39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án)

Nội dung text: 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án)

1. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 5 q2 7 3 q 5q 3 1 0,5 q2 5 3 1 0,5 Do p, q là các số nguyên tố nên chỉ có cặp p;q 7;3 thỏa mãn. Ta có: a3 + b3 + c3 – (a + b + c)3 = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – (a + b + c)3 0,5 = (a + b + c)3 – 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b) – (a + b + c)3 b = - 3(a + b)[c(a + b + c) + ab] = - 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] 0,5 2,0đ = -3(a + b)(b + c)(c + a) (*) 3 Ta có x 2 x 2 x 1 3 x 6 1 (x2)3 + (x + 1)3 + 1 – (x2 + x + 2)3 = 0 0,5 0,5 - 3(x2 + x + 1)(x + 2)(x2 + 1) = 0 x + 2 = 0 x = - 2 Câu 3. (4,0 điểm) a) Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng khu nuôi cá riêng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m. b) Bác Xuân vay 20.000.000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác Xuân phải trả là 23.540.000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm đầu? Biết rằng trong năm sau ngân hàng đã giảm 30% lãi suất. Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt CJ = x (m, x > 0) Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên: CJ JA AK KB x 12 5 KB a 60 KB . 0,5 2,0đ x Diện tích của khu nuôi cá là: 1 60 S x x 5 . 12 . 2 x 1 300 0,5 S(x) 60 12x 60 2 x DeThi.edu.vn
2. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 2 150 25 x2 10x 25 x 5 0,5 S(x) 6x 60 6 x 10 6 20 6 20 120 x x x x Dấu bằng xảy ra khi x – 5 = 0 x= 5 0,5 2 Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là 120(m ), đạt được khi x 5 m . Gọi r% là lãi suất trong một năm đầu của ngân hàng (r > 0) r Tiền lãi năm thứ nhất là: 20 000 000. 200 000.r (đồng) 100 0,5 Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi sau 1 năm là: 20 000 000 + 200 000.r (đồng) Lãi suất của ngân hàng trong năm thứ hai là: r% – 30%.r% = 0,7r% Tiền lãi năm thứ hai là: 0,7r (20 000 000 + 200 000.r). = 1400r2 + 140000r (đồng) 0,5 100 Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi sau 2 năm là: b 20 000 000 + 200 000.r + 1400r2 + 140000r = 2,0đ = 1400r2 + 340000r + 20 000 000 (đồng) Theo đề bài, ta có phương trình: 1400r2 + 340000r + 20 000 000 = 23 540 000 1400r2 + 340000r – 3 540 000 = 0 0,5 r 10 1770 r 7 0,5 1770 Vì r > 0 nên r = 10 (nhận); r (loại) 7 Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng là 10% trong một năm đầu. Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: AD.HD = BD.CD b) Chứng minh: H là giao điểm của các đường phân giác của tam giác DEF. c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: HP = HQ. A E Q F H P B D M C a Chứng minh: ABD CHD (g.g) 1,0 DeThi.edu.vn
3. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn AD BD 2,5đ = AD.HD=BD.CD CD HD 1,5 Chứng minh AEF ABC (c.g.c) 1,0 DBF ABC (c.g.c) A· FE=B· FD=A· CB 0,5 b Lại có A· FC=B· FC=90O 2,5đ D· FC=E· FC 0,5 FC là phân giác của D· F E . Tương tự DH, EH là phân giác 0,5 H là giao điểm của các đường phân giác của tam giác DEF. AH HP Chứng minh AHP CMH (g.g) = 0,5 CM MH AH HQ c AHQ BMH (g.g) = 0,5 BM HM 2,0đ HP HQ Mà BM = CM = HP = HQ HM HM 1,0 Câu 5. (1,0 điểm) Cho một đa giác đều có 2025 đỉnh. Tô màu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của đa giác được tô cùng màu và tạo thành một tam giác cân. Vì đa giác có 2025 đỉnh, do đó phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là A và B được tô cùng màu (Theo nguyên lý Đirichlet). Giả sử A và B cùng được tô màu xanh. Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ nên phải tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Giả sử đỉnh đó là O. 0,5 Nếu O tô màu xanh thì ta có tam giác OAB là tam giác cân có ba đỉnh O, A, B được tô cùng màu Nếu O tô màu đỏ, lúc đó gọi M và N là các đỉnh khác nhau của đa giác kề với A và B. Nếu cả hai đỉnh M và N được tô màu đỏ thì tam giác OMN cân và có ba đỉnh cùng màu đỏ Nếu ngược lại, một trong hai đỉnh M và N được tô màu xanh thì tam giác 0,5 MAB hoặc tam giác NAB là tam giác cân có ba đỉnh cùng màu xanh. Vậy trong mọi trường hợp luôn chọn ra được ba đỉnh của đa giác được tô màu giống nhau và tạo thành một tam giác cân. DeThi.edu.vn
4. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 UBND HUYỆN NINH GIANG ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 – 2024 MÔN: TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề bài gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm): x2 x x 1 1 2 x2 1) Rút gọn biểu thức P 2 : 2 ( x 0; x 1 ) x 2x 1 x x 1 x x 6 4 2 2 2) Cho 9x + 4y = 20xy ; (3x > 2y > 0). Chứng minh 3 2 = 1. Câu 2 (2,0 điểm): 1) Giải phương trình: (x – 7)(x – 5)(x – 4)(x – 2) = 72. 2) Cho đa thức f(x) = (x – 2)(x2 – x + 1) + ax2 + bx + c. Biết f(x) chia x – 2 dư 11, chia x2 – x + 1 dư 3x + 2. Tìm a, b, c. Câu 3 (2,0 điểm): 1) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện: x2 + 2y2 + 2xy + y = 2. 2) Tìm số nguyên dương n sao cho A = (n + 3)(4n2 + 14n + 7) là số chính phương. Câu 4 (3,0 điểm): 1) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF, cắt nhau tại H (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB). a) Chứng minh AF.AB = AE.AC. b) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại M, cắt CF tại N. Chứng minh F· EH D· EH và DM = DN. 2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao BM, CN cắt nhau tại I (M ∈ AC ; N FM IM 2 ∈ AB). Gọi E là trung điểm BC, IE cắt MN tại F. Chứng minh FN IN 2 b2 1 Câu 5 (1,0 điểm): Cho hai số a, b 0 thỏa mãn 2a2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và 4 a2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = ab + 2024. ----------HẾT---------- DeThi.edu.vn
5. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm x2 x x 1 1 2 x2 P 2 : 2 x 2x 1 x x 1 x x 0,25 x(x 1) x2 1 x 2 x2 P 2 : (x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) x 1 0,25 P 2 : 1 (x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) P . (x 1)2 x 1 x2 0,25 P Câu 1 x 1 x2 Vậy P ( với x 0; x 1; x 1 ) x 1 0,25 * Ta có: 9 x 2 4 y 2 20 xy 9 x 2 18xy 4 y 2 2 xy 0,25 9x x 2y 2y x 2y x 2y 9x 2y * Áp dụng, ta có: 9x2 4y2 20xy 0 x 2y 9x 2y 0 (1) 0,25 2 Mà: 3 x 2 y 0 9 x 2 y 9 x 2 y 0 (2) 0,25 Từ (1) và (2) x 2 y 0 x 2 y 12y 4y 8y * Khi x 2y A 1 0,25 6y 2y 8y Phương trình tương đương với x 7 x 2 x 5 x 4 72 x 2 9x 14 x 2 9x 20 72 0 0,25 Đặt x 2 9 x 14 t , khi đó phương trình trở thành: 0,25 t t 6 72 0 t 12 t 6 0 1 2 9 23 Với t 12 x 2 9x 14 12 x 0 0,25 2 4 Câu 2 2 Với t 6 x 9x 14 6 x 1 x 8 0 0,25 Tìm được 2 nghiệm là 1, 8 và kết luận. f ( x ) ( x 2).h ( x ) 11 . Cho x = 2 f (2) 4 a 2b c 11(1) 0,25 2 0,25 DeThi.edu.vn
6. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn f ( x) ( x 2)( x 2 x 1) a( x 2 x 1) (a b) x c a 0,25 Mà ( x 2 a)( x 2 x 1) (a b) x c a  du 3 x 2 c a 2(2) 2 .Tu(1)(2)(3) (a;b;c) (1;2;3) du : x 2x 3 a b 3(3) * Ta có: x2 2y2 2xy y 2. 2 2 0,25  4x 2 8 y 2 8xy 4 y 8 0 2x 2 y 9 2 y 1 * Vì 2x 2 y 2 0 9 2 y 1 2 0 2 y 1, mà y là số nguyên. 0,25 y 2; 1;0;1 1 * Với y 2 2x 4 2 0 x 2 * Với 2 (loại do x nguyên) y 1 2x 2 8 x 1 2 0,25 * Với y 0 2x 2 8 x 2 (loại do x nguyên) * Với y 1 2x 2 2 0 x 1 Vậy cặp số x; y nguyên thỏa mãn phương trình là: 2; 2 , 1;1 Câu 3 0,25 Đặt d n 3, 4n 2 14n 7 (d nguyên dương) n 3d (n 3)(4n 2)d 0,25 2 2 4n 14n 7d 4n 14n 7d 2 4n 14n 6d 0,25 d 1 4n2 14n 7d 2 Suy ra 4n2 14n 7, n 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau. 0,25 Mà A là số chính phương => 4n 2 14n 7 , n 3 là số chính phương. 2 2 n ¥ * 2n 3 4n 2 14n 7 2n 4 2  4n2 14n 7 2n 3 n 1 0,25 Thử lại với n = 1 thì A 100 (TM ) K 0,25 1.a a. Chứng minh đúng AEB : AFC ( g.g ) 0,5 DeThi.edu.vn
7. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn AE AF 0,25 AF.AB AE.AC AB AC b. Chứng minh được A E F : A B C (c.g .c ) ·AEF ·ABC (1) CE CB Chứng minh được CEB : CDA(g.g) CD CA 0,25 Áp dụng chứng minh CDE : CAB (c.g.c) C· ED ·ABC (2) Từ (1) và (2) ·AEF C· ED ·AEF F· EH 90 Mà C· ED D· EH 90 F· EH D· EH 0,25 Gọi K là giao điểm AD và EF Câu 4 EKD có F· EH D· EH suy ra EH là phân giác góc KED 1.b HK EK HD ED Mà EH  EA suy ra EA là đường phân giác ngoài EKD AK EK 0,25 AD ED HK AK EK (3) HD AD ED FK AK A M D có FK PMD (4) MD AD FK HK 0,25 HDN có FK PDN (5) DN HD FK FK Từ (3), (4), (5) => DM DN MD DN 0,25 2 0,5 Qua B, C kẻ đường thẳng song song với MN cắt IE lần lượt tại P, Q DeThi.edu.vn
8. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Chứng minh BPE CQE BP CQ IM IC Chứng minh NIB : MIC(g.g) IN IB MF IM MF PBP (1) BP IB 0,25 NF IN NF PQC (2) QC IC MF QC IM IC Từ (1) và (2) chia vế với vế ta được . . BP NF IB IN MF IM IC . (vì BP = QC) NF IN IB 2 IM IC MF IM Mà IN IB NF IN Ta có: 0,25 1 b2 4 a2 2 a2 ab ab 2 a2 4 1 b (a )2 (a )2 ab 2 a 2 ab 2 ab 2 Q 2026 1 a 0 a a 1;b 2 0,25 Dấu “=” xảy ra b a 1;b 2 a 0 2 Ta lại có: 1 b 4 (a )2 (a )2 ab 2 Câu 5 a 2 ab 2 ab 2 Q 2022 0,25 1 a 0 a a 1;b 2 Dấu “=”xảy ra b a 1;b 2 a 0 2 a 1;b 2 Vậy GTLN của Q là 2026 khi a 1;b 2 a 1;b 2 GTNN của Q là 2022 khi a 1;b 2 Xét dấu “=” xảy ra thiếu trừ 0,25đ 0,25 DeThi.edu.vn
9. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2023 – 2024 MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (8,0 điểm) Câu 1. Cho hai số a, b thỏa mãn a + b = 1. Giá trị của biểu thức P = 2a3 + 6ab + 2b3 – 2 bằng A. – 2. B. – 1. C. 0. D. 1. Câu 2. Đa thức dư trong phép chia đa thức f ( x ) x 50 x 49 .... x 2 x 1 cho đa thức x 2 1 là A. 5x + 26. B. 25x + 1. C. 25x + 26. D. 5x + 1. 1 1 1 yz xz xy Câu 3. Cho 0(với x, y, z 0 ). Giá trị của biểu thức A là x y z x2 y2 z2 A. 1. B. 3. C. 0. D. 4. xy 3 x2 2xy y2 Câu 4. Cho . Giá trị của biểu thức A bằng x2 y2 8 x2 2xy y2 3 8 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 3 7 7 x 6 1 6 Câu 5. Cho biểu thức A 2 : , x 2 .Số các giá trị nguyên của x để x 4 3x 6 x 2 x 2 biểu thức A nhận giá trị nguyên là A. 1. B. 2. C. 4. D. 8. Câu 6. Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được con bích là 1 1 12 3 A. . B. . C. . D. . 4 13 13 4 3 1 2 5 Câu 7. Nghiệm của phương trình - 2 = là 5 8 A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 8. Cho hai đường thẳng d1 : y 3x 1 và d2 : y 2x 3m 7, với m là tham số. Giá trị của m để đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 tại một điểm trên trục tung là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, chiều cao bằng 15cm, thể tích là 1280cm3. Khi đó diện tích xung quanh Sxq của hình chóp là A. 548cm2. B. 542cm2. C. 544cm2. D. 546 cm2. DeThi.edu.vn
10. 39 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 10. Cho hình thoi ABCD, biết độ dài hai đường chéo AC = 24cm, BD = 10cm. Chu vi hình thoi là A. 52cm. B. 48cm. C. 68cm. D. 72cm. 1 Câu 11. Cho hình bình hành ABCD, điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG = DC. Gọi E là 5 giao điểm của AG và BD. Kết quả của tỉ số DB : DE là A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. Câu 12. Cho hình thang ABCD có AB = 5cm, CD = 15cm, độ dài hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm. Diện tích hình thang ABCD bằng A. 96cm2. B. 192cm2. C. 100cm2. D. 72 cm2. Câu 13. Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = a Một đường thẳng bất kì qua C cắt tia đối của các tia BA, DA lần lượt tại M và N. Khi đó tích BM.DN có giá trị bằng A. 2a2. B. a2. C. 3a2. D. 4a2. Câu 14. Cho hình thang ABCD có AB là đáy nhỏ, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC theo thứ tự tại M, N. Hệ thức nào sau đây đúng? 1 1 1 1 1 1 A. + = . B. + = . AB CD MN CD MN AB 1 1 2 1 1 MN C. + = . D. + = . AB CD MN AB CD 2 Câu 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm, AB = 8cm và hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với DB, d cắt BC kéo dài tại E. Kẻ CH vuông góc với S DE tại H. Khi đó tỉ số diện tích EHC bằng SEBD 4 16 256 25 A. . B. . C. . D. . 5 25 625 16 Câu 16. Bạn Nam đi siêu thị mua một món hàng đang khuyến mãi giảm giá 20%, Nam có thẻ khách hàng thân thiết của siêu thị nên được giảm thêm 2% trên giá đã giảm nữa, do đó Nam chỉ phải trả 196000 đồng cho món hàng đó. Giá ban đầu của món hàng nếu không khuyến mãi là A. 250000. B. 225000. C. 350000. D. 375000. II. PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 – 146 – (x – 3)(2y – 3) = 0. 2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 7 và 3n + 10 là các số chính phương. Chứng minh rằng n 340. Câu 2. (4 điểm) 1. Giải phương trình (x + 2)2 (2x + 1)(2x + 7) = – 5 DeThi.edu.vn