Chuyên đề Toán Lớp 7: Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Anh Tuấn

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 7: Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Anh Tuấn

1. CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Lý thuyết: Định lý 1: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Định lý 2: Ba đường phân giác trong của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác và được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM và đường phân giác BD cắt nhau tại K. Gọi E là giao điểm của CK và AB. Chứng minh BD = CE. Bài 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Qua I, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC và BC tại D và E. Chứng minh rằng: DE = AD + BE. Dạng 2: Đường phân giác của các tam giác đặc biệt. ( Tam giác cân, tam giác đều) Bài 3: Chứng minh nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân. Bài 4: Tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng. Bài 5: Chứng minh rằng trong một tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách đều hai cạnh bên. Dạng 3: Các dạng toán khác về đường phân giác. Bài 6: Cho tam giác ABC có ̂ > ̂, phân giác AD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Chứng minh rằng: ̂ − ̂ 퐻 퐷̂ = 2 Bài 7: Chứng minh rằng trong tam giác cân, hai đường phân giác ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau. BÀI TẬP Bài 8: Cho tam giác ABC, hai phân giác BE và CF cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng: ̂ 퐼 ̂ = 90° + hoặc ̂ = 2. 퐼 ̂ − 180° 2 Bài 9: Cho tam giác ABC có I là giao điểm các tia phân giác của các góc B và C. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Kẻ IH ⊥ BC ( H ∈ BC). Chứng minh 퐼퐻̂ = 퐼퐷̂ . Bài 10: Cho tam giác ABC có ̂ = 30°. Tia phân giác của góc B và đường phân giác của góc ngoài tại A cắt nhau ở E. Tính số đo 퐸̂.
2. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC). Các tia phân giác của các góc HAC và AHC cắt nhau tại I. Tia phân giác của góc HAB cắt BC tại D. Chứng minh rằng CI đi qua trung điểm của AD. Bài 12: Cho tam giác ABC có ̂ = 100°, ̂ = 50°. Tia phân giác trong tại đỉnh B cắt tia phân giác ngoài tại đỉnh C tại O. Tính số đo các góc 푂 ̂, 푂 ̂. Bài 13: Tam giác ABC có ̂ − ̂ = 90°. Các đường phân giác trong và ngoài tại góc A cắt BC tại D và E. Chứng minh tam giác ADE vuông cân. Bài 14: Cho tam giác ABC có ̂ = 70°, đường phân giác AD. Đường thẳng vuông góc AD tại A cắt tia phân giác của góc C tại I. a. Chứng minh rằng BI là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B cảu tam giác ABC. b. Tính 퐼 ̂ . Bài 15: Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A và trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A vuông góc với Ox cắt Oy tại C. Đường thẳng qua B vuông góc Oy cắt Ox tại D và cắt AC tại I. Đường thẳng qua D vuông góc Ox cắt Oy tại E. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc Oy cắt Ox tại F và cắt DE tại J. Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng. Bài 16: Cho tam giác ABC, ̂ = 120°, các đường phân giác AD, BE, CF. Tính chu vi tam giác DEF biết DE = 21 và DF = 20. Bài 17: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. a. Chứng minh rằng AB > BD. b. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = BD. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC ở F. Chứng minh rằng CD = CF. Bài 18: Cho tam giác ABC có ̂ = 120°, đường phân giác AD. Gọi K là giao điểm của đường thẳng CA và đường phân giác của góc ngoài đỉnh B. Gọi E là giao điểm của AB và DK. Chứng minh rằng: a. DK là tia phân giác của góc ADB. b. CE là tia phân giác của góc C. Bài 19: Cho tam giác ABC và hai tia phân giác BE, CF. Biết EF là tia phân giác của 퐸 ̂. Tính số đo góc ABC. Bài 20: Cho tam giác ABC có ̂ = 2. ̂ và phân giác BE. Hỏi muốn EA = EB = EC thì tam giác ABC phải cần có điều kiện gì? Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB). Trên đoạn AH lấy điểm E và trên cạnh AC lấy điểm F sao cho 퐸퐹̂ = 2. 퐸푀퐻̂ . Chứng minh rằng: FM là tia phân giác của góc EFC. Bài 22: Cho tam giác ABC có ̂ = 120°, đường phân giác AD. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tính 퐸퐷̂.
3. Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. I là điểm cạnh đều ba cạnh của tam giác ABC một khoảng r. Biết AB = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng: 1 = ( + − ). 2 1 Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho 퐷̂ = ̂. Lấy 3 1 điểm E trên cạnh AC sao cho 퐸̂ = ̂. BE và CD cắt nhau tại O. Gọi K là giao điểm các 3 đường phân giác của tam giác OBC. Tam giác DEK là tam giác gì? Chứng minh. LUYỆN TẬP Bài 25: Cho góc vuông xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A và trên cạnh Oy lấy điểm B. Vẽ tam giác vuông cân ABC sao cho AB là cạnh huyền, C và O thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB. Chứng minh rằng khi A và B di động trên hai tia Ox, Oy thì điểm C luôn luôn nằm trên một tia cố định. Bài 26: Cho góc xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A và trên cạnh Oy lấy điểm B. Vẽ các tia phân giác của các góc BAx và ABy cắt nhau tại M. Từ M vẽ một đường thẳng vuông góc với OM cắt Ox và Oy lần lượt tại C và D. Chứng minh ∆ OCD cân. Bài 27: Cho tam giác ABC có ̂ = 120°, phân giác BD và CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh: a. ADF̂ = BDF̂. b. Ba điểm D, E, F thẳng hàng. Bài 28: Cho ∆ABC, các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với OA, cắt các tia BO và CO lần lượt tại M và N. Chứng minh BM ⊥ BN và CM ⊥ CN. Bài 29: Cho tam giác ABC, ̂ = 45°, đường cao AH và phân giác BD. Biết 퐷̂ = 45°. Chứng minh HD // AB. Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O. Vẽ OE ⊥ AB và OF ⊥ AC. a. Chứng minh: AB + AC – BC = 2.AE b. Tính khoảng cách từ O đến các cạnh của tam giác ABC. c. Tính OA, OB, OC. Bài 31: Cho 푂 ̂ = 90° và tam giác ABC vuông cân có ̂ = 90°, B ∈ Ox, C ∈ Oy, A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh AO là tia phân giác của 푂 ̂ .
4. Bài 32: Cho tam giác ABC, kẻ AH ⊥ BC và 퐻̂ = 2. ̂ . Tia phân giác của góc B cắt AC ở E. a. Tia phân giác của góc BAH cắt BE ở I. Chứng minh tam giác AIE vuông cân. b. Chứng minh HE là tia phân giác của 퐻 ̂. Bài 33: Cho tam giác ABC có ̂ = 75°, ̂ = 45°. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 퐷̂ = 45°. Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của 퐷 ̂ tại E. Tính 퐸̂. Bài 34*: Cho tam giác ABC có ̂ = 120°, các đường phân giác AD, BE và CF. a. Chứng minh DE là tia phân giác góc ngoài của tam giác ADB. b. Tính số đo 퐸퐷퐹̂. Bài 35*: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Kẻ MH ⊥ AB. Gọi E là một điểm thuộc đoạn thẳng AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho 퐸퐹̂ = 2. 퐸푀퐻̂ . Chứng minh rằng FM là tia phân giác của góc EFC. Bài 36*: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh rằng ̂ = ̂ hoặc ̂ + ̂ = 120°. Bài 37*: Cho tam giác ABC có ̂ ≠ 90°, B và C là các góc nhọn, kẻ AH ⊥ BC. Lấy các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của HD, AC là đường trung trực của HE. Gọi I và K thứ tự là giao điểm của DE với AB và AC. Tính số đo các góc AIĈ , AKB̂.