›
›
›

Tài liệu Chuyên đề Toán THPT - Chủ đề 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình

docx 114 trang thaodu 4540
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Chuyên đề Toán THPT - Chủ đề 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_chuyen_de_toan_thpt_chu_de_4_bat_dang_thuc_bat_phuo.docx

Nội dung text: Tài liệu Chuyên đề Toán THPT - Chủ đề 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình

  1. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 4 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAØI BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 1. I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng ''a b '' được gọi là bất đẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề ''a 0 a bc số a 0, c > 0 a 0 a 0 a b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI) 1. Bất đẳng thức Cô-si Định lí Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng 2
  2. a + b ab £ , " a, b ³ 0. (1) 2 a + b Đẳng thức ab = xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. 1 a + ³ 2, " a > 0. a Hệ quả 2 Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y. Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x ³ 0, x ³ x, x ³ - x x £ a Û - a £ x £ a a > 0 x ³ a Û x £ - a hoặc x ³ a a - b £ a + b £ a + b CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? ïì a b A. íï Þ a - c b - d. îï c d ïì a > b ïì a > b > 0 C. D.íï Þ a - d > b - c. íï Þ a - c > b - d. îï c > d îï c > d > 0 Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai? ïì a > b b + c ïì a > b A. íï Þ a > . B. íï Þ a - c > b - a. îï a > c 2 îï a > c C. a > b Þ a - c > b - c. D. a > b Þ c - a > c - b. Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? ïì a b A. íï Þ ac bd. îï c d ïì 0 b C. íï Þ ac - bd. îï 0 d Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? A. a bc. 3
  3. ïì a 0 Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? ïì 0 b > 0 a b A. íï Þ . îï 0 d > 0 c d ïì a b > 0 a d C. íï Þ . îï c d > 0 b c Câu 6. Nếu a + 2c > b + 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 A. - 3a > - 3b. B. a2 > b2 . C. D.2a > 2b. b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. B.ab C.> 0 . b 0 b a. a >C. . a > D. a. a3 > a2 . a a Câu 9. Cho hai số thực dương a, b. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? a2 1 ab 1 a2 + 1 1 A. ³ . B. ³ C. . D. Tất cả£ đều. đúng. a4 + 1 2 ab + 1 2 a2 + 2 2 1+ a 1+ b Câu 10. Cho a, b > 0 và x = , y = . Mệnh đề nào sau đây đúng? 1+ a + a2 1+ b + b2 A. B.x > y. x 1. x - 1 A. m = 1- 2 2. B. m = 1+ 2 2. C. m = 1- 2. D. m = 1+ 2. x 2 + 5 Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= . x 2 + 4 5 A. m = 2. B. m = 1. C. m = . D. Không tồn tại m. 2 x 2 + 2x + 2 Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= với x > - 1. x + 1 A. m = 0. B. m = 1.C. D. m = 2. m = 2. (x + 2)(x + 8) Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= với x > 0. x A. m = 4. B. m = 18. C. m = 16. D. m = 6. 4 x Câu 15. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= + với 1> x > 0. x 1- x 4
  4. A. m = 2. B. m = 4.C. D. m = 6. m = 8. 1 1 Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= + với 0 2. 4(x - 2) 1 7 A. m = . B. m = . C. m = 4. D. m = 8. 2 2 2x 3 + 4 Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= với x > 0. x A. m = 2. B. m = 4. C. m = 6. D. m = 10. x 4 + 3 Câu 19. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= với x > 0. x 13 19 A. m = 4. B. m = 6. C. m = . D. m = . 2 2 é 1 3ù Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x)= (6x + 3)(5- 2x) với x Î ê- ; ú. ëê 2 2ûú A. M = 0. B. M = 24. C. M = 27. D. M = 30. x - 1 Câu 21. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x)= với x ³ 1. x 1 A. M = 0. B. M = . C. M = 1. D. M = 2. 2 x Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x)= với x > 0. x 2 + 4 1 1 A. M = . B. M = . C. M = 1. D. M = 2. 4 2 x Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x)= 2 với x > 0. (x + 1) 1 1 A. M = 0. B. M = . C. M = . D. M = 1. 4 2 Câu 24. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f (x)= x + 3 + 6- x. A. m = 2, M = 3. B. m = 3, M = 3 2. C. m = 2, M = 3 2. D. m = 3, M = 3. Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất m và lớn nhất M của hàm số f (x)= 2 x - 4 + 8- x. A. m = 0; M = 4 5. B. m = 2; M = 4. C. m = 2; M = 2 5. D. m = 0; M = 2 + 2 2. Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f (x)= 7- 2x + 3x + 4. 5
  5. 87 A. m = 3. B. m = 10. C. m = 2 3. D. m = . 3 Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f (x)= x + 8- x 2 . A. M = 1. B. M = 2. C. M = 2 2. D. M = 4. Câu 28. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 + y2 + xy = 3 . Tập giá trị của biểu thức S = x + y là: A. [0;3] .B. [0;2] .C. [- 2; .D.2] . {- 2;2} Câu 29. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 + y2 + xy = 1 . Tập giá trị của biểu thức P = xy là: é 1ù é1 ù é 1ù A. ê0; ú .B. .C. [- 1; .1D.] . ê ;1ú ê- 1; ú ëê 3ûú ëê3 ûú ëê 3ûú 3 Câu 30. Cho hai số thực x, y thỏa mãn (x + y) + 4xy ³ 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y là: A. 3 2 .B. 1 .C. .D. 8 . - 3 2 Câu 31. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 + y2 = x + y + xy . Tập giá trị của biểu thức S = x + y là: A. [0;+ ¥ ) .B. .[C.- ¥ ;0] .D. . [4;+ ¥ ) [0;4] Câu 32. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2 + y2 - 3(x + y)+ 4 = 0 . Tập giá trị của biểu thức S = x + y là: A. {2;4} .B. .C. [0;4 .D.] . [0;2] [2;4] 1 4 Câu 33. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y = 1 . Giá trị nhỏ nhất củaS = + là: x y A. 4 .B. .C. .D. . 5 9 2 Câu 34. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 2 y + xy2 = x + y + 3xy . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y là: A. 1 .B. .C. .D. . 2 3 4 1 Câu 35. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x 4 + y 4 + = xy + 2 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị xy lớn nhất của biểu thức P = xy lần lượt là: 1 1 A. và 1 .B. và .C.0 và1 .D. và . 1 1 2 2 4 Câu 36. Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0;1) và thỏa mãn (a3 + b3 )(a + b)- ab(a - 1)(b - 1)= 0. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab bằng: 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 1 9 4 3 Câu 37. Cho hai số thực x, y thuộc đoạn [0;1] và thỏa mãn x + y = 4xy. Tập giá trị của biểu thức P = xy là: 6
  6. é 1ù é 1ù é1 1ù A. B.[0; 1C.]. D. ê0; ú. ê0; ú. ê ; ú. ëê 4ûú ëê 3ûú ëê4 3ûú Câu 38. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + 2y - xy = 0 . Giá trị nhỏ nhất của S = x + 2y là 1 A. 2 .B. .C. .D. . 4 8 4 Câu 39. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y + xy ³ 7 . Giá trị nhỏ nhất của S = x + 2y là: A. 8 .B. .C. .D. 5 . 7 - 11 Câu 40. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2x + 3y £ 7 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + xy là: A. 3 .B. .C. .D. . 5 6 2 Câu 41. Cho hai số thực x, y không âm và thỏa mãn x 2 + 2y = 12 . Giá trị lớn nhất của P = xy là: 13 A. .B. .C. .D. 4 . 8 13 4 x 2 + y2 Câu 42. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x > y và xy = 1000. Biết biểu thức F = đạt x - y ïì x = a a2 + b2 giá trị nhỏ nhất khi íï . Tính P = . îï y = b 1000 A. P = 2. B. P = 3. C. P = 4. D. P = 5. Câu 43. Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x + y ³ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất Fmin của 1 2 biểu thức F = x + y + + . 2x y 1 1 2 A. F = 4 . B. F = 3 2. C. F = 4 . D. F = 4 . min 2 min min 3 min 3 1 Câu 44. Cho x > 8y > 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x + là y(x - 8y) A. 3. B. 6. C. 8. D. 9. Câu 45. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y + 1 = 2( x - 2 + y + 3) . Tập giá trị của biểu thức S = x + y là: A. [- 1;7] .B. .C. [3;7] .D. . [3;7]È{- 1} [- 7;7] Câu 46. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a > 0, b > 0 và f (x)= ax 2 + bx + c ³ 0 với mọi 4a + c x Î ¡ . Tìm giá trị nhỏ nhất F của biểu thức F = . min b A. Fmin = 1. B. Fmin = 2. C. Fmin = 3. D. Fmin = 5. Câu 47. Cho ba số thực a, b, c không âm và thỏa mãn a2 + b2 + c 2 + abc = 4 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = a2 + b2 + c 2 lần lượt là: A. 1 và 3 . B. và .C.2 và4 .D. và . 2 3 3 4 7
  7. 1 x y z Câu 48. Cho ba số thực dương x, y, z . Biểu thức P = (x 2 + y2 + z 2 )+ + + có giá 2 yz zx xy trị nhỏ nhất bằng: 11 5 9 A. .B. .C. .D. . 9 2 2 2 Câu 49. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 3 + y3 + z 3 + 3(3 x + 3 y + 3 z ) bằng: 11 A. 12 .B. .3C. .D. 5 . 2 Câu 50. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + y + z + z + x bằng: 3 A. 3 .B. .C. .D. . 2 3 1 3 BAØI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH VAØ 2. HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 1. Bất phương trình một ẩn Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f (x) f (x) (g(x)³ f (x)). 2. Điều kiện của một bất phương trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). 3. Bất phương trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung 8
  8. của chúng. Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Bất phương trình tương đương Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương đó. 2. Phép biến đổi tương đương Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. 3. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P (x) 0, " x P (x) Q(x). f (x), f (x)< 0, " x 5. Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P (x)< Q(x)Û P 2 (x)< Q 2 (x), P (x)³ 0, Q(x)³ 0, " x 6. Chú ý Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau 1)Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. 2)Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P (x)< Q(x) với biểu thức f (x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f (x). Nếu f (x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình. 3)Khi giải bất phương trình P (x)< Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai 9
  9. trường hợp a)P (x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. b)P (x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết P (x) 2- 4 - x. x + 5 A. x Î [-B.5; 4 ]. C. x Î (- 5D.;4 ] . x Î [4;+ ¥ ). x Î (- ¥ ;- 5). x + 1 Câu 3. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2 3. m 2. m > - . m > - 2. 2 Vấn đề 2. CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG 3 3 Câu 6. Bất phương trình 2x + < 3+ tương đương với 2x - 4 2x - 4 3 3 A. 2x < 3. B. vàx < . C.x ¹ 2 . D. Tấtx <cả đều đúng. 2 2 3 3 Câu 7. Bất phương trình 2x + < 5+ tương đương với: 2x - 4 2x - 4 5 5 A. 2x < 5. B. vàx < . C.x ¹ 2 . D. Tấtx <cả đều đúng. 2 2 Câu 8. Bất phương trình 2x - 1³ 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây? 10
  10. 1 1 1 1 A. 2x - 1+ ³ . B. 2x - 1- ³ - . x - 3 x - 3 x + 3 x + 3 2x - 1 1 C. (2x - 1) x - 2018 ³ x - 2018. D. ³ . x - 2018 x - 2018 Câu 9. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương? A. x - 2 £ 0 và x 2 (x - 2)£ 0. B. vàx - 2 0. C. x - 2 0 ? 2 A. (x –1) (x + 5)> 0. B. x 2 (x + 5)> 0. C. x + 5(x + 5)> 0. D. x + 5(x - 5)> 0. Câu 11. Bất phương trình (x + 1) x £ 0 tương đương với 2 2 2 A. x (x + 1) £ 0. B. (x + 1) x 0 và (a –1)x - a + 3 > 0 tương đương: A. a = 1. B. a = 5. C. a = - 1. D. a = 2. Câu 14. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m + 2)x £ m + 1 và 3m(x - 1)£ - x - 1 tương đương: A. m = - 3. B. m = - 2. C. m = - 1. D. m = 3. Câu 15. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m + 3)x ³ 3m - 6 và (2m - 1)x £ m + 2 tương đương: A. m = 1. B. m = 0. C. m = 4. D. m = 0 hoặc m = 4. Vấn đề 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Câu 16. Bất phương trình ax + b > 0 vô nghiệm khi: ïì a ¹ 0 ïì a > 0 ïì a = 0 ïì a = 0 A. íï . B. C.íï . D. íï . íï . îï b = 0 îï b > 0 îï b ¹ 0 îï b £ 0 Câu 17. Bất phương trình ax + b > 0 có tập nghiệm là ¡ khi: ïì a = 0 ïì a > 0 ïì a = 0 ïì a = 0 A. íï . B. C.íï . D. íï . íï . îï b > 0 îï b > 0 îï b ¹ 0 îï b £ 0 Câu 18. Bất phương trình ax + b £ 0 vô nghiệm khi: ïì a = 0 ïì a > 0 ïì a = 0 ïì a = 0 A. íï . B. C.íï . D. íï . íï . îï b > 0 îï b > 0 îï b ¹ 0 îï b £ 0 2x Câu 19. Tập nghiệm S của bất phương trình 5x - 1³ + 3 là: 5 11
  11. æ ö é ö ç 5 ÷ 20 ÷ A. B.S = ¡ . S =C.(- ¥ ;2). S = D.ç- ;+ ¥ ÷. S = ê ;+ ¥ ÷. èç 2 ø ëê23 ø 3x + 5 x + 2 Câu 20. Bất phương trình - 1£ + x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn- 10 ? 2 3 A. 4 . B. 5. C. 9. D. 10. Câu 21. Tập nghiệm S của bất phương trình (1- 2)x - 2x là: æ 5 ö æ 5ö A. S = ¡ . B. C.S = D.ç - ;+ ¥ ÷. S = ç- ¥ ; ÷. S = Æ. èç 2 ÷ø èç 2ø÷ 2 2 Câu 25. Tập nghiệm S của bất phương trình (x + 3) ³ (x - 3) + 2 là: é 3 ÷ö æ 3 ÷ö æ 3 ù æ 3 ÷ö A. B.S = ê ;+ ¥ ÷. S =C.ç ;+ ¥ ÷. S = D.ç- ¥ ; ú. S = ç- ¥ ; ÷. ê ÷ ç ÷ ç ú ç ÷ ëê6 ø÷ èç 6 ø÷ èç 6 ûú èç 6 ø÷ 2 2 2 Câu 26. Tập nghiệm S của bất phương trình (x - 1) + (x - 3) + 15 3 vô nghiệm khi A. m ¹ 1. B. m 1. Câu 32. Bất phương trình (m2 - 3m)x + m < 2- 2x vô nghiệm khi 12
  12. A. m ¹ 1. B. m ¹ 2.C. D. m = 1,m = 2. m Î ¡ . Câu 33. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m2 - m)x 3x + 4 có tập nghiệm là (- m - 2;+ ¥ ) . A. m = 2. B. m ¹ 2.C. D.m > 2. m 1.C. D.m 2 C. . D.m =. 2 m < 2 Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m(x - 1)< 3- x có nghiệm. A. .m ¹ 1 B. . m = 1 C. . mD.Î . ¡ m ¹ 3 Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (m2 + m - 6)x ³ m + 1có nghiệm. A. .m ¹ 2 B. mv๠2 . m ¹C.3 . m Î ¡ D. . m ¹ 3 Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m2 x - 1< mx + m có nghiệm. A. m = 1. B. .m = 0 C. m = 0; m = 1. D. . m Î ¡ Câu 45. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình mx + 6 < 2x + 3m với m < 2 . Hỏi tập hợp nào sau đây là phần bù của tập S ? A. (3;+ ¥ ) . B. [3;+ ¥ ). C. .D. (- ¥ ;3) . (- ¥ ;3] Câu 46. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m(2x - 1)³ 2x + 1 có tập nghiệm là 13
  13. [1;+ ¥ ). A. B.m =C.3 D. m = 1 m = - 1 m = - 2. Câu 47. Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2x - m 1. Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx + 4 > 0 nghiệm đúng với mọi x m Î ¡ 2 2 2 Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình m2 (x - 2)+ m + x ³ 0 có nghiệm x Î [- 1;2] . A. m ³ - 2 . B. m . C.= - 2 . D. m .³ - 1 m £ - 2 Vấn đề 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ïì 2- x > 0 Câu 51. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình íï là: îï 2x + 1 îï 2 æ 1ö æ 1 ö A. B.S = ç- ¥ ;- ÷. S =C.(1 ;+ ¥ ). S = D.ç- ;1÷. S = Æ. èç 4ø÷ èç 4 ÷ø ïì 2x - 1 îï 2 14
  14. æ2012 2018ö æ 2012ö æ2018 ö A. B.S =C.Æ . S = ç D. ; ÷. S = ç- ¥ ; ÷. S = ç ;+ ¥ ÷. èç 8 3 ø÷ èç 8 ø÷ èç 3 ø÷ é 3ö÷ Câu 55. Tập S = ê- 1; ÷ là tập nghiệm của hệ bất phương trình sau đây ? ëê 2ø ïì 2(x - 1) 1 ïì 2(x - 1) 4x + 7 ï 7 Câu 58. Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình íï là: ï 8x + 3 ï 0 Câu 61. Hệ bất phương trình íï có nghiệm khi và chỉ khi: îï x - m - . m ³ - . 2 2 2 2 ì ï 3(x - 6) 7 îï 2 A. m > - 11. B. m ³ - 11. C. m < - 11. D. m £ - 11. 15
  15. ïì x 2 - 1£ 0 Câu 63. Hệ bất phương trình íï có nghiệm khi và chỉ khi: îï x - m > 0 A. B.m > 1. m =C.1 . m 1. m 2 . B. .C.m = 2 .D. . m £ 2 m ³ 2 ïì m2 x ³ 6- x Câu 67. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình íï có nghiệm îï 3x - 1£ x + 5 duy nhất. A. m = 1 . B. .C.m = - 1 .D. . m = ± 1 m ³ 1 ì 2 2 ï (x - 3) ³ x + 7x + 1 Câu 68. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình í ï îï 2m £ 8 + 5x có nghiệm duy nhất. 72 72 72 72 A. m = . B. m .C.> .D. m . x + 9 Câu 71. Hệ bất phương trình íï vô nghiệm khi và chỉ khi: îï 1- 2x £ m - 3x + 1 5 5 5 5 A. m > . B. C.m ³ . D. m < . m £ . 2 2 2 2 16
  16. ïì 2x + 7 ³ 8x + 1 Câu 72. Hệ bất phương trình íï vô nghiệm khi và chỉ khi: îï m + 5 - 3.B. m ³C.- 3. D. m .B. m ³C. . D. m (m - 2)x + m A. m > 3. B. m ³ 3.C. D.m 1. B. m ³ 1.C. D.m < 1. m £ 1. BAØI DAÁU CUÛA NHÒ THÖÙC BAÄC NHAÁT 3. I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1. Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f (x)= ax + b trong đó a,b là hai số đã cho, a ¹ 0. 2. Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí Nhị thức f (x)= ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng æ b ö æ b ö ç- ;+ ¥ ÷, trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng ç- ¥ ;- ÷. èç a ø÷ èç a÷ø b x - ¥ - + ¥ a f (x)= ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a Minh họa bằng đồ thị 17
  17. II – XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT Giả sử f (x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f (x) ta suy ra được dấu của f (x). Trường hợp f (x) là một thương cũng được xét tương tự. III – ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Giải bất phương trình f (x)> 0 thực chất là xét xem biểu thức f (x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f (x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x ), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f (x). 1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 1 Ví dụ. Giải bất phương trình ³ 1. 1- x Giải. Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 1 1 x ³ 1 Û - 1³ 0 Û ³ 0 1- x 1- x 1- x x Xét dấu biểu thức f (x)= 1- x Ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 £ x < 1. 2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ. Giải bất phương trình - 2x + 1 + x - 3 < 5. Giải. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có ïì - 2x + 1 neu - 2x + 1³ 0 - 2x + 1 = íï ï îï - (- 2x + 1) neu - 2x + 1< 0. Do đó, ta xét phương trình trong hai khoảng ì ï 1 ïì 1 1 ï x £ ï x £ a) Với x £ ta có hệ bất phương trình íï 2 hay í 2 . 2 ï ï îï (- 2x + 1)+ x - 3 < 5 îï - x < 7 1 Hệ này có nghiệm là - 7 < x £ . 2 18
  18. ì ï 1 ïì 1 1 ï x > ï x > b) Với x > ta có hệ bất phương trình íï 2 hay í 2 . 2 ï ï îï (2x - 1)+ x - 3 0 đã cho. Ta có f (x) £ a Û - a £ f (x)£ a (a > 0) f (x) ³ a Û f (x)£ - a hoặc f (x)³ a CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. XÉT DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT Câu 1. Cho biểu thức f (x)= 2x - 4. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x)³ 0 là é1 ÷ö A. x Î [2;+ ¥ ). B. x Î ê ;+ ¥ ÷. C. x Î (- ¥ ;2]. D. x Î (2;+ ¥ ). ëê2 ø Câu 2. Cho biểu thức f (x)= (x + 5)(3- x). Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình f (x)£ 0 là A. x Î (- ¥ ;5)È(3;+ ¥ ). B. x Î (3;+ ¥ ). C. x Î (- 5;3). D. x Î (- ¥ ;- 5]È[3;+ ¥ ). Câu 3. Cho biểu thức f (x)= x (x - 2)(3- x). Tập hợp tất cả các giá trị của xthỏa mãn bất phương trình f (x)< 0 là A. x Î (0;2)È(3;+ ¥ ). B. x Î (- ¥ ;0)È(3;+ ¥ ). C. x Î (- ¥ ;0]È(2;+ ¥ ). D. x Î (- ¥ ;0)È(2;3). Câu 4. Cho biểu thức f (x)= 9x 2 - 1. Tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x)< 0 là é ù æ ö æ ö 1 1 ç 1÷ ç1 ÷ A. x Î ê- ; ú. B. x Î ç- ¥ ;- ÷Èç ;+ ¥ ÷. ëê 3 3ûú èç 3ø èç3 ø æ ù é ö æ ö ç 1 1 ÷ ç 1 1÷ C. x Î ç- ¥ ;- úÈ ê ;+ ¥ ÷. D. x Î ç- ; ÷. èç 3ûú ëê3 ø èç 3 3ø Câu 5. Cho biểu thức f (x)= (2x - 1)(x 3 - 1). Tập hợp tất cả các giá trị của xthỏa mãn bất 19
  19. phương trình f (x)³ 0 là é ù æ ö 1 ç 1÷ A. x Î ê ;1ú. B. x Î ç- ¥ ;- ÷È(1;+ ¥ ). ëê2 ûú èç 2ø æ ù æ ö ç 1 ç1 ÷ C. x Î ç- ¥ ; úÈ[1;+ ¥ ). D. x Î ç ;1÷. èç 2ûú èç2 ø 1 Câu 6. Cho biểu thức f (x)= . Tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x)£ 0 là 3x - 6 A. x Î (- ¥ ;2]. B. x Î (- ¥ ;2). C. x Î (2;+ ¥ ). D. x Î [2;+ ¥ ). (x + 3)(2- x) Câu 7. Cho biểu thức f (x)= . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất x - 1 phương trình f (x)> 0 là A. x Î (- ¥ ;- 3)È(1;+ ¥ ). B. x Î (- 3;1)È(2;+ ¥ ). C. x Î (- 3;1)È(1;2). D. x Î (- ¥ ;- 3)È(1;2). (4x - 8)(2 + x) Câu 8. Cho biểu thức f (x)= . Tập hợp tất cả các giá trị của xthỏa mãn bất 4 - x phương trình f (x)³ 0 là A. x Î (- ¥ ;- 2]È[2;4). B. x Î (3;+ ¥ ). C. x Î (- 2;4). D. x Î (- 2;2)È(4;+ ¥ ). x (x - 3) Câu 9. Cho biểu thức f (x)= . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất (x - 5)(1- x) phương trình f (x)³ 0 là A. x Î (- ¥ ;0]È(3;+ ¥ ). B. x Î (- ¥ ;0]È(1;5). C. x Î [0;1)È[3;5). D. x Î (- ¥ ;0)È(1;5). 4x - 12 Câu 10. Cho biểu thức f (x)= . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương x 2 - 4x trình f (x)£ 0 là A. x Î (0;3]È(4;+ ¥ ). B. x Î (- ¥ ;0]È[3;4). C. x Î (- ¥ ;0)È[3;4). D. x Î (- ¥ ;0)È(3;4). 2- x Câu 11. Cho biểu thức f (x)= + 2. Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương x + 1 trình f (x)< 0 là A. x Î (- ¥ ;- 1). B. x Î (- 1;+ ¥ ). C. x Î (- 4;- 1). D. x Î (- ¥ ;- 4)È(- 1;+ ¥ ). 20
  20. 2- x Câu 12. Cho biểu thức f (x)= 1- . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương 3x - 2 trình f (x)£ 0 là æ2 ö æ 2ö A. x Î ç ;1÷. B. x Î ç- ¥ ; ÷È(1;+ ¥ ). èç3 ø÷ èç 3ø÷ æ ù æ ö ç2 ç2 ÷ C. x Î ç ;1ú. D. x Î (- ¥ ;1)Èç ;+ ¥ ÷. èç3 ûú èç3 ø - 4 3 Câu 13. Cho biểu thức f (x)= - . Tập hợp tất cả các giá trị của xthỏa mãn bất 3x + 1 2- x phương trình f (x)> 0 là æ 11 1ö æ 11 1ö A. x Î ç- ;- ÷È[2;+ ¥ ). B. x Î ç- ;- ÷È(2;+ ¥ ). èç 5 3ø÷ èç 5 3ø÷ æ ù æ ö æ ö æ ö ç 11 ç 1 ÷ ç 11÷ ç 1 ÷ C. x Î ç- ¥ ;- úÈç- ;2÷. D. x Î ç- ¥ ;- ÷Èç- ;2÷. èç 5 ûú èç 3 ø èç 5 ø èç 3 ø 1 2 3 Câu 14. Cho biểu thức f (x)= + - . Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất x x + 4 x + 3 phương trình f (x) - Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình (2x 8)(1 x) 0 có dạng (a;b). Khi đó b a bằng A. 3. B. C. D. không5. giới hạn. 9. Câu 17. Tập nghiệm S = (- 4;5) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. (x + 4)(x + 5)< 0. B. ( x + 4)(5x - 25)< 0. C. (x + 4)(5x - 25)³ 0. D. (x - 4)(x - 5)< 0. Câu 18. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình (x + 3)(x - 1)£ 0 là A. 1. B. C. D.- 4. - 5. 4. Câu 19. Tập nghiệm S = [0;5] là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây ? 21
  21. A. x (x - 5) 0. Câu 20. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình x (x - 2)(x + 1)> 0 là A. 2. B. 3. C. D. 4. 5. Câu 21. Tập nghiệm S = (- ¥ ;3)È(5;7) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây ? A. (x + 3)(x - 5)(14 - 2x)£ 0. B. (x - 3)(x - 5)(1 4 - 2x)> 0. C. (x - 3)(x - 5)(14 - 2x) 0 là A. - 9. B. C. - D.6 . - 4. 8. Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình 2x (4 - x)(3- x)(3+ x)> 0 là A. Một khoảng B. Hợp của hai khoảng. C. Hợp của ba khoảng. D. Toàn trục số. Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình (x - 1) x (x + 2)³ 0 là A. x = - 2.B. x = 0C D.x = 1. x = 2. Vấn đề 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 2- x Câu 26. Bất phương trình ³ 0 có tập nghiệm là 2x + 1 æ ö é ù æ ù æ ö ç 1 ÷ 1 ç 1 ç1 ÷ A. S =B.ç- ;2÷. C. S = êD.- ;2ú. S = ç- ;2ú. S = ç ;2÷. èç 2 ø ëê 2 ûú èç 2 ûú èç2 ø (3- x)(x - 2) Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình £ 0 là x + 1 A. S = (- 1;2]È[3;+ ¥B.). S = (- ¥ ;1)È[2;3]. C. S = [- 1;2]È[3;+ ¥ D.). S = (- 1;2)È(3;+ ¥ ). 3 Câu 28. Bất phương trình < 1 có tập nghiệm là 2- x A. S = (- 1;2). B. S = [- 1;2). C. S = (- ¥ ;- 1)ÈD.(2 ;+ ¥ ). S = (- ¥ ;- 1]È[2;+ ¥ ). x 2 + x - 3 Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình ³ 1 là x 2 - 4 A. S = (- ¥ ;- 2)È(- 1;2). B. S = (- 2;1]È(2;+ ¥ ). C. S = [- 2;1)È(2;+ ¥ ) D. S = (- 2;1]È[2;+ ¥ ). 22
  22. 4 2 Câu 30. Bất phương trình - < 0 có tập nghiệm là x - 1 x + 1 A. S = (- ¥ ;- 3)ÈB.(1 ;+ ¥ ). S = (- ¥ ;- 3)È(- 1;1). C. D.S = (- 3;- 1)È(1;+ ¥ ). S = (- 3;1)È(- 1;+ ¥ ). 3 5 Câu 31. Bất phương trình ³ có tập nghiệm là 1- x 2x + 1 æ ö é ö æ ö ç 1÷ 2 ÷ ç 1 2 ÷ A. S = ç- ¥ ;- ÷È ê ;1÷. B. S = ç- ; ÷È(1;+ ¥ ). èç 2ø ëê11 ø èç 2 11ø æ ù é ö æ ö æ ö ç 1 2 ÷ ç 1÷ ç 2 ÷ C. D.S = ç- ¥ ;- úÈ ê ;1÷. S = ç- ¥ ;- ÷Èç ;1÷. èç 2ûú ëê11 ø èç 2ø èç11 ø 2x 1 Câu 32. Bất phương trình - £ 2 có tập nghiệm là x + 1 x - 1 æ 1ù A. S = ç- 1; úÈ(1;+ ¥B.). S = (- ¥ ;- 1]È(1;+ ¥ ). èç 3ûú æ 1ö æ1 ö C. D.S = ç- 1; ÷È(1;+ ¥ ). S = (- ¥ ;- 1]Èç ;1÷. èç 3ø÷ èç3 ø÷ 1 2 3 Câu 33. Bất phương trình + < có tập nghiệm là x x + 4 x + 3 A. S = (- ¥ ;- 12)È(- 4;3)È(0;+ ¥ ). B. S = [- 12;- 4)È(- 3 ;0). C. D.S = (- ¥ ;- 12)È[- 4;3]È(0 ;+ ¥ ). S = (- 12;- 4)È(- 3;0). 1 1 Câu 34. Bất phương trình < 2 có tập nghiệm S là x + 1 (x - 1) A. T = (- ¥ ;- 1)È(0;1)È[1;3]. B. T = [- 1;0)È (- 3;+ ¥ ). C. D.T = (- ¥ ;- 1)È(0;1)È(1;3) . T = (- 1;0]È(- 3;+ ¥ ). x + 4 2 4x Câu 35. Bất phương trình - < có nghiệm nguyên lớn nhất là x 2 - 9 x + 3 3x - x 2 A. x = 2. B. C. D.x = 1. x = - 2. x = - 1. Vấn đề 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Câu 36. Tất cả các giá trị của x thoả mãn x - 1 < 1 là A. - 2 < x < 2. B. 0 < x < C.1 . D. x < 2. 0 < x < 2. Câu 37. Nghiệm của bất phương trình 2x - 3 £ 1 là A. 1£ x £ 3. B. - 1£ xC.£ 1. D. 1£ x £ 2. - 1£ x £ 2. Câu 38. Bất phương trình 3x - 4 £ 2 có nghiệm là æ 2ù é2 ù A. ç- ¥ ; úÈ[2;+ ¥ ). B. ê ;2ú. èç 3ûú ëê3 ûú 23
  23. æ 2ù C. ç- ¥ ; ú. D. [2;+ ¥ ). èç 3ûú Câu 39. Bất phương trình 1- 3x > 2 có nghiệm là æ 1ö A. ç- ¥ ;- ÷È(1;+ ¥ ). B.(1;+ ¥ ). èç 3ø÷ æ 1ö æ 1ö C. ç- ¥ ;- ÷. D. ç- ¥ ; ÷. èç 3ø÷ èç 3÷ø Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình x - 3 > - 1 là A. (3;+ ¥ ). B. (- C.¥ ;3). D. (- 3;3). ¡ . Câu 41. Tập nghiệm của bất phương trình 5x - 4 ³ 6 có dạng S = (- ¥ ;a]È[b;+ ¥ ). Tính tổng P = 5a + b. A. 1. B. C. D. 2. 0. 3. 2- x Câu 42. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình ³ 2 ? x + 1 A. 1. B. C. D. 2. 4. 3. Câu 43. Số nghiệm nguyên của bất phương trình 1£ x - 2 £ 4 là A. 2. B. C. D. 4. 6. 8. Câu 44. Bất phương trình : 3x - 3 £ 2x + 1 có nghiệm là æ 2ù é2 ù A. [4;+ ¥ ). B. ç- ¥ ; ú. C. ê ;4ú. D. (- ¥ ;4]. èç 5ûú ëê5 ûú Câu 45. Bất phương trình x - 3 > 2x + 4 có nghiệm là æ 1ö æ 1ö A. ç- 7; ÷. B. ç7;- ÷. èç 3ø÷ èç 3ø÷ æ 1ö æ 1 ö C.ç- 7;- ÷. D. (- ¥ ;- 7)Èç- ;+ ¥ ÷. èç 3ø÷ èç 3 ø÷ Câu 46. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x trong [- 2017;2017] thỏa mãn bất phương trình 2x + 1 < 3x ? A. 2016. B. C. 2017. D. 4032. 4034. Câu 47. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 12 ³ 2x - 4 là A. 5. B. 8. C. D. 11. 16. Câu 48. Bất phương trình 3x - 4 ³ x - 3 có nghiệm là æ ù é ù é ö ç 7 1 7 1 ÷ A. ç- ¥ ; ú. B. êC.; ú. D. ê ;+ ¥ ÷. ¡ . èç 4ûú ëê2 4ûú ëê2 ø x - 1 Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình < 1 là x + 2 24
  24. æ 1 ö æ 1 ö A. S = ç- ;+ ¥ ÷. B. S = (- ¥ ;- 2)Èç- ;+ ¥ ÷. èç 2 ÷ø èç 2 ø÷ æ 1ö æ 1ö C. S = ç- ¥ ;- ÷È(2;+ ¥ ). D. S = ç- 2;- ÷. èç 2ø÷ èç 2ø÷ x + 2 - x Câu 50. Nghiệm của bất phương trình £ 2 là x A. (0;1]. B. (- ¥ ;- 2)È(1;+ ¥ ). C. (- ¥ ;0)È[1;+ ¥ ). D. [0;1]. Câu 51. Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 2 + - 2x + 1 £ x + 1 là A. 3. B. C. D. 5. 2. 0. 3 Câu 52. Bất phương trình x + 2 - x - 1 c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. 25
  25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1 ) được gọi là miền nghiệm của nó. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by £ c như sau (tương tự cho bất phương trình ax + by ³ c ) Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng D : ax + by = c. Bước 2. Lấy một điểm M 0 (x0 ; y0 ) không thuộc D (ta thường lấy gốc tọa độ O ) Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c. Bước 4. Kết luận Nếu ax0 + by0 c thì nửa mặt phẳng bờ D không chứa M 0 là miền nghiệm của ax0 + by0 £ c. Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax0 + by0 £ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình ax0 + by0 < c. Ví dụ. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x + y £ 3 Giải Vẽ đường thẳng D : 2x + y = 3. Lấy gốc tọa độ O(0;0), ta thấy O Ï D và có 2.0 + 0 < 3 nên nửa mặt phẳng bờ D chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình). III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Tương tự hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. ïì 3x + y £ 6 ï ï x + y £ 4 Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình íï . ï x ³ 0 ï îï y ³ 0 Giải. Vẽ các đường thẳng 26
  26. d1 : 3x + y = 6 d2 : x + y = 4 d2 : x = 0 (Oy) d2 : y = 0 (Ox) Vì điểm M 0 (1;1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d1 ), (d2 ), (d3 ), (d4 ) không chứa điểm M 0 . Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI, IC, CO, OA ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho. IV – ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Câu 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. 2 x 2B.+ 3y > 0. x 2 + y C.2 4(x + 1)- y + 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. ( 3;0). B. (3;1). C. (2D.;1 ) . (0;0). Câu 4. Miền nghiệm của bất phương trình: 3(x - 1)+ 4( y - 2) 0 27
  27. A. ( - 5;0). B. (- 2;C.1). D.( 0;0). (1;- 3). Câu 7. Điểm A(- 1;3) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình: A. - 3x + 2y - 4 > 0. B. x + 3y 0. D. 2x- y + 4 > 0. Câu 8. Cặp số (2;3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ? A. .2 x – 3y –1> 0 B. . x – y 3y . x – 3y + 7 < 0 Câu 9. Miền nghiệm của bất phương trình x + y £ 2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau? y y 2 2 2 2 x x O O A. B. y y 2 2 x 2 x 2 O O C. D. Câu 10. Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau? 28
  28. y 3 2 x O -3 A. 2 x - B.y C.3. x - 2y 3. Vấn đề 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ïì x + 3y - 2 ³ 0 Câu 11. Cho hệ bất phương trình íï . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền îï 2x + y + 1£ 0 nghiệm của hệ bất phương trình? A. M (0;1). B. N C.(– 1;1). D. P (1;3). Q(–1;0). ïì 2x - 5y - 1> 0 ï Câu 12. Cho hệ bất phương trình íï 2x + y + 5 > 0 . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền ï îï x + y + 1 3 A. íï . B. íï . îï 2x + 5y £ 12x + 8 îï 2x + 5y £ 12x + 8 29
  29. ïì 2x- y > - 3 ïì 2x- y £ - 3 C. íï . D. íï . îï 2x + 5y £ 12x + 8 îï 2x + 5y ³ 12x + 8 ïì x + y - 2 £ 0 Câu 16. Cho hệ bất phương trình íï . Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc îï 2x - 3y + 2 > 0 miền nghiệm của hệ bất phương trình? A. O(0;0). B. M (1;1). C. N (- 1;1). D. P (- 1;- 1). ïì x - 2y - 2 là phần không tô đậm của hình vẽ ï îï y - x 0 ï Câu 18. Miền nghiệm của hệ bất phương trình íï y ³ 2 là phần không tô đậm của hình vẽ ï îï - x + 2y > 3 nào trong các hình vẽ sau? 30
  30. y y 2 2 1 1 1 x 1 x -3 O -3 O A. B. y y 2 2 1 1 1 x 1 x -3 O -3 O C. D. Câu 19. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau? y 1 O x 1 -1 ïì x - y ³ 0 ïì x - y > 0 ïì x - y 1 îï 2x - y > 1 îï 2x - y < 1 Câu 20. Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau? y 1 -2 x 2 31
  31. ïì x - 2y £ 0 ïì x - 2y > 0 ïì x - 2y £ 0 ïì x - 2y - 2 Vấn đề 3. BÀI TOÁN TỐI ƯU Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T (x, y)= ax + by với (x; y) nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với (x; y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác. Bước 3: Kết luận: · Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. · Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. Câu 21. Giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F (x; y)= y – x trên miền xác định bởi hệ ïì y - 2x £ 2 ï íï 2y - x ³ 4 là ï îï x + y £ 5 A. Fmin = 1. B. C. D. Fmin = 2. Fmin = 3. Fmin = 4. ïì 2x - y ³ 2 ï ï x - 2y £ 2 Câu 22. Biểu thức F (x; y)= y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện íï tại điểm M có ï x + y £ 5 ï îï x ³ 0 toạ độ là: æ8 7ö æ2 2ö A. ( 4;1). B. ç ;- C.÷ . D. ç ;- ÷. (5;0). èç3 3ø÷ èç3 3ø÷ ì ï x + 2y - 100 £ 0 ï ï 2x + y - 80 £ 0 Câu 23. Cho x, y thoả mãn hệ í . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức ï x ³ 0 ï îï y ³ 0 P = (x; y)= 40000x + 30000y. A. PB.m ax = 2000000. Pma C.x = 2400000. Pmax D.= 1800000. Pmax = 1600000. Câu 24. Giá trị lớn nhất Fmax của biểu thức F (x; y)= x + 2y trên miền xác định bởi hệ ïì 0 £ y £ 4 ï ï x ³ 0 íï là ï x - y - 1£ 0 ï îï x + 2y - 10 £ 0 A. Fmax = 6. B. C. D. Fmax = 8. Fmax = 10. Fmax = 12. Câu 25. Giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F (x; y)= 4x + 3y trên miền xác định bởi hệ 32
  32. ïì 0 £ x £ 10 ï ï 0 £ y £ 9 íï là ï 2x + y ³ 14 ï îï 2x + 5y ³ 30 A. Fmin = 23. B. C. D. Fmin = 26. Fmin = 32. Fmin = 67. Câu 26. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. ● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu; ● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất? A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.B. lít nước6 cam và lít nước5 táo. C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.D. lít nước4 cam và lít nước6 táo. Câu 27. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm ● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn; ● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất? A. 30 kg loại I và 40 kg loại II. B. 20 kg loại I và 40 kg loại II. C. 30 kg loại I và 20 kg loại II. D. kg loại I và25 kg loại II.4 5 Câu 28. Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng. A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin B. B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B. C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin B. D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin B. Câu 29. Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau. · Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm. · Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất? A. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm. C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm. D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm. Câu 30. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản 33
  33. phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm Alãi triệu4 đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất. A. Sản xuất 9 tấn sản phẩm A và không sản xuất sản phẩm B. B. Sản xuất 7 tấn sản phẩm A và 3 tấn sản phẩm B. 10 49 C. Sản xuất tấn sản phẩm A và tấn sản phẩm B. 3 9 D. Sản xuất 6 tấn sản phẩm B và không sản xuất sản phẩm A. BAØI DAÁU CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI 5. I – ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f (x)= ax 2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ¹ 0. 2. Dấu của tam thức bậc hai Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây Định lý Cho f (x)= ax 2 + bx + c (a ¹ 0), D = b2 - 4ac. Nếu D 0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x x2 , trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2 ) là hai nghiệm của f (x). Chú ý 2 Trong định lí trên, có thể thay biệt thức D = b2 - 4ac bằng biệt thức thu gọn D ¢= (b¢) - ac. Minh họa hình học Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh họa hình học sau 34
  34. II – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1. Bất phương trình bậc hai Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax 2 + bx + c 0, ax 2 + bx + c ³ 0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ¹ 0. 2. Giải bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai ax 2 + bx + c 0 ). CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Vấn đề 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Câu 1. Cho f (x)= ax 2 + bx + c (a ¹ 0). Điều kiện để f (x)> 0, " x Î ¡ là ïì a > 0 ïì a > 0 ïì a > 0 ïì a 0 Câu 2. Cho f (x)= ax 2 + bx + c (a ¹ 0) . Điều kiện để f (x)³ 0," x Î ¡ là ïì a > 0 ïì a > 0 ïì a > 0 ïì a 0 Câu 3. Cho f (x)= ax 2 + bx + c (a ¹ 0) . Điều kiện để f (x) 0 ïì a < 0 A íï B.íï C.íï D íï îï D £ 0 îï D = 0 îï D < 0 îï D < 0 35
  35. Câu 4. Cho f (x)= ax 2 + bx + c (a ¹ 0) . Điều kiện để f (x)£ 0," x Î ¡ là ïì a 0 ïì a 0 Câu 5. Cho f (x)= ax 2 + bx + c (a ¹ 0) có D = b2 - 4ac 0, " x Î ¡ .B. . f (x) 0," x Î [1;3 ] Câu 14. Dấu của tam thức bậc 2: f (x)= –x 2 + 5x – 6 được xác định như sau: A. f (x) 0 với x 3 . B. f (x) 0 với x –2 36
  36. C. f (x)> 0 với 2 3 D. f (x)> 0 với –3 –2 Câu 15. Cho các tam thức f (x)= 2x 2 - 3x + 4; g(x)= - x 2 + 3x - 4;h(x)= 4 - 3x 2 . Số tam thức đổi dấu trên ¡ là: A. 0. B. 1.C. 2.D. 3. Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trình: 2x 2 – 7x –15 ³ 0 là: æ 3ù é 3 ù A çB.–¥. ;– úÈ[5;+ ¥ ) ê– ;5ú èç 2ûú ëê 2 ûú é3 ÷ö é 3ù C (D.- .¥ ;- 5]È ê ;+ ¥ ÷ ê- 5; ú ëê2 ø ëê 2ûú Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình: –x 2 + 6x + 7 ³ 0 là: A. .( - ¥ ;- 1]È[7;+ ¥ ) B. . [- 1;7] C. .( - ¥ ;- 7]È[1;+ ¥ ) D. . [- 7;1] Câu 18. Giải bất phương trình - 2x 2 + 3x - 7 ³ 0. A. S = 0. B. C.S = {0}. D. S = Æ. S = ¡ . Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 - 3x + 2 0. 37
  37. C. - 3x 2 + x - 1 0. C. x - 2 0 là 4x 2 - 19x + 12 38
  38. æ 3ö æ3 ö A. S = ç- ¥ ; ÷È(4;7). B. S = ç ;4÷È(7;+ ¥ ). èç 4ø÷ èç4 ø÷ æ3 ö æ3 ö C. S = ç ;4÷È(4;+ ¥ ). D. S = ç ;7÷È(7;+ ¥ ). èç4 ø÷ èç4 ø÷ x + 3 1 2x Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn - < ? x 2 - 4 x + 2 2x - x 2 A. 0. B. C. D. 2. 1. 3. - 2x 2 + 7x + 7 Câu 34. Tập nghiệm S của bất phương trình £ - 1 là x 2 - 3x - 10 A. Hai khoảng. B. Một khoảng và một đoạn. C. Hai khoảng và một đoạn. D. Ba khoảng. x 4 - x 2 Câu 35. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình £ 0 ? x 2 + 5x + 6 A. 0. B. C. D. 2. 1. 3. Vấn đề 4. ỨNG DỤNG VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Câu 36. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2x 2 - 5x + 2. æ 1ù A. D = ç- ¥ ; ú. B. D = [2;+ ¥ ). èç 2ûú æ 1ù é1 ù C. D = ç- ¥ ; úÈ[2;+ ¥ ). D. D = ê ;2ú. èç 2ûú ëê2 ûú Câu 37. Giá trị nguyên dương lớn nhất để hàm số y = 5- 4x - x 2 xác định là A. 1. B. C. D. 2. 3. 4. Câu 38. Tìm tập xác định D của hàm số y = (2- 5)x 2 + (15- 7 5)x + 25- 10 5. A. D = ¡ . B. D = -C.¥ ;1 . D. D = - 5;1 . D = é- 5; 5ù. ( ) [ ] ëê ûú 3- x Câu 39. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 4 - 3x - x 2 A. D = ¡ \{1;- 4}. B. D = [- 4;1]. C. D = (- 4;1). D. D = (- ¥ ;4)È(1;+ ¥ ). x 2 - 1 Câu 40. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 3x 2 - 4x + 1 ì ü æ ö ï 1ï ç1 ÷ A. D = ¡ \í 1; ý. B. D = ç ;1÷. îï 3þï èç3 ø 39
  39. æ ö æ ù ç 1÷ ç 1 C. D = ç- ¥ ; ÷È(1;+ ¥ ). D. D = ç- ¥ ; úÈ[1;+ ¥ ). èç 3ø èç 3ûú 1 Câu 41. Tìm tập xác đinh D của hàm số y = x 2 + x - 6 + . x + 4 A. D = [- 4;- 3]È[2;+ ¥ ). B. D = (- 4;+ ¥ ). C. D = (- ¥ ;- 3]È[2;+ ¥ ). D. D = (- 4;- 3]È[2;+ ¥ ). 1 Câu 42. Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2 + 2x + 3 + . 5- 2x é ö æ ù æ ö æ ö 5 ÷ ç 5 ç5 ÷ ç 5÷ A. D = ê ;+ ¥ ÷. B. D = ç- ¥ ; úC D = ç D.;+ ¥ ÷. D = ç- ¥ ; ÷. ëê2 ø èç 2ûú èç2 ø èç 2ø 3- 3x Câu 43. Tìm tập xác định D của hàm số f (x)= - 1. - x 2 - 2x + 15 A. D = [4;+ ¥ ). B. D = (- 5;- 3]È(3;4]. C. D = (- ¥ ;- 5). D. D = (- 5;3)È(3;4]. x 2 + 5x + 4 Câu 44. Tìm tập xác định D của hàm số y = . 2x 2 + 3x + 1 æ 1 ö æ 1ö A. D = [- 4;- 1)ÈB.ç - ;+ ¥ ÷. D = (- ¥ ;- 4]Èç- 1;- ÷. èç 2 ø÷ èç 2ø÷ æ ö é ö ç 1 ÷ 1÷ C. D = (- ¥ ;- 4D.]È ç- ;+ ¥ ÷. D = ê- 4;- ÷. èç 2 ø ëê 2ø Câu 45. Tìm tập xác định D của hàm số f (x)= x 2 + x - 12 - 2 2. A. D = (- 5;4]. B. D = (- ¥ ;- 5)È(4;+ ¥ ). C. D = (- ¥ ;- 4]È[3;+ ¥ ). D. D = (- ¥ ;- 5]È[4;+ ¥ ). Vấn đề 5. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÔ NGHIỆM – CÓ NGHIỆM – CÓ HAI NGHIỆM PHÂN BIỆT 2 Câu 46. Phương trình x - (m + 1)x + 1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi A. m > 1. B.- 3 3. C. - - . 5 5 Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (m - 2)x 2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 vô nghiệm ? 40
  40. ém > 3 ïì m ¹ 2 A. m 2. C. ê . D. ï . ê í ëm 4 Câu 50. Phương trình (m2 - 4)x 2 + 2(m - 2)x + 3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ém ³ 2 ém ³ 2 A. m ³ 0. B. m = ± 2. C. ê . D. ê . ê ê ëm - 1 ëm ³ - 1 Câu 53. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2x 2 + 2(m + 2)x + 3+ 4m + m2 = 0 có nghiệm ? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Câu 54. Tìm các giá trị của m để phương trình (m - 5)x 2 - 4mx + m - 2 = 0 có nghiệm. é 10 é 10 10 êm £ - êm £ - A. m ¹ 5. B. - £ m £ 1. C. ê 3 . D. ê 3 . 3 ê ê ëêm ³ 1 ëê1£ m ¹ 5 Câu 55. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình (m - 1)x 2 - 2(m + 3)x - m + 2 = 0 có nghiệm. A. mÎ Æ. B. m Î ¡ . C. - 1 28. C. D.0 0. Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 1 x 2 + (m + 1)x + m - = 0 có nghiệm ? 3 3 3 A. m Î ¡ . B. m > 1. C. - - . 4 4 Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình (m - 1)x 2 + (3m - 2)x + 3- 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt ? 41
  41. A. m Î ¡ . B. 2 6. B. m m > 0 . m > 0. Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình (m - 2)x 2 - 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. A. B.2 6. 9 C. m > 1. D. 1 . B. - 1< m < . 2 2 5 5 C. m £ - 1 hoặc m ³ . D. - 1£ m £ . 2 2 42
  42. Câu 66. Phương trình (m2 - 3m + 2)x 2 - 2m2 x - 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi A. m Î (1;2). B. m Î (- ¥ ;1)È(2;+ ¥ ). ïì m ¹ 1 C. íï . D. mÎ Æ. îï m ¹ 2 Câu 67. Giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 - 2(m - 1)x + m2 - 2m = 0 có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là ém > 1 A. 0 2. D. m > 3. Câu 69. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m + 1)x 2 - 2mx + m - 2 = 0 có hai 1 1 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 thỏa mãn + 6. - 2 6. C. D.2 1. x1 x2 æ 11ö A. B.m Î (- ¥ ;- 2)È(- 2;- 1)È(7;+ ¥ ). m Î (- ¥ ;- 2)Èç- 2;- ÷. èç 10ø÷ C. D.m Î (- ¥ ;- 2)È(- 2;- 1). m Î (7;+ ¥ ). Vấn đề 7. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM – CÓ NGHIỆM – NGHIỆM ĐÚNG Câu 71. Tam thức f (x)= 3x 2 + 2(2m - 1)x + m + 4 dương với mọi x khi: ém ëê 4 Câu 72. Tam thức f (x)= - 2x 2 + (m - 2)x - m + 4 không dương với mọi x khi: A. B.m Î ¡ \ {6 }C D. mÎ Æ. m = 6. m Î ¡ . Câu 73. Tam thức f (x)= –2x 2 + (m + 2)x + m – 4 âm với mọi x khi: A. m 2 .B. . - 14 £ m £ 2 C. - 2 < m < 14 .D. . - 14 < m < 2 Câu 74. Tam thức f (x)= x 2 - (m + 2)x + 8m + 1 không âm với mọi x khi: 43
  43. A. m > 28. B. 0 £ m £ 28. C. m 0 .D. . - 4 £ m £ 0 Câu 76. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình - x 2 + (2m - 1)x + m . D. m ³ . 2 2 2 2 Câu 79. Tam thức f (x)= (m - 4)x 2 + (2m - 8)x + m - 5 không dương với mọi x khi: A. m £ 4. B. m ³ 4. C. m 4 Câu 80. Tam thức f (x)= mx 2 - mx + m + 3 âm với mọi x khi: A. m Î (- ¥ ;- 4] .B. . m Î (- ¥ ;- 4) C. m Î (- ¥ ;- 4]È[0;+ ¥ ) .D. m Î (- ¥ . ;- 4]È(0;+ ¥ ) Câu 81. Tam thức f (x)= (m + 2)x 2 + 2(m + 2)x + m + 3 không âm với mọi x khi: A. m ³ - 2. B. C. D. m £ - 2. m > - 2. m - . B. m ³ - . C. m > 0. D. m > 15. 3 3 Câu 83. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (2m2 - 3m - 2)x 2 + 2(m - 2)x - 1£ 0 có tập nghiệm là ¡ . 1 1 1 A. £ m < 2. B. £ m £ 2. C. m ³ . D. m £ 2. 3 3 3 Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m2 - 4)x 2 + (m - 2)x + 1< 0 vô nghiệm. æ 10ù æ 10ù A. m Î ç- ¥ ;- úÈ[2;+ ¥ ). B. m Î ç- ¥ ;- úÈ(2;+ ¥ ). èç 3 ûú èç 3 ûú 44
  44. æ 10ö C. D.m Î ç- ¥ ;- ÷È(2;+ ¥ ). m Î [2;+ ¥ ). èç 3 ø÷ Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f (x)= (m + 4)x 2 - (m - 4)x - 2m + 1 xác định với mọi x Î ¡ . 20 20 A. m £ 0. B. - £ m £ 0 C m ³ - . D. m > 0. 9 9 Câu 86. Hàm số y = (m + 1)x 2 - 2(m + 1)x + 4 có tập xác định là D= ¡ khi A. - 1£ m £ 3. B. C. D.- 1 - 1. Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để biểu thức - x 2 + 4(m + 1)x + 1- 4m2 f (x)= luôn dương. - 4x 2 + 5x - 2 5 5 5 5 A. m ³ - . B. C. D. m 0 có nghiệm. æ 1ö æ 1 ö A. .m Î ¡ B. m Î ç- ¥ ;- C.÷. m Î ç- ;+ ¥ D.÷. m Î ¡ \{0}. èç 4ø÷ èç 4 ø÷ Vấn đề 8. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ì ï 2 - x ³ 0 Câu 91. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình í 2 là: îï x - 4x + 3 0 Câu 92. Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình íï . ï 2 îï x - 11x + 28 ³ 0 A. x > 3. B. 3 0 Câu 93. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình íï là: ï 2 îï x - 6x + 8 > 0 45
  45. A. S = (- ¥ ;1)È(3;+ ¥ ). B. S = (- ¥ ;1)È(4;+ ¥ ). C. S = (- ¥ ;2)È(3;+ ¥ ). D. S = (1;4). ïì x 2 - 3x + 2 £ 0 Câu 94. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình íï là: ï 2 îï x - 1£ 0 A. S = 1. B. S = {1}. C. S = [1;2]. D. S = [- 1;1]. ïì 3x 2 - 4x + 1> 0 Câu 95. Giải hệ bất phương trình íï . ï 2 îï 3x - 5x + 2 £ 0 1 2 A. x ³ 1. B. x £ . C. x Î Æ. D. x £ . 3 3 ïì - 2x 2 - 5x + 4 0 A. 0. B. C. D. 1. 2. 3. ïì x 2 - 9 0 ïì x 2 - 2x - 3 0 ïì x 2 - 2x - 3 > 0 ïì x 2 - 2x - 3 0 îï 2x - x + 1> 0 ïì x 2 + 4x + 3 ³ 0 ï Câu 100. Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình íï 2x 2 - x - 10 £ 0 là: ï ï 2 îï 2x - 5x + 3 > 0 A. 2. B. C. D. 3. 4. 5. ì ï 2x + m - . B. m < 2 . C. m ³ 2 . D. m ³ - . 3 3 46
  46. ì 2 ï x - 1£ 0(1) Câu 102. Hệ bất phương trình íï có nghiệm khi: ï îï x- m > 0(2) A. m > 1. B. m = 1.C. D.m 0(1) Câu 103. Hệ bất phương trình í có nghiệm khi và chỉ khi: ï îï x -C.2 . D. m = 5. m > 5. 3x 2 + mx - 6 Câu 104. Tìm m để - 9 6. x 2 + 5x + m Câu 105. Xác định m để với mọi x ta có - 1£ 0 Câu 106. Hệ bất phương trình í 2 có nghiệm khi và chỉ khi: îï x - 2mx + 1£ 0 A. m > 1. B. m = 1.C. D.m - . B. m > . C. m > - . D. m > . 5 4 11 32 ì 2 2 ï x - 2(a + 1)x + a + 1£ 0(2) Câu 110. Cho hệ bất phương trình íï . Để hệ bất phương trình có ï 2 îï x - 6x + 5 £ 0(1) nghiệm, giá trị thích hợp của tham số a là: A 0B.£.C.a.£D.2. 0 £ a £ 4 2 £ a £ 4 0 £ a £ 8 PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 47
  47. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 4 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAØI BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 1. ïì a > b ïì a > b ïì a > b Câu 1. Ta có íï Û íï Û íï Þ a - d > b - c. Chọn C. îï c > d îï - c - c Câu 2. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ïì a > b b + c · íï Þ a + a > b + c Þ 2a > b + c Þ a > ¾ ¾® A đúng. îï a > c 2 ïì a > b · íï Þ a + a > b + c Þ a - c > b - a ¾ ¾® B đúng. îï a > c · a > b Þ a + (- c)> b + (- c)Þ a - c > b - c ¾ ¾® C đúng. · a > b Þ - a 0 êíï êï êîï a bc Câu 5. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: ïì 0 b > 0 ïì a > b > 0 ï a b · íChưa đủ dữÛ kiệní 1 để 1so sánhÞ B sai. , ¾ ¾® îï c > d > 0 ï > > 0 c d îï d c ïì a 1 ïì a > b > 0 ï b a d a d · íï Þ íï Þ > 1> Û > ¾ ¾® D đúng. Chọn D. ï c > d > 0 ï d b c b c îï ï 1> îï c Câu 6. Từ giả thiết, ta có a + 2c > b + 2c Û a > b Û 2a > 2b. Chọn C. 48
  48. ïì a + b 0. Chọn A. îï b - a > b îï - a > 0 îï b 0 Û > a, " a Î (0;1) ¾ ¾® A đúng. a a a a 1 a2 - 1 (a - 1)(a + 1) 1 · a - = = 0 ¾ ¾® B sai. ab + 1 2 2(ab + 1) 2(ab + 1) ab + 1 2 2 2 a2 + 1 1 2 a2 + 1- a2 - 2 ( a + 1- 1) a2 + 1 1 · - = = - £ 0 Û £ , " a ¾ ¾® C đúng. a2 + 2 2 2(a2 + 2) 2(a2 + 2) a2 + 2 2 Chọn C. 1+ a 1+ b Câu 10. Giả sử x 0 Û (a - b)(a + b + ab)> 0 luôn đúng với mọi a > b > 0 . Vậy x 1 ï Dấu " = " xảy ra Û í 2 Û x = 1+ 2. Vậy m = 2 2 + 1. Chọn B. ï x - 1 = îï x - 1 x 2 + 4 + 1 1 1 Câu 12. Ta có f (x)= = x 2 + 4 + ³ 2 x 2 + 4. = 2. x 2 + 4 x 2 + 4 x 2 + 4 1 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x 2 + 4 = Û x 2 = - 3 (vô lý). x 2 + 4 Vậy hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất. Chọn D. 49
  49. 2 x 2 + 2x + 1+ 1 (x + 1) + 1 1 Câu 13. Ta có f (x)= = = x + 1+ . x + 1 x + 1 x + 1 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x + 1+ ³ 2 (x + 1). = 2. x + 1 x + 1 ïì x > - 1 ï Dấu " = " xảy ra Û í 1 Û x = 0. Vậy m = 2. Chọn C. ï x + 1 = îï x + 1 (x + 2)(x + 8) x 2 + 10x + 16 16 Câu 14. Ta có f (x)= = = x + + 10. x x x 16 16 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x + ³ 2 x. = 8 Þ f (x)³ 18. x x ïì x > 0 ï Dấu " = " xảy ra Û í 16 Û x = 4. Vậy m = 18. Chọn B. ï x = îï x 4 x 4 4x x 4(1- x) x Câu 15. Ta có f (x)- 4 = + - 4 = - + = + . x 1- x x x 1- x x 1- x x Vì x Î (0;1)Þ > 0 nên theo bất đẳng thức Côsi, ta có 1- x 4(1- x) x 4(1- x) x f (x)- 4 = + ³ 2 . = 4 Û f (x)³ 8. x 1- x x 1- x ì ï 1> x > 0 ï 2 Dấu " = " xảy ra Û í 4(1- x) x Û x = . Vậy m = 8. Chọn D. ï = 3 îï x 1- x 1 1 1 1 2 Câu 16. Cách 1. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có + ³ 2 . = . x 1- x x 1- x x (1- x) 2 (x + 1- x) 1 1 1 Mặt khác x (1- x)£ = ¾ ¾® x (1- x)£ Û ³ 2 Þ f (x)³ 4. 4 4 2 x (1- x) ïì 1> x > 0 1 Dấu " = " xảy ra Û íï Û x = . Vậy m = 4. Chọn B. îï x = 1- x 2 1 1 1- x + x 1- x + x 1- x x Cách 2. Ta có f (x)= + = + = + + 2. x 1- x x 1- x x 1- x 1- x x 1- x x Theo bất đẳng thức Côsi, ta có + ³ 2 . = 2 Þ f (x)³ 4. x 1- x x 1- x ïì 1> x > 0 ï 1 Dấu " = " xảy ra Û í x 1- x Û x = . ï = 2 îï 1- x x 50
  50. x 2 + 32 x 2 - 4 + 36 x + 2 9 x - 2 9 Câu 17. Ta có f (x)= = = + = + + 1. 4(x - 2) 4(x - 2) 4 x - 2 4 x - 2 x - 2 9 x - 2 9 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có + ³ 2 . = 3 Þ f (x)³ 3+ 1 = 4. 4 x - 2 4 x - 2 ïì x > 2 ï Dấu " = " xảy ra Û í x - 2 9 Û x = 8. Vậy m = 4. Chọn C. ï = îï 4 x - 2 2x 3 + 4 4 2 2 Câu 18. Ta có f (x)= = 2x 2 + = 2x 2 + + . x x x x 2 2 2 2 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2x 2 + + ³ 33 2x 2 . . = 3 3 8 = 6. x x x x ïì x > 0 ï Dấu " = " xảy ra Û í 2 2 Û x = 1. Vậy m = 6. Chọn D. ï 2x = îï x x 4 + 3 3 1 1 1 Câu 19. Ta có f (x)= = x 3 + = x 3 + + + . x x x x x 1 1 1 1 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 3 + + + ³ 4 4 x 3. . . = 4 Þ f (x)³ 4. x x x x x x ïì x > 0 ï Dấu " = " xảy ra Û í 3 1 Û x = 1. Vậy m = 4. Chọn A. ï x = îï x 2 (a + b) Câu 20. Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi ab £ , ta được 4 2 (2x + 1+ 5- 2x) f (x)= 3(2x + 1)(5- 2x)£ 3. = 27 Þ f (x)£ 27. 4 ïì 1 5 ï - £ x £ Dấu " = " xảy ra Û í 2 2 Û x = 1. Vậy M = 27. Chọn C. ï îï 2x + 1 = 5- 2x x - 1 x - 1 x - 1 Câu 21. Ta có f (x)= = = 2 . x x - 1+ 1 ( x - 1) + 1 2 2 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có ( x - 1) + 1³ 2 ( x - 1) .1 = 2 x - 1. x - 1 1 ¾ ¾® f (x)£ = . 2 x - 1 2 1 Dấu " = " xảy ra Û x = 2. Vậy M = . Chọn B. 2 51
  51. Câu 22. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2 + 4 ³ 2 x 2 .4 = 4x x 1 1 ¾ ¾® f (x)£ = . Dấu " = " xảy ra Û x = 2. Vậy M = . Chọn A. 4x 4 4 x x Câu 23. Ta có f (x)= 2 = 2 . (x + 1) x + 2x + 1 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có x 2 + 1³ 2 x 2 .1 = 2x ¾ ¾® x 2 + 2x + 1³ 4x x 1 1 ¾ ¾® f (x)£ = . Dấu " = " xảy ra Û x = 1. Vậy M = . Chọn B. 4x 4 4 ïì x + 3 ³ 0 Câu 24. Hàm số xác định khi íï Û - 3 £ x £ 6 nên TXĐ D = [- 3;6]. îï 6- x ³ 0 Ta có f 2 (x)= 9 + 2 (x + 3)(6- x) . · Vì (3+ x)(6- x)³ 0, " x Î [- 3;6] nên suy ra f 2 (x)³ 9 ¾ ¾® f (x)³ 3. Dấu '' = '' xảy ra Û x = - 3 hoặc x = 6. Vậy m = 3. · Lại có 2 (3+ x)(6- x)£ 3+ x + 6- x = 9 nên suy ra f 2 (x)£ 18 ¾ ¾® f (x)£ 3 2. 3 Dấu '' = '' xảy ra Û x + 3 = 6- x Û x = . Vậy M = 3 2. 2 Vậy m = 3, M = 3 2. Chọn B. ïì x - 4 ³ 0 Câu 25. Hàm số xác định khi íï Û 4 £ x £ 8 nên TXĐ D = [4;8]. îï 8- x ³ 0 · Ta có f 2 (x)= 3x - 8 + 4 (x - 4)(8- x) = 3(x - 4)+ 4 (x - 4)(8- x)+ 4. ïì x - 4 ³ 0 ï 2 Vì íï , " x Î [4;8] nên suy ra f (x)³ 4 ¾ ¾® f (x)³ 4. ï - - ³ îï (x 4)(8 x) 0 Dấu '' = '' xảy ra Û x = 4. Vậy m = 2. · Với x Î [4;8], áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 4 16 16 8 x - 4 · x - = x - 4 + ³ 2 (x - 4). = . (1) 5 5 5 5 44 4 4 4 8- x · - x = 8- x + ³ 2 (8- x). = . (2) 5 5 x 5 8 x - 4 + 4 8- x 4 44 Lấy (1)+ (2) theo vế, ta được £ x - + - x = 8. 5 5 5 8 x - 4 + 4 8- x 4 f (x) Suy ra £ 8 Û £ 8 Û f (x)£ 2 5. 5 5 36 Dấu " = " xảy ra Û x = . Vậy M = 2 5. 5 52
  52. Vậy m = 2, M = 2 5. Chọn C. ïì 7- 2x ³ 0 4 7 é 4 7ù Câu 26. Hàm số xác định khi íï Û - £ x £ nên TXĐ D = ê- ; ú. îï 3x + 4 ³ 0 3 2 ëê 3 2ûú 2 Ta có y2 = ( 7- 2x + 3x + 4) = 7- 2x + 2 (7- 2x)(3x + 4)+ 3x + 4 1 29 = x + 11+ 2 (7- 2x)(3x + 4) = (3x + 4)+ 2 (7- 2x)(3x + 4)+ . 3 3 ïì 3x + 4 ³ 0 ï é 4 7ù 2 29 87 Vì íï , " x Î ê- ; ú nên suy ra f (x)³ ¾ ¾® f (x)³ . ï ê 3 2ú 3 3 îï (7- 2x)(3x + 4)³ 0 ë û 4 87 Dấu '' = '' xảy ra Û x = - . Vậy m = . Chọn D. 3 3 2 Câu 27. Ta có f 2 (x)= (x + 8- x 2 ) = x 2 + 2x 8- x 2 + 8- x 2 = 8 + 2x 8- x 2 . 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2x 8- x 2 £ x 2 + ( 8- x 2 ) = 8 ¾ ¾® f 2 (x)= 8 + 2x 8- x 2 £ 8 + 8 = 16 ¾ ¾® f (x)£ 4. 2 ïì 2 2 ï x = ( 8- x ) Dấu '' = '' xảy ra Û íï Û x = 2. Vậy M = 4. Chọn D. ï ï 2 îï 2x 8- x = 8 2 2 (x + y) Câu 28. Ta có x 2 + y2 + xy = 3 Û (x + y) - 3 = xy £ . 4 2 Suy ra (x + y) £ 4 Û - 2 £ x + y £ 2. Chọn C. ïì 2 2 2 1 ï x + y + xy = 1 Û 1- 3xy = (x - y) ³ 0 Þ xy £ Câu 29. Ta có íï 3 . Chọn D. ï ï 2 2 2 îï x + y + xy = 1 Û 1+ xy = (x + y) ³ 0 Þ xy ³ - 1 2 Câu 30. Với mọi x, y ta có (x + y) ³ 4xy . 3 2 3 3 2 Suy ra (x + y) + (x + y) ³ (x + y) + 4xy ³ 2 hay (x + y) + (x + y) ³ 2 Û x + y ³ 1. Chọn B. Câu 31. Ta có x 2 + y2 = x + y + xy 2 2 3 2 1 2 Û x + y = x 2 + y2 - xy = (x + y) - 3xy ³ (x + y) - (x + y) = (x + y) . 4 4 1 2 Suy ra x + y ³ (x + y) Û 0 £ x + y £ 4. Chọn D. 4 2 (x + y) Câu 32. Từ giả thiết, ta có 3(x + y)- 4 = x 2 + y2 ³ 2 53
  53. 2 Û (x + y) - 6(x + y)+ 8 £ 0 Û 2 £ x + y £ 4. Chọn D. 1 4 æ1 4ö æ1 4ö 4x y 4x y Câu 33. Ta có + = 1.ç + ÷= (x + y)ç + ÷= 5+ + ³ 5+ 2 . = 9. x y èçx yø÷ èçx yø÷ y x y x 1 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = ; y = . Chọn C. 3 3 Câu 34. Từ giả thiết, ta có xy(x + y)= x + y + 3xy . (*) 1 1 4 Vì x > 0, y > 0 nên x + y > 0 . Do đó (*)Û x + y = + + 3 ³ + 3 x y x + y 2 éx + y £ - 1 Û x + y - 3 x + y - 4 ³ 0 Û ê Û x + y ³ 4 (do x, y > 0 ). Chọn D. ( ) ( ) ê ëx + y ³ 4 1 Câu 35. Ta có x 4 + y 4 ³ 2x 2 y2 , kết hợp với giả thiết ta được xy + 2 ³ 2x 2 y2 + . xy 1 Đặt xy = t > 0 , ta được t + 2 ³ 2t 2 + Û 2t 3 - t 2 - (2t - 1)£ 0 t 1 Û (t + 1)(t - 1)(2t - 1)£ 0 Û (t - 1)(2t - 1)£ 0 Û £ t £ 1. Chọn A. 2 (a3 + b3 )(a + b) Câu 36. Giả thiết Û = (1- a)(1- b) . (*) ab 3 + 3 + æ 2 2 ö (a b )(a b) ça b ÷ ● = ç + ÷(a + b)³ 2 ab.2 ab = 4ab. (1) ab èç b a ÷ø ●(1- a)(1- b)= 1- (a + b)+ ab £ 1- 2 ab + ab. (2) Từ (1) , (2) và kết hợp với (*) , ta được 1 4ab £ 1- 2 ab + ab Û 3ab + 2 ab - 1£ 0 Þ 0 0 ). Chọn C. Câu 39. Từ giả thiết x + y + xy ³ 7 Û 2(x + 1)(y + 1)³ 16. 2 æ1+ x + 2y + 2ö Ta có 16 £ 2(x + 1)(y + 1)= (x + 1)(2y + 2)£ ç ÷ èç 2 ø÷ 54
  54. 2 éx + 2y ³ 5 Û x + 2y + 3 ³ 64 Û ê Û x + 2y ³ 5 (do x, y > 0 ). Chọn B. ( ) ê ëx + 2y £ - 11 2 2 (2x + 2 + 3y + 3) (7 + 5) Câu 40. Ta có 6(x + 1)(y + 1)= (2x + 2)(3y + 3)£ £ £ 36 . 4 4 Suy ra x + y + xy £ 5 . Chọn B. Câu 41. Từ giả thiết, ta có 16 = (x 2 + 4)+ 2y ³ 4x + 2y ³ 2 4x.2y . Suy ra xy £ 8 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2; y = 4. Chọn C. 2 x 2 + y2 x 2 - 2xy + y2 + 2xy (x - y) + 2.1000 2.1000 Câu 42. Ta có F = = = = x - y + . x - y x - y x - y x - y 2.1000 2.1000 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F = x - y + ³ 2 (x - y). = 40 5. x - y x - y ïì xy = 1000 ï ïì xy = 1000 Dấu " = " xảy ra Û íï 2.1000 Û íï . ï ï ï x - y = > 0 îï x - y = 20 5 îï x - y ì 2 2 ï ab = 1000 2 a + b Vậy F = 4 5 khi íï Û a2 + b2 = (a - b) + 2ab = 4000 Þ = 4. min ï îï a - b = 20 5 1000 Chọn C. Câu 43. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có x 1 x 1 1 y 2 y 2 + ³ 2 . = 2. = 1 và + ³ 2 . = 2. 2 2x 2 2x 4 2 y 2 y 1 2 x + y æx 1 ö æy 2÷ö 3 1 Khi đó F = x + y + + = + ç + ÷+ ç + ÷³ + 1+ 2 = 4 . 2x y 2 èç2 2x ø÷ èç2 yø÷ 2 2 ì ï x + y = 3 ï ïì x = 1 1 Dấu " = " xảy ra Û í x 1 y 2 Û í . Vậy Fmin = 4 . Chọn A. ï = ; = ïî y = 2 2 îï 2 2x 2 y 1 1 Câu 44. Ta có F = x + = (x - 8y)+ 8y + . y(x - 8y) y(x - 8y) 1 3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F ³ 33 (x - 8y).8y. = 3 8 = 6. y(x - 8y) ïì x = 8 1 ï Dấu " = " xảy ra Û x - 8y = 8y = Û í 1 . Chọn B. y(x - 8y) ï y = îï 2 ïì x 2 Câu 45. Điều kiện: íï , suy ra x + y + 1³ 0 . îï y - 3 55
  55. ● Ta có x + y + 1 = 2( x - 2 + y + 3) . 4 + x - 2 4 + y + 3 x + y + 9 = 2 x - 2 + 2 y + 3 + = 2 2 2 x + y + 9 Suy ra x + y + 1 x + y 7 . 2 ● Lại có x + y + 1 = 2( x - 2 + y + 3) 2 (x + y + 1) = 4(x + y + 1+ 2 x - 2 y + 3) 4(x + y + 1) (do 2 x - 2 y + 3 ³ 0 ) 2 éx + y + 1£ 0 éx + y + 1 = 0 éx + y = - 1 Suy ra x + y + 1 4 x + y + 1 Û ê Þ ê Û ê . ( ) ( ) ê ê ê ëx + y + 1  ëx + y + 1  ëx + y  Chọn C. ïì a > 0 Câu 46. Do hàm số f (x)= ax 2 + bx + c £ 0, " x Î ¡ Û íï ¾ ¾® 4ac ³ b2 . îï D £ 0 4a + c 2 4ac 2 b2 2b Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F = ³ ³ = = 2. b b b b ïì c = 4a " = " ï Û = = Dấu xảy ra khi í 2 b c 4a. Chọn B. îï b = 4ac Câu 47. Từ giả thiết suy ra a2 + b2 + c 2 £ 4. Ta có 4 = a2 + b2 + c 2 + abc = a2 + b2 + c 2 + a2b2c 2 . 3 (a2 + b2 + c 2 ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có ³ a2b2c 2 . 27 2 2 2 3 (a + b + c ) S 3 Từ đó suy ra 4 £ a2 + b2 + c 2+ hay³ 4 - S Û 3 £ S £ 4. Chọn D. 27 27 Câu 48. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 y z 2 y z 2 x z 2 x y x + + ³ 3.3 x . . = 3; y + + ³ 3; z + + ³ 3. zx xy zx xy yz xy yz zx æx y z ö Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được x 2 + y2 + z 2 + 2ç + + ÷³ 9 . èçyz zx xyø÷ 9 9 Suy ra P ³ . Khi x = y = z = 1 thì P = . Chọn C. 2 2 Câu 49. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có x 3 + 3 x + 3 x + 3 x ³ 4x hay x 3 + 3 3 x ³ 4x . Tương tự: y3 + 3 3 y ³ 4 y và z 3 + 3 3 z ³ 4z . Suy ra P = x 3 + y3 + z 3 + 3(3 x + 3 y + 3 z )³ 4(x + y + z)= 12. Khi x = y = z = 1 thì P = 12. Chọn A. Câu 50. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 56
  56. 4 4 4 x + y + y + z + z + x + 4 4 4 (x + y). £ 3 ; (y + z). £ 3 và (z + x). £ 3 . 3 2 3 2 3 2 4 4 4 Suy ra (x + y). + (y + z). + (z + x). £ x + y + z + 2 = 4. 3 3 3 2 Do đó P = x + y + y + z + z + x ³ 2 3. Khi x = y = z = thì P = 2 3. Chọn C. 3 BAØI BAÁT PHÖÔNG TRÌNH VAØ 2. HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT MOÄT AÅN ïì x £ 2 ïì 2- x ³ 0 ï 1 Câu 1. Bất phương trình xác định khi íï Û í 1 Û x £ . Chọn C. îï 1- 2x ³ 0 ï x £ 2 îï 2 ïì x + 5 > 0 ïì x > - 5 Câu 2. Bất phương trình xác định khiíï Û íï Û - 5 3 thì tập xác định của hàm số là D = Æ. Nếu m - 1 Û m > - 2 thì tập xác định của hàm số là D = ê- 1; ú. Chọn D. 2 ëê 2 ûú 3 Câu 6. Điều kiện: x ¹ 2 . Bất phương trình tương đương với: 2x < 3 Û x < (thỏa mãn điều 2 kiện). Chọn D. 5 Câu 7. Điều kiện: Bấtx ¹ phương2. trình tương đương với: 2x < 5 Û kếtx <hợp với điều 2 5 kiện ta có x < và x ¹ 2 . Chọn B. 2 57
  57. 1 Câu 8. Nếu ta cộng vào hai vế bất phương trình 2x - 1³ 0 thì điều kiện của bất phương x - 3 trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai. Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với x - 2018 thì điều kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai. Chọn B. Câu 9. Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A: x - 2 £ 0 Û x £ 2. x 2 (x - 2)£ 0 Û x £ 2. Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương. Chọn A. Câu 10. Bất phương trình x + 5 > 0 Û x > - 5. 2 ïì x ¹ 1 Bất phương trình (x –1) (x + 5)> 0 Û íï . Đáp án A sai. îï x > - 5 ïì x ¹ 0 Bất phương trình x 2 (x + 5)> 0 Û íï . Đáp án B sai. îï x > - 5 Bất phương trình x + 5(x + 5)> 0 Û x > - 5. Đáp án C đúng. Chọn C. Câu 11. Bất phương trình (x + 1) x £ 0 có điều kiện x ³ 0 ® (x + 1) x £ 0 Û x = 0. 2 2 éx = - 1 Ta có: x x + 1 £ 0 Û x x + 1 = 0 Û ê . Đáp án A sai. ( ) ( ) ê ëx = 0 Ta có: (x + 1) x 0 ¾ ¾® 2x + 1> 0 « x > - ● Thay a = 1 , ta được íï 2 . Không thỏa. ï îï (a –1)x - a + 3 > 0 ¾ ¾® 0x + 2 > 0 « x Î ¡ ïì 1 ï (a + 1)x - a + 2 > 0 ¾ ¾® 6x - 3 > 0 « x > ï 2 ● Thay a = 5 , ta được íï . Chọn B. ï 1 ï (a –1)x - a + 3 > 0 ¾ ¾® 4x - 2 > 0 « x > îï 2 58
  58. Câu 14. Viết lại (m + 2)x £ m + 1 (1) và (3m + 1)x £ 3m - 1 (2). ì ï (m + 2)x £ m + 1 ¾ ¾® - x £ - 2 « x ³ 2 ï ● Thay m = - 3 , ta được í 5 . Không thỏa mãn. ï (3m + 1)x £ 3m - 1 ¾ ¾® - 8x £ - 10 « x ³ îï 4 ● Thay m = - 2 thì hệ số của x ở( 1) bằng0 , hệ số củxa (ở2 ) khác0 . Không thỏa mãn. ● Thay m = - 1 thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) âm. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. Đến đây dùng phương pháp loại trừ thì chỉ còn đáp án D. ïì 4 ï (m + 2)x £ m + 1 ¾ ¾® 5x £ 4 « x £ ï 5 ● Thay m = 3 , ta được íï . Chọn D. ï 4 ï (3m + 1)x £ 3m - 1 ¾ ¾® 10x £ 8 « x £ îï 5 Câu 15. ● Thay m = 1 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2) dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa. ì ï (m + 3)x ³ 3m - 6 ¾ ¾® 3x ³ - 6 « x ³ - 2 ● Thay m = 0 , ta được íï . Ta thấy thỏa mãn nhưng ï îï (2m - 1)x £ m + 2 ¾ ¾® - x £ 2 « x ³ - 2 chưa đủ kết luận là đáp án B vì trong đáp án D cũng có m = 0 . Ta thử tiếp m = 4 . ● Thay m = 4 , thì hệ số của x ở (1) dương, hệ số của x ở (2 )dương. Suy ra nghiệm của hai bất phương trình ngược chiều. Không thỏa mãn. Vậy với m = 0 thỏa mãn. Chọn B. Câu 16. b æ b ö Nếu a > 0 thì ax + b > 0 Û x > - nên S = ç- ;+ ¥ ÷¹ Æ . a èç a ø÷ b æ b ö Nếu a 0 Û x 0 có dạng 0x + b > 0 Với b > 0 thì S = ¡ . Với b £ 0 thì S = Æ. Chọn D. Câu 17. b æ b ö Nếu a > 0 thì ax + b > 0 Û x > - nên S = ç- ;+ ¥ ÷¹ Æ . a èç a ø÷ b æ b ö Nếu a 0 Û x 0 có dạng 0x + b > 0 Với b £ 0 thì S = Æ. Với b > 0 thì S = ¡ .Chọn A. Câu 18. 59
  59. b æ b ù Nếu a > 0 thì ax + b £ 0 Û x £ - nên S = ç- ¥ ;- ú¹ Æ . a èç a ûú b é b ÷ö Nếu a 0 thì S = Æ. Chọn A. 2x 20 Câu 19. Bất phương trình 5x - 1³ + 3 Û 25x - 5 ³ 2x + 15 Û 23x ³ 20 Û x ³ . 5 23 Chọn D. 3x + 5 x + 2 Câu 20. Bất phương trình - 1£ + x Û 9x + 15- 6 £ 2x + 4 + 6x Û x £ - 5. 2 3 Vì x Î ¢,- 10 = = 1- 2. 1- 2 1- 2 Chọn B. Câu 22. Bất phương trình x (2- x)³ x (7- x)- 6(x - 1) 2 2 xÎ [- 10;10] Û 2x - x ³ 7x - x - 6x + 6 Û x ³ 6 ¾ ¾xξ¢ ¾® x Î {6;7;8;9;10} . Chọn D. Câu 23. Bất phương trình (2x - 1)(x + 3)- 3x + 1£ (x - 1)(x + 3)+ x 2 - 5 tương đương với 2x 2 + 5x - 3- 3x + 1 £ x 2 + 2x - 3+ x 2 - 5 Û 0.x £ - 6 Û x Πƾ ¾® S = Æ. Chọn D. Câu 24. Bất phương trình 5(x + 1)- x (7 - x)> - 2x tương đương với: 5x + 5- 7x + x 2 > - 2x Û x 2 + 5 > 0 Û x Î ¡ ¾ ¾® S = ¡ . Chọn A. 2 2 Câu 25. Bất phương trình (x + 3) ³ (x - 3) + 2 tương đương với: é ö 2 2 3 3 ÷ x + 2 3x + 3 ³ x - 2 3x + 3+ 2 Û 4 3x ³ 2 Û x ³ ¾ ¾® S = ê ;+ ¥ ÷.Chọn A. ê ÷ 6 ëê6 ø÷ Câu 26. Bất phương trình tương đương x 2 - 2x + 1+ x 2 - 6x + 9 + 15 3 ¾ ¾® S = (3;+ ¥ ) Chọn B. Câu 28. Điều kiện: x ³ 2. Bất phương trình tương đương x £ 2 ¾ ¾® x = 2 . Chọn C. Câu 29. Điều kiện: x > 4. Bất phương trình tương đương : x - 2 £ 4 Û x £ 6 Þ 4 < x £ 6, x Î ¢ Þ x = 5;x = 6 ¾ ¾® S = 5+ 6 = 11. Chọn B. 60
  60. Câu 30. Điều kiện: x ³ 2. é x - 2 = 0 éx = 2 Bất phương trình tương đương với ê Û ê . Chọn C. ê ê ëêx - 3 ³ 0 ëx ³ 3 Câu 31. Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình luôn có nghiệm. Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0x > 3 : vô nghiệm. Chọn C. Câu 32. Bất phương trình tương đương với (m2 - 3m + 2)x < 2- m . ïì m ¹ 1 Rõ ràng nếu m2 - 3m + 2 ¹ 0 Û íï bất phương trình luôn có nghiệm. îï m ¹ 2 Với m = 1 bất phương trình trở thành 0x < 1 : vô nghiệm. Với m = 2 bất phương trình trở thành 0x < 0 : vô nghiệm. Chọn C. ïì m ¹ 1 Câu 33. Rõ ràng nếu m2 - m ¹ 0 Û íï bất phương trình luôn có nghiệm. îï m ¹ 0 Với m = 1 bất phương trình trở thành 0x < 1 : nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . Với m = 0 bất phương trình trở thành 0x < 0 : vô nghiệm. Chọn B. Câu 34. Bất phương trình tương đương với (m2 - m - 6)x < - 2- m . ïì m ¹ - 2 Rõ ràng nếu m2 - m - 6 ¹ 0 Û íï bất phương trình luôn có nghiệm. îï m ¹ 3 Với m = - 2 bất phương trình trở thành 0x < 0 : vô nghiệm. Với m = 3 bất phương trình trở thành 0x < - 5 : vô nghiệm. Suy ra S = {- 2;3} ¾ ¾® - 2 + 3 = 1. Chọn B. Câu 35. Bất phương trình tương đương với (m - 1)x £ 2- m. Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình luôn có nghiệm. Xét m = 1 bất phương trình trở thành 0x £ 1 : nghiệm đúng với mọi x . Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. 2 Câu 36. Bất phương trình tương đương với (m + 3) x ³ m - 3 . Với m = - 3 bất phương trình trở thành 0x ³ - 6 : nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . Chọn D. Câu 37. Bất phương trình tương đương với (4m2 - 5m - 9)x ³ 4m2 - 12m . ì ï m ¹ - 1 2 ï Dễ dàng thấy nếu 4m - 5m - 9 ¹ 0 Û í 9 thì bất phương trình không thể có nghiệm ï m ¹ îï 4 đúng với mọi x Î ¡ . Với m = - 1 bất phương trình trở thành 0x ³ 16 : vô nghiệm. 61
  61. 9 27 Với m = bất phương trình trở thành 0x ³ - : nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . 4 4 9 Vậy giá trị cần tìm là m = . Chọn B. 4 Câu 38. Bất phương trình tương đương với (m2 - 9)x ³ m2 + 3m. Dễ dàng thấy nếu m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ± 3 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng " x Î ¡ Với m = 3 bất phương trình trở thành 0x > 18 : vô nghiệm Với m = - 3 bất phương trình trở thành 0x ³ 0 : nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . Vậy giá trị cần tìm là m = - 3. Chọn B. Câu 39. Để ý rằng, bất phương trình ax + b > 0 (hoặc 0 hoặc a 4 - m2 . Xét m - 2 > 0 « m > 2 , bất phương trình 4 - m2 Û x > = - m - 2 ® S = (- m - 2;+ ¥ ). Chọn C. m - 2 Câu 40. Bất phương trình viết lại (m - 1)x ³ m2 - 1 . m2 - 1 Xét m - 1> 0 « m > 1 , bất phương trình Û x ³ = m + 1 ¾ ¾® S = [m + 1;+ ¥ ) . m - 1 m2 - 1 Xét m - 1< 0 « m < 1 , bất phương trình Û x £ = m + 1 ¾ ¾® S = (- ¥ ;m + 1] . m - 1 Chọn C. Câu 41. Bất phương trình viết lại (m - 2)x < m - 3 . ● Rõ ràng m - 2 ¹ 0 « m ¹ 2 thì bất phương trình có nghiệm. ● Xét m - 2 = 0 « m = 2 , bất phương trình trở thành 0x < - 1 (vô lí). Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ¹ 2 . Chọn A. Câu 42. Bất phương trình viết lại (m + 1)x < m + 3 . ● Rõ ràng m + 1 ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ● Xét m + 1 = 0 « m = - 1 , bất phương trình trở thành 0x < 2 (luôn đúng với mọi x ). Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m . Chọn C. Câu 43. ● Rõ ràng m2 + m - 6 ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ém = 2 ¾ ¾® 0x ³ 3 ¾ ¾® S = Æ 2 ê ● Xét m + m - 6 = 0 « ê . ëêm = - 3 ¾ ¾® 0x ³ - 2 ¾ ¾® S = ¡ Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi m ¹ 2 . Chọn A. Câu 44. Bất phương trình viết lại (m2 - m)x < m + 1 . 62
  62. ● Rõ ràng m2 - m ¹ 0 thì bất phương trình có nghiệm. ém = 0 ¾ ¾® 0x = 3 ¾ ¾® S = (3;+ ¥ ) m - 2 Suy ra phần bù của S là (- ¥ ;3]. Chọn D. Câu 46. Bất phương trình tương đương với (2m - 2)x ³ m + 1. · Với m = 1 , bất phương trình trở thành 0x ³ 2 : vô nghiệm. Do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. m + 1 ém + 1 ÷ö · Với m > 1 , bất phương trình tương đương với x ³ ¾ ¾® S = ê ;+ ¥ ÷. 2m - 2 ëê2m - 2 ø m + 1 Do đó yêu cầu bài toán Û = 1 Û m = 3 : thỏa mãn m > 1 . 2m - 2 m + 1 æ m + 1 ù · Với m 3- m. Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (3- m;+ ¥ ) Để bất phương trình trên có tập nghiệm là (4;+ ¥ ) thì 3- m = 4 Û m = - 1. Chọn C. Câu 48. Cách 1. Ta có x 0 , bất phương trình Û mx > - 4 Û x > - ¾ ¾® S = ç- ;+ ¥ ÷. m èç m ø÷ 4 1 Yêu cầu bài toán Û (- 8;8)Ì S Û - £ - 8 Û m £ . m 2 1 Suy ra 0 0 : đúng với mọi x. Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 4 æ 4 ö · TH3: m - 4 Û x < - ¾ ¾® S = ç- ¥ ;- ÷. m èç mø÷ 4 1 Yêu cầu bài toán Û (- 8;8)Ì S Û - ³ 8 Û m ³ - . m 2 63
  63. 1 Suy ra - £ m 0, " x Î (- 8;8) Û đồ thị của hàm số y = f (x) trên khoảng (- 8;8) nằm phía trên trục hoành hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm phía trên trục hoành ïì 1 ì ï m £ ï f (- 8)³ 0 ïì - 8m + 4 ³ 0 ï 2 1 1 Û í Û íï Û íï Û - £ m £ . ï f (8)³ 0 ï 8m + 4 ³ 0 ï 1 2 2 îï îï ï m ³ - îï 2 2m2 - 5 Câu 49. Cách 1. Bất phương trình Û (m2 - m + 1)x 0, " m Î ¡ ) èç m - m + 1ø÷ èç 2ø÷ 4 æ 2m2 - 5 ö 2m2 - 5 7 ç ÷ Yêu cầu bài toán Û [- 2018;2]Ì ç- ¥ ; 2 ÷« 2 . Chọn C. èç m - m + 1ø÷ m - m + 1 2 Cách 2. Ta có (m2 - m + 1)x 0 nên đồng biến. 7 Do đó yêu cầu bài toán Û y(2) . 2 2m2 - m Câu 50. Bất phương trình Û (m2 + 1)x ³ 2m2 - m ¾ ¾® x ³ m2 + 1 é2m2 - m ö ¾ ¾® S = ê ;+ ¥ ÷. ê 2 ÷ ë m + 1 ø÷ é2m2 - m ö 2m2 - m Yêu cầu bài toán Û [- 1;2]Çê ;+ ¥ ÷¹ Ƭ ¾® £ 2 « m ³ - 2. Chọn A. ê 2 ÷ 2 ë m + 1 ø÷ m + 1 ïì 2- x > 0 ïì 2 > x ïì x - x + 1 ïì 4 ï 3 ïì 2x - 1> - 3x + 3 ïì 5x > 4 ï x > 4 Câu 52. Ta có íï Û íï Û íï Û í 5 Û x > . ï 4 - 3x îï 4 - 3x - 2 îï 2 Chọn B. 64
  64. ïì x - 1 ï 5- 2x îï 4x > - 1 ï x > - ï 3+ x > îï 4 îï 2 ïì 2018 ïì 2x - 1 ï ïì 3x 2018 ï 3 Câu 54. Ta có í 2018- 2x Û í Û í Û í ï 3+ 3x > ïî 6 + 6x > 2018- 2x ïî 8x > 2012 ï 2012 îï 2 ï x > îï 8 2018 2012 Û 1 ïì 2x > 3 ï x > 3 æ3 ö Ta có íï Û íï Û í 2 Û x > ¾ ¾® S = ç ;+ ¥ ÷. B sai. ï ï ï ç ÷ îï x ³ - 1 îï x ³ - 1 ï 2 è2 ø îï x ³ - 1 ì ì ï 3 ï 2(x - 1) 1 ïì 2x > 3 ï x > Ta có íï Û íï Û í 2 Û x Πƾ ¾® S = Æ. D sai. ï ï ï îï x £ - 1 îï x £ - 1 ï îï x £ - 1 ì ï 2(x - 1) 2 ì ì ï ï x - 1 28x + 49 ïì 14x > 44 Câu 58. Bất phương trình Û íï Û íï îï 8x + 3 ï 14 44 47 xÎ ¢ Û íï Û < x < ¾ ¾¾® x Î {4;5;6;7;8;9;10;11}. Chọn C. ï 47 14 4 ï x < îï 4 65
  65. ïì 5x - 2 - 1 ïì 1- 2x + x 2 £ 8- 4x + x 2 Câu 60. Bất phương trình Û íï ï 3 2 3 2 îï x + 6x + 12x + 8 - 1 Suy ra tổng cần tính là 0 + 3 = 3 . Chọn B. æ ö ç1 ÷ Câu 61. Bất phương trình 2x - 1> 0 có tập nghiệm S1 = ç ;+ ¥ ÷. èç2 ÷ø Bất phương trình x - m Û m > - . Chọn C. 1 2 2 2 Câu 62. Bất phương trình 3(x - 6) 7 có tập nghiệm S2 = ç ;+ ¥ ÷. 2 èç 5 ÷ø 14 - m Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S ÇS ¹ ÆÛ - 11. Chọn A. 1 2 5 2 Câu 63. Bất phương trình x - 1£ 0 có tập nghiệm S1 = [- 1;1] . Bất phương trình x - m > 0 có tập nghiệm S2 = (m;+ ¥ ) . Hệ có nghiệm Û S1 I S2 ¹ ÆÛ m 0 ). m2 + 1 æ ö ç 4 ÷ Suy ra S2 = ç- ¥ ; ÷ . èç m2 + 1ø÷ 4 Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi S ÇS ¹ Ƭ ¾® > 2 1 2 m2 + 1 4 Giải bất phương trình > 2 Û 4 > 2(m2 + 1)Û 2 > 2m2 Û m2 < 1 Û - 1< m < 1 . m2 + 1 Chọn D. ì 2 ï m x < m + 2 Câu 65. Hệ bất phương trình tương đương với í 2 . îï m x ³ 4m + 1 66