›
›
›

30 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 7

pdf 57 trang thaodu 7950
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "30 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf30_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_khoi_7.pdf

Nội dung text: 30 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 7

  1. §Ò 1 C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 hy so s¸nh: 1 1 1 1 a. A= + + + + víi 1 . 22 32 42 n2 1 1 1 1 b. B = + + + + víi 1/2 22 42 62 ()2n 2 3 4 n +1 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña α , víi α = 2 + 3 + 4 + + n+1 2 3 n C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l−ît ®é di hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ l 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox v oy lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A v B ®Ó cho AB cã ®é di nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c v a + b + c l c¸c sè h÷u tØ. §Ò 2: Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2   2 3  18− (0,06:7 + 3 .0,38) : 19 − 2 .4  6 2 5   3 4  Bài 2: (4 điểm): Cho a= c chứng minh rằng: c b 2+ 2 2− 2 − a) a c= a b) b a= b a b2+ c 2 b a2+ c 2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x + −4 = − 2 b) −x + = x − 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC 1
  2. Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ℕ biết: 25−y2 = 8( x − 2009) 2 §Ò 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 12 5− 6 2 10 3 − 5 2 =2.3 4.9 − 5.7 25.49 A 6 3 ()22 .3+ 8 4 .3 5 ()125.7+ 59 .14 3 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2− 2 n + 2 + 3 n − 2 n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x − + =() −3,2 + 3 5 5 x+1 x + 11 b. ()()x−7 − x − 7 = 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo :: . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 2+ 2 b) Cho a= c . Chứng minh rằng: a c= a c b b2+ c 2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH⊥ BC (H∈ BC) . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM=BC §Ò 4 Bi 1: (2 ®iÓm) 2
  3. Cho A = 25+811+1417+ +98101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z v x− 2 y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z v xy = 90. + + + + + − c, y z1= x z 2 = x y 3 = 1 x y z x+ y + z Bi 3: ( 1 ®iÓm) a a a a a 1= 2 =3 = = 8 = 9 1. Cho v (a1+a2+ +a9 ≠0) a2 a 3 a 4 a 9 a 1 Chøng minh: a1 = a2 = a3= = a9 + + − + 2. Cho tØ lÖ thøc: a b c= a b c v b ≠ 0 a+ b − c a − b − c Chøng minh c = 0 Bi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 l ho¸n vÞ cña 5 sè ® cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1b1).(a2b2).(a3b3).(a4b4).(a5b5) ⋮ 2 Bi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB v O l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax v By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D v F sao cho AC = BD v AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt=== §Ò 5 Bi 1: (3 ®iÓm) 1   4,5: 47,375− 26 − 18.0,75  .2,4 : 0,88 3  1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:    2 5 17,81:1,37− 23 :1 3 6 3
  4. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x v y tho¶ mn: 2x− 272007 +() 3 y + 10 2008 = 0 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab l b×nh ph−¬ng cña sè tù nhiªn. Bi 2: ( 2 ®iÓm) − − − 1. T×m x,y,z biÕt: x1= y 2 = z 3 v x2y+3z = 10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 v tho¶ mn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 3+ 3 + 3 Chøng minh r»ng: a b c= a b3+ c 3 + d 3 d Bi 3: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: + + + + > 10 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = 18 2x− 6 − 3 y + 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E l ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK l tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== §Ò sè 6 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ mn: a,5x3 4 c, 4 x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =x +8 x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 C©u 5 : 4
  5. Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD HÕt §Ò sè 7 Thêi gian lm bi: 120 phót 3 a b c  a + b + c  a C©u 1 . ( 2®) Cho: = = . Chøng minh:   = . b c d  b + c + d  d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = = = . b + c a + b c + a C©u 3. (2®). T×m x ∈ Z ®Ó A∈ Z v t×m gi¸ trÞ ®ã. x + 3 1− 2x a). A = . b). A = . x − 2 x + 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x − 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n. HÕt §Ò sè 8 Thêi gian lm bi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é di l 4,12 ,a . BiÕt r»ng a l mét sè tù nhiªn. T×m a ? a c 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®−îc c¸c b d tØ lÖ thøc: a c a + b c + d a) = . b) = . a − b c − d b d C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | xa| + | xb| + |xc| + | xd| víi a<b<c<d. C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ. a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. x A viB 5
  6. y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l−ît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 AN + BP + CM = AP + BM + CN HÕt §Ò sè 9 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1(2®): 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + + + + + 23 2 4 2 5 2 100 b) T×m n ∈Z sao cho : 2n 3 ⋮ n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x 2x + 1 = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x1) = 2(y2), 4(y2) = 3(z3) v 2x+3yz = 50. C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng 213 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu 70 cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I l trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hng. C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + 1 = 1 7 y HÕt §Ò sè 10 Thêi gian lm bi: 120’. C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = + + + + . 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 b) B = 1+ 1( + )2 + 1( + 2 + )3 + 1( + 2 + 3 + )4 + + 1( + 2 + 3 + + 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 + 26 +1 v 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: + + + + > 10 . 1 2 3 100 C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã l béi cña 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 6
  7. Cho tam gi¸c ABC cã gãc B v gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD v ACE ( trong ®ã gãc ABD v gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI v EK cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x − 2001 + x −1 hÕt §Ò sè 11 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: + + + + + a, x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 349 =0 327 326 325 324 5 b, 5x − 3 ≥ 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007  1   1   1   1  a, TÝnh tæng: S = −  + −  + −  + + −   7   7   7   7  1 2 3 99 b, CMR: + + + + < 1 2! 3! 4! 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d−¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é di ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t−¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè no? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B = 600 hai ®−êng ph©n gi¸c AP v CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B = . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. (2 n − )1 2 + 3 hÕt §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) (x −1)5 = 243 . + + + + + b) x 2 + x 2 + x 2 = x 2 + x 2 11 12 13 14 15 c) x 2 x = 0 (x≥ 0 ) C©u 2 : (3®) 7
  8. 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x v y biÕt : + = x 4 8 x +1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ l 1 sè nguyªn biÕt : A = (x≥ 0 ) x − 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x − 3 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ∆ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoi t−¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè no . b, Cho ∆ ABC c©n t¹i A v ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . HÕt §Ò sè 13 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi1( 3 ®iÓm) 1 1 176 12 10 10 (26 − ) − ( −1,75) a, TÝnh: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91− 0,25). −1 11 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d−¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dy 234 trang. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ∆ ABC vu«ng t¹i B, ®−êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. hÕt §Ò sè 14 Thêi gian lm bi 120 phót Bi 1(2 ®iÓm). Cho A= x +5 + 2 − x . a.ViÕt biÓu thøc A d−íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 a.Chøng minh r»ng : < + + + + < . 6 52 6 2 7 2 100 2 4 + + b.T×m sè nguyªn a ®Ó : 2a 9+ 5 a 17 − 3 a l sè nguyªn. a+3 a + 3 a + 3 8
  9. Bi 3(2,5 ®iÓm). T×m n l sè tù nhiªn ®Ó : A=( n +5)( n + 6)⋮ 6 n . Bi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §−êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f( x) − f( x −1) = x ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. HÕt §Ò sè 15 Thêi gian lm bi: 120 phót x x − 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= x2 +8 x − 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®−îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®−îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®−îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®−îc ®Òu nh− nhau. 2006 + C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 10 53 l mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®−êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chøng minh r»ng: a, K l trung ®iÓm cña AC. b, BH = AC 2 c, KMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d−íi ®©y ®óng mét nöa v sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em hy x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. HÕt §Ò sè 16: Thêi gian lm bi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x − 2 − x = 7 b) 2x − 3 > 5 c) 3x −1 ≤ 7 d) 3x − 5 + 2x + 3 = 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+ + 5200 9
  10. b) So s¸nh 230 + 330 + 430 v 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM v CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB v Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®−êng ph©n gi¸c v ph©n gi¸c ngoi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®−êng th¼ng MN lÇn l−ît t¹i D v E c¸c tia AD v AE c¾t ®−êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P v Q. Chøng minh: a) BD ⊥ AP; BE ⊥ AQ; b) B l trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE − C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn no cña x th× biÓu thøc A= 14 x Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? 4 − x T×m gi¸ trÞ ®ã. HÕt §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4x + 3 x = 15. b. 3x − 2 x > 1. c. 2x + 3 ≤ 5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 l: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é di c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh− thÕ no,biÕt nÕu céng lÇn l−ît ®é di tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng ny tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D l mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB > ADC . Chøng minh r»ng: DB 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n∈N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By. 10
  11. A α x C β γ B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC =1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (3)0 + (3)1+ (3)2 + + (3)2004. §Ò sè 19 Thêi gian lm bi: 120 phó Bi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: −1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x − 2 + 5 − x Bi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l−ît l trùc t©m , träng t©m v giao ®iÓm cña 3 ®−êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hng v GH = 2 GO Bi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®−îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (34x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. HÕt §Ò 20 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x + x + 2 = 3 ; b. 3x− 5 = x + 2 C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù l trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®−êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù l trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 v IM c¾t nhau t¹i Q l trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) Hy suy ra c¸c kÕt qu¶ t−¬ng tù nh− kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 3|x5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. HÕt 11
  12. §Ò 21: x − 5 Bi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = x + 3 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 1 4 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 − x = x −1 b) TÝnh tæng M = 1 + ( 2) + ( 2)2 + +( 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC l tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM v CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN 2006 − x Bi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ 6 − x lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. HÕt §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 25 30  1   1   1   1  a.   .  b.   :    2   4   9   3  5 4 − 9 2. Rót gän: A = 4 .9 6.2 210.38 + 68.20 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n d−íi d¹ng ph©n sè v ng−îc l¹i: 12
  13. a. 7 b. 7 c. 0, (21) d. 0,5(16) 33 22 C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®−îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lm ®−îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 v 3. Khèi 8 v 9 tØ lÖ víi 4 v 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = 3 (x + )2 2 + 4 b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) v ∠C = 800. Trong tam gi¸c sao cho MBA = 300 v MAB =100 .TÝnh MAC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. HÕt §Ò23 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®) − + − 1) Cho a 1 = b 3 = c 5 v 5a 3b 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6 2 − + 2 2 − + 2 2) Cho tØ lÖ thøc : a = c . Chøng minh : 2a 3ab 5b = 2c 3cd 5d . Víi ®iÒu b d 2b 2 + 3ab 2d 2 + 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 1 1 1 1) A = + + + 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 1 2) B = − + − + + − 3 32 33 350 351 C©u III : (1,5 ®) §æi thnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A l ABD v ACE . Gäi M;N;P lÇn l−ît l trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD v BE ⊥ víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n HÕt 13
  14. §Ò 24 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375− 0,3 + + 1,5+ 1 − 0,75 a) A = 11 12 + 5 5 5 −0,265 + 0,5 − − 2,5 + − 1,25 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + + 2100 Bi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 v 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 v 29 + 14 Bi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®−îc 359 tÊn thãc. Sè ngy lm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®−îc bao nhiªu tÊn thãc. Bi 4 (1®): T×m x, y biÕt: 1 1 1  1 a) 3x − 4 ≤ 3 b) + + +  − 2x = 1.2 2.3 99.100  2 Bi 5 ( 3®): Cho ∆ ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M l giao ®iÓm cña DC v BE. Chøng minh r»ng: a) BMC = 1200 b) AMB = 1200 Bi 6 (1®): Cho hm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu 1 cã: f( x )+ 3. f ( ) = x2 . TÝnh f(2). x HÕt §Ò 25 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z ∈ Z, biÕt a. x+ − x = 3 x b. x − 1 = 1 6 y 2 c. 2x = 3y; 5x = 7z v 3x 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 1 a. Cho A = ( −1).( −1).( −1) ( − )1 . Hy so s¸nh A víi − 2 2 32 4 2 100 2 2 14
  15. + b. Cho B = x 1 . T×m x ∈Z ®Ó B cã gi¸ trÞ l mét sè nguyªn d−¬ng x − 3 C©u 3 (2®) Mét ng−êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h v dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®−îc 1 qung ®−êng th× ng−êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr−a. 5 TÝnh qung ®−êngAB v ng−êi ®ã khëi hnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ∆ABC cã Aˆ > 900. Gäi I l trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh ∆AIB = ∆CID b. Gäi M l trung ®iÓm cña BC; N l trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I l trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB< BIC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ∆ABC ®Ó AC⊥ CD 14 − x C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;〈x ∈ Z〉 . Khi ®ã x nhËn gi¸ 4 − x trÞ nguyªn no? HÕt §Ò 26 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 2x − 6 +5x = 9  1 1 1 1  b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90). ( 12.34 – 6.68) : + + +  ;  3 4 5 6  c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 v B = 2101 . Bi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l−ît ®é di tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ l :5 : 7 : 8. + Bi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = x 1 . x −1 a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 16 v x = 25 . 9 9 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®−êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M v N. TÝnh gãc MCN ? Bi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ no cña x th× biÓu thøc : P = x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? HÕt §Ò 27 15
  16. Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) −2 − 2 − 1 − 3 −1 1   4   5   2  a. TÝnh A = ()0, 25 .  .   .   .   4   3   4   3  b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 21.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d−¬ng th×: 3n+32n+2+3n2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét tr−êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®−îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®−îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: 0,7 ( 4343 1717 ) l mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D v E c¾t AB v AC lÇn l−ît ë M v N. Chøng minh: a. DM= ED b. §−êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I l trung ®iÓm cña MN. c. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. HÕt §Ò 28 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a+ a b. a− a c. 3( x− 1) − 2 x − 3 C©u 2: T×m x biÕt: a. 5x − 3 x = 7 b. 2x + 3 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho ∆ ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D v E. Sao cho AD = BE. Qua D v E vÏ c¸c ®−êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M v N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. §Ò 29 Thêi gian lm bi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 16
  17. 102006+ 1 10 2007 + 1 Bi 1:(1®iÓm) Hy so s¸nh A v B, biÕt: A= ; B = . 102007+ 1 10 2008 + 1 Bi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1   1   1  A= 1−  .  1 −   1 −  12+   123 + +   123 2006 + + + +  Bi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: x− 1 = 1 8 y 4 Bi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c l ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã B = C = 50 0 . Gäi K l ®iÓm trong tam gi¸c sao cho KBC = 100 KCB = 30 0 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. HÕt §Ò thi 30 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi 1. (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bi 2. (4 ®iÓm) a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : a= b = c v a + 2b – 3c = 20 2 3 4 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 1 x 4 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 1 4 TÝnh f(x) + g(x) v f(x) – g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = 1. Bi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a) So s¸nh c¸c ®é di DA v DE. b) TÝnh sè ®o gãc BED. 17
  18. Bi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù l trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 AD. 3 ®¸p ¸n - §Ò 1 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) 1 1 a. Do 1 víi k = 1,2 n ( 0,25 ®iÓm ) k ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: k +1 1+1+ +1+ k +1 1.1 .1 k +1 k 1 1 k +1 = k +1 . [α] = n 18
  19. C©u 3 (2 ®iÓm ) Gäi ha , hb ,hc lÇn l−ît l ®é di c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bi ta cã: h + h h + h h + h 2(h + h + h ) h + h + h a b = b c = c a = a b c = a b c ( 0,4 ®iÓm ) 5 7 8 20 10 h h h => c = b = a => h : h : h = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) 5 2 3 a b c 1 1 1 MÆt kh¸c S = a. h = bh = ch ( 0,4 ®iÓm ) 2 a 2 b 2 c a b c => = = (0 , 4 ®iÓm ) 1 1 1 ha hb hc 1 1 1 1 1 1 => a :b : c = : : = : : = 10 :15 6: (0 ,4 ®iÓm ) ha hb hc 3 2 5 VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A′, trªn tia Oy lÊy B′ sao cho O A′ = O B′ = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A′ = B B′ ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H v K lÇn l−ît l h×nh chiÕu Cña A v B trªn ®−êng th¼ng A′ B′ y Tam gi¸c HA A′ = tam gi¸c KB B′ ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => H A′ = KB′, do ®ã HK = A′B′ (0,25 ®iÓm) Ta chøng minh ®−îc HK ≤ AB (DÊu “ = “ ⇔ A trïng A′ B trïng B′ (0,25 ®iÓm) do ®ã A′B′ ≤ AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt ⇔ OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö a + b + c = d ∈ Q ( 0,2 ®iÓm ) => a + b = d − a => b +b +2 bc = d 2 + a + 2d a ( 0,2 ®iÓm) => 2 bc = (d 2 + a − b − c)− 2d a ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = (d 2 + a − b − c)2 + 4 d2a – 4b (d 2 + a − b − c) a ( 0,2 ®iÓm) => 4 d (d 2 + a − b − c) a = (d 2 + a − b − c)2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu 4 d (d 2 + a − b − c) # 0 th×: ( d 2 + a − b − c )2 + 4d 2a − 4ab a = l sè h÷u tØ (0,2 5®iÓm ) 4d(d 2 + a − b − c) 19
  20. NÕu 4 d (d 2 + a − b − c) = 0 th×: d =0 hoÆc d 2+ ab – c = 0 ( 0,25 ®iÓm ) + d = 0 ta cã : a + b + c = 0 => a = b = c = 0 ∈ Q (0,25 ®iÓm ) + d 2+ ab – c = 0 th× tõ (1 ) => bc = −d a V× a, b, c, d ≥ 0 nªn a = 0 ∈ Q ( 0,25 ®iÓm ) VËy a l sè h÷u tØ. Do a,b,c cã vai trß nh− nhau nªn a, b, c l c¸c sè h÷u tØ §Ò 2: Bài 1: 3 điểm 1 1 2   2 3  18− (0,06:7 + 3 .0,38) : 19 − 2 .4  = 6 2 5   3 4  109 6 151738   819  = −( : + . ) : 19 − .  0.5đ 6 1002 5100   34  109− 32 + 1719    − 38  = . .   :  19  1đ 6 50 15 5 50    3  109− 2 + 323   19 =    : 0.5 6 250 250   3 109 13  3 =− . = 0.5đ 6 10  19 506 3 253 = . = 0.5đ 30 19 95 Bài 2: a c a) Từ = suy ra c2 = a. b 0.5đ c b 2+ 2 2 + khi đó a c= a a. b 0.5đ b2+ c 2 b 2 + a. b + = a() a b= a 0.5đ b() a+ b b a2+ c 2 a b 2 + c 2 b b) Theo câu a) ta có: = ⇒ = 0.5đ b2+ c 2 b a 2 + c 2 a b2+ c 2 b b 2 + c 2 b từ = ⇒ −1 = − 1 1đ a2+ c 2 a a 2 + c 2 a 2+ 2 − 2 − 2 − hay b c a c= b a 0.5đ a2+ c 2 a 2− 2 − vậy b a= b a 0.5đ a2+ c 2 a Bài 3: 20
  21. 1 a) x + −4 = − 2 5 1 x + = −2 + 4 0.5đ 5 1 1 1 x+ = 2⇒ x + = 2 hoặc x + = −2 1đ 5 5 5 1 1 9 Với x+ = 2⇒ x = 2 − hay x = 0.25đ 5 5 5 1 1 11 Với x+ = −2⇒ x = − 2 − hay x = − 0.25đ 5 5 5 b) 15 3 6 1 −x + = x − 12 7 5 2 6 5 3 1 x+ x = + 0.5đ 5 4 7 2 6 5 13 ()+x = 0.5đ 5 4 14 49 13 x = 0.5đ 20 14 130 x = 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x= 4. y = 3. z và x+ x + y + z = 59 1đ x y z x+ x + y + z 59 hay: = = = = = 60 0.5đ 1 1 1 1+ 1 + 1 + 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: 1 1 1 x =60. = 12 ; x =60. = 15 ; x =60. = 20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1đ = 200 suy ra DAB DAC M Do đó DAB =200 : 2 = 10 0 b) ∆ ABC cân tại A, mà A = 200 (gt) nên ABC =(1800 − 20 0 ) : 2 = 80 0 D ∆ ABC đều nên DBC = 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra 0 0 0 B C ABD =80 − 60 = 20 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM =100 21
  22. Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD =200 ; ABM = DAB = 10 0 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25− y2 = 8(x − 2009) 2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 ≤ 25 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ ℕ ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ §Ò 3 Bài 1:(4 điểm): Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 10 2125 .3− 4 62 .9 5 103 .7 − 25 52 .49 2 125 .3 − 2 124 .3 5 103 .7 − 5 .7 4 A = − = − 0,5 điểm 6 3 9 3 126 125 93 933 ()22 .3+ 8 4 .3 5 ()125.7+ 5 .14 2 .3+ 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7 12 4()− 10 3 () − =2.3.3 1 − 5.7.1 7 0,5 điểm 212 .3 5 .() 3+ 1 59 .7 3 .() 1+ 2 3 12 4 10 3 ()− =2 .3 .2 − 5 .7 . 6 0,5 điểm 212 .3 5 .4 5 9 .7 3 .9 1− 10 7 0,5 điểm = − = 6 3 2 b) (2 điểm) n + 2 3 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n+2− 2 n + 2 + 3 n − 2 n = 3n+2+ 3 n − 2 n + 2 − 2 n =3n (32+ 1) − 2 n (2 2 + 1) 0,5 điểm =310n⋅ − 2 n ⋅ 5 = 3102 n ⋅ − n−1 ⋅ 10 1 điểm = 10( 3n -2n) Vậy 3n+2− 2 n + 2 + 3 n − 2 n ⋮ 10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang 22
  23. điểm a) (2 điểm) 1 4 2 1 4− 16 2 0,5 điểm x− + =() −3,2 + ⇔ x − + = + 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 0,5 điểm ⇔x − + = 3 5 5  −1 = 1 x 2 ⇔x − =2 ⇔  3 0,5 điểm  −1 =− 3 x 2  3  x=2 +1 = 7 ⇔  3 3 đ ể − 0,5 i m  x=−2 +1 = 5  3 3  b) (2 điểm) + + ( x−7)x1 −( x − 7) x 11 = 0 0,5 điểm x+1 10 ⇔()()x −7 1 − x − 7  = 0   ()x+1 10 đ ể ⇔()x −7 1 −() x − 7  = 0 0,5 i m   x+1    x−7  = 0 ⇔     0,5 điểm 1− (x − 7)10 = 0   − = = ⇔ x7 0⇒ x 7  −10 = = (x 7) 1⇒ x 8 0,5 điểm Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = :: (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 2 3 k Từ (1) ⇒ = = = k ⇒ a= k;; b = k c = 2 3 1 5 4 6 5 4 6 2 4 9 1 Do đó (2) ⇔ k (+ + ) = 24309 0,5 điểm 25 16 36 ⇒k = 180 và k =−180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5 điểm + Với k =−180, ta được: a = −72 ; b =−135; c =−30 23
  24. Khi đó ta có só A = −72 +( −135) + ( −30 ) = −237. 0,5 điểm b) (1,5 điểm) a c Từ = suy ra c2 = a. b c b 0,5 điểm 2+ 2 2 + khi đó a c= a a. b b2+ c 2 b 2 + a. b 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4: (4 điểm) Thang Đáp án điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét ∆AMC và ∆EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI và ∆EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì ∆AMC = ∆ EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆ EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) 24
  25. Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o ⇒ HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm ⇒ HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1điểm suy ra DAB = DAC 0,5 điểm Do đó DAB =200 : 2 = 10 0 0,5 điểm b) ∆ ABC cân tại A, mà A = 200 (gt) nên ABC =(1800 − 20 0 ) : 2 = 80 0 ∆ ABC đều nên DBC = 600 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD =800 − 60 0 = 20 0 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM =100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM = ABD =200 ; ABM = DAB = 10 0 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm §Ò 4 Bi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè h¹ng thø nhÊt l (1)1+1(3.11) 1 25
  26. Sè h¹ng thø hai l (1)2+1(3.21) D¹ng tæng qu¸t cña sè h¹ng thø n l: (1)n+1(3n1) 1.2 A = (3).17 = 51 1 x2 y = , 3y = 5z. NÕu x2y = 5 ⇒ x= 15, y = 10, z = 6 0,5 2.1 3 4 NÕu x2y = 5 ⇒ x= 15, y = 10, z = 6 0,5 x y x2 xy = ⇒ = =9 ⇒ x = ±6 0,5 2.2 2 5 4 10 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 v 0,25 x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 0,25 y+ z +1 x+ z + 2 x+ y − 3 1 = = = =2 0,5 x y z x+ y + z 0,5−x + 10,5 − y + 2 0,5 − z − 3 2.3 ⇒ x+y+z = 0,5 ⇒ = = = 2 0,5 x y z 1 5 5 ⇒ x = ; y = ; z = 0,5 2 6 6 a a a a a a+ a + + a 1= 2 =3 = = 8 = 9 = 1 2 9 = 1 (v× a1+a2+ +a9 ≠0) 0,25 a a a a a a+ a + + a 3.1 2 3 4 9 1 1 2 9 ⇒ a = a ; a = a ; ;a = a 1 2 2 3 9 1 0,25 ⇒ a1 = a2 = a3= = a9 abcabc+ + − +()() abc + + − abc − + 2b = = = =1 (v× b≠0) 0,25 3.2 abcabc+ − − −()() abc + − − abc − − 2b ⇒ a+b+c = a+bc ⇒ 2c = 0 ⇒ c = 0 0,25 §Æt c1 = a1b1; c2 = a2b2; ; c5 = a5b5 0,25 XÐt tæng c + c + c + + c = (a b )+( a b )+ +( a b ) = 0 0,25 4.1 1 2 3 5 1 1 2 2 5 5 ⇒ c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n 0,25 ⇒ c1. c2. c3. c4. c5 ⋮ 2 0,25 ∆AOE = ∆BOF (c.g.c) ⇒ O,E,F th¼ng hng v OE = OF 0,5 4.2 ∆AOC = ∆BOD (c.g.c) ⇒ C,O,D th¼ng hng v OC = OD ∆EOD = ∆FOC (c.g.c) ⇒ ED = CF §Ò 5 Bi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè bÞ chia = 4/11 0,5 Sè chia = 1/11 0,25 KÕt qu¶ = 4 0,25 1.2 V× |2x27|2007 ≥ 0 ∀x v (3y+10)2008 ≥ 0 ∀y 0,25 ⇒ |2x27|2007 = 0 v (3y+10)2008 = 0 0,25 x = 27/2 v y = 10/3 0,5 1.3 V× 00≤ ab ≤99 v a,b ∈ N 0,25 ⇒ 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 0,25 ⇒ 4472 < 2007ab < 4492 0,25 ⇒ 2007ab = 4482 ⇒ a = 0; b= 4 0,25 26
  27. 2.1 x−1 y − 2 z − 3 0,25 §Æt = = = k 2 3 4 ¸p dông tÝnh chÊt dy tØ sè b»ng nhau k = 2 0,5 X = 3; y = 4; z = 5 0,25 2.2 Tõ gi¶ thiÕt suy ra b2 = ac; c2 = bd; ⇒ a= b = c 0,25 b c d 3 3 3 3+ 3 + 3 0,25 Ta cã a= b = c = a b c (1) b3 c 3 d 3 b 3+ c 3 + d 3 a3 a a a a b c a 0,25 L¹i cã = = = (2) b3 b b b b c d d 3+ 3 + 3 0,25 Tõ (1) v (2) suy ra: a b c= a b3+ c 3 + d 3 d 3.1 Ta cã: 1 > 1 ; 1 > 1 ; 1 > 1 1 > 1 ; 1 = 1 0,5 1 10 2 10 3 10 9 10 10 10 1 1 1 1 0,5 + + + + > 10 1 2 3 100 3.2 Ta cã C = 18 ( 2x− 6 + 3 y + 9 ) ≤ 18 0,5 V× 2x − 6 ≥0; 3y + 9 ≥0 0,25 2x − 6 = 0 0,25 Max C = 18 ⇔  x = 3 v y = 3 3y + 9 = 0 4.1 ∆ABH = ∆CAK (g.c.g) ⇒ BH = AK 4.2 ∆MAH = ∆MCK (c.g.c) ⇒ MH = MK (1) ⇒ gãc AMH = gãc CMK ⇒ gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) v (2) ⇒ ∆ MHK vu«ng c©n t¹i M §¸p ¸n ®Ò sè 6 C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc : (abc)2=36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®−îc abc=36 +, Tõ abc =36 v ab=c ta ®−îc c2=36 nªn c=6;c=6 +, Tõ abc =36 v bc=4a ta ®−îc 4a2=36 nªn a=3; a=3 +, Tõ abc =36 v ab=9b ta ®−îc 9b2=36 nªn b=2; b=2 , NÕu c = 6 th× av b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=3 , b=2 , NÕu c = 6 th× av b tr¸i dÊu nªn a=3 b=2 hoÆc a=3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho mn bi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(3,2,6);(3,2,6);(3,2.6) C©u 2. (3®) a.(1®) 5x3 2 4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1 4=> x>1 27
  28. *NÕu 3x+1 x 1 hoÆc x x≤4 (0,25®) (1) 4x+2x=3 => x=1( tho¶ mn ®k) (0,25®) *4x x>4 (0,25®) (1) x4+2x=3 x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®) ¸p dông a+b ≤a+bTa cã A=x+8x≥x+8x=8 MinA =8 x(8x) ≥0 (0,25®) x ≥ 0 *  =>0≤x≤8 (0,25®) 8 − x ≥ 0 x ≤ 0 x ≤ 0 *  =>  kh«ng tho mn(0,25®) 8 − x ≤ 0 x ≥ 8 VËy minA=8 khi 0≤x≤8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®) A C©u5.(3®) D E C Chøng minh: a (1,5®) B M Gäi E l trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME l ®−êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I l trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) m ID//ME(gt) Nªn D l trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E l trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)v (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID l ®−êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME l §−êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) v (2) => ID =1/4 BD (0,25®) §¸p ¸n ®Ò sè 7 28
  29. a b c a a b c a + b + c C©u 1. Ta cã . . = . (1) Ta l¹i cã = = = . (2) b c d d b c d b + c + a 3  a + b + c  a Tõ (1) v(2) =>   = .  b + c + d  d a c b a + b + c C©u 2. A = = = .= . b + c a + b c + a 2()a + b + c 1 NÕu a+b+c ≠ 0 => A = . 2 NÕu a+b+c = 0 => A = 1. 5 C©u 3. a). A = 1 + ®Ó A ∈ Z th× x 2 l −íc cña 5. x − 2 => x – 2 = (± 1; ±5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = 4 * x = 3 => A = 0 7 b) A = 2 ®Ó A ∈ Z th× x+ 3 l −íc cña 7. x + 3 => x + 3 = (± 1; ±7) * x = 2 => A = 5 * x = 4 => A = 1 * x = 4 => A = 9 * x = 10 => A = 3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc 2 b). x = 7 hoÆc 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh)  MHK l  c©n t¹i M . ThËt vËy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH .  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy:  MHK c©n t¹i M . §¸p ¸n ®Ò sè 8 C©u 1: Gäi x, y, z l ®é di 3 c¹nh t−¬ng øng víi c¸c ®−êng cao b»ng 4, 12, a. Ta cã: 4x = 12y = az = 2S ⇒ x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do xy < z< x+y nªn S S 2S S S 2 2 2 − < < + ⇒ < < (0,5 ®iÓm) 2 6 a 2 6 6 a 3 ⇒ 3, a , 6 Do a ∈ N nªn a=4 hoÆc a= 5. (0,5 ®iÓm) a c a b a − b a a − b a c 2. a. Tõ = ⇒ = = ⇒ = ⇔ = (0,75 ®iÓm) b d c d c − d c c − d a − b c − d 29
  30. a c a b a + b b a + b a + b c + d b. = ⇒ = = ⇒ = ⇔ = (0,75 ®iÓm) b d c d c + d d c + d b d C©u 2: V× tÝch cña 4 sè : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 l sè ©m nªn ph¶i cã 1 sè ©m hoÆc 3 sè ©m. Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. XÐt 2 tr−êng hîp: + Cã 1 sè ©m: x2 – 10 < x2 – 7 ⇒ x2 – 10 < 0 < x2 – 7 ⇒ 7< x2 < 10 ⇒ x2 =9 ( do x ∈ Z ) ⇒ x = ± 3. ( 0,5 ®iÓm) + cã 3 sè ©m; 1 sè d−¬ng. x2 – 4< 0< x2 – 1 ⇒ 1 < x2 < 4 do x∈ Z nªn kh«ng tån t¹i x. VËy x = ± 3 (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tr−íc tiªn t×m GTNN B = |xa| + | xb| víi a<b. Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iÓm) Víi A = | xa| + | xb| + |xc| + | xd| = [| xa| + | xd|] + [|xc| + | xb|] Ta cã : Min [| xa| + | xd|] =da khi a[x[d Min [|xc| + | xb|] = c – b khi b[ x [ c ( 0,5 ®iÓm) VËy A min = da + c – b khi b[ x [ c ( 0, 5 ®iÓm) C©u 4: ( 2 ®iÓm) A, VÏ Bm // Ax sao cho Bm n»m trong gãc ABC ⇒ Bm // Cy (0, 5 ®iÓm) Do ®ã gãc ABm = gãc A; Gãc CBm = gãcC ⇒ ABm + CBm = A + C tøc l ABC = A + C ( 0, 5 ®iÓm) b. VÏ tia Bm sao cho ABm v A l 2 gãc so le trong v ABM = A ⇒ Ax// Bm (1) CBm = C ⇒ Cy // Bm(2) Tõ (1) v (2) ⇒ Ax // By C©u 5: ¸p dông ®Þnh lÝ Pi ta go vo tam gi¸c vu«ng NOA v NOC ta cã: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 ⇒ CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 ®iÓm) T−¬ng tù ta còng cã: AP2 BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 ®iÓm) 2 2 2 2 2 2 Tõ (1); (2) v (3) ta cã: AN + BP + CM = AP + BM + CN ( 0, 5 ®iÓm). H−íng dÉn chÊm ®Ò sè 9 C©u 1(2®): 1 100 102 a) A = 2 − =2 − (1® ) 299 2 100 2 100 b) 2n− 3⋮ n + 1 ⇔ 5 ⋮ n + 1 (0,5® ) 30
  31. n + 1 1 1 5 5 n 2 0 6 4 ⇒ n ={ −6; − 2;0;4} (0,5® ) C©u 2(2®): − a) NÕu x ≥ 1 th× : 3x 2x 1 = 2 => x = 3 ( th¶o mn ) (0,5®) 2 − NÕu x x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) 2 VËy: x = 3 − − − b) => x1= y 2 = z 3 v 2x + 3y z = 50 (0,5®) 2 3 4 => x = 11, y = 17, z = 23. (0,5®) C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m l: a, b, c ta cã : a + b + c = 213 70 3 4 5 9 12 15 v a : b : c = : := 6 : 40 : 25 (1®) => a=,, b = c = (1®) 5 1 2 35 7 14 C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) => DF = BD = CE (0,5® ) => ∆ IDF = ∆ IFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hng => B, I, C th¼ng hng (1®) C©u 5(1®): 7.2x + 1 1 => = ⇒ y(14 x + 1) = 7 7 y => (x ; y ) cÇn t×m l ( 0 ; 7 ) §¸p ¸n ®Ò sè 10 C©u 1: a) Ta cã: 1 =1 − 1 ; 1 = 1 − 1 ; 1 = 1 − 1 ; ; 1 = 1 − 1 1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 99.100 99 100  −1 1   −1 1   −1 1  1 1 99 VËy A = 1+ + +  +  + +  + − =1− =  2 2   3 3   99 99  100 100 100 1  3.2  1  4.3  1  5.4  1  20.21 b) A = 1+  +  +  + +   = 2  2  3  2  4  2  20  2  3 4 21 1 = 1+ + + + = ()2 + 3 + 4 + + 21 = 2 2 2 2 31
  32. 1  21.22  =  −1= 115. 2  2  C©u 2: a) Ta cã: 17 > 4; 26 > 5 nªn 17 + 26 +1 > 4+ 5 +1 hay 17 + 26 +1 > 10 Cßn 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 b) > ; > ; > ; ; = . 1 10 2 10 3 10 100 10 1 1 1 1 1 VËy: + + + + > 100. = 10 1 2 3 100 10 C©u 3: Gäi a,b,cña l c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m . V× mçi ch÷ sè a,b,cña kh«ng v−ît qu¸ 9 v ba ch÷ sè a,b,cña kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0 , v× khi ®ã ta kh«ng ®−îc sè cã ba ch÷ sè nªn: 1 ≤ a+b+c ≤ 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m l béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 + + Theo gi¶ thiÕt, ta cã: a = b = c = a b c Do ®ã: ( a+b+c) chia hÕt cho 6 1 2 3 6 a b c 18 Nªn : a+b+c =18 ⇒ = = = = 3 ⇒ a=3; b=6 ; cña =9 1 2 3 6 V× sè ph¶i t×m chia hÕt cho 18 nªnch÷ sè hng ®¬n vÞ cña nã ph¶i l sè ch½n. VËy c¸c sè ph¶i t×m l: 396; 936. C©u 4: a) VÏ AH ⊥ BC; ( H ∈BC) cña ∆ABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB v BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) ⇒ ∆AHB= ∆BID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH⊥ BI (1) v DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC v CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) ⇒ ∆AHC= ∆CKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH= CK (2) tõ (1) v (2) ⇒ BI= CK v EK = HC. b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t−¬ng tù: EK = HC Tõ ®ã BC= BH +Hc= DI + EK. C©u 5: Ta cã: A = x − 2001 + x −1 = x − 2001 + 1− x ≥ x − 2001+1− x = 2000 VËy biÓu thøc ® cho ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt l 2000 khi x2001 v 1x cïng dÊu, tøc l : 1 ≤ x ≤ 2001 biÓu ®iÓm : C©u 1: 2 ®iÓm . a. 1 ®iÓm b. 1 ®iÓm C©u 2: 2 ®iÓm : a. 1 ®iÓm b . 1 ®iÓm . 32
  33. C©u 3 : 1,5 ®iÓm C©u 4: 3 ®iÓm : a. 2 ®iÓm ; b. 1 ®iÓm . C©u 5 : 1,5 ®iÓm . §¸p ¸n ®Ò sè11 C©u1: x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349 a, (1) ⇔ +1+ +1+ +1+ +1+ − 4 = 0 (0,5 ® ) 327 326 325 324 5 1 1 1 1 1 ⇔ (x + 329)( + + + + ) = 0 327 326 325 324 5 ⇔ x + 329 = 0 ⇔ x = −329 (0,5® ) b, a.T×m x, biÕt: 5x 3 x = 7 ⇔ 5x− 3 = x + 7 (1) (0,25 ®) §K: x ≥ 7 (0,25 ®) 5x− 3 = x + 7 ()1 ⇒  − = − + . (0,25 ®) 5x 3() x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa mn ®iÒu kiÖn ®Çu bi. x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®). C©u 2: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a, S = 1− + − + + − ; 7S = 7 −1+ − + − − (0.5®) 7 7 2 73 7 4 7 2007 7 7 2 73 7 2006 1 7 − 1 2007 8S = 7 − ⇒ S = 7 (0,5®) 7 2007 8 1 2 3 99 2 −1 3 −1 100 −1 b, + + + + = + + + (0,5®) 2! 3! 4! 100! 2! 3! 100! 1 = 1− < 1 (0,5®) 100! c, Ta cã 3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n = 3n+2 + 3n − 2( n+2 − 2n ) (0,5®) 3n .10 − 2n .5 = 3n .10 − 2n−2.10 = 10(3n − 2n−2 )⋮10 (0,5®) C©u 3: Gäi ®é di 3 c¹nh l a , b, c, 3 chiÒu cao t−¬ng øng l x, y, z, diÖn tÝch S ( 0,5® ) 2S 2S 2S a b c 2S 2S 2S a = b = c = (0,5®) ⇒ = = ⇒ = = (0,5®) x y z 2 3 4 2x 3y 4z x y z ⇒ 2x = 3y = 4z ⇒ = = vËy x, y, z tØ lÖ víi 6 ; 4 ; 3 (0,5®) 6 4 3 C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy H ∈ AC : AH = AQ ⇒ IQ = IH = IP (1 ® ) C©u5: B ; LN B; LN ⇔ 2(n −1)2 + 3 NN V× (n −1)2 ≥ 0 ⇒ 2(n −1)2 + 3 ≥ 3 ®¹t NN khi b»ng 3 (0,5®) DÊu b»ng x¶y ra khi n −1 = 0 ⇔ n = 1 33
  34. 1 vËy B ; LN ⇔ B = v n = 1 (0,5®) 3 §¸p ¸n ®Ò sè 12 C©u 1 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1 ®iÓm a) (x1) 5 = (3) 5 ⇒ x1 = 3 ⇔ x = 3+1 ⇔ x = 2 b) (x+2)( 1 + 1 + 1 − 1 − 1 ) = 0 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 + + − − ≠ 0 ⇒ x+2 = 0 ⇔ x = 2 11 12 13 14 15 c) x 2 x = 0 ⇔ ( x ) 2 2 x = 0 ⇔ x ( x 2) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0 hoÆc x 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 C©u 2 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1,5 ®iÓm 5 y 1 1− 2y a) + = , 5 + 2y = 1 , 5 = x 4 8 x 8 8 x 8 x(1 2y) = 40 ⇒ 12y l íc lÎ cña 40 . ¦íc lÎ cña 40 l : ± 1 ; ± 5 . §¸p sè : x = 40 ; y = 0 x = 40 ; y = 1 x = 8 ; y = 2 x = 8 ; y = 3 x +1 4 b) T×m x∈z ®Ó A∈Z. A= = 1+ x − 3 x − 3 4 − ∈ { } A nguyªn khi nguyªn ⇒ x 3 ¦(4) = 4 ; 2 ;1; 1; 2; 4 x − 3 C¸c gi¸ trÞ cña x l : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . C©u 3 : 1 ®iÓm 2 5x − 3 2x = 14 ⇔ 5x − 3 = x + 7 (1) §K: x ≥ 7 (0,25 ®) 5x− 3 = x + 7 ()1 ⇒  − = − + . (0,25 ®) 5x 3() x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa mn ®iÒu kiÖn ®Çu bi. x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®). C©u4. (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, 3 A B C A + B + C 180 0 = = = = = 12 7 5 3 15 15 ⇒ A= 840 ⇒ gãc ngoi t¹i ®Ønh A l 960 B = 600 ⇒ gãc ngoi t¹i ®Ønh B l 1200 C = 360 ⇒ gãc ngoi t¹i ®Ønh C l 1440 ⇒ C¸c gãc ngoi t¬ng øng tØ lÖ víi 4 ; 5 ; 6 b) 34
  35. 1) AE = AD ⇒ ∆ ADE c©n = = ⇒ E D E1 EDA 1800 − A E = (1) ∆ ABC c©n ⇒ B = C 1 2 1800 − A AB C = (2) 1 2 = Tõ (1) v (2) ⇒ E1 ABC ⇒ ED // BC a) XÐt ∆ EBC v ∆ DCB cã BC chung (3) EBC = DCB (4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) ⇒ ∆ EBC = ∆ DCB (c.g.c) ⇒ BEC = CDB = 900 ⇒ CE ⊥ AB . . §¸p ¸n ®Ò sè 13 Bi 1: 3 ®iÓm 31 183 176 12 10 175 31 12 475 ( − ) − ( − 1. − . a, TÝnh: A = 3 7 7 11 3 100 = 3 11 300 5 1 60 − 71 60 ( − ). . −1 91 4 11−1 364 11 − 31 − 19 341 57 284 1001 284284 = 3 11 = 33 = . = 1056 − 1001 55 33 55 1815 1001 1001 1001 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: +) 1 + 4 +7 + + 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) + .+ ( 49+ 52) = 101 . 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 ≈ 103,17 Bi 2: 2 §iÓm Giäi sè cÇn t×m l x, y, z. Sè nhá l x , sè lín nhÊt l z. Ta cã: x ≤ y ≤ z (1) 35
  36. 1 1 1 1 1 1 3 Theo gi¶ thiÕt: + + = 2 (2). Do (1) nªn z = + + ≤ x y z x y z x 1 1 2 VËy: x = 1. Thay vo (2) , ®−îc: + = 1 ≤ y z y VËy y = 2. Tõ ®ã z = 2. Ba sè cÇn t×m l 1; 2; 2. Bi 3: 2 §iÓm Cã 9 trang cã 1 ch÷ sè. Sè trang cã 2 ch÷ sè l tõ 10 ®Õn 99 nªn cã tÊt c¶ 90 trang. Trang cã 3 ch÷ sè cña cuèn s¸ch l tõ 100 ®Õn 234, cã tÊt c¶ 135 trang. Suy ra sè c¸c ch÷ sè trong tÊt c¶ c¸c trang l: 9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594 Bi 4 : 3 §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D sao cho ED = EA. Hai tam gi¸c vu«ng ∆ ABE = ∆ DBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; BAD = BDA . Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) v (2) Suy ra: DC = BD. VÏ tia ID l ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I ∈BC ). Hai tam gi¸c: ∆ CID v ∆ BID cã : ID l c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn). CID = IDB ( v× DI l ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy ∆ CID = ∆ BID ( c . g . c) ⇒ C = IBD . Gäi C l α ⇒ BDA = C + IBD = 2 ⇒ C = 2 α ( gãc ngoi cña ∆ BCD) m A = D ( Chøng minh trªn) nªn A = 2 α ⇒ 2α + α = 900 ⇒ α = 300 . Do ®ã ; C = 300 v A = 600 H−íng dÉn gi¶i ®Ò sè 14 Bi 1.a. XÐt 2 tr−êng hîp : * x ≥ 5 ta ®−îc : A=7. * x − − > − ≥ b. XÐt x 5 ⇒ 2x 10⇒ 2 x 3 10 3 hay A > 7. VËy : Amin = 7 khi x 5 . 1 1 1 1 Bi 2. a. §Æt : A = + + + + 52 6 2 7 2 100 2 Ta cã : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * A + + + + = − > . 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 36
  37. + + + b. Ta cã : 2a 9+ 5 a 17 − 3 a = 4a 26 = a+3 a + 3 a + 3 a + 3 4a+ 1214 + 4( a + 3)14 + 14 = = =4 + l sè nguyªn a+3 a + 3 a + 3 Khi ®ã (a + 3) l −íc cña 14 m ¦(14) = ±1; ± 2; ± 7; ± 14 . Ta cã : a = 2; 4; 1; 5; 4 ; 10; 11 ; 17. Bi 3. BiÕn ®æi : = + − + − + A12 n n( n 1) 30. §Ó A⋮6 n⇒  n( n 1) 30  ⋮ 6 n * n( n−1)⋮ n⇒ 30 ⋮ n ⇒ n ∈ ¦(30) hay n∈ {1, 2 , 3, 5 , 6 , 10 , 15 , 30}. *30⋮ 6⇒ n( n− 1) ⋮ 6⇒ n( n − 1) ⋮ 3 + n⋮3⇒ n = { 3,6,15,30} . +(n−1)⋮ 3⇒ n = { 1,10} . ⇒ n∈ {1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 30}. Thö tõng tr−êng hîp ta ®−îc : n = 1, 3, 10, 30 tho mn bi to¸n. x Bi 4. z Trªn Oy lÊy M’ sao cho OM’ = m. Ta cã : m N n»m gi÷a O, M’ v M’N = OM. d Dùng d l trung trùc cña OM’ v Oz l ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t nhau t¹i D. △ODM= △ MDNcgc'( ) ⇒ MD= ND o n i m' y ⇒ D thuéc trung trùc cña MN. d Râ rng : D cè ®Þnh. VËy ®−êng trung trùc cña MN ®i qua D cè ®Þnh. Bi 5. D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai l : f( x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Ta cã : f()()() x−1 = a x − 12 + b x − 1 + c . a = 1 2a = 1  2 f( x) − f( x −1) = 2 ax − a + b = x ⇒  ⇒  b− a = 0 b = 1  2 1 1 VËy ®a thøc cÇn t×m l : f() x= x2 + x + c (c l h»ng sè). 2 2 ¸p dông : + Víi x = 1 ta cã : 1=f( 1) − f ( 0) . + Víi x = 2 ta cã : 1=f( 2) − f ( 1) . . + Víi x = n ta cã : n= f( n) − f( n −1) . n2 n n( n +1) ⇒ S = 1+2+3+ +n = f( n) − f (0) = + +c − c = . 2 2 2 37
  38. L−u ý : Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Bi h×nh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm. §¸p ¸n ®Ò sè 15 C©u1 (lm ®óng ®−îc 2 ®iÓm) x x − 2 x x − 2 x x − 2 Ta cã: = = (0,25®) x2 +8 x − 20 x2 −2 x + 10 x − 20 (x− 2)( x + 10) §iÒu kiÖn (x2)(x+10) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2; x ≠ 10 (0,5®) MÆt kh¸c x − 2 = x2 nÕu x>2 x + 2 nÕu x 2 th× = x( x 2) = (0,5®) (x− 2)( x + 10) (x− 2)( x + 10) x +10 * NÕu x 0; y >0 ; z >0) Theo ®Ò ra ta cã x+ y + z =94(1) { 3x= 4 y = 5 z (2) (0,5®) BCNN (3,4,5) = 60 Tõ (2) ⇒ 3x = 4y = 5z hay x = y = z (0,5®) 60 60 60 20 15 12 ¸p dông tÝnh chÊt dy tû sè b»ng nhau ta cã : + + x = y = z = x y z = 94 =2 (0,5®)⇒ x= 40, y=30 v z =24 (0,5®) 20 15 12 20+ 15 + 12 47 Sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 líp 7A, 7B, 7C lÇn l−ît l 40, 30, 24. C©u 3 (lm ®óng cho 1,5®) 102006 + 53 §Ó l sè tù nhiªn ⇔ 102006 + 53 ⋮ 9 (0,5®) 9 §Ó 102006 + 53 ⋮ 9 ⇔ 102006 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 m 102006 + 53 = 1+ 0 +0 + + 0 + 5+3 = 9⋮ 9 102006 + 53 ⇒ 102006 + 53 ⋮ 9 hay l sè tù nhiªn (1®) 9 C©u 4 (3®) 38
  39. - VÏ ®−îc h×nh, ghi GT, KL ®−îc 0,25® ∆ = a, ABC cã AA1 2 (Az l tia ph©n gi¸c cña A ) = AC1 1 (Ay // BC, so le trong) = △ ⇒ A2 C 1 ⇒ ABC c©n t¹i B m BK ⊥ AC ⇒ BK l ®−êng cao cña ∆ c©n ABC ⇒ BK còng l trung tuyÕn cña ∆ c©n ABC (0,75®) hay K l trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña ∆ c©n ABH v ∆ vu«ng BAK. Cã AB l c¹ng huyÒn (c¹nh chung) =A = 0 A2 30 0 2 = = { 0 0 0 AB ( 30 ) V× = − = 2 1 B1 90 60 30 AC AC ⇒ ∆ vu«ng ABH = ∆ vu«ng BAK⇒ BH = AK m AK = ⇒ BH = (1®) 2 2 c, ∆AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) ⇒ MK l trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn ⇒ KM = AC/2 (2) Tõ (10 v (2) ⇒ KM = KC ⇒ ∆KMC c©n. 0 0 0 0 0 MÆt kh¸c ∆AMC cã M= 90 A=30⇒ MKC = 90 − 30 = 60 ⇒ ∆AMC ®Òu (1®) C©u 5. Lm ®óng c©u 5 ®−îc 1,5® X©y dùng s¬ ®å c©y v gi¶i bi to¸n §¸p ¸n : T©y ®¹t gi¶i nhÊt, Nam gi¶i nh×, §«ng gi¶i 3, B¾c gi¶i 4 §¸p ¸n ®Ò sè 16 C©u 1: (2®) 2 a) XÐt kho¶ng x ≥ ®−îc x = 4,5 phï hîp 0,25 ® 3 2 5 XÐt kho¶ng x 4 0,2® 2 3 XÐt kho¶ng x 4 hoÆc x < 1 0,1® 1 8 1 8 c) XÐt kho¶ng x ≥ Ta cã 3x 1 ≤ 7⇒ x ≤ Ta ®−îc ≤ x ≤ 3 3 3 3 1 XÐt kho¶ng x < Ta cã 3x + 1 ≤ 7 ⇒ x ≥ −2 3 39
  40. 1 Ta ®−îc − 2 ≤ x ≤ 3 8 VËy gi¸ trÞ cña x tho mn ®Ò bi l − 2 ≤ x ≤ 3 C©u 2: a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3® ⇒ = + 2 + + 101 25S 25 25 25 0,3® ⇒ 24S = 25S − S = 25101 −1 101 − VËy S = 25 1 0,1® 24 b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8® VËy 230+330+430> 3.224 0,2® C©u 3: a) H×nh a. AB//EF v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau EF//CD v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau VËy AB//CD b) H×nh b. AB//EF V× cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau 0,4® CD//EF v× cã cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau 0,4® VËy AB//CD 0,2® C©u 4: (3®) a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung ®iÓm AP 0,3 ® BP võa l ph©n gi¸c võa l trung tuyÕn nªn còng l ®−êng cao BD ⊥ AP 0,2® T−¬ng tù ta chøng minh ®−îc BE ⊥ AQ 0,5 ® b) AD = DP ∆DBP = ∆BDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD 0,5 ® ⇒ ∆MBE = ∆MAD( )c g c ⇒ ME = MD 0,3® BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B l trung ®iÓm cña PQ 0,2® c) ∆BDE vu«ng ë B, BM l trung tuyÕn nªn BM = ME 0,4® ∆ADB vu«ng ë D cã DM l trung tuyÕn nªn DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2® C©u 5: 1® 10 10 A = 1+ A lín nhÊt → lín nhÊt 0,3® 4 − x 4 − x XÐt x > 4 th× 10 0 →a lín nhÊt →4 x nhá nhÊt ⇒ x = 3 0,6® 4 − x 40
  41. §¸p ¸n ®Ò sè 17 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ). a/. 4x + 3 x = 15. b/. 3x − 2 x > 1. ⇔ 4x + 3 = x + 15 ⇔ 3x − 2 > x + 1 * Tr−êng hîp 1: x ≥ 3 , ta cã: * Tr−êng hîp 1: x ≥ 2 , ta cã: 4 3 4x + 3 = x + 15 3x 2 > x + 1 3 ⇒ x = 4 ( TM§K). ⇒ x > ( TM§K). 2 * Tr−êng hîp 2: x 3 hoÆc x < 1 . 5 2 4 c/. 2x + 3 ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2x + 3 ≤ 5 ⇔ −4 ≤x ≤ 1 C©u 2: a/.Ta cã: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007 ( 1 ) ( 7)A = (7)2 + ( 7)3 + + ( 7)2007 + ( 7)2008 ( 2) ⇒ 8A = ( 7) – (7)2008 Suy ra: A = 1 .[( 7) – (7)2008 ] = 1 ( 72008 + 7 ) 8 8 * Chøng minh: A ⋮ 43. Ta cã: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng. Nhãm 3 sè liªn tiÕp thnh mét nhãm (®−îc 669 nhãm), ta ®−îc: A=[( 7) + (7)2 + ( 7)3] + + [( 7)2005 + ( 7)2006 + ( 7)2007] = ( 7)[1 + ( 7) + ( 7)2] + + ( 7)2005. [1 + ( 7) + ( 7)2] = ( 7). 43 + + ( 7)2005. 43 = 43.[( 7) + + ( 7)2005] ⋮ 43 VËy : A ⋮ 43 b/. * §iÒu kiÖn ®ñ: NÕu m ⋮ 3 v n ⋮ 3 th× m2 ⋮ 3, mn ⋮ 3 v n2 ⋮ 3, do ®ã: m2+ mn + n2 ⋮ 9. * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m n)2 + 3mn. (*) 41
  42. NÕu m2+ mn + n2 ⋮ 9 th× m2+ mn + n2 ⋮ 3, khi ®ã tõ (*),suy ra: ( m n)2 ⋮ 3 ,do ®ã ( m n) ⋮ 3 v× thÕ ( m n)2 ⋮ 9 v 3mn ⋮ 9 nªn mn ⋮ 3 ,do ®ã mét trong hai sè m hoÆc n chia hÕt cho 3 m ( m n) ⋮ 3 nªn c¶ 2 sè m,n ®Òu chia hÕt cho 3. C©u 3: Gäi ®é di c¸c c¹nh tam gi¸c l a, b, c ; c¸c ®−êng cao t−¬ng øng víi c¸c c¹nh ®ã l ha , hb , hc . Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5 Hay: 1 (h +h ) = 1 ( h + h ) = 1 ( h + h ) = k ,( víi k ≠ 0). 3 a b 4 b c 5 a c Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k . Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: ha + hb + hc = 6k. Tõ ®ã ta cã: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k. MÆt kh¸c, gäi S l diÖn tÝch △ABC , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc ⇒ a.2k = b.k = c.3k a b c ⇒ = = 3 6 2 C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC ≤ DB. * NÕu DC = DB th× △BDC c©n t¹i D nªn DBC = A BCD .Suy ra: ABD = ACD .Khi ®ã ta cã: △ADB = △ADC (c_g_c) . Do ®ã: ADB = ADC ( tr¸i víi gi¶ thiÕt) . * NÕu DC ACD ( 1 ) . XÐt △ADB v △ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC DB. C©u 5: ( 1 ®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x− y ≥ x y , ta cã: A = x −1004 x +1003 ≤ (x− 1004) − ( x + 1003) = 2007 VËy GTLN cña A l: 2007. DÊu “ = ” x¶y ra khi: x ≤ 1003. H−íng dÉn chÊm ®Ò 18 42
  43. C©u 1a (1 ®iÓm ) XÐt 2 tr−êng hîp 3x2 ≥ 0. 3x 2 kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ no cña x tho¶ mn. b(1 ®iÓm ) XÐt 2 tr−êng hîp 2x +5 ≥ 0 v 2x+5 kÕt luËn. C©u 2a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m l abc abc ⋮18=> abc ⋮ 9. VËy (a+b+c) ⋮ 9 (1) Ta cã : 1 ≤ a+b+c ≤ 27 (2) Tõ (1) v (2) suy ra a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 (3) + + Theo bi ra a = b = c = a b c (4) 1 2 3 6 Tõ (3) v (4) => a+b+c=18. v tõ (4) => a, b, c m abc ⋮ 2 => sè cÇn t×m : 396, 936. b(1 ®iÓm ) A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n3+ 74n2+74n1+74n). = (7 +72+73+74) . (1+74+78+ +74n4). Trong ®ã : 7 +72+73+74=7.400 chia hÕt cho 400 . Nªn A ⋮ 400 C©u 3a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : C2 + CBy = 2v (gãc trong cïng phÝa) (1) α γ 0 ⇒ C1 + CAx = 2v V× theo gi¶ thiÕt C1+C2 + + = 4v =360 . VËy Cz//Ax. (2) Tõ (1) v (2) => Ax//By. C©u 4(3 ®iÓm) ∆ ABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trªn AB lÊy AE =AD. CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC) ∆ AED c©n, DAE = 400: 2 =200. => ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoi cña ∆ EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ sao cho AC’ = AC. C ∆ CAD = ∆ C’AD ( c.g.c) D  AC’D = 1000 v DC’E = 800. VËy ∆ DC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) v (2) cã EB=DC’. A C E B M DC’ =DC. VËy AD +DC =AB. C©u 5 (1 ®iÓm). S=(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+ + (3)2004. 3S= (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + +(3)2004] = (3)1+ (3)2+ +(3)2005] 3SS=[(3)1 + (3)2+ +(3)2005](3)0(3)1 (3)2005. − 2005 − 2005 + 4S = (3)2005 1. S = ( )3 1 = 3 1 − 4 4 43
  44. §¸p ¸n ®Ò 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bi 1: Ta cã : − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( + + + + + + + + ) 1® 1.2 2 3 3.4 4 5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − + − + − + + − + − ) 1® 1 2 2 3 3 4 8 9 9 10 1 1 − 9 = ( − ) = 0,5® 1 10 10 Bi 2: A = x − 2 + 5 − x Víi x 3 0,5® Víi 2 ≤ x ≤ 5 th× A = x2 –x+5 = 3 0,5® Víi x>5 th× A = x2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 3 2 ≤ x ≤ 5 1® A Bi 3: a. Trªn tia ®èi cña tia OC lÊy ®iÓm N sao cho ON = OC .Gäi M l trung ®iÓm cña BC. G nªn OM l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c BNC. O H 1 Do ®ã OM //BN, OM = BN B C 2 Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC M AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T−¬ng tù AN//BH Do ®ã NB = AH. Suy ra AH = 2OM (1®) b. Gäi I, K theo thø tù l trung ®iÓm cña AG v HG th× IK l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c AGH nªn IK// AH IK = 1 AH => IK // OM v IK = OM ; 2 ∠ KIG = ∠ OMG (so le trong) ∆ IGK = ∆ MGO nªn GK = OG v ∠ IGK = ∠ MGO Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hng 1® Do GK = OG m GK = 1 HG nªn HG = 2GO 2 §−êng th¼ng qua 3 ®iÓm H, G, O ®−îc gäi l ®−êng th¼ng ¬ le. 1® Bi 4: Tæng c¸c hÖ sè cña mét ®a thøc P(x) bÊt kú b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc ®ã t¹i x=1. VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (34x+x2)2006 . (3+4x + x2)2007 B»ng P(1) = (34+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5® 44
  45. §¸p ¸n ®Ò 20 C©u 1: Ta cã: 220 ≡ 0 (mod2) nªn 22011969 ≡ 0 (mod2) 119 ≡ 1(mod2) nªn 11969220 ≡ 1(mod2) 69 ≡ 1 (mod2) nªn 69220119 ≡ 1 (mod2) VËy A ≡ 0 (mod2) hay A ⋮ 2 (1®) T−¬ng tù: A ⋮ 3 (1®) A ⋮ 17 (1®) V× 2, 3, 17 l c¸c sè nguyªn tè ⇒ A ⋮ 2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x 0 ⇒ x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x 5/3 ⇒ x = 3,5 (0,5®) Bi 3: a) DÔ dng chøng minh ®−îc IH = 0M A IH // 0M do ∆ 0MN = ∆ HIK (g.c.g) I E Do ®ã: ∆IHQ = ∆ M0Q (g.c.g) ⇒ QH = Q0 F H N QI = QM P b) ∆ DIM vu«ng cã DQ l ®−êng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M C Nh−ng QI l ®−êng trung b×nh cña ∆ 0HA nªn c) T−¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bi 4(1®): V× 3|x5| ≥ 0 ∀x ∈ R Do ®ã A = 10 3|x5| 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt l 10 ⇔ |x5| = 0 ⇔ x = 5 §¸p ¸n ®Ò 21 Bi 1. 45
  46. §iÒu kiÖn x ≥ 0 (0,25®) 9 a) A = (0,5®) 7 b) x + 3 > 0 ⇒ A = 1 ⇔ x − 5 = − x − 3 ⇒ x = 1 (0,5®) 8 c) Ta cã: A = 1 . (0,25®) x + 3 §Ó A ∈ Z th× x + 3 l −íc cña 8 ⇒ x = {1; 25} khi ®ã A = { 1; 0} (0,5®) Bi 2. x −1 ≥ 0 x ≥ 1 − = − ⇔ ⇔  ⇔ = a) Ta cã: 7 x x 1  2  x 3 (1®) 7 − x = (x − )1 x = ;3 x = −2 b) Ta cã: 2M = 2 – 22 + 23 – 24 + 22006 + 22007 (0,25®) 2007 + ⇒ 3M = 1 + 22007 (0,25®) ⇒ M = 2 1 (0,5®) 3 c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 ≥ 1 víi mäi x ⇒ §PCM. (1®) ABCˆˆ ˆ 1800 Bi 3. Ta cã: = = = = 300 ⇒ ABCˆ=300 ;ˆ = 60 0 ; ˆ = 90 0 (0,5®) 1 2 3 6 VËy tam gi¸c ABC l tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bi 4. GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H ∈ AC sao cho AH = AN (0,5®) Tõ ®ã chøng minh IH = IN = IM (1®) Bi 5. A = 1 + 2000 (0,5®) A ⇔ 6 – x > 0 v nhá nhÊt 6 − x Max ⇒ 6 – x = 1 ⇒ x = 5. VËy x = 5 tho mn ®iÒu kiÖn bi to¸n khi ®ã A Max= 2001 (0,5®) §¸p ¸n ®Ò 22 C©u 1: (2.5®) 15 20 15 40 55  1   1   1   1   1  a. a1.   .  =   .  =   (0.5®)  2   4   2   2   2  25 30 50 30 20  1   1   1   1    a2.   :   =   :   =   (0.5®)  9   3   3   3   3  5 4 − 9 10 8 − b. A = 4 .9 6.2 = 2 .3 .(1 )3 = 1 (0.5®) 210 3. 8 + 68 .20 210 .38 (1+ )5 3 c. c1. 7 = 0.(21) c2. 7 = 0,3(18) (0.5®) 33 22 46
  47. c3. 0,(21) = 21 = 7 ; c4. 5,1(6) = 5 1 (0.5®) 99 33 6 C©u 2: (2®) Gäi khèi l−îng cña 3 khèi 7, 8, 9 lÇn l−ît l a, b, c (m3) ⇒ a + b + c = 912 m3. (0.5®) a b c ⇒ Sè häc sinh cña 3 khèi l : ; ; 2,1 4,1 6,1 Theo ®Ò ra ta cã: b = a v b = c (0.5®) 1,4.3 2,1 4,1.4 6,1.5 a b c ⇒ = = = 20 (0.5®) 2,1.4 12.1,4 15.1,6 VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3. Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, 9 lÇn l−ît l: 80 hs, 240 hs, 300 hs. (0.5®) C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A. 3 Ta cã: (x + 2)2 ≥ 0 ⇒ (x = 2)2 + 4 ≥ 4 ⇒ A = khi x = 2 (0.75®) max 4 b.T×m min B. Do (x – 1)2 ≥ 0 ; (y + 3)2 ≥ 0 ⇒ B ≥ 1 VËy Bmin= 1 khi x = 1 v y = 3 (0.75®) ∆ C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E. Ta cã EAB c©n C t¹i E ⇒ ∠EAB =300 ⇒ ∠EAM = 200 ⇒ ∠CEA = ∠MAE = 200 (0.5®) Do ∠ACB = 800 ⇒ ∠ACE = 400 ⇒ ∠AEC = 1200 ( E 1 ) (0.5®) M 0 MÆt kh¸c: ∠EBC = 200 v ∠EBC = 400 ⇒ ∠CEB = 100 30 A H B 1200 ( 2 ) (0.5®) Tõ ( 1 ) v ( 2 ) ⇒ ∠AEM = 1200 Do ∆EAC = ∆EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ ∆MAC c©n t¹i A (0.5®) V ∠CAM = 400 ⇒ ∠AMC = 700. (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2 v a + b kh«ng nguyªn tè cïng nhau ⇒ a2 v a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒ a2 chia hÕt cho d ⇒ a chia hÕt cho d v a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®) ⇒ (a,b) = d ⇒ tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy (a2,a + b) =1. (0.5®) §Ò 23 47
  48. C©u I : 1) X¸c ®Þnh a, b ,c a −1 b + 3 c − 5 (5 a − )1 − (3 b + )3 − (4 c − )5 5a − 3b − 4c − 5 − 9 + 20 = = = = = = = −2 2 4 6 10 −12 − 24 10 −12 − 24 => a = 3 ; b = 11; c = 7. − + − C¸ch 2 : a 1 = b 3 = c 5 = t ; sau ®ã rót a, b ,c thay vo t×m t = 2 t×m a,b,c. 2 4 6 2) Chøng minh §Æt a = c = k => a= kb ; c = kd Thay vo c¸c biÓu thøc : b d 2a 2 − 3ab + 5b 2 2c 2 − 3cd + 5d 2 k 2 − 3k + 5 k 2 − 3k + 5 − = − = 0 => ®pcm. 2b 2 + 3ab 2d 2 + 3cd 2 + 3k 2 + 3k C©u II: TÝnh: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 16 1) Ta cã :2A= 2( + + + ) = − + − + + − = − = =>A = 3.5 5.7 97.99 3 5 5 7 97 99 3 99 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2) B = = − + − + + − = + + + + + 3 32 33 350 351 (− )3 (−32 ) (−33 ) (−350 ) (−351 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 − 351 −1 (−351 − )1 + + + + => B = − = => B = (−32 ) (−33 ) (− )3 4 (−351 ) (−352 ) − 3 − 3 (−352 ) 352 4.351 C©u III 2 1 2 3 1 7 Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = + . 0,(1).3 = + . = 10 10 10 10 9 30 1 1 12 32 1 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ .0,(32)= 0,12+ .0,(01).32 = + . 1000 1000 100 1000 99 = 1489 12375 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai l : P(x) = ax(x1)(x2) + bx(x1)+c(x3) + d P(0) = 10 => 3c+d =10 (1) P(1) = 12 => 2c+d =12 =>d =12+2c thay vo (1) ta cã 3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= 4 => 2b 2+16 = 4 > b= 5 P(3) = 1 => 6a30 +16 =1 => a = 5 2 5 VËy ®a thøc cÇn t×m l : P(x) = x( x −1)(x − 2) − 5x( x −1) + 2(x − 3) + 16 2 5 25 => P(x) = x 3 x 2 + 12x + 10 2 2 C©u V: a) DÔ thÊy ∆ ADC = ∆ ABE ( cgc) => DC =BE . V× AE ⊥ AC; AD ⊥ AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE 48 m tra
  49. => DC ⊥ Víi BE. b) Ta cã MN // DC v MP // BE => MN ⊥ MP MN = 1 DC = 1 BE =MP; 2 2 VËy ∆ MNP vu«ng c©n t¹i M. §¸p ¸n ®Ò 24 Bi 1: 3− 3 + 3 + 3 3 + 3 − 3 a) A = 8 10 11 12+ 2 3 4 (0,25®) −5 + 5 − 5 − 5 5 + 5 − 5 8 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1   1 1 1  3− + +  3  + −  A = 8 10 11 12 +  2 3 4  (0,25®) 1 1 1 1   1 1 1  −5 − + +  5  + −  8 10 11 12   2 3 4  − A = 3 + 3 = 0 (0,25®) 5 5 102 − b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B = 2 1 (0,25®) 3 Bi 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 3.2410 = 230.311 (0,25®) m 415 > 311 ⇒ 430 > 311 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) 4 = 36 > 29 33 > 14 (0,25®) ⇒ 36 + 33 > 29 + 14 (0,25®) Bi 3: Gäi x1, x2 x3 lÇn l−ît l sè ngy lm viÖc cña 3 m¸y x x x ⇒ 1= 2 = 3 (1) (0,25®) 3 4 5 Gäi y1, y2, y3 lÇn l−ît l sè giê lm viÖc cña c¸c m¸y y y y ⇒ 1= 2 = 3 (2) (0,25®) 6 7 8 Gäi z1, z2, z3 lÇn l−ît l c«ng suÊt cña 3 m¸y z z z ⇒ 5z = 4z = 3z ⇔ 1= 2 = 3 (3) (0,25®) 1 2 3 1 1 1 5 4 3 M x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) 49
  50. x y z x y z x y z 395 Tõ (1) (2) (3) ⇒ 1 1 1= 2 2 2 = 3 3 3 = = 15 (0,5®) 187 40 395 5 3 15 ⇒ x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®) VËy sè thãc mçi ®éi lÇn l−ît l 54, 105, 200 (0,25®) Bi 4: a) EAB = CAD (c.g.c) (0,5®) ⇒ ABM = ADM (1) (0,25®) Ta cã BMC= MBD + BDM (gãc ngoi tam gi¸c) (0,25®) 0 0 0 ⇒ BMC= MBA +60 + BDM = ADM + BDM + 60 = 120 (0,25®) E b) Trªn DM lÊy F sao cho MF = MB (0,5®) A ⇒ FBM ®Òu (0,25®) D ⇒ DFB AMB (c.g.c) (0,25®) F ⇒ DFB = AMB = 1200 (0,5®) Bi 6: Ta cã M 1 x= 2⇒ f (2)+ 3. f ( ) = 4 (0,25®) 2 B C 1 1 1 x= ⇒ f( )+ 3. f (2) = (0,25®) 2 2 4 47 ⇒ f (2) = (0,5®) 32 ®¸p ¸n ®Ò 25 C©u 1 a.NÕu x ≥ 0 suy ra x = 1 (tho mn) NÕu < 0 suy ra x = 3 (tho mn) 1 x 1 x − 3 y =1 y = −1 y = 2 b. = − = ⇒  ; hoÆc  ;hoÆc  y 6 2 6 x − 3 = 6 x − 3 = −6 x −3 = 3 y = −3 y = 6 y = −6 hoÆc  ;hoÆc  ; hoÆc  x −3 = − 2 x −3 = 1 x −3 = − 1 y = −2 y = 3 hoÆc  ; hoÆc  x −3 = − 3 x −3 = 2 Tõ ®ã ta cã c¸c cÆp sè (x,y) l (9,1); (3, 1) ; (6, 2) ; (0, 2) ; (5, 3) ; (1, 3) ; (4, 6); (2, 6) x y z3 x 7 y 5 z 3 x− 7 y + 5 z 30 c. Tõ 2x = 3y v 5x = 7z biÕn ®æi vÒ = = ⇒ = = = = = 2 21 14 10 61 89 50 63− 89 + 50 15  x = 42; y = 28; z = 20 C©u 2 50
  51. a. A l tÝch cña 99 sè ©m do ®ã 1 1 1 1 1.32.45.3 99.101 − = −  −  −   −  = i i iii A 1  1  1   1 2  2 2 2 2 4  9  16   100  234 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 1 =i = > ⇒ A 900  gãc AIB 900 d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u 5. 4−x + 10 10 10 P = =1 + P lín nhÊt khi lín nhÊt 4−x 4 − x 4 − x XÐt x > 4 th× 10 0 4 − x  10 lín nhÊt  4 – x l sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt 4 − x  4 – x = 1  x = 3 khi ®ã 10 = 10  P = 11. 4 − x lín nhÊt 51
  52. H−íng dÉn chÊm ®Ò 26 Bi 1 : a) T×m x . Ta cã 2x − 6 + 5x =9 2x − 6 = 95x 15 * 2x –6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 khi ®ã 2x –6 = 95x ⇒ x = kh«ng tho mn. (0,5) 7 * 2x – 6 1 . §Ó A = 5 tøc l = 5 ⇔ x = ⇔ x = . (1) x −1 2 4 Bi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra : tam gi¸c NEC c©n v ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n . v DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoi cña ∆CDM ) = 2DCM. 52
  53. T−¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . M AEN = ABC (gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän). MDB = CAB (gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450 . VËy MCN = 900 –450 =450 . (1,5) Bi 5 : Ta cã P = x2 –8x + 5 = x2 –8x –16 +21 = ( x2 +8x + 16) + 21 = ( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ≤ 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 ≤ 21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = 4 Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt l 21. h−íng dÉn ®Ò 27 C©u 1: (3®) b/ 21.2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n1 .9 =9. 25 suy ra n1 = 5 suy ra n=6. 0,5® c/ 3n+22n+2+3n2n=3n(32+1)2n(22+1) = 3n.102n.5 0,5® v× 3n.10 ⋮10 v 2n.5 = 2n1.10 ⋮10 suy ra 3n.102n.5 ⋮10 0,5® Bi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn l−ît l sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z v x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 m x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 7(43431717) b/ 0,7(43431717) = 0,5®10 Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 v× 434 tËn cïng l 1 cßn 433 tËn cïng l 7 suy ra 4343 tËn cïng bëi 7 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng l 1 suy ra (174)4 cã tËn cïng l 1 suy ra 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 7 0,5® suy ra 4343 v 1717 ®Òu cã tËn cïng l 7 nªn 43431717 cã tËn cïng l 0 suy ra 43431717 chia hÕt cho 10 0,5® suy ra 0,7(43431717) l mét sè nguyªn. Bi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB= ∆ NEC suy ra DN=EN 0,5® 53
  54. b/ MDI= NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I l trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gäi H l ch©n ®−êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã AHB= AHC suy ra HAB=HAC 0,5® gäi O l giao AH víi ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× OAB= OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® OIM= OIN suy ra OM=ON 0,5® suy ra OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) v (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5® VËy ®iÓm O cè ®Þnh. §¸p ¸n ®Ò 28 C©u 1: (2®). a. a + a = 2a víi a ≥ 0 (0,25®) Víi a < 0 th× a + a = 0 (0,25®). b. a a Víi a≥ 0 th× a a = a – a = 0 Víi a< 0 th× a a = a a = 2a c.3(x – 1) 2x + 3 Víi x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 Ta cã: 3(x – 1) – 2 x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5®) Víi x + 3 < 0 → x< 3 Tacã: 3(x – 1) 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5®). C©u 2: T×m x (2®). a.T×m x, biÕt: 5x 3 x = 7 ⇔ 5x− 3 = x + 7 (1) (0,25 ®) §K: x ≥ 7 (0,25 ®) 5x− 3 = x + 7 ()1 ⇒  − = − + . (0,25 ®) 5x 3() x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa mn ®iÒu kiÖn ®Çu bi. x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®). b. 2x + 3 4x < 9 (1,5®) ⇔2x + 3 < 9 + 4x (1) 9 §K: 4x +9 ≥ 0 ⇔ x ≥ − (1) ⇔ −(4x + 9) < 2 x − 3 < 4 x + 9 4 −2 <x < − 3 (t/m§K) (0,5®). C©u 3: 54
  55. Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m l a, b, c. V× sè cn t×m chia hÕt 18 → sè ®ã ph¶i chia hÕt cho 9. VËy (a + b + c ) chia hÕt cho 9. (1) (0,5®). Tacã: 1 ≤ a + b + c ≤ 27 (2) V× 1 ≤ a ≤ 9 ; b ≥ 0 ; 0 ≤ c ≤ 9 Tõ (1) v (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3). Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5®). V× sè cn t×m chia hÕt 18 nªn võa chia hÕt cho 9 võa chia hÕt cho 2 → ch÷ sè hng ®¬n vÞ ph¶i l sè ch½n. VËy ssè cn t×m l: 396 ; 963 (0,5®). VÏ h×nh ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®óng (0,5®). Qua N kÎ NK // AB ta cã. EN // BK ⇒ NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) ⇒ AD = NK (1) Häc sinh chøng minh ∆ ADM = ∆ NKC (gcg) (1®) ⇒ DM = KC (1®) §¸p ¸n ®Ò 29 102007 + 10 9 Bi 1: Ta cã: 10A = = 1 + (1) 102007+ 1 10 2007 + 1 102008 + 10 9 T−¬ng tù: 10B = = 1 + (2) 102008+ 1 10 2008 + 1 9 9 Tõ (1) v (2) ta thÊy : > ⇒ 10A > 10B⇒ A > B 102007+ 1 10 2008 + 1 Bi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:             −1 − 1 − 1 A = 1+  .  1 +   1 +  (1 2).2   (1 3).3   (1 2006)2006  2   2   2  2 5 9 2007.2006− 2 4 10 18 2007.2006 − 2 = . . = . . (1) 3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 M: 2007.2006 2 = 2006(2008 1) + 2006 2008 = 2006(2008 1+ 1) 2008 = 2008(2006 1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) v (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 A = . . = = = 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 55
  56. x 1 1 1 x 1 Bi 3:(2®iÓm) Tõ: − = ⇒ = − 8 y 4 y 8 4 1 x - 2 Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã : = . Do ®ã : y(x2) =8. y 8 §Ó x, y nguyªn th× y v x2 ph¶i l −íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t−¬ng øng cÇn t×m trong b¶ng sau: Y 1 1 2 2 4 4 8 8 x2 8 8 4 4 2 2 1 1 X 10 6 6 2 4 0 3 1 Bi 4:(2 ®iÓm) Trong tam gi¸c tæng ®é di hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: b + c > a. Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1) T−¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®−îc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c ABK c¾t ®−êng th¼ng CK ë I. A Ta cã: △IBC c©n nªn IB = IC. 0 △BIA = △CIA (ccc) nªn BIA= CIA = 120 . Do ®ã: I △BIA =△BIK (gcg) ⇒ BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: K C 0 BAK = 70 B §¸p ¸n ®Ò 30 Bi 1. 4® a) 74( 72 + 7 – 1) = 74. 55 ⋮ 55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) 1® 51 −1 Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – 1 => A = 5 4 1® Bi 2. 4® a b c a2 b 3 c a+ 2 b − 3 c − 20 a) = =  = = = = = 5 => a = 10, b = 15, c =20. 2 3 4 2 6 12 2+ 6 − 12 − 4 2® 56
  57. b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù l x, y, z ( x, y, z ∈N *) 0,5® Theo bi ra ta cã: x + y + z = 16 v 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5® BiÕn ®æi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 20000x 50000 y 100000 z x y z x+ y + z 16 => = = ⇔ = = = = = 2 100000 100000 100000 5 2 1 5+ 2 + 1 8 0,5® Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù l 10; 4; 2. 0,5® Bi 3. 4® a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 1 x 1 4 4 1® f(x) g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 1 x + 1 4 4 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = 1 A = (1)2 + (1)4 + (1)6 + + (1)100 = 1 + 1 + 1 + + 1 = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bi 4. 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® phÇn b) 2® b a) ∆ ABD = ∆ EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ∆ ABD = ∆ EBD nªn gãc A b»ng gãc BED e Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 c a d Bi 5: 4® a) Tam gi¸c ABC v tam gi¸c ABG cã: a DE//AB, DE = 1 AB, IK//AB, IK= 1 AB 2 2 i e Do ®ã DE // IK v DE = IK G b) ∆ GDE = ∆ GIK (g. c. g) v× cã: DE = IK (c©u a) k Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) c Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) b d 2 ⇒ GD = GI. Ta cã GD = GI = IA nªn AG = AD 3 VÏ h×nh: 0,5® PhÇn a) ®óng: 2® PhÇn b) ®óng: 1,5® 57