Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 28 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 28 (Có đáp án)

1. Câu 1. Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng ab a b 1 chia hết cho 48. Câu 2 a) Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2016 4 x2 5x 2015 4 2x2 x 2016 x2 5x 2015 b) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn abcd 1 . Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 M abc ab a 1 bcd bc b 1 acb cd c 1 abd ad d 1 Câu 3. Cho đa thức P x thỏa mãn khi chia cho x 3 thì dư 17 ; khi chia cho x 1 dư 3. tìm dư của phép chia P x cho x2 4x 3 Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA ; BB ; CC , trực tâm H AH BH CH a) Tính tổng AA BB CC b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB (M AC , N AB ). Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM AB BC CA 2 c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức đạt AA 2 BB 2 CC 2 giá trị nhỏ nhất 1 1 1 Câu 5. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 2016 . x y z x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 y2 z2 z2 x2
2. Hướng dẫn Câu 1 Ta có ab a b 1 a 1 b 1 Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a 2n 1 2 , b 2n 3 2 , (n ¢ ), suy ra ab a b 1 a 1 b 1 16n n 1 2 n 2 Vì n , n 1 , n 2 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên n n 1 n 2 chia hết cho 3, mà 16,3 1 nên 16n n 1 2 n 2 M48 nên ab a b 1M48 . Câu 2 a) Đặt 2x2 x 2016 a ; x2 5x 2015 b , ta có a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b , từ đó tìm ra x Câu 3 Vì đa thức chia là x2 4x 3 có bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b Ta có P x x 1 x 3 .Q x ax b P 3 17 3a b 17 và P 1 3 a b 3 Do đó a 7 ; b 4 nên đa thức dư có dạng 7x 4 Câu 4 A B' C' M x N H B I C A' D a) Ta có 1 1 1 S AA .BC ; S BA .AH ; S CA .AH ABC 2 BHA 2 CHA 2 A B A C .AH S S AA AHB AHC 2 AA .BC SABC AH 2 Chứng minh tương tự ta có: AB B C .BH BC AC .CH S S BH S S CH AHB BHC 2 ; BHC AHC 2 BB .AC CC .AB SABC BB SABC CC 2 2 AH BH CH S S S S S S 2S AHB AHC AHB BHC BHC AHC ABC 2 AA BB CC SABC SABC b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
3. AN AI BI AB CM IC ; ; , từ đó suy ra BN BI IC AC AM AI AN BI CM AI AB IC AB IC AB AC . . . . . . 1 AN.BI.CM BN.IC.AM BN IC AM BI AC AI AC BI AC AB c) Vẽ Cx  CC , gọi D là điểm đối xứng với A qua Cx Ta có tam giác BAD vuông tại A và CD CA ; AD 2CC Xét ba điểm B, C, D, ta có BD BC CD BAD vuông tại A nên AB2 AD2 BD2 AB2 AD2 BC CD 2 AB2 4CC 2 BC AC 2 4CC 2 BC AC 2 AB2 Chứng minh tương tự ta có: 4AA 2 AB AC 2 BC 2 4BB 2 AB BC 2 AC 2 2 2 AB BC CA 2 2 2 4 AA BB CC AB BC CA 2 2 2 4 AA BB CC Đẳng thức xảy ra BC AC; AC AB; AB BC ABC đều Câu 5 2 1 1 4 Áp dụng các bất đẳng thức 2 a2 b2 a b ; a b a b Ta có x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x P x2 y2 y2 z2 z2 x2 2 x2 y2 2 y2 z2 2 z2 x2 2 x y 2 y z 2 z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P 2 2 2 2 2. x y y z z x x y y z z x 4 x y y z z x 2 1 1 1 P 2. 2016 4 x y z 3 Vậy minP 2016 x y z 2016