7 cách giải cho một bài Hình học Lớp 9 hay và khó

Nội dung text: 7 cách giải cho một bài Hình học Lớp 9 hay và khó

1. 7 cách giải cho một bài hình hay và khó Lời bàn: Hôm bữa có em Nguyễn Hồng gửi bài toán khó lên violet để nhờ trợ giúp. Thấy bài toán hay nên tôi đã đề xuất thêm nhiều cách giải cho bài toán. Các bạn và thầy cô tham khảo để có thể kiếm thêm nhiều cách giải nữa !. Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Cách 1: Dùng các tam giác đồng dạng ( không kẻ thêm đường phụ) Từ các tam giác đồng dạng chứng minh được: AF.AB = AH.AD = AE.EC ; BF.AB = BD.BC ; EC.AC = CD.BC ; DB.DC = HD.AD Biến đổi: Cách 2: Dùng định lý ta let có kẻ thêm đường phụ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BE và CF lần lượt tại M và N Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có:
2. Cách 3: Dùng định lý ta let có kẻ thêm đường phụ (theo cách giải của người giải giangtienhai ) Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt FC tại K. Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BE tại L Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có: Cách 4: Dùng định lý ta let có kẻ thêm đường phụ Trên tia đối tia DA lấy các điểm P và Q sao cho FC // BP và QC // BE Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có: Nhận xét: Cách giải 3 và 4 na ná giống nhau Cách 5: Dùng định lý Menelaus ( không kẻ thêm đường phụ) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD với 3 điểm B, H, E Lập luận tương tư ta cũng có Cộng vế theo vế ta có Cách 6: Dùng định lý Ceva + Talet có kẻ thêm đường phụ Trên cạnh AC lấy điểm S sao cho BE // DS. Theo định lý ta let ta có: và Áp dụng định lý Ceva trong tam giác ABC với 3 đường cao đồng quy tại H
3. => Cách 7: Dùng tỉ số diện tích tam giác với dãy tỉ số bằng nhau ( không kẻ thêm đường phụ) Kí hiệu S là diện tích Ta có: Lập luận tương tự ta cũng có: Ta cũng có: So sánh các kết quả trên cho Bình luận Qua các cách giải trên cho thấy rằng dữ kiện 3 đường cao trong tam giác là không cần thiết !. Do vậy cách giải 1 sẽ không hiệu quả nếu AD, BE, CF không phải là 3 đường cao trong 1 tam giác Nhận định rằng cách giải nhanh nhất là vẽ thêm đường phụ. Tuy nhiên có thể thấy rằng cách giải 2 là tiện lợi nhất vì thông với tất cả dữ liệu tam giác cần chứng minh Cách 3 và cách 4 chứng minh tương tự nhau là để làm sao hệ thức tỉ lệ xuất hiện AH. Tuy nhiên, cũng cần có kĩ năng biến dổi lắt léo một chút. Cách 5 là một cách tiện lợi. Tuy nhiên, định lý Menelaus là một định lý khá khó vi nó là tích của 3 hệ thức nhân với nhau. Muốn giải phải sử dụng tam giác hệ thức cần chứng minh. Định lý Menelaus không được dạy trong chương trình THCS
4. Cách 6 là một cách giải có kết hợp định lý ceva và talet. Nhưng khó ở chỗ kẻ đường phụ làm sao để kết hợp với ceva biến đổi hệ thức tích thành tổng. Đây là một kĩ năng chứng ming tương đối cao Cách 7 hay ở chỗ chỉ sử dụng tỉ số diện tích trong tam giác. Do vậy học sinh lớp 7 vẫn có thể giải được một cách dễ dàng. Nhưng phải kết hợp với dãy tỉ số bằng nhau về tích và tổng trong một tam giác. Nếu không biết vận dụng phù hợp thì các tam giác sẽ xuất hiện rất cồng kềnh Qua các cách giải trên, hy vọng các thầy cô có thể tìm thêm nhiều cách giải khác nữa dựa trên các lời giải trên. Hy vọng trong việc giải một bài hình học, việc tìm ra nhiều cách giải sẽ giúp chúng ta sáng tạo thêm các hệ thức mới. Cũng như trình độ nhận biết các hệ thức rất nhanh nhạy và thuần thục.