›
›
›

30 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Nguyễn Thanh Huyền (Có đáp án)

doc 92 trang thaodu 8731
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "30 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Nguyễn Thanh Huyền (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doc30_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_7_nguyen_thanh_huyen_co.doc

Nội dung text: 30 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Nguyễn Thanh Huyền (Có đáp án)

  1. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 1 C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n 2 h·y so s¸nh: 1 1 1 1 a. A= víi 1 . 22 32 42 n2 1 1 1 1 b. B = víi 1/2 22 42 62 2n 2 3 4 n 1 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña , víi 2 3 4 n 1 2 3 n C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l­ît ®é dµi hai ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho AB cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ a b c lµ c¸c sè h÷u tØ. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  2. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 2: Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính  1 1 2  2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4  6 2 5  3 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b2 c2 b a2 c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 4 2 b) x x 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC 2 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8(x 2009) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  3. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H BE = 50o ; M EB =25o . Tính H EM và B ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  4. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 4 Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho A = 2-5+8-11+14-17+ +98-101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bµi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z vµ x 2y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90. y z 1 x z 2 x y 3 1 c, x y z x y z Bµi 3: ( 1 ®iÓm) a1 a2 a3 a8 a9 1. Cho vµ (a1+a2+ +a9 ≠0) a2 a3 a4 a9 a1 Chøng minh: a1 = a2 = a3= = a9 a b c a b c 2. Cho tØ lÖ thøc: vµ b ≠ 0 a b c a b c Chøng minh c = 0 Bµi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 lµ ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5)  2 Bµi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax vµ By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D vµ F sao cho AC = BD vµ AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt=== GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  5. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 5 Bµi 1: (3 ®iÓm)  1  4,5: 47,375 26 18.0,75 .2,4 : 0,88  3  1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:   2 5 17,81:1,37 23 :1 3 6 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: 2x 27 2007 3y 10 2008 0 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab lµ b×nh ph­¬ng cña sè tù nhiªn. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) x 1 y 2 z 3 1. T×m x,y,z biÕt: vµ x-2y+3z = -10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 a3 b3 c3 a Chøng minh r»ng: b3 c3 d 3 d Bµi 3: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: 10 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = -18-2x 6 3y 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  6. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 6 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a, 5x-3 4 c, 4- x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + 8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD HÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  7. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 7 Thêi gian lµm bµi: 120 phót 3 a b c a b c a C©u 1 . ( 2®) Cho: . Chøng minh: . b c d b c d d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = . b c a b c a C©u 3. (2®). T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E BC, BH AE, CK  AE, (H,K AE). Chøng minh MHK vu«ng c©n. HÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  8. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 8 Thêi gian lµm bµi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn. T×m a ? a c 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc ( a,b,c ,d 0, a b, c d) ta suy ra ®­îc c¸c tØ b d lÖ thøc: a c a b c d a) . b) . a b c d b d C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d víi a<b<c<d. C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ. a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. x A B y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l­ît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 AN + BP + CM = AP + BM + CN HÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  9. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 9 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(2®): 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + 23 24 25 2100 b) T×m n Z sao cho : 2n - 3  n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x - 2x 1 = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50. 213 C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña 70 chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hµng. 1 1 C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + = 7 y HÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  10. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 10 Thêi gian lµm bµi: 120’. C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = . 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 b) B = 1+ (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 26 1 vµ 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: 10 . 1 2 3 100 C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x 2001 x 1 hÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  11. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 11 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 a, + + + + =0 327 326 325 324 5 b, 5x 3 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007 1 1 1 1 a, TÝnh tæng: S 7 7 7 7 1 2 3 99 b, CMR: 1 2! 3! 4! 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d­¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t­¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B 600 hai ®­êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2(n 1) 2 3 hÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  12. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) x 1 5 = - 243 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b) 11 12 13 14 15 c) x - 2x = 0 (x 0 ) C©u 2 : (3®) 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : x 4 8 x 1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = (x 0 ) x 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x 3 - 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t­¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo . b, Cho ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . HÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  13. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 13 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi1( 3 ®iÓm) 1 1 176 12 10 10 (26 ) ( 1,75) a, TÝnh: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91 0,25). 1 11 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d­¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ABC vu«ng t¹i B, ®­êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. hÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  14. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 14 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm). Cho A x 5 2 x. a.ViÕt biÓu thøc A d­íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 a.Chøng minh r»ng : . 6 52 62 72 1002 4 2a 9 5a 17 3a b.T×m sè nguyªn a ®Ó : lµ sè nguyªn. a 3 a 3 a 3 Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : A n 5 n 6 6n. Bµi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §­êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f x f x 1 x ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. HÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  15. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phót x x 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= x2 8x 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau. 102006 53 C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. AC b, BH = 2 c, ΔKMC ®Òu GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  16. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. HÕt §Ò sè 16: Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x 2 x 7 b) 2x 3 5 c) 3x 1 7 d) 3x 5 2x 3 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+ + 5200 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®­êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®­êng th¼ng MN lÇn l­ît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®­êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh: a) BD  AP; BE  AQ; b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  17. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 14 x C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A= Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? 4 x T×m gi¸ trÞ ®ã. HÕt §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4x 3 - x = 15. b. 3x 2 - x > 1. c. 2x 3 5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 lµ: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh­ thÕ nµo,biÕt nÕu céng lÇn l­ît ®é dµi tõng hai ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng nµy tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB > ADC . Chøng minh r»ng: DB < DC. C©u 5: ( 1 ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc: A = x 1004 - x 1003 . HÕt GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  18. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò sè 18 C©u 1 (2 ®iÓm): T×m x, biÕt : a. 3x 2 +5x = 4x-10 b. 3+ 2x 5 > 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt + +  = 1800 chøng minh Ax// By. A x C   B y GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  19. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC =1000. KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004. HÕt §Ò sè 19 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x 2 5 x Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l­ît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm cña 3 ®­êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  20. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 HÕt §Ò 20 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x x 2 3 ; b. 3x 5 x 2 C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®­êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 vµ IM c¾t nhau t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) H·y suy ra c¸c kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ kÕt qu¶ ë c©u b. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  21. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 - 3|x-5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. HÕt §Ò 21: x 5 Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = x 3 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 4 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 x x 1 b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + +(- 2)2006 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  22. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN 2006 x Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ 6 x lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. HÕt §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: 15 20 25 30 1 1 1 1 a. . b. : 2 4 9 3 45.94 2.69 2. Rót gän: A = 210.38 68.20 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n d­íi d¹ng ph©n sè vµ ng­îc l¹i: 7 7 a. b. c. 0, (21) d. 0,5(16) 33 22 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  23. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®­îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®­îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: 3 a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = (x 2) 2 4 b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ C = 800. Trong tam gi¸c sao cho M BA 300 vµ M AB 100 .TÝnh M AC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2,a+b) = 1. HÕt §Ò23 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®) a 1 b 3 c 5 1) Cho vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6 a c 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 2) Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh : . Víi ®iÒu b d 2b 2 3ab 2d 2 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  24. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1) A = 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 1 2) B = 3 32 33 350 351 C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD vµ BE  víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n HÕt §Ò 24 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a) A = 11 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  25. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 b) B = 1 + 22 + 24 + + 2100 Bµi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 vµ 29 + 14 Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®­îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®­îc bao nhiªu tÊn thãc. Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt: 1 1 1 1 a) 3 x3 4 b) 2x 1.2 2.3 99.100 2 Bµi 5 ( 3®): Cho ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng: a) B MC 1200 b) A MB 1200 Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu 1 cã: f (x) 3. f ( ) x2 . TÝnh f(2). x HÕt §Ò 25 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z Z, biÕt a. x x = 3 - x x 1 1 b. 6 y 2 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  26. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 1 a. Cho A =( 1).( 1).( 1) ( 1) . H·y so s¸nh A víi 2 2 32 4 2 100 2 2 x 1 b. Cho B = . T×m x Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d­¬ng x 3 C©u 3 (2®) Mét ng­êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau 1 khi ®i ®­îc qu·ng ®­êng th× ng­êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr­a. 5 TÝnh qu·ng ®­êngAB vµ ng­êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ABC cã Aˆ > 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh AIB CID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB B IC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó AC  CD 14 x C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;x Z . Khi ®ã x nhËn gi¸ 4 x trÞ nguyªn nµo? HÕt §Ò 26 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 2x 6 +5x = 9 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  27. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90). ( 12.34 – 6.68) : ; 3 4 5 6 c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101 . Bµi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l­ît ®é dµi tõng hai ®­êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8. x 1 Bµi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = . x 1 16 25 a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = vµ x = . 9 9 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bµi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®­êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M vµ N. TÝnh gãc M CN ? Bµi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? HÕt §Ò 27 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  28. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 2 2 1 3 1 1 4 5 2 a. TÝnh A = 0,25 . . . . 4 3 4 3 b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d­¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét tr­êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®­îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®­îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn l­ît ë M vµ N. Chøng minh: a. DM= ED b. §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN. c. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. HÕt §Ò 28 Thêi gian: 120 phót GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  29. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a a b. a a c. 3 x 1 2 x 3 C©u 2: T×m x biÕt: a. 5x 3 - x = 7 b. 2x 3 - 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D vµ E. Sao cho AD = BE. Qua D vµ E vÏ c¸c ®­êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M vµ N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. HÕt §Ò 29 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  30. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 102006 1 102007 1 Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: A=; B = . 102007 1 102008 1 Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 A= 1 . 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2006 x 1 1 Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: 8 y 4 Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cãB = C = 50 0 . Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao cho K BC = 100 K CB = 300 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. HÕt §Ò thi 30 Thêi gian lµm bµi: 120 phót GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  31. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 1. (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bµi 2. (4 ®iÓm) a b c a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : vµ a + 2b – 3c = -20 2 3 4 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bµi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - 1 x 4 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 1 4 TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = -1. Bµi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a)So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE. b) TÝnh sè ®o gãc BED. Bµi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 AD. 3 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  32. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 ®¸p ¸n - §Ò 1 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) 1 1 a. Do víi mäi n 2 nªn . ( 0,2 ®iÓm ) n2 n2 1 1 1 1 1 A< C = ( 0,2 ®iÓm ) 22 1 32 1 42 1 n2 1 MÆt kh¸c: 1 1 1 1 C = ( 0,2 ®iÓm) 1.3 2.4 3.5 n 1 . n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( 0,2 ®iÓm) 2 1 3 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 3 3 = 1 . 1 (0,2 ®iÓm ) 2 n n 1 2 2 4 VËy A < 1 1 1 1 1 b. ( 1 ®iÓm ). B = ( 0,25 ®iÓm ) 22 42 62 2n 2 1 1 1 1 1 = 1 ( 0,25 ®iÓm ) 22 22 32 42 n2 1 = 1 A ( 0,25 ®iÓm ) 22 1 1 1 Suy ra P < 1 1 ;Hay P < (0,25 ®iÓm ) 22 2 2 C©u 2: ( 2 ®iÓm ) k 1 Ta cã k 1 1 víi k = 1,2 n ( 0,25 ®iÓm ) k ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: k 1 1 1 1 k 1 1.1 1. k 1 k 1 1 k 1 k 1 . k 1 (0,5 ®iÓm ) k k k k 1 k 1 k k k 1 k 1 1 1 Suy ra 1 < k 1 1 ( 0,5 ®iÓm ) k k k 1 LÇn l­ît cho k = 1,2, 3, n råi céng l¹i ta ®­îc. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  33. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 3 n 1 1 n   n C©u 3 (2 ®iÓm ) Gäi ha , hb ,hc lÇn l­ît lµ ®é dµi c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bµi ta cã: h h h h h h 2 h h h h h h a b b c c a a b c a b c ( 0,4 ®iÓm ) 5 7 8 20 10 hc hb ha => => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) 5 2 3 1 1 1 MÆt kh¸c S = a.h bh ch ( 0,4 ®iÓm ) 2 a 2 b 2 c a b c => (0 , 4 ®iÓm ) 1 1 1 ha hb hc 1 1 1 1 1 1 => a :b : c = : : : : 10 :15 : 6 (0 ,4 ®iÓm ) ha hb hc 3 2 5 VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A , trªn tia Oy lÊy B sao cho OA = OB = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: OA + OB = OA + OB = 2a => AA = BB ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu Cña A vµ B trªn ®­êng th¼ng A B y Tam gi¸c HAA = tam gi¸c KB B ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => HA KB , do ®ã HK = A B (0,25 ®iÓm) Ta chøng minh ®­îc HK AB (DÊu “ = “ A trïng A B trïng B (0,25 ®iÓm) do ®ã A B AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö a b c d Q ( 0,2 ®iÓm ) => a b d a => b +b +2 bc d 2 a 2d a ( 0,2 ®iÓm) => 2bc d 2 a b c 2d a ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = d 2 a b c 2 + 4 d2a – 4b d 2 a b c a ( 0,2 ®iÓm) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  34. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 => 4 d d 2 a b c a = d 2 a b c 2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu 4 d d 2 a b c # 0 th×: d 2 a b c 2 4d 2a 4ab a lµ sè h÷u tØ (0,2 5®iÓm ) 4d(d 2 a b c) NÕu 4 d d 2 a b c = 0 th×: d =0 hoÆc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 ®iÓm ) + d = 0 ta cã : a b c 0 => a b c 0 Q (0,25 ®iÓm ) + d 2+ a-b – c = 0 th× tõ (1 ) => bc d a V× a, b, c, d 0 nªn a 0 Q ( 0,25 ®iÓm ) VËy a lµ sè h÷u tØ. Do a,b,c cã vai trß nh­ nhau nªn a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ §Ò 2: Bài 1: 3 điểm  1 1 2  2 3 18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4 =  6 2 5  3 4 109 6 15 17 38  8 19 = ( : . ) : 19 . 0.5đ  6 100 2 5 100  3 4 109 3 2 17 19  38 =  . .  : 19 1đ  6 50 15 5 50  3 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  35. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 109 2 323  19 =   : 0.5  6 250 250  3 109 13 3 = . = 0.5đ 6 10 19 506 3 253 = . 0.5đ 30 19 95 Bài 2: a c a) Từ suy ra c2 a.b 0.5đ c b a2 c2 a2 a.b khi đó 0.5đ b2 c2 b2 a.b a(a b) a = 0.5đ b(a b) b a2 c2 a b2 c2 b b) Theo câu a) ta có: 0.5đ b2 c2 b a2 c2 a b2 c2 b b2 c2 b từ 1 1 1đ a2 c2 a a2 c2 a b2 c2 a2 c2 b a hay 0.5đ a2 c2 a b2 a2 b a vậy 0.5đ a2 c2 a Bài 3: 1 a) x 4 2 5 1 x 2 4 0.5đ 5 1 1 1 x 2 x 2 hoặc x 2 1đ 5 5 5 1 1 9 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 1 1 11 Với x 2 x 2 hay x 0.25đ 5 5 5 b) 15 3 6 1 x x 12 7 5 2 6 5 3 1 x x 0.5đ 5 4 7 2 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  36. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 6 5 13 ( )x 0.5đ 5 4 14 49 13 x 0.5đ 20 14 130 x 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x 4.y 3.z và x x y z 59 1đ x y z x x y z 59 hay: 60 0.5đ 1 1 1 1 1 1 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 Do đó: 1 1 1 x 60. 12 ; x 60. 15 ; x 60. 20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ 200 suy ra D AB D AC M Do đó D AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 200 ) : 2 800 D ABC đều nên D BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra C ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD B nên ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B AM ABD 200 ; ABM D AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y2 8(x 2009)2 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  37. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 25 Vì y2 0 nên (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) 2 2 Với (x- 2009) = 0 thay vào (*) ta có y =25 suy ra y = 5 (do y ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  38. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 3 Bài 1:(4 điểm): Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 0,5 điểm 6 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 điểm 212.35. 3 1 59.73. 1 23 10 3 212.34.2 5 .7 . 6 0,5 điểm 212.35.4 59.73.9 1 10 7 0,5 điểm 6 3 2 b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) 0,5 điểm =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 1 điểm = 10( 3n -2n) n 2 n 2 n n 0,5 điểm Vậy 3 2 3 2  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) Thang Đáp án điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  39. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 0,5 điểm 1 4 14 x 3 5 5  1 1 x 2 0,5 điểm x 2  3 3  x 1 2  3  x 2 1 7  3 3 0,5 điểm  x 2 1 5  3 3  0,5 điểm b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7  0   0,5 điểm x 7 x 1 1 x 7 10  0   x 1  x 7 0 0,5 điểm  1 (x 7)10 0   x 7 0 x 7  10 (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 0,5 điểm GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  40. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. 0,5 điểm Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 0,5 điểm Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b 0,5 điểm c b a2 c2 a2 a.b 0,5 điểm khi đó b2 c2 b2 a.b a(a b) a 0,5 điểm= b(a b) b Bài 4: (4 điểm) Thang Đáp án điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = E MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB M AC = M EB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  41. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 AM = EM (gt ) M AI = M EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra AMI = E MK Mà AMI + I ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E MK + I ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có H BE = 50o H BE = 90o - H BE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm H EM = H EB - M EB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm B ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên B ME = H EM + M HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1điểm suy ra D AB D AC 0,5 điểm Do đó D AB 200 : 2 100 0,5 điểm b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 200 ) : 2 800 ABC đều nên D BC 600 0,5 điểm GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  42. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 800 600 200 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B AM ABD 200 ; ABM D AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm §Ò 4 Bµi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm Sè h¹ng thø nhÊt lµ (-1)1+1(3.1-1) 1.1 Sè h¹ng thø hai lµ (-1)2+1(3.2-1) 1 D¹ng tæng qu¸t cña sè h¹ng thø n lµ: (-1)n+1(3n-1) 1.2 A = (-3).17 = -51 1 x 2y , 3y = 5z. NÕu x-2y = 5 x= -15, y = -10, z = -6 0,5 2.1 3 4 NÕu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = 6 0,5 x y x2 xy =9 x = ±6 0,5 2.2 2 5 4 10 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 vµ 0,25 x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25 y z 1 x z 2 x y 3 1 = = = =2 0,5 x y z x y z 0,5 x 1 0,5 y 2 0,5 z 3 2.3 x+y+z = 0,5 = 2 0,5 x y z 1 5 5 x = ; y = ; z = - 0,5 2 6 6 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  43. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a1 a2 a3 a8 a9 a1 a2 a9 1 (v× a1+a2+ +a9 ≠0) 0,25 a a a a a a a a 3.1 2 3 4 9 1 1 2 9 a = a ; a = a ; ;a = a 1 2 2 3 9 1 0,25 a1 = a2 = a3= = a9 a b c a b c (a b c) (a b c) 2b = 1 (v× b≠0) 0,25 3.2 a b c a b c (a b c) (a b c) 2b a+b+c = a+b-c 2c = 0 c = 0 0,25 §Æt c1 = a1-b1; c2 = a2-b2; ; c5 = a5-b5 0,25 XÐt tæng c + c + c + + c = (a -b )+( a -b )+ +( a -b ) = 0 0,25 4.1 1 2 3 5 1 1 2 2 5 5 c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n 0,25 c1. c2. c3. c4. c5  2 0,25 AOE = BOF (c.g.c) O,E,F th¼ng hµng vµ OE = OF 0,5 4.2 AOC = BOD (c.g.c) C,O,D th¼ng hµng vµ OC = OD EOD = FOC (c.g.c) ED = CF §Ò 5 Bµi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè bÞ chia = 4/11 0,5 Sè chia = 1/11 0,25 KÕt qu¶ = 4 0,25 1.2 V× 2x-272007 ≥ 0 x vµ (3y+10)2008 ≥ 0 y 0,25 2x-272007 = 0 vµ (3y+10)2008 = 0 0,25 x = 27/2 vµ y = -10/3 0,5 1.3 V× 00≤ab ≤99 vµ a,b N 0,25 200700 ≤ 2≤0 02007997ab 0,25 4472 < 2007ab < 4492 0,25 2007ab = 4482 a = 0; b= 4 0,25 2.1 x 1 y 2 z 3 0,25 §Æt k 2 3 4 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau k = -2 0,5 X = -3; y = -4; z = - 5 0,25 2.2 a b c 0,25 Tõ gi¶ thiÕt suy ra b2 = ac; c2 = bd; b c d a3 b3 c3 a3 b3 c3 0,25 Ta cã (1) b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 a3 a a a a b c a 0,25 L¹i cã . . . . (2) b3 b b b b c d d a3 b3 c3 a 0,25 Tõ (1) vµ (2) suy ra: b3 c3 d 3 d GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  44. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3.1 Ta cã: > ; > ; > > ; = 0,5 1 10 2 10 3 10 9 10 10 10 1 1 1 1 0,5 10 1 2 3 100 3.2 Ta cã C = -18 - (2x 6 3y 9 ) -18 0,5 V× 20;x 60 3y 9 0,25 2x 6 0 0,25 Max C = -18 x = 3 vµ y = -3 3y 9 0 4.1 ABH = CAK (g.c.g) BH = AK 4.2 MAH = MCK (c.g.c) MH = MK (1) gãc AMH = gãc CMK gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) MHK vu«ng c©n t¹i M §¸p ¸n ®Ò sè 6 C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®­îc : (abc)2=36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®­îc abc=36 +, Tõ abc =36 vµ ab=c ta ®­îc c2=36 nªn c=6;c=-6 +, Tõ abc =36 vµ bc=4a ta ®­îc 4a2=36 nªn a=3; a=-3 +, Tõ abc =36 vµ ab=9b ta ®­îc 9b2=36 nªn b=2; b=-2 -, NÕu c = 6 th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) C©u 2. (3®) a.(1®)5x-3 -2 4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1<-4 (0,5®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  45. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 *NÕu 3x+1>4=> x>1 *NÕu 3x+1 x 1 hoÆc x x 4 (0,25®) (1) 4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x x>4 (0,25®) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®)¸p dông a+b a+bTa cã A=x+8-x x+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25®) x 0 * =>0 x 8 (0,25®) 8 x 0 x 0 x 0 * => kh«ng tho· m·n(0,25®) 8 x 0 x 8 VËy minA=8 khi 0 x 8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®) A C©u5.(3®) D E C Chøng minh: a (1,5®) B M Gäi E lµ trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME lµ ®­êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID lµ ®­êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §­êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  46. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò sè 7 a b c a a b c a b c C©u 1. Ta cã . . . (1) Ta l¹i cã . (2) b c d d b c d b c a 3 a b c a Tõ (1) vµ(2) => . b c d d a c b a b c C©u 2. A = .= . b c a b c a 2 a b c 1 NÕu a+b+c 0 => A = . 2 NÕu a+b+c = 0 => A = -1. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  47. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 5 C©u 3. a). A = 1 + ®Ó A Z th× x- 2 lµ ­íc cña 5. x 2 => x – 2 = ( 1; 5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0 7 b) A = - 2 ®Ó A Z th× x+ 3 lµ ­íc cña 7. x 3 => x + 3 = ( 1; 7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc - 2 b). x = 7 hoÆc - 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh) MHK lµ c©n t¹i M . ThËt vËy: ACK = BAH. (gcg) => AK = BH . AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy: MHK c©n t¹i M . §¸p ¸n ®Ò sè 8 C©u 1: Gäi x, y, z lµ ®é dµi 3 c¹nh t­¬ng øng víi c¸c ®­êng cao b»ng 4, 12, a. Ta cã: 4x = 12y = az = 2S x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do x-y < z< x+y nªn S S 2S S S 2 2 2 (0,5 ®iÓm) 2 6 a 2 6 6 a 3 3, a , 6 Do a N nªn a=4 hoÆc a= 5. (0,5 ®iÓm) a c a b a b a a b a c 2. a. Tõ (0,75 ®iÓm) b d c d c d c c d a b c d GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  48. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a c a b a b b a b a b c d b. (0,75 ®iÓm) b d c d c d d c d b d C©u 2: V× tÝch cña 4 sè : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 lµ sè ©m nªn ph¶i cã 1 sè ©m hoÆc 3 sè ©m. Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. XÐt 2 tr­êng hîp: + Cã 1 sè ©m: x2 – 10 < x2 – 7 x2 – 10 < 0 < x2 – 7 7< x2 < 10 x2 =9 ( do x Z ) x = 3. ( 0,5 ®iÓm) + cã 3 sè ©m; 1 sè d­¬ng. x2 – 4< 0< x2 – 1 1 < x2 < 4 do x Z nªn kh«ng tån t¹i x. VËy x = 3 (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tr­íc tiªn t×m GTNN B = x-a +  x-b víi a<b. Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iÓm) Víi A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d = [ x-a +  x-d] + [x-c +  x-b] Ta cã : Min [ x-a +  x-d] =d-a khi axd Min [x-c +  x-b] = c – b khi b x  c ( 0,5 ®iÓm) VËy A min = d-a + c – b khi b x  c ( 0, 5 ®iÓm) C©u 4: ( 2 ®iÓm) A, VÏ Bm // Ax sao cho Bm n»m trong gãc ABC Bm // Cy (0, 5 ®iÓm) Do ®ã gãc ABm = gãc A; Gãc CBm = gãcC ABm + CBm = A + C tøc lµ ABC = A + C ( 0, 5 ®iÓm) b. VÏ tia Bm sao cho ABm vµ A lµ 2 gãc so le trong vµ ABM = A Ax// Bm (1) CBm = C Cy // Bm(2) Tõ (1) vµ (2) Ax // By C©u 5: ¸p dông ®Þnh lÝ Pi ta go vµo tam gi¸c vu«ng NOA vµ NOC ta cã: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 ®iÓm) T­¬ng tù ta còng cã: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 ®iÓm) 2 2 2 2 2 2 Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã: AN + BP + CM = AP + BM + CN ( 0, 5 ®iÓm). GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  49. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 H­íng dÉn chÊm ®Ò sè 9 C©u 1(2®): 1 100 102 a) A = 2 - 2 (1® ) 299 2100 2100 b) 2n 3n 1 5n 1 (0,5® ) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  50. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 n + 1 -1 1 -5 5 n -2 0 -6 4 n  6; 2;0;4 (0,5® ) C©u 2(2®): 1 a) NÕu x th× : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( th¶o m·n ) (0,5®) 2 1 NÕu x x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) 2 VËy: x = 3 x 1 y 2 z 3 b) => vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) 2 3 4 => x = 11, y = 17, z = 23.(0,5®) 213 C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m lµ: a, b, c ta cã : a + b + c = 70 3 4 5 9 12 15 vµ a : b : c = : : 6 : 40 : 25 (1®) => a ,b ,c (1®) 5 1 2 35 7 14 C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) => DF = BD = CE (0,5® ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hµng => B, I, C th¼ng hµng (1®) C©u 5(1®): 7.2x 1 1 => y(14x 1) 7 7 y => (x ; y ) cÇn t×m lµ ( 0 ; 7 ) - §¸p ¸n ®Ò sè 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C©u 1: a) Ta cã: ; ; ; ; 1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 99 VËy A = 1+ 1 2 2 3 3 99 99 100 100 100 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  51. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 20.21 b) A = 1+ = 2 2 3 2 4 2 20 2 3 4 21 1 = 1+ 2 3 4 21 2 2 2 2 1 21.22 = 1 = 115. 2 2 C©u 2: a) Ta cã: 17 4; 26 5 nªn 17 26 1 4 5 1 hay 17 26 1 10 Cßn 99 < 10 .Do ®ã: 17 26 1 99 1 1 1 1 1 1 1 1 b) ; ; ; ; . 1 10 2 10 3 10 100 10 1 1 1 1 1 VËy: 100. 10 1 2 3 100 10 C©u 3: Gäi a,b,cña lµ c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m . V× mçi ch÷ sè a,b,cña kh«ng v­ît qu¸ 9 vµ ba ch÷ sè a,b,cña kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0 , v× khi ®ã ta kh«ng ®­îc sè cã ba ch÷ sè nªn: 1 a+b+c 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m lµ béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 a b c a b c Theo gi¶ thiÕt, ta cã: Do ®ã: ( a+b+c) chia hÕt cho 6 1 2 3 6 a b c 18 Nªn : a+b+c =18 3 a=3; b=6 ; cña =9 1 2 3 6 V× sè ph¶i t×m chia hÕt cho 18 nªnch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã ph¶i lµ sè ch½n. VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 396; 936. C©u 4: a) VÏ AH  BC; ( H BC) cña ABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB vµ BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) AHB= BID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH BI (1) vµ DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC vµ CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) AHC= CKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH= CK (2) tõ (1) vµ (2) BI= CK vµ EK = HC. b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t­¬ng tù: EK = HC GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  52. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Tõ ®ã BC= BH +Hc= DI + EK. C©u 5: Ta cã: A = x 2001 x 1 = x 2001 1 x x 2001 1 x 2000 VËy biÓu thøc ®· cho ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2000 khi x-2001 vµ 1-x cïng dÊu, tøc lµ : 1 x 2001 biÓu ®iÓm : C©u 1: 2 ®iÓm . a. 1 ®iÓm b. 1 ®iÓm C©u 2: 2 ®iÓm : a. 1 ®iÓm b . 1 ®iÓm . C©u 3 : 1,5 ®iÓm C©u 4: 3 ®iÓm : a. 2 ®iÓm ; b. 1 ®iÓm . C©u 5 : 1,5 ®iÓm . §¸p ¸n ®Ò sè11 C©u1: GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  53. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 x 2 x 3 x 4 x 5 x 349 a, (1) 1 1 1 1 4 0 (0,5 ® ) 327 326 325 324 5 1 1 1 1 1 (x 329)( ) 0 327 326 325 324 5 x 329 0 x 329 (0,5® ) b, a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 5x 3 x 7 (1) (0,25 ®) §K: x -7 (0,25 ®) 5x 3 x 7 1  . (0,25 ®) 5x 3 x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u 2: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a, S 1 ; 7S 7 1 (0.5®) 7 7 2 73 7 4 7 2007 7 7 2 73 7 2006 1 7 1 2007 8S 7 S 7 (0,5®) 7 2007 8 1 2 3 99 2 1 3 1 100 1 b, (0,5®) 2! 3! 4! 100! 2! 3! 100! 1 1 1 (0,5®) 100! c, Ta cã3n 2 2n 2 3n 2n 3n 2 3n (2n 2 2n ) (0,5®) n n n n 2 n n 2 3 .10 2 .5 3 .10 2 .10 10 3 2 10 (0,5®) C©u 3: Gäi ®é dµi 3 c¹nh lµ a , b, c, 3 chiÒu cao t­¬ng øng lµ x, y, z, diÖn tÝch S ( 0,5® ) 2S 2S 2S a b c 2S 2S 2S a b c (0,5®) (0,5®) x y z 2 3 4 2x 3y 4z x y z 2x 3y 4z vËy x, y, z tØ lÖ víi 6 ; 4 ; 3 (0,5®) 6 4 3 C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy H AC : AH = AQ IQ IH IP (1 ® ) C©u5: B ; LN B; LN 2 n 1 2 3 NN V× n 1 2 0 2 n 1 2 3 3 ®¹t NN khi b»ng 3 (0,5®) DÊu b»ng x¶y ra khi n 1 0 n 1 1 vËy B ; LN B vµ n 1 (0,5®) 3 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  54. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò sè 12 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  55. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 1 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1 ®iÓm a) (x-1)5 = (-3)5 x-1 = -3 x = -3+1 x = -2 1 1 1 1 1 b) (x+2)( ) = 0 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 0 x+2 = 0 x = 2 11 12 13 14 15 c) x - 2x = 0 (x )2 - 2x = 0 x (x - 2) = 0 x = 0 x = 0 hoÆc x - 2 = 0 x = 2 x = 4 C©u 2 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1,5 ®iÓm 5 y 1 5 2y 1 5 1 2y a) , , x 4 8 x 8 8 x 8 x(1 - 2y) = 40 1-2y lµ íc lÎ cña 40 . ¦íc lÎ cña 40 lµ : 1 ; 5 . §¸p sè : x = 40 ; y = 0 x = -40 ; y = 1 x = 8 ; y = -2 x = -8 ; y = 3 x 1 4 b) T×m x z ®Ó A Z. A= 1 x 3 x 3 4 A nguyªn khi nguyªn x 3 ¦(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 x 3 C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . C©u 3 : 1 ®iÓm 25x 3 - 2x = 14 5x 3 = x + 7 (1) §K: x -7 (0,25 ®) 5x 3 x 7 1  . (0,25 ®) 5x 3 x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u4. (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, 3 A B C A B C 180 0 12 7 5 3 15 15 A= 840 gãc ngoµi t¹i ®Ønh A lµ 960 B = 600 gãc ngoµi t¹i ®Ønh B lµ 1200 C = 360 gãc ngoµi t¹i ®Ønh C lµ 1440 C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi 4 ; 5 ; 6 b) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  56. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1) AE = AD ADE c©n E D E1 E DA 1800 A E = (1) ABC c©n B C 1 2 1800 A A B C = (2) 1 2 Tõ (1) vµ (2) E1 A BC ED // BC a) XÐt EBC vµ DCB cã BC chung (3) E BC D CB(4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) EBC = DCB (c.g.c) B EC C DB = 900 CE  AB . . GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  57. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò sè 13 Bµi 1: 3 ®iÓm 31 183 176 12 10 175 31 12 475 ( ) ( .1 . a, TÝnh: A = 3 7 7 11 3 100 3 11 300 5 1 60 71 60 ( ). . 1 91 4 11 1 364 11 31 19 341 57 284 1001 284284 = 3 11 33 . 1056 1001 55 33 55 1815 1001 1001 1001 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: +) 1 + 4 +7 + + 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) + .+ ( 49+ 52) = 101 . 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 103,17 Bµi 2: 2 §iÓm Giäi sè cÇn t×m lµ x, y, z. Sè nhá lµ x , sè lín nhÊt lµ z. Ta cã: x y z (1) 1 1 1 1 1 1 3 Theo gi¶ thiÕt: 2 (2). Do (1) nªn z = x y z x y z x 1 1 2 VËy: x = 1. Thay vµo (2) , ®­îc: 1 y z y VËy y = 2. Tõ ®ã z = 2. Ba sè cÇn t×m lµ 1; 2; 2. Bµi 3: 2 §iÓm Cã 9 trang cã 1 ch÷ sè. Sè trang cã 2 ch÷ sè lµ tõ 10 ®Õn 99 nªn cã tÊt c¶ 90 trang. Trang cã 3 ch÷ sè cña cuèn s¸ch lµ tõ 100 ®Õn 234, cã tÊt c¶ 135 trang. Suy ra sè c¸c ch÷ sè trong tÊt c¶ c¸c trang lµ: 9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594 Bµi 4 : 3 §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D sao cho ED = EA. Hai tam gi¸c vu«ng ABE = DBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; B AD B DA . Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  58. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD. VÏ tia ID lµ ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I BC ). Hai tam gi¸c: CID vµ BID cã : ID lµ c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn). C ID = I DB ( v× DI lµ ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy CID = BID ( c . g . c) C = IBD . Gäi C lµ B DA = C + I BD = 2 C = 2 ( gãc ngoµi cña BCD) mµ A = D ( Chøng minh trªn) nªn A = 2 2 = 900 = 300 . Do ®ã ; C = 300 vµ A = 600 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  59. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 H­íng dÉn gi¶i ®Ò sè 14 Bµi 1.a. XÐt 2 tr­êng hîp : * x 5 ta ®­îc : A=7. *x 5 ta ®­îc : A = -2x-3. b. XÐt x 5 2x 10 2x 3 10 3 hay A > 7. VËy : Amin = 7 khi x 5 . 1 1 1 1 Bµi 2. a. §Æt : A = 52 62 72 1002 Ta cã : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * A . 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 2a 9 5a 17 3a 4a 26 b. Ta cã : = = a 3 a 3 a 3 a 3 4a 12 14 4(a 3) 14 14 = 4 lµ sè nguyªn a 3 a 3 a 3 Khi ®ã (a + 3) lµ ­íc cña 14 mµ ¦(14) = 1; 2; 7; 14 . Ta cã : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. Bµi 3. BiÕn ®æi : A 12n n n 1 30. §Ó A6n n n 1 306n *n n 1 n 30n n ¦(30) hay n {1, 2 , 3, 5 , 6 , 10 , 15 , 30}. *306 n n 1 6 n n 1 3 + n3 n 3,6,15,30. + n 1 3 n 1,10. n {1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 30}. -Thö tõng tr­êng hîp ta ®­îc : n = 1, 3, 10, 30 tho· m·n bµi to¸n. x Bµi 4. z -Trªn Oy lÊy M’ sao cho OM’ = m. Ta cã : m GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD d o n i m' y d
  60. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 N n»m gi÷a O, M’ vµ M’N = OM. -Dùng d lµ trung trùc cña OM’ vµ Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t nhau t¹i D. -ODM M ' DN(c.g.c) MD ND D thuéc trung trùc cña MN. -Râ rµng : D cè ®Þnh. VËy ®­êng trung trùc cña MN ®i qua D cè ®Þnh. Bµi 5. -D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai lµ : f x ax2 bx c (a 0). - Ta cã : f x 1 a x 1 2 b x 1 c . a 1 2a 1 2 -f x f x 1 2ax a b x b a 0 b 1 2 1 1 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : f x x2 x c (c lµ h»ng sè). 2 2 ¸p dông : + Víi x = 1 ta cã : 1 f 1 f 0 . + Víi x = 2 ta cã : 1 f 2 f 1 . . + Víi x = n ta cã : n f n f n 1 . n2 n n n 1 S = 1+2+3+ +n = f n f 0 = c c . 2 2 2 L­u ý : Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Bµi h×nh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  61. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò sè 15 C©u1 (lµm ®óng ®­îc 2 ®iÓm) x x 2 x x 2 x x 2 Ta cã: = = (0,25®) x2 8x 20 x2 2x 10x 20 (x 2)(x 10) §iÒu kiÖn (x-2)(x+10) 0 x 2; x -10 (0,5®) MÆt kh¸c x 2 = x-2 nÕu x>2 -x + 2 nÕu x 2 th× = = (0,5®) (x 2)(x 10) (x 2)(x 10) x 10 * NÕu x 0; y >0 ; z >0) Theo ®Ò ra ta cã x y z 94(1) 3x 4 y 5 z (2) (0,5®) BCNN (3,4,5) = 60 3x 4y 5z x y z Tõ (2) = = hay = = (0,5®) 60 60 60 20 15 12 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã : x y z x y z 94 = = = = =2 (0,5®) x= 40, y=30 vµ z =24 (0,5®) 20 15 12 20 15 12 47 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  62. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 líp 7A, 7B, 7C lÇn l­ît lµ 40, 30, 24. C©u 3 (lµm ®óng cho 1,5®) 102006 53 §Ó lµ sè tù nhiªn 102006 + 53 9 (0,5®) 9  2006 2006 §Ó 10 + 53  9 10 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 2006 mµ 10 + 53 = 1+ 0 +0 + + 0 + 5+3 = 9 9 102006 53 102006 + 53 9 hay lµ sè tù nhiªn (1®)  9 C©u 4 (3®) - VÏ ®­îc h×nh, ghi GT, KL ®­îc 0,25® a, ABC cã A1 A2 (Az lµ tia ph©n gi¸c cñaA ) A1 C1 (Ay // BC, so le trong) A2 C1 ABC c©n t¹i B mµ BK  AC BK lµ ®­êng cao cña c©n ABC BK còng lµ trung tuyÕn cña c©n ABC (0,75®) hay K lµ trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña c©n ABH vµ vu«ng BAK. Cã AB lµ c¹ng huyÒn (c¹nh chung) A 0 A2 30 0 2 A B( 30 ) V×  0 0 0 2 1 B1 90 60 30 AC AC vu«ng ABH = vu«ng BAK BH = AK mµ AK = BH (1®) 2 2 c, AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) MK lµ trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn KM = AC/2 (2) Tõ (10 vµ (2) KM = KC KMC c©n. MÆt kh¸c AMC cã M 900 A=300 M KC 900 300 600 AMC ®Òu (1®) C©u 5. Lµm ®óng c©u 5 ®­îc 1,5® X©y dùng s¬ ®å c©y vµ gi¶i bµi to¸n §¸p ¸n : T©y ®¹t gi¶i nhÊt, Nam gi¶i nh×, §«ng gi¶i 3, B¾c gi¶i 4 §¸p ¸n ®Ò sè 16 C©u 1: (2®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  63. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 2 a) XÐt kho¶ng x ®­îc x = 4,5 phï hîp 0,25 ® 3 2 5 XÐt kho¶ng x ®­îc x = - phï hîp 0,25 ® 3 4 3 b) XÐt kho¶ng x §­îc x > 4 0,2® 2 3 XÐt kho¶ng x §­îc x 4 hoÆc x 810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8® VËy 230+330+430> 3.224 0,2® C©u 3: a) H×nh a. AB//EF v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau EF//CD v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau VËy AB//CD b) H×nh b. AB//EF V× cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau 0,4® CD//EF v× cã cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau 0,4® VËy AB//CD 0,2® C©u 4: (3®) a) MN//BC MD//BD D trung ®iÓm AP 0,3 ® BP võa lµ ph©n gi¸c võa lµ trung tuyÕn nªn còng lµ ®­êng cao BD  AP 0,2® T­¬ng tù ta chøng minh ®­îc BE  AQ 0,5 ® GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  64. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 b) AD = DP DBP BDE (g.c.g) DP = BE BE = AD 0,5 ® MBE MAD(c.g.c) ME MD 0,3® BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B lµ trung ®iÓm cña PQ 0,2® c) BDE vu«ng ë B, BM lµ trung tuyÕn nªn BM = ME 0,4® ADB vu«ng ë D cã DM lµ trung tuyÕn nªn DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2® C©u 5: 1® 10 10 A = 1 A lín nhÊt lín nhÊt 0,3® 4 x 4 x 10 XÐt x > 4 th× 0 a lín nhÊt 4 - x nhá nhÊt x = 3 0,6® 4 x GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  65. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò sè 17 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ). a/. 4x 3 - x = 15. b/. 3x 2 - x > 1. 4x 3 = x + 15 3x 2 > x + 1 3 2 * Tr­êng hîp 1: x - , ta cã: * Tr­êng hîp 1: x , ta cã: 4 3 4x + 3 = x + 15 3x - 2 > x + 1 3 x = 4 ( TM§K). x > ( TM§K). 2 2 * Tr­êng hîp 2: x hoÆc x < . 5 2 4 c/. 2x 3 5 5 2x 3 5 4 x 1 C©u 2: a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( 1 ) (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2) 8A = (- 7) – (-7)2008 1 1 Suy ra: A = .[(- 7) – (-7)2008 ] = - ( 72008 + 7 ) 8 8 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  66. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 * Chøng minh: A  43. Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + + (- 7)2006 + (- 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng. Nhãm 3 sè liªn tiÕp thµnh mét nhãm (®­îc 669 nhãm), ta ®­îc: A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + + (- 7)2005. [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7). 43 + + (- 7)2005. 43 2005 = 43.[(- 7) + + (- 7) ]  43 VËy : A  43 b/. * §iÒu kiÖn ®ñ: 2 2 2 2 NÕu m  3 vµ n  3 th× m  3, mn  3 vµ n  3, do ®ã: m + mn + n  9. * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn. (*) 2 2 2 2 2 NÕu m + mn + n  9 th× m + mn + n  3, khi ®ã tõ (*),suy ra: ( m - n)  3 ,do ®ã ( m - 2 n)  3 v× thÕ ( m - n)  9 vµ 3mn  9 nªn mn  3 ,do ®ã mét trong hai sè m hoÆc n chia hÕt cho 3 mµ ( m - n)  3 nªn c¶ 2 sè m,n ®Òu chia hÕt cho 3. C©u 3: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh tam gi¸c lµ a, b, c ; c¸c ®­êng cao t­¬ng øng víi c¸c c¹nh ®ã lµ ha , hb , hc . Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5 1 1 1 Hay: (ha +hb) = ( hb + hc ) = ( ha + hc ) = k ,( víi k 0). 3 4 5 Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k . Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: ha + hb + hc = 6k. Tõ ®ã ta cã: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k. MÆt kh¸c, gäi S lµ diÖn tÝch ABC , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc a.2k = b.k = c.3k a b c = = 3 6 2 C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC DB. * NÕu DC = DB th× BDC c©n t¹i D nªn D BC =  A B CD .Suy ra: ABD = ACD .Khi ®ã ta cã: ADB = ADC (c_g_c) . Do ®ã: ADB = ADC ( tr¸i víi gi¶ thiÕt) . D GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD C B
  67. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 * NÕu DC ACD ( 1 ) . XÐt ADB vµ ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC DB. C©u 5: ( 1 ®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x y x - y , ta cã: A = x 1004 -x 1003 (x 1004) (x 1003) = 2007 VËy GTLN cña A lµ: 2007. DÊu “ = ” x¶y ra khi: x -1003. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  68. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 H­íng dÉn chÊm ®Ò 18 C©u 1-a (1 ®iÓm ) XÐt 2 tr­êng hîp 3x-2 0. 3x -2 kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n. b-(1 ®iÓm ) XÐt 2 tr­êng hîp 2x +5 0 vµ 2x+5 kÕt luËn. C©u 2-a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m lµ abc abc 18=> abc  9. VËy (a+b+c)  9 (1) Ta cã : 1 a+b+c 27 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 (3) a b c a b c Theo bµi ra = = = (4) 1 2 3 6 Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18. vµ tõ (4) => a, b, c mµ abc  2 => sè cÇn t×m : 396, 936. b-(1 ®iÓm ) A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n). = (7 +72+73+74) . (1+74+78+ +74n-4). 2 3 4 Trong ®ã : 7 +7 +7 +7 =7.400 chia hÕt cho 400 . Nªn A  400 C©u 3-a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : C2 + C By = 2v (gãc trong cïng phÝa) (1)  0 C1 + CAx = 2v V× theo gi¶ thiÕt C1+C2 + + = 4v =360 . VËy Cz//Ax. (2) Tõ (1) vµ (2) => Ax//By. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  69. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 C©u 4-(3 ®iÓm) ABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trªn AB lÊy AE =AD. CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC) AED c©n, DAE = 400: 2 =200. => ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cña EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ sao cho AC’ = AC. C CAD = C’AD ( c.g.c) D  AC’D = 1000 vµ DC’E = 800. VËy DC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’. A C E B Mµ DC’ =DC. VËy AD +DC =AB. C©u 5 (1 ®iÓm). S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004. -3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005] -3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005. ( 3) 2005 1 32005 1 -4S = (-3)2005 -1. S = = 4 4 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  70. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò 19 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bµi 1: Ta cã : - 90 72 56 42 30 20 12 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 1® 1.2 2 3 3.4 4 5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 1® 1 2 2 3 3 4 8 9 9 10 1 1 9 = - ( ) = 0,5® 1 10 10 Bµi 2: A = x 2 5 x Víi x 3 0,5® Víi 2 x 5 th× A = x-2 –x+5 = 3 0,5® Víi x>5 th× A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 3 2 x 5 1® A Bµi 3: a. Trªn tia ®èi cña tia OC lÊy ®iÓm N sao cho ON = OC .Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. G nªn OM lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c O H BNC. B C 1 Do ®ã OM //BN, OM = BN 2 Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  71. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Mµ AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T­¬ng tù AN//BH Do ®ã NB = AH. Suy ra AH = 2OM (1®) b. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AG vµ HG th× IK lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c AGH nªn IK// AH 1 IK = AH => IK // OM vµ IK = OM ; 2  KIG =  OMG (so le trong) IGK = MGO nªn GK = OG vµ  IGK =  MGO Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng 1® 1 Do GK = OG mµ GK = HG nªn HG = 2GO 2 §­êng th¼ng qua 3 ®iÓm H, G, O ®­îc gäi lµ ®­êng th¼ng ¬ le. 1® Bµi 4: Tæng c¸c hÖ sè cña mét ®a thøc P(x) bÊt kú b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc ®ã t¹i x=1. VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (3-4x+x2)2006 . (3+4x + x2)2007 B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5® GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  72. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò 20 C©u 1: Ta cã: 220  0 (mod2) nªn 22011969  0 (mod2) 119  1(mod2) nªn 11969220  1(mod2) 69  -1 (mod2) nªn 69220119  -1 (mod2) VËy A  0 (mod2) hay A  2 (1®) T­¬ng tù: A  3 (1®) A  17 (1®) V× 2, 3, 17 lµ c¸c sè nguyªn tè A  2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x 0 x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x 5/3 x = 3,5 (0,5®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  73. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 3: a) DÔ dµng chøng minh ®­îc IH = 0M A IH // 0M do 0MN = HIK (g.c.g) I E Do ®ã: IHQ = M0Q (g.c.g) QH = Q0 F H N QI = QM P b) DIM vu«ng cã DQ lµ ®­êng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M C Nh­ng QI lµ ®­êng trung b×nh cña 0HA nªn c) T­¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bµi 4(1®): V× 3|x-5| 0 x R Do ®ã A = 10 - 3|x-5| ≤ 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 10 |x-5| = 0 x = 5 §¸p ¸n ®Ò 21 Bµi 1. §iÒu kiÖn x 0 (0,25®) 9 a) A = - (0,5®) 7 b) x 3 > 0 A = -1 x 5 x 3 x = 1 (0,5®) 8 c) Ta cã: A = 1 - . (0,25®) x 3 §Ó A Z th× x 3 lµ ­íc cña 8 x = {1; 25} khi ®ã A = {- 1; 0} (0,5®) Bµi 2. x 1 0 x 1 7 x x 1 x 3 a) Ta cã: 2 (1®) 7 x (x 1) x 3; x 2 b) Ta cã: 2M = 2 – 22 + 23 – 24 + - 22006 + 22007 (0,25®) 22007 1 3M = 1 + 22007 (0,25®) M = (0,5®) 3 c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 1 víi mäi x §PCM. (1®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  74. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Aˆ Bˆ Cˆ 1800 Bµi 3. Ta cã: 300 Aˆ 300 ; Bˆ 600 ;Cˆ 900 (0,5®) 1 2 3 6 VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bµi 4. GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H AC sao cho AH = AN (0,5®) Tõ ®ã chøng minh IH = IN = IM (1®) Bµi 5. 2000 A = 1 + (0,5®) AMax 6 – x > 0 vµ nhá nhÊt 6 x 6 – x = 1 x = 5. VËy x = 5 tho· m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n khi ®ã A Max= 2001 (0,5®) §¸p ¸n ®Ò 22 C©u 1: (2.5®) 15 20 15 40 55 1 1 1 1 1 a. a1. . . (0.5®) 2 4 2 2 2 25 30 50 30 20 1 1 1 1 a2. : = : = (0.5®) 9 3 3 3 3 45.94 2.69 210.38.(1 3) 1 b. A = (0.5®) 210.38 68.20 210.38 (1 5) 3 7 7 c. c1. = 0.(21) c2. = 0,3(18) (0.5®) 33 22 21 7 1 c3. 0,(21) = ; c4. 5,1(6) = 5 (0.5®) 99 33 6 C©u 2: (2®) Gäi khèi l­îng cña 3 khèi 7, 8, 9 lÇn l­ît lµ a, b, c (m3) a + b + c = 912 m3. (0.5®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  75. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 a b c Sè häc sinh cña 3 khèi lµ : ; ; 1,2 1,4 1,6 b a b c Theo ®Ò ra ta cã: vµ (0.5®) 3.4,1 1,2 4.1,4 5.1,6 a b c 20 (0.5®) 4.1,2 12.1,4 15.1,6 VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3. Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, 9 lÇn l­ît lµ: 80 hs, 240 hs, 300 hs. (0.5®) C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A. 2 2 3 Ta cã: (x + 2) 0 (x = 2) + 4 4 Amax= khi x = -2 (0.75®) 4 b.T×m min B. Do (x – 1)2 0 ; (y + 3)2 0 B 1 VËy Bmin= 1 khi x = 1 vµ y = -3 (0.75®) C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E. Ta cã EAB c©n C t¹i E  EAB =30 0 EAM = 200  CEA = MAE = 20 0 (0.5®) Do ACB = 800  ACE = 40 0 AEC = 1200 ( E 1 ) (0.5®) M 0 MÆt kh¸c: EBC = 200 vµ EBC = 400 CEB = 100 30 A H B 1200 ( 2 ) (0.5®) Tõ ( 1 ) vµ ( 2 )  AEM = 120 0 Do EAC = EAM (g.c.g) AC = AM MAC c©n t¹i A (0.5®) Vµ CAM = 400  AMC = 70 0. (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2 vµ a + b kh«ng nguyªn tè cïng nhau a2 vµ a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: a2 chia hÕt cho d a chia hÕt cho d vµ a + b chia hÕt cho d b chia hÕta cho d (0.5®) (a,b) = d tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy (a2,a + b) =1. (0.5®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  76. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §Ò 23 C©u I : 1) X¸c ®Þnh a, b ,c a 1 b 3 c 5 5(a 1) 3(b 3) 4(c 5) 5a 3b 4c 5 9 20 = 2 2 4 6 10 12 24 10 12 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7. a 1 b 3 c 5 C¸ch 2 : = t ; sau ®ã rót a, b ,c thay vµo t×m t =- 2 t×m a,b,c. 2 4 6 2) Chøng minh a c §Æt = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc : b d 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 k 2 3k 5 k 2 3k 5 0 => ®pcm. 2b 2 3ab 2d 2 3cd 2 3k 2 3k C©u II: TÝnh: GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  77. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 16 1) Ta cã :2A= 2( ) = =>A = 3.5 5.7 97.99 3 5 5 7 97 99 3 99 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2) B = = = 3 32 33 350 351 ( 3) ( 32 ) ( 33 ) ( 350 ) ( 351 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 351 1 ( 351 1) => B = => B = ( 32 ) ( 33 ) ( 3) 4 ( 351 ) ( 352 ) 3 3 ( 352 ) 352 4.351 C©u III 2 1 2 3 1 7 Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = . 0,(1).3 = . = 10 10 10 10 9 30 1 1 12 32 1 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ .0,(32)= 0,12+ .0,(01).32 = . 1000 1000 100 1000 99 1489 = 12375 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= 4 => 2b -2+16 = 4 > b= -5 5 P(3) = 1 => 6a-30 +16 =1 => a = 2 5 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P(x) = x(x 1)(x 2) 5x(x 1) 2(x 3) 16 2 5 25 => P(x) = x 3 - x 2 12x 10 2 2 C©u V: a) DÔ thÊy ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE . V× AE  AC; AD  AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE => DC  Víi BE. b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN  MP 1 1 MN = DC = BE =MP; 2 2 VËy MNP vu«ng c©n t¹i M. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  78. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò 24 Bµi 1: 3 3 3 3 3 3 3 a) A = 8 10 11 12 2 3 4 (0,25®) 5 5 5 5 5 5 5 8 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 3 3 8 10 11 12 2 3 4 A = (0,25®) 1 1 1 1 1 1 1 5 5 8 10 11 12 2 3 4 A = 3 + 3 = 0 (0,25®) 5 5 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  79. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 102 b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B = 2 1 3 (0,25®) Bµi 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 3.2410 = 230.311 (0,25®) mµ 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) 4 =36 > 29 33 > 14 (0,25®) 36 + 33 > 29 + 14 (0,25®) Bµi 3: Gäi x1, x2 x3 lÇn l­ît lµ sè ngµy lµm viÖc cña 3 m¸y x x x 1 2 3 (1) (0,25®) 3 4 5 Gäi y1, y2, y3 lÇn l­ît lµ sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y y y y 1 2 3 (2) (0,25®) 6 7 8 Gäi z1, z2, z3 lÇn l­ît lµ c«ng suÊt cña 3 m¸y z z z 5z = 4z = 3z 1 2 3 (3) (0,25®) 1 2 3 1 1 1 5 4 3 Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) x y z x y z x y z 395 Tõ (1) (2) (3) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 15 (0,5®) 18 7 40 395 5 3 15 x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®) VËy sè thãc mçi ®éi lÇn l­ît lµ 54, 105, 200 (0,25®) Bµi 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5®) A BM A DM (1) (0,25®) Ta cã BMC MBD BDM (gãc ngoµi tam gi¸c) (0,25®) B MC M BA 600 B DM A DM B DM 600 1200 (0,25®) b) Trªn DM lÊy F sao cho MF = MB (0,5®) FBM ®Òu (0,25®) E DFBAMB (c.g.c) (0,25®) A GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª HångD Phong-TPHD F M B C
  80. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 D FB A MB 1200 (0,5®) Bµi 6: Ta cã 1 x 2 f (2) 3. f ( ) 4 (0,25®) 2 1 1 1 x f ( ) 3. f (2) (0,25®) 2 2 4 47 f (2) (0,5®) 32 ®¸p ¸n ®Ò 25 C©u 1 a.NÕu x 0 suy ra x = 1 (tho· m·n) NÕu < 0 suy ra x = -3 (tho· m·n) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  81. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 1 x 1 x 3 y 1 y 1 y 2 b. ; hoÆc ;hoÆc y 6 2 6 x 3 6 x 3 6 x 3 3 y 3 y 6 y 6 hoÆc ;hoÆc ; hoÆc x 3 2 x 3 1 x 3 1 y 2 y 3 hoÆc ; hoÆc x 3 3 x 3 2 Tõ ®ã ta cã c¸c cÆp sè (x,y) lµ (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, - 6) x y z 3x 7y 5z 3x 7y 5z 30 c. Tõ 2x = 3y vµ 5x = 7z biÕn ®æi vÒ 2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 C©u 2 a. A lµ tÝch cña 99 sè ©m do ®ã 1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.101 A 1 1 1 1 2 2  2  2  2 4 9 16 100 2 3 4 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 1 A 2.3.4 99.100  2.3.4 99.100 200 2 2 x 1 x 3 4 4 4 ˆ b. B = 1 B nguyªn nguen x 3  4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 4;25;16;1;49 C©u 3 Thêi gian ®i thùc tÕ nhiÒu h¬n thêi gian dù ®Þnh Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B lµ v1 == 4km/h VËn tèc thùc tÕ ®i tõ C ®Õn B lµ V2 = 3km/h V 4 t V 3 Ta cã: 1 va 1 1 V2 3 t2 V2 4 (t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2) t1 3 t2 t1 t2 t1 15 tõ 15 t2 = 15 . 4 = 60 phót = 1 giê t2 4 4 3 4 3 1 VËy qu·ng ®­êng CB lµ 3km, AB = 15km Ng­êi ®ã xuÊt ph¸t tõ 11 giê 45 phót – (15:4) = 8 giê C©u 4 a. Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) b. Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) Gãc I3 = gãc I4 M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  82. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN c. Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 gãc AIB 900 d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u 5. 4 x 10 10 10 P = 1 P lín nhÊt khi lín nhÊt 4 x 4 x 4 x 10 XÐt x > 4 th× 0 4 x 10 lín nhÊt 4 – x lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt 4 x 4 – x = 1 x = 3 10 khi ®ã = 10 Plín nhÊt = 11. 4 x H­íng dÉn chÊm ®Ò 26 Bµi 1 : a) T×m x . Ta cã 2x 6 + 5x =9 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  83. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 2x 6 = 9-5x 15 * 2x –6 0 x 3 khi ®ã 2x –6 = 9-5x x = kh«ng tho· m·n. (0,5) 7 * 2x – 6 1 . §Ó A = 5 tøc lµ 5 x x . (1) x 1 2 4 Bµi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra : tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n . GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  84. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 vµ DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña CDM ) = 2DCM. T­¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän). MDB = CAB (gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450 . VËy MCN = 900 –450 =450 . (1,5) Bµi 5 : Ta cã P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = - 4 Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 21. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  85. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 h­íng dÉn ®Ò 27 C©u 1: (3®) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n-1 .9 =9. 25 suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5® c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5® n n 2n-1 n n v× 3 .10  10 vµ 2 .5 = .10  10 suy ra 3 .10-2 .5  10 0,5® Bµi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn l­ît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 v× 434 tËn cïng lµ 1 cßn 433 tËn cïng lµ 7 suy ra 4343 tËn cïng bëi 7 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ 1 suy ra (174)4 cã tËn cïng lµ 1 suy ra 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 7 0,5® suy ra 4343 vµ 1717 ®Òu cã tËn cïng lµ 7 nªn 4343-1717 cã tËn cïng lµ 0 suy ra 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5® suy ra -0,7(4343-1717) lµ mét sè nguyªn. Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gäi H lµ ch©n ®­êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 0,5® gäi O lµ giao AH víi ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5® suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  86. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Tõ (1) vµ (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5® VËy ®iÓm O cè ®Þnh. §¸p ¸n ®Ò 28 C©u 1: (2®). a. a + a = 2a víi a 0 (0,25®) Víi a < 0 th× a + a = 0 (0,25®). b. a - a -Víi a 0 th× a - a = a – a = 0 -Víi a< 0 th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Víi x + 3 0 x - 3 Ta cã: 3(x – 1) – 2 x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5®) -Víi x + 3 < 0 x< - 3 Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5®). C©u 2: T×m x (2®). a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 5x 3 x 7 (1) (0,25 ®) §K: x -7 (0,25 ®) 5x 3 x 7 1  . (0,25 ®) 5x 3 x 7 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). b. 2x + 3 - 4x < 9 (1,5®) 2x + 3 < 9 + 4x (1) 9 §K: 4x +9 0 x (1) 4x 9 2x 3 4x 9 4 2 x 3 (t/m§K) (0,5®). C©u 3: Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m lµ a, b, c. V× sè cµn t×m chia hÕt 18 sè ®ã ph¶i chia hÕt cho 9. GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  87. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 VËy (a + b + c ) chia hÕt cho 9. (1) (0,5®). Tacã: 1 a + b + c 27 (2) V× 1 a 9 ; b 0 ; 0 c 9 Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3). Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5®). V× sè cµn t×m chia hÕt 18 nªn võa chia hÕt cho 9 võa chia hÕt cho 2 ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ph¶i lµ sè ch½n. VËy ssè cµn t×m lµ: 396 ; 963 (0,5®). -VÏ h×nh ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®óng (0,5®). -Qua N kÎ NK // AB ta cã. EN // BK NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) AD = NK (1) -Häc sinh chøng minh ADM = NKC (gcg) (1®) DM = KC (1®) GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  88. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò 29 102007 10 9 Bµi 1: Ta cã: 10A = = 1 + (1) 102007 1 102007 1 102008 10 9 T­¬ng tù: 10B = = 1 + (2) 102008 1 102008 1 9 9 Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 10A > 10B A > B 102007 1 102008 1 Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 A = 1 . 1 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 2 2 2 2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2 = . . . . (1) 3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 A = . . 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 x 1 1 1 x 1 Bµi 3:(2®iÓm) Tõ: 8 y 4 y 8 4 1 x - 2 Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã : . Do ®ã : y(x-2) =8. y 8 §Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ ­íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t­¬ng øng cÇn t×m trong b¶ng sau: Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1 X 10 -6 6 -2 4 0 3 1 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  89. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 Bµi 4:(2 ®iÓm) Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: b + c > a. Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1) T­¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®­îc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c A BK c¾t ®­êng th¼ng CK ë I. A Ta cã: IBC c©n nªn IB = IC. 0 BIA = CIA (ccc) nªn B IA C IA 120 . Do ®ã: I BIA =BIK (gcg) BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: K C B AK 700 B GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  90. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 §¸p ¸n ®Ò 30 Bµi 1. 4® 4 2 4 a) 7 ( 7 + 7 – 1) = 7 . 55  55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) 1® 51 1 Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – 1 => A = 5 4 1® Bµi 2. 4® a b c a 2b 3c a 2b 3c 20 a)  5 => a = 10, b = 15, c =20. 2 3 4 2 6 12 2 6 12 4 2® b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z N*) 0,5® Theo bµi ra ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5® BiÕn ®æi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 20000x 50000y 100000z x y z x y z 16 => 2 100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8 0,5® Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 2. 0,5® Bµi 3. 4® a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - 1 x - 1 4 4 1® f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - 1 x + 1 4 4 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = - 1 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  91. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + + (-1)100 = 1 + 1 + 1 + + 1 = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bµi 4. 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2® b a) ABD = EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ABD = EBD nªn gãc A b»ng gãc BED e Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 c a d Bµi 5: 4® a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: a DE//AB, DE = 1 AB, IK//AB, IK= 1 AB 2 2 i e Do ®ã DE // IK vµ DE = IK G b) GDE = GIK (g. c. g) v× cã: DE = IK (c©u a) k Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) c Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) b d 2 GD = GI. Ta cã GD = GI = IA nªn AG = AD 3 - VÏ h×nh: 0,5® - PhÇn a) ®óng: 2® - PhÇn b) ®óng: 1,5® GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD
  92. ®Ò thi häc sinh giái to¸n 7 GV: NguyÔn Thanh HuyÒn - Tr­êng THCS lª Hång Phong-TPHD