Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tam Dương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 01 trang Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! 104.81 16.152 Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 44.675 x y z Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và 2x 2 2y 2 3z 2 100 . 3 4 5 Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0 . Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2. Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính giá trị của biểu thức: M c d d a a b b c Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f x ax2 bx c (x là ẩn; a, b, c là hệ số). Biết rằng: f 0 2018 , f 1 2019 , f 1 2017 . Tính f 2019 . 27 2x Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x là số nguyên). 12 x Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 60 0. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK. Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA=2cm, MB=3cm và ·AMC 1350 . Tính MC. Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3; ; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:
2. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG Năm học: 2017 – 2018 Môn Toán – Lớp 7 Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. -Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó. Câu Nội dung Điểm 104.81 16.152 24.54.34 24.32.52 A = 44.675 28.33.52 0,5 24.32.52 (52.32 1) 225 1 1 = = 0,5 28.33.52 24.3 5 224 2 .7 14 = = = 0,5 24.3 24.3 3 0,5 x y z x 2 y 2 z 2 2x 2 2y 2 3z 2 2x 2 2y 2 3z 2 100 0,5 Từ ta suy ra: 4 3 4 5 9 16 25 18 32 75 25 25 0,5 x 6 y 8 2 x 36 2 x 10 Suy ra: y 2 64 ( Vì x, y, z cùng dấu) 0,5 2 x 6 z 100 y 8 z 10 KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10) 0,5 Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2018 0 với mọi x, y nên 0,25 (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y. 0,25 Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0 0,25 3 Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0 0,25 suy ra x = 2, y = 1 0,25 2 0,25 Khi đó tính được: M = 24. 0,5 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Từ: a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Suy ra : 1 1 1 1 0,25 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d (*) 0,5 a b c d 4 Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) a b b c c d d a 0,25 M = -4 c d d a a b b c 0,25 Nếu a + b + c + d 0 thì từ (*) a = b = c = d a b b c c d d a 0,25 M = 4 c d d a a b b c 0,25
3. KL: 0,25 Xét x =0: f (0) 2018 c 2018 0,25 Xét x =1: f (1) 2019 a b c 2018 a b 1 (1) 0,25 Xét x =-1: f ( 1) 2017 a b c 2017 a b 1 (2) 0,25 5 Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0 0,25 Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1 0,25 Từ đó tìm được f x x 2018 0,25 Suy ra: f 2019 1 0,5 27 2x 3 0,25 Ta có: Q = = 2+ . 12 x 12 x 3 0,25 Suy ra Q lớn nhất khi lớn nhất 12 x 3 0,25 * Nếu x > 12 thì 12 x 0 0 . 12 x 3 0,25 * Nếu x 0 12 x 0,25 3 Vì phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có 12 x 0,25 giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất. Hay 12 x 1 x 11 0,25 Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 0,25 Do a Z+ 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c 0,25 Vậy 5b > 5c b>c 5b  5c 0,25 Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3) a2 (a+3) + 5  a + 3 0,25 Mà a2 (a+3)  a + 3 5  a + 3 a + 3 Ư (5) 7 0,25 Hay: a+ 3 { 1 ; 5 } (1) Do a Z+ a + 3 4 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5 a =2 0,25 Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52 b = 2 0,25 Và 5c =a + 3 = 2+3= 5 c = 1 0,25 Vậy: a = 2; b = 2; c = 1 - Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì x B·OM B·MO 300 - BK là đường cao của tam giác cân BMO 0,5 nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1) 0,5 B - Chứng minh BKO OHB (c.h g.n) z 8 M 0,5 - Suy ra BH=OK (2) K 0,25 O H y
4. - Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm 0,25 - Dựng tam giác ADM vuông cân tại A D 0,25 (D, B khác phía đối với AM) - Chứng minh ABM ACD (c.g.c) vì: AD=AM ( AMD vuông cân tại A) A · · · BAM CAD (cùng phụ với CAM 0,5 9 AB=AC (giả thiết) - Suy ra: CD=BM=3cm 0,25 - Tính được MD2=AD2+AM2 = 8 0,25 - Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M M 0,25 - Suy ra: MC2 = CD2-MD2 = 9-8 = 1 B C 0,25 => MC = 1cm 0,25 - Xét 100 số 101; 102; 103; ; 200. Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội 0,25 của số kia (vì 101.2>200). Do đó k 101 (1) 0,25 - Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1 a1 a2 a3 a101 200 . 0,25 Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng: n1 a1 2 .b1 n2 a2 2 .b2 n3 a3 2 .b3 10 n101 a101 2 .b101 Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. (i 1;101 ) 0,25 Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ;199}. Vì có 101 các số b mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số b và b nào đó bằng i i j 0,25 nhau. n a 2ni .b a 2 j .b Suy ra trong hai số i i và j j sẽ có một số là bội của số còn lại. 0,25 Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số kia (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101. 0,25 Hết