4 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 các tỉnh - Năm học 2013-2014

Nội dung text: 4 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 các tỉnh - Năm học 2013-2014

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS AN GIANG Năm học 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN SBD Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề) PHÒNG 15-3-2014 Bài 1: (3,0 điểm) Tính tổng: Bài 2: (4,0 điểm) Cho đa thức a. Hãy phân tích đa thức thành tích các nhân tử. b. Chứng tỏ rằng nếu là số nguyên thì luôn chia hết cho 5. Bài 3: (4,0 điểm) Cho . a. Chứng minh rằng : b. Chứng minh rằng : Bài 4: (4,0 điểm) Cho hệ phương trình a. Giải hệ phương trình. b. Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn nhận một nghiệm là nghiệm của hệ phương trình đã cho và một nghiệm là (0,0). Bài 5: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy một điểm M trên đường tròn sao cho . Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A và điểm M cắt nhau tại C, CM cắt AB tại D. a. Chứng minh rằng BM song song OC. b. Tính diện tích tam giác ACD. Hết
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm). 1 1 x2 . (1 x)3 (1 x)3 a) Rút gọn biểu thức A với . 1 x 1 2 1 x2 b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a3 a2b ab2 6b3 0 . a4 4b4 Tính giá trị của biểu thức B . b4 4a4 Câu 2 (2 điểm). a) Giải phương trình x2 (x2 2) 4 x 2x2 4. 3 x 2x y b) Giải hệ phương trình . 3 y 2y x Câu 3 (2 điểm). a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy2 2xy x 32y . b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2 a 3b2 b . Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chính phương. Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB. a) Chứng minh H·KM 2A·MH. b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE. c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R. Câu 5 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc . Tìm giá trị nhỏ 4ab 9ac 4bc nhất của biểu thức C . a 2b a 4c b c Hết Họ và tên thi sinh số báo danh Chữ ký của giám thị 1 chữ ký của giám thị 2
3. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013 - 2014 PHÚ THỌ MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu1( 3,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập nguyên x 2 5y 2 4xy 4x 8y 12 0 b)Cho P(x) x 3 3x 2 14x 2 . Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11 Câu 2( 4,0 điểm) a 3 3a 2 a) Tính gía trị biểu thức P , biết a 3 55 3024 3 55 3024 a 3 4a 2 5a 2 b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn x 3 3x 1; y3 3y 1,z 3 3z 1 Chứng minh rằng x 2 y 2 z 2 6 Câu 3( 4,0 điểm) x 1 a) Giải phương trình 3x 1 3x 1 4x 3x 2 2y 2 4xy x 8y 4 0 b) Giải hệ phương trình: 2 2 x y 2x y 3 0 Câu 4( 7,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm .Gọi A là chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt BC lần lượt tại M và N .Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành . a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp . b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định. c) Khi 600 và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI. Câu 5( 2,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 2x2 y2 z2 2y2 x2 z2 2z2 y2 x2 Chứng minh rằng 4xyz 4 yz 4 xz 4 yx Hêt— Họ và tên thí sinh số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO TỈNH THANH HOÁ Năm học 2013 - 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao Số báo danh đề) Ngày thi: 21/03/2014 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) xy x xy x Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức A x 1 1 : 1 x 1 . xy 1 1 xy xy 1 xy 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Cho 1 1 6 . Tìm giá trị lớn nhất của A. x y Câu II (5,0 điểm). 1.Cho phương trình x 2 2 m 2 x m2 2m 4 0 . Tìm m để phương trình 2 1 1 có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 2 . x1 x2 x1x2 15m x y z 1 2. Giải hệ phương trình 4 4 4 . x y z xyz Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). 2. Tìm x, y, z N thỏa mãn x 2 3 y z . Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. 2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng. 3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD. Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 1 1 . x3 y3 xy HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm