35 Đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Trần Sĩ Tùng (Có đáp án)

92 trang thaodu 3480

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "35 Đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Trần Sĩ Tùng (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

35_de_luyen_thi_thpt_quoc_gia_mon_toan_tran_si_tung_co_dap_a.doc

Nội dung text: 35 Đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Trần Sĩ Tùng (Có đáp án)

Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Đề số 1 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 2 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đĩ cĩ thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C). Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2x 3 x 1 3x 2 2x2 5x 3 16 . 3 2) Giải phương trình: 2 2 cos2x sin2x cos x 4sin x 0 . 4 4 2 Câu III (1 điểm) Tính tích phân:I (sin4 x cos4 x)(sin6 x cos6 x)dx . 0 Câu IV (2 điểm) Cho hình chĩp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuơng tại B cĩ AB = a, BC = a 3 , SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chĩp A.BCNM. Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 a4 b4 c4 abcd b4 c4 d4 abcd c4 d4 a4 abcd d4 a4 b4 abcd abcd II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0 và đường trịn (C’): x2 y2 20x 50 0 . Hãy viết phương trình đường trịn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). 2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. Câu VII.a (1 điểm) Chứng minh rằng nếu a bi (c di)n thì a2 b2 (c2 d2 )n . B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 3 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ diện tích bằng , A(2; – 2 3), B(3; –2), trọng tâm của ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0. Viết phương trình đường trịn đi qua 3 điểm A, B, C. 2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuơng gĩc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD. log (x2 y2 ) log (2x) 1 log (x 3y) 4 4 4 Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x log4 (xy 1) log4 (4y 2y 2x 4) log4 1 y Trang 1
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng Hướng dẫn Câu I: 2) Gọi M(m; 2) d. Phương trình đường thẳng qua M cĩ dạng: y k(x m) 2 . Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) Hệ phương trình sau cĩ 3 nghiệm phân biệt: 5 x3 3x2 2 k(x m) 2 (1) m 1 hoặc m 3 3x2 6x k (2) m 2 Câu II: 1) Đặt t 2x 3 x 1 > 0. (2) x 3 2) 2) (sin x cos x) 4(cos x sin x) sin 2x 4 0 3 x k ; x k2 ; x k2 4 2 33 7 3 33 Câu III: (si n4 x cos4 x)(sin6 x cos6 x) cos4x cos8x I 64 16 64 128 V1 SM SN SM 1 Câu IV: Đặt V1=VS.AMN; V2=VA BCNM; V=VS.ABC; . . (1) V SB SC SB 2 2 4a SM 4 V1 2 V2 3 3 AM a; SM= V2 V (2) 5 5 SB 5 V 5 V 5 5 1 a3. 3 a3. 3 V S .SA V 3 ABC 3 2 5 Câu V: a4 b4 2a2b2 (1); b4 c4 2b2c2 (2); c4 a4 2c2a2 (3) a4 b4 c4 abc(a b c) a4 b4 c4 abcd abc(a b c d) 1 1 (4) đpcm. a4 b4 c4 abcd abc(a b c d) Câu VI.a: 1) A(3; 1), B(5; 5) (C): x2 y2 4x 8y 10 0 x y z 2) Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) (P) : 1 a b c 77 4 5 6 a 1   a b c 4 IA (4 a;5;6), JA (4;5 b;6) 77 5b 6c 0 b   JK (0; b;c), IK ( a;0;c) 5 4a 6c 0 77 c 6 Câu VII.a: a + bi = (c + di)n |a + bi| = |(c + di)n | |a + bi|2 = |(c + di)n |2 = |(c + di)|2n a2 + b2 = (c2 + d2)n Câu VI.b: 1) Tìm được C (1; 1) , C ( 2; 10) . 1 2 11 11 16 + Với C (1; 1) (C): x2 y2 x y 0 1 3 3 3 91 91 416 + Với C ( 2; 10) (C): x2 y2 x y 0 2 3 3 3 2) Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P)  (Oxy) (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q)  (Oxy) (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta cĩ (D) = (P)(Q) Phương trình của (D) x x=2 Câu VII.b: với >0 tuỳ ý và y y=1 Trang 2
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Đề số 2 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 3 2 Câu I. (2đ): Cho hàm số y x 3mx 9x 7 cĩ đồ thị (Cm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0 . 2. Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng. Câu II. (2đ): 1. Giải phương trình: sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 21 x 2x 1 2. Giải bất phương trình: 0 2x 1 3 x 7 5 x2 Câu III. (1đ) Tính giới hạn sau: A lim x 1 x 1 Câu IV (1đ): Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD); AB = SA = 1; .A GọiD M,2 N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Câu V (1đ): Biết (x;y) là nghiệm của bất phương trình:5x2 5y2 5x 15y 8 0 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F x 3y . II. PHẦN TỰ CHỌN (3đ) A. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2đ) x2 y2 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 1 . A, B là các điểm trên 25 16 (E) sao cho: AF1 BF2 8 , với F1;F2 là các tiêu điểm. Tính AF2 BF1 . 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( :) 2x y z 5 0 và điểm A(2;3; 1) . Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng ( ) . 3 2 3 3 Câu VIIa. (1đ): Giải phương trình: log1 (x + 2) - 3 = log1 (4 - x) + log1 (x + 6) 2 4 4 4 B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2đ) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn đi qua A(2; 1 )và tiếp xúc với các trục toạ độ. x 1 y 1 z 2 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt 2 1 3 phẳng P : x y z 1 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;1; 2) , song song với mặt phẳng (P) và vuơng gĩc với đường thẳng d . mx2 (m2 1)x 4m3 m Câu VII.b (1đ) Cho hàm số: y cĩ đồ thị (C ) . x m m Tìm m để một điểm cực trị của (Cm )thuộc gĩc phần tư thứ I, một điểm cực trị của (Cm )thuộc gĩc phần tư thứ III của hệ toạ độ Oxy. Trang 3
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng Hướng dẫn 3 2 Câu I: 2) Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và trục hồnh: x 3mx 9x 7 0 (1) Gọi hồnh độ các giao điểm lần lượt là x1; x2; x3 . Ta cĩ: x1 x2 x3 3m Để x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng thì x2 m là nghiệm của phương trình (1) m 1 3 1 15 2m 9m 7 0 1 15 . Thử lại ta được : m m 2 2 k x 2 2 2 2 Câu II: 1) sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x cos x(cos7x cos11x) 0 2 k x 9 2) 0 x 1 3 x 7 2 2 5 x2 1 1 7 Câu III: A lim lim = x 1 x 1 x 1 x 1 12 2 12 2 Câu IV: V ANIB 36 Câu V: Thay x F 3y vào bpt ta được: 50y2 30Fy 5F2 5F 8 0 2 Vì bpt luơn tồn tại y nên y 0 25F 250F 400 0 2 F 8 Vậy GTLN của F x 3y là 8. Câu VI.a: 1) AF1 AF2 2a và BF1 BF2 2a AF1 AF2 BF1 BF2 4a 20 Mà AF1 BF2 8 AF2 BF1 12 2) B(4;2; 2) Câu VII.a: x 2; x 1 33 2 2 2 Câu VI.b: 1) Phương trình đường trịn cĩ dạng: (x a) (y a) a (a) 2 2 2 (x a) (y a) a (b) a 1 a) b) vơ nghiệm. a 5 Kết luận: (x 1)2 (y 1)2 1 và (x 5)2 (y 5)2 25   x 1 y 1 z 2 2) u u ;n (2;5; 3) . nhận u làm VTCP : d P 2 5 3 Câu VII.b: Toạ độ các điểm cực trị lần lượt là: A(m;3m2 1) và B( 3m; 5m2 1) 2 Vì y1 3m 1 0 nên để một cực trị của (Cm )thuộc gĩc phần tư thứ I, một cực trị của m 0 1 (Cm ) thuộc gĩc phần tư thứ III của hệ toạ độ Oxy thì 3m 0 . m 2 5 5m 1 0 Trang 4
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Đề số 3 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 1 cĩ đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . Câu II: (2 điểm) 1 1 1. Giải phương trình: log (x 3) log (x 1)8 3log (4x) . 2 2 4 4 8 2. Tìm nghiệm trên khoảng 0; của phương trình: 2 2 x 2 3 4sin 3 sin 2x 1 2cos x- 2 2 4 Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f (x) f ( x) cos4 xvới mọi x R. 2 Tính: I f x dx . 2 Câu IV: (1 điểm) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là một hình vuơng tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuơng gĩc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chĩp O.AHK. Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 . a b c d Chứng minh rằng: 2 1 b2c 1 c2d 1 d2a 1 a2b II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a: (2 điểm) 3 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ diện tích bằng , A(2;– 2 3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0. 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuơng gĩc với mặt phẳng (P). Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình z2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm một nghiệm. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G( 2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0; 2x 5y 2 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và 6x 3y 2z 0 đường thẳng (d) . Viết phương trình đường thẳng // (d) và cắt 6x 3y 2z 24 0 các đường thẳng AB, OC. Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức: z4 – z3 6z2 –8z –16 0 . Trang 5
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng Hướng dẫn Câu I: 2) Giả sử A(a;a3 3a2 1), B(b;b3 3b2 1) (a b) Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y ( a) y (b) (a b)(a b 2) 0 a b 2 0 b = 2 – a a 1 (vì a b). AB2 (b a)2 (b3 3b2 1 a3 3a2 1)2 = 4(a 1)6 24(a 1)4 40(a 1)2 6 4 2 a 3 b 1 AB = 4 2 4(a 1) 24(a 1) 40(a 1) = 32 a 1 b 3 A(3; 1) và B(–1; –3) Câu II: 1) (1) (x 3) x 1 4x x = 3; x = 3 2 3 5 2 x k (k Z) (a) 18 3 2) (2) sin 2x sin x 3 2 5 x l2 (l Z) (b) 6 5 Vì x 0; nên x= . 2 18 2 2 2 2 Câu III: Đặt x = –t f x dx f t dt f t dt f x dx 2 2 2 2 2 2 2 4 2 f (x)dx f (x) f ( x) dx cos xdx 2 2 2 3 1 1 3 cos4 x cos2x cos4x I . 8 2 8 16 1    a3 2 Câu IV: V AH, AK .AO 6 27 Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si: a ab2c ab2c ab c ab(1 c) ab abc a a a a a (1) 1+b2c 1 b2c 2b c 2 4 4 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 b bc2d bc2d bc d bc 1 d bc bcd b b b b b (2) 1+c2d 1 c2d 2c d 2 4 4 4 c cd2a cd2a cd a cd 1 a cd cda c c c c c (3) 1+d2a 1 d2a 2d a 2 4 4 4 d da2b da2b da b da 1 b da dab d d d d d (4) 1+a2b 1 a2b 2a b 2 4 4 4 Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab 4 1 b2c 1 c2d 1 d2a 1 a2b 4 4 Mặt khác: 2 a c b d ab bc cd da a c b d 4 . Dấu "=" xảy ra a+c = b+d 2 2 2 a b c d abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a 2 2 Trang 6
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học a b c d abc bcd cda dab a b c d a b c d 4 4 2 a b c d abc bcd cda dab 4 . Dấu "=" xảy ra a = b = c = d = 1. 2 a b c d 4 4 Vậy ta cĩ: 4 1 b2c 1 c2d 1 d2a 1 a2b 4 4 a b c d 2 đpcm. 1 b2c 1 c2d 1 d2a 1 a2b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. x t Câu VI.a: 1) Ptts của d: . Giả sử C(t; –4 + 3t) d. y 4 3t   2 1 1 2 2 3 2 t 2 S AB.AC.sin A AB .AC AB.AC = 4t 4t 1 3 2 2 2 t 1 C(–2; –10) hoặc C(1;–1).   2) (Q) đi qua A, B và vuơng gĩc với (P) (Q) cĩ VTPT n n , AB 0; 8; 12 0 p (Q) : 2y 3z 11 0 Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 nên: 2 b c 0 b 2 (1 i) b(1 i) c 0 b c (2 b)i 0 2 b 0 c 2 Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 2) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa AB và song song d: ( ): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng () chứa OC và song song d: (): 3x – 3y + z = 0 6x 3y 2z 12 0 là giao tuyến của ( ) và () : 3x 3y z 0 z 1 z 2 Câu VII.b: z4 – z3 6z2 –8z –16 0 (z 1)(z 2)(z2 8) 0 z 2 2i z 2 2i Đề số 4 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số y x4 5x2 4, cĩ đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 4 2 2. Tìm m để phương trình x 5x 4 log2 m cĩ 6 nghiệm. Câu II (2.0 điểm). 1 1 1. Giải phương trình: sin2x sin x 2cot 2x (1) 2sin x sin2x 2. Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm x 0; 1 3 : m x2 2x 2 1 x(2 x) 0 (2) Trang 7
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 4 2x 1 Câu III (1.0 điểm). Tính I dx 0 1 2x 1 Câu IV (1.0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 cĩ AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 và · o BAC 120 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB  MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). Câu V (1.0 điểm). Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh: 3x 2y 4z xy 3 yz 5 zx II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn. Câu VI.a. (2.0 điểm). Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B( 1; 3; 0), C(1; 3; 0), M(0; 0; a) với a > 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuơng gĩc với mặt phẳng (MBC). 1. Cho a 3 . Tìm gĩc giữa mặt phẳng (NBC) và mặt phẳng (OBC). 2. Tìm a để thể tích của khối chĩp BCMN nhỏ nhất x x2 2x 2 3y 1 1 Câu VII.a. (1.0 điểm). Giải hệ phương trình: (x,y ¡ ) 2 x 1 y y 2y 2 3 1 B. Theo chương trình Nâng cao. Câu VI.b. (2.0 điểm). Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuơng gĩc với mp (P). 2. Tìm tọa độ điểm M (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 2 Câu VII. b. (1.0 điểm). Giải bất phương trình: (logx 8 log4 x )log2 2x 0 Hướng dẫn 9 9 Câu I: 2) x4 5x2 4 log m cĩ 6 nghiệm log m m 124 144 4 12 2 12 4 cos2 2x cos x cos2x 2cos2x Câu II: 1) (1) cos2x = 0 x k sin 2x 0 4 2 t2 2 2) Đặt t x2 2x 2 . (2) m (1 t 2),do x [0;1 3] t 1 t2 2 t2 2t 2 Khảo sát g(t) với 1 t 2. g'(t) 0 . Vậy g tăng trên [1,2] t 1 (t 1)2 t2 2 2 Do đĩ, ycbt bpt m cĩ nghiệm t [1,2] m max g(t) g(2) t 1 t 1;2 3 3 t2 Câu III: Đặt t 2x 1 . I = dt 2 + ln2. 1 t 1    3   1 a 15 1 2 Câu IV: V A A . AB,AM ; S MB,MA 3a 3 AA1BM 6 1 3 BMA1 2 1 3V a 5 d . S 3 1 3 5 Câu V: Áp dụng BĐT Cơ–si: xđpcm y xy; y z 3 xy; z x 5 xy 2 2 2 Trang 8
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Câu VI.a: 1) B, C (Oxy). Gọi I là trung điểm của BC I(0; 3;0) . ·MIO 450 ·NIO 450 . 3 3 3 2) V V V a đạt nhỏ nhất a a 3 . BCMN MOBC NOBC 3 a a Câu VII.a: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số x = y = 0. Câu VI.b: 1) 2x + 5y + z 11 = 0 2) A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A là điểm đối xứng với A qua (P) A'(3;1;0) Để M (P) cĩ MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với A B M(2;2; 3) . 1 log x 1 0 x Câu VII.b: (log 8 log x2 )log 2x 0 2 0 . x 4 2 log x 2 2 x 1 Đề số 5 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 1 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y cĩ đồ thị (C). x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 3sin2x 2sin x 1. Giải phương trình: 2 (1) sin2x.cos x 4 2 2 2. Giải hệ phương trình : x 4x y 6y 9 0 (2) 2 2 x y x 2y 22 0 2 2 Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau: I esin x .sin x.cos3 x. dx 0 Câu IV (1 điểm) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy gĩc . Tìm để thể tích của khối chĩp đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z P 3 4(x3 y3) 3 4(x3 z3) 3 4(z3 x3) 2 2 2 2 y z x II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ tâm I( ; 0) . 2 Đường thẳng chứa cạnh AB cĩ phương trình x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết đỉnh A cĩ hồnh độ âm . 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1 )và (d2 cĩ) phương x 1 y 1 z -2 x - 4 y 1 z 3 trình: (d ); ; (d ) : . 1 2 3 1 2 6 9 3 Trang 9
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1 ) và (d2 ) . Câu VII.a (1 điểm) Tìm m để phương trình sau cĩ 2 nghiệm phân biệt : 10x2 8x 4 m(2x 1). x2 1 (3) B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuơng ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuơng. 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( ) và ( ) cĩ phương x 3 t x 2 2 t' trình: ( ) : y 1 2t ; ( ) : y 2 t' z 4 z 2 4t' Viết phương trình đường vuơng gĩc chung của ( ) và ( ). Câu VII.b (1 điểm) Giải và biện luận phương trình: mx 1 .(m2 x2 2mx 2) x3 3x2 4x 2 (4) Hướng dẫn 3 Câu I: 2) Gọi M x(C).0 ;2 x0 1 3 3 Tiếp tuyến d tại M cĩ dạng: y 2 (x x0 ) 2 (x0 1) x0 1 6 Các giao điểm của d với 2 tiệm cận: A 1;2 , B(2x0 –1; 2). x0 1 S IAB = 6 (khơng đổi) chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB 6 x0 1 3 2 x 1 M1(1 3;2 3 ); M2()1 3;2 3 x 1 0 0 x0 1 3 2(1 cos x)sin x(2cos x 1) 0 Câu II: 1) (1) 2cosx – 1 = 0 x k2 sin x 0, cos x 0 3 (x2 2)2 (y 3)2 4 x2 2 u 2) (2) . Đặt 2 2 (x 2 4)(y 3 3) x 2 20 0 y 3 v u2 v2 4 u 2 u 0 Khi đĩ (2) hoặc u.v 4(u v) 8 v 0 v 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ;;; y 3 y 3 y 5 y 5 1 1 1 Câu III: Đặt t = sin2x I= et (1 t)dt = e 2 0 2 2 2 4 3 tan tan tan 1 1 1 Câu IV: V= a . . Ta cĩ 2 3 2 .2 . 2 3 (2 tan2 )3 (2 tan ) 2 tan 2 tan 2 tan 27 4a3 3 V khi đĩ tan2 =1 = 45o . max 27 Câu V: Với x, y, z > 0 ta cĩ 4(x3 y3 ) (x y)3 . Dấu "=" xảy ra x = y Tương tự ta cĩ:4(y3 z3 ) (y z)3 . Dấu "=" xảy ra y = z 4(z3 x3 ) (z x)3 . Dấu "=" xảy ra z = x Trang 10
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 3 4(x3 y3 ) 3 4(y3 z3 ) 3 4(z3 x3 ) 2(x y z) 6 3 xyz x y z 6 Ta lại cĩ 2 2 2 2 . Dấu "=" xảy ra x = y = z y z x 3 xyz 1 xyz 1 Vậy P 6 3 xyz 12 . Dấu "=" xảy ra x = y = z = 1 3 xyz x y z Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1. Câu VI.a: 1) A(–2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(–1; –2) 2) Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu VII.a: Nhận xét: 1 0x2 8x 4 2(2x 1)2 2(x2 1) 2 2x 1 2x 1 2x 1 (3) 2 m 2 0 . Đặt t Điều kiện : –2 VTPT của BC là:n1 ( b;a) . Phương trình AB cĩ dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 ax + by –2a –b =0 BC cĩ dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 – bx + ay +4b + 2a =0 b 3b 4a b 2a Do ABCD là hình vuơng nên d(P; AB) = d(Q; BC) a2 b2 a2 b2 b a b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – 4 =0 b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ 2 =0 2x – y 10z – 47 0 2) x 3y – 2z 6 0 Câu VII.b: (4) ( mx 1)3 mx 1 (x 1)3 (x 1) . Xét hàm số: f(t)=t3 t , hàm số này đồng biến trên R. f ( mx 1) f (x 1) mx 1 x 1 Giải và biện luận phương trình trên ta cĩ kết quả cần tìm. 2 1 mphương 1 trình cĩ nghiệm x = m 1 m = –1 phương trình nghiệm đúng với x 1 Các trường hợp cịn lại phương trình vơ nghiệm. Đề số 6 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số y x 3 3 x (1 ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + 2 luơn cắt đồ thị (C) tại một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuơng gĩc với nhau. Câu 2 (2 điểm): 1) Giải phương trình: 5 .3 2 x 1 7 .3 x 1 1 6 .3 x 9 x 1 0 (1) Trang 11
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau cĩ 2 nghiệm phân biệt: log (x 1) log (x 1) log 4 (a) 3 3 3 (2) log (x2 2x 5) m log 2 5 (b) 2 (x2 2x 5) x3 9z2 27(z 1) (a) Câu 3 (1 điểm): Giải hệ phương trình: y3 9x2 27(x 1) (b) (3) 3 2 z 9y 27(y 1) (c) Câu 4 (1 điểm): Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên của hình chĩp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các a cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho AK . Hãy tính khoảng cách giữa hai 3 đường thẳng MN và SK theo a. Câu 5 (1 điểm) Cho các số a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a b c thức: T . 1 a 1 b 1 c II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu 6a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuơng tại B và AB = 2BC. 2) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) cĩ phương trình: x 2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn cĩ bán kính bằng 3. Câu 7a (1 điểm) Tìm các số thực a, b, c để cĩ: z3 2(1 i)z2 4(1 i)z 8i (z ai)(z2 bz c) Từ đĩ giải phương trình: z3 2(1 i)z2 4(1 i)z 8i 0 trên tập số phức. Tìm mơđun của các nghiệm đĩ. B. Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C): x 2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà gĩc giữa hai tiếp tuyến đĩ bằng 600. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : x 2t; y t; z 4 ; (d2) : x 3 t; y t; z 0 Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) cĩ đường kính là đoạn vuơng gĩc chung của (d1) và (d2). x ln10 e dx Câu 7b (1 điểm) Cho số thực b ln2. Tính J = và tìm lim J. b 3 ex 2 b ln2 Hướng dẫn 9 Câu I: 2) M(–1;2). (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt m ; m 0 4 3 2 2 Tiếp tuyến tại N, P vuơng gĩc y '(x ).y '(x ) 1 m . N P 3 3 Câu II: 1) Đặt t 3x 0 . (1) 5t 2 7t 3 3t 1 0 x log ; x log 5 3 5 3 log (x 1) log (x 1) log 4 (a) 3 3 3 2) log (x2 2x 5) mlog 2 5 (b) 2 (x2 2x 5) Giải (a) 1 < x < 3. Trang 12
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 2 Xét (b): Đặt t log2 (x 2x 5) . Từ x (1; 3) t (2; 3). 25 (b) t 2 5t m . Xét hàm f (t) t 2 5t , từ BBT m ; 6 4 Câu III: Cộng (a), (b), (c) ta được: (x 3)3 (y 3)3 (z 3)3 0 (d) Nếu x>3 thì từ (b) cĩ: y3 9x(x 3) 27 27 y 3 từ (c) lại cĩ: z3 9y(y 3) 27 27 z 3 => (d) khơng thoả mãn Tương tự, nếu x 0 (d) khơng thoả mãn Nếu x=3 thì từ (b) => y=3; thay vào (c) => z=3. Vậy: x =y = z =3 Câu IV: I là trung điểm AD, HL  SI HL  (SAD) HL d(H;(SAD)) MN // AD MN // (SAD), SK  (SAD) a 21 d(MN, SK) = d(MN, (SAD)) = d(H, (SAD)) = HL = . 7 1 (1 a) 1 (1 b) 1 (1 c) 1 1 1 Câu V: T = 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 1 9 Ta cĩ: ; 0 1 a 1 b 1 c 6 (Bunhia) 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 9 6 1 6 T 6 . Dấu "=" xảy ra a = b = c = . minT = . 6 2 3 2 2 6 4 7 Câu VI.a: 1) B ; ; C1 (0;1); C2 ; 5 5 5 5 2) (S) cĩ tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (Q) chứa Ox (Q): ay + bz = 0. Mặt khác đường trịn thiết diện cĩ bán kính bằng 3 cho nên (Q) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a 0) (Q): y – 2z = 0. Câu VII.a: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4 Phương trình (z 2i)(z2 2z 4) 0 z 2i; z 1 3i; z 1 3i z 2 . Câu VI.b: 1) (C) cĩ tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Oy ·AMB 600 (1) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB · 0 AMB 120 (2) Vì MI là phân giác của ·AMB nên: IA (1) ·AMI = 300 MI MI = 2R m2 9 4 m 7 sin 300 IA 2 3 4 3 (2) ·AMI = 600 MI MI = R m2 9 Vơ nghiệm Vậy cĩ hai sin 600 3 3 điểm M1(0;7 ) và M2(0; 7 ) 2) Gọi MN là đường vuơng gĩc chung của (d 1) và (d2) M (2; 1; 4); N(2; 1; 0) Phương trình mặt cầu (S): (x 2)2 (y 1)2 (z 2)2 4. x 3 b 2 / 3 3 Câu VII.b: Đặt u e 2 J 4 (e 2) . Suy ra: lim J .4 6 2 b ln 2 2 Đề số 7 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 3 2 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x 2mx (m 3)x 4 cĩ đồ thị là (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1. 2) Cho (d) là đường thẳng cĩ phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị Trang 13
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC cĩ diện tích bằng 8 2 . Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: cos2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x) (1) 8x3 y3 27 18y3 2) Giải hệ phương trình: (2) 2 2 4x y 6x y 2 2 1 Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = sin x  sin x dx 2 6 Câu IV (1 điểm): Cho hình chĩp S.ABC cĩ gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC). Câu V (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau cĩ nghiệm thực: 2 2 91 1 x (m 2)31 1 x 2m 1 0 (3) II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn: Câu VIa (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) cĩ phương trình (x 1)2 (y 2)2 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d cĩ duy nhất một điểm A mà từ đĩ kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường trịn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuơng. 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d cĩ x 1 y z 1 phương trình: . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với 2 1 3 d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Câu VIIa (1 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 4a3 4b3 4c3 3 (4) (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) B. Theo chương trình nâng cao: Câu VIb (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC cĩ 3 diện tích bằng ; trọng tâm G của ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. 2 Tìm bán kính đường trịn nội tiếp ABC. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 1 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN = 8. log (x2 y2 ) 1 log (xy) 2 2 Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình : (x, y R) x2 xy y2 3 81 Hướng dẫn 2 Câu I: 2) xB, xC là các nghiệm của phương trình: x 2mx m 2 0 . 1 1 137 S 8 2 BC.d(K,d) 8 2 BC 16 m KBC 2 2 Câu II: 1) (1) (cos x – sin x)2 4(cos x – sin x) – 5 0 x k2  x k2 2 Trang 14
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 3 3 3 (2x) 18 y 3 a b 3 2) (2) . Đặt a = 2x; b = . (2) 3 3 y ab 1 2x. 2x 3 y y 3 5 6 3 5 6 Hệ đã cho cĩ nghiệm: ; , ; 4 3 5 4 3 5 3 Câu III: Đặt t = cosx. I = 2 16 1 a3 3 1 a2 13 3 3a Câu IV: VS.ABC =S .SO = S .d(B;SAC) . S d(B; SAC) = 3 SAC 16 3 SAC SAC 16 13 2 2 t 2t 1 Câu V: Đặt t = 31 1 x . Vì x [ 1;1] nên t [3;9] . (3) m . t 2 t 2 2t 1 48 Xét hàm số f (t) với t [3;9] . f(t) đồng biến trên [3; 9]. 4 f(t) . t 2 7 48 4 m 7 Câu VI.a: 1) (C) cĩ tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuơng cạnh bằng 3 IA 3 2 m 1 m 5 3 2 m 1 6 2 m 7 2) Gọi H là hình chiếu của A trên d d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta cĩ AH HI => HI lớn nhất khi A  I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi  qua A và nhận AH làm VTPT (P): 7x y 5z 77 0 . Câu VII.a: Áp dụng BĐT Cơ–si ta cĩ: a3 1 b 1 c 3a b3 1 c 1 a 3b c3 1 a 1 b 3c ; ; (1 b)(1 c) 8 8 4 (1 c)(1 a) 8 8 4 (1 a)(1 b) 8 8 4 a3 b3 c3 a b c 3 33 abc 3 3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 2 4 2 4 4 Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1. a b 5 2S Câu VI.b: 1) Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = ABC 2 AB a b 8 (1) a 5 b 5 a b 5 3 ; Trọng tâm G (d) ; 3a –b =4 (3) a b 2 (2) 3 3 S 3 (1), (3) C(–2; 10) r = p 2 65 89 S 3 (2), (3) C(1; –1) r p 2 2 5 2) (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R=13 m IM (m 13) . Gọi H là trung điểm của MN MH= 4 IH = d(I; d) = m 3  u; AI (d) qua A(0;1;-1), VTCP u d(I;(2;1 ;d)2) = 3 u Vậy : m 3 =3 m = –12 Câu VII.b: Điều kiện x, y > 0 log (x2 y2 ) log 2 log (xy) log (2xy) 2 2 2 2 2 2 x xy y 4 Trang 15
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng x2 y2 2xy (x y)2 0 x y x 2 x 2 hay 2 2 x xy y 4 xy 4 xy 4 y 2 y 2 Đề số 8 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 4 2 2 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số f (x) x 2(m 2)x m 5m 5 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1 2) Tìm m để (Cm) cĩ các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuơng cân. Câu II: (2 điểm) 1 1 1) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: (1) x 2 3 x 5 2x 2) Tìm các nghiệm thực của phương trình sau thoả mãn 1 log1 x 0 : 3 sin x.tan 2x 3(sin x 3 tan 2x) 3 3 (2) 1 1 x Câu III: (1 điểm) Tính tích phân sau: I 2xln 1 x dx 0 1 x Câu IV: (1 điểm) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi với µA 1200 , BD = a >0. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. Gĩc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 0. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuơng gĩc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chĩp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chĩp. Câu V: (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc a c b. Hãy tìm giá trị lớn 2 2 3 nhất của biểu thức: P (3) a2 1 b2 1 c2 1 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm ) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC cĩ phương trình x y 1 0 . Phương trình đường cao vẽ từ B là: x 2y 2 0 . Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) đi qua x 2 y z 1 M(1;1;1), cắt đường thẳng d : và vuơng gĩc với đường thẳng 1 3 1 2 d2 : x 2 2t; y 5t; z 2 t (t R ). 1 2 3 n n 2n n Câu VII.a: (1 điểm) Giải phương trình: Cn 3Cn 7Cn (2 1)Cn 3 2 6480 B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): x2 5y2 5, Parabol (P) : x 10y2 . Hãy viết phương trình đường trịn cĩ tâm thuộc đường thẳng ( ) : x 3y 6 ,0 đồng thời tiếp xúc với trục hồnh Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P). 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuơng gĩc với mặt phẳng (P): x y z 1 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng x 1 y 1 z d : và (d ) : x 1 t; y 1; z t , với t R . 1 2 1 1 2 Trang 16
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 2 x 1 6log4 y (a) Câu VII.b: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: . (4) 2 x 2x 1 y 2 y 2 (b) Hướng dẫn Câu I: 2) Hàm số cĩ CĐ, CT khi m < 2 . Toạ độ các điểm cực trị là: A(0;m2 5m 5), B( 2 m;1 m), C( 2 m;1 m) Tam giác ABC luơn cân tại A ABC vuơng tại A khi m = 1. 1 Câu II: 1) Với 2 x : x 2 3 x 0, 5 2x 0 , nên (1) luơn đúng 2 1 5 5 Với x : (1) x 2 3 x 5 2x 2 x 2 2 2 1 5 Tập nghiệm của (1) là S 2;  2; 2 2 2) (2) (sin x 3)(tan 2x 3) 0 x k ;k Z 6 2 5 Kết hợp với điều kiện ta được k = 1; 2 nên x ; x 3 6 1 1 x Câu III: Tính H dx . Đặt x cost;t 0; H 2 0 1 x 2 2 1 u ln(1 x) 1 Tính K 2xln 1 x dx . Đặt K 0 dv 2xdx 2 Câu IV: Gọi V, V1, và V2 là thể tích của hình chĩp S.ABCD, K.BCD và phần cịn lại của V S .SA SA hình chĩp S.ABCD: ABCD 2. 13 V1 SBCD .HK HK V V V V V Ta được: 1 2 1 2 13 2 12 V1 V1 V1 V1 a c Câu V: Điều kiện abc a c b b vì ac 1 và a,b,c 0 1 ac Đặt a tan A,c tanC với A,C k ;k Z . Ta được b tan A C 2 2 2 3 (3) trở thành: P tan2 A 1 tan2 (A C) 1 tan2 C 1 2cos2 A 2cos2 (A C) 3cos2 C cos2A cos(2A 2C) 3cos2 C 2sin(2A C).sinC 3cos2 C 2 2 10 1 10 Do đĩ: P 2 sinC 3sin C 3 sinC 3 3 3 1 sinC 3 sin(2A C) 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi: sin(2A C).sinC 0 1 2 2 Từ sinC tanC . Từ sin(2A C) 1 cos(2A C) 0 được tan A 3 4 2 10 2 2 Vậy max P a ;b 2;c 3 2 4 Trang 17
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 2 5 Câu VI.a: 1) C ; , AB: x 2y 2 0 , AC: 6x 3y 1 0 3 3 2) Phương trình mp(P) đi qua M và vuơng gĩc với d2: 2x 5y z 2 0 x 1 y 1 z 1 Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là:A 5; 1;3 d: 3 1 1 n 0 1 2 2 3 3 n n Câu VII.a: Xét 1 x Cn Cn .x Cn .x Cn .x Cn .x n 1 1 2 3 2 n n 1 Lấy đạo hàm 2 vế n 1 x Cn 2Cn .x 3Cn .x nCn .x 2 2 2 2 2 Lấy tích phân: n 1 x n 1 dx C1 dx 2C 2 xdx 3C3 x2dx nC n xn 1dx n n n n 1 1 1 1 1 1 2 3 n n n n Cn 3Cn 7Cn 2 1 Cn 3 2 Giải phương trình 3n 2n 32n 2n 6480 32n 3n 6480 0 3n 81 n 4 Câu VI.b: 1) Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 4 3b b b 1 Tâm I nên: I 6 3b;b . Ta cĩ: 6 3b 2 b 4 3b b b 2 (C): x 3 2 y 1 2 1 hoặc (C): x2 y 2 2 4 2) Lấy M d M 1 2t ; 1 t ;t ; N d N 1 t; 1; t  1 1 1 1 2 Suy ra MN t 2t1 2;t1; t t1 4  t * 5 1 3 2 d  mp P MN k.n;k R t 2t1 2 t1 t t1 M ; ; 2 5 5 5 t 1 5 1 3 2 d: x y z 5 5 5 x 1 2 x 1 2 x 1 Câu VII.b: Từ (b) y 2 .Thay vào (a) x 1 6log4 2 x 3x 4 0 x 4 Nghiệm (–1; 1), (4; 32). Đề số 9 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cĩ điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. Câu II (2 điểm) 2 3 2 1) Giải phương trình: cos3xcos3 x sin3xsin3 x (1) 8 x2 1 y(y x) 4y 2) Giải hệ phương trình: (x, y ) (2) 2 (x 1)(y x 2) y 5 dx Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I 3 2x 1 4x 1 Trang 18
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học a 3 Câu IV (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ các cạnh AB=AD = a, AA’ = 2 và gĩc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’ vuơng gĩc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chĩp A.BDMN. Câu V (1 điểm) Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2+xy+y2 3 .Chứng minh rằng: –4 3 –3 x2 – xy –3y2 4 3 3 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y –2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuơng gĩc với mặt phẳng ( ), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và ( ). ln(1 x) ln(1 y) x y (a) Câu VII.a (1 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 x 12xy 20y 0 (b) B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho DABC cĩ cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1). Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao CH: 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của DABC . 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = 0 và hai x y 3 z 1 x 4 y z 3 đường thẳng d1: = = , = = . Chứng minh rằng d 1 và d2 1 2 3 1 1 2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng nằm trên (P), đồng thời cắt cả d1 và d2. Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: 4x – 2x 1 2(2x –1)sin(2x y –1) 2 0 . Hướng dẫn Câu I: 2) YCBT phương trình y' = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1 ' 4m2 m 5 0 5 7 f (1) 5m 7 0 < m < 4 5 S 2m 1 1 2 3 2 Câu II: 1) (1) cos4x = x k 2 16 2 x2 1 y x 2 2 x2 1 y 1 x 1 x 2 2) (2) hoặc y 2 x 1 y 2 y 5 (y x 2) 1 y x 2 1 y 3 1 Câu III: Đặt t = 4x 1 . I ln 2 12 3 3 1 1 a2 3 3a3 Câu IV: VA.BDMN = VS.ABD = . SA.SABD = .a3 . 4 4 3 4 4 16 Câu V: Đặt A = x2 xy y2 , B = x2 xy 3y2 Nếu y = 0 thì B = x2 0 B 3 x x2 xy 3y2 t 2 t 3 Nếu y 0 thì đặt t = ta được B = A. A. y x2 xy y2 t 2 t 1 Trang 19
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng t 2 t 3 Xét phương trình: (m–1)t m 2 + (m+1)t + m + 3 = 0 (1) t 2 t 1 (1) cĩ nghiệm m = 1 hoặc = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3) 0 3 4 3 3 4 3 m 3 3 Vì 0 A 3 nên –3– 4 B3 –3+ 4 3 2 2 8 8 Câu VI.a: 1) A ; , C ; , B(– 4;1) 3 3 3 3 x 2 y 2 z 2) I(2;2;0). Phương trình đường thẳng KI: . Gọi H là hình chiếu của I trên (P): 3 2 1 H(–1;0;1). Giả sử K(xo;yo;zo). x0 2 y0 2 z0 1 1 3 Ta cĩ: KH = KO 3 2 1 K(– ; ; ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 (x0 1) y0 (z0 1) x0 y0 z0 Câu VII.a: Từ (b) x = 2y hoặc x = 10y (c). Ta cĩ (a) ln(1+x) – x = ln(1+y) – y (d) 1 t Xét hàm số f(t) = ln(1+t) – t với t (–1; + ) f (t) = 1 1 t 1 t Từ BBT của f(t) suy ra; nếu phương trình (d) cĩ nghiệm (x;y) với x y thì x, y là 2 số trái dấu, nhưng điều này mâu thuẩn (c). Vậy hệ chỉ cĩ thể cĩ nghiệm (x, y) với x = y. Khi đĩ thay vào (3) ta được x = y = 0 Câu VI.b: 1) Gọi (d) là đường thẳng qua M vuơng gĩc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta cĩ: 1 1 (d) : x y 1 0, I (d)  (AD) I ; N( 1; 0) (I là trung điểm MN). 2 2 AB  CH pt(AB) : x 2y 1 0, A (AB)  (AD) A(1; 1) . AB = 2AM AB = 2AN N là trung điểm AB B 3; 1 . 1 pt(AM ) : 2x y 1 0, C (AM )  (CH ) C ; 2 2 2) Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1) x 2 y 7 z 5 Phương trình đường thẳng : 5 8 4 2x 1 sin(2x y 1) 0 (1) Câu VII.b: PT x cos(2 y 1) 0 (2) Từ (2) sin(2x y 1) 1 . Thay vào (1) x = 1 y 1 k 2 Đề số 10 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 1 Câu I (2 điểm). Cho hàm số y cĩ đồ thị là (C). x 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luơn luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB cĩ độ dài nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) Trang 20
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 1) Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 2 2 2 2) Giải bất phương trình: log 2 x log 2 x 3 5(log 4 x 3) dx Câu III (1 điểm). Tìm nguyên hàm I sin 3 x.cos5 x Câu IV (1 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 cĩ tất cả các cạnh bằng a, gĩc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a. Câu V (1 điểm). Cho ba số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn: a 2009 + b2009 + c2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4. II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm). 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng (d 1): x 7y 17 0 , (d2): x y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d 1), (d2) một tam giác cân tại giao điểm của (d1), (d2). 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ A  O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’. Câu VIIa (1 điểm). Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luơn luơn cĩ mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. 2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng (d 1): x + y + 1 = 0, (d2): x – 2y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2) x 1 y 2 z với: (d1): ; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0 và (Q): 3 2 1 x y z 2 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuơng gĩc (d1) và cắt (d2). Câu VIIb (1 điểm) Tìm hệ số của x8 khai triển Newtơn của biểu thức P (1 x2 x3)8 . Hướng dẫn 2 2 2 2 Câu I: 2) AB = (xA – xB) + (yA – yB) = 2(m + 12) AB ngắn nhất AB2 nhỏ nhất m = 0. Khi đĩ AB 24 Câu II: 1) PT (1– sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 1– sinx = 0 x k2 2 2 2 2) BPT log2 x log2 x 3 5(log2 x 3) (1) 2 Đặt t = log2x. (1) t 2t 3 5(t 3) (t 3)(t 1) 5(t 3) t 1 1 t 1 log x 1 0 x t 3 2 2 3 t 4 3 log x 4 2 2 8 x 16 (t 1)(t 3) 5(t 3) 3 1 3 1 Câu III: Đặt tanx = t . I (t3 3t t 3 )dt tan4 x tan2 x 3ln tan x C t 4 2 2tan2 x Câu IV: Kẻ đường cao HK của AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1. A1H.AH a 3 Ta cĩ AA1.HK = A1H.AH HK AA1 4 Câu V: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta cĩ: Trang 21
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 1 1 .  1 a a a a 2009. a .a .a .a 2009.a (1) 2005 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 Tương tự: 1 1 .  1 b b b b 2009. b .b .b .b 2009.b (2) 2005 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4 1 1 .  1 c c c c 2009. c .c .c .c 2009.c (3) 2005 Từ (1), (2), (3) ta được: 6015 4(a2009 b2009 c2009 ) 2009(a4 b4 c4 ) 6027 2009(a4 b4 c4 ) . Từ đĩ suy ra P a4 b4 c4 3 Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3. Câu VI.a: 1) Phương trình đường phân giác gĩc tạo bởi d1, d2 là: x 7y 17 x y 5 x 3y 13 0 ( ) 1 2 2 2 2 1 ( 7) 1 1 3x y 4 0 ( 2 ) Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1, 2 KL: x 3y 3 0 và 3x y 1 0 2) Kẻ CH AB’, CK DC’ CK  (ADC’B’) nên CKH vuơng tại K. 49 49 CH 2 CK 2 HK 2 . Vậy phương trình mặt cầu: (x 3)2 (y 2)2 z2 10 10 Câu VII.a: Cĩ tất cả C 2 .C 2 .4! = 1440 số. 4 5  A (d1 ) A(a; 1 a) MA (a 1; 1 a) Câu VI.b: 1)  B (d ) B(2b 2;b) 2 MB (2b 3;b) 2 1 A ; A 0; 1 3 3 (d) : x 5y 1 0 hoặc (d) : x y 1 0 B(4;3) B( 4; 1) 2) Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(0;1;1) vuơng gĩc với (d1): 3x 2y z 3 0 . 3x 2y z 3 0 x 1 Toạ độ giao điểm A của (d2) và ( ) là nghiệm của hệ x 1 0 y 5 / 3 x y z 2 0 z 8 / 3 x y 1 z 1 Đường thẳng cần tìm là AM cĩ phương trình: 3 2 5 8 k 2 8 k 2k k k i i i Câu VII.b: Ta cĩ: P 1 x (1 x) C8 x (1 x) . Mà (1 x) Ck ( 1) x k 0 i 0 Để ứng với x8 ta cĩ: 2k i 8;0 i k 8 0 k 4 . Xét lần lượt các giá trị k k = 3 hoặc k = 4 thoả mãn. 8 3 2 2 4 0 0 Do vậy hệ số của x là: a C8 C3 ( 1) C8 C4 ( 1) 238 . Đề số 11 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x 1 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y (C). x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên trục tung tất cả các điểm từ đĩ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C). Trang 22
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: log2 (x2 1) (x2 5)log(x2 1) 5x2 0 2) Tìm nghiệm của phương trình: cos x cos2 x sin3 x 2 thoả mãn : x 1 3 1 Câu III: (1 điểm) Tính tích phân:I xln(x2 x 1)dx 0 Câu IV: (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ ABC là tam giác vuơng tại B và AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 a2 b2 ). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua A và vuơng gĩc với CA . Câu V: (1 điểm) Cho các số thực x, y, z (0;1) và xy yz zx 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z biểu thức: P 1 x2 1 y2 1 z2 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): A. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) cĩ phương trình: {x t ; y 1 2t ; z 2 t (t R ) và mặt phẳng (P): 2x y 2z 3 0.Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trên (P), cắt và vuơng gĩc với (d). x2 y2 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 1 . Viết phương trình 9 4 đường thẳng d đi qua I(1;1) cắt (E) tại 2 điểm A và B sao cho I là trung điểm của AB. z w zw 8 Câu VII.a: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 2 2 z w 1 B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC cân cĩ đáy là BC. Đỉnh A cĩ tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 3 7(x - 1) . Biết chu vi của DbằngAB C18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2 y 1 x x 2x 2 3 1 Câu VII.b: (1 điểm) Giải hệ phương trình: (x, y R) 2 x 1 y y 2y 2 3 1 Hướng dẫn Câu I: Sử dụng điều kiện tiếp xúc M(0;1) và M(0;–1) Câu II: 1) Đặt log(x2 1) y . PT y2 (x2 5)y 5x2 0 y 5  y x2 Nghiệm: x 99999 ; x = 0 2) PT ( cos x 1)(cos . xVì sin x sin x.cos x 2) 0 x k2 x 1 3 2 x 4 nên nghiệm là: x = 0 u ln(x2 x 1) 3 Câu III: Đặt I 2 dv xdx 4 12 3 ab a2 b2 c2 Câu IV: S td 2c Câu V: Vì 0 x 1 1 x2 0 Áp dụng BĐT Cơsi ta cĩ: 2 2x2 (1 x2 ) (1 x2 ) 2 x 3 3 3 2x2 (1 x2 )2 x(1 x2 ) x2 3 3 3 3 1 x2 2 Trang 23
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng y 3 3 z 3 3 Tương tự: y2 ; z2 1 y2 2 1 z2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 Khi đĩ: P (x2 y2 z2 ) (xy yz zx) P x y z 2 2 2 min 2 3 Câu VI.a: 1) Gọi A = d  (P) A(1; 3;1) . Phương trình mp(Q) qua A và vuơng gĩc với d: x 2y z 6 0 là giao tuyến của (P) và (Q) : x 1 t; y 3; z 1 t 2) Xét hai trường hợp: d  (Ox) và d  (Ox) d: 4x 9y 43 0 z w zw 8 zw 5 zw 13 (a) (b) Câu VII.a: PT 2  (z w) 2(z w) 15 0 z w 3 z w 5 3 i 11 3 i 11 5 i 27 5 i 27 w w w w 2 2 2 2 (a)  ; (b)  3 i 11 3 i 11 5 i 27 5 i 27 z z z z 2 2 2 2 7 14 Câu VI.b: 1) Gọi G là trọng tâm của ABCD ta cĩ: G ; ;0 . 3 3 Ta cĩ: MA2 MB2 MC 2 MD2 4MG2 GA2 GB2 GC 2 GD2 2 2 2 2 7 14 GA GB GC GD . Dấu bằng xảy ra khi M  G ; ;0 . 3 3 2) B AB  Ox B(1;0) , A AB A a;3 7(a 1) a 1 (do xA 0, yA 0 ). Gọi AH là đường cao ABC H (a;0) C(2a 1;0) BC 2(a 1), AB AC 8(a 1) . Chu vi ABC 18 a 2 C(3;0), A 2;3 7 . u x 1 u u2 1 3v Câu VII.b: Đặt . Hệ PT v y 1 2 u v v 1 3 3u u u2 1 3v v v2 1 f (u) f (v) , với f (t) 3t t t 2 1 t t 2 1 Ta cĩ: f (t) 3t ln3 0 f(t) đồng biến t 2 1 2 u 2 u v u u 1 3 u log3 (u u 1) 0 (2) 2 Xét hàm số: g(u) u log3 u u 1 g '(u) 0 g(u) đồng biến Mà g(0) 0 u 0 là nghiệm duy nhất của (2). KL: x y 1 là nghiệm duy nhất của hệ PT. Đề số 12 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 3 2 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y x 3m x 2m (Cm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 . 2) Tìm m để (Cm) và trục hồnh cĩ đúng 2 điểm chung phân biệt. Trang 24
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Câu II: (2 điểm) (sin 2x sin x 4)cos x 2 1) Giải phương trình: 0 2sin x 3 2) Giải phương trình: 8x 1 2 3 2x 1 1 2 sin xdx Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I 3 0 (sin x cos x) Câu IV: (1 điểm) Cho khối chĩp S.ABC cĩ SA (ABC), ABC vuơng cân đỉnh C và SC = a . Tính gĩc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chĩp lớn nhất. Câu V: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau đây cĩ đúng 2 nghiệm thực phân biệt: 2 x 2 x (2 x)(2 x) m II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): A. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z 1 0 để MAB là tam giác đều. n 20 2 5 Câu VII.a: (1 điểm) Tìm hệ số của x trong khai triển Newton của biểu thức x , x3 1 1 1 1 biết rằng: C 0 C1 C 2 ( 1)n C n n 2 n 3 n n 1 n 13 B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) :3x y 5 0sao cho hai tam giác MAB, MCD cĩ diện tích bằng nhau. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( 1 ) cĩ phương trình x 2t; y t; z 4 ; ( 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) : x y 3 0 và ( ) : 4x 4y 3z 12 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng 1, 2 chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuơng gĩc chung của 1, 2 làm đường kính. x2 (2m 1)x m2 m 4 Câu VII.b: (1 điểm) Cho hàm số y . Chứng minh rằng với mọi m, 2(x m) hàm số luơn cĩ cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị khơng phụ thuộc m. Hướng dẫn y có CĐ, CT Câu I: 2) (Cm) và Ox cĩ đúng 2 điểm chung phân biệt m 1 yCĐ 0 hoặc yCT 0 (2cos x 1)(sin x cos x 2) 0 Câu II: 1) PT x k2 2sin x 3 0 3 2) Đặt 2x u 0; 3 2x 1 1 v . x 0 u3 1 2v u3 1 2v u v 0 PT 3 2 2 3 1 5 v 1 2u (u v)(u uv v 2) 0 u 2u 1 0 x log2 2 2 costdt 2 cos xdx Câu III: Đặt x t dx dt I 3 3 2 0 (sin t cost) 0 (sin x cos x) Trang 25
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 2 2 dx 1 dx 1 4 1 2I cot(x ) 1 I 2 (sin x cos x) 2 2 2 4 2 0 0 sin (x ) 0 4 a3 Câu IV: ·SCA 0; V (sin sin3 ) . Xét hàm số y sin x sin3 x trên khoảng 0; . 2 SABC 6 2 a3 a3 3 1 Từ BBT (VSABC )max ymax khi sin , 0; 6 9 3 2 1 1 Câu V: Đặt t 2 x 2 x t ' 0 2 2 x 2 2 x t t(x) nghịch biến trên [ 2;2] t [ 2;2] . Khi đĩ: PT 2m t 2 2t 4 Xét hàm f (t) t 2 2t 4 với t [ 2;2] . 5 Từ BBT Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt 5 2m 4 m 2 2 x y Câu VI.a: 1) PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): 1 (a,b>0) a b 3 1 Cơ si 3 1 M(3; 1) d 1 2 . ab 12 . a b a b a 3b a 6 Mà OA 3OB a 3b 2 3ab 12 (OA 3OB)min 12 3 1 1 b 2 a b 2 x y Phương trình đường thẳng d là: 1 x 3y 6 0 6 2 2) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB (Q): x y z 3 0 d là giao tuyến của (P) và (Q) d: x 2; y t 1; z t M d M (2;t 1;t) AM 2t 2 8t 11 . Vì AB = 12 nên MAB đều khi MA = MB = AB 4 18 6 18 4 18 2t 2 8t 1 0 t M 2; ; 2 2 2 n 0 1 2 2 n n n Câu VII.a: Ta cĩ (1 x) Cn Cn x Cn x ( 1) Cn x B 1 1 1 1 1 1 Vì (1 x)n dx , Bdx C 0 C1 C 2 ( 1)n C n n 1 13 n 12 n n n n 0 n 1 0 2 3 n 1 2 12 2 n k ( x5 )n C k .( ) (x5 )k T C k .212 k.x8k 36 8k 36 20 k 7 3  12 3 , k 1 12 x k 0 x 20 7 5 Hệ số của x là: C12 .2 25344 x t Câu VI.b: 1) Phương trình tham số của : . M M(t; 3t – 5) y 3t 5 7 7 S S d(M , AB).AB d(M ,CD).CD t 9  t M ( 9; 32), M ( ;2) MAB MCD 3 3 2) Gọi AB là đường vuơng gĩc chung của 1 , 2 : A(2t;t;4) 1 , B(3 s; s;0) 2 AB  1, AB  2 A(2;1;4), B(2;1;0) Phương trình mặt cầu là: (x 2)2 (y 1)2 (z 2)2 4 Câu VII.b: Hàm số luơn cĩ hai điểm cực trị x1 m 2, x2 m 2 . Khoảng cách giữa hai điểm cực 2 2 trị là AB (y2 y1 ) (x2 x1 ) 2 x1 x2 = 4 2 (khơng đổi) Trang 26
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Đề số 13 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x 3m 1 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y cĩ đồ thị là (Cm) (m là tham số) 2 m x 4m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. 2) Xác định m sao cho đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB là ngắn nhất. Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: sinx cosx 4sin 2x 1 . 2 2 x y x y 2 2) Tìm m để hệ phương trình: 2 2 cĩ ba nghiệm phân biệt. m x y x y 4 1 e xex 1 Câu III: (1 điểm) Tính các tích phân I x3 1 x2 dx ; J = dx x 0 1 x(e ln x) Câu IV: (1điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao cho AM = x, (0 < x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích 1 khối đa diện MBNC'A'B' bằng thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. 3 Câu V: (1 điểm) Cho x, y là hai số dương thay đổi thoả điều kiện 4(x + y) – 5 = 0. Tìm giá 4 1 trị nhỏ nhất của biểu thức S = . x 4y II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1: 3x 4y 5 0 ; 2: 4x –3y –5 0 . Viết phương trình đường trịn cĩ tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với 1, 2. 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chĩp A.OBC, trong đĩ A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và cĩ hồnh độ dương, C thuộc Oy và cĩ tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuơng gĩc với mặt phẳng (OBC), tan·OBC 2 . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: z2 2(2 i)z 7 4i 0 trên tập số phức. B. Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm M1(155; 48), M2(159; 50), M3(163; 54), M4(167; 58), M5(171; 60). Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(163; 50) sao cho đường thẳng đĩ gần các điểm đã cho nhất. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. Câu VII.b (1 điểm) Chứng minh rằng : 8a4 8a2 1 1 , với mọi a thuộc đoạn [–1 ; 1]. Hướng dẫn 2 2m 1 1 1 Câu I: 2) AB = 4 2 . Dấu "=" xảy ra m AB ngắn nhất m . 2 2 2 Câu II: 1) Đặt t sin x cos x ,t 0 . PT t – t2 = 0 x k ; x l , (k,l Z) 4 2 Trang 27
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng (m 1)x4 2(m 3)x2 2m 4 0 (1) 2) Hệ PT x2 2 . y x2 1 2x2 1 0 Khi m = 1: Hệ PT x2 2 (VN) y x2 1 Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t 0 . Xét f (t) (m 1)t 2 2(m 3)t 2m 4 0 (2) Hệ PT cĩ 3 nghiệm phân biệt (1) cĩ ba nghiệm x phân biệt f (0) 0 (2) cĩ một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 2 m 3 m 2 . S 1 m 1 1 8 Câu III: I x3 1 x2 dx Đặt: t 1 x2 I t 2 t 4 dt 0 0 15 e e x xex 1 d e ln x e ee 1 J = dx = ln ex ln x ln x x 1 1 x e ln x 1 e ln x e Câu IV: Ta cĩ A'M, B'B, C'N đồng quy tại S. Đặt V1 = VSBMN, V2 = VSB'A'C' , V = VMBNC'A'B'. SB a x a a x Ta cĩ SB , (0< x < a) SB ' a x 3 4 x V1 a x 1 a Xét phép vị tự tâm S tỉ số k = 1 ta cĩ: . Mà V2 S A' B 'C '.SB ' . a V2 a 3 6x 3 3 2 a4 x a4 x a3 x x V 1 ; Do đĩ: V V V 1 1 1 1 1 1 2 1 6x a 6x a 6 a a 3 2 2 1 3 a x x 1 3 x x Theo đề bài V = a 1 1 1 a 1 1 1 0 (*) 3 6 a a 3 a a x 2 1 3 5 Đặt t 1 , t 0 (vì 0< x<0), PT (*) t + t – 1 = 0 t = ( 5 1) x a a 2 2 4 1 20 15x 5 Câu V: Ta cĩ: 4(x + y) = 5 4y = 5 – 4x S = = , với 0 < x < x 4y x(5 4x) 4 1 Dựa vào BBT MinS = 5 đạt được khi x = 1, y = 4 Câu VI.a: 1) Tâm I là giao điểm của d với đường phân giác của gĩc tạo bởi 1 và 2. 2) Câu VII.a: zz 2 i; z 2 3i Câu VI.b: 1) Đường thẳng d: y = ax + b gần các điểm đã cho M i(xi; yi), i = 1, , 5 nhất thì một điều 5 2 kiện cần là f (a)  y1 yi bé nhất, trong đĩ yi axi b . i 1 Đường thẳng d đi qua điểm M(163; 50) 50 = 163a + b d: y = ax – 163a + 50. Từ đĩ: f (a) (48 155a 163a 50)2 (50 159a 163a 50)2 (54 163a 163a 50)2 + (58 167a 163a 50)2 (60 171a 163a 50)2 = (8a 2)2 (4a)2 42 (8 4a)2 (10 8a)2 2 80a2 129a 92 .(P) 129 13027 129 13027 f(a) bé nhất khi a = b = . Đáp số: d:y x 160 160 160 160 2) OABC là hình chữ nhật B(2; 4; 0) Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuơng OCB. + Đường thẳng vuơng gĩc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp cĩ phương trình z = 2 ) tại I I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. Trang 28
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học + Tâm I(1; 2; 2) và bán kính R = OI = 1 22 22 3 (S): (x 1)2 (y 2)2 (z 2)2 9 Câu VII.b: Chứng minh rằng : 8a4 8a2 1 1 , với mọi a [–1; 1]. Đặt: a = sinx, khi đĩ: 8a4 8a2 1 1 8sin2 x(sin2 x 1) 1 1 1 8sin2 x cos2 x 1 . 1 8sin2 x cos2 x 1 1 2sin2 2x 1 cos 4x 1 ( đúng với mọi x) Đề số 14 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 1 Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y (C) x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Câu II. (2 điểm) x y 1 1) Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm: . x x y y 1 3m 2) Giải phương trình: cos23xcos2x – cos2x = 0. Câu III. (1 điểm) Tính tích phân: I 2 (x sin2 x)cos xdx . 0 Câu IV. (1 điểm) Trên cạnh AD của hình vuơng ABCD cĩ độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 m a). Trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm S sao cho SA = y (y > 0). Tính thể tích khối chĩp S.ABCM theo a, y và x. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chĩp S.ABCM, biết rằng x2 + y2 = a2. 1 1 1 Câu V. (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: 1 . Chứng minh rằng: x y z 1 1 1 1. 2z y z x 2y z x y 2z II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a. (2 điểm) x2 y2 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E): 1 . Tìm 4 1 toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hồnh và tam giác ABC là tam giác đều. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y2 + z2 –2x + 2y + 4z – x y 1 z x 1 y z 3 = 0 và hai đường thẳng : , : . Viết phương trình tiếp 1 2 1 1 2 1 1 1 diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đĩ song song với hai đường thẳng 1 và 1. x x 2.Ay 5.Cy 90 Câu VII.a. (1 điểm) Giải hệ phương trình: x x 5.Ay 2.Cy 80 B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b. (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y 2 = 8x. Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B cĩ hồnh độ tương ứng là x1, x2. Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4. Trang 29
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng cĩ phương trình tham số x 1 2t; y 1 t; z 2t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. 1 Câu VII.b. Tính đạo hàm f (x) của hàm số f (x) ln và giải bất phương trình sau: 3 x 3 6 t sin 2 dt 2 f '(x) 0 x 2 Hướng dẫn Câu I: 2) Lấy M(x0; y0) (C). d1 = d(M0, TCĐ) = |x0 + 1|, d2 = d(M0, TCN) = |y0 – 2|. 3 Cơ si d = d1 + d2 = |x0 + 1| + |y0 - 2| = |x0 + 1| + 2 3 . x0 1 Dấu "=" xảy ra khi x0 1 3 u v 1 u v 1 u x,v y (u 0, v 0) Câu II: 1) Đặt . Hệ PT 3 3 . u v 1 3m uv 3 1 ĐS: 0 m . 4 2) Dùng cơng thức hạ bậc. ĐS: x k (k Z) 2 2 Câu III: I 2 3 3 1 2 1 2 3 a 3 a Câu IV: V = ya(a x) . V a (a x)(a x) . Vmax = khi x . 6 36 8 2 1 1 1 1 4 Câu V: Áp dụng BĐT Cơsi: (x y)( ) 4 . x y x y x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cĩ: . 2x y x 4 x y x z 16 x y x z Tương tự cho hai số hạng cịn lại. Cộng vế với vế ta được đpcm. 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 Câu VI.a: 1) Cĩ hai cặp điểm A ; , B ; ; A ; , B ; 7 7 7 7 7 7 7 7 2) (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 – 3 2 = 0 x 2 Câu VII.a: y 5 Câu VI.b: 1) Áp dụng cơng thức tính bán kính qua tiêu: FA = x1 + 2, FB = x2 + 2. AB = FA = FB = x1 + x2 + 4. 2) Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB khơng đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M nên M 1 2t;1 t;2t . AM BM (3t)2 (2 5)2 (3t 6)2 (2 5)2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u 3t;2 5 và v 3t 6;2 5 . 2 2 | u | 3t 2 5 Ta cĩ AM BM | u | | v | và u v 6;4 5 | u v | 2 29 2 | v | 3t 6 2 2 5 Trang 30
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Mặt khác, ta luơn cĩ | u | | v | | u v | Như vậy AM BM 2 29 3t 2 5 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng t 1 3t 6 2 5 M 1;0;2 và min AM BM 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11 29 1 3 Câu VII.b: f (x) l 3ln 3 x ; f '(x) 3 3 x ' 3 x 3 x 6 t 6 1 cost 3 3 Ta cĩ: sin2 dt dt t sin t sin 0 sin 0 3 |0 0 2 0 2 6 2 t sin dt 3 3 2x 1 x 2 2 0 Khi đĩ: f '(x) 0 3 x x 2 x 3 x 2 1 x 2 x 3 x 3; x 2 x 3; x 2 2 Đề số 15 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số: y 3x x3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đường thẳng y = – x các điểm kẻ được đúng 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C). Câu II (2 điểm): 3sin 2x 2sin x 1) Giải phương trình.: 2 sin 2x.cos x x 2) Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: x(x 1) 4(x 1) m x 1 2 2 Câu III (1 điểm): Tính tích phân I= esin x .sin x.cos3 x. dx. 0 Câu IV (1 điểm): Cho hình nĩn đỉnh S, đường trịn đáy cĩ tâm O và đường kính là AB = 2R. Gọi M là điểm thuộc đường trịn đáy và ·ASB 2 , ·ASM 2 . Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo R, và  . Câu V (1 điểm): Cho: a2 b2 c2 1 . Chứng minh: abc 2(1 a b c ab ac bc) 0 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C): (x – 1) 2 + (y + 1)2 = 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;–2). Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên mặt phẳng (ABC), tìm tọa độ điểm H. 2 Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trình: log2 x (x 7)log2 x 12 4x 0 B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD cĩ diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm Trang 31
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng tọa độ các đỉnh C và D. 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: x 2 y 3 z 3 x 1 y 4 z 3 d : , d : . 1 1 1 2 2 1 2 1 Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của ABC và tính diện tích của ABC . Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: 2008x 2007 x 1 . Hướng dẫn Câu I: 2) A (2; –2) và B(–2;2) 2(1 cos x)(sin 2x sin x) 0 Câu II: 1) PT x k2 sin x 0, cos x 0 3 x 2) Đặt t (x 1) . PT cĩ nghiệm khi t 2 4t m 0 cĩ nghiệm, suy ra m 4 . x 1 1 1 t 1 Câu III: Đặt sin2 x t I e (1 t)dt = e 2 0 2 Câu IV: Gọi OH là đường cao của DOAM , ta cĩ: SO OA.cotg R.cotg sin  OA R AH SA.sin  R SA sin sin sin R OH OA2 AH 2 sin2 sin2  . sin 1 R3 cos sin  Vậy: V .SO.AH.OH sin2 sin2  . S.AOM 3 3sin3 Câu V: Từ gt a2 1 1 + a 0. Tương tự, 1 + b 0, 1 + c 0 (1 a)(1 b)(1 c) 0 1 a b c ab ac bc abc 0 . (a) 1 Mặt khác a2 b2 c2 a b c ab ac bc (1 a b c)2 0 . (b) 2 Cộng (a) và (b) đpcm Câu VI.a: 1) PM /(C) 27 0 M nằm ngồi (C). (C) cĩ tâm I(1;–1) và R = 5.   2 2 2 Mặt khác: PM /(C) MA.MB 3MB MB 3 BH 3 IH R BH 4 d[M ,(d)] Ta cĩ: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0). a 0 6a 4b d[M ,(d)] 4 4 12 . a2 b2 a b 5 Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. 2 1 1 2) Phương trình mp(ABC): 2x + y – z – 2 = 0. H ; ; 3 3 3 Câu VII.a: Đặt t log x . PT t 2 (7 x)t 12 4x 0 t = 4; t =3 – x x = 16; x = 2 2 Câu VI.b: 1) Ta cĩ: AB 1;2 AB 5 . Phương trình AB: 2x y 2 0 . I (d) : y x I t;t . I là trung điểm của AC và BD nên: C(2t 1;2t), D(2t;2t 2) 4 Mặt khác: S AB.CH 4 (CH: chiều cao) CH . ABCD 5 Trang 32
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 4 5 8 8 2 | 6t 4 | 4 t C ; , D ; Ngồi ra: d C; AB CH 3 3 3 3 3 5 5 t 0 C 1;0 , D 0; 2 5 8 8 2 Vậy C ; , D ; hoặc C 1;0 , D 0; 2 3 3 3 3 2) Gọi mp(P) qua C và vuơng gĩc với AH (P)  d1 (P) : x y 2z 1 0 B (P)  d2 B(1;4;3) phương trình BC :x 1 2t; y 4 2t; z 3 Gọi mp(Q) qua C, vuơng gĩc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta cĩ: (Q) : x 2y z 2 0 K(2;2;4) M (1;2;5) (K là trung điểm của CM). x 1 y 4 z 3 1   ptAB : , do A AB  d1 A(1;2;5) S ABC AB, AC 2 3 . 0 2 2 2 Câu VII.b: PT f (x) 2008 2007x 1 0 với x (– ; + ) f (x) 2008x.ln 2008 2007; f (x) 2008x ln2 2008 0, x f ( x ) luơn luơn đồng biến. ' Vì f (x) liên tục và lim f (x) 2007; lim f (x) x0 để f ( x0 ) = 0 x x Từ BBT của f(x) f(x) = 0 khơng cĩ quá 2 nghiệm. Vậy PT cĩ 2 nghiệm là x = 0; x = 1 Đề số 16 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 4 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y . x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; –1) Câu II: (2 điểm) 1 3x 7 1) Giải phương trình: 4cos4x – cos2x cos4x cos = 2 4 2 2) Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 2 1 sin x x Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: K = .e dx 0 1 cos x Câu IV: (1 điểm) Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh bên bằng 1. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một gĩc α. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chĩp S.ABC. Câu V: (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác cĩ chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: 52 a2 b2 c2 2abc 2 27 II. PHẦN RIÊNG: (3 điểm) A. Theo cương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác cĩ phương trình hai cạnh là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đĩ, biết rằng trực tâm của nĩ trùng với gốc tọa độ O. 2) Trong khơng gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng Trang 33
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng x 1 y z 2 (d) : và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0 1 2 2 cos x Câu VII.a: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất hàm số y = với 0 0 Ta cĩ A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm của (1) x1 x2 m m Trung điểm của AB là I I; x1 x( 2theo m định lý Vi-et); 2 4 2 Ta cĩ I MN m = –4, (1) 2x2 – 4x = 0 A(0; –4), B(2;0) cos2x 1 x k 3x Câu II: 1) PT cos2x + cos = 2 3x m8 (k;m ¢ ) x = 8n 4 cos 1 x 4 3 2x 1 2) Nhận xét; x = 1 là các nghiệm của PT. PT 3x . 2x 1 Dựa vào tính đơn điệu PT chỉ cĩ các nghiệm x = 1. x x 1 2sin cos 2 x 2 1 sin x 1 x e dx x Câu III: Ta cĩ 2 2 tan . K = ex tan dx = e 2 1 cos x 2 x 2 x 2 2 x 2 2cos 2cos 0 2cos 0 2 2 2 Câu IV: Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC ·AMS . Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chĩp, I SO; N là hình chiếu của I trên SM, MI là phân giác của ·AMS . a 3 Ta cĩ SO = OM tan = tan ( Với a là độ dài của cạnh đáy) 6 a2 a2 a2 2 3 Ta cĩ SO2 + OM2 = SB2 – BM2 tan2 1 a 12 12 4 4 tan2 tan 4 tan3 r = OI = OM.tan = 2 . Vậy V = 2 2 3 2 4 tan 3 4 tan2 Câu V: Vì a + b + c = 2 nên độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn 1. Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho ba số dương: 1 – a, 1 – b, 1 – c Trang 34
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 1 3 – (a + b + c) 33 (1 a)(1 b)(1 c) > 0 (1 a)(1 b)(1 c) 0 27 28 56 ab bc ca abc 1 2 2ab 2bc 2ca 2abc 27 27 56 52 2 (a b c)2 (a2 b2 c2 2abc) a2 b2 c2 2abc 2 27 27 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 3 Câu VI.a: 1) Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 B(–4; –7) A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy BC: y + 7 = 0 2a 2a 8a2 24a 36 2) Gọi A(a; 0; 0) Ox d(A; (P)) ; d(A; d) 22 12 22 3 3 2a 8a2 24a 36 d(A; (P)) = d(A; d) 4a2 8a2 24a 36 4a2 24a 36 0 3 3 4(a 3)2 0 a 3.Vậy cĩ một điểm A(3; 0; 0). 1 tan2 x Câu VII.a: Vì cosx ≠ 0 nên chia tử và mẫu của hàm số cho cos3x ta được: y = 2tan2 x tan3 x 1 t 2 Đặt t = tanx t (0; 3] . Khảo sát hàm số y = trên nửa khoảng 0; 2 3 2t t 3 t 4 3t 2 4t x 0 y’ = 2 3 2 ; y’ = 0 (2t t ) x 1 Từ BBT giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi x = . 4 Câu VI.b: 1) M (D) M(3b+4; b) N(2 – 3b; 2 – b) 6 N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 b 0; b 5 38 6 8 4 Vậy cĩ hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ; , N ; 5 5 5 5  2) Ta cĩ AB (6; 4;4) AB//(d). Gọi H là hình chiếu của A trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P)  (d) (P): 3x – 2y + 2z + 3 = 0 H = (d) (P) H(–1;2;2). Gọi A là điểm đối xứng của A qua (d) H là trung điểm của AA A (–3;2;5). Ta cĩ A, A , B, (d) cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M = A B(d) . Lập phương trình đường thẳng A B M(2;0;4) Câu VII.b: Gọi β = r( cos + isin ) β3 = r3( cos3 + isin3 ) r 3 3 r 3 3 3 2 2 Ta cĩ: r ( cos3 + isin3 ) = 3 cos isin 2 2 k2 3 3 3 k2 3 9 3 3 2 2 2 2 Suy ra β = 3 cos k isin k . 9 3 9 3 Trang 35
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng Đề số 17 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 1 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y (C) x 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuơng tại O. Câu II: (2 điểm) cos2 x. cos x 1 1) Giải phương trình: 2 1 sin x sin x cos x 2 2 x y xy 3 (a) 2) Giải hệ phương trình: 2 2 x 1 y 1 4 (b) 2 Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I ecos x sin x .sin 2xdx 0 Câu IV: (1 điểm) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. SA (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN). x2 Câu V: (1 điểm) Chứng minh rằng: ex cos x 2 x , x R. 2 II. PHẦN RIÊNG: (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường trịn (C) cĩ phương trình (x 2)2 (y 1)2 25 theo một dây cung cĩ độ dài bằng 8. 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) cĩ phương trình x 2 y 2 z2 2x 4y 6z 11 0 và mặt phẳng ( ) cĩ phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng () song song với ( ) và cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn cĩ chu vi bằng 6 . Câu VII.a: (1 điểm) Lập số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hãy tính xác suất để lập được số tự nhiên chia hết cho 5. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A cĩ phương trình d1: 3x – 4y + 27 = 0, phân giác trong gĩc C cĩ phương trình d2: x + 2y – 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A. 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –1; 0), B(1; –1; 2), C(2; – 2; 1), D(–1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua D và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP. 0 1 2 1004 Câu VII.b: (1 điểm) Tính tổng: S C2009 C2009 C2009 C2009 Hướng dẫn Câu I: 2) Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C): x2 (m 3)x 1 m 0, x 1 (*) (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt là xA và xB A(xA; xA + m), B(xB; xB + m), xA xB 3 m Theo định lí Viét: xA.xB 1 m Trang 36
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học   Để OAB vuơng tại O thì OA.OB 0 xA xB xA m xB m 0 2 2xA xB m xA xB m 0 m 2 Câu II: 1) PT (1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) 2(1 sin x)(sin x cos x) 1 sin x 0 1 sin x 0 x k2 2 sin x cos x sin xcos x 1 0 1 sin x cos x 1 0 x k2 2) (b) x2 y2 2 (x2 1).(y2 1) 14 xy 2 (xy)2 xy 4 11 (c) p 11 p 3 (c) 2 p2 p 4 11 p Đặt xy = p. 2 3p 26 p 105 0 p 35 / 3 2 35 (a) xp =y xy =3 xy 3 (loại) p = xy = 3 x y 2 3 3 xy 3 xy 3 1/ Với x y 3 2/ Với x y 3 x y 2 3 x y 2 3 Vậy hệ cĩ hai nghiệm là: 3; 3 , 3; 3 2 2 Câu III: I ecos x .sin 2xdx sin x.sin 2xdx 0 0 2 I ecos x .sin 2x.dx . Đặt cosx = t I = 2 1 1 0 2 1 2 1 sin3x 2 I sin x.sin 2xdx cos x cos3x dx sin x 2 2 0 2 0 2 3 0 3 2 8 I 2 3 3 Câu IV: Gắn hệ trục toạ độ sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; a), a a a a   a2 a2 a2 M 0; ;0 , N ; ; BN, BM ; ; 2 2 2 2 4 2 4 1    a3 V BN, BM BD BMND 6 24 1 1   a2 3 Mặt khác, V S .d D,(BMN) , S BN, BM BMND 3 BMN BMN 2 4 2 3V a 6 d D,(BMN) BMND SBMN 6 x2 Câu V: Xét hàm số: f (x) ex cos x 2 x , x R. 2 f (x) ex sin x 1 x f (x) ex 1 cos x 0,x R f (x) là hàm số đồng biến và f (x) = 0 cĩ tối đa một nghiệm. Kiểm tra thấy x = 0 là nghiệm duy nhất của f (x)=0. x2 Dựa vào BBT của f(x) f (x) 0,x R ex cos x 2 x , x R. 2 Câu VI.a: 1) d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung cĩ độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3. a 0 2a b a 2b 2 2 2 d I,d 3 a 3b 3 a b 8a 6ab 0 3 a2 b2 a b 4 Trang 37
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng a = 0: chọn b = 1 d: y – 2 = 0 3 a = b : chọn a = 3, b = – 4 d: 3x – 4 y + 5 = 0. 4 2) Do () // ( ) nên () cĩ phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17) Mặt cầu (S) cĩ tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5 Đường trịn cĩ chu vi 6 nên cĩ bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là h = R2 r 2 52 32 4 2.1 2( 2) 3 D D 7 Do đĩ 4 5 D 12 D 17 (loại) 22 22 ( 1)2 Vậy () cĩ phương trình 2x + 2y – z – 7 = 0 Câu VII.a: Gọi A là biến cố lập được số tự nhiên chia hết cho 5, cĩ 5 chữ số khác nhau. 5 4 * Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau: A8 A7 5880 số 4 3 * Số các số tự nhiên chia hết cho 5 cĩ 5 chữ số khác nhau: A7 + 6.A6 = 1560 số 1560 13 P(A) = 5880 49  x 2 y 1 Câu VI.b: 1) Đường thẳng BC cĩ VTCP là: U 3; 4 phương trình BC: 3 4 Toạ độ điểm C( 1;3) + Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2. x 2 y 1 phương trình BB’: 2x y 5 0 1 2 2x y 5 0 x 3 + Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: I(3;1) x 2y 5 0 y 1 xB' 2xI xB 4 + Vì I là trung điểm BB’ nên: B (4;3) yB' 2yI yB 3 + Đường AC qua C và B’ nên cĩ phương trình: y –3 =0. y 3 0 x 5 + Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: A( 5;3) 3x 4y 27 0 y 3 2) Theo giả thiết ta cĩ M(m; 0; 0) Ox , N(0; n; 0) Oy , P(0; 0; p) Oz.     DP 1; 1; p 1 ; NM m; n;0 DP.NM m n Ta cĩ :     . DN 1;n 1; 1 ;PM m;0; p DN.PM m p x y z 1 1 1 Phương trình mặt phẳng ( ): 1 . Vì D ( ) nên: 1 . m n p m n p     m n 0 DP  NM DP.NM 0 m 3 D là trực tâm của MNP     m p 0 DN  PM DN.PM 0 n p 3 1 1 1 1 m n p x y z Kết luận, phương trình của mặt phẳng ( ): 1 3 3 3 0 1 2 1004 Câu VII.b: S C2009 C2009 C2009 C2009 (1) 2009 2008 2007 1005 k n k S C2009 C2009 C2009 C2009 (2) (vì Cn Cn ) 0 1 2 1004 1005 2009 2009 2S C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 1 1 S 22008 Trang 38
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học Đề số 18 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 3 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y x 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB cĩ diện tích nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) x x 2 2 x 1) Giải phương trình: 1 sin sin x cos sin x 2cos 2 2 4 2 2 1 2) Giải bất phương trình: log2 (4x 4x 1) 2x 2 (x 2)log 1 x 2 2 e ln x 2 Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I 3x ln x dx 1 x 1 ln x a Câu IV (1 điểm) Cho hình chĩp S.ABC cĩ AB = AC = a. BC = . SA a 3 , ·SAB ·SAC 300 2 Tính thể tích khối chĩp S.ABC. 3 Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất 4 1 1 1 của biểu thức P . 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2x y 5 .0 d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đĩ cắt hai đường thẳng d 1 và d2 tạo ra một tam giác cân cĩ đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. 2) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) cĩ phương trình:x y z 2 0 . Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A , B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường trịn (C) là giao của (P) và (S). Câu VIIa (1 điểm) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x2 4x và y 2x . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) cĩ phương trình: x2 y2 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) cĩ tiêu điểm trùng với tiêu điểm 16 9 của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). 2) Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho P : x 2y z 5 0 và đường thẳng x 3 (d) : y 1 z 3 , điểm A( –2; 3; 4). Gọi là đường thẳng nằm trên (P) đi qua 2 giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuơng gĩc với d. Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Trang 39
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 3x 1 y 2 y 3x 2 2 3.2 (1) Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình 2 3x 1 xy x 1 (2) Hướng dẫn: 2x 3 1 Câu I: 2) Ta cĩ: M x ; 0 , x 2 , y'(x ) 0 0 0 2 x0 2 x0 2 1 2x0 3 Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M : : y 2 (x x0 ) x0 2 x0 2 2x 2 0 Toạ độ giao điểm A, B của ( ) và hai tiệm cận là: A 2; ; B 2x0 2;2 x0 2 xA xB 2 2x0 2 yA yB 2x0 3 Ta cĩ: x0 xM , yM M là trung điểm AB. 2 2 2 x0 2 Mặt khác I(2; 2) và IAB vuơng tại I nên đường trịn ngoại tiếp IAB cĩ diện tích: 2 2x 3 1 S = IM 2 (x 2)2 0 2 (x 2)2 2 0 0 2 x0 2 (x0 2) 2 1 x0 1 Dấu “=” xảy ra khi (x0 2) 2 M(1; 1) và M(3; 3) (x0 2) x0 3 x 2 x x x k Câu II: 1) PT sin x sin 1 2sin 2sin 1 0 x k 2 2 2 x k4 1 1 1 2) BPT xlog (1 2x) 1 0 x x hoặc x < 0 2 2 4 2 e ln x e 2(2 2) 2e3 1 5 2 2 2e3 Câu III: I dx 3 x2 ln xdx = + = 1 x 1 ln x 1 3 3 3 Câu IV: Dùng định lí cơsin tính được: SB a , SC = a. Gọi M là trung điểm của SA. Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB  SA, MC  SA. Suy ra SA  (MBC). 1 1 1 Ta cĩ V V V MA.S SA.S SA.S S.ABC S.MBC A.MBC 3 MBC 3 MBC 3 MBC Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau. Do đĩ MB = MC MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC MN  BC. Tương tự MN  SA. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a 3 3a a 3 MN AN AM AB BN AM a MN . 4 2 16 4 1 1 1 a 3 a a 3 Do đĩ: V SA. MN.BC a 3. . . S.ABC 3 2 6 4 2 16 Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta cĩ 1 1 1 3 1 1 1 9 (x y z) 33 xyz 9 (*) x y z 3 xyz x y z x y z 1 1 1 9 Áp dụng (*) ta cĩ P 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta cĩ : Trang 40
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học a 3b 1 1 1 3 a 3b 1.1 a 3b 2 3 3 b 3c 1 1 1 3 b 3c 1.1 b 3c 2 3 3 c 3a 1 1 1 3 c 3a 1.1 c 3a 2 3 3 3 3 3 1 1 3 Suy ra: a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6 4. 6 3 3 3 4 3 a b c 1 Do đĩ P 3 . Dấu = xảy ra 4 a b c 4 a 3b b 3c c 3a 1 1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a b c . 4 Câu VI.a: 1) d1 VTCP a (2; 1) ; d2 VTCP a (3;6)   1 2 Ta cĩ: a1.a2 2.3 1.6 0 nên d1  d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) cĩ phương trình: d : A(x 2) B(y 1) 0 Ax By 2A B 0 0 d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân cĩ đỉnh I khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một gĩc 45 2A B 0 2 2 A 3B cos45 3A 8AB 3B 0 A2 B2 22 ( 1)2 B 3A * Nếu A = 3B ta cĩ đường thẳng d :3x y 5 0 * Nếu B = –3A ta cĩ đường thẳng d : x 3y 5 0 Vậy cĩ hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài tốn. d :3x y 5 0 ; d : x 3y 5 0 2) Dễ thấy A ( 1; –1; 0) Phương trình mặt cầu ( S): x 2 y 2 z 2 5x 2y 2z 1 0 5 29 (S) cĩ tâm I ;1;1 , bán kính R 2 2 +) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường trịn ( C) +) Phương trình đường thẳng (d) đi qua I và vuơng gĩc với (P). x 5 / 2 t 5 1 1 d: y 1 t H ; ; 3 6 6 z 1 t 75 5 3 29 75 31 186 IH , (C) cĩ bán kính r R2 IH 2 36 6 4 36 6 6 Câu VII.a: Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (d): x 0 x 0 x 0 2 2 2 | x 4x | 2x x 4x 2x x 6x 0 x 2 2 2 x 4x 2x x 2x 0 x 6 2 6 4 52 Suy ra: S x2 4x 2x dx x2 4x 2x dx = 16 0 2 3 3 Câu VI.b: 1) (H) cĩ các tiêu điểm F1 5;0 ;F2 5;0 . Hình chữ nhật cơ sở của (H) cĩ một đỉnh là M( 4; 3), x2 y2 Giả sử phương trình chính tắc của (E) cĩ dạng: 1 ( với a > b) a2 b2 2 2 2 (E) cũng cĩ hai tiêu điểm F1 5;0 ;F2 5;0 a b 5 1 M 4;3 E 9a2 16b2 a2b2 2 Trang 41
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng a2 52 b2 a2 40 x2 y2 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ:. Vậy (E): 1 2 2 2 2 2 9a 16b a b b 15 40 15 x 2t 3 2) Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được: y t 1 z t 3 Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I 1;0;4 * (d) cĩ vectơ chỉ phương là a(2;1;1) , mp( P) cĩ vectơ pháp tuyến là n 1;2; 1 a,n 3;3;3 . Gọi u là vectơ chỉ phương của u 1;1;1 x 1 u  : y u . Vì M M 1 u;u;4 u , AM 1 u;u 3;u z 4 u  AM ngắn nhất AM  AM.u 0 1(1 u) 1(u 3) 1.u 0 4 7 4 16 u . Vậy M ; ; 3 3 3 3 x 1 x 0 x 1 0 x 1 Câu VII.b: PT (2) x 0 x 1 2 3x 1 xy x 1 x(3x y 1) 0 3x y 1 0 y 1 3x 8 8 * Với x = 0 thay vào (1): 2 2y 2 3.2y 8 2y 12.2y 2y y log 11 2 11 x 1 3x 1 3x 1 * Với thay y = 1 – 3x vào (1) ta được: 2 2 3.2 (3) y 1 3x 1 Đặt t 23x 1 . Vì x 1 nên t 4 1 1 2 t 3 8 (loại) x log (3 8) 1 (3) t 6 t 6t 1 0 3 2 t t 3 8 y 2 log2 (3 8) x 0 1 x log (3 8) 1 2 Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm 8 và 3 y log2 11 y 2 log2 (3 8) Đề số 19 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 4 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và cĩ hệ số gĩc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuơng gĩc với nhau. Câu II (2điểm) x2 1 y(x y) 4y 1) Giải hệ phương trình: (x, y R ) 2 (x 1)(x y 2) y Trang 42
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học sin3 x.sin3x cos3 xcos3x 1 2) Giải phương trình: 8 tan x tan x 6 3 1 Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I xln(x2 x 1)dx 0 Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuơng gĩc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuơng gĩc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện cĩ diện tích a2 3 bằng . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 8 Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1 biểu thức P a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC cĩ đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM: 2x y 1 0 và phân giác trong CD: x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC. 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) cĩ phương trình tham số x 2 t; y 2t; z 2 2t . Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (D) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuơng gĩc của A trên (D). Viết phương trình của mặt phẳng chứa và cĩ khoảng cách đến (D) là lớn nhất. Câu VII.a (1điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n 1 x , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 2 4 x 22 23 2n 1 6560 2C 0 C1 C 2  C n (C k là số tổ hợp chập k của n phần tử) n 2 n 3 n n 1 n n 1 n B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y – 7= 0 và tam giác ABC cĩ A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d 1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 MB2 MC 2 . ex y ex y 2(x 1) Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình (x, y R ) x y e x y 1 Hướng dẫn Câu I: 2) d cĩ phương trình y = m(x – 3) + 4. Hồnh độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình: x 3 x3 3x2 4 m(x 3) 4 (x 3)(x2 m) 0 2 x m 0 Theo bài ra ta cĩ điều kiện m > 0 và y '( m).y '( m) 1 18 3 35 (3m 6 m)(3m 6 m) 1 9m2 36m 1 0 m (thỏa mãn) 9 Trang 43
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng x2 1 x y 2 2 y Câu II: 1) y = 0 khơng phải là nghiệm. Hệ PT x2 1 (x y 2) 1 y x2 1 x2 1 u v 2 1 Đặt u ,v x y 2 . Ta cĩ hệ u v 1 y y uv 1 x y 2 1 Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5). 2) Điều kiện: sin x sin x cos x cos x 0 6 3 6 3 Ta cĩ tan x tan x tan x cot x 1 6 3 6 6 1 PT sin3 x.sin3x cos3 xcos3x 8 1 cos2x cos2x cos4x 1 cos2x cos2x cos4x 1   2 2 2 2 8 x k (loại) 1 3 1 1 6 2(cos2x cos2xcos4x) cos 2x cos2x 2 8 2 x k 6 Vậy phương trình cĩ nghiệm x k , (k Z) 6 2x 1 du dx u ln(x2 x 1) x2 x 1 Câu III: Đặt dv xdx x2 v 2 1 x2 1 1 2x3 x2 1 1 1 1 1 2x 1 3 1 dx I ln(x2 x 1) dx ln3 (2x 1)dx dx 2 2 2 2 0 2 0 x x 1 2 2 0 4 0 x x 1 4 0 x x 1 3 3 I ln3 4 12 Câu IV: Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của M lên AA’. Khi đĩ (P)  (BCH). Do gĩc ·A' AM nhọn nên H nằm giữa AA’. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH. a 3 2 a 3 Do tam giác ABC đều cạnh a nên AM , AO AM 2 3 3 a2 3 1 a2 3 a 3 Theo bài ra S HM.BC HM BCH 8 2 8 4 3a2 3a2 3a AH AM 2 HM 2 4 16 4 A'O HM AO.HM a 3 a 3 4 a Do A’AO và MAH đồng dạng nên A'O AO AH AH 3 4 3a 3 1 1 a a 3 a3 3 Thể tích khối lăng trụ: V A O.S A O.AM.BC a ABC 2 2 3 2 12 2 2 2 1 1 1 1 Câu V: Ta cĩ a +b 2ab, b + 1 2b . a2 2b2 3 a2 b2 b2 1 2 2 ab b 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự . , . b2 2c2 3 2 bc c 1 c2 2a2 3 2 ca a 1 Trang 44
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 1 1 1 1 1 1 ab b 1 P 2 ab b 1 bc c 1 ca a 1 2 ab b 1 b 1 ab 1 ab b 2 1 1 P khi a = b = c = 1. Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng khi a = b = c = 1 2 2 Câu VI.a: 1) Điểm C CD : x y 1 0 C t;1 t . t 1 3 t Suy ra trung điểm M của AC là M ; . 2 2 Từ A(1;2), kẻ AK  CD : x y 1 0 tại I (điểm K BC ). Suy ra AK : x 1 y 2 0 x y 1 0 x y 1 0 Tọa độ điểm I thỏa hệ: I 0;1 x y 1 0 Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của K 1;0 . x 1 y Đường thẳng BC đi qua C, K nên cĩ phương trình: 4x 3y 4 0 7 1 8 2) Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì (P) P (D) hoặc (P)  (D) . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của I trên (P). Ta luơn cĩ IH IA và IH  AH . d D , P d I, P IH Mặt khác H P Trong (P), IH IA ; do đĩ maxIH = IA H  A . Lúc này (P) ở vị trí (P )  IA tại A.  0 Vectơ pháp tuyến của (P0) là n IA 6;0; 3 , cùng phương với v 2;0; 1 . Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2(x 4) 1.(z 1) 2x z 9 0 . 2 2 Câu VII.a: Ta cĩ I (1 x)n dx C 0 C1 x C 2 x2  C n xn dx n n n n 0 0 2 0 1 1 2 1 2 3 1 n n 1 Cn x Cn x Cn x  Cn x 2 3 n 1 0 2 3 n 1 n 1 2 2 2 1 2 3 1 I 2C 0 C1 C 2  C n (1). Mặt khác I (1 x)n 1 (2) n 2 n 3 n n 1 n n 1 0 n 1 22 23 2n 1 3n 1 1 Từ (1) và (2) ta cĩ 2C 0 C1 C 2  C n n 2 n 3 n n 1 n n 1 3n 1 1 6560 Theo bài ra thì 3n 1 6561 n 7 n 1 n 1 7 k 14 3k 1 7 7 k 1 7 1 Ta cĩ khai triển x C k x C k x 4 4  7 4  k 7 2 x 0 2 x 0 2 14 3k Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn 2 k 2 4 1 21 Vậy hệ số cần tìm là C 2 22 7 4 Câu VI.b: 1) Do B d1 nên B(m; – m – 5), C d2 nên C(7 – 2n; n) 2 m 7 2n 3.2 m 1 Do G là trọng tâm ABC nên B(–1; –4), C(5; 1) 3 m 5 n 3.0 n 1 83 17 338 PT đường trịn ngoại tiếp ABC: x2 y2 x y 0 27 9 27 7 8 2) Gọi G là trọng tâm của ABC G ; ;3 3 3   2   2   2 Ta cĩ F MA2 MB2 MC 2 MG GA MG GB MG GC Trang 45
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng     3MG2 GA2 GB2 GC 2 2MG(GA GB GC) 3MG2 GA2 GB2 GC 2 F nhỏ nhất MG2 nhỏ nhất M là hình chiếu của G lên (P) 7 8 3 3 3 3 19 MG d(G,(P)) 1 1 1 3 3 56 32 104 64 GA2 GB2 GC 2 9 9 9 3 2 19 64 553 Vậy F nhỏ nhất bằng 3. khi M là hình chiếu của G lên (P) 3 3 3 9 u x y ex y x y 1 ev u 1 ev u 1 (1) Câu VII.b: Đặt . Hệ PT x y u u v v x y e x y 1 e v 1 e e v u (2) Nếu u > v hoặc u < v thì (2) vơ nghiệm Nên (2) u v . Thế vào (1) ta cĩ eu = u+1 (3) . Xét f(u) = eu – u – 1 , f (u) = eu – 1 Từ BBT của f(u) ta cĩ f(u) = 0 u 0 . x y 0 x 0 Do đĩ (3) cĩ 1 nghiệm u = 0 v 0 x y 0 y 0 Đề số 20 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số f (x) x3 3x2 4 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 3 2 1 1 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: G(x)= 2sin x 3 2sin x 4 2 2 Câu II. (2,0 điểm) 1) Tìm m sao cho phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất: ln(mx) 2ln(x 1) 2) Giải phương trình: sin3 x.(1 cot x) cos3 x(1 tan x) 2sin 2x . e2x 2x 1 Câu III. (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim x 0 3x 4 2 x Câu IV. (1,0 điểm) Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cĩ AB 2, AC 3, AD 1,CD 10, DB 5, BC 13 . x y 3 Câu V. (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau cĩ nghiệm với x 2 : 2 2 x 3 y 5 m II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác 1 ABC với các đỉnh: A(–2;3), B ;0 , C(2;0) . 4 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm 2x 3y 11 0 x 2 y 1 z 1 M 4; 5;3 và cắt cả hai đường thẳng: d ': và d '': . y 2z 7 0 2 3 5 Trang 46
Trần Sĩ Tùng Ơn thi Đại học 1 2 3 2 k Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm n sao cho Cn 6Cn 6Cn 9n 14n , trong đĩ Cn là số tổ hợp chập k từ n phần tử. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm F1 1;1 , F2 5;1 và tâm sai e 0,6 . 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuơng gĩc của x 2z 0 đường thẳng d : trên mặt phẳng P : x 2y z 5 0 . 3x 2y z 3 0 n n Câu VII.b (1,0 điểm) Với n nguyên dương cho trước, tìm k sao cho C2n k C2n lớnk nhất hoặc nhỏ nhất. Hướng dẫn 1 3 5 3 2 Câu I: 2) Đặt 2sin x t t ; và g x f t t 3t 4. 2 2 2 3 27 9 27 54 32 49 f 3. 4 ; 2 8 4 8 8 49 f f 0 4; f f 2 0; Max = 4, Min = CD CT 8 5 125 25 125 150 32 7 f 3. 4 2 8 4 8 8 Câu II: 1) ĐKXĐ: x 1,mx 0 . Như vậy trước hết phải cĩ m 0 . Khi đĩ, PT mx (x 1)2 x2 (2 m)x 1 0 (1) Phương trình này cĩ: m2 4m . Với m (0;4) 0 và (1) cũng cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 x1 x2 . Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị m 4 cũng bị loại. Tĩm lại, phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: m ( ;0) 4 . k 2) ĐKXĐ: x sao cho sin 2x 0 . 2 Khi đĩ, VT = sin3 x cos3 x sin2 xcos x cos2 xsin x = (sin x cos x)(sin2 x sin xcos x cos2 x) sin xcos x(sin x cos x) = sin x cos x sin x cos x 0 sin x cos x 2sin 2x PT 2 (sin x cos x) 2sin 2x (1) (1) 1 sin 2x 2sin 2x sin 2x 1( 0) 2x 2k x k 2 4 Để thoả mãn điều kiện sin x cos x 0 , các nghiệm chỉ cĩ thể là: x 2k 4 e2x 2x 1 1 2x 1 e2x 1 x Câu III: Ta cĩ: . 3x 4 2 x x 3x 4 2 x Trang 47
Ơn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 1 2x 1 e2x 1 x 1 2x 1 e2x 1 x( 3x 4 2 x) = . = . x 3x 4 2 x x x (3x 4) (2 x)2 2x 2x 2x e 1 x( 3x 4 2 x) 2 e 1 3x 4 2 x = 2. . 2 = 2. . x 1 2x 1 2x x x 1 2x 1 2x 1 x e2x 2x 1 lim ( 1 2).4 4 x 0 3x 4 2 x Câu IV: Ta cĩ: CD2 10 AC 2 AD2 ; DB2 5 AD2 AB2 ; BC 2 13 AB2 AC 2 ; Do đĩ tứ diện ABCD cĩ ba mặt là ba tam giác vuơng tại cùng đỉnh A. Lấy các điểm E, F, G, H sao cho đa diện ABEC.DGHF là hình hộp chữ nhật. Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tâm mặt cầu này 1 1 14 là trung điểm I của đoạn AH, cịn bán kính là R AH 22 32 12 . 2 2 2 x x 3 Câu V: Đặt f (x) x2 3 (3 x)2 5 f (x) x2 3 (3 x)2 5 2 x 3 f (x) 0 x x2 6x 14 (3 x) x2 3 2 2x 18x 27 0 9 3 15 Phương trình thứ hai cĩ ' 81 54 135 9.15 , và hai nghiệm: x 1,2 2 Dễ kiểm tra rằng cả hai nghiệm này đều bị loại vì nhỏ hơn 2. Vậy, đạo hàm của hàm số khơng thể đổi dấu trên 2; , ngồi ra f (3) 0 nên f (x) 0,x 2 . Do đĩ, giá trị nhỏ nhất của f (x) là f (2) 7 6 . Cũng dễ thấy lim f x . Từ đĩ suy ra: hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm (với x 2 ) x khi và chỉ khi m 6 7 . Câu VI.a: 1) Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của gĩc A 2 1 9 2 d 3 DB AB 4 khi và chỉ khi 4 4d 1 6 3d d 1. DC AC 2 d 42 3 2 x 2 y 3 x 2 y 3 Phương trình AD: x y 1 0 ; AC: 3x 4y 6 0 3 3 4 3 Giả sử tâm I của đường trịn nội tiếp cĩ tung độ là b. Khi đĩ hồnh độ là 1 bvà bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta cĩ: 4 b 3 5b b 3 1 b 4b 6 3 b b 3 5b 2 2 1 3 4 b 3 5b b 2 1 Rõ ràng chỉ cĩ giá trị b là hợp lý. Vậy, phương trình của đường trịn nội tiếp ABC 2 2 2 1 1 1 là: x y 2 2 4 2) Mặt phẳng P’ đi qua đường thẳng d’ cĩ phương trình dạng: m 2x 3y 11 n y 2z 7 0 2mx 3m n y 2nz 11m 7n 0. Để mặt phẳng này đi qua M, phải cĩ: m( 8 15 11) n( 5 6 7) 0 n 3m Chọn m 1,n 3 , ta được phương trình của P’: 2x 6z 10 0 . Trang 48