Đề kiểm định chất lượng môn Toán Lớp 7 - Đề 1 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo Triệu Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm định chất lượng môn Toán Lớp 7 - Đề 1 - Năm học 2014-2015 - Phòng giáo dục và đào tạo Triệu Sơn (Có đáp án)

1. Đ Ề 1 (GV: Nguyễn Viết Tuấn) ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Câu 1: (3,0 điểm) 7 3 3 2 9 3 .57 : 5 4 16 1. Thực hiện phép tính: A . 27.52 512 x 16 y 25 z 9 2. Cho và 2x 3 1 15 . Tính B x y z. 9 16 25 3* Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x 2y z 2x y z 4x 4y z Câu 2: (4,0 điểm) 3 3 a. Tìm x, y biết: x x y và y x y . 10 50 1 b. Tìm x biết: x 3 x 0. 2 c Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2004)2 23 y2 d. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 + xy – 2y – 3x – 3=0 Câu 3: (5,0 điểm) 7n 8 1. Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất. 2n 3 2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p(x)  5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5. 3. Gọi a, b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 2. b c c a a b Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I. 1. Chứng minh DM = EN. 2. Chứng minh IM = IN, BC < MN. 3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng BMO CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định. Câu 5: (2,0 điểm) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: a100 b100 a101 b101 a102 b102 Hãy tính giá trị của biểu thức: P a 2014 b 2015 . Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRIỆU SƠN Năm học 2014 - 2015 Hướng dẫn chấm Môn: Toán đ ề1 Ngày 14 tháng 4 năm 2015 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Câu Nội dung Điểm 7 3 3 7 3 2 9 3 2 9 3 .57 : .5 : 5 4 16 5 4 16 27 123 26 2 33 1 1. A 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 2 . 2,0 2 .5 512 2 .5 2 .2 2 .5 2 .2 2 5 2 2 2. Ta có: 2x 3 1 15 2x 3 16 x 3 8 x 3 23 x 2. 0,5 1 18 y 25 z 9 Suy ra: 0,25 (4,0đ) 9 16 25 18 y 25 Do đó, ta có: y 25 32 y 57. 0,5 9 16 18 z 9 z 9 50 z 41. 0,5 9 25 Vậy B x y z 2 57 41 100. 0,25 1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được: 2 3 3 9 2 3 x x y y x y x y x y x y 0,75 10 50 25 5 3 Suy ra: x y . 0,25 5 3 1 1 Thay x y vào hai đẳng thức đã cho ta được x ; y . 0,5 5 2 10 3 1 1 Thay x y vào hai đẳng thức đã cho ta được x ; y . 0,5 5 2 10 2 1 1 (4,0đ) 2. Từ x 3 x 0 suy ra x – 3 và x + cùng dấu. 2 2 0,25 1 Dễ thấy x – 3 0 x > 3. 0,5 2 1 1 1 x – 3 và x + cùng âm x + 3 hoặc x < - . 0,25 2 7n 8 2 7n 8 7 2n 3 5 7 5 1. Ta có: . 0,75 2n 3 2 2n 3 2 2n 3 2 2 2n 3 3 5 (5,0đ) Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. 2 2n 3 0,25 2
3. Từ đó suy ra: n 2. 0,75 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n 2. 2. Vì p(x)  5 với mọi x nguyên nên p(0) = d  5. 0,25 p(1) = a + b + c + d  5 (1) 0,25 p(- 1) = - a + b - c + d  5 (2) 0,25 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2(b + d) 5 và 2(a + c) 5 . 0,250 Vì 2(b + d) 5, mà (2, 5) = 1 nên b + d  5 suy ra b 5. ,250, p(2) = 8a + 4b + 2c + d  5 mà d  5; b 5 nên 8a + 2c  5. 250,2 Kết hợp với 2(a + c) 5 6a  5 a  5 vì (6, 5) = 1. Từ đó suy ra c  5. Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5. 5 a a a a 3. Vì a b c nên 1 . (1) b c b c b c a 0,25 b b b b Tương tự, ta có: 1 . (2) c a c a c a b 0,25 c c c c 1 . (3) a b a b a b c 0,25 a b c 2a 2b 2c Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2. b c c a a b a b c 0,25 A M C B I E D 4 (5,0đ) N 1. O Tam giác ABC cân tại A nên ABC ACB; N CE ACB; (đối đỉnh) 0,75 0,75 Do đó: MDB NEC(g.c.g) DM EN . 2. Ta có MDI NEI(g.c.g) MI NI 0,5 Vì BD = CE nên BC = DE . 0,75 Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN Suy ra BC < MN. 0,25 3
4. 3) Ta chứng minh được: ABO ACO(c.g.c) OC OB, ABO ACO. 0,75 MIO NIO(c.g.c) OM ON. Ta lại có: BM = CN. Do đó BMO CNO(c.c.c) 0,5 M BO N CO , Mà: M BO ACO suy ra N CO ACO , mà đây là hai góc kề bù 0,5 nên CO AN. Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông 0,25 góc với AC tại C nên O cố dịnh. Ta có đẳng thức: a102 b102 a101 b101 a b ab a100 b100 với mọi a, b. 0,5 Kết hợp với: a100 b100 a101 b101 a102 b102 Suy ra: 1 a b ab a 1 b 1 0. 0,5 5 a 1 1 b100 1 b101 1 b102 b 1 (2,0đ)  100 101 102 0,5 b 1 1 a 1 a 1 a a 1 2014 2015 2014 2015 0,5 Do đó P a b 1 1 2. Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 4