12 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: 12 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề). Ngày thi: 10/4/2016 Câu 1: (5 điểm) 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức P = a a , với a . 2014 2016 2015 6 x 1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số và là một số nguyên. x 1 3 Câu 2: (5 điểm) a) Cho a > 2, b > 2. Chứng minh ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. a) Chứng minh M DH E F b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Câu 4: (2 điểm) a1 a2 a3 a15 Cho các số 0 a1 a2 a3 a15 . Chứng minh rằng 5 a5 a10 a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A 1200 . Các tia phân giác BE, CF của ABC và ACB cắt nhau tại I (E, F lần lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho B IM C IN 300 . a) Tính số đo của M IN . b) Chứng minh CE + BF < BC Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. www.thuvienhoclieu.com Trang 1
2. www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GD-ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 7 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu NỘI DUNG ĐÁP ÁN Điểm 1 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức P = a a , với a . 2014 2016 2015 0.25 1 1 1 1 1 Thay a vào biểu thức P = 2015 2015 2014 2015 2016 0.5 2.5 đ 1 1 1 1 Ta có P 2014 2015 2015 2016 0.5 1 1 P 2014 2016 0.5 0.5 2016 2014 2 P 0.25 2014.2016 2014.2016 1 1 P = 1007.2016 2030112 6 x 1 b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số và là một số nguyên. x 1 3 2.5 đ 6 x 1 0.25 Đặt A = . x 1 3 0.25 2 x 1 = . x 1 1 0.25 2(x 1) x 1 2x 2 0.25 x 1 2(x 1) 4 0.5 x 1 4 2 x 1 Để A nhận giá trị nguyên thì x + 1 là Ư(4) =  1; 2; 4 Suy ra x 0; 2;1; 3;3; 5 2 2. a) Cho a > 2, b > 2. Chứng minh ab a b 1 1 0.5 Từ a 2 a 2 1 1 0.5 2đ b 2 b 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 2
3. www.thuvienhoclieu.com 1 1 a b 0.5 Suy ra 1 1 a b ab 0.5 Vậy ab a b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, 3đ hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S1, S2 , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng là d ,r ;d ,r ;d ,r theo đề bài ta có 1 1 2 2 3 3 0.5 S1 4 S2 7 ; và d1 d2 ;r1 r2 27;r2 r3 ,d3 24 S2 5 S3 8 0.5 Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài S1 4 r1 r1 r2 r1 r2 27 0.25 3 0.25 S2 5 r2 4 5 9 9 Suy ra chiều rộng r 12cm,r 15cm 1 2 0.25 Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng S2 7 d2 7d3 7.24 0.25 d2 21cm S3 8 d3 8 8 2 0.25 Vậy diện tích hình thứ hai S d r 21.15 315 cm 2 2 2 0.25 4 4 Diện tích hình thứ nhất S S .315 252 cm2 0.25 1 5 2 5 0.25 8 8 Diện tích hình thứ ba S S .315 360 cm2 3 7 2 7 3đ Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. a) Chứng minh M DH E F 0.5 Hình vẽ đúng, chính xác 0.25 Vì M là trung điểm của EF suy ra MD = ME = MF 0.25 ∆MDE cân tại M E M DE Mà H DE F cùng phụ với E 0.25 Ta có M DH M DE H DE 0.25 Vậy M DH E F b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Trên cạnh EF lấy K sao cho EK = ED, trên cạnh DF lấy I sao cho DI = DH 0.25 Ta có EF - DE = EF - EK = KF DF - DH = DF - DI = IF 0.25 Ta cần chứng minh KF > IF 0.25 - EK = ED ∆DHK E DK E KD 0.25 0.25 www.thuvienhoclieu.com Trang 3
4. www.thuvienhoclieu.com - E DK K DI E KD H DK 900 0.25 K DI H DK - ∆DHK = ∆DIK (c-g-c) K ID D HK 900 Trong ∆KIF vuông tại I KF > FI điều phải chứng minh 4 Cho các số 0 a1 a2 a3 a15 . (2đ) a a a a Chứng minh rằng 1 2 3 15 5 a5 a10 a15 Ta có a1 a2 a3 a4 a5 5a5 0.5 0.5 a6 a7 a8 a9 a10 5a10 a11 a12 a13 a14 a15 5a15 Suy ra a1 a2 a15 5(a5 a10 a15 ) 0.5 a a a a Vậy 1 2 3 15 5 0.5 a5 a10 a15 Câu 5: (5 điểm) 5 Cho ∆ABC có A 1200 . Các tia phân phân giác BE, CF của ABC và ACB (5đ) cắt nhau tại I (E, F lần lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho B IM C IN 300 . a) Tính số đo của M IN . b) Chứng minh CE + BF < BC - Vẽ hình đúng, đủ, chính xác. 0.5 a) Tính số đo của M IN . 0.5 0.5 Ta có ABC + ACB = 1800 - A = 600 0.5 1 1 B C 300 0.5 2 2 0.25 B IC 1500 Mà B IM C IN 300 0.25 0 M IN 90 0.5 b) Chứng minh CE + BF < BC 0.5 - B IC 1500 F IB E IC 300 0.5 Suy ra ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g) BF = BM 0.25 - ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g) CN = CE 0.25 Do đó CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC Vây CE + BF < BC - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. www.thuvienhoclieu.com Trang 4
5. www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 a) .81n 3n ; 27 b) 8 < 2n < 64 Câu 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 4 3 5 7 49 ( ) 8 8.15 15.22 43.50 217 Câu 3. Tìm các cặp số (x; y) biết: x y a ) v µ x y = 4 0 5 ; 5 9 1 + 5 y 1 + 7 y 1 + 9 y b ) 2 4 7 x 2 x Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : a) A = x 5 + 5 x 2 17 b) B = x 2 7 Câu 5. Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN = NC. Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại I. a) Chứng minh: I là trung điểm của AN b) Qua K là trung điểm của AB kẻ đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc ACB cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng BC tại F. Chứng minh AE = BF www.thuvienhoclieu.com Trang 5
6. www.thuvienhoclieu.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7-ĐỨC THỌ Câu 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 a) (2điểm) .81n 3n ; => 34n-3 = 3n => 4n – 3 = n => n = 1 27 b) (2điểm) 8 23 n = 4, n = 5 Câu 2. Thực hiện phép tính: (3điểm) 1 1 1 1 4 3 5 7 49 ( ) 8 8.15 15.22 43.50 217 1 1 1 1 1 1 1 1 5 (1 3 5 7 49) = (1 ). 7 8 8 15 15 22 43 50 217 1 1 5 (12.50 25) 1 49 5 625 7.7.2.2.5.31 2 = (1 ). . . 7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5 Câu 3. Tìm các cặp số (x; y) biết: x y x 2 y 2 xy 405 (2điểm) a ) v µ x y = 4 0 5 => 9 5 9 25 81 5.9 45 => x2 = 9.25 = 152 => x = 15 => y2 = 9.81 = 272 => y = 27 Do x, y cùng dấu nên: x = 15; y = 27 và x = - 15; y = - 27 1 + 5 y 1 + 7 y 1 + 9 y (2điểm) b ) 2 4 7 x 2 x Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1+5y 1+7y 1+9y 1 9y 1 7y 2y 1 7y 1 5y 2y 24 7x 2x 2x 7x 5x 7x 24 7x 24 2y 2y => => - 5x = 7x – 24 => x = 2 5x 7x 24 Thay x = 2 vào trên ta được: 1 5y y 5 => - 5 - 25y = 24 y => - 49y = 5 => y = 24 5 49 5 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài 49 Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau: a) (2điểm) A = x 5 + 5 Ta có : x 5 0. Dấu “=” xẩy ra x = - 5. A 5. Vậy: Min A = 5 x = - 5. www.thuvienhoclieu.com Trang 6
7. www.thuvienhoclieu.com x 2 17 x 2 7 10 10 b) (2điểm) B = = = 1 + x 2 7 x 2 7 x 2 7 Ta có: x2 0. Dấu = xảy ra x = 0 x2 + 7 7 (2 vế dương) 10 10 10 10 17 => 1 + 1 + B x 2 7 7 x 2 7 7 7 Dấu “=” xảy ra x = 0 17 Vậy: Max B = x = 0. 7 Câu 5. a) (3điểm) Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại H. Nối MH. Ta có: BHM = IMH vì: A B HM I MH (so le trong) B MH I HM (so le trong) Cạnh HM chung =>BM = IH = MN H I AHI = IMN vì: IH = MN (kết quả trên) A HI I MN ( A BC) B M N C A IH I NM (đồng vị) => AI = IN (đpcm) b) (2điểm) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại P. PKA = FKB vì: P KA F KB (đối đỉnh) E A PK B FK (so le trong) AK = KB (gt) P A => AP = BF (1) K E PA K FC (đồng vị) C EF K FC ( CFE cân) => E PA C EF => APE cân B F C => AP = AF (2). Từ (1) và (2) => AE = BF (đpcm) www.thuvienhoclieu.com Trang 7
8. www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HẬU LỘC Năm học: 2013-2014 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC Lớp 7 THCS Ngày thi: 07 tháng 4 năm 2014 Số báo danh Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang . Câu 1(5 điểm): a) Cho biểu thức: P = x - 4xy + y. Tính giá trị của P với x 1,5; y = -0,75 212.35 46.81 b) Rút gọn biểu thức: A 6 22.3 84.35 Câu 2 (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11 b) Tìm x, biết: x 1 x 2 x 3 4x Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = -4x3 + x a) Tính f(0), f(-0,5) b) Chứng minh: f(-a) = -f(a). Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y Câu 5(6 điểm):Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: AMC = ABN; b) Chứng minh: BN  CM; c) Kẻ AH  BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0 a b 1 c 2 và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c. Hết Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm. - Học sinh không được dùng máy tính. www.thuvienhoclieu.com Trang 8
9. www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HUYỆN HẬU LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 NĂM HỌC 2013-2014 Câu Nội dung Điểm a) Ta có: x 1,5 x 1,5 hoặc x = -1,5 +) Với x = 1,5 và y = -0,75 thì 1,5 P = 1,5 -4.1,5(-0,75) -0,75 = 1,5(1 + 3) = 6 -0,75 = 5,25 1,5 Câu 1 +) Với x = -1,5 và y = - 0,75 thì (5điểm) P = -1,5 -4(-1,5).(-0,75) - 0,75 = -1,5(1+3) - 0,75 = -6,75 212.35 46.81 212.35 212.34 212.34 (3 1) 1 b) A = 2 6 4 5 12 6 12 5 12 5 2 2 .3 8 .3 2 .3 2 .3 2 .3 (3 1) 3 x y y z x y y z 1 a) 2x = 3y; 4y = 5z ; ; 3 2 5 4 15 10 10 8 x y z x y z 11 1 15 10 8 15 10 8 33 3 10 8 1 x = 5; y = ; z = Câu 2 3 3 (4 điểm) b) x 1 x 2 x 3 4x (1) Vì VT 0 4x 0 hay x 0, do đó: 1 x 1 x 1; x 2 x 2; x 3 x 3 1 (1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6 a) f(0) = 0 1 1 1 1 1 1 f(-0,5) = -4.(- )3 - = 0 2 2 2 2 Câu 3 (3điểm) b) f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a 0,5 3 3 - f(a) = - 4a a = 4a - a 0,5 f(-a) = -f(a) www.thuvienhoclieu.com Trang 9
10. www.thuvienhoclieu.com Câu 4 y x + y = x.y xy x y x(y 1) y x (1 điểm) y 1 vì x z y y 1 y 1 1 y 1 1 y 1 , 0,5 do đó y - 1 = 1 y 2 hoặc y = 0 Nếu y = 2 thì x = 2 Nếu y = 0 thì x = 0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) 0,5 Câu 5 a) Xét AMC và F N (6 điểm) ABN, có: D AM = AB ( AMB M 1,0 vuông cân) E AC = AN ( ACN 1,0 vuông cân) A   MAC = NAC ( I = 900 +  BAC) 0,5 Suy ra AMC = K ABN (c - g - c) B H C b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét KIC và AIN, có:  ANI =  KCI ( AMC = ABN)  AIN =  KIC (đối đỉnh) 1  IKC =  NAI = 900, do đó: MC  BN 1 0,5 c) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900) Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:  AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) ME = AH 0,25 - Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA FN = AH 0,25 Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có: ME = NF (= AH)  EMD =  FND(phụ với  MDE và  FDN, mà  MDE 0,25 www.thuvienhoclieu.com Trang 10
11. www.thuvienhoclieu.com = FDN) MED = NFD BD = ND. 0,25 Vậy AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 Vì: 0 a b 1 c 2 nên 0 a b 1 c 2 c 2 c 2 c 2 (1 điểm) 0 4 3c 6 (vì a + b + c = 1) 2 0,5 Hay 3c 2 c . 3 2 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: - khi đó a + b = 3 3 0,5 Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình. PHÒNG GD-ĐT HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7 Đề chính thức NĂM HỌC 2009 – 2010 Gồm 01 trang Môn thi: Toán 7 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4đ): a) Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 A = + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 b) Tính: 1 24 + 8 [(-2)2 : ]0 – 2-2.4 + (-2)2 2 Câu 2 (4đ): Hai lớp 7A và 7B đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa số cây trồng được của lớp 7A và 7B là 0,8. Lớp 7B trồng nhiều hơn lớp 7A là 20 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được? Câu 3 (4đ): Tìm x biết: 1 3 a) - x : = 2 2 5 1 x b) 22 = 8 Câu 4 (4đ): Ba đội máy ủi đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành trong 6 ngày, đội thứ ba hoàn thành trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (cùng công suất), biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 2 máy. www.thuvienhoclieu.com Trang 11
12. www.thuvienhoclieu.com Câu 5 (4đ): Cho góc x Oy . Trên Ox lấy hai điểm A và B, trên Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, AB = CD. Chứng minh: a) ABC = ACD b) ABD = BCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - - - HƯỚNG DẪN CHẤM-HÒA BÌNH Câu 1 (4đ): a) Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 A = + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: = - ; = - ; ; = - (1đ) 1.2 1 2 2.3 2 3 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 A = 1 + ( - ) + ( - ) + + ( - ) - = 1 - = (1đ) 2 2 3 3 99 99 100 100 100 b) Tính: 1 24 + 8 [(-2)2 : ]0 – 2-2.4 + (-2)2 = 16 + 8.1 - 2-2.22 + 4 (1đ) 2 = 16 + 8 -20 + 4 = 16 + 8 – 1 + 4 = 27 (1đ) Câu 2 (4đ): Gọi x, y theo thứ tự là số cây trồng được của lớp 7A, 7B. Ta có: x x 8 4 y – x = 20 và = 0,8 = = (1) (1đ) y y 10 5 x y y x 20 Từ (1) ta có tỉ lệ thức: = = = = 20 (2) (1đ) 4 5 5 4 1 x Từ (2) ta có: = 20 x = 80 cây (lớp 7A) (1đ) 4 y = 20 y = 100 cây (lớp 7B) (1đ) 5 Câu 3 (4đ): 1 3 a) - x : = 2 2 5 3 1 x : = - 2 (0,5đ) 5 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 12
13. www.thuvienhoclieu.com 3 3 x : = (0,5đ) 5 2 3 3 x = . (0,5đ) 2 5 9 x = (0,5đ) 10 1 x b) 22 = 8 1 x 22 = 23 (0,5đ) 1 x + = 3 (0,5đ) 2 1 x = 3 - (0,5đ) 2 5 x = (0,5đ) 2 Câu 4 (4đ): Gọi x, y, z theo thứ tự là số máy ủi của đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba Do các máy có cùng công suất, khối lượng công việc của ba đội như nhau Số máy và thời gian hoàn thành công việc là tỉ lệ nghịch với nhau (1đ) x y z Ta có: = = và x – y = 2 (1đ) 1 1 1 4 6 8 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y 2 = = 24 (1đ) 1 1 1 4 6 12 x Từ đó: = 24 x = 6 (số máy của đội thứ nhất) 1 4 y = 24 y = 4 (số máy của đội thứ hai) 1 6 z = 24 z = 3 (số máy của đội thứ ba) (1đ) 1 8 Câu 5 (4đ): Già thiết: góc x Oy ; OA=OC, AB=CD x B Kết luận: a) ABC = ACD b) ABD = BCD (Hình vẽ và GT, KL 0,5đ) A Xét OAD và OCB có: O www.thuvienhoclieuC .com Trang 13 D y
14. www.thuvienhoclieu.com - Góc O chung - OA = OC (gt) - OB = OD Do đó: OAD = OCB (c-g-c) AD = BC (1,5đ) a) Xét ABC và ACD có - AB = CD (gt) - AC chung - AD = BC Do đó: ABC = ACD (1đ) b) Xét ABD và BCD có - AB = CD (gt) - BD chung - AD = BC Do đó: ABD = BCD (1đ) Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa của câu đó - - - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - - - phßng gi¸o dôc ®µo t¹o kú thi chän häc sinh giái huyÖn h­¬ng khª N¨m häc 2011 - 2012 M«n to¸n LíP 7 Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012 ®Ò chÝnh thøc Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: 2 1) Tìm x, biết x 1 ; 3 2 2x 3x 1 2 2) Tính giá trị của biểu thức sau: A với x 1 3x 2 3 Bài 2: 1) Tìm chữ số tận cùng của A biết A = 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n x 3 2) Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên. x 2 Bài 3: Cho đa thức f(x) xác định với mọi x thỏa mãn: x.f(x + 2) = (x2 – 9).f(x). 1) Tính f(5). 2) Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 3 nghiệm. www.thuvienhoclieu.com Trang 14
15. www.thuvienhoclieu.com Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng: a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM  EF. Bài 5: Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x a x b x c x d HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN TOÁN LỚP 7 Khóa ngày 17.18.19 – 4 – 2012 Bài Hướng dẫn chấm Điểm  2  5 x 1 x 2  3  3 1) Ta có x 1   3 2 1 4.0đ 1(6đ) x 1 x  3  3 2) Từ câu 1) Với x = 5/3 thay vào A ta được A = 14/27 2.0đ Với x = 1/3 thay vào A ta được A = -2/9 1) Chứng minh A chia hết cho 10 suy ra chữ số tận cùng của A là 0 1.5đ 2 2) Ta có: x 3 x 2 5 5 (3đ) 1 Z x 2 U (5)  1; 5 1.5đ x 2 x 2 x 2 x 1;3; 3;7 1) Ta có với x = 3 f(5) = 0 2.0đ 3(4đ) 2) x = 0 f(0) = 0 x = 0 là một nghiệm www.thuvienhoclieu.com Trang 15
16. www.thuvienhoclieu.com x = 3 f(5) = 0 x = 5 là một nghiệm 2.0đ x = -3 f(-1) = 0 x = -1 là một nghiệm Vậy f(x) có ít nhất là 3 nghiệm. a) Chứng minh ABF AEC(cgc) FB EC 3.0đ b) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho AK = A 2AM. Ta có ABM = KCM CK//AB 1.5đ ACK C AB E AF C AB 1800 ACK E AF E 4 EAF và KCA có AE = AB = CK; I (6đ) F AF = AC (gt); ACK E AF C B M EAF = KCA (cgc) EF = AK = 2AM. 1.5đ c) Từ EAF = KCA C AK AFE AFE F AK C AK F AK 900 K AK  EF Không mất tính tổng quát, giả sử a b c d. Áp dụng BĐT a b a b , dấu bằng xảy ra ab ≥ 0 ta có: x a x d x a d x x a d x d a (1) 1.0đ 5(1đ) x b x c x b c x x b c x c b (2) Suy ra A ≥ c + d – a – b. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra (x – a)(d – x) ≥ 0 và (x – b)(c – x) ≥ 0 a x d và b x c. Do đó minA = c + d –a – b b x c. Ghi chú: Các cách giải khác đầy đủ và chính xác vẫn cho điểm tối đa. UBND HUYỆN KIM SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: ( 2,0 điểm) 4 x 4 a. Tìm x, y biết: = và x + y = 22 7 y 7 x y y z 2x 3y 4z b. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: a. S = 22010 22009 22008 2 1 www.thuvienhoclieu.com Trang 16
17. www.thuvienhoclieu.com 1 1 1 1 b. P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 16) 2 3 4 16 Bài 3: ( 2,0 điểm) Tìm x biết: 1 2 3 4 5 30 31 a. . . . . . 2 x 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 2 x 35 35 35 25 25 Bài 4: ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân. d. Chứng minh AE = HC. UBND HUYỆN KIM SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2,0 điểm) =28 7x 28 4y 0,25 www.thuvienhoclieu.com Trang 17
18. www.thuvienhoclieu.com x y x y 0,25 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 4 7 11 x y x y y z y z x y z ; (1) 0,25 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : =: 0,25 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: 2S = 22011 22010 22009 22 2 0,25 2S-S = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 S = 22011 2.22010 1 0,25 S 22011 22011 1 1 0,25 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 P = 1 . . 0,25 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . 0,25 2 2 2 2 2 1 1 2 3 17 1 0,25 2 1 17.18 1 76 0,25 2 2 Bài 3: ( 2,0 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . . 2 x 0,25 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4 30.31 2 x 0,25 1.2.3.4 30.31.230.26 1 2 x 0,25 236 x 36 0,25 www.thuvienhoclieu.com Trang 18
19. www.thuvienhoclieu.com 4.45 6.65 . 2 x 0,25 3.35 2.25 46 66 . 2 x 0,25 36 26 6 6 6 4 . 2 x 0,25 3 2 212 2 x x 12 0,25 Bài 4: ( 4,0 điểm) Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ: 0,25 BEH cân tại B nên E = H1 0,25 ABC = E + H1 = 2 E A 0,25 ABC = 2 C BEH = ACB 1 Câu b: 1,25 điểm D Chứng tỏ được DHC cân tại D nên 0,50 DC = DH. DAH có: 2 0,25 B DAH = 900 - C 1 H B’ C 0 0 0,25 E DHA = 90 - H2 =90 - C DAH cân tại D nên DA = DH. 0,25 Câu c: 1,0 điểm 0,25 ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C 0,50 B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,25 C = A1 AB’C cân tại B’ Câu d: 1,0 điểm AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H 0,25 Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H 0,50 AE = HC UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 www.thuvienhoclieu.com Trang 19
20. www.thuvienhoclieu.com Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) 4 x 4 a. Tìm x, y biết: = và x + y = 22 7 y 7 x y y z 2x 3y 4z b. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z Bài 2: (2,0 điểm) Thực hiện tính: a. S = 22010 22009 22008 2 1 1 1 1 1 b. P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 16) 2 3 4 16 Bài 3: (2,0 điểm) Tìm x biết: 1 2 3 4 5 30 31 a. . . . . . 2 x 4 6 8 10 12 62 64 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 b. . 2 x 35 35 35 25 25 Bài 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân. d. Chứng minh AE = HC. www.thuvienhoclieu.com Trang 20
21. www.thuvienhoclieu.com UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) =28 7x 28 4y 0,25 x y x y 0,25 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 4 7 11 x y x y y z y z x y z ; (1) 0,25 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : =: 0,25 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Bài 2: (2,0 điểm) Thực hiện tính: 2S = 22011 22010 22009 22 2 0,25 2S-S = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 S = 22011 2.22010 1 0,25 S 22011 22011 1 1 0,25 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 P = 1 . . 0,25 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . 0,25 2 2 2 2 2 1 1 2 3 17 1 0,25 2 1 17.18 1 76 0,25 2 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 21
22. www.thuvienhoclieu.com Bài 3: (2,0 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . . 2 x 0,25 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4 30.31 2 x 0,25 1.2.3.4 30.31.230.26 1 2 x 0,25 236 x 36 0,25 4.45 6.65 . 2 x 0,25 3.35 2.25 46 66 . 2 x 0,25 36 26 6 6 6 4 . 2 x 0,25 3 2 212 2 x x 12 0,25 Bài 4: (4,0 điểm) Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ: 0,25 BEH cân tại B nên E = H1 0,25 ABC = E + H1 = 2 E A 0,25 ABC = 2 C BEH = ACB 1 Câu b: 1,25 điểm D Chứng tỏ được DHC cân tại D nên 0,50 DC = DH. DAH có: 2 0,25 B DAH = 900 - C 1 H B’ C 0 0 0,25 E DHA = 90 - H2 =90 - C DAH cân tại D nên DA = DH. 0,25 Câu c: 1,0 điểm 0,25 ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C 0,50 B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,25 www.thuvienhoclieu.com Trang 22
23. www.thuvienhoclieu.com C = A1 AB’C cân tại B’ Câu d: 1,0 điểm AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H 0,25 Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H 0,50 AE = HC UBND HUYỆN TIÊN YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CÁC KHỐI LỚP 6-7-8 NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN 7 Ngày thi: 18/04/2012 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: Thực hiện phép tính 5 1 5 5 1 2 a. : : 9 11 22 9 15 3 1 1 69 1 1 b. 2 3 4 5 157 15 9 20 9 c. 5.4 .9 4.3 .8 5.29.619 7.229.276 Câu 2: a c a, Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) b d b. Tìm hai số nguyên biết: Tổng, hiệu (số lớn trừ số bé), thương (số lớn chia số bé) của hai số đó cộng lại bằng 38. Câu 3: Tìm x biết: 1 1 1 3 7 a) x b) 2x 1 2 5 3 4 8 Câu 4: Cho tam giác ABC với M trung điểm BC. Trên nửa nặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ax vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC. Chứng minh: a, AM = 1 ED 2 b, AM  DE www.thuvienhoclieu.com Trang 23
24. www.thuvienhoclieu.com === Hết === HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 7 Ngày thi: 18/04/2012 Câu Hướng dẫn chấm điểm 1 5 1 5 5 1 2 1 a. : : 5 9 11 22 9 15 3 1 1 1 69 1 1 b. 2 3 4 5 1 157 157 5.415.99 4.320.89 c. 2 1 5.29.619 7.229.276 a c 2 a, Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 1 b d a c Ta có: => a.d = b.c b d Xét: (a+2c)(b+d) = ab+ad+2bc+2cd =ab+3bc+2cd Và (a+c)(b+2d) = ab+2ad+bc+2cd = ab+3bc+2cd Vậy: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). b. Tìm hai số nguyên biết : Tổng, hiệu (số lớn trừ số bé), thương (số lớn chia số bé) của hai số đó cộng lại bằng 38. Gọi hai số càn tìm là a và b ( a,b thuộc Z và b khác 0) Giả sử a > b, khi đó có: (a+b) + (a-b) + a:b = 38 2 => 2a + a: b = 38 => 2ab + a = 38b => a = 38 b : (2b + 1) = (38b +19 -19) : (2b +1) = 19- (19/(2b+1)) Để a thuộc Z thì 2b + 1 phải là ước của 19. => 2b+1 = 1 => b = 0 (loại) 2b+1 = - 1 => b = -1 => a = -38 (loại) 2b+1 = 19 => b = 9 => a = 18 2b+1 = - 19 => b = -10 => a = 20 Vậy có 2 cặp số thỏa mãn: (18:9) và (20; -10) 3 1 1 1 0.5 a) x 2 5 3 www.thuvienhoclieu.com Trang 24
25. www.thuvienhoclieu.com x = -11/30 và x = -1/30 3 7 b) 2x 1 4 8 0.5 Không có giá trị của x thỏa mãn. 4 a, Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi 2 AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi chứng minh DE = AK Xét ABK & DAE : AD AB(gt); AE BK( AC) E Và D AE B AC 1800 (D AB E AC 1800 ) D ABC C BK ABC ACB (2) A ABK B AC 1800 B M C ABK D AE ABK DAE Vậy: DE AK DE AM K 2 b, Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có 1 BAˆK DAˆH 900 Dˆ DAˆH 900 ADˆH 900 Phßng Gi¸o dôc- §µo t¹o ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn TRùC NINH n¨m häc: 2008 - 2009 m«n: To¸n 7 ®Ò chÝnh thøc (Thêi gian:120 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò thi nµy gåm 01 trang Bµi 1: (3,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 4 7 4 7 7 a) : : 7 11 11 7 11 11 1 1 1 1 1 b) 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Bµi 2: (3,5 ®iÓm) T×m x; y; z biÕt: a) 2009 – x 2009 = x 2008 2008 2 b) 2x 1 y x y z 0 5 www.thuvienhoclieu.com Trang 25
26. www.thuvienhoclieu.com Bµi 3: (3 ®iÓm) 3a 2b 2c 5a 5b 3c T×m 3 sè a; b; c biÕt: vµ a + b + c = – 50 5 3 2 Bµi 4: (7 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n (AB = AC ; gãc A tï). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Trªn tia ®èi cña CA lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA. C©u 1: Chøng minh: a) ABD ICE b) AB + AC < AD + AE C©u 2: Tõ D vµ E kÎ c¸c ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi BC c¾t AB; AI theo thø tù t¹i M; N. Chøng minh BM = CN. C©u 3: Chøng minh r»ng chu vi tam gi¸c ABC nhá h¬n chu vi tam gi¸c AMN. Bµi 5 (3 ®iÓm): T×m c¸c sè tù nhiªn a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 §¸p ¸n §Ò thi HSG m«n To¸n 7-TRùC NINH Bµi 1: 3 ®iÓm C©u a: 1 ®iÓm (kÕt qu¶ = 0). C©u b: 2 ®iÓm 1 1 1 1 1 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 1 1 1 1 1 99.97 1.3 3.5 5.7 95.97 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99.97 2 3 3 5 5 7 95 97 1 1 1 1 99.97 2 97 1 48 99.97 97 4751 99.97 Bµi 2: 3,5 ®iÓm C©u a: 2 ®iÓm - NÕu x 2009 2009 – x + 2009 = x www.thuvienhoclieu.com Trang 26
27. www.thuvienhoclieu.com 2.2009 = 2x x = 2009 - NÕu x < 2009 2009 – 2009 + x = x 0 = 0 VËy víi  x < 2009 ®Òu tho¶ m·n. - KÕt luËn : víi x 2009 th× 2009 x 2009 x HoÆc c¸ch 2: 2009 x 2009 x 2009 x x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 C©u b: 1,5 ®iÓm 1 2 9 x ; y ; z 2 5 10 Bµi 3: 2,5 ®iÓm 3a 2b 2c 5a 5b 3c 5 3 2 15a 10b 6c 15a 10b 6c 25 9 4 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cã: 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 0 25 9 4 38 a b 2 3 15a 10b 0 3a 2b a c 6c 15a 0 2c 5a 2 5 10b 6c 0 5b 3c c b 5 3 a b c VËy 2 3 5 a 10 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau b 15 c 25 Bµi 4: 7 ®iÓm www.thuvienhoclieu.com Trang 27
28. www.thuvienhoclieu.com A M B O C E D N I C©u 1: mçi c©u cho 1,5 ®iÓm C©u a: Chøng minh ABD ICE cgc C©u b: cã AB + AC = AI V× ABD ICE AD EI (2 c¹nh t-¬ng øng) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c trong AEI cã: AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC C©u 2: 1,5 ®iÓm Chøng minh vBDM = vCEN (gcg) BM = CN  C©u 3: 2,5 ®iÓm V× BM = CN AB + AC = AM + AN (1) cã BD = CE (gt) BC = DE Gäi giao ®iÓm cña MN víi BC lµ O ta cã: MO OD  MO NO OD OE NO OE  MN DE MN BC 2 Tõ (1) vµ (2) chu vi ABC nhá h¬n chu vi AMN Bµi 5: 2 ®iÓm Theo ®Ò bµi 2008a + 3b + 1 vµ 2008a + 2008a + b lµ 2 sè lÎ. NÕu a 0 2008a + 2008a lµ sè ch½n ®Ó 2008a + 2008a + b lÎ b lÎ NÕu b lÎ 3b + 1 ch½n do ®ã 2008a + 3b + 1 ch½n (kh«ng tho¶ m·n) VËy a = 0 Víi a = 0 (3b + 1)(b + 1) = 225 V× b N (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25 3b + 1 kh«ng chia hÕt cho 3 vµ 3b + 1 > b + 1 www.thuvienhoclieu.com Trang 28
29. www.thuvienhoclieu.com 3b 1 25 b 8 b 1 9 VËy a = 0 ; b = 8. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VIỆT YÊN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:120 phút Câu 1. (4,0 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 2012 1) M = 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2013 9 11 6 2) Tìm x, biết: x 2 x 1 x 2 2 . Câu 2. (5,0 điểm) a b c b c a c a b 1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 2x 2013 với x là số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz . Câu 4. (6,0 điểm) Cho x Ay =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. www.thuvienhoclieu.com Trang 29
30. www.thuvienhoclieu.com c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. Câu 5. (1,0 điểm) a b c Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng: 2 bc 1 ac 1 ab 1 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VIỆT YÊN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung Điểm 2 2 1 1 0,4 0,25 2012 1) Ta có: M 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2013 9 11 6 0.5đ 2 2 2 1 1 1 2012 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2013 5 9 11 6 8 10 1 1 1 1 1 1 2 5 9 11 3 4 5 2012 Câu 1 : 0.5đ (4 điểm) 1 1 1 7 1 1 1 2013 7 5 9 11 2 3 4 5 2 2 2012 0.5đ : 0 7 7 2013 KL: 0.5đ 2) vì x2 x 1 0 nên (1) => x2 x 1 x2 2 hay x 1 2 0.5đ +) Nếu x 1 thì (*) = > x -1 = 2 => x = 3 0.5đ +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 0.5đ KL: . 0.5đ 1) +Nếu a+b+c 0 0.25đ Câu 2 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 0.25đ (5 điểm) 0.25đ www.thuvienhoclieu.com Trang 30
31. www.thuvienhoclieu.com a b c b c a c a b a b c b c a c a b 0.25đ = = 1 c a b a b c a b c b c a c a b mà 1 1 1 = 2 c a b a b b c c a => =2 c a b b a c b a c a b c Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b +Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 0.25đ a b c b c a c a b a b c b c a c a b 0.25đ = = 0 c a b a b c 0.25đ a b c b c a c a b mà 1 1 1 = 1 c a b 0.25đ a b b c c a => =1 c a b b a c b a c a b c Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =1 a c b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, 0,5 đ b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x Ta có: a ;b ;c (1) 0,5đ 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: 0,25đ a, b, c, a, b, c, x 4x 5x x 6x a, ;b, ;c, (2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15 0,5đ So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c x 2 3 => x = 1 Thay vào đầu bài ta có 1 y z yz => y – yz + 1 + z = 0 www.thuvienhoclieu.com Trang 31
32. www.thuvienhoclieu.com => y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0 => (y-1) (z - 1) = 2 0,5đ TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3 0,25đ TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2 0,25đ Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) 0,25đ V ẽ h ình , GT _ KL 0,25đ a, ABC cân tại B do C AB ACB( M AC) và BK là đường cao BK là 1đ đường trung tuyến 1đ K là trung điểm của AC b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) 0,5đ 1 0,25đ BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC 2 Câu 4 1 BH = AC (6 điểm) 2 0,25đ 1 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK 0,25đ 2 MKC là tam giác cân ( 1 ) 0,5đ Mặt khác : M CB = 900 và ACB = 300 M CK = 600 (2) 0,25đ Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm 0,25đ Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: 0,25đ AK = AB2 BK 2 16 4 12 1 Mà KC = AC => KC = AK = 12 0,25đ 2 KCM đều => KC = KM = 12 0,25đ Theo phần b) AB = BC = 4 AH = BK = 2 0,5đ HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật) => AM = AH + HM = 6 0,25đ www.thuvienhoclieu.com Trang 32
33. www.thuvienhoclieu.com Câu 5 Vì 0 a b c 1 nên: 1 1 c c (1 điểm) (a 1)(b 1) 0 ab 1 a b (1) ab 1 a b ab 1 a b a a b b Tương tự: (2) ; (3) 0,25đ bc 1 b c ac 1 a c a b c a b c Do đó: (4) 0,25đ bc 1 ac 1 ab 1 b c a c a b a b c 2a 2b 2c 2(a b c) Mà 2 (5) 0,25đ b c a c a b a b c a b c a b c a b c a b c Từ (4) và (5) suy ra: 2 (đpcm) bc 1 ac 1 ab 1 0,25đ Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm. - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ). PHÒNG GD & ĐT CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a. Thực hiện phép tính: 11 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 b. So sánh: 50 26 1 và 168 . Câu 2. a. Tìm x biết: x 2 3 2x 2x 1 b. Tìm x; y Z biết: xy 2x y 5 c. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7 Câu 3. a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n. 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z b. Cho Chứng minh: . a 2b 3c a 2b 3c Câu 4. www.thuvienhoclieu.com Trang 33
34. www.thuvienhoclieu.com Cho tam giác ABC (B AC 90o ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE = AF; b. HA là phân giác của M HN ; c. CM // EH; BN // FH. Hết./. Họ và tên: Số báo danh: PHÒNG GD & ĐT CHƯƠNG MỸ ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI. NĂM HỌC: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN 7 Câu Ý Nội dung Điểm a. 0,5 3 3 3 3 3 3 3 0.25 điểm A = 8 10 11 12 2 3 4 53 5 5 5 5 5 5 100 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 165 132 120 110 3 3 3( ) 8 10 11 12 2 3 4 3 1320 53 1 1 1 1 1 1 53 66 60 55 5 Câu 1 5 5 5( ) 100 660 1,5 A= 100 10 11 12 2 3 4 0.25 điểm 263 263 3. 3. 3 3 3945 3 1881 1320 1320 53 49 1749 1225 5. 5 5 5948 5 29740 100 660 3300 b. 1 Ta có: 50 > 49 = 4; 26 > 25 = 5 0.5 điểm 0,5 Vậy: 50 26 1 7 5 1 13 169 168 Câu 2 a. 1 Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 2x + 1 x = 6 0.25 www.thuvienhoclieu.com Trang 34
35. www.thuvienhoclieu.com 4 điểm điểm 3 0.25 Nếu x 2 ta có: 2 - x + 2x - 3 = 2x + 1 x = - 2 loại 2 3 4 0.25 Nếu x< ta có: 2 - x + 3 - 2x = 2x + 1 x = 2 5 0.25 Vậy: x = 6 ; x = 4 5 b. 1.5 Ta có: xy + 2x - y = 5 x(y+2) - (y+2) = 3 0. 5 điểm (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1) 0. 5 y + 2 3 1 -1 -3 x - 1 1 3 -3 -1 0.5 X 2 4 -2 0 Y 1 -1 -3 -5 c. 1.5 Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z 0. 5 điểm x y z 4x 3y 5z 4x 3y 5z 7 = 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 0.5 8 12 15 2 4 3 2 4 3 12 0. 5 1 3 1 1 4 x = 12. = ; y = 12. = 1; z = 12. 8 2 12 15 5 a. 0.5 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x ax2 bx c (a 0). điểm Ta có : f x 1 a x 1 2 b x 1 c . a 1 0.25 2a 1 2 f x f x 1 2ax a b x b a 0 b 1 2 1 1 Vậy đa thức cần tìm là: f x x2 x c (c là hằng số tùy ý). 2 2 Áp dụng: + Với x = 1 ta có : 1 f 1 f 0 . 0.25 Câu 3 + Với x = 2 ta có : 1 f 2 f 1 . 1.5 . điểm + Với x = n ta có : n f n f n 1 . n2 n n n 1 S = 1+2+3+ +n = f n f 0 = c c . 2 2 2 b. 1 2bz 3cy 3cx az ay 2bx điểm a 2b 3c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0.5 a2 4b2 9c2 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 2 2 2 0 a 4b 9c 0.25 z y 2bz - 3cy = 0 (1) 3c 2b 0.25 www.thuvienhoclieu.com Trang 35
36. www.thuvienhoclieu.com x z x y z 3cx - az = 0 (2); Từ (1) và (2) suy ra: a 3c a 2b 3c Câu 4 Hình 0.25 F 3 điểm vẽ 0. 5 đ A N M E B C H a. 1 Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE = AH (1) 0.25 điểm Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH = AF (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF 0. 5 b. 1 Vì M AB nên MB là phân giác E MH MB là phân giác 0.25 điểm ngoài góc M của tam giác MNH 0.25 Vì N AC nên NC là phân giác F NH NC là phân giác ngoài góc N của tam giác MNH 0.25 Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của 0.25 tam giác HMN hay HA là phân giác của M HN . c. 1 Ta có AH  BC (gt) mà HM là phân giác M HN HB là phân 0.25 điểm giác ngoài góc H của tam giác HMN 0.25 MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt) NB là phân giác trong góc N của tam giác HMN 0.25 BN AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau). BN // HF ( cùng vuông góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH // CM UBND HUYỆN CHÂU THÀNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD ĐT CHÂU THÀNH LỚP 7 THCS - Năm học 2010 – 2011 MÔN : TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) (đề thi gồm 1 trang) www.thuvienhoclieu.com Trang 36
37. www.thuvienhoclieu.com . Câu 1: (2.0 điểm) Thực hiện tính: 11 5 13 36 2 2 2 2 A = 0,5 B = 7 . 2 . 24 41 24 41 7 5 7 5 Câu 2: (2.0 điểm) a. Tìm x, y biết: 4 x = 4 và x + y = 22 7 y 7 x y y z 2x 3y 4z b. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z Câu 3: (2.0 điểm) Thực hiện tính: a. S = 22010 22009 22008 2 1 1 1 1 1 b. P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 16) 2 3 4 16 1 Câu 4: (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số .y x 2 0 Câu 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có A = 90 , B = A 500. Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại B. Trên đường thẳng d thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy B H C điểm D sao cho BD = HA (Hình vẽ bên). a. Chứng minh ABH = DHB. D b. Tính số đo góc BDH. c. Chứng minh đường thẳng DH vuông góc với đường thẳng AC. ___ Hết ___ Họ và tên thí sinh: Số báo danh . Chữ ký giám thị 1: . Giám thị 2 ĐÁP ÁN-CHÂU THÀNH Câu 1: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang 37
38. www.thuvienhoclieu.com 11 13 5 36 2 2 2 A = 0,5 B 7 2 24 24 41 41 5 7 7 24 41 2 2 2 0,5 7 2 24 41 5 7 7 = 1 - 1 + 0,5 2 5 = 0,5 5 = - 2 Câu 2: a) 28 7x =28 4y 0,25 đ x y x y 0,25 đ 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 đ 4 7 11 x y x y y z y z x y z b) ; (1) 0,25 đ 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 đ 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 đ 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : = : 0,25 đ 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 đ 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Câu 3: a) 2011 2010 2009 2 2S = 2 2 2 2 2 0,25 đ 2S-S = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 đ S =22011 2.22010 1 0,25 đ S 22011 22011 1 1 0,25 đ b) 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 P = 1 . . 0,25 đ 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . 0,25 đ 2 2 2 2 2 1 1 2 3 17 1 0,25 đ 2 1 17.18 1 76 0,25 đ 2 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 38
39. www.thuvienhoclieu.com Câu 4: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) - Vẽ hệ trục toạ độ 1 - Xác định toạ độ một điểm A O thuộc đồ thị hàm số y x 2 - Biểu diễn điểm A. 1 - Vẽ đồ thị hàm số y x (Đường thẳng OA) 2 Câu 5: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) A a. Xét ABH và DHB có: B H (= 900) HB chung BD = HA B ABH = DHB (c-g-c) H C b. Xét ABH có B = 500 và H = 900 B AH = 180 - (B H ) = 400. Từ ABH = DHB có: D B AH B DH B DH = 400. c. Từ ABH = DHB có: ABH D HB AB song song với DH. AB  AC DH  AC www.thuvienhoclieu.com Trang 39