Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoài Nhơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoài Nhơn (Có đáp án)

1. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Năm học 2018 – 2019 Môn: TOÁN 7 – Ngày thi: 25/04/2019 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 Bài 1. (2.0 điểm) Tìm x biết: 0. 327 326 325 324 5 Bài 2. (4.5 điểm) a b a 2 b a c a) Cho tỉ lệ thức b; d 0 . Chứng minh: . c d c 2 d b d b) Cho bốn số a,,, b c d sao cho a b c d 0. bcdcdaabdabc Biết k. a b c d Tính giá trị của biểu thức M k 3 2019 . b) Cho hai đa thức: A xyz xy2 xz 2 và B y3 z 3 . Chứng minh rằng nếu x y z 0 thì A và B là hai đa thức đối nhau. a c m Bài 3. (3.0 điểm) Cho các số hữu tỉ x ; y ; z . Biết ad bc 1; cn dm 1; b d n b, d , n 0. a) Hãy so sánh các số x;;. y z a m b) So sánh y với t , biết t với b n 0. b n Bài 4. (4.5 điểm) a) Cho A 3 32 3 3 3 2018 3 2019 . Tìm số tự nhiên n sao cho 2A 3 3n 1 . b) Cho a,,, b c d nguyên dương thỏa: a2 b 2 c 2 d 2 . Chứng minh: a b c d là hợp số. c) Cho đa thức f x ax2 bx c ( a,, b c nguyên). Chứng minh rằng: Nếu f x chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a,, b c đều chia hết cho 3. Bài 5. (3.0 điểm) Cho ABC có AB 45  , 120  . Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD 3 AB . Tính số đo ADC ? Bài 6. (3.0 điểm) Cho ABC vuông tại A, C 15  . Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO 2 AC . Chứng minh rằng OBC cân?  HẾT  Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 1
2. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 ĐÁP ÁN THAM KHẢO x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 Bài 1. (2.0 điểm) Tìm x biết: 0. 327 326 325 324 5 Lời giải x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 Ta có: 0 327 326 325 324 5 x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 1 1 1 1 4 0 327 326 325 324 5 x 329 x 329 x 329 x 329 x 329 0 327 326 325 324 5 1 1 1 1 1 x 329 0 327 326 325 324 5 1 1 1 1 1 x 329 0 (vì 0 ) 327 326 325 324 5 x 329. Vậy x 329. Bài 2. (4.5 điểm) a b a 2 b a c a) Cho tỉ lệ thức b; d 0 . Chứng minh: . c d c 2 d b d b) Cho bốn số a,,, b c d sao cho a b c d 0. bcdcdaabdabc Biết k. a b c d Tính giá trị của biểu thức M k 3 2019 . c) Cho hai đa thức: A xyz xy2 xz 2 và B y3 z 3 . Chứng minh rằng nếu x y z 0 thì A và B là hai đa thức đối nhau. Lời giải a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a 2 b a b a 2 b 3 b b a b b a a b a c  hay . cdcdcdcd 2 2 3 ddcddc c d b d b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: bcdcdaabdabc 3 a b c d k 3. a b c d a b c d Do đó M 3 3 2019 02019 0. c) Ta có A B xyz xy2 xz 2 y 3 z 3 x yz y 2 z 2 y z yz y 2 z 2 yz y2 z 2 x y z yz y 2 z 2 .0 0 Vậy A và B là hai đa thức đối nhau. a c m Bài 3. (3.0 điểm) Cho các số hữu tỉ x ; y ; z . Biết ad bc 1; cn dm 1; b d n b, d , n 0. Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 2
3. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 a) Hãy so sánh các số x;;. y z a m b) So sánh y với t , biết t với b n 0. b n Lời giải a c a) Ta có: ● ad bc 1 0 ad bc  x y . b d c m ● cn dm 1 0 cn dm  y z . d n Vậy x y z. ad bc 1  b) Ta có  ad bc cn dm ad dm bc cn d a m c b n hay cn dm 1 a m c  t y. b n d Bài 4. (4.5 điểm) a) Cho A 3 32 3 3 3 2018 3 2019 . Tìm số tự nhiên n sao cho 2A 3 3n 1 . b) Cho a,,, b c d nguyên dương thỏa: a2 b 2 c 2 d 2 . Chứng minh: a b c d là hợp số. c) Cho đa thức f x ax2 bx c ( a,, b c nguyên). Chứng minh rằng: Nếu f x chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a,, b c đều chia hết cho 3. Lời giải a) Ta có: 3A 32 3 3 3 4 3 2019 3 2020 2AAAA 3 32020 3  2 3 3 2020 . Do đó 32020 3n 1 n 12020  n 2019. b) Ta có abcdabcdcd2222222222 2 2 2  abcd 2222  2 . Xét Saabbccddaa 2 2 2 2 1 bb 1 cc 1 dd 1 .  a a 1  2 b b 1  2 Mà  S2  a b c d  2  a b c d là hợp số. c c 1  2 d d 1  2 c) Ta có: f 0 c ; f 1 a b c ; f 1 a b c . Vì f x 3 với mọi giá trị của x nên f 0  3; f 1  3 và f 1  3. ● Từ f 0  3 c  3 1 . f 1 3  2c 3 ● Có f 1 f 1 2 a 2 c mà  f 1 f 1  3 2 a 2 c  3  2 a  3  a  3. f 1  3   f 1  3 ● Có f 1 f 1 2 b mà  f 1 f 1  3 2 b  3  b  3. f 1  3  Vậy nếu f x chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a,, b c đều chia hết cho 3. Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 3
4. Đề ôn thi HSG 7 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Bài 5. (3.0 điểm) Cho ABC có A 45  , B 120  . Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD 3 AB . Tính số đo ADC ? Lời giải Kẻ DI BC I BC . Trong tam giác vuông BDI có DBI 60  nên BD 2 BI và BDI 30  . Lại có BD 2 AB BI AB  BAI cân tại B mà ABI 120  nên BAI BIA 30   IAC 15  . ● Có BDI BAI 30  IAD cân tại I  ID IA 1 . ● Có IAC ICA 15  IAC cân tại I  IC IA 2 . Từ 1 và 2 suy ra ID IC mà DIC 90  DIC vuông cân tại D nên IDC 45  . Vậy ADC BDI IDC 30  45  75  . Bài 6. (3.0 điểm) Cho ABC vuông tại A, C 15  . Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO 2 AC . Chứng minh rằng OBC cân? Lời giải Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BC có chứa điểm O vẽ tam giác đều BIC . Kẻ IH OB H OB . Ta có ABC vuông tại A, C 15  nên ABC 75   IBC 60  IBH 15  . Xét hai tam giác vuông IHB và BAC , có: IB BC (hai cạnh của tam giác đều). IBH ACB 15  . 1 Suy ra IHB BAC ch gn  HB AC  BO 2 AC HB BO. 2 Do đó H là trung điểm của BO . Trong tam giác IOB đường cao IH cũng chính là đường trung tuyến nên IBO cân tại I . Từ đó tính được OIB 150   OIC 150  , mà IO IB  IB IC IO IC nên tam giác IOC cân tại I . Suy ra ICO IOC 15   BCI 60  BOC 75  . Do đó OCB OBC 75  . Vậy OBC cân tại O. Mọi góp ý, xin gửi đến mail: lehongquocddt@gmail.com XIN CẢM ƠN ! Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 4