : S S S S DHGK 2 BGC DHGK BGC BHD CKD 1 1 1 1 Do G là trọng tâm tam giac ABC nên S S S . S S BGC 3 ABC GHDK 2 3 ABC 6 ABC 1 Suy ra S S dấu “=” xảy ra khi x y hay D là trung điểm BC 1 6