Phương pháp giải toán vận tốc trung bình - Nguyễn Gia Thiện

Nội dung text: Phương pháp giải toán vận tốc trung bình - Nguyễn Gia Thiện

1. VẬN TỐC TRUNG BÌNH. 1- Kiến thức cơ bản: 1.1- Nhận xét chung: - Vận tốc trung bình chỉ là một đại lượng mang tính quy ước, chúng ta tự đặt ra để dễ nghiên cứu về một chuyển động. Trên cả quãng đường, vật có thể không lúc nào chuyển động với vận tốc bằng vận tốc trung bình. - Tính vận tốc trung bình có một con đường chung là tính tỉ số S/t. 1.2 – Phương pháp giải toán vận tốc trung bình. Về mặt kĩ năng, có thể chia thành ba kiểu bài : Dạng 1 : Có thể tính được cả S và t. Cách làm: tính S và t => v = S/t. Dạng 2: Cho biết vận tốc trên từng phần quãng đường. Cách làm: Gọi S là độ dài cả quãng đường. + Tính tổng thời gian theo vận tốc trung bình và S + Tính tổng thời gian theo các vận tốc thành phần và S. Thời gian trong 2 cách tính bằng nhau nên ta có liên hệ giữa vận tốc trung bình với các vận tốc thành phần. Dạng 3: Cho biết vận tốc trong từng khoảng thời gian. Cách làm: Gọi t là tổng thời gian chuyển động hết quãng đường. + Tính tổng quãng đường theo vận tốc trung bình và t. + Tính tổng quãng đường theo vận tốc thành phần và t. Quãng đường trong 2 cách tính bằng nhau nên ta có liên hệ giữa vận tốc trung bình và các vận tốc thành phần. Dạng toán 2 và 3 được trình bày cách giải có sự thay đổi so với bài viết trước đây. Cách làm này giúp lời giải ngắn gọn, rõ ràng hơn. Chúng ta xét cụ thể qua các bài toán sau. 2 - Các ví dụ minh họa: 2.1-Các bài toán cơ bản. Ví dụ 1: Một xe chuyển động từ A về B. Nửa quãng đường đầu vận tốc của xe là v1, nửa quãng đường sau vận tốc của xe là v2. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường. Hướng dẫn: Bài toán ở dạng 2. Gọi S là độ dài quãng đường AB, gọi v là vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. S Thời gian đi từ A về B là t = (1) v S S Mặt khác, theo bài ra ta có t = (2) 2v1 2v2 S S S 2v v Từ (1) và (2) ta có: v 1. 2 v 2v1 2v2 v1 v2 Ví dụ 2: Một xe chuyển động từ A về B. Nửa quãng đường đầu vận tốc của xe là v1 = 40km/h, nửa quãng đường sau vận tốc của xe là v2 = 60km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường. Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 1, bài toán ở dạng 2. Gọi S là độ dài quãng đường AB, gọi v là vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. S Thời gian đi từ A về B là t = (1) v S S S S Mặt khác, theo bài ra ta có t = = (2) 2v1 2v2 2.40 2.60 S S S Từ (1) và (2) ta có: v 48km / h. v 2.40 2.60 Với cách làm tương tự ta có thể tính được vận tốc thành phần khi biết vận tốc trung bình. GV: Nguyễn Gia Thiện trường THCS Trần Phú 1
2. Ví dụ 3: Một xe chuyển động từ A về B. Nửa quãng đường đầu vận tốc của xe là v1 = 40km/h, nửa quãng đường sau vận tốc của xe v2. Tính v2 biết vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường là v = 48km/h. Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 1, bài toán ở dạng 2. Gọi S là độ dài quãng đường AB, gọi v là vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. S S Thời gian đi từ A về B là t = (1) v 48 S S S S Mặt khác, theo bài ra ta có t = = (2) 2v1 2v2 2.40 2.v2 S S S Từ (1) và (2) ta có: v2 60km / h. 48 2.40 2.v2 1 Ví dụ 4: Một xe chuyển động từ A về B. Vận tốc của xe trong quãng đường đầu là v1 = 40km/h, 3 1 trong quãng đường tiếp theo là v2 = 60km/h và vận tốc trên quãng đường còn lại là v3 = 30km/h. 3 Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường. Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 1, bài toán ở dạng 2. Gọi S là độ dài quãng đường AB, gọi v là vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. S Thời gian đi từ A về B là t = (1) v S S S S S S S Mặt khác, theo bài ra ta có t = (2) 3v1 3v2 3v3 120 180 90 40 S S Từ (1) và (2) ta có: v 40km / h. v 40 1 Ví dụ 5: Một xe chuyển động từ A về B. Vận tốc của xe trong quãng đường đầu là v1 = 40km/h, 3 1 trong quãng đường tiếp theo là v2 = 60km/h và vận tốc trên quãng đường còn lại là v3. Tính v3 biết 3 vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường là v = 40km/h. Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 4, bài toán ở dạng 2. Gọi S là độ dài quãng đường AB, gọi v là vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. S S Thời gian đi từ A về B là t = (1) v 40 S S S S S S S S Mặt khác, theo bài ra ta có t = (2) 3v1 3v2 3v3 120 180 3.v3 72 3.v3 S S S Từ (1) và (2) ta có: v3 30km / h. 40 72 3.v3 Ví dụ 6: Một xe chuyển động từ A về B. Nửa thời gian đầu vận tốc của xe là v1, nửa thời gian sau vận tốc của xe là v2. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. Hướng dẫn: Bài toán ở dạng 3. Gọi t là tổng thời gian xe chuyển động từ A về B, v là vận tốc trung bình của xe. Độ dài quãng đường AB là: S = v.t (1) t t Theo bài ta có: S = v . v . (2) 1 2 2 2 t t v v v.t = v . v . v 1 2 1 2 2 2 2 Ví dụ 7: Một xe chuyển động từ A về B. Nửa thời gian đầu vận tốc của xe là v1 = 60km/h, nửa thời gian sau vận tốc của xe là v2 = 40km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 6, bài toán ở dạng 3. Gọi t là tổng thời gian xe chuyển động từ A về B, v là vận tốc trung bình của xe. GV: Nguyễn Gia Thiện trường THCS Trần Phú 2
3. Độ dài quãng đường AB là: S = v.t (1) t t t t Theo bài ta có: S = v . v . 60. 40. 50t (2) 1 2 2 2 2 2 v.t = 50t v 50km / h. 2 Ví dụ 8: Một xe chuyển động từ A về B. Trong thời gian đầu vận tốc của xe là v1 = 45km/h, thời 3 gian còn lại xe chuyển động với vận tốc v2 bằng bao nhiêu để vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB là v = 48km/h Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 6, bài toán ở dạng 3. Gọi t là tổng thời gian xe chuyển động từ A về B, v là vận tốc trung bình của xe. Độ dài quãng đường AB là: S = v.t = 48t (1) 2t t 2t t t Theo bài ta có: S = v . v . 45. v . 15t v . (2) 1 3 2 3 3 2 3 2 3 t 48.t = 15t v v 54km / h. 2 3 2 1 Ví dụ 9: Một ôtô chuyển động từ A về B. Chặng đầu xe đi mất tổng thời gian với vận tốc v1 = 3 1 45km/h. Chặng giữa xe đi mất tổng thời gian với vận tốc v2 = 60km/h. Chặng còn lại xe chuyển 2 động với vận tốc v3 = 48km/h. Tính vận tốc của xe trên cả quãng đường AB. Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 6, bài toán ở dạng 3. Gọi t là tổng thời gian xe chuyển động từ A về B, v là vận tốc trung bình của xe. Thời gian xe đi hết t t t chặng cuối là t . 3 2 6 Độ dài quãng đường AB là: S = v.t (1) t t t t t t Theo bài ta có: S = v . v . v . 45. 60. 48 53t (2) 1 3 2 2 3 6 3 2 6 v.t = 53t v 53km / h. 1 Ví dụ 10: Một ôtô chuyển động từ A về B. Chặng đầu xe đi mất tổng thời gian với vận tốc v1. 5 1 Chặng giữa xe đi mất tổng thời gian với vận tốc v2 = 60km/h. Chặng còn lại xe chuyển động với 4 vận tốc v3 = 40km/h. Biết vận tốc của xe trên cả quãng đường AB là v = 47 km/h. Tính v1. Hướng dẫn: Tương tự ví dụ 6, bài toán ở dạng 3. Gọi t là tổng thời gian xe chuyển động từ A về B, v là vận tốc trung bình của xe. Thời gian xe đi hết t t 11 chặng cuối là t t . 5 4 20 Độ dài quãng đường AB là: S = v.t = 47t (1) t t t t t 11t t Theo bài ta có: S = v . v . v . v . 60. 40 v . 37t (2) 1 3 2 2 3 6 1 5 4 20 1 5 t 47.t = v . 37t v 50km / h. 1 5 1 Ví dụ 11: Một xe chuyển động từ A về B. Trong 3/4 quãng đường đầu, xe chuyển động với vận tốc 36km/h. Quãng đường còn lại xe chuyển động trong thời gian 10 phút với vận tốc 24km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB. Hướng dẫn: Bài toán ở dạng 1. Độ dài quãng đường sau là S2 = t2. v2 = 24. 1/6 = 4km. Độ dài quãng đường đầu là S1 = 3S2 = 12km. Tổng độ dài quãng đường AB là S = S1 + S2 = 12 + 4 = 16km. S1 12 1 Thời gian đi hết quãng đường đầu là t1 = h v1 36 3 GV: Nguyễn Gia Thiện trường THCS Trần Phú 3
4. 1 1 1 =>Tổng thời gian đi hết quãng đường AB là t = t1 + t2 = h 3 6 2 S 16 Vận tốc trung bình là v = 32km / h t 1 2 Ví dụ 12: Một xe chuyển động từ A về B. Trong 3/4 quãng đường đầu, xe chuyển động với vận tốc v1. Quãng đường còn lại xe chuyển động trong thời gian 10 phút với vận tốc v2 = 24km/h. Biết vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường AB là v = 32km/h, tính v1. Hướng dẫn: Bài toán ở dạng 1. Độ dài quãng đường sau là S2 = t2. v2 = 24. 1/6 = 4km. Độ dài quãng đường đầu là S1 = 3S2 = 12km. Tổng độ dài quãng đường AB là S = S1 + S2 = 12 + 4 = 16km. S 16 Thời gian đi hết quãng đường đầu là t = 0,5h v 32 1 1 Thời gian đi hết quãng đường đầu là là t1 = t - t2 = 0,5 - h 6 3 S 12 Vận tốc của xe trên quãng đường đầu là v = 1 36km / h . 1 1 t1 3 Ví dụ 13) Một xe chuyển động từ A để về B, khoảng cách AB là 63 km. Ban đầu xe chuyển động đều với vận tốc 60km/h. Sau đó, vì đường khó đi nên vận tốc của xe thay đổi liên tục, lúc thì 54km/h, lúc thì 45km/h Khi về đến B vận tốc của xe giảm chỉ còn 10km/h. Vì vậy, thời gian xe đã chạy là 1h45’. Tính vận tốc trung bình của xe trên quãng đường AB. Hướng dẫn: Bài toán ở dạng 1. Ta có t = 1h45’ = 1,75h , S = 45km. S 63 Vận tốc trung bình của xe trên quãng đường AB là v = 36km / h. t 1,75 Trên đây là các ví dụ cơ bản về 3 dạng toán tính vận tốc trung bình. Dạng toán 2 và 3 có đầu bài rất đặc thù, dễ nhận ra. Dạng toán số 1 (Tính vận tốc trung bình theo định nghĩa) có kiểu bài đa dạng và cần sự linh hoạt trong suy luận, tính toán. Ta xét thêm các bài toán có mức độ suy luận cao hơn. 2.2-Các bài toán vận dụng. Ví dụ 14: Một cậu bé dắt chó đi dạo về nhà, khi còn cách nhà 10 mét, con chó chạy về nhà với vận tốc 5m/s.Vừa đến nhà nó lại chạy ngay lại với vận tốc 3m/s. Tính vận tốc trung bình của chú chó trong quãng đường đi được kể từ lúc chạy về nhà đến lúc gặp lại cậu bé, biết cậu bé đi đều với vận tốc 1m/s. Hướng dẫn: Bài toán ở dạng 1 S = 10m, v1 = 5m/s, v2 = 3m/s, v3 = 1m/s. Thời gian chú chó về đến nhà là: S 10 t1 = 2 s. v1 5 Trong thời gian đó cậu bé chuyển động được 2 mét. => Khoảng cách từ cậu bé đến nhà lúc đó là S2 = 10 – 2 = 8 mét. Thời gian chú chó chạy từ nhà tới lúc gặp lại cậu bé là: S2 8 t2 = 2s v2 v3 1 3 Chú chó đã quay lại một đoạn là S3 = v2 .t2 = 3.2 = 6m. Tổng thời gian t = 4s , tổng quãng đường là S = 10m + 6m = 16m S 16 => v = 4 m/s. t 4 GV: Nguyễn Gia Thiện trường THCS Trần Phú 4
5. Ví dụ 15: Hai xe cùng xuất phát từ A để về B. Xe thứ nhất đi nửa quãng đường đầu với vận tốc v1, nửa quãng đường còn lại vận tốc của xe là v2. Xe thứ hai đi trong nửa thời gian đầu với vận tốc v1 nửa thời gian còn lại với vận tốc v2. a) Xe nào về đến B trước? b) Nếu hai xe xuất phát lệch nhau 30 phút thì hai xe đến B cùng lúc. Tính độ dài quãng đường AB biết v1 = 20km/h và v2 = 60km/h. Hướng dẫn: Bài toán kết hợp dạng 2 và 3. a) Theo Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ta tính được vận tốc trung bình của mỗi xe : 2v1.v2 v1 v2 vI = vII = v1 v2 2 2 (v1 v2 ) vII – vI = > 0 => vII > vI. Người thứ hai về đích trước. 2(v1 v2 ) b) Thay số, tính được vI = 30km/h và vII = 40km/h. S S 1 S 60 km vI vII 2 Ví dụ 16: Một xe đi từ A để về B. Trong 1/3 quãng đường đầu xe chuyển động với vận tốc v1 = 40km/h. Trên quãng đường còn lại xe chuyển động thành hai giai đoạn: 2/3 thời gian đầu vận tốc v2 = 45km/h, thời gian còn lại vận tốc v3 = 30km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường. Hướng dẫn: Bài toán kết hợp dạng 2 và 3. Gọi S là độ dài quãng đường AB, gọi t là thời gian chuyển động hết 2/3 quãng đường cuối. Ta có: 2 2 1 2S 2S S S v2. t v3 t t (h) 3 3 3 2.v2 v3 2.45 30 60 S S S S S Mặt khác: t v 40 km/h. v 3v1 v 3v1 60 Ví dụ 17: Một xe từ A về B. Trong 2/5 tổng thời gian đầu xe chuyển động với vận tốc v1 = 40km/h. Trong khoảng thời gian còn lại xe chuyển động theo hai giai đoạn: 3/4 quãng đường còn lại xe chuyển động với vận tốc v2 = 36km/h và cuối cùng xe chuyển động với vận tốc v3 = 12km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên quãng đường AB. Hướng dẫn: Bài toán kết hợp dạng 2 và 3. Gọi t (h) là tổng thời gian xe đi hết quãng đường AB, gọi S là độ dài quãng đường xe đi trong 3/5 tổng thời gian cuối. 3 1 S S 3 Ta có : 4 4 t . Thay số => S = 14,4t (km) v2 v3 5 2 2 Mạt khác: v.t = t.v S v.t v .t 14,4t v 30,4km/h. 5 1 5 1 Ví dụ 18: Một người đi từ A đến B, trên 1/4 đoạn đường đầu vận tốc là v1, nửa quãng đường còn lại vận tốc là v2. Trong nửa thời gian đi hết quãng đường cuối, người ấy đi với vận tốc v1 và cuối cùng người đó lại đi với vận tốc v2. Tính vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường. Hướng dẫn: Bài toán kết hợp dạng 2 và 3. S 3S Gọi S là độ dài quãng đường AB. Tính được ngay t1= , t2 = . 4v1 8v2 1 1 3 3.S Gọi t3 là thời gian cuối ta có t3 .v1 t3 .v2 S t3 2 2 8 4(v1 v2 ) GV: Nguyễn Gia Thiện trường THCS Trần Phú 5
6. S 8v1.v2 (v1 v2 ) Ta có: t1 t 2 t3 v 2 2 v 3v1 2v2 11v1.v2 Ví dụ 19: Một xe đi từ A để về B. Trong 1/3 quãng đường đầu xe chuyển động với vận tốc v1 = 40km/h. Trên quãng đường còn lại xe chuyển động thành hai giai đoạn: 2/3 thời gian đầu vận tốc là v2 = 45km/h, thời gian còn lại vận tốc là v3. Tính v3 biết vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường là 40km/h. Hướng dẫn: Bài toán kết hợp dạng 2 và 3. Gọi S là độ dài quãng đường AB, gọi t là thời gian xe chuyển động hết 2/3 quãng đường còn lại. 2 1 2 2S Ta có : t.v2 t.v3 S . Thay số => t = 3 3 3 90 v3 S S 1 1 2 Vì t . Thay số tính được v3 = 30km/h. v 3v1 v 3v1 90 v3 3-Một số bài luyện tập: Bài 1. Một xe chuyển động từ A về B với vận tốc 40km/h và xe quay về A với vận tốc v. Vận tốc trung bình của xe trên cả lộ trình là 48km/h. Tính v. (ĐS: 60km/h) Bài 2. Một xe ôtô chuyển động từ A về B. Trong nửa quãng đường đầu xe chuyển động với vận tốc v1 = 60km/h, nửa quãng đường còn lại xe chuyển động với vận tốc v2 = 40km/h. Sau đó xe lại chuyển động từ B về A; trong nửa thời gian đầu xe chuyển động với vận tốc v3, nửa thời gian còn lại xe chuyển động với vận tốc v4 = 50km/h. Tính vận tốc v3 biết vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường đi và về là v = 48km/h. ( ĐS: v3 46km / h. ) Bài 3. Hai người xuất phát cùng lúc bằng xe đạp từ A về B. Người thứ nhất đi nửa đầu quãng đường với vận tốc v1, nửa sau quãng đường với vận tốc v2 . Người thứ hai đi nửa thời gian đầu với vận tốc v1 và nửa thời gian còn lại với vận tốc v2. Thời gian người thứ hai đi từ A về B là 28 phút 48 giây. Tính thời gian đi của người thứ nhất. Biết v1 = 10km/h và v2 = 15km/h (ĐS: 30 phút) Bài 4. Một xe từ A về B. Trong 3/5 tổng thời gian đầu xe chuyển động với vận tốc v1. Trong khoảng thời gian còn lại xe chuyển động theo hai giai đoạn: 1/4 quãng đường còn lại xe chuyển động với vận tốc 40km/h và cuối cùng xe chuyển động với vận tốc 30km/h. Vận tốc trung bình của xe trên cả quãng đường là 35km/h, tính vận tốc v1. ( ĐS: 37km/h) GV: Nguyễn Gia Thiện trường THCS Trần Phú 6