Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 7 - Nguyễn Chiến

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 7 - Nguyễn Chiến

1. BUỔI 1 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG I. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp cạnh – góc - cạnh). 2. Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn). 3. Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp cạnh huyền – góc nhọn). 4. Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông). II. BÀI TẬP Bài 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Qua O vẽ đường thẳng xy không vuông góc với AB. Vẽ AH vuông góc với xy tại H và BK vuông góc với xy tại K. Chứng minh: AOH BOK . Bài 2: Cho đoạn thẳng MN có trung điểm I, qua I vẽ đường thẳng d bất kì. Vẽ ME và NF vuông góc với d tại E và F. a) Chứng minh ME = NF b) Chứng minh MF = NE Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AC. Kẻ DE vuông góc với AH tại E. Chứng minh A là trung điểm của EH. Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AC. Kẻ DE và CF cùng vuông góc với AB tại E và F. 1
2. a) Chứng minh A là trung điểm của EF b) Chứng minh DF// CE. Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB và qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC. Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng a) ABI ACI b) Đường thẳng AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A. Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng d bất kỳ luôn đi qua A. Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh rằng BH 2 CK 2có giá trị không đổi. Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A 1050 ; góc B 600 . Phân giác của góc B cắt AC tại D. kẻ AO vuông góc với BD, AO cắt BC tại E. a) Chứng minh: AOB EOB b) Tính DAE c) Chứng minh: Tam giác ADE vuông cân tại D Bài 10*: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB tương ứng lấy hai điểm D và E sao cho BD=CE. Gọi M là trung điểm của BC.Từ B và C kẻ BH  AD, CK  AE H AD, K AE . Chứng minh rằng ba đường thẳng BH, CK và AM đồng quy. Hướng dẫn: Ba đường thẳng đồng quy là ba đường thẳng cùng đi qua một điểm. Ta gọi I là giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, cố gắng chứng minh đường thẳng thứ 3 đi qua điểm I. Bài 11: Cho tam giác ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho 2
3. 1 DB EC DE 2 a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó. b) KẻBM  AD,CN  AE . Chứng minh rằng BM=CN. c) Gọi I là giao điểm của MB và NC. Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó. d) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC. Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BH  AC . Gọi D là một điểm thuộc cạnh đáy BC. Kẻ DE  AC, DF  AB . Chứng minh rằng DE+DF=BH. Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE. Gọi I là giao điểm của BE và CD. a) Chứng minh rằng IB=IC, ID=IE b) Chứng minh rằng BC song song với DE. c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, M, I thẳng hàng. Bài 14: Cho tam giác ABC (AB<AC). Trên cạnh AC, lấy điểm D sao cho AB=AD. Gọi M là trung điểm của cạnh BD. a) Chứng minh ABM ADM b) Tia AM cắt cạnh BC tại K. Chứng minh ABK ADK . c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=DC. Chứng minh EBK CDK từ đó suy ra ba điểm E, K, D thẳng hàng. Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Vẽ DE vuông góc với BC tại E a) Cho biết AB=6cm, BC=10cm. Tính độ dài cạnh AC. b) Chứng minh rằng ABD EBD và tam giác ABE cân. 3
4. BUỔI 2+3 : ÔN TẬP CHƯƠNG II HÌNH HỌC I. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Phát biểu định lý tổng 3 góc của một tam giác. Nêu định nghĩa, tính chất góc ngoài của tam giác. 2) Phát biểu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, hai tam giác vuông. 3) Phát biểu định nghĩa, tính chất và nêu các dấu hiệu nhận biết một tam giác là cân. 4) Phát biểu định nghĩa, tính chất và nêu các dấu hiệu nhận biết một tam giác là đều. 5) Nêu các dấu hiệu nhận biết một tam giác là vuông cân. 6) Phát biểu định lý Py – ta – go (thuận và đảo) II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong một tam giác vuông, kết luận nào sau đây là đúng ? A. Tổng hai góc nhọn bằng 1800 B. Hai góc nhọn bằng nhau C. Hai góc nhọn phô nhau D. Hai góc nhọn kề nhau . Câu 2: Chọn câu trả lời đúng. Cho tam giác ABC có A 5000 ;B 60 th× C? A. 700 B. 1100 C. 900 D. 500 Câu 3. Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau: A. 1cm ; 2cm ; 3cm B. 2cm ; 3cm ; 4cm C. 3cm ; 4cm ; 5cm D. 4cm ; 5cm ; 6cm Câu 4. Góc ngoài của tam giác lín h¬n: A. Mçi gãc trong kh«ng kÒ víi nã B. Góc trong kề với nó. C. Tæng cña hai góc trong kh«ng kề với nó D. Tổng ba góc trong của tam giác. Câu 5: Chọn câu sai. A. Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân. B. Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều. C. Tam giác cân là tam giác đều. D. Tam giác đều là tam giác cân. Câu 6: Tam giác ABC vuông tại B suy ra: A. AB2 = BC2 + AC2 B. BC2 = AB2 + AC2 C. AC2 = AB2 + BC2 D. Cả a,b,c đều đúng Câu 7: Hãy điền dấu X vào ô trống mà em đã chọn : Câu Nội dung Đúng Sai 1 Tam giác vuông có một góc bằng 450 là tam giác vuông cân 2 Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều 3 Nếu ABC là một tam giác đều thì là tam giác cân 4 Nếu hai cạnh và một góc của tam giác này bằng hai cạnh và một góc của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau Câu 8: Hãy điền dấu X vào ô trống mà em đã chọn : . C©u §óng Sai a) Tam gi¸c vu«ng cã 2 gãc nhän. b) Tam gi¸c c©n cã mét gãc b»ng 600 lµ tam gi¸c ®Òu. c) Trong mét tam gi¸c cã Ýt nhÊt mét gãc nhän. 4
5. d) NÕu mét tam gi¸c cã mét c¹nh b»ng 12, mét c¹nh b»ng 5 vµ mét c¹nh b»ng 13 th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng. Câu 9: 1. Cho ABC vuông tại A có AB = 8 cm; AC = 6 cm thì BC bằng : A. 25 cm B. 14 cm C. 100 cm D. 10 cm 2. Cho cân tại A, biết B 500 thì A bằng : A. 800 B. 500 C. 1000 D. Đáp án khác Câu 10 . Cho tam giaùc ABC ta coù : A. A B C 900 B. A B C 1800 C. A B C 450 D. A B C 00 Câu 11: ABC = DEF Trường hợp cạnh – góc – cạnh nếu A. AB = DE; BF ; BC = EF B. AB = EF; ; BC = DF C. AB = DE; BE ; BC = EF D. AB = DF; BE ; BC = EF Câu 12. Góc ngoài của tam giác bằng : A. Tổng hai góc trong không kề với nó. B. Tổng hai góc trong C. Góc kề với nó D. Tổng ba góc trong của tam giác. Câu 13: Chọn câu sai. A. Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân. B. Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều. C. Tam giác đều là tam giác cân. D. Tam giác cân là tam giác đều. Câu 14: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau: A. 3cm ; 5cm ; 7cm B. 4cm ; 6cm ; 8cm C. 5cm ; 7cm ; 8cm D. 3cm ; 4cm ; 5cm Câu 15: Cho MNP = DEF. Suy ra: A. MPN DFE B. MNP DFE C. NPM DFE D. PMN EFD Câu 16: Cho tam giaùc ABC ta coù : A. B. C. D. Câu 17: Cho ABC MNP . Tìm các cạnh bằng nhau giữa hai tam giác ? A. AB = MP; AC = MN; BC = NP. B. AB = MN; AC = MN; BC = MN. C. AB = MN; AC = MP; BC = NP. D. AC = MN; AC = MP; BC = NP. Câu 18: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài các cạnh là: A. 9cm, 15cm, 12cm. B. 5cm, 5cm, 8cm. B. 5cm, 14cm, 12cm. D. 7cm, 8cm, 9cm. III. TỰ LUẬN. Câu 1. Cho ABC , kẻ AH  BC. Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 8cm. Tính độ dài các cạnh AH, HC, AC? 5
6. Câu 2: Cho tam giác cân ABC c©n t¹i A (AB = AC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. a) Chứng minh ABE ACD. b) Chứng minh BE = CD. c) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh KBC c©n t¹i K. d) Chøng minh AK là tia phân giác của BAC Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH BC ( H BC ). Biết AB = 13 cm; AH = 12 cm và HC = 16 cm. Tính chu vi tam giác ABC. Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm Q và R sao cho BQ = CR. a) Chứng minh AQ = AR b) Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh : QAH RAH C©u 5. Cho ABC cã AB = AC = 5 cm; BC = 8 cm. KÎ AH  BC (H BC) a) Chøng minh HB = HC vµ BAH CAH b) TÝnh ®é dµi AH. c) KÎ HD AB (D AB); HE AC (E AC). Chøng minh r»ng: HDE c©n. Câu 6. Cho ABC, kẻ AH  BC. Biết AB = 5cm ; BH = 3cm ; BC = 10cm a) Biết C 300 . Tính HAC ? b) Tính độ dài các cạnh AH, HC, AC. Câu 7. Cho tam gíac ABC cân tại A. Kẽ AI BC , I BC. a) CMR: I là trung điểm của BC. b) Lấy điểm E thuộc AB và điểm F thuộc AC sao cho AE = AF. Chứng minh rằng: IEF là tam giác cân. c) Chứng minh rằng: EBI = FCI. Câu 8: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với 9; 12 và 15 Câu 9: Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ NA vuông góc với Ox (A Ox), NB vuông góc với Oy (B Oy) a. Chứng minh: NA = NB. b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao? c. Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E. Chứng minh: ND = NE. d. Chứng minh ON  DE Câu 10: Tam giác ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC ( H BC ). Tính AH biết: AB:AC = 3:4 và BC = 10 cm. Câu 11: Cho góc nhọn xOy và K là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ KA vuông góc với Ox (A Ox), KB vuông góc với Oy ( B Oy) a. Chứng minh: KA = KB. b. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao? c. Đường thẳng BK cắt Ox tại D, đường thẳng AK cắt Oy tại E. Chứng minh: KD = KE. 6
7. d. Chứng minh OK  DE Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I. a) Chứng minh BDC CEB b) So sánh góc IBE và góc ICD. c) AI cắt BC tại H. Chứng minh AI BC tại H. Câu 13. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ AH BC H BC a) Chứng minh BAH CAH b) Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC. c) Kẻ HE AB, HD AC . Chứng minh AE = AD. d) Chứng minh ED // BC. Câu 14. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I. a) Chứng minh BDC CEB b) So sánh góc IBE và góc ICD. c) AI cắt BC tại H. Chứng minh tại H. Câu 15. Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ 1) Chứng minh 2) Cho AH = 3 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài AC. 3) Kẻ . Chứng minh AE = AD. 4) Chứng minh ED // BC. Câu 16. Cho tam giác MNP cân tại N. Trên tia đối của tia MP lấy điểm I, trên tia đối của tia PM lấy điểm K sao cho MI = PK. a)Chứng minh: NMI = NPK ; b)Vẽ NH  MP, chứng minh NHM = NHP và HM = HP c)Tam giác NIK là tam giác gì? Vì sao? Câu 17. Cho ABC vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH  BC ( H BC ). Gọi K là giao điểm của AH và BE. Chứng minh rằng: a/. ABE = HBE b/. BE là đường trung trực của AH Câu 18. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ AH  BC a)Chứng minh: AHB = AHC ; b)Vẽ HM  AB, HN  AC. Chứng minh AMN cân c)Chứng minh MN // BC ; d)Chứng minh AH2 + BM2 = AN2 + BH2 Câu 19. Cho tam giác ABC , có AC < AB , M là trung điểm BC, vẽ phân giác AD. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại H, đường thẳng này cắt tia AC tại F ,cắt AB tại E. Chứng minh rằng : a) AFE cân b) Vẽ đường thẳng Bx // EF, cắt AC tại K. Chứng minh rằng : KF = BE c) Chứng minh rằng : AE = AB AC 2 7
8. BUỔI 4 QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC I. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn ABC, AC AB B C - Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. - B C AC AB II. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có AB 5cm; AC 7cm . So sánh B và C . Bài 2: Cho tam giác ABC có. AB 3cm; AC 4cm; BC 5cm. So sánh các góc của tam giác ABC Bài 3: Cho tam giác ABC có 600 ; 400 . So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 4: Cho tam giác ABC có AB 5cm; AC 12cm; BC 13cm . a) Tam giác ABC là tam giác gì? b) So sánh các góc của tam giác ABC. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có Tính AC. So sánh các góc của tam giác ABC. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 6cm; BC 10cm B 500 . So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A có A 500 . So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 8:Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC. AB 10cm; AC 24cm . So sánh các cạnh của tam giác Bài 9:Cho tam giác ABC cân tại A có B 400 . So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A có góc ngoài tại đỉnh A 1000 . So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 11:Cho tam giác ABC có 600 ; B 800 và có phân giác AD. 8
9. a) Tính góc ADB ? b) So sánh các cạnh của tam giác ABD. c) So sánh các cạnh của tam giác ADC. Bài 12:Cho tam giác ABC cân tại A có góc ngoài đỉnh A 1200 ; B 700 . Kẻ phân giác BE. a) Tính AEB ? b) So sánh các cạnh của tam giác ABE. c) So sánh các cạnh của tam giác BEC. Bài 13:Cho tam giác ABC vuông tại A có 600 . Kẻ phân giác BD. a) Tính góc ADB và góc BDC ? b) So sánh các cạnh của tam giác ABD. c) So sánh các cạnh của tam giác BDC. Bài 14:Cho tam giác ABC vuông tại A có 450 . a) Chứng minh: C 450 b) So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 15:Cho tam giác ABC vuông tại B. Kéo dài trung tuyến AM lấy MD = MA. a) So sánh CD với AB và CD với AC. b) So sánh BAM và MAC. Bài 16:Cho tam giác ABC có AB<AC<BC a) So sánh các cặp góc của tam giác ABC. b) Chứng minh: 600 Bài 17: Cho tam giác ABC cân tại A có B 600 . a) Chứng minh: A 600 b) So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 18:Cho tam giác ABC vuông tại A có 450 . 9
10. a) So sánh B và C b) So sánh các cạnh của tam giác ABC. Bài 19:Cho tam giác ABC đều. Lấy điểm I bất kỳ trên cạnh BC. a) Chứng minh: góc AIC 600 . b) Chứng minh: AC > AI . c) So sánh các cạnh của tam giác AIC. Bài 20:Cho tam giác ABC có AB BD. Bài 22:Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC, lấy các điểm D, E sao cho BD DE EC a) Chứng minh: AB AC. Phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I. Chứng minh: IC DB. 10
11. BUỔI 5: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU, BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC. I. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ a) Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - Định lí 1: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên AH a AH AC,AH AD b) Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu - Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn AH a,HD HC AD AC Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn AH a,AD AC HD HC Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. AB AC HB HC c) Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia. b c a b c II. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH  BC H BC a) Chứng minh: AC > AH b) Chứng minh: AB > AH. Bài 2:Chứng minh rằng trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC là cạnh lớn nhất. Bài 3:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ AH  BC H BC . 11
12. a) Chứng minh: AC > AH và AB > AH 1 b) Chứng minh: AH AB AC 2 Bài 4:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ BD  AC D AC , CE  AB E AB  a) Chứng minh: AB > BD b) Chứng minh:AC > CE. c) Chứng minh: AB + AC > BD + CE. Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ BD  AC D AC , CE  AB E AB  a) Chứng minh: BC > BD b) Chứng minh:BC > CE. 1 c) Chứng minh: BC BD CE 2 Bài 6 :Cho tam giác ABC, D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân đường vuông góc hạ từ A và C đến đường thẳng BD. a) Chứng minh: AE < AD. b) Chứng minh: AE + CF < AC. Bài 7:Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD. Kẻ DH  BC H BC . a) So sánh ABD và HDB . b) Chứng minh: DA < DC. Bài 8:Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH  BC H BC . Trên BC lấy K sao cho BK = BA, trên AC lấy I sao cho AI = AH. a) Chứng minh: ABK cân b) Chứng minh: BAH ACB c) Chứng minh: AC  KI d) Chứng minh: BC AB AC AH e) Chứng minh: AH BC AB AC Bài 9:Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân đường vuông góc vẽ từ A và C đến đường thẳng BM. 12
13. a) Chứng minh: ME MF b) Chứng minh:BE BF 2MB . c) Chứng minh: AB < BM. BE BF d) Chứng minh: AB 2 Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy D bất kỳ thuộc AB và E thuộc tia đối của tia CA sao cho CE BD . Kẻ DH và EK cùng vuông góc đường thẳng BC ở H và K. a) So sánh b) Chứng minh: BC HK . c) Chứng minh: BC < DE Bài 11:Cho tam giác vuông ABC tại A và B C . Kẻ đường cao AH. Trên BH lấy D sao cho HD HB . Kẻ DI  AC và CK  AD . a) Chứng minh: D thuộc đoạn thẳng HC. b) Chứng minh: DI DK . Bài 23:Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD < AC. a) Tìm hình chiếu của BC và BD lên đường thẳng AC. b) So sánh BC và BD. Bài 25:Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, M nằm giữa H và B. a) Chứng minh: AH  BC . b) Chứng minh: AH < AC. c) Chứng minh: AM < AB. d) Chứng minh: AH < AM < AC. Bài 26:Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy D AB và E AC D A và B; E A và C  a) Tìm hình chiếu của DE và DC lên AC; của CD và CB lên AB. b) So sánh: DE và DC; DE và BC. Bài 27:Cho tam giác ABC có điểm D trong tam giác và AD AB . Tia BD cắt AC ở I. 13
14. H là trung diểm của BD. a) Chứng minh: AH  BD . b) So sánh AD với AI. c) Chứng minh: AB < AC. Bài 28:Cho tam giác ABC nhọn, góc B lớn hơn góc C. AH là đường cao, M là điểm nằm trên HB, N là điểm nằm trên tia đối của tia BC. Chứng minh: a) HB < HC b) AM < AB < AN. Bài 29:Cho tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC. a) Tính số đo góc AHB. b) Lấy điểm M trên đoạn HB và N trên đoạn HC sao cho HM < HN. So sánh các đoạn AB, AM và AN. Bài 30:Cho tam giác ABC nhọn, góc B nhỏ hơn góc C, H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng BC. a) So sánh HB và HC. b) Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và điểm N nằm trên đoạn HC. So sánh AN và AM. Bài 31:Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD. Lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE AC . a) Tam giác BCE là tam giác gì? b) So sánh BE và BD. c) So sánh DA và DC. 14
15. BUỔI 6+ 7 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC VÀ KIỂM TRA A. LÝ THUYẾT 1. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó. - Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác 2 cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài 3 đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. G là trọng tâm của ABC: 2 2 2 AG AD; BG BE; CG CF. 3 3 3 2. Tính chất tia phân giác của một góc - Định lí 1: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó M Oz   MA MB MA Ox;MB Oy - Đinh lí 2: Điềm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. - Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. 3. Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. AB AC   BD DC AA12  - Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó AA,BB,CC.1 2 1 2 12 ID IE IF 15
16. 4. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Định nghĩa: Đường trung trực của mọt đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó. Trên hình vẽ bên, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d. - Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. - Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. MA = MB M thuộc đường trung trực của AB. - Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. 5. Tính chất ba đường trung trực của tam giác - Định lí 1: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy này. - Định lí 2: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Trên hình bên, điểm O là giao điểm các đường trung trực của ABC. Ta có OA OB OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp 6. Tính chất ba đường cao của tam giác - Định lí 1: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. Trên hình bên, H là trực tâm của - Định lí 2: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó. - Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. B. Bài tập Bài toán 1: Cho tam giác ABC, biết A B 1200 , A B 300 . a) So sánh các cạnh của tam giác b) Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh độ dài các đoạn BD và CD. 16
17. Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân ở A có chu vi bằng 16cm, cạnh đáy BC = 4cm. So sánh các góc của tam giác ABC. Bài toán 3: Cho tam giác ABC, biết A:B:C 3:5:7. So sánh các cạnh của tam giác. Bài toán 4: Cho tam giác ABC, góc A là góc tù. Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Chứng minh rằng BA BD BE BC. Bài toán 5: Cho tam giác ABC CÓ B C. a) So sánh độ dài các cạnh AB và AC b) Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD. Chứng minh CDA CAD. Bài toán 6: Tam giác ABC có AB AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa hai điểm B và m (M là trung điểm của BC). Bài toán 7: Tam giác ABC cân tại A. Kẻ tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC. Trên tia Bx lấy điểm D nằm ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng DC DB. Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân ở A, kẻ AH BC H BC . Trên các đoạn thẳng HD và HC, lấy các điểm D và E sao cho BD CE. So sánh độ dài AD, AE bằng cách xét hai hình chiếu. Bài toán 9: Cho tam giác ABC có B và C là các góc nhọn. Gọi D là điểm bất kfi thuộc cnahj BC, gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD. a) So sánh các độ dài BH và BD. Có khi nào BH bằng BD không? b) So sánh tổng độ dài BH + CK với BC. Bài toán 10: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD DE EC. Gọi M là trung điểm của DE. a) Chứng minh rằng AM BC b) So sánh độ dài AB, AD, AE, AC. Bài toán 11: Cho tam giác ABC AB AC . Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Gọi E và F là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. So sánh tổng BE CF với BC. Bài toán 12: Có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không: a) 6cm; 8cm; 16cm b) 5,5cm; 3,1cm; 2,4cm c) 13,7cm; 8,2cm; 5,3cm d) 8m; 12m; 7m Bài toán 13: Tính chu vi của tam giác, biết hai cạnh của một tam giác cân bằng a) 18m và 8m; b) 4,5dm và 5,5dm Bài toán 14: Chu vi của một tam giác cân là 62cm, một cạnh là 25cm. Tính hai cạnh còn lại của tam giác. Bài toán 15: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng AB AC MA 2 Bài toán 16: Tam giác ABC có AB 1m, AC 3m, độ dài BC (tính bằng mét) là một số tự nhiên. Tính độ dài BC. Bài toán 17: Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Chứng 17
18. minh rằng tổng MA MB MC a) Lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC b) Nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. Bài toán 18: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm BM. Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA. a) Điểm M là trọng tâm tam giác nào? b) Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm A, M, F thẳng hàng. Bài toán 19: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. 1 Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh: 3 a) M là trung điểm của CD 1 b) AM BC. 2 Bài toán 20: Cho tam giác ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K 2 sao cho BG BM và G là trung điểm BK. Gọi N là trung điểm của KC, GN cắt CM ở 3 O. Chứng minh: a) O là trọng tâm tam giác GKC 1 b) GO BC. 3 Bài toán 21: Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Chứng minh rằng 1 AM BC. 2 Bài toán 22: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB 16cm,AC 30cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác. Bài toán 23: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), trung tuyến AM. Gọi D là một điểm nằm giữa A và M. Chứng minh: a) ABD ACD b) BDC là tam giác cân Bài toán 24: Cho tam giác ABC, A 1200 . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O, cắt các cạnh BC và AB lần lượt ở D và E. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh: a) BO BF b) BDF ADF c) Ba điểm D, E, F thẳng hàng. Bài toán 25: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt C ở N. Biết AN = MN, BN cắt AM ở O. Chứng minh: a) Tam giác ABC cân ở A b) O là trọng tâm tam giác ABC. Bài toán 26: Cho tam giác cân ABC, trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM 18
19. ở O. Chứng minh rằng điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Bài toán 27: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính các góc của tam giác ABC. Bài toán 28: Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. a) Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều b) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh rằng O cũng là giao điểm của các đường trung trực của tam giác MNP. Bài toán 29: Cho góc xOy 500 . Trên tia Ox lấy điểm A. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với Oy ở D. Trên tia đối của tia DO lấy điểm B, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với Ox ở E, BE cắt AD ở I. a) Chứng minh OI vuông góc với AB b) Tính AIC. Bài toán 30: Cho tam giác ABC cân ở A, trung tuyến AM. Biết BC 24cm,AM 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC. Bài toán 31: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và CH. Chứng minh: a) M là trực tâm của tam giác ANB b) BM vuông góc với AN. Bài toán 32: Cho tam giác ABC cân ở A. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Trên tia đối của các tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho AM CN. a) Chứng minh OAB OCA b) Chứng minh AOM CON c) Gọi I là giao điểm hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là tia phân giác của góc MON. Bài toán 33: Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác. a) Chứng minh ABD ACD b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, G, D thẳng hàng. c) Tính DG biết AB 13cm,BC 10cm. Bài toán 34: Cho tam giác ABC cân tại A có G là trọng tâm. O là giao điểm hai đường trung trực của cạnh AB và AC. Chứng minh rằng: a) Tam giác OBC cân b) Ba điểm A, O, G thẳng hàng. Bài toán 35: Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ AE BD E BD , AE cắt BC ở K. a) Tam giác ABK là tam giác gì? b) Chứng minh rằng DK BC c) Kẻ AH BC H BC . Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc HAC. d) Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh rằng IK // AC. 19
20. Bài toán 36: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng: a) DE // BC b) ABE ACD c) BID CIE (I là giao điểm của BE và CD) d) AI là phân giác của góc A e) AI BC f) Tìm vị trí của D, E để BD = DE = EC. Bài toán 37: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD AC D BC . Chứng minh a) AHD AKD b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK. Bài toán 38: Cho tam giác ABC nhọn có AC AB, đường cao AH. a) Chứng minh HC HB b) Vẽ trung tuyến AM, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM MD. Chứng minh: ABM DCM c) So sánh góc ADC và DAC. . d) Vẽ hai điểm P và Q sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HP và HQ. Chứng minh tam giác APQ cân. KIỂM TRA I. TRẮC NGHIỆM : (3 điểm) Chọn câu trả lời em cho là đúng nhất: Câu 1: Đơn thức nào sau đây đồng dạng với đơn thức 3xy2 A. 3xy2 B. ( 3xy ) y C. 3(xy )2 D. 3xy 1 Câu 2: Đơn thức y2 z 49 x 3 y có bậc là : 3 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 Câu 3: Bậc của đa thứcQ x3 7 x 4 y xy 3 11 là : A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 Câu 4: Gía trị x = 2 là nghiệm của đa thức : A. f x 2 x B. f x x2 2 C. f x x 2 D. f x x x 2 Câu 5: Kết qủa phép tính 52x2 y 5 x 2 y 5 x 2 y 5 A. 3xy25 B.8xy25 C. 4xy25 D. 4xy25 Câu 6. Giá trị biểu thức 3x2y + 3y2x tại x = -2 và y = -1 là: A. 12 B. -9 C. 18 D. -18 Câu 7. Thu gọn đơn thức P = x3y – 5xy3 + 2 x3y + 5 xy3 bằng : A. 3 x3y B. – x3y C. x3y + 10 xy3 D. 3 x3y - 10xy3 2 Câu 8. Số nào sau đây là nghiệm của đa thức f(x) = x + 1 : 3 2 3 2 A. B. C. - D. - 3 2 3 Câu 9: Đa thức g(x) = x2 + 1 A.Không có nghiệm B. Có nghiệm là -1 20
21. C.Có nghiệm là 1 D. Có 2 nghiệm Câu 10: Độ dài hai cạnh góc vuông liên tiếp lần lượt là 3cm và 4cm thì độ dài cạnh huyền là : A.5 B. 7 C. 6 D. 14 Câu 11: Tam giác có một góc 60º thì với điều kiện nào thì trở thành tam giác đều : A. hai cạnh bằng nhau B. ba góc nhọn C.hai góc nhọn D. một cạnh đáy Câu 12: Nếu AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì : 2 3 A. AM AB B. AG AM C. AG AB D. AM AG 3 4 II. TỰ LUẬN: (7,0 điểm) Câu 1:( 1,5 ®iÓm). Điểm thi đua trong các tháng của 1 năm học của lớp 7A được liệt kê trong bảng sau: Tháng 9 10 11 12 1 2 3 4 5 Điểm 80 90 70 80 80 90 80 70 80 a) Dấu hiệu là gì? b) Lập bảng tần số. Tìm mốt của dấu hiệu. c) Tính điểm trung bình thi đua của lớp 7A. Câu 2. (1,5 điểm) Cho hai đa thức P x 5 x3 3 x 7 x vàQ x 5 x32 2 x 3 2 x x 2 a) Thu gọn hai đa thức P(x) và Q(x) b) Tìm đa thức M(x) = P(x) + Q(x) và N(x) = P(x) – Q(x) c) Tìm nghiệm của đa thức M(x). Câu 3: (3,0 điểm). Cho ABC có AB = 3 cm; AC = 4 cm; BC = 5 cm. a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A. b)Vẽ phân giác BD (D thuộc AC), từ D vẽ DE  BC (E BC). Chứng minh DA = DE. c) ED cắt AB tại F. Chứng minh ADF = EDC rồi suy ra DF > DE. Câu 4 (1,0 điểm): Tìm n Z sao cho 2n - 3 n + 1 21