57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án)

Nội dung text: 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án)

1. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn DF KF Trong tam giác FKM có hay KF.DM KM.DF . DM KM c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AK tại P P A , cắt ED tại 4.c 1,5 Q Q E . Chứng minh ba điểm P, Q, C thẳng hàng. A E P F 0,5 H Q K B D O C 0,25 M ·AEH ·AFH 90 suy ra tứ giác AEHF nội tiếp, DHEC là tứ giác nội tiếp nên F· CB H· ED (cùng chắn cung H¼D ), mặt khác F· CB F· EB (cùng chắn cung F»B ) 0,25 do đó H· ED F· EB suy ra F¼H H¼Q do vậy »AF »AQ suy ra AFQ cân tại A suy ra AH  FQ , do vậy FQ//BC . 0,25 Ta có ·APF F· EC F· BK suy ra PFBK là tứ giác nội tiếp. Chứng minh được PKCE là tứ giác nội tiếp. Ta có E· KC E· PC (cùng chắn E»C ), mà E· KC E· FQ (đồng vị) suy ra E· FQ E· PC . 0,25 Mặt khác E· FQ E· PQ (cùng chắn cung E»Q ) do đó E· PC E· PQ hay ba điểm P, Q, C thẳng hàng. Xét các số thực x, y, z thỏa mãn x 0, y 0, z 2 và 2x 2y 2z 1 0 . Tìm 5.a 2,0 giá trị lớn nhất của biểu thức T x 10xy 4xyz . 0,25 a 2x a,b,c 0 Đặt b 2y ta có được (*). a b c 3 c 2z 4 0,5 2T 2x 20xy 8xyz a 5ab ab c 4 a ab abc a 2 a 2 Đánh giá ab abc ab 1 c b 1 c a 4 4 4 0,25 a 2 a 2 1 2 Suy ra 2T a a 4 hay 2T a 4 a 4 4 a 4 a 2 4 4 4 4 Nhận xét từ (*) suy ra a 4 0 do đó 2T 4 T 2 0,25 DeThi.edu.vn
2. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn x 1 a b c 3 a 2 1 0,25 Dấu bằng xảy ra khi a 2 b 1 hay y . Vậy Tmax 2 khi 2 b 1 c c 0 z 2 0,5 x 1 1 y . 2 z 2 Cho tập hợp x = {1; 2; 3; .; 2025}. Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho với 5.b mọi cách lấy k phần tử bất kỳ thuộc x thì luôn tồn tại hai phần tử a, b a b 2,0 trong k phần tử được lấy mà a + b chia hết cho a - b. Xét tập A 1;4;7;...;2023 có 675 phần tử mà mọi cặp số x, y ∈ A đều có x + y 0,5 không phải là bội của 3, nhưng x - y là bội của 3 do đó x + y không chia hết cho x - y. Suy ra k > 675. 0,25 Xét mỗi cách lấy ra 676 phần tử bất kỳ của tập x, giả sử ta xếp được trật tự 0,25 a1 a2 a3 ... a676 , lúc đó a676 a1 2025 1 2024 Ta biểu diễn a a a a a a ... a a vế phải có 675 số 676 1 676 675 675 674 2 1 0,25 hạng và 675 x 3 = 2025 > 2024 suy ra có một số hạng ai 1 ai 3 với i 1;675 0,25 Giả sử 2 phần tử đó là a, b a b khi đó a b 1 hoặc a b 2 0,25 Nếu a b 1 hiển nhiên a b  a b Nếu a b 2 thì a,b là hai số cùng tính chẵn lẻ nên a b 2 0,25 Kết luận số k nhỏ nhất là 676 . DeThi.edu.vn
3. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 UBND THỊ XÃ BÌNH LONG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2024-2025 Môn: Toán – Lớp 9 (Đề thi gồm có 02 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x 3 x 1 x 7 x Câu 1. (5 điểm) Cho A = : 1 (với x 0, x 1, x 9 ). x 1 3 x x 4 x 3 x 1 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá giá trị của biểu thức A khi x 7 4 3 . 1 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . A Câu 2. (5 điểm) 1. Giải phương trình và hệ phương trình: a) x2 2x 3 2 2x2 4x 3 xy x 2y 14 b) 3 2 x 6x 12x y 7 2. Một giáo viên đến nhà sách để mua một số sách và tập để làm phần thưởng cho học sinh. Nhà sách đã niêm yết giá một quyển sách là 30000 đồng và giá một quyển tập là 10000 đồng. Biết giáo viên muốn mua tất cả 30 quyển sách và tập. Khi ra quầy thu ngân để thanh toán tiền, nhà sách thông báo hôm nay được giảm giá 10% trên tổng số tiền, nên giáo viên chỉ phải trả 450000 đồng. Hỏi giáo viên đã mua bao nhiêu quyển sách và bao nhiêu quyển tập? Câu 3. (5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax với (O) lấy điểm C sao cho AC = AB. Đường thẳng BC cắt (O) tại D, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, AC; H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống PD. Chứng minh: 1. 5 điểm A, N, M, P, H cùng thuộc một đường tròn. 2. H, M, B thẳng hàng. 3. HN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Câu 4. (2 điểm) 1. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 80cm, chiều rộng 60cm, đang chứa 240 000cm3 nước. Người ta bỏ vào bể 6 viên đá dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 12 cm, chiều cao 15 cm và một số viên đá dạng hình chóp tam giác đều có diện tích mặt đáy là 110cm2, chiều cao 18 cm. Tính số viên đá dạng hình chóp tam giác đều đã bỏ vào bể cá, biết sau khi bỏ các viên đá vào thì mực nước trong bể cao 52 cm. DeThi.edu.vn
4. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 2. Cho 1 hộp gồm các thẻ đánh số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Mỗi thẻ khác nhau đánh các số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Tích của 2 thẻ được lấy ra là một số chẵn”. Câu 5. (3 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y. 2. Chứng minh: x3y – xy3 ⋮ 6 (với x, y Z ). (x3 y3 ) x2 y2 3. Cho x, y > 1. Chứng minh: 8 . x 1 (y 1) ------------HẾT------------ DeThi.edu.vn
5. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm x 3 x 1 x 7 x a)A : 1 x 1 3 x x 4 x 3 x 1 0,5 x 3 x 3 x 1 x 1 x 7 1 : x 1 x 3 x 1 0,5 x 9 x 1 x 7 . x 1 x 1 x 3 0,5 x 1 . x 1 0,5 x 1 x 3 x 1 x 3 2 b) x 7 4 3 2 3 x 2 3 0,5 1 Thay x 2 3 vào A, ta được 2 3 1 A 0,5 2 3 3 3 3 1 3 0,5 3 2 3 1 x 3 4 c) 1 0,5 A x 1 x 1 4 1 Vì: x 0 x 1 1 4 1 4 3 0,5 x 1 A 0,25 Dấu “ =” xảy ra x 1 1 x 0(TM ) 1 Vậy min 3khi x 0 0,25 A a) x2 2x 3 2 2x2 4x 3(1) Ta có: 2x2 4x 3 2 x 1 2 1 1 0,25 phương trình có nghĩa với mọi x thuộc R 0,25 2 (1) 2x2 4x 6 4 2x2 4x 3 2x2 4x 3 4 2x2 4x 3 3 0 2 Đặt y 2x 4x 3 (y 1) 0,25 2 Ta được pt: y 4y 3 0 DeThi.edu.vn
6. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn y 1 y 3 * y 1 2x2 4x 3 1 2x2 4x 3 1 x 1 0,25 2 2 x 1 * y 3 2x 4x 3 3 2x 4x 3 9 x 3 0,25 S 1; 1;3  Vậy 0,25 xy x 2y 14 y x 2 2 x 16 b) 3 2 3 2 0,5 x 6x 12x y 7 x 6x 12x 8 y 1 x 2 y 1 16 1 0,25 3 x 2 y 1 (2) Thế (2) vào (1) được 0,25 x 2 4 16 x 2 2 x 0 y 7 0,25 x 4 y 9 Vậy nghiệm của hệ phương trình là 0;7 ; 4; 9 . 0,25 2. Gọi số quyển sách và số quyển tập giáo viên đã mua lần lượt là x, y ( x, y N * ) Vì giáo viên đã mua mua tất cả 30 cuốn sách và tập 0,25 Ta có pt: x y 30 Khi giảm giá 10% trên tổng số tiền giáo viên chỉ phải trả 450000 đồng, ta 0,25 có pt 90 (30000x 10000y). 450000 . 0,5 100 x y 30 0,25 Do đó ta được hệ pt: 90 (30000x 10000y). 450000 100 0,5 x y 30 3x y 50 0,25 x 10 (TM) y 20 Vậy giáo viên mua 10 quyển sách và 20 quyển vở - Vẽ đúng hình 0,25 a) Ta có: P· AN P· HN 900 900 1800 DeThi.edu.vn
7. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Nên tứ giác APHN nội tiếp (1) 0,5 Ta có: ABC cân tại A (AB= AC) nên AD vừa là đường cao vừa là trung trực vừa là phân giác ( 2) Xét tứ giác APMN có: P· AN M· NA M· PA 900 Tứ giác APMN là hình chữ nhật (3) Từ (2) và (3) tứ giác APMN là hình vuông nên nội tiếp (4) 0,5 Từ (1) và (4) ta có 5 điểm A, N,M,P,H cùng thuộc môt đường tròn. 0,25 3 b) Ta có: Tứ giác MPCD nội tiếp nên M· PD M· CD (cùng chắn M¼D ) mà: AD vừa là đường cao vừa là trung trực vừa là phân giác của ABC 0,25 MB MC MBC cân tại M · · · · MCD MBD MPD MBD 0,5 Ta lại có: ·AMB là góc ngoài của MBD tại M ·AMB M· BD M· DB M· BD 900 0,25 ·APH ·APM M· PH 900 M· PD 0,5 Do đó: ·APH ·AMB Mà: ·APH ·AMH 1800 ( tứ giác APHM nội tiếp) 0,5 Nên: ·AMB ·AMH 1800 Do đó: H, M, B thẳng hàng c) Ta có : H, M, B thẳng hàng nên ·AHB 900 Gọi E là giao điểm thứ hai của HN với (O) 0,5 Ta có: ·AHN ·APN 450 , ·AHB 900 N· HB 450 0,5 Do đó HN là tia phân giác của ·AHB E là điểm chính giữa của »AB nên điểm E cố định. 0,5 Vậy khi M di động trên đoạn AD thì HN luôn đi qua điểm E cố định là DeThi.edu.vn
8. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn điểm chính giữa của cung AB của (O) 1. Thể tích của nước và đá trong bể là: 80.60.52 = 249600(cm3) Thể tích của đá bỏ vào bể là: 0,25 249600-240000 = 9600 (cm3) Thể tích của 6 viên đá dạng hình chóp tam giác đều là: 1 4 6 ( .122.15) = 4320 (cm3) 3 0,25 Thể tích của số viên đá dạng hình chóp tam giác đều là: 9600 – 4320 = 5280 (cm3) Số viên đá dạng hình chóp tam giác đều đã bỏ vào bể là: 0,5 1 5280 : ( .110.18) = 8 (viên) 3 2. Cho 1 hộp gồm các thẻ đánh số 1;2;3;4;5;6;7;8. Mỗi thẻ khác nhau đánh các số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Tích của 2 thẻ được lấy ra là một số chẵn” Trong hộp có 4 thẻ ghi số lẻ, 4 thẻ ghi số chẵn Lấy ngẫu nhiên hai thẻ ở trong hộp, sau đó tính tích hai số được đánh ở hai tấm thẻ đó nên ta có các khả năng sau: Trường hợp 1: Thẻ số ban đầu lấy ra ghi số lẻ, như vậy thẻ ban đầu có 4 khả năng là 1;3;5;7 Khi đó thẻ sau có thể 7 khả năng xảy ra, trong đó có 4 khả năng sẽ là số 0,25 chẵn, như vậy có 4 tích là số chẵn Vậy trường hợp này có số biến cố xảy ra là 4.7 = 28 (biến cố) Số biến cố mà tích là số chẵn là 4.4 = 16 (biến cố) Trường hợp 2: Thẻ số ban đầu lấy ra ghi số chẵn, như vậy thẻ ban đầu có 4 khả năng là 2;4;6;8 Khi đó thẻ sau có thể 7 khả năng xảy ra, và tích đều là số chẵn 0,25 Vậy trường hợp này có số biến cố xảy ra là 4.7 = 28 (biến cố) Số biến cố mà tích là số chẵn là 4.7 = 28 (biến cố) Như vậy: Tổng số biến cố xảy ra là 28 + 28 = 56 (biến cố) 0,25 Số biến cố mà tích là số chẵn là 16 + 28 = 44 (biến cố) 44 11 0,25 Xác suất của biến cố “ Tích của 2 thẻ được lấy ra là một số chẵn” là 56 14 a) 0,25 DeThi.edu.vn
9. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn (x2 1)(x2 y2 ) 4x2 y x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y 0 (x4 2x2 y y2 ) (x2 y2 2x2 y x2 ) 0 (x2 y)2 x2 (y 1)2 0 2 0,5 x y 0 2 x 0 2 x y 0 y 1 0 0,25 x 0 y 0 x 1 y 1 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (0;0), (1;1), (-1;1) 5 b) Chứng minh : x3 y xy3 6 (với x, y Z ) x3 y xy3 x3 y xy xy xy3 0,25 xy(x2 1) xy(y2 1) (x 1).x.(x 1)y (y 1)y(y 1)x Vì: x 1, x, x 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số 0,25 chia hết cho 3 (x 1)x( x 1)6 (x 1)x( x 1)y6 0,25 Tương tự: (y 1)y( y 1)x6 Do đó: (x 1)x.(x 1)y (y 1)y(y 1)x6 0,25 3 3 Vậy: x y xy 6 (x3 y3 ) x2 y2 c) Cho x, y 1.Chứng minh 8 x 1 (y 1) Ta có: 0,25 3 3 2 2 (x y ) x y (x3 x2 ) (y3 y2 ) x 1 (y 1) x 1 (y 1) 0,25 x2 (x 1) y2 (y 1) x2 y2 x 1 (y 1) y 1 x 1 x2 y2 2xy 2 . (1) y 1 x 1 (y 1)(x 1) 0,25 Mà: x, y 1 x 1 0, y 1 0 . Theo bất đẳng thức Côsi ta có: DeThi.edu.vn
10. 57 Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 1 x 1 x x 1 (x 1).1 2 2 1 y 1 y y 1 (y 1).1 2 2 0,25 xy 2xy (x 1)(y 1) 8 (2) Do đó: 4 (x 1)(y 1) (x3 y3 ) x2 y2 8 Từ (1) và (2) x 1 (y 1) DeThi.edu.vn