53 Đề thi học sinh giỏi môn Toán các tỉnh

Nội dung text: 53 Đề thi học sinh giỏi môn Toán các tỉnh

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài 1 : (2,5 điểm) Giải phương trình : |xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = 0 Bài 2 : (2,5 điểm) Hai phương trình : x2 + (a - 1)x + 1 = 0 ; x2 + (b + 1)x + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình : x2 + x + a - 1 = 0 và x2 + cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c). Bài 3 : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 cắt nhau tại A, B. Đường thẳng O1A cắt đường tròn tâm O2 tại D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 tại C. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 tại M và cắt đường tròn tâm O2 tại N. Chứng minh rằng : 1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên một đường tròn. 2) BC + BD = MN. Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x2 + y2 = 3 và x + y là một số nguyên.
2. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài 1 : (6 điểm) 1) Chứng minh rằng : là số nguyên. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho : với n là số nguyên lớn hơn 2. Bài 2 : (6 điểm) 1) Giải phương trình : 2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đường thẳng (d) : y = 1/2 x + 2. a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất. Bài 3 : (8 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O. Một điểm A chuyển động trên đường tròn (A khác B, C). Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đường tròn cố định. 2) Cho 2 đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt nhau tại 2 điểm A, B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C và tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC và BE.
3. KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI, HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 - 2003 Môn Toán - Dành cho các lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài 150 phút Bài I (3,0 điểm) Cho biểu thức : 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên. Bài II (3,0 điểm) 1) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 - (2m - 3)x + 1 - m = 0 2 2 Tìm giá trị của m để x1 + x2 + 3x1.x2. ( x1 + x2)đạt giá trị lớn nhất. 2) Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn: a2003 + b2003 = 2 a2003 . b2003 Chứng minh rằng phương trình : x2 + 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ. Bài III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính tỉ số BC/AB. 2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C. Tính góc ACD . Bài IV (1,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức : với a, b, c là các số thực bất kì.
4. KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ (THCS) TP HỒ CHÍ MINH Năm học 2002 - 2003 * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút Bài 1 : (4 điểm) Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + 1 = 0. a) Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0) 2 2 b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1 - x2 | = 1. Bài 2 : (5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây : Bài 3 : (3 điểm) a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh : b) Cho x ≥ 1 , y ≥ 1. Chứng minh : Bài 4 : (3 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K.Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn. Bài 5 : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6 : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’), đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D, đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN.
5. ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH * Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định. b) Rút gọn biểu thức K. c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ? Bài 2 (2 điểm) Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ; c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2. Bài 3 (3 điểm) a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó. b) Chứng minh bất đẳng thức : Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a) Chứng minh CDEF là một tứ giác nội tiếp. b) Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao ? c) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác 2 2 2 ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng r = r1 + r2 .
6. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TỈNH THỪA THIÊN - HUẾ * Môn : Toán * Khóa thi : 2001 - 2002 * Thời gian : 120 phút A. Lý Thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau đây : Đề 1 : Nêu điều kiện để có nghĩa. áp dụng : Tìm mỗi giá trị của x để mỗi căn bậc hai sau đây có nghĩa : Đề 2 : Chứng minh rằng : Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra hai phần bằng nhau. B. Toán : (8 điểm) Bài 1 : (3 điểm) a) Tính : b) Rút gọn biểu thức : c) Xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm A (1 ; 3) và B (2 ; 1). Bài 2 : (1,5 điểm) Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước 3 cm thì diện tích tăng 48 cm2. Bài 3 : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ hai đường kính AA’ và BB’ của đường tròn. a) Chứng minh ABA’B’ là hình chữ nhật. b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh BH = CA’. c) Cho AO = R, tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
7. ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU TRƯỜNG NĂNG KHIẾU HÀN THUYÊN (BẮC NINH) * Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài 1 : (2 điểm) Xét biểu thức : 1) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. 2) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - |y| = 0 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ? Bài 2 : (2 điểm) Giải hệ phương trình : Bài 3 : (2 điểm) Cho hình vuông có cạnh bằng 1, tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vào hình vuông (kể cả các cạnh) sao cho không có bất cứ 2 điểm nào trong số các điểm đó có khoảng cách bé hơn 1/2 đơn vị. Bài 4 : (2 điểm) Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng minh rằng : 1) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi. 2) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định. Bài 5 : (2 điểm) 1) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương. 2) Cho tam giác ABC và một điểm E nằm trên cạnh AC. Hãy dựng một đường thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
8. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 10-TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002 - 2003 * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút Bài 1 : (3 điểm) Giải phương trình : |x2 - 1| + |x2 - 4| = x2 - 2x + 4. Bài 2 : (3 điểm) Chứng minh đẳng thức : với a, b trái dấu. Bài 3 : (3 điểm) Rút gọn : Bài 4 : (3 điểm) Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích đó. Bài 5 : (4 điểm) Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với MN cắt AM, AN lần lượt tại B và C. Chứng minh : a) Tứ giác MNCB là hình thang cân. b) MA . MB = R2. c) K thuộc cung nhỏ MN. Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lượt tại P và Q. Chứng minh : BP.CQ = BC2/4 . Bài 6 : (4 điểm) Cho đường tròn tâm O và đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O). Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O)). a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB.
9. ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH BẮC NINH * Môn thi : Toán * Khoá thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 150 phút Bài 1 : (2,5 điểm) Cho biểu thức : 1) Rút gọn B. 2) Tìm các giá trị của x để B > 0. 3) Tìm các giá trị của x để B = - 2. Bài 2 : (2,5 điểm) Cho phương trình : x2 - (m+5)x - m + 6 = 0 (1) 1) Giải phương trình với m = 1. 2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2. 3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn : 2 2 S = x1 + x2 = 13. Bài 3 : (2 điểm) Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy. Bài 4 : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường kính AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E. Đường kính AD của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. 1) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. 2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp. 3) Với điều kiện và vị trí nào của hai đường tròn (O) và (O’) thì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).
10. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN TỈNH HÀ TÂY * Môn : Toán (chung) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức : với x ≥ 0 ; x ≠ 1. 1) Rút gọn P. 2) Tìm x sao cho P < 0. Bài 2 : (1,5 điểm) Cho phương trình : mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0. Tìm m để phương 2 2 trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : x1 + x2 = 2003. Bài 3 : (2 điểm) Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước) và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông. Ca nô xuôi dòng được 144 km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trên đường ca nô trở về bến A, khi còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói ở trên. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Bài 4 : (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. 1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh ΔMNK cân. 3) Tính diện tích ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 5 : (1 điểm) Cho a, b, c là các số bất kì, đều khác 0 và thỏa mãn : ac + bc + 3ab ≤ 0. <DD.Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm : (ax2 + bx + c)(bx2 + cx + a)(cx2 + ax + b) = 0.
11. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG (NAM ĐỊNH) * Môn : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + x - 1 = 0. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu. Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức : Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức : Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3. Bài 3 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho a2 + b2 + c2 = 2007. b) Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x, y, z sao cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + 7 = 0. Bài 4 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A. Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE = BA. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. a/ Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp. b/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau. Bài 5 : (2 điểm) Có n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh, đỏ hoặc vàng. Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh, một đoạn màu đỏ và một đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu. a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm. b/ Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thỏa mãn đề bài.
12. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH * Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút ; * Khóa thi : 2003 - 2004 Câu 1 : 1) Chứng minh rằng : phương trình (a2 - b2)x2 + 2(a2 - b2)x + a2 - b2 = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b. 2) Giải hệ phương trình : Câu 2 : 2n + 1 n + 1 2n + 1 n + 1 1) Với mỗi số nguyên dương n, đặt an = 2 - 2 + 1 ; bn = 2 + 2 + 1. Chứng minh rằng với mọi n, an.bn chia hết cho 5 và an + bn không chia hết cho 5. 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng. Câu 3 : Cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AA1. Hạ A1H vuông góc với AB, A1K vuông govd với AC. Đặt A1B = x, A1C = y. 1) Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC và AHK. Hãy tính tỉ số r'/r theo x, y, tìm giá trị lớn nhất của tỉ số đó. 2) Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo x, y. Câu 4 : 1) Cho đường tròn (C) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O. 2) Cho đường tròn (C) tâm O và một đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn. I là một điểm di động trên (D). Đường tròn đường kính IO cắt (C) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 : 1) Cho một bảng vuông 4 x 4 ô. Trên các ô của hình vuông này, ban đầu người ta ghi 9 số 1 và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số). Với mỗi phép biến đổi bảng, cho phép chọn một hàng hoặc một cột bất kì và trên hàng hoặc cột được chọn, đổi đồng thời các số 0 thành số 1, các số 1 thành số 0. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn các phép biến đổi như vậy, ta không thể đưa bảng ban đầu về bảng gồm toàn các số 0. 2) ở vương quốc “Sắc màu kì ảo” có 45 hiệp sĩ : 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ, khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì cả hai đổi sang tóc xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “Sắc màu kì ảo”, tất cả các hiệp sĩ đều có cùng màu tóc được không ?
13. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG * Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (1,5 điểm) Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : T = {ax + by, x > 0 ; y > 0 ; x + y = 1}. Chứng minh rằng các số : đều thuộc tập T. Bài 2 : (2,0 điểm) Cho ΔABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ΔABC với các cạnh AB, AC. Chứng minh đường phân giác trong của góc B, đường trung bình (song song với cạnh AB) của ΔABC và đường thẳng DE đồng quy. Bài 3 : (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình : 2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a là các số nguyên dương. Bài 4 : (1,0 điểm) Tìm các đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho : Bài 5 : (1,5 điểm) Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố. Bài 6 : (1,5 điểm) 2 Cho phương trình x + ax + b = 0, có hai nghiệm là x1 và x2 (x1 ≠ x2), n n đặt un = (x1 - x2 )/(x1 - x2) (n là số tự nhiên). Tìm giá trị của a và b sao n cho đẳng thức : un + 1un + 2 - unun + 3 = (-1) với mọi số tự nhiên n, từ đó => un + un + 1 = un + 2.
14. ĐỀ THI GIẢI LÊ QUÍ ĐÔN QUẬN TÂN BÌNH - TP. HỒ CHÍ MINH * Môn thi : Toán lớp 6 * Thời gian : 90 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài 1 : (3 điểm) Tìm số nguyên x biết : a) - 1 < 5x/13 < 0 b) 1/(2x - 4) = 2/28 Bài 2 : (3 điểm) 1) Một quả dưa hấu nặng hơn 2/7 khối lượng của nó 2,5 kg. Hỏi quả dưa hấu đó nặng bao nhiêu kg ? 2) Cho a thuộc Z. Hỏi số x = a/3 + a2/3 + a6/3 có phải là số nguyên không ? Vì sao ? Bài 3 : (4 điểm) 1) Trong hình vẽ sau : a. Có những tam giác nào có cạnh là EF ? b. Có tất cả bao nhiêu góc có đỉnh là E, hãy kể ra. c. Nếu biết số đo góc BDC = 60o thì tia DE có phải là tia phân giác của góc EDF không ? Vì sao ? 2) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau : Hãy vẽ 9 điểm là : A, B, C, M, N, P, Q, R, S trong cùng một hình và phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau đây : a) A, P, Q thẳng hàng. b) A, M, N thẳng hàng. c) R, M, C thẳng hàng. d) A, P, R thẳng hàng. e) M, C, S thẳng hàng. f) A, B, S thẳng hàng. g) B, C, Q thẳng hàng. h) B, C, N thẳng hàng. i) M, N, R không thẳng hàng. k) B, P, Q không thẳng hàng.
15. ĐỀ THI GIẢI LƯƠNG THẾ VINH QUẬN 9 - TP HỒ CHÍ MINH * Môn thi : Toán lớp 7 * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài 1 : (5 điểm) Tìm x biết : Bài 2 : (3 điểm) Tính : a) A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + - 1999 - 2000 + 2001 + 2002 - 2003. b) B = (1/4 - 1)(1/9 - 1)(1/16 - 1)(1/25 - 1) (1/121 - 1). Bài 3 : (4 điểm) a) Tìm a, b, c biết : 2a = 3b, 5b = 7c, 3a + 5c - 7b = 30. b) Tìm hai số nguyên dương sao cho : tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ), thương (số lớn chia cho số nhỏ) của hai số đó cộng lại được 38. Bài 4 : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kì thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H, K thuộc đường thẳng BD). Chứng minh : a) BH = CK. b) Tam giác MHK vuông cân. Bài 5 : (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 20o, BC = 2 cm. Trên AB dựng điểm D sao cho = 10o. Tính độ dài AD ?
16. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH NAM ĐỊNH * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài 1 : Rút gọn biểu thức : Bài 2 : Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - x - 1 = 0. Chứng minh rằng các biểu thức P = a + b + a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 và R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5. Bài 3 : Cho hệ phương trình (x, y là các ẩn số) : a) Giải hệ phương trình với m = 7. b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm. Bài 4 : Cho hai vòng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt (C1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui. Bài 5 : Một ngũ giác có tính chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.
17. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH BẮC NINH * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 Bài 1 : (2,5 điểm) 1) Tìm các số tự nhiên x ; y thỏa mãn : x2 + 3y = 3026. 2) Tìm các số nguyên x ; y thỏa mãn : Bài 2 : (3,5 điểm) 1) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m : x2 + x + m = 0. 2) Tìm các giá trị của a để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4x.|x| + (a - 7)x + 1 = 0. 3) Tìm x thỏa mãn : Bài 3 : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB cố định trương cung 120o. Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B) ; M trên cung nhỏ AB (M không trùng A và B). Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC. 1) Cho M cố định, hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi. 2) Cho M cố định, hãy chứng minh giá trị không thay đổi khi C thay đổi. 3) Khi M thay đổi, hạ MK vuông góc với AB. Hãy xác định vị trí của M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4 : (1 điểm) Cho tam giác đều ABC. Lấy điểm M ngoài tam giác sao cho MA = ; MB = 2 (cùng đơn vị đo độ dài với cạnh tam giác) ; góc AMC = 15o (tia CM nằm giữa hai tia CA và CB). Tính độ dài CM và số đo góc BMC.
18. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ TP. HỒ CHÍ MINH 2002 - 2003 I. Lí thuyết : (2 điểm) Chọn một trong hai câu sau : 1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số. áp dụng : Viết công thức nghiệm tổng quát của các phương trình sau : a) 3x - y = 2 b) 2x + 0y = 6 2) Phát biểu và chứng minh định lí về sự liên hệ giữa số đo góc nội tiếp trong một đường tròn với số đo của cung bị chắn (chỉ chứng minh trường hợp tâm của đường tròn nằm trên một cạnh của góc nội tiếp). II. Các bài toán : (8 điểm)Bắt buộc Bài 1 : (1 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình : a) 4x4 - 5x2 - 9 = 0 b) Bài 2 : (1,5 điểm) Vẽ đồ thị hàm số : y = - x2/4 (P) và đường thẳng (D) : y = 2x + 3 trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính. Bài 3 : (1 điểm) Tuổi nghề của 25 công nhân được cho như sau : 7 2 5 9 7 4 3 8 10 4 2 4 4 5 6 7 7 5 4 1 9 4 14 2 8 Hãy sắp xếp số liệu đó dưới dạng bảng phân phối thực nghiệm gồm 3 cột : giá trị biến lượng, tần số, tần suất. Bài 4 : (1 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Bài 5 : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn (O). Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O). a) Chứng minh SO vuông góc với AB. b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh OI.OE = R2. d) Cho biết SO = 2R và MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R.
19. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 BC ĐH SƯ PHẠM TP. HẢI PHÒNG * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (2 điểm) Cho hệ phương trình : 1) Giải hệ phương trình (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ (1) có nghiệm duy nhất. Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức : với x > 0 và x ≠ 1. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Chứng minh rằng 0 14.
20. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ THÀNH PHỐ HÀ NỘI * Môn : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 A. Lí thuyết (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau : Đề 1. Phát biểu và viết dạng tổng quát của quy tắc khai phương một tích. áp dụng tính : Đề 2. Định nghĩa đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn. B. Bài tập bắt buộc (8 điểm) Bài 1 : (2,5 điểm) Cho biểu thức : a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị của x để P = -1. c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có : Bài 2 : (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ? Bài 3 : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
21. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG * Môn : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = 3/2.x2 1) Hãy tính : 2) Các điểm : có thuộc đồ thị của hàm số không ? Bài 2 : (2,5 điểm) Giải các phương trình : 1) 1/(x - 4) + 1/(x + 4) = 1/3 2) (2x - 1)(x + 4) = (x + 1)(x - 4) Bài 3 : (1,0 điểm) Cho phương trình 2x2 - 5x + 1 = 0. Tính : (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 4 : (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I. 1) Chứng minh IA vuông góc với CD. 2) Chứng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. 3) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF. Bài 5 : (1,0 điểm) Tìm số nguyên m để: là số hữu tỉ.
22. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS TỈNH BẮC GIANG * Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003 A. Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau : Đề 1 : Nêu quy tắc nhân các căn thức bậc hai. áp dụng tính : Đề 2 : Chứng minh định lí : “Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến”. B. Bài tập : (8 điểm) Bắt buộc Bài 1 : (2 điểm) a) Thực hiện phép tính : b) Giải hệ phương trình : Bài 2 : (2 điểm) Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô ? Bài 3 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng : a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. c) Tứ giác BCFE nội tiếp. Bài 4 : (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
23. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH BẮC GIANG * Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (2 điểm) a) Tính : b) Giải hệ phương trình : Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức : a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 3 : (2 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Bài 4 : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp. b) Chứng minh : HK // CD. c) Chứng minh : OK.OS = R2. Bài 5 : (1 điểm) Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0.
24. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HỒ CHÍ MINH l Môn thi : Toán (C, D) l Thời gian : 150 phút l Khóa thi : 2003 - 2004 Câu 1 :a) Vẽ parabol y = 2x2. Tìm các giá trị x để 2x2 - 3x + 5 > - x + 17. b) Cho f(x) = (m2 - 8)x3 - (4m2 - 9m - 13)x2 + 2(- 3m + 8)x - m. Tìm m < 0 để f(1) = 0. Lúc đó, tìm g(x) để f(x) = (x - 1).g(x) và tìm các nghiệm còn lại, nếu có, của phương trình f(x) = 0. Câu 2 :a) Giải phương trình : |2x + 5| = x2 + 3x - 1. b) Rút gọn biểu thức : Câu 3 :a) Giải hệ phương trình : b) Tìm k để phương trình kx2 - (12 - 5k)x - 4(1 + k) = 0 có tổng bình phương các nghiệm là 13. Câu 4 :Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh : CE.CB = CF.CA. b) AE kéo dài cắt đường tròn tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC, xác định quỹ tích của H. Câu 5 :Có 3 đội xây dựng cùng làm chung một công việc. Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, 2 đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II ; năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II ; và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên ?
25. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN TỈNH HÀ TĨNH l Môn thi : Toán (chuyên) l Thời gian : 150 phút l Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : Giải phương trình : Bài 2 : Chứng minh : chia hết cho 1001 x 2003. Bài 3 : Biết rằng phương trình x2 - 3x + 1 = 0 có nghiệm x = a. Hãy tìm một giá trị của b Z để phương trình x16 - b.x8 + 1 = 0 có nghiệm x = a. Bài 4 : Trong các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn điều kiện : Hãy tìm cặp số có tổng x + 2y lớn nhất. Bài 5 : Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ 2 tiếp tuyến PE, PF tới đường tròn (E, F là 2 tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại 2 điểm A, B (A nằm giữa P và B) và cắt EF tại Q. a) Khi cát tuyến đi qua O, chứng minh : b) Đẳng thức (1) còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm O. Hãy chứng minh điều đó.
26. * Môn thi : Toán (điều kiện) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (2,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị của A khi : Bài 2 : (2,5 điểm) 1) Chứng tỏ rằng phương trình x2 - 4x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. 2 2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm là x1 và x2 . 2) Tìm m để phương trình x2 - 2mx + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ? Bài 3 : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường tiếp tuyến với (O’) vẽ từ A cắt (O) tại điểm M ; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O’) tại N. Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. 1) Chứng minh rằng tứ giác OAO’I là hình bình hành ; 2) Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O’ nằm trên một đường tròn ; 3) Chứng minh rằng BP = BA. Bài 4 : (2 điểm) 1) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng : 2) Cho tam giác đều ABC. Điểm M trên cạnh BC (M ≠ B, M ≠ C) ; vẽ MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC (D Є AB ; E Є AC). Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MDE lớn nhất.
27. * Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004 Bài 1 : (1,5 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 2003 và thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2003. Bài 2 : (1,5 điểm) Cho phương trình x3 - m(x + 2) + 8 = 0. 1) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 2) Khi phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3, chứng minh rằng : Bài 3 : (2,5 điểm) 1) Giải phương trình : 2) Giải hệ phương trình : Bài 4 : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O ; R) và dây cung A là một điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tia BH cắt AC tại E, tia CH cắt AB tại F. 1) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH, D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh đường thẳng ID là đường trung trực của đoạn thẳng EF. 2) Tính độ dài của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R. 3) Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC sao cho Bài 5 : (1 điểm) Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
28. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PTTH NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG Bài 1 : (2,5 điểm) Giải phương trình Bài 2 : (2,5 điểm) 2 Cho phương trình : x - 5mx - 4m = 0, có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 1) Chứng minh rằng : x1 + 5mx2 - 4m > 0 2) Xác định giá trị của m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3 : (2,0 điểm) Tìm giá trị của m để hai phương trình : x2 + x + m - 2 = 0 và x2 + (m - 2)x + 8 = 0 có nghiệm chung. Bài 4 : (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn, từ M kẻ MH vuông góc với AB (H Є AB), gọi E và F là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt dây AB tại D. 1) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn. 2) Chứng minh
29. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PTTH CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG Câu 1 : (4 điểm) a) Thu gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Câu 2 : (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình : Câu 3 : (2 điểm) Phân tích thành nhân tử : A = x4 - 5x3 + 10x + 4. áp dụng : Giải phương trình : Câu 4 : (2 điểm) Cho hai phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1), a ≠ 0 và mx2 + nx + p = 0 (2), m ≠ 0. Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm : (an - bm)x2 + 2(ap - mc)x + bp - nc = 0. Câu 5 : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB ở điểm D, cắt AC ở điểm E (D và E khác điểm A). a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng. b) Chứng minh  MAE =  DAE và MA vuông góc với DE. c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn tâm là O. Tứ giác AMOH là hình gì ? d) Cho  ACB = 30o và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a. Câu 6 : (2 điểm) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng cạnh đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD. Cho biết  MCB =  CAB. Tính các góc của hình thang ABCD.
30. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN TRƯỜNG ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI * Môn thi : Toán (vòng 2) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005 * Câu 1 : Giải phương trình : * Câu 2 : Giải hệ phương trình : * Câu 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : trong đó x, y là những số thực lớn hơn 1. * Câu 4 : Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông. 1) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho : 2) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số OB/CN có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC. 3) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường tròn (S1) và (S2) có đường kính tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S1) và (S2) tiếp xúc với (S2) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1). * Câu 5 : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Dãy các số x0, x1, x2, , xn, được xác định bởi công thức : Hỏi trong 200 số {x0, x1, x2, , x199} có bao nhiêu số khác 0 ? (cho biết : ).
31. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU ĐHQG TP. HỒ CHÍ MINH * Môn thi : Toán AB * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005 * Câu 1 : (2 điểm) a) Giải phương trình : b) Định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5. * Câu 1 : (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện : a2 + b2 + c2 = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2. a) Tính a + b + c biết rằng ab + bc + ca = 9. b) Chứng minh rằng nếu c ≥ a , c ≥ b thì c ≥ a + b. * Câu 1 : (2 điểm) Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô XA xuất phát từ thành phố A về hướng thành phố B và một chiếc khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20km. Cả hai chiếc xe sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Hãy tính vận tốc của từng chiếc ô tô. * Câu 1 : (3 điểm) Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp (C) của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường tròn (C) tại K (K ≠ A) và J là điểm đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của I và O qua BC. a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuông tại B. b) Tính góc BAC nếu Q thuộc (C). c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C). * Câu 1 : (1 điểm) Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được 3 số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.
32. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ, HẢI PHÒNG * Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005 Bài 1 : (2,0 điểm) Cho biểu thức : 1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x) ; 2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0. Bài 2 : (2,0 điểm) 1) Cho phương trình : a) Giải phương trình trên khi m = 2/3 b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 16. 2) Giải phương trình : Bài 3 : (2,0 điểm) 1) Cho x ; y là hai số thực thỏa mãn x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng 2) Cho phân số : Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn 1 ≤ n ≤ 2004 sao cho A là phân số chưa tối giản. Bài 4 : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng : 1) Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn ; 2) Tam giác BPR cân ; 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. Bài 5 : (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
33. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT TRẦN ĐẠI NGHĨA TP. HỒ CHÍ MINH *Môn thi : Toán (vòng 2) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2004 - 2005 2 Câu 1 : Cho phương trình x + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1 ; a2 và 2 phương trình x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1 ; b2. Chứng minh : 2 2 (a1 - b1)(a2 - b1)(a1 + b2 b). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a và b.
34. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH VĨNH PHÚC, NĂM HỌC 2003 - 2004 Môn : Toán (Thời gian : 150 phút) Câu 1 : (3 điểm) Cho hệ phương trình với tham số a : a) Giải hệ phương trình khi a = -2. b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng hai nghiệm. Câu 2 : (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = -z2 + z(y + 1) + xy. b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB và CD có cùng độ dài) nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r thì Câu 3 : (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình 499(1997n + 1) = x2 + x có nghiệm nguyên. Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông (AC BC). Đường tròn (O) đường kính CD cắt hai cạnh AC và BC lần lượt tại E và F (D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng BE với đường tròn (O), hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao điểm của đường thẳng EF và BK là P. a) Chứng minh bốn điểm B, M, F và P cùng thuộc một đường tròn. b) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng. Tính số đo góc của tam giác ABC. c) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP.
35. QUẬN PHÚ THUẬN, TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM HỌC 2004 - 2005 Môn : Toán (Thời gian : 90 phút) Bài 1 : (2 điểm) Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương : x4 - x2 + 2x + 2 Bài 2 : (2 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình : Bài 3 : (2 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn chứng minh Bài 4 : (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài đoạn AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với đường tròn (O) (E, F là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB và EF. Qua C kẻ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa C và N). Chứng minh : a) Bốn điểm O, I, M, N cùng nằm trên một đường tròn. b) AIM = BIN Bài 5 : (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A thuộc đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AHB, AHC. Đường thẳng IK cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh (SAMN : diện tích tam giác AMN, SABC : diện tích tam giác ABC).
36. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS HÀ NỘI NĂM HỌC 2003 - 2004 A- Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau : Đề 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số và nghiệm của nó. Hãy tìm nghiệm chung của hai phương trình : x + 4y = 3 và x - 3y = - 4. Đề 2. Phát biểu định lí góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Chứng minh định lí trong trường hợp hai cạnh của góc cắt đường tròn. B- Bài tập bắt buộc : (8 điểm) Bài 1 : (2,5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P, biết c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : Bài 2 : (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó ? Bài 3 : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh KN.KC = KH.KO. c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN. d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.
37. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2003 - 2004 Lí thuyết : (2 điểm) Chọn một trong hai câu sau : 1/ Phát biểu và chứng minh định lí Vi-ét (hệ thức Vi-ét) phần thuận. Áp dụng : Cho phương trình 7x2 + 31x - 24 = 0. a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính x1 + x2 + x1.x2. 2/ Viết công thức tính độ dài của một đường tròn, một cung tròn (có ghi chú các kí hiệu trong các công thức). Áp dụng : Tính độ dài một cung 90o của một đường tròn đường kính bằng 6dm. Bài tập bắt buộc : (8 điểm) Bài 1 : (1 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình : Bài 2 : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x2/2 (P) : và đường thẳng (D) : y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính. Bài 3 : (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy. Bài 4 : (1 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Bài 5 : (3,5 điểm) Trên đường tròn (O, R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C ; AE cắt BM tại D. a) Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB. b) Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA. c) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD. d) Cho biết và Tính diện tích tam giác ABC theo R.
38. ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS AN GIANG NĂM HỌC 2004 - 2005 Thời gian 120 phút Lí thuyết (2 điểm) - Phần tự chọn. Thí sinh chọn một trong hai câu sau đây : Câu 1 : (2 điểm) 1) Phát biểu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số. 2) áp dụng : Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn số ? Hãy xác định hệ số của các phương trình đó. a) 2x + 1 = 0 ; b) x2 + 2x - 1 = 0 ; c) x - 2x3 = 0 ; d) -2x2 + 5x = 0. Câu 2 : (2 điểm) 1) Phát biểu định nghĩa góc nội tiếp. 2) áp dụng : Trong hình vẽ dưới đây, hãy chỉ ra các góc nội tiếp. (Học sinh vẽ lại hình khi làm bài) Bài toán (8 điểm) - Phần bắt buộc. Thí sinh phải làm các bài toán sau đây : Bài 2 :(2,0 điểm) Cho phương trình : x2 + 2x - m = 0, với m là tham số thực. 1) Giải phương trình khi m = 15. 2) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, khi đó hãy tính nghiệm kép này. Bài 3 :(1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị (d1) của hàm số y = 2x - 4. 2) Xác định hàm số y = 3x + b biết đồ thị (d2) của nó cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0 ; 3). Cho biết vị trí tương đối của (d1) và (d2). Bài 4 : (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Trên cung BC lấy điểm A sao cho AB nhỏ hơn AC, từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AD tại D. 1) Chứng minh tứ giác ABOD nội tiếp trong một đường tròn. 2) Khi BC = 10 cm, , tính AC.
39. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT VĨNH PHÚC Thời gian 150 phút Câu 2 : (2,5 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 + 4mx + 3m2 + 2m - 1 = 0. a) Giải phương trình với m = 0. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Xác định các giá trị của tham số m để phương trình nhận x = 2 là một nghiệm. Câu 3 : (1,75 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m, diện tích bằng 300m2. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Câu 4 : (3 điểm) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng : a) Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn. b) Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đường tròn. c) Tam giác PQO cân. d) PM2 = PE.PF. e) PHM = PHN