›
›
›

Đề cương ôn tập học kỳ I môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Mạc Đĩnh Chi

pdf 32 trang thaodu 7840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập học kỳ I môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Mạc Đĩnh Chi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_hoc_ky_i_mon_toan_lop_8_nam_hoc_2017_2018_tr.pdf

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kỳ I môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Mạc Đĩnh Chi

  1. TRƯỜNG THCS MẠC ĐĨNH CHI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I TỔ TỰ NHIÊN MÔN TOÁN 8 – Năm học 2017 – 2018 Bài 1: Rút gọn biểu thức a. x 3 x 5 x 2 x 2 11 2 2 3 3 b. xyx 4xy16y 44y x 1 4 16 22 c.x2 x3 2x1x1 2 2 d. x2 x1x x1xx2x2 Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến 223 22 a. x 1 2 x 3 x 1 x 3 b. x1 x2x 2x4 3x 3x Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 2 22 32 a. 7x 7xy 4x 4y d. 2x 2y x y g. x 4x 12x 27 22 22 2 b. x 6x y 9 e. x 2x 4y 4y h. x x 6 3 2 2 3 2 2 2 c. x x 4x 8x 4 f. x 10x 25x xy i. 2x 4x 30 Bài 4: Tìm x, y biết 3 3 a. x 64x 0 d. 6x x 5 x 5 g. x 7x 6 0 32 32 22 b. x 4x 4x e. x 6x 12x 8 0 h. x y 6x 6y 18 0 2 22 c. x 16 x 4 0 f. 2x 1 3 x Bài 5: 5 2 4 3 3 2 3 2 32 a. Làm tính chia: 15x y 25x y 30x y :5x y ; x 2x 5x 10 : x 2 32 b. Tìm số a để đa thức x 3x 5x a chia hết cho đa thức x 3. c. Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chi cho x3 thì dư 2, f(x) chia cho x4 thì dư 9, 2 2 f(x) chia cho x x 12 thì được thương là x3 và còn dư. Bài 6*:
  2. 2 2 3 3 a. Cho x y 6 và x.y 4. Tính giá trị của các biểu thức C x y ,D x y , 33 E x y . 22 b. Chứng minh: A x x 6 10 luôn dương với mọi x; B x 2x 9y 6y 3 luôn dương với mọi x, y. c. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức 2 4 2 2 A x 4x 1 B 4x 4x 11 C 5 8x x D 5x x 1 2x2 4x 10 E x 1 x 3 x 2 x 6 F G x2 5x 14 x2 2x 3 22 d. Tìm cặp số nguyên (x; y) biết x x 8 y 2 2 e. Tìm số tự nhiên n để n 4n 97 là số chính phương, tìm số tự nhiên n để n 7n 97 là số chính phương 3 f. Chứng minh rằng n 5n 6. x 2 5 Bài 7: Cho biểu thức A x 3 x 2 x 3 a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A c. Tìm x đề A 5,A 0. b. Tính giá trị của A tại x2 d. Tìm x đề A x 1 x 1 4 Bài 8: Cho biểu thức B x 1 x 1 1 x2 a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A c. Tìm x để B3 2 b. Tính giá trị của B khi x x 0 d. Với giá trị nào của x thì B 0. 5x 1 1 2x 2 Bài 9: Cho biểu thức C x32 1 x x 1 1 x a. Rút gọn C c. Tìm x để C > 0. b. Tính giá trị của C khi x4 d. Tìm đề C 1 2x 1 2 Bài 10: Cho biểu thức M 2 . 1 x 2 4 x 2 x x a) Rút gọn M 2 b) Tính giá trị của M tại x thỏa mãn x 5x 6 0 1 c) Tìm x để M 2 d) Tìm đề M
  3. x 2 6 5 Bài 11: Cho biểu thức A: 2 x 3 x 2 x 5x 6 a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của A biết x 1 3 c) Tìm x để biểu thức A đạt GTNN. Tìm GTNN đó. Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M và điểm I thứ tự là trung điểm của cạnh đáy BC và cạnh bên AC. Gọi K là điểm đối xứng với điểm M qua điểm I a) Chứng minh AK // BC b) Chứng minh tứ giác ABMK là hình bình hành c) Tìm thêm điều kiện của tam giác cân ABC để tứ giác AMCK là hình vuông d) Chứng minh rằng nếu AM cố định, B và C di động trên đường thẳng vuông góc với AM tại M sao cho tam giác ABC cân tịa A thì điểm I sẽ di động trên một đường thẳng cố định. Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Gọi D, E lần lượt là điểm đối xứng của P qua M và N. a) Tính AP và diện tích tam giác ABC biết AB = 6cm, AC = 8cm b) Chứng minh tứ giác AMPN là hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác APCE là hình thoi d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác APCE là hình vuông? e) Chứng minh AP, BE, CD đồng quy. Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, vẽ điểm D đối xứng với điểm B qua M. a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành b) Gọi H à trung điểm BC, K là trung điểm AD. Tứ giác AHCK là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh H, M, K thẳng hàng d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AHCK là hình vuông. Bài 15: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AN và CM cùng vuông góc với BD a) Chứng minh DN = BM b) Chứng minh tứ giác ANCM là hình bình hành c) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm N. Tứ giác DKCB là hình gì? Vì sao? d) Tia AM cắt tia KC tại điểm P. Chứng minh rằng các đường thẳng PN, AC, KM đồng quy.
  4. Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Hỏi tứ giác AMND là hình gì? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì? c) Chứng minh IK // CD d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông? Khi đó, tính diện tích của tứ giác MINK, biết AD = 4cm. 0 Bài 17: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, A 60 . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm BC, AD. a) Chứng minh AE BF. b) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao? c) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao? d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật. e) Chứng minh M, E, D thẳng hàng. Bài 18: Cho ABC vuông tại A, D là trung điểm BC. Kẻ DE AC,DF AB E AC,F AB . a) Chứng minh rằng EF = AD b) Lấy điểm G đối xứng với D qua F. Chứng minh tứ giác ADBG là hình thoi c) Gọi K là giao điểm của AG và ED. Chứng minh GC, BK, AD đồng quy d) Cho điểm D di động trên cạnh BC. Tìm vị trí của D đề EF có độ dài nhỏ nhất.
  5. Hướng dẫn giải : Bài 1: Rút gọn biểu thức a. x3x5 x2x2 x22 5x3x15(x 4) x22 2x 15 x 4 2x 11 b. 11 2 2 3 3 x y x 4xy 16y 4 4y x 1 4 16 11 x3 x 2 y 4xy 2 x 2 y 4xy 2 16y 3 16y 3 x 3 4 44 4 c. x 2 22 x 3 2 x 1 x 1 2 2 2 x 4x4x 6x92x 2 2x 15 d. x2 2 x1x 2 x1xx2x2 x2 4x 4 x 3 1 x 3 4x x32 Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a. x 1 22 2 x 3 x 1 x 3 x2 2x 12(x 2 4x 3) x 2 6x 9 2x22 8x 10 2x 8x 6 4 Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến b. x1 3 x2x 22 2x4 3x 3x Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến x3 3x 2 3x 1 (x 3 8) 3x 2 3x x33 1 x 8 9
  6. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 7x2 7 xy 4 x 4 y b) x22 69 x y c) x3 x 2 4 x 2 8 x 4 d) 22x y x22 y e) x22 2 x 4 y 4 y f) x3 10 x 2 25 x xy 2 g) x32 4 x 12 x 27 h) xx2 6 i) 2xx2 4 30 Lời giải a) 7x x y 4 x y x y 7 x 4 b) x22 69 x y 2 xy 3 2 x 33 y x y c) x2 x 1 4 x x 1 4 x 1 2 x 1 x2 4 x 4 x 1 x 2 d) 2 x y x22 y 2 x y x y x y x y 2 x y e) x22 2 x 1 4 y 4 y 1 x22 2 x 1 4 y 4 y 1 22 xy 1 2 1 x 1 2 y 1 x 1 2 y 1 x 2 y 2 x 2 y
  7. f) x3 10 x 2 25 x xy 2 x x22 10 x 25 y 22 x x 10 x 25 y x x 5 2 y2 x x 55 y x y g) x32 4 x 12 x 27 x3 3 x 2 x 2 3 x 9 x 27 x2 x 3 x x 3 9 x 3 x 39 x2 x h) xx2 6 x2 2 x 3 x 6 x x 2 3 x 2 xx 23 i) 2xx2 4 30 2x2 6 x 10 x 30 2x x 3 10 x 3 xx 3 2 10 2 xx 3 5 Bài 4: Tìm x, y biết 3 3 a. x 64x 0 d. 6x x 5 x 5 g. x 7x 6 0 32 32 22 b. x 4x 4x e. x 6x 12x 8 0 h. x y 6x 6y 18 0 2 22 c. x 16 x 4 0 f. 2x 1 3 x Bài giải: a)x3 64x 0 x x 8 x 8 0 x 0 x 0 x 8 0 x 8 x 8 0 x 8
  8. Vậy x 0;8; 8 b) x32 4x 4x x32 4x 4x 0 x x2 4x 4 0 x x 2 2 0 x 0 x 0 x 2 0 x 2 Vậy x 0;2 c)x2 16 x 4 0 x 4 x 4 x 4 0 x 4 x 4 1 0 x 4 x 3 0 x 4 0 x 4 x 3 0 x 3 Vậy x 4; 3 d)6x x 5 x 5 x 5 6x 1 0 x5 x 5 0 1 6x 1 0 x 6 1 Vậy x 5; 6
  9. e)x32 6x 12x 8 0 x3 3.x 2 .2 3.x.2 2 2 3 0 3 x 2 0 x 2 0 x2 Vậy x 2 f ) 2x 1 22 3 x 2x 1 22 3 x 0 2x13x2x13x 0 3x 4 x 2 0 3x 4 0 x 2 0 3 x 4 x2 3 Vậy x ;2 4
  10. g)x3 7x 6 0 x3 x 6x 6 0 x x2 1 6 x 1 0 x x 1 x 1 6 x 1 0 x 1 x x 1 6 0 x 1 x2 x 6 0 x 1 x2 3x 2x 6 0 x 1 x 2 x 3 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 x 3 0 x 3 Vậy x  1; 2;3 h)x22 y 6x 6y 18 0 x22 6x 6 y 6y 9 0 x 3 22 y 3 0 2 x 3 0 x 3 0 x 3 2 y 3 0 y 3 y 3 0 x 3 Vậy y 3
  11. a) ( ) 15x5 y 2 25 x 4 y 3 30 x 3 y 2 : 5 x 3 y 2 15x5 y 2 25 x 4 y 3 30 x 3 y 2 5xy32 0 3x2 5 xy 6 ( ) x32 2 x 5 x 10 : x 2 x32 2 x 5 x 10 x 2 xx32 2 x2 5 _ 5x 10 5x 10 0 b)( x32 3 x 5 x a ) ( x 3) _x32 3 x 5 x a x 3 xx32 3 x2 5 _5xa 5x 15 a 15 §Ó (x32 3 x 5 x a ) ( x 3)th× sè d­: a 15 0 a 15 c)V× +f(x)chia (x - 3) d­ 2 f(x)=(x - 3).A(x)+ 2 ®óng víi  x R (1) +f(x)chia (x + 4) d­ 9 f(x)=(x + 4).B(x)+ 9 ®óng víi  x R (2) +f(x)chia (x22 + x - 12)®­îc th­¬ng (x + 3)v¯ cßn d­ (sè chia cã bËc 2, sè d­ cã bËc kh«ng qu¸ 1) f(x)=(x22 + x - 12)(x + 3) + ax + b ®óng víi  x R =(x - 3)(x + 4)(x2 + 3) + ax + b ®óng víi  x R (3) Tõ (1) f(3) = 2; (2) f(-4) = 9; (3) f (3) 3 a b ; f ( 4) 4 a b 3a b 2 a 1 4a b 9 b 5 fx( ) (x - 3)(x + 4)(x2 + 3) + (-1).x + 5 =(x22 + x - 12)(x + 3) - x + 5 =x4 3 x 2 x 3 3 x 12 x 2 36 x 5 =xx43 9xx2 2 31
  12. Bài 6*: 2 2 3 3 a. Cho x y 6 và x.y 4. Tính giá trị của các biểu thức C x y ,D x y , 33 E x y . 22 b. Chứng minh: A x x 6 10 luôn dương với mọi x; B x 2x 9y 6y 3 luôn dương với mọi x, y. c. Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức 2 2 2 2 A x 4x 1 B 4x 4x 11 C 5 8x x D 5x x 1 2x2 4x 10 E x 1 x 3 x 2 x 6 F G x2 5x 14 x2 2x 3 22 d. Tìm cặp số nguyên (x; y) biết x x 8 y 2 2 e. Tìm số tự nhiên n để n 4n 97 là số chính phương, tìm số tự nhiên n để n 7n 97 là số chính phương 3 f. Chứng minh rằng n 5n 6. Giải a. Ta có: 2 Cx 2 y 2 xy 2xy6 2 2.4 36844 3 D x3 y 3 x y 3xy x y 6 3 3. 4 .6 288 Ta có: 2 2 2 x y 52 xy 36 xy 4xy36 xy 52 x y 52 3 E x33 y x y 3xy x y Với x y 52 thì E 40 52 Với x y 52 thì E 40 52 . 2 b. Axx6 10x22 6x10x 6x91 x3 1 2 2 Vì x 3 0 với mọi x nên x 3 1 0với mọi x. Vậy A0 với mọi x. 22 Bx 2 2x9y 2 6y3 x 2 2x1 9y 2 6y1 1 x1 3y1 1 22 22 Vì x 1 0; 3y 1 0 với mọi x; y nên B x 1 3y 1 1 0 với mọi x,y . 2 c) Ax 22 4x1x 4x43 x2 3 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x2
  13. Vậy GTNN của Ax 32 2 B 4x22 4x 11 4x 4x 1 10 2x 1 10 10 1 x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 1 Bx 10 Vậy GTNN của 2 2 C 5 8x x22 x 8x 16 21 x 4 21 21 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x4 Vậy GTLN của Cx 21 4 2 22 25 25 5 25 25 D 5x x x 5x x 4 4 2 4 4 5 x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 25 5 Dx Vậy GTLN của 42 2 E x1x3x2x6 x2 5x6x 2 5x6 x 2 5x 36 36 2 x0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 5x 0 x x 5 0 x5 Vậy GTNN của Ex 36  0; 5 1 1 1 4 F 2 25 31 2 x 5x 14x2 5x 5 31 31 x 44 24 5 x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 45 Fx Vậy GTLN của 31 2 2 2x2 4x 102 x 2x 3 4 4 4 G 2 2 2 2 2 2 4 x2x3 x2x3 x2x3 x 1 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 . Vậy GTLN của Gx 41
  14. d) x2 x8y 2 4x 2 4x324y 2 2x1 22 2y 31 2x 2y 1 2x 2y 1 31 Bảng giá trị: 2x 2y 1 1 31 2x 2y 1 31 1 Do đó ta tìm được cặp giá trị x;y nguyên là 7; 8 ; 8; 8 . 2 e) Đặt n2 4n97k 2 k 2 n2 93 kn2kn2 3.31 Bảng giá trị k n 2 3 k n 2 93 Từ bảng giá trị ta tìm được n 44 hoặc n 12. 2 Đặt n2 7n 97 a 2 4n 2 28n 388 a 2 a 2 2n 7 339 a 2n 7 a 2n 7 3.113 Bảng giá trị a 2n 7 a 2n 7 339 113 Từ bảng giá trị ta tìm được n 81 hoặc n 24 . f) Ta có: n32 5n n n 5 + Nếu n2 thì n n2 5 2 +Nếu n chia 2 dư thì n2 5 2 suy ra Do đó n3 5n 2 +Nếu n3 thì n n2 5 3 +Nếu chia dư 1 thì n2 5 3 suy ra n n2 5 3 Do đó n3 5n 3.Vậy n3 5n 6 .
  15. x 2 5 Bài 7: Cho biểu thức A x 3 x 2 x 3 a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A c. Tìm x đề A 5,A 0. b. Tính giá trị của A tại x2 d. Tìm x đề A Giải: xx 2 0 2 a. Điều kiện xác định: xx 3 0 3 x 2 5 A x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 5 A x 2 x 3 x 2 x 3 x2 4 5 A x 2 x 3 x92 A x 2 x 3 x 3 x 3 A x 2 x 3 x3 A x2 b. Với x2 (TMĐK) thay vào biểu thức A ta được: 2 3 5 5 A 2 2 4 4 5 Vậy tại thì A 4 x 3 7 c. A 5 5 x 3 5 x 2 x 3 5x 10 4x 7 x (TMĐK) x 2 4 x3 A 0 0 x 3 0 x 3(TMĐK) x2 x 3 1 d. A1 x 2 x 2 Để A mà x thì x2 Ư(1) x 2  1;1 x  1;3 (TMĐK) Vậy để thì x  1;3
  16. x 1 x 1 4 Bài 8: Cho biểu thức B x 1 x 1 1 x2 a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn A c. Tìm x để B3 2 b. Tính giá trị của B khi x x 0 d. Với giá trị nào của x thì B 0. HDG: a) Điều kiện: x 1 x 1 x 1 4 B x 1 x 1 1 x2 x 1 22 x 1 4 B x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 4 B x 1 x 1 4x 4 B x 1 x 1 4 x 1 4 B x 1 x 1 x 1 b) x2 x 0 x x 1 0 x 0 TM x 1 L Thay x 0 vào biểu thức B ta được 4 B 4 01 Vậy thì B 4 41 c) B 3 3 4 3x 3 3x 1 x TM x 1 3 4 d) B 0 0 x 1 0 x 1 x1
  17. x 1 Vậy thì B 0. x 1 5x 1 1 2x 2 Bài 9: Cho biểu thức C x32 1 x x 1 1 x c. Rút gọn C c. Tìm x để C > 0. d. Tính giá trị của C khi x4 d. Tìm x đề C ĐKXĐ: x1 2 5x 1 1 2x 2 5x1 12xx1 2x x1x1 a. C x32 1 x x 1 1 x x2 x 1 x 1 2 4 x x 1 4 x2 x 1 x 1 x1 4 Vậy thìC x1 b. Ta có x 4 x 4( thỏa mãn ĐKXĐ) 44 Thay x4 vào ta được C 4 1 3 45 Thay x4 vào ta được C 4 1 4 4 c. Để C 0 x 1 0 4 0 x 1 x1 Kết hợp với điều kiện thì x1 thỏa mãn ycđb. 4 d. Để C nhận giá trị nguyên thì Z x 1 U(4)  1;2;4  x1 Ta có bảng : x1 -1 1 -2 2 -4 4 x 0 (TM) 2 (TM) -1 (L) 3 (TM) -3 (TM) 5 ( TM ) Vậy x  0;2; 3;5 thỏa mãn ycđb
  18. 1 2x 1 2 Bài 10: Cho biểu thức M 2 . 1 x 2 4 x 2 x x a)Rút gọn M 2 b)Tính giá trị của M tại x thỏa mãn x 5x 6 0 1 c)Tìm x để M 2 d)Tìm x đề M Đkxd :x ≠ 2,-2 1 2x 1 2 aM. 2 . 1 x 2 4 x 2 x x 1 2xx 1 2 2 . 2 x 4 x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 . 4 xx 42xx . 2 x . 2 x x 4 2 x 4 Vậy với x ≠ 2;-2 thì M= 2 x b. x2 5 x 6 0 x2 2 x 3 x 6 0 x. x 2 3. x 2 0 xx 2 . 3 0 x 3 x 2( ktm ) 44 M 3 2 3 5
  19. 1 4 1 cM. 2 2 x 2 28 x x 10( tm ) Vậy x=-10 là giá trị cần tìm 4 dM. 2 x 4 Mx 2 Ư  1; 2; 4 2 x 4 x+2 -4 -2 -1 1 2 4 X -6 -4 -3 -1 0 2 (t/m) (kt/m) (t/m) (t/m) (kt/m) (t/m) Vậy x ∈ {-4;-1;1;4} x 2 6 5 Bài 11. A : 2 x 3 x 2 x 5 x 6 a) Đkxđ: xx 3; 2 x 2 6 5 A : 2 x 3 x 2 x 5 x 6 x 2 x 2 6 x 3 5 A : x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 xx2 4 6 18 xx 32 A . xx 3 2 5 xx2 6 22 A 5 x 1 3 x 2 ( L ) b) Ta có x 13 xx 1 3 4 2 4 6. 4 22 16 24 22 30 x 4 A 6 Với thay vào A, ta được: 5 5 5 xx2 6 22 A c) 5 2 Ta có: x22 6 x 22 x 2. x .3 9 9 22 x 3 31
  20. 2 22 x 3 31 31 31 Vì x 3 0 x 3 31 31 A 5 5 5 2 Dấu “=” xảy ra x 3 0 x 3 0 x 3 (tm) 31 Vậy Axmin 3 5
  21. Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M và điểm I thứ tự là trung điểm của cạnh đáy BC và cạnh bên AC. Gọi K là điểm đối xứng với điểm qua điểm I. a) Chứng minh AK// BC b) Chứng minh tứ giác ABMK là hình bình hành. c) Tìm thêm điều kiện của tam giác cân để tứ giác AMCK là hình vuông. d) Chứng minh rằng nếu AM cố định, B và C di động trên đường thẳng vuông góc với tại sao cho tam giác cân tại A thì điểm sẽ di động trên một đường thẳng cố định. Lời giải: a) Do là trung điểm của AC (gt) A K là trung điểm của MK (vì đối xứng với qua ) I H AMCK là hình bình hành (DHNB) AK// MC (hai cạnh đối) B M C Hay b) Do là hình bình hành (cm ý a) AK MC (hai cạnh đối) Mà MC MB ( M là trung điểm của BC) AKBM Tứ giác có AK/ / MB AK / / BC , M BC và AK MB (cmt) ABMK là hình bình hành (DHNB) c) Do ABC cân tại A, là trung điểm của AM BC tại (tính chất tam giác cân) AMC 900 Hình bình hành có AMC 900 AMCK là hình chữ nhật (DHNB) Do đó là hình vuông CA là phân giác của MCK 900 BCA 450 ABC vuông cân tại AM d) Gọi H là trung điểm AM MH 1 (không đổi do cố định) 2
  22. AMC có: I là trung điểm của AC, H là trung điểm của AM IH là đường trung bình IH// MC (tính chất đường trung bình) Hay IH// BC 2 Từ 1 và đường thẳng IH cố định (quỹ tích đường thẳng song song cách đều) Vậy khi cố định, B và C di động trên đường thẳng vuông góc với tại M sao cho tam giác ABC cân tại A thì điểm luôn thuộc đường thẳng cố định song song với BC và cách AM một khoảng không đổi . 2 Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi MNP,, lần lượt là trung điểm của AB , AC, BC . Gọi DE, lần lượt là điểm đối xứng của P qua M và N . a) Tính AP và diện tích tam giác biết AB 6 cm , AC 8 cm b) Chứng minh tứ giác AMPN là hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác APCE là hình thoi d) Tam giác cần có thêm điều kiện gì để tứ giác là hình vuông? e) Chứng minh AP,, BE CD đồng quy. Lời giải C N P E B A M D a) Ta có: BC2 AB 2 AC 2 (định lý Pytago trong tam giác vuông ). 2 2 2 BC 6 8 100 BC 10 (cm) 11 Nên AP BC .10 5(cm) (đường trung tuyến trong tam giác vuông). 22
  23. b) Xét tứ giác AMPN có ANM 90  nên là hình chữ nhật. c) Xét tam giác ABC có: NP AC NP AB (vì ) và CP PN (gt) AB AC CN NA Mà EN PN Nên APCE là hình bình hành Mặt khác AC EP Vậy là hình thoi. d) Giả sử là hình vuông khi chỉ khi AP là đường cao trong tam giác Mà AP là đường trung tuyến trong tam giác . Nên là tam giác cân tại A Mặt khác vuông tại Vậy tam giác vuông cân tại thì là hình vuông. e) Chứng minh tương tự câu c ta được APBD là hình thoi AD PB AD PC Nên suy ra suy ra ADPC là hình bình hành AD PB AD PC Gọi I là giao điểm của CD và suy ra là trung điểm của và . AE CP AE BP Ta có: (do là hình thoi) suy ra nên AEPB là hình bình hành. AE CP AE BP Mà là trung điểm nên cũng là trung điểm của EB Vậy AP,, BE CD đồng quy tại .
  24. Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, vẽ điểm D đối xứng với điểm B qua M. a)Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành b)Gọi H là trung điểm BC, K là trung điểm AD. Tứ giác AHCK là hình gì? Vì sao? c)Chứng minh H, M, K thẳng hàng d)Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AHCK là hìnhvuông. Giải: A K D a) Xét tứ giác ABCD có: MA MC (Vì M là trung điểm của cạnh AC) MB MD (Vì D đối xứng với B qua M) M Tứ giác ABCD là hình bình hành. b) Ta có: AD KA KD (Vì K là trung điểm của AD) B H C 2 BC HB HC (Vì H là trung điểm của BC) 2 Mà AD BC (Vì tứ giác ABCD là hình bình hành) KA HC Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD// BC hay AK // HC Xét tứ giác AHCK có: KA HC (cmt) (cmt) Tứ giác AHCK là hình bình hành. Vì tam giác ABC cân tai A có AH là đường trung tuyến nên AH cũng là đường cao AH BC hay AHC 90 Hình bình hành AHCK có AHCK là hình chữ nhật c) Vì tứ giác AHCK là hình chữ nhật có hai đường chéo AC và HK Mà M là trung điểm của AC M cũng là trung điểm của HK. H,M,K thẳng hàng. d) Để hình chữ nhật AHCK là hình vuông thì AH HC Ta có: mà HB HC BC AH HB HC 2 ABC vuông cân tại A. Vậy để AHCK là hình vuông thì ABC vuông cân tại A.
  25. Bài 15 : Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AN và CM cùng vuông góc với BD a) Chứng minh DN = BM b) Chứng minh tứ giác ANCM là hình bình hành c) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm N. Tứ giác DKCB là hình gì? Vì sao? d) Tia AM cắt tia KC tại điểm P. Chứng minh rằng các đường thẳng PN, AC, KM đồng quy. Hướng dẫn giải a) A B M XÐt ABD v¯ CDB cã: P AD = BC T / C h×nh ch÷ nhËt AB = CD T / C h×nh ch÷ nhËt N BD chung D C ABD = CDB C.C.C AN = CM §­êng cao t­¬ng øng K XÐt vu«ng AND v¯ vu«ng CMB cã: M = N = 900 AD = BC AN = CM CMT AND = CMB ( C¹nh huyÒn - c¹nh gãc vu«ng) DN = BM C¹nh T¦ §PCM. b) Ta cã AN  BD; CM  BD AN // CM. AN / /CM XÐt tø gi¸c ANCM cã:  Tø gi¸c ANCM l¯ h×nh b×nh h¯nh. AN CM c) Tứ giác DKCB là hình thang cân. XÐt tø gi¸c MNKC cã: MC / /NK   MNKC l¯ h×nh b×nh h¯nh MN//CK hay CK//BD. MC NK AN  DKCB l¯ h×nh thang.
  26. XÐt KND v¯ CMB cã: M = N = 900 CM = NK DN = BM KND = CMB DK = BC C¹nh t­¬ng øng DKCB l¯ h×nh thang c©n. d) XÐt tø gi¸c MNCP cã: MN//CP, MP//NC MNCP l¯ hbh NC = MP l¹i cã: NC = AM MP = AM KM l¯ ®­êng trung tuyÕn trong AKP 1 MNCP l¯ hbh MN = CP l¹i cã: MN = KC CP = KC AC l¯ ®­êng trung tuyÕn trong AKP 2 AN = KN gt PN l¯ ®­êng trung tuyÕn trong AKP 3 Tõ 1 , 2 , 3 PN, AC, KP ®ång quy
  27. Bài 16:Cho hình bình hành có AB = 2AD. Gọi M lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.Hỏi tứ giác AMND là hình gì ? b) Gọi I là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Tứ giác MINK là hình gì ? c) Chứng minh IK // CD. d) Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MINK là hình vuông ? Khi đó tính diện tích của tứ giác MINK biết AD = 4cm. a) Ta có ABCD là hình bình hành A M B AB // CD AM // NC và AB = CD AB I K Có AM MB ( vì M là trung điểm 2 của AB) D N C CD ND = NC = (vì N là trung điểm của 2 CD) AM = MB = NC = ND Xét tứ giác AMCN có: c) CM được tứ giác MBCN là hình thoi AM = NC tứ giác AMCN là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh vừa song mà K là giao điểm của hai đường chéo MC AM // NC song vừa bằng nhau ) và BN K là trung điểm của MC và BN. Xét MDC có: *) CMTT có tứ giác AMND là hình bình I là trung điểm MD hành (1) K là trung điểm MC Lại có 2AD = AB mà 2AM = AB Nên IK là đường trung bình của MDC AM = AD (2) IK // CD ( đpcm). Từ (1) và (2) ta có AMND là hình thoi. ( đpcm) Và IK = CD/2 =AD ( do CD = AB) AN  DM tại I và I là trung điểm của AN và MD( tính chất hai đường chéo của hình thoi) b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành d) Tứ giác MINK là hình vuông
  28. AN // MC MK // NI (vì K MC ; I MN  IK mà IK // CD MN  CD (3) AN) Vì AMND là hình bình hành CMTT có tứ giác MBND là hình bình hành MN // AD (4) MI // KN Từ (3); (4) ta có AD  CD tại D 0 Vì AN  DM tại I MIN=90 ADC=900 Xét tứ giác MINK có: Hình bình hành ABCD có MK // NI ABCD là hình chữ nhật. tứ giác MINK là hình chữ nhật MI // KN MN.IK ( hình bình hành có một góc vuông) *) MNIK là hình vuông S=MINK 2 Mà MN = IK = AD = 4cm MN.IK 4.4 2 SMINK = 8 (cm ) 22
  29. 0 Bài 17: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, A 60 . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm BC, AD. f) Chứng minh AE BF. g) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao? h) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao? i) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật. j) Chứng minh M, E, D thẳng hàng. M E B C A F D a) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao? - Ta có: ABCD là hình bình hành (gt)  AB // CD; BC // AD và AB // CD; BC // AD. BC AD - Ta có : E; F lần lượt là trung điểm của BC, AD (gt) EB EC ;AF FD 22 Mà BC= AD (cmt) và BC= 2AB (gt).  AB = BE = EC = CD = FD = AF. Xét tứ giác ECDF có: EC // FD; EC = FD (cmt)
  30.  ECDF là hình bình hành Mà EC = CD (cmt)  ECDF là hình thoi (dhnb) b) Xét tứ giác ABED có BE // AD (gt)  tứ giác ABED là hình thang. c) Ta có: A đối xứng B qua M AB BM Mà AB = CD (cmt)  BM = CD Mà BM // CD ( AB // CD)  BMCD là hình bình hành (1 ) Xét tứ giác BEDF có BE // FD và BE = FD (cmt)  BEDF là hình hành=> BF = ED AD Xét tam giác ABD có BF là đường trung tuyến và BF AF 2  Tam giác ABD vuông tại B  ̂ = 900  ̂ = 900 (2) Từ (1) và (2) => BMCD là hình chữ nhật d) Ta có: BMCD là hình chữ nhật Mà E là trung điểm của BC (gt)  E là trung điểm MD  M; E; D thẳng hàng.
  31. Bài 18: Cho ABC vuông tại A, D là trung điểm BC. Kẻ DE AC,DF AB E AC,F AB . a)Chứng minh rằng EF = AD b)Lấy điểm G đối xứng với D qua F. Chứng minh tứ giác ADBG là hình thoi c)Gọi K là giao điểm của AG và ED. Chứng minh GC, BK, AD đồng quy d)Cho điểm D di động trên cạnh BC. Tìm vị trí của D đề EF có độ dài nhỏ nhất. Bài làm a) Xét tứ giác AEDF có: Góc EAF là góc vuông vì vuông tại A. Góc AED là góc vuông do DE AC Góc AFD là góc vuông do DF AB Suy ra tứ giác AEDF là hình chữ nhật EF = AD. Xét có CD = BD mà DF AC vì cùng  AB suy ra DF là đường trung bình của suy ra AF = BF Xét tứ giác ADBG có: DG AB(doDF AB) AF BF(gt) suy ra tứ giác ADBG là hình thoi DF GF(gt)
  32. c)Xét tứ giác AKEF có: AK EF(vì EF BC mà AG BD) AF KE (cùng  AC ) Suy ra AKEF là hình bình hành Suy ra AK = EF 1 Mà EF BC CD (do EF là đường trung bình của ABC ) 2 Suy ra AK = CD Lại có AG = BD Suy ra BC = KG Mà BC KG Suy ra tứ giác BCKG là hình bình hành. Gọi I BK  CG IC IG;IB IK Bây giờ cần chứng minh: A, I, D thẳng hàng. Xét BCGcó CD BD;IC IG Suy ra ID là đường trung bình của ID BG Xét BKGcó AK AG;IK IB Suy ra IA là đường trung bình của IA BG Suy ra A, I, D thẳng hàng. Suy ra GC, BK, AD đồng quy. d)Tiên đoán D ở vị trí sao cho AD BC.