Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Minh Lương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Minh Lương (Có đáp án)

1. PHềNG GD&ĐT VĂN BÀN Kè THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 6,7,8 TRƯỜNG THCS MINH LƯƠNG Năm học 2018 - 2019 Mụn: TOÁN 7 Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm cú 01 trang 5 cõu) Cõu 1:(4 điểm) a) Thực hiện phộp tớnh: 459 4 2.69 B = 210.38 68.20 b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ: 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2 chia hết cho 6 Cõu 2:(6 điểm) 2x 3y 4z 2.1 Tỡm x, y,z biết: = = và x + 2y + 4z = 220 . 3 4 5 2.2. Ba mỏy cày, cày được 359 m 2 ruộng. Số ngày làm việc của cỏc mỏy tỉ lệ theo 3:4:5, số giờ làm việc hàng ngày của cỏc mỏy tỉ lệ theo 6:7:8, cũn cụng suất của cỏc mỏy tỉ lệ nghịch với 5, 4, 3. Hỏi mỗi mỏy cày được bao nhiờu một vuụng ruộng. Cõu 3: (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x 2002 x 2001 a c a b c d b) Cho . Chứng minh rằng: b d a b c d Cõu 4 (5 điểm) Cho ABC vuụng tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH của ABC. Trờn đoạn HC lấy M sao cho BM = AB. Tia phõn giỏc của ãABC cắt AH tại N, cắt AM tại E. Chứng minh rằng. a, AM là tia phõn giỏc của Hã AC b, MH  AB. Cõu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng một tam giỏc cú hai đường phõn giỏc bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc cõn HẾT Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
2. PHềNG GD&ĐT VĂN BÀN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM TRƯỜNG THCS MINH LƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mụn: TOÁN ( Đỏp ỏn - thang điểm gồm cú 03 trang) CÂU NỘI DUNG Điểm 1 459 4 2.69 (22 )5.(32 )4 2.(2.3)9 0,5 B =10 8 8 = 10 8 8 2 a 2 .3 6 .20 2 .3 (2.3) .(2 .5) 210.312 21039 210.39.(33 1) 1,0 = 210.38 21038.5 210.38 (1 5) 210.39.26 0,5 = 10 8 = 13 2 .3 .6 0,5 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2 = 3n 1(32 1) 2n 2 (2 1) b =3n 1.2.5 2n 2.3 0,5 = 2.3(3n.5 2n 1)M6 0,5 n 3 n 1 n 3 n 2 Vậy 3 3 2 2 M 6 với mọi n là số nguyờn dương. 0,5 2.1 2x 3y 4z x y z Từ 3 4 5 18 16 15 0,5 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta được: x 2.18 36 x y z x 2y 4z 220 2 y 2.16 32 18 16 15 18 32 60 110 1,5 z 2.15 30 (2đ) 2.2 - Gọi x, y z, là số một vuụng ruộng mà mỗi mỏy cày được. 0,25 - Gọi x , y z , là số ngày làm việc của mỗi mỏy cày. 0,25 1 1, 1 0,25 - Gọi x2, y2, z2, là số giờ làm việc hàng ngày của mỗi mỏy cày. 0,25 - Gọi x3, y3, z3, là số cụng suất của mỗi mỏy cày Theo đề bài ta cú x + y + z = 359 (1) 0,25 x : y : z = 3:4:5 (2) 1 1 1 0,25 x2: y2 : z2 = 6:7:8 (3) 0,25 1 1 1 0,25 x3: y3 : z3 = : : (4) 5 4 3 0,5 x .x .x y .y .y z .z .z Từ (2), (3), (4) ta cú: 1 2 3 1 2 3 : 1 2 3 1 1 1 3.6. 4.7. 5.8. 5 4 3 x y z x y z 359 0,5 Kết hợp với 1 ta cú: 15 18 40 18 40 359 7 7 5 3 5 3 15 Suy ra x =54, y = 105, z = 200
3. Vậy mỏy 1 cày được 54 m2 0,5 Vậy mỏy 2 cày được 105 m2 Vậy mỏy 3 cày được 200 m2 0,5 3 a) A =x 2002 x 2001 1,5 = x 2002 2001 x x 2002 2001 x 1 Vậy biểu thức A đạt giỏ trị nhỏ nhất là 1 khi 2001 x 2002 0,5 a c b. Từ b d a c 0,25 Đặt = k b d Suy ra a = kc, c = dk 0,25 a b bk b b(k 1) k 1 Ta cú: (1) 0,5 a b bk b b(k 1) k 1 c d dk d d(k 1) k 1 (2) c d dk d d(k 1) k 1 0,5 a b c d Từ (1) và (2) suy ra a b c d 0,5 4 Vẽ hỡnh và ghi giả thiết, kết luận 1,0 a Ta cú BãAM Mã AC BãAC 900. 0,25 AB = BM (gt) 0,25 ABM cõn tại B BãAM BãMA 0,25 BãMA BãAM = 900 - Mã AC (1) 0,25 Mặt khỏc HAM vuụng tại H cú BãMA = 900 - HãAM (2) Từ (1) và (2) HãAM = Mã AC 0,25 0,25 AM là tia phõn giỏc của HãAC 0,5 b ABM cõn tại B, cú BE là phõn giỏc (gt). 0,5 BE là trung trực của AM mà N BE NA = NM. 0,5 Mả Ả mà Ả Ả Mả Ả ANM cõn tại N 1 1 1 2 Suy ra 1 2 0,5 0,25 MN  AC. mà AB  AC (BãAC = 900) MN  AB 0,25 5 - Vẽ hỡnh và viết GT,KL 0,25
4. - Xột tam giỏc ABC cú hai đường phõn giỏc AM và BN bằng nhau. Ta phải chứng minh tam giỏc ABC cõn ở C. - Giả sử tam giỏc ABC khụng là tam giỏc cõn ở C, khi đú hoặc 0,25 AC>BC hoặc AC BC thỡ ÃBC BãAC suy ra ÃBN Mã AB nờn AN>BM Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, từ N kẻ đường thẳng song song với AM, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. MAN NDM(g.c.g) suy ra AN = MD mà AN>MB do đú 0,25 MD>MB khi đú tam giỏc MBD, ta cú Mã DB Mã BD (1) Mặt khỏc NãDM NãAM Mã AB Nã BA NãBM Từ (1) và (2) suy ra Nã DB Nã BD vỡ thế trong tam giỏc NBD ta lại cú BN AM, trỏi với giả thiết. 0,25 Vậy tam giỏc ABC cõn tại C Lưu ý: - Lời giải chỉ trỡnh bày túm tắt, học sinh trỡnh bày hoàn chỉnh, lớ luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. - Học sinh cú thể trỡnh bày nhiều cỏch giải khỏc nhau nếu đỳng thỡ cho điểm tương ứng.