51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Kèm đáp án)

Nội dung text: 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Kèm đáp án)

1. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Cõu NỘI DUNG Điểm 212⋅35 46⋅92 510⋅73 255⋅492 0,5 1/ A = (22⋅3)6 84⋅35 ― (125⋅7)3 59⋅143 12 5 12 4 10 3 10 4 = 2 ⋅3 2 ⋅3 5 ⋅7 5 ⋅7 212⋅36 212⋅35 ― 59⋅73 59⋅23⋅73 0,5 212⋅34⋅(3 1) 510⋅73⋅(1 7) = 212⋅35⋅(3 1) ― 59⋅73⋅(1 23) 12 4 10 3 0,5 = 2 ⋅3 ⋅2 5 ⋅7 ⋅( 6) 212⋅35⋅4 ― 59⋅73⋅9 1 10 7 = ― = 0,5 Cõu 1 6 3 2 (4 điểm) z x y 2/ Ta cú: B = 1 1 1 x y z 0,5 x z y x z y B = (1) x y z x y z x y z 1 Mà x y z 0 y z x y (x z) (2) z x y z (y x) Từ (1) và (2) Suy ra: B = -1 0,5 1/ Cú 2x + y = z – 38 suy sa 2x + y – z = – 38 0,25 3x = 4y = 5z – 3x – 4y ⇒ 3x = 4y = 5z – 3x – 3x ⇒ 9x = 5z 0.5 ⇒ 5 = 9 ⇒ 20 = 36 (1) 0,25đ Do 3x = 4y ⇒ 4 = 3 ⇒ 20 = 15 (2) 0,25đ Từ (1) và (2) ⇒ 20 = 15 = 36 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: 0,25 2 38 = = = = = – 2 0,25đ 20 15 36 2.20 15 36 19 Cõu 2 Suy ra x = – 2.20 = – 40; y = – 2.15 = – 30 ; z = – 2.36 = –72 0,25đ (3.5 điểm) Vậy x = – 40; y = – 30; z = – 72 2) x 2019 2020 x 2021 x 13x. vỡ x 2019 2020 x 2021 x 0 với x 0.25 do đú x 2019 2020 x 2021 x 13x. khi 13 x 0 Suy ra x 0 0.25 với x 0 ta cú: x 2019 2020 x 2021 x 13x. 0.25 (x 2019) (2020 x) (2021 x) 13x x 2019 2020 x 2021 x 13x 0.25 DeThi.edu.vn
2. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 3x 6060 13x 13x 3x 6060 0.25 10x 6060 Suy ra x = 606 > 0 (thỏa món điều kiện của x) 0.25 Vậy x = 606 1/ Ta cú: 4xy 10x 6y 2 0,5đ 2x(2y 5) 3(2y 5) 17 0,25đ (2x 3)(2y 5) 17 0,25đ (2x 3) U (17) 1; 17 0.25 Nếu 2x 3 1 x 1 thỡ 2y 5 17 y 6 Nếu 2x 3 1 x 2 thỡ 2y 5 17 y 11 0,25đ 0,25đ Nếu 2x 3 17 x 7 thỡ 2y 5 1 y 2 Nếu 2x 3 17 x 10 thỡ 2y 5 1 y 3 0,25đ Cõu 3 do x, y là cỏc số nguyờn (4 điểm) Vậy: Cỏc giỏ trị x, y cần tỡm là: (x; y) ( 1;6);( 2; 11);(7; 2);( 10; 3) 2/ Vỡ p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p lẻ, do đú p + 1 chẵn 0.5 ⇒ (p + 1) ⋮ 2 (1) Cũng do p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p = 3k + 1 hoặc 0.5 p = 3k + 2 (k ∈ N) Nếu p = 3k + 1 thỡ p + 2 = 3k + 3 = 3 (k+ 1) ⋮ 3 0.25 ⇒ p + 2 khụng là số nguyờn tố nờn p = 3k + 1 khụng xảy ra. 0.5 Do đú p = 3k + 2 ⇒ p + 1 = 3k + 3 = 3 (k+ 1) ⋮ 3 (2) 0.25 Vỡ (2;3) = 1 nờn từ (1) và (2) ta cú (p + 1) ⋮ 6 Gọi chiều dài của 3 cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là a; b; 0,25 c (a; b; c > 0 đơn vị một) Sau một ngày cửa hàng bỏn được số vải của cỏc cuộn: 2 1 Cuộn vải thứ nhất: a - a = a (m) 3 3 0,25 Cõu 4 (1.5 1 2 Cuộn vải thứ hai: b - b = b (m) điểm) 3 3 3 2 Cuộn vải thứ ba: c - c = c (m) 5 5 Do giỏ tiền của một một vải của cỏc cuộn bằng nhau nờn số một vải bỏn được của cỏc cuộn tỷ lệ thuận với số tiền bỏn được. Mà số tiền 0,25 bỏn được của cỏc cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2. Vậy số một vải bỏn được của DeThi.edu.vn
3. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn cỏc cuộn tỉ lệ với 2; 3; 2. 1 2 2 a b c 3 3 5 a 2b 2c a b c Ta suy ra 2 3 2 6 9 10 6 4 ,5 5 0,25 Theo tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau ta cú a b c a b c 186 372 = = 12 6 4,5 5 6 4,5 5 15,5 31 Suy ra: a = 12.6 = 72 0,25 b = 12.4,5 = 54 c =12.5 = 60 Vậy số vải bỏn được của hàng trong ngày đú là: Cuộn vải thứ nhất: 72 (m) Cuộn vải thứ hai: 54 (m) 0,25 Cuộn vải thứ ba: 60 (m) y x F A 1 3 E 2 2 0,5 1 1 0,5 B H D C Cõu 5 à à o (6 điểm) a) Do ABC vuụng cõn tại A nờn AB AC;B1 C1 45 à à o à o Do Bx  BC nờn B B 90 mà B1 45 suy ra 1 2 0,5 à o à o o o B2 90 B1 90 45 45 ả o Chứng minh tương tự ta được C2 45 0,5 à ã o à ã à à Ta cú: A1 BAD 90 A3 BAD A1 A3 à à à à o Xột AEB và ADC cú: A1 A3 ; AB AC ; B1 C1 45 AEB = ADC (g -c - g) b) Do AEB = ADC AE = AD mà AED vuụng tại A 0,5 Suy ra AED vuụng cõn tại A ãAED 45o Chứng minh tương tự phần a) suy ra ADB = AFC (g – c – g) 0,5 AD = AF DAF vuụng cõn tại A Dã FA 45o 0,5 DeThi.edu.vn
4. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn EDF cú ãAED 45o Dã FA EDF vuụng cõn tại D. 0,5 à o 0,5 c) Kẻ AH BC ABH vuụng tại H cú B1 45 ABH vuụng cõn tại H HB = HA 0,5 ABC vuụng cõn tại A cú đường cao AH đồng thời là trung tuyến suy ra BH = HC 0,5 mà HB = HA suy ra BC = 2AH EF =AE + AF= AD + AD = 2AD 2AH = BC 0,5 đẳng thức xảy ra khi D  H. 27 2x 3 3 C = = 2+ => C lớn nhất khi lớn nhất 0,25 12 x 12 x 12 x 3 3 * Xột x > 12 thỡ < 0 2+ < 2 0,25 12 x 12 x 3 * Xột x 0. Vỡ phõn số cú tử và mẫu là cỏc số dương, 0,25 Cõu 6 12 x (1 điểm) tử khụng đổi nờn phõn số cú giỏ trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 12-x 0 3 Để lớn nhất thỡ x Z x = 11 khi đú C= 5 >2 12 x 0,25 12-x nhỏ nhất C cú giỏ trị lớn nhất là 5 khi x =11 DeThi.edu.vn
5. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 UBND HUYấN SễNG Lễ ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI VềNG II TRƯỜNG THCS ĐỒNG THỊNH NĂM HỌC 2024-2025 MễN TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề) Cõu 1 (5,0 điểm). 2 2 1 1 0,4 0,25 2024 a) Tớnh giỏ trị của biểu thức: A 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2025 9 11 6 16 25 9 b) Cho = = và 2x3 – 1 = 15. Tớnh giỏ trị của biểu thức B = x + y + z. 9 16 25 1 1 1 1 c) Cho a + b + c = 2070 và + + = a b b c c a 90 a b c Tớnh giỏ trị của biểu thức C = + + . b c c a a b Cõu 2 (4,0 điểm). a) Cho p là số nguyờn tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyờn tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. b) Cho f x ax2 bx c , với a, b, c Z. Biết f 1 ; f 0 ; f 1 đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3. c) Tỡm cỏc số nguyờn x, y biết 2xy – x – y = 2. Cõu 3 (3,0 điểm). a) Ba lớp 7A, 7B, 7C cựng mua một số gúi tăm từ thiện, lỳc đầu số gúi tăm dự định chia cho 3 lớp tỉ lệ với 5 : 6 : 7 nhưng sau đú chia theo tỉ lệ 4 : 5 : 6 nờn cú một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gúi. Tớnh tổng số gúi tăm mà ba lớp đó mua. bz cy cx az ay bx x y z b) Biết (a, b, c 0). Chứng minh rằng . a b c a b c Cõu 4 (6,0 điểm). Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, AB < AC < BC. Cỏc tia phõn giỏc của gúc A và gúc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF vuụng gúc với BC, OH vuụng gúc với AC (F thuộc BC, H thuộc AC). Lấy điểm I trờn đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a) Chứng minh tam giỏc FCH cõn; b) Chứng minh AK = KI; c) Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng. DeThi.edu.vn
6. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Cõu 5 (2,0 điểm). Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương a1,a2 ,...,an và b (n là số nguyờn dương nào đú) thỏa món đồng thời hai điều kiện b a1 a2 ... an 1 và 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 1 . a1 a2 an b ----------HẾT---------- DeThi.edu.vn
7. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Cõu 1 (5,0 điểm). í Nội dung trỡnh bày Điểm Ta cú: 2 2 1 1 0,4 0,25 0,5 2024 A 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2025 9 11 6 2 2 2 1 1 1 2024 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2025 0,5 5 9 11 6 8 10 a 1 1 1 1 1 1 2. 5 9 11 2024 3 4 5 : 1 1 1 7 1 1 1 2025 7. . 5 9 11 2 3 4 5 0,5 2 2 2024 : 0 . Vậy A = 0 7 7 2025 Từ giả thiết, ta cú: 2x3 1 15 2x3 16 0,5 x3 8 x3 23 0,25 Nờn x 2. 18 y 25 z 9 Suy ra: 9 16 25 18 y 25 9 16 0,5 b y 25 32 y 57. 18 z 9 0,5 9 25 z 9 50 z 41. Vậy B x y z 2 57 41 100. 0,25 a b c Ta cú C = +1+ +1+ +1- 3 b+c c+a a+b 0,5 DeThi.edu.vn
8. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a+b+c a+b+c a+b+c 0,5 C = + + - 3 c b+c c+ a a+b ổ 1 1 1 ử 0,5 C = (a+b+c)ỗ + + ữ- 3 ốỗb+c c+ a a+bứữ 1 C = 2070. - 3 = 23 - 3 = 20 90 Cõu 2 (4,0 điểm). í Nội dung trỡnh bày Điểm Vỡ p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p lẻ, do đú p + 1 chẵn nờn 0,5 (p + 1)  2 (1) Cũng do p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 0,25 (k N) a Nếu p = 3k + 1 thỡ p +2 = 3k +3 = 3(k + 1)  3 0,25 Suy ra p + 2 khụng là số nguyờn tố nờn p = 3k + 1 khụng xảy ra. Do đú p = 3k + 2 0,25 p + 1 = 3k + 3 = 3(k +1)  3 (2) Vỡ (2;3) = 1 nờn từ (1) và (2) ta cú (p + 1)  6 0,25 Ta cú: f (0) = c; f (1) = a + b + c; f (-1) = a - b + c +) f(0) ⋮ 3 ⇒ c ⋮ 3 0,25 +) f(1) ⋮ 3 ⇒ a + b + c ⋮ 3 ⇒ a + b ⋮ 3 (1) b +) f(-1) ⋮ 3 ⇒ a - b + c ⋮ 3 ⇒ a - b ⋮ 3 (2) 0,5 Từ (1) và (2) ⇒ (a + b) + (a - b) ⋮ 3 ⇒ 2a ⋮ 3 hay a ⋮ 3 Vỡ (2;3) = 1 nờn b ⋮ 3 0,25 Vậy a, b, c đều chia hết cho 3 2xy x y 2 0,25 4xy 2x 2y 4 0,25 c 2y 1 2x 1 5 Học sinh xột 4 trường hợp tỡm ra x; y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  0,25 Vậy x; y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  0,25 Cõu 3 (3,0 điểm). í Nội dung trỡnh bày Điểm Gọi tổng số gúi tăm 3 lớp cựng mua là x ( x là số tự nhiờn khỏc 0) Số gúi tăm dự định chia cho 3 lớp 7A,7B,7C lỳc đầu lần lượt là: a,b,c a b c a b c x 5x 6x x 7x 0,5 Ta cú: suy ra a ;b ;c (1) 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gúi tăm sau đú chia cho 3 lớp lần lượt là a ',b',c'ta cú: 0,5 DeThi.edu.vn
9. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a ' b' c' a ' b' c' x 4x 5x 6x suy ra a ' ;b' ;c' (2) a 4 5 6 15 15 15 15 15 So sỏnh (1) và (2) ta cú a a ',b b',c c'nờn lớp 7C nhận nhiều hơn lỳc ban đầu 0,5 6x 7x x Vậy c' c 4hay 4 hay 4 suy ra x 360 (t/m) 15 18 90 Vậy số gúi tăm 3 lớp đó mua là 360gúi. Từ giả thiết ta cú a,b,c 0 nờn a2 b2 c2 0 bz cy cx az ay bx a(bz cy) b(cx az) c(ay bx) 0,5 a b c a2 b2 c2 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú a(bz cy) b(cx az) c(ay bx) 0 0 0,5 a2 b2 c2 a2 b2 c2 y z b Ta cú bz cy 0 nờn b c z x x y x y z Tương tự ta cú ; . Từ đú suy ra : . 0,5 c a a b a b c x y z Vậy . a b c Cõu 4 (6,0 điểm). í Nội dung trỡnh bày Điểm A H 0,5 E O K G 0,5 C B F I a Ta cú Cã HO = Cã FO = 900 ( vỡ OH  AC ; OF  BC ) 0,5 Xột CHO vuụng tại H và CFO vuụng tại F cú: Hã C O = Fã CO (vỡ CO là tia phõn giỏc C ) Vậy CHO = CFO (cạnh huyền – gúc nhọn) 0,5 Do đú: CH = CF (2 cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) Vậy FCH cõn tại C (tam giỏc cú 2 cạnh bằng nhau) + Qua I vẽ IG //AC (G FH) 0,25 Ta cú FCH cõn tại C (cm trờn), suy ra Cã H F Cã FH (2 gúc ở đỏy của tam giỏc cõn) (1) 0,25 Mà Cã H F Fã G I (hai gúc đồng vị, IG // AC) (2) 0,25 Từ (1),(2) suy ra Cã FH Fã G I hay IãFG IãGF DeThi.edu.vn
10. 51 Đề thi chọn học sinh giỏi Toỏn Lớp 7 (Kốm đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy IFG cõn tại I nờn FI = GI (hai cạnh bờn của tam giỏc cõn ) 0,25 Mặt khỏc FI = AH Nờn GI = AH (cựng bằng FI) 0,25 b Lại cú:IãG K ãAH K (hai gúc so le trong, IG // AC) Hã AK =Gã IK (hai gúc so le trong, IG // AC) 0,25 Xột AHK và IGK cú: 0,25 IãG K ãAH K (cm trờn) GI = AH (cm trờn) 0,25 Hã AK Gã IK (cm trờn) Vậy AHK = IGK ( g.c.g) Do đú AK = KI (2 cạnh tương ứng của 2 tam giỏc bằng nhau) Vẽ OE  AB tại E + Xột OAE vuụng tại E và OAH vuụng tại H cú : OA chung; Oã AE Oã AH (vỡ AO là tia phõn giỏc àA ) Vậy OAE = OAH ( cạnh huyền – gúc nhọn) 0,5 Suy ra OE = OH (2 cạnh tương ứng của 2 tam giỏc bằng nhau) Lại cú OH = OF (vỡ CHO = CFO ) Do đú OE = OF + Xột OBE vuụng tại E và OBF vuụng tại F cú : OB chung; OE = OF (cm trờn) 0,5 Vậy OBE = OBF (cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) Suy ra Oã BE Oã BF (hai gúc tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) Mà tia BO nằm giữa hai tia BE, BF 0,25 Suy ra: BO là tia phõn giỏc của Eã BF hay BO là tia phõn giỏc của ãABC (*) Ta cú BA = BE + AE; BI = BF + FI; BE = BF (vỡ OBE = OBF ); c AE = AH (vỡ OAE = OAH ); AH = FI (giả thiết) Do đú BA = BI Nối B với K 0,5 +) Xột BKA và BKI cú: BA = BI (cm trờn) KA = KI (cm trờn) BK là cạnh chung Vậy BKA = BKI (c.c.c) DeThi.edu.vn