›
›
›

225 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Hồ Khắc Vũ (Có đáp án)

pdf 422 trang thaodu 9511
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "225 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Hồ Khắc Vũ (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf225_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_7_ho_khac_vu_co_dap_an.pdf

Nội dung text: 225 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Hồ Khắc Vũ (Có đáp án)

  1. PHÒNG GD & ĐT THIỆU HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Năm học 2016-2017 Đề chính thức Môn: TOÁN Câu 1. (4,0 điểm) Tính hợp lý 7 184519 787312 ab)) 25 25 23 7 23 19 11 19 11 19 7 10 7 9 2 cd) 25 .125.4. 8 . 17 ) . . 35 19 35 19 35 Câu 2. (3,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 1 1 1 aA. . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 1 b. B 2 x2 3 x 5với x 2 0 3 2 2 2 2015 c. C 2 x 2 y 13 xyxy 15 yxxy , biết xy 0 2016 Câu 3. (4,0 điểm) 2 1 1. Tìm xy, biết : 2xy 3 12 0 6 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z 2. Tìm x,, y z biết: và x y z 18 4 3 2 Câu 4. (3,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên xy, biết: x 2 xy y 3 0 2. Cho đa thức f x x10 101 x 9 101 x 8 101 x 7 101 x 101. Tính f 100 Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC .Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC a) Chứng minh rằng ADC ABE b) Chứng minh rằng DIB 600 c) Gọi MN, lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều d) Chứng minh rằng IAlà phân giác của DIE Câu 6. (1,0 điểm) 1
  2. Cho tam giác ABC vuông tại Acó AB 3 cm , AC 4 cm .Điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC. Tính MB . 2
  3. ĐÁP ÁN Câu 1. 7 184519 7 18 419 5 a) 25 25 23 7 23 25 25 23 23 7 55 11 77 78 7312 7 8 3 12 7 12 b) . . . .1 1 19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19 c) 25 .125.4. 8 . 17 25 .4.125. 8 . 17 100 . 1000 . 17 1700000 71079 7109 2 7 21 d) 35 19 35 19 35 19 19 35 35 35 7 Câu 2. 1 1 1 1 1 aA) . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 . . . . . . 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 2016 . . . . . . . 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 2017 2  1 1 1 xB 2. 3. 5 4 1 2 2 2 b) Vì x   2 2 1 1 1 xB 2. 3. 5 7  2 2 2 0 3 2 2 2 2015 c) C 2 x 2 y 13 xyxy 15 yxxy 2016 2(x y ) 13 x32 y x y 15 xy x y 1 1(vì xy 0) 3
  4. Câu 3. 2 1 1)Vì 20x với mọi xy; 3 12 0 y,do đó: 6 2 1 2x 3 y 12 0  x , y , theo đề bài thì: 6 22 11 2x 3 y 12 0 2 x 3 y 12 0 . Khi đó: 66 1 1 20x x 6 12 3y 12 0 y 4 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z 2) Ta có: . Suy ra 4 3 2 4 3x 2 y 3 2 x 4 x 2 4 y 3 z 12x 8 y 6 z 12 x 8 y 6 z 0. Do đó: 16 9 4 29 32x y x y 0 3xy 2 (1) 4 2 3 24z x x z 0 2zx 4 (2) 3 2 4 x y z Từ (1) và (2) suy ra . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2 3 4 x y z x y z 18 2 x 4; y 6; z 8 2 3 4 2 3 4 9 Câu 4. 1. Ta có: x 2 xy y 3 0 4
  5. 2x 4 xy 2 y 6 0 2 x 4 xy 2 y 1 5 212x y 12 y 5 2112 x y 5 Lập bảng 21x 1 5 -1 -5 12 y 5 1 -5 -1 x 1 3 0 -2 y -2 0 3 1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2. Ta có: f x x10 101 x 9 101 x 8 101 x 7 101 x 101 x10 100 x 9 x 9 100 x 8 x 8 100 x 7 x 7 101 x 101 x9. x 100 x 8 x 100 x 7 x 100 x x 100 x 101 Vậy f 100 1 Câu 5. E A D J N K IM B C 5
  6. a) Ta có AD AB, DAC BAE và AC AE ADC ABE( ) c g c b) Từ ADC ABE (câu a) ABE ADC,mà BKI AKD(đối đỉnh) Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK600 ( dfcm ) c) Từ ADC ABE (câu a) CM EN, ACM AEN ACM AEN( ) c g c AM AN và CAM EAN MAN CAE 600 .Do đó AMN đều d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ JB BIJ đều BJ BI và JBI DBA 600 IBA JBD ,kết hợp BA BD IBA JBD c. g . c AIB DJB 1200 mà BID 600 DIA 600 IAlà phân giác của DIE Câu 6. A E D I C B M Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao 3 đường phân giác trong tam giác ABC Tam giác ABC vuông tại A nên tính BC 5 cm Chứng minh được CEI CMI CE CM Chứng minh tương tự : AE AD, BD BM Suy ra MB BC AB AC :2 2 6
  7. Phòng GD & ĐT Thăng Bình ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH Năm học 2018-2019 - Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút Đề thi có 02 trang I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( x - 1 )2 = 0,25 là: 91 19 91 91 A. ; B. ; C. ; D. ; 44 44 44 44 Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Để Am song song với Ox thì số đo của góc OAm là: A. 500 B. 1300 C. 500 và 1300 D. 800 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x > 1. Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) và f(1) = 1. Giá trị của f(4) là: A. 3 B. 5 C. 6 D. 1 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 6 , Â = 300. Phân giác góc C cắt AB tại D. Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: A.2; 4 B. 3; 3 C. 4; 2 D. 1; 5 Câu 5: Cho a2m = - 4. Kết quả của 2a6m - 5 là: A. -123 B. -133 C. 123 D. -128 Câu 6: Cho tam giác DEF có  E =  F. Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có: A. ∆ DIE = ∆ DIF B. DE = DF ,  IDE =  IDF C. IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C đều đúng Câu 7: Biết a + b = 9. Kết quả của phép tính 0,a ( b ) 0, b ( a ) là: 7
  8. A. 2 B. 1 C, 0,5 D. 1,5 Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36. Giá trị lớn nhất của x = a.b là: A. 6 B. - 6 C. 7 D. 5 Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC > AB. Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là: A. BM ≤ CN B. BM > CN C. BM < CN D. BM = CN Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x là : A. M ( - 1; -2 ) B. N ( 1; 2 ) C. P ( 0 ; -2 ) D. Q ( -1; 2 ) Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p . Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là: A. 8850 đ B. 8750 đ C. 7850 đ D.7750 đ Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Số đo của góc BDC là: A. 500 B. 700 C. 300 D. 800 II. Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm) A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 B, Cho tích a.b là số chính phương và (a,b) = 1. Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương. Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị của A khi x = 4. Tìm x để A = 2015 2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ 32,5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây. Câu 3.(5 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn 8
  9. thẳng AB. Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 900. a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD. AB2 b) Chứng minh rằng: AC. BD 4 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: 2 HA + HB + HC < ()AB AC BC 3 Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết : A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| Hết Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Họ và tên học sinh: SBD: 9
  10. Phòng GD & ĐT Lâm Thao ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016 – 2017 - Môn: Toán 7 ĐỀ CHÍNH Thời gian: 90 phút Đề thi có 02 trang I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đ. A C C A B D B A C D B C án II. Phần tự luận (14 điểm) Câu Nội dung chính Điểm 1(4 M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 điểm) = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 0,25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 0,25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 0,25 = 25.42018 – 25 + 25 0,25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 0,25 Vậy M 102 0,25 10
  11. B, Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a d, c d 0,25 Hay a = m.d và c = n.d với (m,n) = 1 Thay vào (1) ta được m.d.b = n2 . d2 0,25 => m.b = n2. d => b n2 vì (a,b) = 1= (b,d) 0,5 Và n2 b => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm 0,5 2(4 1. Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 2 điểm) = x – 4x + 2015 A, Với x = 4 ta được A = 2015 2 x 0 B, A = 2015 => x – 4x = 0 => x(x - 4) = 0   x 4 2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề bài ta có b : c = 1,5: 1,2 và b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây 3(5 điểm) 11
  12. A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E. Chứng minh AOC BOE g c g AC BE; CO EO Chứng minh DOC DOE c g c CD ED Mà ED EB BD AC BD . Từ đó : CD AC BD (đpcm) B, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có: OE2 OB 2 EB 2 OE2 OD 2 2 OB 2 EB 2 DB 2 OD2 OB 2 DB 2 2 2 2 Mà OE OD DE ; Nên 0,25 2 2 2 2 DE 2 OB EB DB 2OB2 EB . DE BD DB .( DE BE ) 0,25 2OB2 EB . DE EB . BD DB . DE DB . BE 2OB2 EB . DE DB . DE 2 BD . BE 0,25 2OB2 DE . EB DB 2 BD . BE 0,25 22 2OB DE 2 BD . BE 22 Suy ra 2OB 2 BD . BE 0 BD . BE OB AB Mà BE AC; OB . 2 2 0,25 AB AB2 Vậy AC. BD (đpcm) 24 2. Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB tại E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g) 12
  13.  AD = HE; AE = HD Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) 0,5 Từ đó HE  BH ΔHBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3) Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) 0,25 HA + HB + HC < BC + AC (6) 2 Từ đó suy ra HA + HB + HC < ()AB AC BC đpcm 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 13
  14. 4(2 Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| 0 và | xy + yz + zx - 2000| 0 điểm) Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 0 Mà A = 0 khi và chỉ khi |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = 0 xy Có: |7x – 5y| = 0  7x = 5y  57 xz |2z – 3x| = 0  23 |xy + yz + zx - 2000| = 0  xy + yz + zx = 2000 x 20; y 28; z 30 Từ đó tìm được  x 20; y 28; z 30 A 0, mà A = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa PHÒNG GD-ĐT ĐƯC THỌ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. Tìm giá tri n nguyên dương 1 a) .81nn 3 b) 8 2n 64 27 Câu 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 4 3 5 7 49 . 8 8.15 15.22 43.50 217 Câu 3. Tìm các cặp số xy; biết: 14
  15. xy a) và xy 405 59 1 5y 1 7 y 1 9 y b) 24 7xx 2 Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A x 5 5 x2 17 bB) x2 7 Câu 5. Cho tam giác ABC( CA CB ), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM MN NC . Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại I a) Chứng minh I là trung điểm của AN b) Qua K là trung điểm của AB kẻ đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc ACB cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng BC tại F. Chứng minh AE BF ĐÁP ÁN Câu 1. 1 a) .81n 3 n 343 n 3 n 4 n 3 n n 1 27 b)8264222 nn 36 n 4, n 5 Câu 2. 15
  16. 1 1 1 1 4 3 5 7 49 . 1.8 8.15 15.22 43.50 217 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 3 5 7 49 . 1 . 7 8 8 15 15 22 43 50 217 1 15 12.50 25 1 49 5 625 7.7.2.2.5.31 2 . 1 . . . 7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5 Câu 3. xy x22 y xy 405 a) và xy 405 9 59 25 81 5.9 45 xx22 9.25 15 15 yy22 9.81 27 27 Do xy, cùng dấu nên x 15, y 27 & x 15, y 27 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1517191917 y y y y y 2 y 1715 y y 2 y 24 7x 2 x 27 x x 5 x 724 x 724 x 22yy 5x 7 x 24 x 2 5xx 7 24 Thay x 2vào trên ta được: 1 5yy 5 5y 25 y 24 y 49 y 5 y 24 5 49 5 Vậy xy 2, thỏa mãn đề bài 49 Câu 4. a) Ta có: x 50. Dấu "" xảy ra xA 55 Vậy MinA 55 x xx22 17 7 10 10 b) B 1 x2 7 x 2 7 x 2 7 Ta có: x2 0 , Dấu "" xảy ra xx 0 2 7 7 16
  17. 10 10 10 10 17 11 B , dấu "" xảy ra x 0 xx22 7 7 7 7 7 17 Vậy MaxB x 0 7 Câu 5. A P E K I F B M N C a) Từ I kẻ đường thẳng //BC cắt AB tại H. Nối MH Ta có: BHM IMH vì: BHM IMH; BMH IHM ( slt ); HM chung BM IH MN AHI IMN vì: IH MN( cmt ); AHI IMN ABC ; AIH INM (đồng vị) AI IN() dfcm b) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại P. PKA FKB vì: PKA FKB(đối đỉnh); APK BFK (so le trong); AK KB AP BF(1) EPA KFC (đồng vị); CEF KFC ( CFE cân) 17
  18. EPA CEF APE cân AP AK 2 Từ (1) và (2) suy ra AE BF() dfcm TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG GIAO TÂN NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TOÁN 7 Bài 1. (4 điểm) 1 1 1 1 1 1 1. Rút gọn A 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 2. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 3.2 3 4.2 4 nn 1 2n 1 .2 n 2 n 34 Bài 2. (5 điểm) xy yz zx x2 y 2 z 2 1. Tìm các số x,, y z biết: 2y 4 x 4 z 6 y 6 z 2 x 22 4 2 6 2 2. Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x,, y z thỏa mãn : x y y z z x 2017 Bài 3. (3 điểm) Chứng minh rằng: 2 22 2 3 2 4 2 5 2 99 2 100 chia hết cho 31 Bài 4. (3 điểm) 22 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2 x 5 y 15 y 6 x xy 90 Bài 5. (5 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn, AB AC BC.Các tia phân giác của góc Avà góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC.Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI. a) Chứng minh FCH cân 18
  19. b) Chứng minh AK KI c) Chứng minh 3 điểm BOK,, thẳng hàng. 19
  20. ĐÁP ÁN Bài 1. 1 1 1 1 1 1 1.1)A 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 1 1 1 1 A 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 1 1 1 1 A 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 100 2 2 3 97 98 98 99 99 100 1 1 49 A 1 100 100 50 1.2) 2.22 3.2 3 4.2 4 nn 1 2n 1 .2 n 2 n 34 (1) B 2.22 3.2 3 4.2 4 n 1 .2nn 1 n .2 2B 2. 2.22 3.2 3 4.2 4 n 1 .2nn 1 n .2 2B 2.23 3.2 4 4.2 5 n 1 2nn n .2 1 Đặt 2B B 2.23 3.2 4 4.2 5 n 1 2nn n .2 1 2.22 3.2 3 4.2 4 nn 1 .2nn 1 .2 B 2234 25 2nn n .2 1 2.2 2 23 2 4 2 5 2nn n .2 1 2 3 C 2345 2 2 2n 2C 2. 23 2 4 2 5 2nn 2 4 2 5 2 6 2 1 Đặt 2CC 24 2 5 2 6 2nn 1 2 3 2 4 2 5 2 C 22n 13 Khi đó Bn 2nn 1 2 3 .2 1 2 3 2n 1 2 3 n .2 n 1 2 3 2 n 1 n .2 n 1 n 1.2 n 1 Vậy từ (1) ta có: n 1 2nn 1 2 34 20
  21. 2nn 34 n 1 .2 1 0 n 1 33 33 33 2 . 2 n 1 0 2 n 1 0 n 2 1 Vậy n 2133 Bài 2. 1. Xét x 0 y 0, z 0 2 y 4 z 0(vô lý) Suy ra x 0; y 0; z 0 Khi đó từ đề suy ra : 2y 4 x 4 z 6 y 6 x 2 z 22 4 2 6 2 xy yz zx x2 y 2 z 2 2 4 4 6 6 2 22 4 2 6 2 2 2. x y y z z x x2 y 2 z 2 x 2 4 6 1 22 4 2 6 2 2 Đặt k 0 thì x y z k x2 y 2 z 2 k Suy ra : x 2 k ; y 4 k ; z 6 k và x2 y 2 z 2 28 k (3) Thay x 2 k , y 4 k , z 6 k vào (3) ta được: 2k 2 4 k 2 6 k 2 28 k k 0( ktm ) 2 56kk 28 0  1 k () tm  2 1 Với k x 1; y 2; z 3 2 Vậy x 1, y 2, z 3 2.2 Ta có: xyyzzxxyxy yz yz zxzx 20xx Với mọi số nguyên x ta lại có xx 00x Suy ra xx luôn là số chẵn với mọi số nguyên x 21
  22. x y x y Từ đó ta có: y z y z là các số chẵn với mọi số nguyên x,, y z z x z x Suy ra xyxy yz yzzxzx là một số chẵn với mọi số nguyên x,, y z Hay x y y z z x là một số chẵn với mọi số nguyên x,, y z Do đó, không thể tìm được số nguyên x,, y z thỏa mãn: x y y z z x =2017 Bài 3. Đặt D 2 22 2 3 2 4 2 5 2 99 2 100 (có 100số hạng) 2 22 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 296 2 97 2 98 2 99 2 100 (có 20 nhóm) D 2.122 2346 2 2 2.122 234 2 2 2.122 96 234 2 2 D 2.31 26 .31 2 96 .31 D 31. 2 26 2 96 chia hết cho 31 Vậy D 2 22 2 3 2 4 2 5 2 99 2 100 chia hết cho 31 Bài 4. Ta có: P 2 x 5 y 22 15 y 6 x xy 90 2x 5 y 22 6 x 15 y xy 90 2x 5 y 22 9. 2 x 5 y xy 90 8. 2x 5 y2 xy 90  2 2 Ta thấy 2xy 5 0với mọi xy, nên 8. 2xy 5 0với mọi xy, xy 90 0với mọi xy, 2 Khi đó 8. 2x 5 y xy 90 0với mọi xy, 2 Suy ra 8. 2x 5 y xy 90 0v i m i xy,  ớ ọ Hạy P 0với mọi xy, 22
  23. 2 xy 2xy 5 0 Dấu "" xảy ra khi 52 xy 90 0 xy 90 xy Đặt k ta được x 5 k , y 2 k 52 2 k 3 Mà xy 90nên 5k .2 k 90 k 9  k 3 Nếu k 3 x 15, y 6 Nếu k 3 x 15, y 6 xy 15; 6 Vậy MaxP 0  xy 15; 6 Bài 5. A H E K O G C B F I a) Chứng minh Ta có CHO CFO 900 (vì OH AC,) OF BC 23
  24. Xét CHO vuông và CFO vuông có: OC chung; HCO FCO( OC là phân giác C) Vậy CHO CFO(cạnh huyền – góc nhọn) CH CF (hai cạnh tương ứng). Vậy FCH cân tại C b) Qua I vẽ IG// AC G FH Ta có FCH cân tại C (cmt) CHF CFH(1) Mà CHF FGI (đồng vị, IG/ / AC ) (2) Từ (1) và (2) CFH FGI hay IFG IGF , Vậy IFG cân tại I FI GI , mặt khác : FI AH nên GI AH() FI Ta lại có : IGK AHK; HAK GIK (so le trong , IG//) AC Xét AHK và IGK có: IGK AHK( cmt ); GI AH ( cmt ); HAK GIK ( cmt ) AHK IGK()() gcg AK KI dfcm c) Vẽ OE AB tại E, Chứng minh được BO là tia phân giác của ABC (*) Chứng minh được AB BI Chứng minh được: ABK IBC( ) c c c ABK IBK Từ đó suy ra BK lầ tia phân giác của ABC Từ (*) và ( ) suy ra tia BK, BO trùng nhau Hay BOK,, là ba điểm thẳng hàng. UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán 7 Câu 1. (2,5 điểm) Tính: a)7,3.10,5 7,3.15 2,7.10,5 15.2,7 b) 69 .2 10 12 10 : 2 19 .27 3 15.4 9 .9 4 Câu 2. (5 điểm) So sánh Avà B trong mỗi trường hợp sau: 2012 1999 aA) B 4025 3997 b) AB 321 ; 2 31 24
  25. c) 2011 2011 2011 2011 2012 2012 2012 2012 AB ; 1.2 3.4 5.6 1999.2000 1001 1002 1003 2000 Câu 3. (5 điểm) a) Chứng minh rằng:3x 1 3 x 2 3 x 3 3 x 100 chia hết cho 120 x 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z x y z b) Cho .Chứng minh rằng: 4 3 2 2 3 4 c) Cho fx là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn f x1 x 2 f x 1 f x 2 và f 2 10.Tính f 32 Câu 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC.Trên tia đối của tia CAlấy điểm D sao cho CD AB.Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD a) Chứng minh AIB DIC b) Chứng minh AI là tia phân giác của BAC 1 c) Kẻ IE vuông góc với AB,chứng minh AE AD 2 Câu 5. (2,5 điểm) Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kỳ ba số nào cũng là một số âm. Chứng minh rằng: a) Tích của 100số đó là một số dương. b) Tất cả 100số đó đều là số âm 25
  26. ĐÁP ÁN Câu 1. a)7,3.10,5 7,3.15 2,7.10,5 15.2,7 10,5. 7,3 2,7 15. 7,3 2,7 10,5.10 15.10 105 150 255 b) 69 .2 10 12 10 : 2 19 .27 3 15.4 9 .9 4 39 .2 9 .2 10 2 20 .3 10 : 2 19 .3 9 3.5.2 18 .3 8 19 19 18 9 2 .3 . 1 2.3  :  2 .3 . 2 5  2.7 : 7 2 Câu 2. 2012 2012 1 1 1999 1999 a); 4025 4024 2 2 3998 3997 2012 1999 2012 1999 4025 3997 4025 3997 Vậy AB 10 A 321 3. 3 2 3.9 10 b) 10 B 231 2. 2 3 2.8 10 Suy ra AB 26
  27. 2011 2011 2011 2011 cA) 1.2 3.4 5.6 1999.2000 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 2 3 4 5 6 1999 2000  1 1 1 1 1 1 1 2011. 1  3 5 1999 2 4 6 2000  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011. 1 2.  2 3 4 5 6 1999 2000 2 4 6 2000  11111 11 11 11 2011. 1 1  2 3 4 5 6 1999 2000 2 3 999 1000 1 1 1 1 2011. 1001 1002 1003 2000 1 1 1 1 B 2012. AB 1001 1002 1003 2000 Câu 3. a)3x 1 3 x 2 3 x 3 3 x 100 3xxxxxxxx 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 xxxx 97 3 98 3 99 3 100 3x . 31234 3 3 3 3 x 41234 . 3 3 3 3 3x 961234 . 3 3 3 3 3x .120 3 x 4 .120 3 x 96 .120 120 3xx 3 4 3x 96 120(dfcm ) 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z b) . Suy ra: 4 3 2 43 x 2 y 3.2 z 4 x 2.4 y 3 z 16 9 4 12x 8 y 6 z 12 x 8 y 6 z 0 29 27
  28. 32x y x y 0 3xy 2 (1) 4 2 3 Vậy 24z x x z 0 2zx 4 (2) 3 2 4 x y z Từ (1) và (2) ta được : 2 3 4 c) Vì f x1 x 2 f x 1 f x 2 nên: f 4 f 2.2 f 2 . f 2 10.10 100 f 16 f 4.4 f 4 . f 4 100.100 10000 f 32 f 16.2 f 16 . f 2 10000.10 100000 Câu 4. A P B C E I a) Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD nên IB IC,. IA ID Lại có AB CD() gt , do đó AIB DIC( ) c c c 28
  29. b) AID cân ở I, suy ra DAI D AIB DIC (câu a), suy ra BAI D, do đó: DAI BAI Vậy AI là tia phân giác của BAC c) Kẻ IP AD,ta có: AIE AIP(cạnh huyền – góc nhọn) AE AP 1 1 Mà AP AD (Vì P là trung điểm AD) Suy ra AE AD. 2 2 Câu 5. a) Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số đều dương thì tích của ba số bất kì không thể lầ một số âm). Ta tách riêng số âm đó ra. Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, mỗi nhóm 3 thừa số. Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33 nhóm tức là của 99 số là một số âm Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của 100 số là một số dương b) Sắp xếp 100số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn a1 a 2 a 3 a 100 Các số này đều khác o (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài). Xét tích a98. a 99 . a 100 0 a 98 0(vì nếu a98 0 thì aa99 0, 100 0,tích của ba số này không thể là một số âm). Vậy a1, a 2 , a 3 , a 98 là các số âm Xét tích a1 a 2 a 99 0 mà aa12 0nên a99 0 Xét tích a1 a 2 a 100 0mà aa12 0 nên a100 0 Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm TRƯỜNG THCS KỲ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018 MÔN TOÁN 7 Bài 1. (6 điểm) x y y z a) Tìm x,, y z biết , và 2x 3 y z 6 3 4 3 5 29
  30. xy b) Tìm hai số xy, biết rằng: và xy 40 25 c) Tìm x,biết: 5xx 4 2 ac a22 c a Bài 2. (3 điểm) Cho .Chứng minh rằng: cb b22 c b 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 Bài 3. (4 điểm) Thực hiện phép tính: A 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 Bài 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC,M là trung điểm của BC.Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME MA.Chứng minh rằng: a) AC EB và AC// BE b) Gọi I là một điểm trên AC;K là một điểm trên sao cho AI EK.Chứng minh ba điểm IMK,,thẳng hàng. c) Từ E kẻ EH BC H BC .Biết HBE 5000 , MEB 25 .Tính HEM, BME 2 Bài 5. (1 điểm) Tìm xy, biết: 25 yx2 8 2009 30
  31. ĐÁP ÁN Bài 1. x y x y y z y z a) Từ giả thiết: (1); (2) 34 912 351220 x y z Từ (1) và (2) suy ra : (*) 9 12 20 x y z2 x 3 y z 2 x 3 y z 6 Ta có: 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 x 9.3 27; y 12.3 36; z 20.3 60 xy b) Nhân cả hai vế của với x ta được: 25 2 x xy 40 2 xy 4 10 8 x 16  2 5 5 xy 4 10  3 46xx 5xx 4 2  2 c) 5xx 4 2  5xx 4 2 1  62xx  3 Bài 2. a c a2 c 2 a 2 aba a b a Từ c2 ab cb bcbabbabb2 2 2 Bài 3. 2125 .3 4 62 .9 5 103 .7 25 5 .49 2 2 125 .3 2 124 .3 5 103 .7 5 104 .7 A 63 126 125 93 933 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212 .3 4 . 3 1 5 10 .7 3 . 1 7 212 .3 4 .2 5 10 .7 3 . 6 1 10 7 212 .3 5 . 3 1 59 .7 3 . 1 2 3 212 .3 5 .4 5 9 .7 3 .9 6 3 2 31
  32. Bài 4. A I M H B C E a) Xét AMC và EMB có: AM EM( gt ); AMC EMB (đối đỉnh); BM MC() gt Nên AMC EMB( ) c g c AC EM Vì AMC EMB MAC MEB , mà 2 góc này ở vị trí so le trong AC// BE b) Xét AMI và EMK có: AM EM( gt ); MAI MEK AMC EMB ; AI EK ( gt ) Nên AMI EMK( ) c g c AMI EMK Mà AMI IME 1800 (tính chất hai góc kề bù) EMK IME 1800 Ba điểm IMK,,thẳng hàng c) Trong tam giác vuông BHE H 900 có HBE 500 32
  33. HBE 900 HEB 90 0 50 0 40 0 HEM HEB MEB 400 25 0 15 0 BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên BME HEM MHE 150 90 0 105 0 (định lý góc ngoài của tam giác) Bài 5. Ta có: 8 x 2009 22 25 y22 8 x 2009 y 25(*)  2 2 2 25 x 2009 0 * y 17( ktm ) Vì y2 0 nên x 2009 ;suy ra  8 2 2  x 2009 0 * y 25 y 5 Vậy xy 2009; 5 PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 MÔN : TOÁN 7 Câu 1. (1,5 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 2014 1) M 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2015 9 11 6 2) Tìm x,biết x22 x 12 x Câu 2. (2,5 điểm) 1) Cho abc,,là ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện : a b c b c a c a b c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B 111 a c b 2) Ba lớp 7ABC ,7 ,7 cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp với tỉ lệ 5:6:7nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6nên có một lớp nhận nhiều hơn 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua Câu 3. (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 x 2 2 x 2013 với x là số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x y z xyz 33
  34. Câu 4. (3,0 điểm) Cho xAy 600 có tia phân giác Az.Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H,kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh: a) K là trung điểm của AC b) KMC là tam giác đều c) Cho BK 2, cm tính các cạnh của AKM Câu 5. (1,0 điểm) a b c Cho ba số dương 0 abc 1.Chứng minh rằng: 2 bc 1 ac 1 ab 1 34
  35. ĐÁP ÁN Câu 1. 2 2 1 1 0,4 0,25 2014 1)M 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2015 9 11 6 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 9 11 3 4 52014 5 9 11 3 4 5 2014 :: 7 7 7 7 7 7 2015 1 1 1 7 1 1 1 2015 7. 5 9 11 6 8 10 5 9 11 3 3 4 5 2 2 2014 :0 7 7 2015 2) Vì xx2 10 nên 1 x22 x 1 x 2 x 1 2 +Nếu x 1thì * xx 1 2 3 +Nếu x 1 x 1 2 x 1 Câu 2. 1) +Nếu abc 0, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: abcbcacababcbcacab 1 c a b a b c abc bca cab abbcca Mà 1 1 1 2 2 c a b c a b b a c b a c a b c Vậy B 1 1 1 8 a c b a c b +Nếu abc 0, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: abcbcacababcbcacab 0 c a b a b c a b c b c a c a b a b b c c a Mà 1 1 1 1 1 c a b c a b 35
  36. b a c b a c a b c Vậy B 1 1 1 . . 1 a c b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là xx * Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7ABC ,7 ,7 lúc đầu lần lượt là abc,, a b c a b c x5 x 6 x 7 x Ta có: a ; b ; c (1) 5 6 7 18 18 18 18 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là abc', ', ' , ta có: a' b ' c ' a ' b ' c ' x 4 x 5 x 6 x a' ; b ' ; c ' (2) 4 5 6 15 15 15 15 15 So sánh 1 và 2 ta có: a a'; b b '; c c 'nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu 67xx Vậy c' c 4 4 x 360( tm ) 15 18 Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360gói. Câu 3. A 2 x 2 2 x 2013 2 x 2 2013 2 x 1) Ta có: 2xx 2 2013 2 2015 2013 Dấu "" xảy ra khi 2x 2 2013 2 x 0 1 x 2 Vậy MaxA 2015khi x 1 2) Vì x,, y z nguyên dương nên ta giả sử 1 x y z 1 1 1 1 1 1 3 Theo bài ra 1 xx2 3 1 yz yx zx x2 x 2 x 2 x 2 Thay vào đầu bài ta có: 1 y z yz y yz 1 z 0 y 1 z 1 z 2 0 yz 1 1 2 Th1: y 1 1 y 2 và zz 1 2 3 Th2: y 1 2 y 3và zz 1 1 2 Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn 1,2,3 ; 1,3,2 36
  37. Câu 4. z x B t C K A H M y a) ABC cân tại B do CAB ACB MAC và BK là đường cao BK là đường trung tuyến K là trung điểm của AC b) ABH BAK(cạnh huyền – góc nhọn) 11 BH AK (hai cạnh tương ứng) mà AK AC BH AC 22 Ta có: BH CM (tính chất đoạn chắn) mà 1 CK BH AC CM CK MKC là tam giác cân (1) 2 Mặt khác: MCB 900 và ACB 3000 MCK 60 (2) Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều c) Vì ABK vuông tại K mà KAB 300 AB 2 BK 2.2 4 cm Vì ABK vuông tại K nên theo pytago ta có: AK AB22 BK 16 4 12 37
  38. 1 Mà KC AC KC AK 12 2 KCM đều KC KM 12 Theo phần b, AB BC 4, AH BK 2, HM BC ( HBCM là hình chữ nhật) AM AH HM 6 Câu 5. Vì 01 abc nên: 11 cc a 1 b 1 0 ab 1 a b 1 ab 11 a b ab a b a a b b Tương tự: (2); (3) bc 11 b c ac a c a b c a b c Do đó: (4) bc 1 ac 1 ab 1 bcacab a b c2 a 2 b 2 c 2 abc Mà : 2(5) bcacababcabcabc abc a b c Từ (4) và (5) suy ra : 2 (dfcm ) bc 1 ac 1 ab 1 UBND HUYỆN PHÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN Năm học 2009-2010 Bài 1.(6 điểm) Thực hiện phép tính: 3 2 5 9 a): 4 3 9 4 1 1 1 45 1 1 1 b) 19 2 3 4 5.415 .9 9 4.3 20 .8 9 c) 5.210 .6 19 7.2 29 .27 6 Bài 2. (6 điểm) 38
  39. a) Tìm x,biết: 2 x 132 x 2 4.2 x 3 16 1 21 b) Tìm x,biết: 3 : 2x 1 2 22 2x y 3 y 2 z c) Tìm x,, y z , biết: và x z2 y 5 15 ac Bài 3. (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: bd a 22 c b d a c b d Bài 4. (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KAlấy D, sao cho KD KA a) Chứng minh CD// AB b) Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N. Chứng minh rằng ABH CDH c) Chứng minh : HMN cân Bài 5. (2 điểm) Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11. 39
  40. ĐÁP ÁN Bài 1. 325 9325 9319 a) : : : 9 439 4439 4494 1 1 1 45 1 1 1 45 1 45 26 b)1 11 19 2 3 4 19 19 19 1 2 4 3 5.415 .9 9 4.3 20 .8 9 5.2 30 .3 18 2 2 .3 20 .2 3.9 c) 5.210 .6 19 7.2 29 .27 6 5.2 10 .2 19 .3 19 7.2 29 .3 3.6 29 18 2 2 .3 . 5.2 3 10 9 1 229 .3 18 . 5.3 7 15 7 8 Bài 2. a)2 x 26 x 68 x 1216 12 x 36 x 3 1 b) Nếu x , ta có: 2 1 21 7 21 7 3 : 2x 1 : 2 x 1 x ( tm ) 2 22 2 22 3 1 Nếu x , ta có: 2 1 21 7 21 8 4 3 : 2x 1 : 1 2 x 2 x x ( tm ) 2 22 2 22 3 3 74 Vậy xx  33 c) Từ x z2 y ta có: x 20 y z hay 2x 4 y 2 z 0hay 2x y 3 y 2 z 0hay 2x y 3 y 2 z 40
  41. 2x y 3 y 2 z Vậy nếu 2x y 3 y 2 z 0 5 15 1 Từ 20x y x y 2 1 Từ 3yz 2 0và x z2 y x z y 2 z 0 y y z 0 2 3 2 1 y z 0 y z x z 2 3 3 12 Vậy các giá trị x,, y z cần tìn là: x z;; y z z hoặc 33 13 x y;; y z y hoặc x , y 2 x , z 3 x  22 Bài 3.Ta có: a 22 c b d a c b d ab ad 2 cb 2 cd ab 2 ad cb 2 cd ac cb ad bd 41
  42. Bài 4. B D K M N A H C a) Xét 2 tam giác ABK và DCK có: BK CK; BKA CKD (đối đỉnh); AK DK()( ) gt ABK DCK c g c DCK DBK Mà ABC ACB 9000 ACD ACB BCD 90 ACD 900 BAC AB / / CD ( AB  AC và CD AC). b) Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có: BA CD ABK DCK ;( ) AH CH ABH CDH c g c c) Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDAcó: AB CD; ACD BAC 900 ; AC cạnh chung ABC CDA( ) c g c ACB CAD mà AH CH() gt và MHA NHC ABH CDH AMH CNH( ) g c g MH NH HMN cân tại H Bài 5. Ta có: abcabc abc.1001 abc .91.11 11 TRƯỜNG THCS ÂN TƯỜNG ĐÔNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 42
  43. Năm học 2014-2015 Môn Toán 7 Bài 1. (2 điểm) Thực hiện phép tính: 14 14 5 3 3 a) A .34,8 .65,2 b ) B : ( 7) 25 25 4 4 2 Bài 2. (4 điểm) Tìm x biết: 1 5x 3 2 29 12 1 a)) x b 4 5 60 2 8 2 7 2 c) x 0,24 d ) x 0,6:31 5 3 5 a b c Bài 3. (4 điểm) Tìm các số abc,,biết: và a b c 10 3 5 7 Bài 4. (2 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 2 3 48 49 Cho S và P 2 3 4 48 49 50 49 48 47 2 1 S Hãy tính P Bài 5. (3 điểm) Cho ABC có AB AC.Kẻ tia phân giác AD của BAC D BC .Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AB,trên tia AB lấy điểm F sao cho AF AC.Chứng minh rằng: a) ADB ADE b) BDF EDC Bài 6. (5 điểm) Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC.Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF.Chứng minh rằng: a) AD FC và AB// FC b) BDC FCD 1 c) DE// BC và DE BC 2 43
  44. ĐÁP ÁN Bài 1. 14 14 14 14 aA) .34,8 .65,2 . 34,8 65,2 .100 56 25 25 25 25 5 3 3 5 3 2 bB) : 7 . 7 4 4 2 4 4 3 5 1 31 7 4 2 4 Bài 2. 32 292 293 42 2 a): x x x 45 60 5 604 155 3 1 53x 1 2 1 1 1 b) 5 x 3 x 2 2 2 2  24 2 16 xx 2  100 5 25 cx) 0,24  5 24 2 4 xx  100 5 25 7 2 7 6 17 d) x 0,6 :3 1 x : 1 3 5 3 10 5 7 3 17 7 17 3 20 xx 4 3 5 5 3 5 5 5 7 12 x 4: 37 Bài 3. a b c a b c Ta có: 10 3 5 7 3 5 7 a b c 10 a 30; 10 b 50; 10 c 70 3 5 7 44
  45. Vậy abc 30, 50, 70 Bài 4. 1 2 3 48 49 1 2 3 48 P 1 1 1 1 1 49 48 47 2 1 49 48 47 2 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1 49 48 47 2 50 49 48 47 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 2 3 4 49 50 1 50. 50 49 48 2 P 1 1 1 1 50 50. 50 49 48 2 Bài 5. A E B D C F a) ADB ADE() cgc b) BDF EDC() cgc 45
  46. Bài 6. A D E F B C a) Chứng minh được ADE CFE( ) c g c AD FC và DAE ECF , mà 2 góc ở vị trí so le trong AB// FC b) BDC FCD( c . g . c )( Do AD BD ; AD CF BD CF ; BDC FCD ( slt ); DC chung) c) BDC FCD BCD EDC mà 2 góc này ở vị trí so le trong 11 DE// BC DE DF BC 22 PHÒNG GD&ĐT HỒNG NGỰ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS TT HẬU A MÔN : TOÁN 7 NĂM HỌC 2017-2018 Bài 1. (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 63 3.6 2 3 3 5 8 16 a) bA) 5,13: 5 1 .1,25 1 13 28 9 63 Bài 2. (4 điểm) Biết 12 2 2 3 2 10 2 385.Tính 22 4 2 6 2 20 2 46
  47. Bài 3. (4 điểm) 1 Cho đa thức P x x42 3 x x. Tìm các đa thức Q x , R x sao cho: 2 a) P x Q x x52 21 x b) P x R x x3 Bài 4. (4 điểm) Ba đội san đất làm ba khối công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày và đội thứ ba hoàn thành công việc trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (có cùng năng suất), biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai 2 máy Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại Acó A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC).Tia phân giác của ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của ABC b) AM BC ĐÁP ÁN Bài 1. 47
  48. 3 3 2 63 3.6 2 3 3 2 3 .3 3 2 2 .3 3 3 3 3 . 2 2 1 a) 27 13 13 13 5 8 16 bA) 5,13: 5 1 .1,25 1 28 9 63 5 13 16 5,13: 5 2 1 28 36 63  5 13 16 5,13: 5 2 1  28 36 63 1 5,13: 4 1,26 14 Bài 2. Ta có: S 22 4 2 6 2 20 2 2 2 1 2 2 2 3 2 10 2 4.385 1540 Bài 3. a) Ta có: P x Q x x52 21 x Q x P x x52 21 x 4 21 5 2 x 3 x x x 2 x 1 2 1 x5 x 4 x 2 x 2 1 VậyQ x x5 x 4 x 2 x 2 b) Vì 11 PxRxx 3 RxPxxx 3 433 x 2 xxxx 3 4 3 xx 2 22 Bài 4. Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là abc,,(các máy có cùng năng suất) Vì số máy và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch , do đó ta có: 48
  49. a b c 4a 6 b 8 c hay , theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1 1 1 4 6 8 a 6 a b c a b 2 24 b 4 1 1 1 1 1 1 c 4 6 8 4 6 12 3 Vậy số máy của ba đội theo thứ tự là 6;4;3máy Bài 5. A M D B C 200 a) Chứng minh ADB ADC( ) c c c DAB DAC , do đó DAB 100 2 b) ABC cân tại A, mà A 200 ( gt ) nên ABC 800 ABC đều nên DBC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BAvà BC suy ra ADB 800 60 0 20 0 49
  50. Tia BM là phân giác của ABD nên ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung; BAM ABD 2000 ; ABM DAB 10 Vậy ABM BAD( ) g c g AM BD mà BD BC() gt AM BC TRƯỜNG THCS HIỀN QUAN ĐỀ CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC : 2015-2016 Môn thi: Toán 7 Câu 1. Tìm các số x,, y z biết: ax) 1 3 8 b) 9 7xx 5 3 c) x 3 x 0 d)12 x 15 y 20 z và x y z 48 Câu 2. a) Tìm số dư khi chia 22011 cho 31 b) Với ab, là các số nguyên dương sao cho a 1và b 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a abchia hết cho 6 c) Tìm các số nguyên xy, thỏa mãn 6xy22 5 74 Câu 3. ab a22 b a a) Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức bc b22 c c b) Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kỳ và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không ? Giải thích ? Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH.Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A.Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA a) Chứng minh rằng: EK FN b) Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA.Tìm điều kiện của tam giác ABC để EF 2 AI Câu 5. 50
  51. a) Cho bốn số không âm thỏa mãn điều kiện a b c d 1.Gọi S là tổng các giá trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số có được từ bốn số a,,,. b c d Hỏi S có thể đạt được giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu b) Cho tam giác nhọn ABC có BAC 600 .Chứng minh rằng BC2 AB 2 AC 2 AB. AC 51
  52. ĐÁP ÁN Câu 1. a) x 1 3 8 x 1 2 x 1 3 b) 9 7xx 5 3. Điều kiện x 5 9 7x 5 x 3  12 x 12  x 1    ()tm 9 7x 3 5 x  2 x 6  x 3 c) x 3 x 0. DK : x 0 x 0 x. x 3 0  ( tm ) x 9 x y z x y z x y z 48 d)12 x 15 y 20 z 4 5 4 3 5 4 3 12 12 x 20; y 16; z 12 Câu 2. 402 a) Ta có: 255 32  1 mod31 2  1 mod31 22011 2 mod31 .Vậy số dư khi chia 22011 cho 31là 2 b) Vì a nguyên dương nên ta có 4aa 1 mod3 4 2  0 mod3 Mà 4aa 2  0 mod2 4 2 6 Khi đó ta có 4aa a b 4 2 a 1 b 2007 2010 6 Vậy với ab, là các số nguyên dương sao cho a 1và b 2007 chia hết cho 6 thì 4a abchia hết cho 6. 74 c) Từ 6x2 5 y 2 74 6 x 2 74 x 2 mà x nguyên x2 0;1;4;9  6 x22 4 y 10( ktm ) M t khác ta có x2 1 75 5 x 2 5 y 2 5 ặ  22 xy 94 xy,  3,2;3,2; 3;2, 3,2  Câu 3. 22 a a b a a b a2 b 2 a 2 b 2 a) Ta có: . 2 2 2 2 c b c c c c b c b c ab a22 b a Vậy nếu có tỉ lệ thức ta có tỉ lệ thức bc b22 c c 52
  53. b) Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng 2008.2009 Ta có S 1 2 3 2008 1004.2009 là một số chẵn. Khi lấy ra 2 hai số ab, và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng S bớt đi a b a b 2 b là số chẵn. Nên tổng mới phải là một số chẵn Vậy trên bảng không thể còn lại số 1. Câu 4. N F I E K A B H C a) Chứng minh KAF HBA() ch gn EK AH Chứng minh NFI HCA() ch gn FN AH Suy ra EK FN 1 b) Chứng minh KEI NFI( ) c g c EI FI EF 2 53
  54. EF Mà AI () gt AI EI FI IEA IAE và IAF IFA 2 EAF 9000 BAC 90 Vậy EF 2 AI khi tam giác ABC vuông tại A Câu 5. a) Giả sử a b c d 0 Ta có: Sabbccdacadbd Sabbccdacadbd S 33 a b c d Mà c 3 d 0 S 3 a b Mặt khác a b c d 11 a Suy ra S 3 a b 2 a a b 2.1 1 3 cd 30 a 1 Dấu bằng xảy ra khi a b c d 1 b c d 0 a 1 Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a,,, b c d có 1 số bằng 1 còn 3 số bằng 0 b) A H B C Kẻ BH AC AB Vì BAC 6000 ABH 30 AH (1) 2 Áp dụng định lý Pytago ta có: AB2 AH 2 BH 2 và BC2 BH 2 HC 2 BC2 AB 2 AH 2 AC 2 2. AC . AH AH 2 BC2 AB 2 AC 2 2 AH . AC (2) 54
  55. Từ (1) và 2 dfcm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 7 HUYỆN VĨNH LỘC NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 11/04/2017 Bài 1. (4,0 điểm) 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức A 2 3,5 : 4 3 7,5 3 6 7 2.84 .27 2 4.6 9 b) Rút gọn biểu thức B 27 .6 7 2 7 .40.9 4 c) Tìm đa thức M biết rằng: M 5 x2 2 xy 6 x 2 9 xy y 2 2012 2014 Tính giá trị của M khi xy, thỏa mãn 2xy 5 3 4 0 Bài 2. (4,0 điểm) 1 1 1 a) Tìm x : x 2 5 3 b) Tìm x,, y z biết: 2x 3 y ;4 y 5 z và x y z 11 nn 1 11 c) Tìm x,biết : xx 22 với n là số tự nhiên Bài 3. (4,0 điểm) a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm .Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm ,3 cm ,4 cm . b) Tìm xy, nguyên biết : 22xy x y Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC, B 600 ).Hai phân giác AD và CE của ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tai H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính AIC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK 6 cm , AH 4 cm . c) Chứng minh IDE cân 55
  56. Bài 5. (2,0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ 56
  57. ĐÁP ÁN Bài 1. 1 1 1 a) A 2 3,5 : 4 3 7,5 3 6 7 7 7 25 22 15 : 3 2 6 7 2 35 43 15 245 15 : 6 42 2 43 2 490 645 155 86 86 86 11 6 2 3 2.84 .27 2 4.6 9 2 13 .3 6 2 11 .3 9 2 .3 . 2 3 2 bB) 27 .6 7 2 7 .40.9 4 2 14 .3 7 2 10 .3 8 .5210 .3 7 . 2 4 3.5 3 cM) 5 x2 2 xy 6 x 2 9 xyy 2 5 x 2 2 xy M 6 x2 9 xyy 2 5 x 2 2 xyx 2 11 xyy 2 Ta có : 2xy 5 2012 3 4 2014 0 2012 2x 5 0 2012 2014 Ta có: 2xy 5 3 4 0 2014 3y 4 0 Mà 2x 5 2012 3 y 4 2014 0 2 x 5 2012 3 y 4 2014 0 1 1 2012 x 2 x 2 2x 5 0 2 2 . Vậy 2014 1 1 3y 4 0 y 1 y 1 3 3 22 5 5 4 4 25 110 16 1159 Vậy M 11. . 2 2 3 3 4 3 9 36 Bài 2. 1 1 1 a) x 2 5 3 57
  58. 1 1 1 11 x x 5 2 3 56 1 1 1 TH1: xx 5 6 30 1 1 1 1 11 TH2: xx 5 6 6 5 30 1 11 Vậy x  ; 30 30 xy xy b) Ta có : 23xy hay 32 15 10 yz yz x y z 45yz hay . Vậy . 54 10 8 15 10 8 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x y z 11 1 10 8 , suy ra x 5, y ; z 15 10 8 15 10 8 33 3 33 nn c) xx 22 1 11 nn xx 2 1 2 11 0 n xx 21 1 2 10 0  n TH1: xx 2 1 0 2 10 10 xx 2 1 1 TH2: 1 xx 2 2 1  xx 2 1 3 Vậy x 2; x 1; x 3 Bài 3. a) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y , z cm x , y , z 0 Theo bài ra ta có: x y z 13 x y z Và 2x 3 y 4 z 2 S ABC 6 4 3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 58
  59. x y z x y z 13 1 x 6, y 4, z 3 6 4 3 6 4 3 13 b) 22xy x y 4xy 2 x 2 y 4 2x 2 y 1 2 y 1 5 2yx 1 2 1 5 5.1 1.5 5. 1 1. 5 Xét 4 trường hợp tìm ra ,y  1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  Bài 4. A F E I K B D M C H P a) Ta có ABC 6000 BAC BCA 120 1 AD là phân giác của BAC suy ra IAC BAC 2 1 CE là phân giác của ACB ICA BCA 2 1 Suy ra IAC ICA .12000 60 2 Vậy AIC 1200 59
  60. b) Xét AHP và AHK có: PAH KAH( AH là phân giác của BAC) AH chung; PHA KHA 900 AHP AHK( ) g c g PH KH (hai cạnh tương ứng) Vậy HK 3 cm Vì AHK vuông ở H , theo định lý Pytago ta có: AK2 AH 2 HK 2 4 2 3 2 25. Suy ra AK 5 cm c) Vì AIC 1200 , do đó : AIE DIC 600 Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF AE Xét EAI và FAI có: AE AF,, EAI FAI AI chung Vậy EAI FAI( ) c g c IE IF (hai cạnh tương ứng ) (1) AIE AIF 6000 FIC AIC AIF 60 Xét DIC và FIC có: DIC FIC600 ; IC chung; DIC FIC DIC FIC g c g ID IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I. Bài 5. Giả sử 10 là số hữu tỷ a 10 (ab , là số tự nhiên, b khác 0; ab, 1) b a2 10 ab2210 b2 a2 a2 4 10 b 2 4 b 2 2 b 2 Vậy ab,1 nên 10 là số vô tỷ. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TRIỆU SƠN MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC: 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. (5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 60
  61. 1 1 1 1 1 aA) 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 1 b) B 2 x2 3 x 5với x 2 0 3 2 2 2 2015 c) C 2 x 2 y 13 xyxy 15 yxxy ,biết xy 0 2016 Câu 2. (4,0 điểm) 2 1 1. Tìm xy, biết: 2xy 3 12 0 6 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z 2. Tìm x,, y z biết và x y z 18 4 3 2 Câu 3. (5,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên xy, biết x 2 xy y 3 0 2. Cho đa thức f x x10 101 x 9 101 x 8 101 x 7 101 x 101. Tính f 100 3. Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được ba số x,, y z là độ dài ba cạnh của một tam giác Câu 4. (5,0 điểm) 1. Cho ABC có BC 600 ,phân giác AD.Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ABM ABO. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN ACO . Chứng minh rằng a) AM AN b) MON là tam giác đều 2. Cho tam giác ABC vuông ở A,điểm M nằm giữa B và C. Gọi DE, thứ tự là hình chiếu của M trên AC,. AB Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất Câu 5. (1,0 điểm) ab22 Cho x y 1, x 0, y 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ( a và b xy là hằng số dương đã cho). 61
  62. ĐÁP ÁN Câu 1. 1 1 1 1 1 aA) . 1 1 1 1 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 . . . . . . . 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 2016 . . . . . . . 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 2017  1 x 1  2 b) Vì x  2 1 x  2 2 1 1 1 Với xB 2. 3. 5 4 2 2 2 2 1 1 1 Với xB 2. 3. 5 7 2 2 2 1 1 Vậy B 4khi x và B 7 khi x 2 2 0 3 2 2 2 2015 cC) 2 x 2 y 13 xyxy 15 yxxy 2016 2 xy 13 xyxy32 15 xyxy 1 1( xy 0) Câu 2. 2 2 1 1 1.Vì 2x 0  x ; 3 y 12 0  y , do đó: 2xy 3 12 0 xy, 6 6 22 11 Theo đề bài thì 2x 3 y 12 0 2 x 3 y 12 0 66 1 1 Khi đó ta có: 20x và 3y 12 0 x ; y 4 6 12 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z 2.Ta có : 4 3 2 4 3x 2 y 3 2 z 4 x 2 4 y 3 z 12x 8 y 6 z 12 x 8 y 6 z Suy ra 0 16 9 4 29 62
  63. 32x y x y 0 3xy 2 4 2 3 x y z 24z x x z 2 3 4 0 2zx 4 3 2 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x y z 18 2 x 4; y 6; z 8 2 3 4 2 3 4 9 Câu 3. 1) Ta có : x 2 xy y 3 0 2x 4 xy 2 y 6 0 2 x 4 xy 2 y 1 5 212x y 12 y 5 2112 x y 5 Lập bảng: 21x 1 5 -1 -5 12 y 5 1 -5 -1 x 1 3 0 -2 y -2 0 3 1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2) Ta có: f x x10 101 x 9 101 x 8 101 x 7 101 x 101 x10 100 x 9 x 9 100 x 8 x 8 100 x 7 x 7 101 x 101 xx9 100 xx 8 100 xx 7 100 xx 6 100 xx 100 x 101 f 100 1 3) Giả sử 8 số nguyên dương tùy ý đã cho là a1, a 2 , a 3 , , a 8 với 1 a1 a 2 a 8 20 Nhận thấy rằng với ba số dương abc,,thỏa mãn abc và b c a thì abc,,là độ dài ba cạnh của một tam giác. Từ đó, ta thấy nếu trong các số a1, a 2 , a 3 , , a 8 không chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: a6 a 7 a 8 1 1 2 a5 a 6 a 7 2 1 3 a a a 3 2 5 4 5 6 a3 a 4 a 5 5 3 8 a2 a 3 a 4 8 5 13 a1 a 2 a 3 13 8 21 63
  64. (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử trên là sai.Do đó, trong 8 số nguyên trên đã cho luôn chọn được 3 số x,, y z là độ dài ba cạnh của một tam giác Câu 4. 1. N M A 4 3 1 2 B D C a) ABC có BC 600 nên A 1200 0 00 Do AD là tia phân giác nên AA12 60 ,ta lại có AAA34 180 60 0 ABM ABD( g . c . g ) AM AO (1) Suy ra AAAA1 2 3 4 60 ACN ACO( g . c . g ) AN AO (2) Từ (1) và (2) suy ra AM AN b) AOM ON( c . g . c ) OM ON (3) AOM AMN( c . g . c ) OM NM (4) Từ (3) và (4) suy ra OM ON NM MON là tam giác đều 64
  65. 2. A E D C M B H DE AM AH (AH là đường cao của ABC) Vậy DE nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất M trùng với H Câu 5. Ta có: a2 b 2 a 2.1 b 2 .1 a22 x y b x y a2 y b 2 x P a22 b x y x y x y x y 22 a y b x 22 ab xy ay2 bx2 Các số dương và có tích không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và x y a22 y b x a chỉ khi ay2 2 bx 2 2 aybx a 1 x bx x x y a b b Suy ra y ab 2 ab Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b khi xy ; a b a b ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 65
  66. MÔN TOÁN 7 – NĂM HỌC 2016 – 2017 1 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: ab) .16n 2 n )27 3 n 243 8 Bài 2. Thực hiện phép tính 1 1 1 1 1 3 5 7 49 . 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tìm x biết 2xx 3 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2006 2007 x khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC A 900 , đường cao AH, trung tuyến AM.Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM MA.Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI CA,qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh AE BC. 66
  67. ĐÁP ÁN Bài 1. 1 a) .16n 2 n 243 n 2 n 4 n 3 n n 1 8 bn)273 nn 243 335 3 3 4 Bài 2. 1 1 1 1 1 3 5 7 49 . 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 5 7 49 . . 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 12 12.50 25 5.9.7.89 9 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 3. a) Ta có : xx 2 0 2 3 Nếu x thì 2x 3 x 2 2 x 3 x 2 x 1( tm ) 2 3 5 Nếu 2 x thì 2x 3 x 2 2 x 3 x 2 x ( tm ) 2 3 Nếu x 2thì không có giá trị của x thỏa mãn b) +Nếu x 2006thì A x 2006 2007 x 2 x 4013 Khi đó x2016 2 x 4013 4012 4013 1 A 1 +Nếu 2006 x 2007thì A x 2006 2007 x 1 +Nếu x 2007 thì A x 2006 2007 x 2 x 4013 Do x 2007 2 x 4013 4014 4013 1 A 1 Vậy Ađạt giá trị nhỏ nhất là 1khi 2006 x 2007 Bài 4. Gọi xy, là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10 giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có: 1 xy (ứng với từ số 12đến số 4 trên đồng hồ) 3 67
  68. Và xy: 12(do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x12 x y x y 1 1 12 4 Do đó :11 x (vòng) x (giờ) y 1 12 1 11 3 33 33 11 Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ lúc khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau 4 trên một đường thẳng là giờ 11 Bài 5. E F I A C B H M D Đường thẳng AB cắt EI tại F ABM DCM vì AM DM( gt ); MB MC ( gt ), AMB DMC ( dd ) 68
  69. BAM CDM FB// ID ID  AC và FAI CIA(so le trong) (1) IE//() AC gt FIA CAI (so le trong ) (2) Từ (1) và (2) CAI FIA( AI chung) IC AC AF (3) Và EFA 900 (4), mặt khác EAF BAH(đối đỉnh), BAH ACB (cùng phụ với ABC) EAF ACB (5) Từ (3), (4) và (5) AFE CAB AE BC SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG KỲ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN Trường THCS Nguyễn Khuyến NĂM HỌC 2017-2018 Môn:Toán 7 Bài 1. (1,5 điểm) x32 x3 y 1 Cho A biết xy ; là số nguyên âm lớn nhất xy2 2 Bài 2. (2,0 điểm) x 16 y 25 z 9 9 xx 11 Cho và 2 . Tìm x y z 9 16 25 79 Bài 3. (1,5 điểm) Tìm xy, biết 2xy 3 x 4 Bài 4. (2,0 điểm) Cho đa thức P 3 x32 4 x 8 x 1 a) Chứng minh rằng x 1là nghiệm của đa thức b) Tính giá trị của P biết xx2 30 Bài 5. (3,0 điểm) 69
  70. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC ,trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE AB.Tia phân giác của BAC cắt đường trung trực của CE tại F a) Chứng minh tam giác BFC cân b) Biết ACB 300 .Chứng minh BFE đều 70
  71. ĐÁP ÁN Bài 1. 1 Tìm được xy ;1 2 1 17 Với x ;1 y A 2 50 1 27 Với x ,1 y A 2 50 Bài 2. 9 xx 11 1 1 Từ 2 2 xx 0 2 7 9 7 9 x 16 y 25 z 9 x y z 2 16 Thay x 22 x y z 100 9 16 25 50 9 Bài 3. Biến đổi được xy 2 3 4 x,4 y x U và 23y lẻ x 4 2 1 1 2 4 2y+3 1 -2 4 4 2 1 y 2 Loại Loại Loại Loại 1 Bài 4. a) Tính P 10 dfcm b) +Rút gọn được xx2 3(1) Biến đổi được Pxx 33 3 2 xxx 2 9 1 3 xxxxxx 2 2 9 1 Thay (1) vào: P 9 x 3 9 x 1 4 71
  72. Bài 5. K F B A E H C a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của BEC F thuộc trung trực BC BFC cân b) +Tính được EBC 150 +Hạ FK AB FKB FHC() ch cgv BFC vuông cân FBC 450 BFE đều ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017 Bài 1. (1,5 điểm) So sánh hợp lý 200 1000 1 1 27 39 a) và b) 32 và 18 16 2 Bài 2. (1,5 điểm) Tìm x,biết: a) 2x 1 4 16 b) 2 x 1 46 2 x 1 cx) 3 8 20 Bài 3. (1,5 điểm) Tìm các số x,, y z biết : 72
  73. 2008 a) 3x 5 2006 y2 1 x z 2100 0 x y z b) và x2 y 2 z 2 116 2 3 4 Bài 4. (1,5 điểm) Cho đa thức : A 11 xyz432 20 xyz 2 4 xyz 2 10 xyz 2 3 xyz 432 2008 xyz 2432 8 xyz a) Xác định bậc của A b) Tính giá trị của Anếu 15x 2 y 1004 z x y z t Bài 5. (1 điểm) Chứng minh rằng M xyzxytyztxzt có giá trị không phải là số tự nhiên x,,,* y z t Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC.Lấy điểm D bất kỳ thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD.Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH AI b) BH22 CI có giá trị không đổi c) Đường thẳng DN vuông góc với AC d) IM là phân giác của HIC 73
  74. ĐÁP ÁN Bài 1. 200 4.200 800 1000 1 1 1 1 a) 16 2 2 2 27 b)3227 2 5 2 135 2 156 2 4.39 16 39 18 39 3227 18 39 32 27 18 39 Bài 2. 442xx 1 2 1,5 ax) 2 1 16 2  2xx 1 2 0,5 x 0,5 b x 46 x  x ) 2 1 2 1  0 x 15  x 25 xx 3 8 20 3 28  cx) 3 8 20   x 31  x 3 8 20   x 3 12( ktm ) Bài 3. 2008 a) 3 x 5 2006 y2 1 x z 2010 0 3x 5 0 5 xz y2 10 3 y 1 xz 0 x y z b) và x2 y 2 z 2 116 2 3 4 x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 116 Từ giả thiết 4 4 9 16 4 9 16 29 x 4, y 6, z 8  x 4, y 6, z 8 Bài 4. a) A 30 x2 yz 4 xy 2 z 2008 xyz 2 Acó bậc 4 b) A 2 xyz 15 x 2 y 1004 z A 0nếu 15x 2 y 1004 z 74
  75. x x x Bài 5. Ta có: x y z t x y z x y y y y x y z t x y t x y z z z x y z t y z t z t t t t x y z t x z t z t x y z t x y z t M xyzt xyxy ztzt Hay 12 M . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên Bài 6. B H D M I N A C a) AIC BHA BH AI b) BH2 CI 2 BH 2 AH 2 AB 2 c) AM, CI là hai đường cao cắt nhau tại N N là trực tâm DN AC 76
  76. HI MI d) BHM AIM BMH IMA Mà IMA BMI 9000 BMH BMI 90 HMI vuông cân HIM 450 Mà HIC 9000 HIM MIC 45 IM là phân giác HIC TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – KHỐI LỚP 7 Thời gian: 90 phút (không kể giao đề) Bài 1. (2 điểm) Cho bốn số dương a,,, b c d thỏa điều kiện a c2 bvà 8 a c a88 b c b d 2. bd Chứng minh 88 b d b d Bài 2. (2 điểm) 32 22 a) Tìm x biết: 5. x 3,25 2 1,25 2,5.0,25 0,25 43  b) Tìm xy, biết 3 y 2 x y 0 Bài 3. (2 điểm) a) Tìm nghiệm của đa thức 7xx2 35 42 0 b) Đa thức f x ax2 bx ccó abc,,là các số nguyên, và a 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì fx chia hết cho 7. Chứng minh abc,,cũng chia hết cho 7 Bài 4. (2 điểm) a) Tìm các số nguyên xy, biết x22 2 x 8 y 41 b) Biết x và 0 x 1.Chứng minh xxn với nn ,2 Bài 5. (2 điểm) 77
  77. Cho tam giác nhọn ABC có AB AC,ba đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM AC.Gọi N là hình chiếu của M trên AC; K là giao điểm của MN và CE a) Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau b) Chứng minh AB CE AC BD 78
  78. ĐÁP ÁN Bài 1. 2bd Từ c b d 2 bd b d c 8 ac 2 bcc acac ac ab88 Viết 88 bd 2 bdd bdbd bd bd Bài 2.  3 x 3 2 1  4 a) Tính được x  4 3 4 3 x  2 b) Vì 3 y 0, 2 x y 0 3 y 2 x y 0 3 30 y x 2 20xy y 3 Bài 3. 2 x 3 a) Viết được 7x 35 x 42 7 x 3 x 2  x 2 b) Từ giả thiết fc 0 chia hết cho 7 f 1 và f 1 chia hết cho 7, tức là abc và a b cchia hết cho 7 Suy ra 22ac chia hết cho 7 để có ab77 Bài 4. 2 a) Viết được xy 1 42 8 2 2 2 Suy ra x 1 là số chẵn , để có x 1 chia hết cho 4 nên 42 8y2 không chia hết cho 4 Vậy không có số nguyên xy, thỏa mãn đề bài b) Xét xnn x x x 1 1 0 x 1 xnn 1 1 0; x 0 x x 0 Suy ra điều phải chứng minh 79
  79. Bài 5. A N E D K H C M F B a) Nêu được AK MC KAH MCB b) Chứng minh CE MN Viết được AB AC BD CE BM BD MN MI BD BM BI Vậy AB CE AC BD PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC Năm học 2013-2014 Môn thi: TOÁN ac Câu 1. (5 điểm) Cho .Chứng minh rằng: bd 80
  80. a) a 2 c . b d a c . b 2 d 1005 ab1005 1005 ab b) cd1005 1005 cd 1005 Câu 2. (6 điểm) a) Tìm nghiệm của đa thức sau: xx2 8 25 b) Cho ba số dương 01 x y z . Chứng minh: x y z 2 yz 1 xz 1 xy 1 Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2 x 2 2 x 2013 Câu 4. (7 điểm) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM.Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho DM MA.Trên tia đối của tia CD,lấy điểm I sao cho CI CA.Qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh AE BC. 81
  81. ĐÁP ÁN Câu 1. a c a22 c a c a c a c a) Vì (1) ; (2) b d b22 d b d b d b d a c a2 c Từ (1) và (2) a 2 c . b d a c b 2 d b d b2 d b) 1005 1005 1005 a c a b a b a b a b b d c d c d c d c d 1005 ab1005 1005 ab (1) (theo tính chất Dãy tỉ số bằng nhau) cd1005 1005 cd 1005 a1005 b 1005 a 1005 b 1005 Mà (2) c1005 d 1005 c 1005 d 1005 1005 ab1005 1005 ab Từ (1) và (2) suy ra cd1005 1005 cd 1005 Câu 2. a) x22 825 x x 44169 x x x x 44 x 49 x 4 x 4 9 x 4 2 9 Vì x 4 22 0  x x 4 9 0  x đa thức xx2 8 25vô nghiệm b) Vì 0 x y z 1 x 1 0; y 1 0 11 x 1 y 1 0 xy 1 x y xy 1 x y zz xy 1 x y 82
  82. x x y y Chứng minh tương tự: ; (3) yz 11 y z xz x z Cộng từng vế (1) (2) (3) ta có: x y z x y z (4) yz 1 xz 1 xy 1 yzxzxy x x x x2 x Mà y z x y z y z x y z y22 y z z Chứng minh tương tự: ; x z x y z x y x y z x y z2( x y z ) 2 (5) y z x z x y x y z Từ (4) và (5) suy ra đpcm Câu 3. A 2 x 2 2 x 2013 2x 2 2013 2 x 2 x 2 2013 2 x 2011 Dấu "" xảy ra 2xx 2 2013 2 0 Vậy minAx 2011 1 1006,5 83
  83. Câu 4. E F A I B M H C D Gọi giao của AB và EI là F ABM DCM()// cgc B11 C BF DI BAC ACI 900 ID  AC BF//;// DI A1 I 1 IF AC A 2 I 2 CAI FIA( ) g c g IC AF AC Mà EAF BAH (đối đỉnh) BAH ACB(cùng phụ với ABC) EAF ACB AFE CAB( ) g c g AE BC 84
  84. TRƯỜNG THCS PHƯƠNG TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 Năm học 2018-2019 Câu 1. (3 điểm) Tìm số hữu tỉ x,biết: ax) 1 5 243 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b) 11 12 13 14 15 c) x 2 x 0 ( x 0) Câu 2. (3 điểm) 51y a) Tìm số nguyên xy, biết: x 48 x 1 b) Tìm số nguyên x để Acó giá trị là một số nguyên, biết: Ax 0 x 3 Câu 3. (5 điểm) a 135 b c 1) Cho và 5a 3 b 4 c 46.xác định abc,, 2 4 6 ac 2a2 3 ab 5 b 2 2 c 2 3 cd 5 d 2 2) Cho tỉ lệ thức .Chứng minh , với bd 2b22 3 ab 2 d 3 cd điều kiện mẫu thức xác định Câu 4. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2001 x 1 Câu 5. (7 điểm) Cho tam giác cân ABC,. AB AC Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BD BE.Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N.Chứng minh: a) DM ED b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC. 85
  85. ĐÁP ÁN Câu 1. a) x 1 55 3 x 1 3 x 2 1 1 1 1 1 b) x 2 0 x 2 0 x 2 11 12 13 14 15  xx 00 c) x 2 x 0 x x 2 0    x 20 x 4 Câu 2. 5y 1 5 2 y 1 5 1 2 y a) ,, x4 8 x 8 8 x 8 x 1 2 y 40 1 2 y là ước lẻ của 40.Ước lẻ của 40 là 1; 5 xy;  40;0 ; 40;1 ; 8; 2 ; 8;3  x 14 b) A 1 xx 33 4 A nguyên khi nguyên xU 3 (4)  4; 2; 1;1;2;4  x 3 Các giá trị nguyên của x là: 1;4;16;25;49 Câu 3. a 1 b 3 c 55 a 1 3 b 3 4 c 5 5a 3 b 4 c 5 9 20 1) 2 2 4 6 10 12 24 10 12 24 a 3; b 11; c 7 2) Chứng minh: ac Đặt k a kb; c kd . Thay vào các biểu thức: bd 2aabb2 3 5 2 2 ccddk 2 3 5 2 2 3 k 5 k 2 3 k 5 0 dfcm 2b22 3 ab 2 d 3 cd 2 3 k 2 3 k Câu 4. A x2001 x 1 x 2001 1 x x 2001 1 x 2000 Vậy biểu thức đạt GTNN là 2000 1 x 2001 Câu 5. 86
  86. a) MDB NEC DN EN b) MDI NEI IM IN BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c) Gọi H là chân đường cao vuông góc kẻ từ A xuống BC, ta có: AHB AHC HAB HAC Gọi O là giao AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì OAB OAC( c . g . c ) OBA OCA (1) OIM OIN OM ON OBN OCN( c . c . c ) OBM OCM (2) Từ (1) và (2) suy ra OCA OCN 900 OC  AC Vậy điểm O cố định PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN KHOÁI CHÂU Năm học: 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN 7 Bài 1. (1,5 điểm) 1 1 1 1 1 a) Cho A 1 1 1 1 1 .So sánh Avới 2 3 4 2015 2016 1 2015 3x32 x 3 x 2005 1 b) Cho biểu thức A .Tính giá trị của biểu thức với x 3x43 x 3 x 2014 3 Bài 2. (1,5 điểm) Tìm x,biết: 31 x 8 a) b ) x 3 x 0 x 0 c ) 2 x 7 5 x 2 2 27. x 1 Bài 3. (1,5 điểm) x y y z 3x 4 y 5 z a) Cho ;.Tính B 4 7 5 6 x 25 y z b) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là : 26; 17 1;3 11 2 x 1 2 1 Bài 4. (1,5 điểm) Cho biểu thức: C x 12 2 a) Chứng tỏ rằng với mọi x,biểu thức C luôn có giá trị là một số dương. b) Tìm tất cả các số nguyên x,để C có giá trị là một số nguyên c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 87
  87. Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có A 900 .Vẽ phân giác BD và CE D AC, E AB chúng cắt nhau tại O a) Tính số đo góc BOC b) Trên BC lấy hai điểm M và N sao cho BM BA,. CN CA Chứng minh EN song song với DM c) Gọi I là giao điểm của BD và AN.Chứng minh tam giác AIM vuông cân Bài 6. (1,0 điểm) a) Xác định đa thức Px()có bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 và nhận hai số 0; 3làm nghiệm b) Cho đa thức fx , biết với mọi x ta có : x. f x 1 x 2 f x .Chứng minh rằng đa thức fx luôn có ít nhất hai nghiệm. 88
  88. ĐÁP ÁN Bài 1. 1 2 3 2014 2015 1 1 aA) . . . 2 3 4 2015 2016 2016 2015 1 b) x 3 x 1 3 x 1 0 3 x2 3 x 1 3 x 1 2014 2014 A x3 3 x 1 3 x 1 2015 2015 Bài 2. 4 13 2 xx 1 2 2 4 99 a)81 x 1 16 ( x 1)  9 45 xx 1 99 x 0 b) x x 3 0  x 9 x 3 2xx 7 5 2  c) 2 x 7 5 x 2  5 2xx 7 5 2 x  7 Bài 3. x y z a) k x 20 k , y 35 k , z 42 k 20 35 42 3.20k 4.35 k 5.42 k 130 k 13 B 20k 2.35 k 5.42 k 160 k 16 b)3 11 99 là số lớn nhất trong 3 số Xét tổng: 26 17 1 25 16 1 5 4 1 10 100 99 3 11 Đoạn thẳng dài nhất nhỏ hơn tổng tộ dài hai đoạn thẳng kia. Vậy tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh nói trên. 89
  89. Bài 4. 2 2 a) Ta thấy: 2 x 1 1 0 và xx 1 2 0  , Vậy biểu thức C luôn dương. 2 2 x 1 2 3 3 b) C  2 xx 1 22 2 1 2 2 Để C nguyên, ta phải có x 12 là ước dương của 3 2 22x 2 Vì x 1 2 2, nên xx 1 2 3 1 1  x 0 3 c) C nhỏ nhất khi lớn nhất x 12 2 2 33 321 Vì x 1 2 2nên 22 hay C x 12 2 2 x 12 2 3 3 1 Vậy MinC x 1 3 90
  90. Bài 5. A D E I O B N M C ABC ACB 900 a) BOC BAC 900 90 0 45 0 135 0 22 b) ABM cân, nên phân giác BD đồng thời là đường trung trực ACN cân, nên phân giác CE đồng thời là đường trung trực. Suy ra DA DM, EA EN Dẫn tới ABD MBD,( ) ACE NCE c c c Suy ra DMB DAB 9000 ; ENC EAC 90 Hay EN BC,. DM BC Do vậy EN// DM c) Phân giác BD và phân giác CE cắt nhau tại O cho ta AO là phân giác của BAC OAE 450 (1) OAE ONE( c . c . c ) OAE ONM 450 Theo chứng minh câu b, ta thấy, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN OM ON hay OMN cân tại O(2) Từ (1) và (2) suy ra OMN vuông cân tại O Dễ chứng minh MON 2 MAI 2 MAI 9000 MAI 45 AIM có IA IM (do I thuộc trung trực BD của AM) nên cân tại I. 91
  91. Lại có MAI 450 .Vậy AIM vuông cân tại I. Bài 6. a) P() x x2 ax b Vì 0là một nghiệm của đa thức, nên fb 00 3là một nghiệm của đa thức, nên: 9 3aa 0 0 3 Đa thức P( x ) x2 3 x là đa thức cần tìm b) Với x 0, ta có: 0.f (1) 2 f (0) f 0 0 0là một nghiệm của fx Với x 2, ta có: 2f 1 0 f ( 2) f 1 0 1cũng là một nghiệm của fx Vậy đa thức fx luôn có ít nhất hai nghiệm. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC 2017-2018 HUYỆN VĨNH LỘC MÔN TOÁN 7 Bài 1. (4,0 điểm) a) Cho biểu thức: M a 2. ab b Tính giá trị của M với ab 1,5; 0,75 b) Xác định dấu của c,biết rằng 2a3 bc trái dấu với 3a5 b 3 c 2 Bài 2. (4,0 điểm) x y y z a) Tìm các số x,, y z biết rằng: ; và 2x 3 y z 6 3 4 3 5 b) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2abcda 2 bcdab 2 cdabc 2 d a b c d a b b c c d d a Tính giá trị của biểu thức M ,với M c d d a a b b c Bài 3. (3,0 điểm) Cho hàm số y f x 2 x2 1 a) Hãy tính ff 0; 2 b) Chứng minh : f x 11 f x 92
  92. Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM.Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM.Qua M kẻ các đường vuông góc với AB,, AC chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng : a) BD// CE b) DE BD CE Bài 5. (3,0 điểm) Tìm tỉ số của Avà B , biết rằng: 1 1 1 1 A 1.1981 2.1982nn . 1980 25.2005 1 1 1 1 B 1.26 2.27mm . 25 1980.2005 Trong đó, A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho 1 CD 2. BD Chứng minh rằng BAD CAD 2 93
  93. ĐÁP ÁN Bài 1. a 1,5, b 0,75 M a 2 ab b 1,5 2.1,5. 0,75 0  aa) 1,5 3 a 1,5, 0,75 M a 2 ab b  2 b) Do 2a3 bc và 3a5 b 3 c 2 trái dấu nên abc 0; 0; 0 2a3 bc . 3 a 5 b 3 c 2 0 6a8 b 4 c 3 0 a 8 b 4 c 3 0 c3 0 c 0 do a 8 b 4 0  a , b 0 Vậy c 0tức là mang dấu dương. Bài 2. x y x y y z y z x y z23 x y z a) Vì ; 3 4 9123 5 12 20 9 12 20 18 36 20 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2x 3 y z 2 x 3 y z 6 3 x 27, y 36, z 60 18 36 20 18 36 20 2 b) Từ giả thiết suy ra 2abcd abcd 2 abcd 2 abcd 2 1111 a b c d abcdabcdabcdabcd a b c d *Nếu a b c d 0thì ab cdbc ;;; dacd abda bc Khi đó M 1 1 1 1 4 1 1 1 1 *Nếu a b c d 0thì nên a b c d a b c d Khi đó M 1 1 1 1 4 Bài 3. af) 0 2 02 2; 2 1 1 7 f 2 2 2 4 94
  94. b) f x 1 2 x 1 22 ; f 1 x 2 1 x Do x 1 và 1 x là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau. 22 Vậy 2 xx 1 2 1 hay f x 11 f x Bài 4. E A D H B M C a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông: MA MB Gọi H là giao điểm của MD và AB Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy nên là đường trung trực, suy ra DA DB . Chứng minh được MBD MAD( c . c . c ) MBD MAD 900 , do dó: DB BC Tương tự ta có: EC BC Vậy BD// CE (cùng vuông góc với BC), (đpcm) b) Theo câu a, DB DA. Tương tự: EC EA Suy ra DE DA AE BD CE Bài 5. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 ;. n 1980 n 1980 n 1980 n m 25 m 25 m 25 m Áp dụng tính A và B ta được: 95
  95. 1 1 1 1 1 1 1 A . 1980 1 1981 2 1982 25 2005 1 1 1 1 1 1 1 . 1980 1 2 25 1981 1982 2005 1 1 1 1 1 1 1 B . 25 1 26 2 27 1980 2005 1 1 1 1 1 1 1 . 25 1 2 25 1981 1982 2005 A 1 1 5 Vậy : B 1980 25 396 Bài 6. A 1 2 3 1 C B D M E Gọi M là trung điểm của DC.Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME MA. Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau 96
  96. Vì MD MC,, MA ME AMC EMDnên DE AC& A3 DEM Mặt khác : DB1 (tính chất góc ngoài của tam giác) Mà BC (vì ABC cân, đáy BC) nên D1 C AC AD Từ đó DE DA A2 DEM hay AA23 Vì AA31 (do ABD ACM) 1 Nên AAAA hay 2A A A BAD CAD 2 3 1 3 1 2 3 2 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Trường THCS Thanh Thùy ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN Bài 1. (5 điểm) 2 3 1 a) Số Ađược chia thành 3 số tỉ lệ theo ::.Biết tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309.Tìm số A. ac a22 c a b) Cho .Chứng minh rằng: cb b22 c b Bài 2. (4 điểm) x y z t a) Cho . CMR biểu thức sau có giá yztztxtxyxyz x y y z z t t z trị nguyên: A z t t x x y y z b) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 B 3 32 3 3 3 2012 3 2013 2 Bài 3. (2 điểm) Cho đa thức f x x14 14 x 13 14 x 2 13 x 2 14 x 14.Tính f 13 Bài 4. (7 điểm) 97
  97. Cho tam giác ABC có AB AC.Gọi M là trung điểm của BC,từ M kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A, cắt tia này tại N,cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) BE CF AB AC b) AE 2 c) Tính AE, BE theo AC b, AB c Bài 5. (2 điểm) Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó x 14 M 4 x 98
  98. ĐÁP ÁN Bài 1. 2 3 1 24 45 10 a) Ta có: :: : : 24:45:10 3 4 6 60 60 60 Giả sử số A được chia thành 3 phần x,, y z x y z Theo đề bài ta có : x,, y z cùng dấu 24 45 10 x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 24309 Và 93 2 242 45 2 10 2 24 2 45 2 10 2 2701 xx2 24 2 .3 2 72 2 72 Học sinh tính tương tự: yz 135; 30 Vậy A 237 hoặc A 237 a c a2 c 2 a 2 c 2 b) Ta có: (1) c b c2 b 2 c 2 d 2 a2 a c a Lại có: . (2) c2 c b b Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh Bài 2. x y z t x y z t 1 a) Ta có: yztztxtxyxyz 22 xyzt Suy ra 2xyztyztxztxytxyz ;2 ;2 ;2 x y z t; y z t x Từ đó học sinh suy ra được: z t x y; t x y z Khi đó tính được A 4.Vậy A có giá trị nguyên. 1 1 1 1 1 bB) 3 32 3 3 3 2012 3 2013 1 1 1 1 3B 1 3 32 3 3 3 2012 11 3BBB 1 2 1 332013 2013 1 1 1 B 2 2.32013 2 99
  99. 1 Vậy B 2 Bài 3. Ta có: f x x14 13 1 x 13 13 1 x 12 13 1 x 2 13 1 x 13 1 x4 x1 x 13 x 1 x 12 x 1 x 2 x 1 x x 1 x14 x 14 x 13 x 13 x 12 x 3 x 2 x 2 x x 1 1 (Vì thay 14 13 1 x 1). Vậy f 13 1. Bài 4. A 1 2 F B N M I C E a) Kẻ BI//() AC I EF , chứng minh được: BIM CFM( g . c . g ) BI CF (1) Chứng minh được: BEI cân tại B BE BI (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh b) Chứng minh được ANE ANF( ) g c g AE AF Ta có: AE AB BE; AF AC CF 100
  100. AE AF AB BE AC CF hay 2AE AB AC (do AE AF,) BE FC AB AC AE 2 bc AC AB c) Từ câu b AE , chứng minh được: BE 2 2 bc BE 2 x 14 10 4 x 10 Bài 5. M 1 4 x 4 x 4 x 10 M nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất 4 x 10 10 Xét x 4thì 0;x 4 thì 0 4 x 4 x 10 10 Ta chỉ xét x 4thì nhỏ nhất lớn nhất 4 x 4 x 41 x (vì mẫu nguyên dương nhỏ nhất) Vậy x 3khi đó MinM 11 TRƯỜNG THCS ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN TRÀ MY Năm học : 2018-2019 Môn: Toán 7 Câu 1. (6 điểm) 3 32 3 3 3 2000 a) Tính 81 . 81 . 81 81 4 5 6 2003 b) Tính giá tri của biểu thức 6xx2 5 2 tại x thỏa mãn x 21 Câu 2. (5 điểm) x 1 y 3 z 2 Tìm x,, y z biết và x 3 y 4 z 4 2 4 3 Câu 3. (2 điểm) 15 x Tìm giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức M 5 x Câu 4. (7 điểm) 101
  101. Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 300 . Trên cạnh AB lấy điểm M 2 sao cho góc BCM bằng góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN 3 2 bằng góc ABC. Gọi giao điểm của CM và BN là K 3 1/ Tính góc CKN 2/ Gọi F và I theo thứ tự là hình chiếu của điểm K trên BC và AC. Trên tia đối của tia IK lấy điểm D sao cho IK=ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE EK . Chứng minh DCE là tam giác đều 3/ Chứng minh ba điểm D, N, E thẳng hàng 102
  102. ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7 XUÂN DƯƠNG 2013-2014 Câu 1. 36 a) Trong dãy số có 81 0 do đó tích bằng 0 9 b) Ta có x 21 *xx 2 1 3 *xx 2 1 1 Thay x 1vào biểu thức ta được : 6.12 5.1 2 9 Thay x 3vào biểu thức ta được 6.32 5.3 2 67 Câu 2. x 1 y 3 z 2 x 13948 y z x 13948 y z 2 2 4 3 2 12 12 2 12 12 x 1 y 3 z 2 2 x 5; 2 y 11; 2 z 8 2 4 3 Vậy x 5; y 11; z 8 Câu 3. 15 x 10 10 MM 1. lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất 55 xx 5 x 10 )5x thì 0 (1) 5 x 10 10 +) x 5thì 0 mà có tử không đổi nên phương trình có giá trị lớn nhất 5 x 5 x khi mẫu nhỏ nhất .5 x là số nguyên dương nhỏ nhất khi 5 xx 1 4 10 Khi đó 10 (2) 5 x 10 So sánh (1) và (2) thấy lớn nhất bằng 10. 5 x Vậy GTLN của M = 11 khi và chỉ khi x=4 103
  103. Câu 4 D A I N M K C B F E 1) Có B 600 (do AC 9000 ; 30 ) 22 CBN ABC .6000 40 33 22 BCM ACB .3000 20 33 BKC 1800 CBN BCM 180 0 60 0 120 0 CKN 1800 120 0 60 0 (hai góc kề bù) 2) KIC DIC() cgc CK CD và DCI KCI (1) KFC EFC cgc CK CE và KCF ECF (2) Từ (1) và (2) CD CE DCE cân Có: DCE 2. ABC 600 DCE đều 3) Xét tam giác vuông ANB có ANB 900 20 0 70 0 BNC 110 0 104
  104. CND CNK( c . c . c ) DNC KNC 1100 CDN 60 0 NCD 10 0 ; DNC 110 0 Có CDE đều (cmt) CDE 600 Do đó CDN CDE 600 Suy ra :Tia DN trùng với tia DE hay 3 điểm D, N, E thẳng hàng PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC ac Câu 1. (5 điểm) Cho .Chứng minh rằng: cb accb aca2 2 baba 2 2 a))) b c a c c b b2 c 2 b a 2 c 2 a Câu 2. (2 điểm) Tìm xy; biết: 1 3y 1 5 y 1 7 y 12 5xx 4 Câu 3. (4 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng: 6 52 6 2 7 2 100 2 4 2a 9 5 a 17 3 a b) Tìm số nguyên a để: là số nguyên. a 3 a 3 a 3 x 1996 Câu 4. (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A 1997 Câu 5. (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có C 300 , đường cao AH.Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD HB.Từ C kẻ CE AD.Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác đều b) AH CE c) EH song song với AC. 105
  105. ĐÁP ÁN Câu 1. a c a c a c a c c b a) c b c b c b a c c b a c a2 c 2 a 2 aba a b a b)Từ c2 a. b cb bcbabbabb2 2 2 a2 c 2 a b 2 c 2 b c) Theo câu b, ta có: b2 c 2 b a 2 c 2 a b2 c 2 b b 2 c 2 b b2 c 2 a 2 c 2 b a Từ 11 hay a2 c 2 a a 2 c 2 a a22 c a b22 a b a Vậy a22 c a Câu 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 131517 y y y 1715 y y 2 y 1513 y y 2 y 12 5x 4 x 45 x x x 512 x 512 x 22yy x 5 x 12 x 2 xx5 12 1 3yy 2 1 y1 3 y 12 y y 12 2 15 1 Vậy xy 2; . 15 Câu 3. 1 1 1 1 a) Đặt A , ta có: 52 6 2 7 2 100 2 111 11111 11111 A 4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 99 100 4 100 4 1 1 1 1 1 1 1 A 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 1 1 1 1 1 1 Vậy 6 52 6 2 7 2 100 2 4 107
  106. b) Ta có: 2a 9 5 a 17 3 a 4 a 26 4 a 12 144 a 3 14 14 4 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 là số nguyên. Khi đó a 3 là ước của 14mà Ư 14  1; 2; 7; 14  Ta có : a 2; 4; 1; 5; 10;11; 17 Câu 4. A 0với mọi x nên Ađạt giá trị lớn nhất khi A đạt giá trị nhỏ nhất xx 1996 1996 A 1997 1997 1996 xx 0 nên x 1996 1996 , vậy A nhỏ nhất bằng x 0 1997 1996 Suy ra GTLN của Ax 0 1997 Câu 5. A D C H B E a) Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân ở A Lại có: B 900 30 0 60 0 ABDlà tam giác đều b) EAC BAC BAD 900 60 0 30 0 ACH 1 AHC CEA() ch gn AH CE 108
  107. c) AHC CEA() cmt HC EA ADC cân ở D vì có ADC DCA 300 DA DC DE DH DEH cân ở D Hai tam giác cân ADC và DEH có: ADC EDH (hai góc đối đỉnh), do đó: ACD DHE,mà hai góc ở vị trí so le trong EH//. AC TRƯỜNG THCS THANH MAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Năm học 2018-2019 MÔN THI: TOÁN 7 Câu 1. (5 điểm) Tìm các số x,, y z biết: xyz a) và 5x y 2 z 28 10 6 21 b) 3x 2 y ;7 y 5 z và x y z 32 2x 3 y 4 z c) và x y z 49 3 4 5 Câu 2. (3 điểm) Tính giá trị các biểu thức: 2 a. A 2 a2 4 a 3 a 1lần lượt tại aa ;2 3 1 2 b. B 2 x22 3 xy 6 y tại x và y 2 3 Câu 3. (3 điểm) Tính giá trị các biểu thức: 32ab a 10 aA) với ab 3 b 3 a 84 a b b) B với a b 3, b 5; b 4 b 53 a b Câu 4. (2 điểm) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2008 x 2009 y 2010 x 2011 2011 109
  108. Câu 5. (7 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho BM MN NC.Gọi H là trung điểm của BC a) Chứng minh: AM AN và AH BC b) Chứng minh: MAN BAM c) Kẻ đường cao BK.Biết AK 7 cm , AB 9 cm .Tính độ dài BC ĐÁP ÁN Câu 1. a) x 20; y 12; z 42 b) x 20; y 30; z 42 c) x 18; y 16; z 15 Câu 2. 27 a) Với aA 39 Với aA 27 1 2 19 b) Th1: x và yB 2 36 1 27 Th2: x và yB 2 36 Câu 3. 10 a) Thay a b A 24 3 b) Thay a b 3 B 1 1 0 Câu 4. Áp dụng tính chất aa và a b a b , dấu "" xảy ra khi ab 0và aa 00 . Ta có: x 2008 x 2011 x 2008 2011 x x 2008 2011 x 3 Dấu "" xảy ra khi 2008 x 2011và x 2009 0,dấu “=” xảy ra khi x 2009 y 2010 0,dấu "" xảy ra khi y 2010 110
  109. A 3 2010 2014.Đẳng thức xảy ra khi xy 2009, 2010 x 2009 Vậy Amin 2014 y 2010 111
  110. Câu 5. A K C H B M N D a) Chứng minh được ABM ACN() cgc AM AN Chứng minh được ABH ACH() cgc AHB AHC 900 AH  BC b) Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD MA Chứng minh được AMN DMB() cgc MAN BDM và AM AN BD Chứng minh được: BA AM BA BD Xét BAD có BA BD BDA BADhay MAN BAM c) Vì AK 0 A 900 nên chỉ có hai trường hợp xảy ra : 112
  111. TH1: BAC nhọn K nằm giữa hai điểm AC, mà AC AB AC 92 cm KC AC AK AKBvuông tại K BK2 AB 2 AK 2 32 AKC vuông tại K nên ta có: BC BK22 KC 6 cm Th2: BAC tù Anằm giữa hai điểm K, C KC AK AC 16 cm ABK vuông tại K BK2 AB 2 AK 2 32 BKC vuông tại K BC BK22 KC 288 Vậy BC 6 cmhoặc BC 288 cm TRƯỜNG THCS THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1. (5 điểm) a) Chứng minh rằng: x y y z Nếu 2 x y 5 y z 3 z x thì 45 b) Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30;120; 16. Câu 2. (4 điểm) Cho f x ax32 4 x x 1 8 g x x3 4 x bx 1 c 3 Trong đó abc,,là các hằng số. Xác định abc,,để f x g x Câu 3. (2 điểm) Chứng minh rằng đa thức : f x 4 x4 3 x 3 2 x 2 x 1không có nghiệm nguyên. Câu 4. (2 điểm) Tìm GTNN của biểu thức : A x 2006 2007 x Câu 5. (7 điểm) 113
  112. Cho tam giác ABC cân tại A, có A 1080 .Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của C sao cho CBO 120 , vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO).Chứng minh rằng: a) Ba điểm CAM,, thẳng hàng b) Tam giác AOBcân. 114
  113. ĐÁP ÁN Câu 1. a) 2 x y 5 y z 3 z x 2 x y 5 y z 3 z x 30 30 30 x y y z z x 15 6 10 zxyzxy xyzxyx Biến đổi: (1) ; (2) 10 6 4 15 10 5 Từ (1) và (2) dfcm b) Gọi 2 số đó là ab,.Ta có: 30 a b 120 a b 16 ab ab Từ điều kiện: 30 a b 120 a b 53 a b ab Từ điều kiện: 120(a b ) 16 ab 2 15 Từ đó tìm được ab 5, 3 Câu 2. Biến đổi: f x a 4 x3 4 x 8 g( x ) x32 4 bx 4 x c 3 aa 4 1 3 f( x ) g ( x ) 4 b 0 b 0 cc 3 8 11 Câu 3. Nếu đa thức f( x ) 4 x4 3 x 3 2 x 2 x 1có nghiệm thì nghiệm đó là ước của 1, mặt khác Ư( 1)  1  Ta có: ff 1 11 0; (1) 3 0 Vậy đa thức đã cho không có nghiệm nguyên. Câu 4. Có A x 2006 2007 x x 2006 2007 x Dấu "" xảy ra x 2006 2007 x 0 2006 x 2007 115
  114. Vậy Axmin 1 2006 2007 Câu 5. M A O B C a) ABC cân tại AA, 1080 B C 3600 , OCA OCB 18 Xét BOC có BOC 1800 12 0 18 0 150 0 BOM 600 MOC 360 0 150 0 60 0 150 0 BOC MOC( c . g . c ) OCM OCB 180 Mà OCA 180 nên hai tia CM, CAtrùng nhau, do đó 3 điểm COM,, thẳng hàng. b) CBM có CM CB CBM cân tại C; C 360 18000 36 CBM CMB 720 2 BAM 1800 108 0 72 0 Vậy BAM cân tại B BA BM BO AOBcân tại B TRƯỜNG THCS PHÚ TRƯỜNG ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN 7 – NĂM HỌC 2017-2018 116
  115. Câu 1. (5 điểm) 6 ac 3ac66 ac a) Cho .Chứng minh rằng: bd 0 bd 3bd66 bd 6 b) Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15;60 và 8 Câu 2. (3 điểm) 25ab a 3 a) Tính giá trị của biểu thức với ab 3 b 5 b) Tìm các số abc,,biết ab 2, bc 6, ac 3 Câu 3. (3 điểm) a) Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a 5 b 8 c b) Chứng minh đa thức xx2 4 10không có nghiệm. Câu 4. (2 điểm) x 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A với x là số nguyên. x Câu 5. (7 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB AC BC.Các tia phân giác của A và C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH.Gọi K là giao điểm của FH và AI a) Chứng minh tam giác FCH cân và AK KI b) Chứng minh ba điểm BOK,, thẳng hàng. 117
  116. ĐÁP ÁN Câu 1. a c a c a c a) b d b d b d 6 6 6 6 a c a c a66 c ac 66 6 b d b d b d bd 66 33a6 c 6 a c a 6 c 6 a c 33b6 d 6 b d 66 b 6 d 6 b d b) Gọi hai số phải tìm là a, b a b 0 ,theo đầu bài ta có: a b a b ab a 5 15 a b 60 a b 8 abhay kk 1 8 2 15 b 3 Câu 2. a 3 25 2. 5 2ab 5b 14 a) 4 ab 39 a 3 3 3 b 4 b) Theo đề bài: ab 2, bc 6, ac 3 Ta có: abbc. . ac 2.6.3 a2 b 2 c 2 36 abc 6 Trường hợp 1: abc 6, ab 2 c 3 abc 6, bc 6 a 1 abc 6, ac 3 b 2 Trường hợp 2: abc 6, ab 2 c 3 abc 6, bc 6 a 1 abc 6, ac 3 b 2 aa 11 Vậy bb 2; 2 cc 33 118
  117. Câu 3. a) 3abc 5 8 3 abcb 3 8 8 3 ab 8 cb Do đó: 3 a b 8 a b 8 Do ab nên ab 8; 8  -Trường hợp a b 8 c d 3 a 8, b 0, c 3hoặc a 9, b 1, c 4 -Trường hợp: a b 8 c b 3 a 1, b 9, c 6 Vậy tất cả có ba số thỏa mãn bài toán: 803,914,196. b) x22 4 x 10 x 2 x 2 x 4 6 x 2 2  6 0 x Do đó xx2 4 10 không có nghiệm. Câu 4. Xét các trường hợp: +) xA 20 +) xA 11 x 22 2 +) xA 11 A lớn nhất lớn nhất xx x 2 Vì x là số nguyên dương, nên lớn nhất x nhỏ nhất, tức là x 1, khi đó A 3 x Vậy giá trị lớn nhất của Ax 31 119
  118. Câu 5. A H E O K G B F I C a) Chứng minh CHO CFO() ch gn CH CF FCH cân tại C Vẽ IG/ / AC ( G FH ).Chứng minh FIG cân tại I Suy ra AH IG,() IGK AHK AHK IGK g c g AK KI b) Vẽ OE ABtại E. Tương tự câu a, ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại AB, , suy ra BE BF và AE AH. BA BE EA BF AH BF FI BI ABI cân tại B. Mà BO là phân giác của B, BK là đường trung tuyến của ABI nên BOK,, là ba điểm thẳng hàng. PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ NĂM HỌC 2016-2017 MÔN : TOÁN 7 Bài 1. (5 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2abcda 2 bcdab 2 cdabc 2 d a b c d 120
  119. a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c Bài 2. (3 điểm) Cho các đa thức : P( x ) 3 x4 x 3 4 x 2 2 x 1; Q( x ) 2 x42 x x 2 a) Tính P()() x Q x b) Tìm đa thức Hx()biết Q( x ) H x 2 x4 2 c) Tìm nghiệm của đa thức Hx() Bài 3. (3 điểm) Tìm x biết: a) x 2010 x 2012 x 2014 4 3 3 3 1 1 1 y 1 bx) 2 3 và y 7 11 101 2 3 4 5 5 5 5 5 5 2 7 11 101 4 6 8 Bài 4. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 23 2 y x Bài 5. (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A( AB AC ).Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC.Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE AB. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng: a) BA BH b) DBK 450 c) Cho AB 4, cm tính chu vi tam giác DEK 121
  120. ĐÁP ÁN Bài 1. 2abcda 2 bcdab 2 cdabc 2 d Từ a b c d 2abcd abcd 2 abcd 2 abcd 2 1111 a b c d abcdabcdabcdabcd a b c d Nếu abcd 0; ab cdbc ad a b b c c d d a M 4 c d d a a b b c a b b c c d d a Nếu a b c d04 a b c d M c d d a a b b c Bài 2. a) P( x ) Q ( x ) x4 x 3 3 x 2 3 x 1 b) HxQxx( ) ( ) 24 2 2 xxx 4 2 2 2 x 4 2 xx 2 2 x 0 c) H x x x x 10 x  x 1 Bài 3. a) x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 4(*) Mà xxx 2010 2012 2014 4, nên (*) xảy ra dấu x 2012 0 " " x 2012 2010 x 2014 1 1 1 1 1 1 3 7 11 101 32 by)1 2 3 4 1 1 1 5 1 1 1 55 5. 7 11 101 2 2 3 4 122
  121.  17 1 23xx 11 24 23x  22 15 23xx  24 Bài 4. 2 Ta có : x 20 với mọi x và yx 0với mọi x,3 y A với mọi xy, 2 x 20 Suy ra Anhỏ nhất 3khi xy 2 yx 0 Bài 5. I B 4 3 2 1 K H C A D E a) ABD HBD() ch gn b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK, cắt EK tại I 123
  122. Ta có: ABI 900 Ta có: ABI 900 ; AB BH ABD HBD ; AE AB( gt ); AE BI BA / / IE BH BI 0 HBK IBK() ch cgv B34 B mà B12 B DBK 45 c) ABD HBD AD DH HBK IBK HK KI KD DH HK AD KI Chu vi tam giác DEK DE EK KD DE KE AD KI AE IE 2 AB 2.4 8( cm ) PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU Năm học 2016-2017 MÔN: TOÁN 7 ac Câu 1. (5 điểm) Cho tỉ lệ thức với a, b , c , d 0; a b , c d . Chứng minh: bd bdc d c a) và b a d c a b a 2013 a b a2013 b 2013 b) 2013 2013 c d c d Câu 2. (6 điểm) 1) Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a)3xx 2 3 810 b) x 3 x 7 4 x 2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm:C x10 x 5 x 2 x 1 Câu 3. (2 điểm) a) Chứng minh với mọi ab, ta có: a b a b b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x 28 x Câu 4. (7 điểm) 124
  123. 1) Cho tam giác cân ABC,. AB AC Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD CE a) Chứng minh ADE cân b) Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh AM là tia phân giác của DAE c) Từ B và C kẻ BH AD;. CK AE Chứng minh : BH CK d) Chứng minh AM,, BH CK gặp nhau tại 1 điểm 2) Cho tam giác ABC có AB AC; A 1000 .Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho MBC 1000 , MCB 20 .Tính số đo góc AMB ĐÁP ÁN Câu 1. a c a c b a d c 1) 1 1 Kết luận b d b d b c a c c d c d Từ b d a b a b 2013 2013 2013 a c a b a b a b a b a2013 b 2013 2) Từ 2013 2013 b d c d c d c d c d c d Câu 2. 1) ax)3xx . 32 1 810 3 81 4 b) lập luận có x 0 Với x 0 x 3 x 7 4 x x 5 2) Xét đa thức : C x10 x 5 x 2 x 1 Nếu xC 0 1 0 Nếu x 0 x10 x 2 1 0; x 5 x 0 C 0 Nếu 0 x 1 C x10 x 2 1 x 3 1 x 0 Nếu x 1 C x55 . x 1 x x 1 1 0 125
  124. Vậy C 0với mọi x nên đa thức C không có nghiệm Câu 3. a) Chứng minh đúng BĐT b) Ta có: B x 2 8 x 6. Dấu "" xảy ra x 2 8 x 0 2 x 8 Vậy MinB 6 2 x 8 126
  125. Câu 4. 1) A H K D B M C E O a) Chứng minh ABD ACE( ) c g c Kết luận b) Chứng minh MAD MAE( ) c c c Kết luận c) Chứng minh BHD CKE (cạnh huyền – góc nhọn) Kết luận d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. Chứng minh AO là tia phân giác của DAE mà AM là phân giác của DAE() cmt Kết luận 127
  126. 2) A M C B E Trên tia đối của tia CAlấy điểm E sao cho CE CB BEC EBC 700 Chứng minh ABM ABE( c . g . c ) AMB AEB 700 PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7 TRƯỜNG THCS THANH VĂN Năm học 2017-2018 Câu 1. (5 điểm) 1) Cho c2 ab.Chứng minh rằng: a22 c a a) b22 c b b22 a b a b) a22 c a 128
  127. 213 2) Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5, các mẫu của 70 chúng tỉ lệ với 5;1;2 . Tìm ba phân số đó. Câu 2. (6 điểm) 1. Cho đa thức: f x x17 2000 x 16 2000 x 15 2000 x 14 2000 x 1 Tính giá trị của đa thức tại x 1999 2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số: A 5 m n 1 3 m n 4 là số chẵn Câu 3. (2 điểm) 78x Tìm số tự nhiên x đê phân số có giá trị lớn nhất. 23x Câu 4. (7 điểm) 1. Cho tam giác ABC cân tại AB, 500 .Gọi K là điểm trong tam giác sao cho KBC 1000 , KCB 30 . a) Chứng minh BA BK b) Tính số đo BAK 2. Cho xAy 600 có tia phân giác Az.Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh: a) K là trung điểm của AC b) KMC là tam giác đều c) Cho BK 2. cm Tính các cạnh AKM ĐÁP ÁN Câu 1. 1. a) Từ c2 ab a c a2 c 2 a 2 c 2 a 2 aba a b a cb c2 b 2 cb 2 2 abb 2 bab b a2 c 2 a b 2 c 2 b b) Theo câu a ta có: c2 b 2 b a 2 c 2 a b2 c 2 b b 2 c 2 b b 2 a 2 b a 1 1 a2 c 2 a a 2 c 2 a a 2 c 2 a 129
  128. 213 2. Gọi các phân số phải tìm là : abc,,, ta có: abc 70 3 4 5 9 12 15 Và abc:: : : 6:40:25 a ;; b c 5 1 2 35 7 14 Câu 2. 1. fxx 171999 xx 16 16 1995 xx 15 15 1999 xx 14 14 1999 xx 1 f 1999 199917 1999 17 1999 16 1999 16 1999 15 1999 15 1999 2 1999 1 1999 1 1998 2. Ta xét hiệu 5m n 1 3 m n 4 2 m 2 n 3 Với mn, thì 2mn 2 3là một số lẻ. Do đó trong hai số 51mn và 34mn phải có một số chẵn. Suy ra tích của chúng là một số chẵn. Vậy Alà số chẵn Câu 3. 7x 82 7xx 8 7 2 3 5 7 5 Đặt A 23223x x 223 x 2223 x 5 Đặt B thì Alớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất 2 2x 3 GTLN của Ax 62 130
  129. Câu 4. 1. A I K B C a) Vẽ tia phân giác ABK cắt CK ở I , ta có: IBC cân nên IB IC BIA CIA ( c . c . c ) BIA CIA 1200 , do đó BIA BIK() gcg BA BK b) Từ phần a ta tính được BAK 700 . 131
  130. 2) x z B K y A H M a) ABC cân tại B do CAB ACB MAC và BK là đường cao nên BK là đường trung tuyến K là trung điểm của AC. b) ABH BAK (cạnh huyền –góc nhọn) BH AK mà 11 AK AC BH AC 22 Ta có: BH CM (tính chất đoạn chắn) mà 1 CK BH AC CM CK MKC là tam giác cân (1) 2 Mặt khác: MCB 900 và ACB 3000 MCK 60 (2) Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều c) Vì ABK vuông tại K mà KAB 300 AB 2 BK 2.2 4 cm Vì ABK vuông tại K nên theo Pytago ta có: AK AB22 BK 16 4 12 1 Mà KC AC KC AC 12 2 1 Mà KC AC KC AK 12 2 Theo phần b) AB BC 4; AH BK 2; HM BC ( HBCM là hình chữ nhật) AM AH HM 6 132