›
›
›

8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT - Toán họa

pdf 232 trang thaodu 7320
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT - Toán họa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdf8_chu_de_hinh_hoc_on_thi_tuyen_sinh_vao_lop_10_thpt_toan_hoa.pdf

Nội dung text: 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT - Toán họa

  1. Trang 1 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Contents A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 5 . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 5 . Lý thuyết 5 . Bài tập 5 . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 13 . Lý thuyết 13 . Bài tập 14 . MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 19 . Lý thuyết 19 . Bài tập 19 . GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ 21 . Lý thuyết 21 . Bài tập 21 . MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM 24 B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 30 . GÓC Ở TÂM 30 . Lý thuyết 30 . Bài tập 32 . GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 34 . Lý thuyết 34 . Bài tập. 36 . GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN 41 . Lý thuyết 41 . Bài tập. 42 . MỘT SỐ BÀI TẬP 43 DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . 43 FB: Toán Họa 0986 915 960
  2. Trang 2 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 47 DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN 53 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2 55 C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN . 61 . TỨ GIÁC NỘI TIẾP 61 . Lý thuyết 61 . Bài tập 63 . CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN 70 . Lý thuyết 70 . Bài tập. 70 . BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) 73 Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 73 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 74 Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện 76 Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm 76 Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn 77 D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 79 . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 81 A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 81 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau 81 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt 84 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. 85 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. 86 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian 87 B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 88 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng 88 3. Đường trung bình. 88 4. Định lý Talet: 89 FB: Toán Họa 0986 915 960
  3. Trang 3 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. 90 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác 91 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. 92 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. 93 . PHẦN BÀI TẬP. 94 E. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG 114 10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng 115 Ví dụ minh họa 115 Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh bằng 180 độ) 115 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành) 116 Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn 116 Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. 117 Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. 118 Một số bài tập. 124 F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY 136 Bài tập có giải 137 Một số bài tập tự rèn: 151 F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC 152 A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học. 153 1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học: 153 2. Hướng giải bài toán cực trị hình học: 153 3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học . 153 B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. 154 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. 154 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. 158 FB: Toán Họa 0986 915 960
  4. Trang 4 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. 160 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai 161 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si . 163 6. Sử dụng tỉ số lượng giác. 166 C. Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn 169 D. Bài tập tự luyện 187 E. Rèn luyện tổng hợp 192 H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 202 . HÌNH TRỤ 203 . Lý thuyết 203 . Bài tập 203 . HÌNH NÓN 212 . Lý thuyết 212 . Bài tập 213 . HÌNH CẦU 221 . Lý thuyết 221 . Bài tập 222 . BÀI TẬP TỔNG HỢP 229 Tài liệu được tổng hợp – sưu tầm từ nhiều nguồn. Sử dụng dạy ôn 10 – Mức độ: KHÁ FB: Toán Họa 0986 915 960
  5. Trang 5 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT ề đ HỆ THỨC LƯỢNG ủ Ch 1 TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG . Lý thuyết Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 2 2 1. AB BH. BC hay c ac' A 2 2 AC CH. BC hay b ab' 2. HA2 = HB . HC hay h2 c'' b c b h 3. AB. AC BC . AH hay cb ah B C 1 1 1 1 1 1 c' H b' 4. hay . a AH2 AB 2 AC 2 h2 c 2 b 2 5. BC2 AB 2 AC 2 (Định lí Pitago) . Bài tập Vận dụng hệ thức 1: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH. HB 9 HB HC HB HC 20 Ta có HC 16 9 16 9 16 25 9.20 16.20 Suy ra HB 7,2 (cm); HC 12,8 (cm) 25 25 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: AB2 BC. BH 20.7,2 144 AB = 12 (cm); AC2 BC . CH 20.12,8 256 AC = 16 (cm). 1 1 Vậy diện tích ABC là S ABAC  12.16 96 (cm2). 2 2 FB: Toán Họa 0986 915 960
  6. Trang 6 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Cách giải khác: Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: AH2 HB. HC (hệ thức 2). AH 2 7,2.12,8 92,16 AH = 9,6 (cm). 1 1 Diện tích ABC là S BCAH  20.9,6 96 (cm2). 2 2 Bài 2: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền. Hướng dẫn giải Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC: BC2 AB 2 AC 2 3 2 4 2 25 BC 5 cm A Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BA23 2 9 BA2 BH . BC BH BH BH (cm) 3 4 BC 5 5 CA24 2 16 CA2 CHCB. CH CH CH (cm) CB 5 5 B H C 9 16 12 AH2 HB HC AH 2 AH (cm) 5 5 5 1 1 1 (Có thể tính đường cao AH bởi công thức ) AH2 AB 2 AC 2 Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết OA 2 3 cm, OB = 2cm, tính độ dài AB. Hướng dẫn giải Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.      Ta có D B1 90 AOD B2 90    mà BB1 2 nên AOD D Do đó AOD cân tại A. Suy ra AD AO 2 3 (cm). Vẽ AH  OD thì HO = HD. FB: Toán Họa 0986 915 960
  7. Trang 7 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ta đặt HO HD x thì BD 2 x 2. Xét ABD vuông tại A, đường cao AH, ta có AD2 BD HD Suy ra (2 3)2 x (2 x 2) Từ đó ta được phương trình: 2x2 2 x –12 0 (x – 2)(x + 3) = 0 x = 2 hoặc x = 3. Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = 3 bị loại. Do đó BD 2 2 2 6 (cm). Suy ra AB 62 (2 3) 2 24 2 6 (cm). Vận dụng hệ thức 2: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải 1 Ta có S AHBH 54 ABH 2 Suy ra AH. BH 108 . (1) 1 S AH.CH 96 Suy ra AH. CH 192 . (2) ACH 2 Từ (1) và (2) ta được: AH2. BH . CH 108.192. Mặt khác AH2 BH . CH (hệ thức 2). Suy ra AH 4 12 4 AH = 12 (cm). 1 1 Ta có S 54 96 150 (cm2) mà S BCAH nên BCAH 150 ABC ABC 2 2 150.2 Suy ra BC 25 (cm). 12 Bài 2: Cho hình thang ABCD, AD  900 Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm. a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN. FB: Toán Họa 0986 915 960
  8. Trang 8 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC. * Trình bày lời giải a) Xét ABD vuông tại A có AO  BD nên OA2 OB . OD (hệ thức 2). Do đó OA2 5,4.15 81 OA = 9 (cm). Xét ACD vuông tại D có OD  AC nên OD2 OA . OC (hệ thức 2). OD2 15 2 OC 25 (cm). OA 9 Do đó AC 25 9 34 (cm); BD 5,4 15 20, 4 (cm). ACBD 34.20,4 Diện tích hình thang ABCD là: S 346,8 (cm2). 2 2 OM AO b) Xét ADC có OM // CD nên (hệ quả của định lí Ta-lét). (1) CD AC ON BN Xét BDC có ON // CD nên (hệ quả của định lí Ta-lét). (2) CD BC AO BN Xét ABC có ON // AB nên (định lí Ta-lét). (3) AC BC OM ON Từ (1), (2), (3) suy ra CD CD Do đó OM = ON. 1 1 1 Xét AOD vuông tại O, OM  AD nên (hệ thức 4). OM2 OA 2 OD 2 1 1 1 Do đó OM 7,7 (cm). OM2 9 2 15 2 Suy ra MN 7,7.2 15,4 (cm). FB: Toán Họa 0986 915 960
  9. Trang 9 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Vận dụng hệ thức 4: Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia 1 1 AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức P 2 2 AM AN Hướng dẫn giải * Tìm cách giải 1 1 1 1 1 Biểu thức gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) để giải. Muốn vậy AM2 AN 2 h2 b 2 c 2 phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN. * Trình bày lời giải Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.      ADE và ABM có D B 90 AD = AB; AA1 2 (cùng phụ với DAM ). Do đó ADE ABM g . c . g . Suy ra AE = AM. 1 1 1 Xét AEN vuông tại A có AD  EN nên AE2 AN 2 AD 2 1 1 Mặt khác AE AM; AD 1 nên 1 AM2 AN 2 Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh 1 1 1 rằng : BK2 BC 24 AH 2 Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức 1 1 1 lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam h2 b 2 c 2 giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại. FB: Toán Họa 0986 915 960
  10. Trang 10 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT * Trình bày lời giải Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D. Vì ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến BH = HC. Xét BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (  BC ) D CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ). A Nên AH là đường trung bình của BCD K 1 AH = AH BD BD = 2AH. (1) 2 B H C Xét BCD có DBC 900 ; BK  CD ( K CD ) 1 1 1 (2) BK2 BC 2 BD 2 1 1 1 Từ (1) và (2) (đpcm) BK2 BC 24 AH 2 Vận dụng nhiều hệ thức Bài 1: Cho hình thang ABCD, ADˆ ˆ 90 hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD. Hướng dẫn giải ADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có: AC2 AD 2 DC 2 12 2 16 2 400 . Suy ra AC = 20 (cm). ADC vuông tại D, DO là đường cao nên AD. DC AC . DO (hệ thức 3). ADDC 12.16 Suy ra OD 9,6 (cm). AC 20 FB: Toán Họa 0986 915 960
  11. Trang 11 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT AD2 12 2 Ta lại có AD2 AC . AO (hệ thức 1) nên OA 7, 2 (cm). AC 20 Do đó OC 20 – 7, 2 12,8 (cm). Xét ABD vuông tại A, AO là đường cao nên AO2 OB . OD (hệ thức 2). AO2 7,2 2 OB 5,4 (cm). OD 9,6 Bài 2: (Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau) Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. ) A Hướng dẫn giải *Cách 1: Ta có ABC vuông tại A nên : 2 2 2 2 B BC AB AC 8 6 10( cm ) (Định lý Pytago) C H AB. AC ABC vuông tại A, AH  BC, nên AH BC AB AC AH 4,8( cm ) BC *Cách 2: ABC vuông tại A, AH  BC, nên: 1 1 1AB2 . AC 2 64.36 AH2 AH 4.8( cm ) AH2 AB 2 AC 2 AB 2 AC 2 100 *Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có BC2 AB 2 AC 2 8 2 6 2 100 nên suy ra BC=10cm. AB2 ABC vuông tại A nên: BH. BC AB2 BH 6.4( cm ) . Mà HC BC BH 3,6 (cm) BC ABC vuông tại A, AH  BC, nên: AH2 BH. HC 4.8 2 AH 4.8( cm ) FB: Toán Họa 0986 915 960
  12. Trang 12 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT *Cách 4: Gọi M là trung điểm BC. A 1 Ta có : BM AM BC 5 cm 2 + Tính được BH=6.4cm C B + Nên MH BH BM 6, 4 5 1( cm ) H M Áp dụng định lý Pitago vào HAM vuông tại H: AH AM2 MH 2 5 2 1,4 2 4,8( cm ) Hệ thống phương pháp giải toán thường gặp. A c b h B c' H b' C a Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức 1 (5) Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng: Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức. Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao. Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh. Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc tạo thành đường cao trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức. FB: Toán Họa 0986 915 960
  13. Trang 13 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN . Lý thuyết 1. Định nghĩa c¹nh ®èi c¹nh kÒ sin cos c¹nh huyÒn c¹nh huyÒn c¹nh ®èi c¹nh kÒ tan cot c¹nh kÒ c¹nh ®èi Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác đều dương và sina 1; cosa 1. 2. Định lí Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia. 3. Một số hệ thức cơ bản sin cos tan (1); cot (2); cos sin tan . cot 1 (3); sin2 cos 2 1 (4). 4. So sánh các tỉ số lượng giác Cho ,  là hai góc nhọn. Nếu  thì sin sin  ; tan tan  ; cos cos  ; cot cot  . Bảng lượng giác một số góc đặc biệt 0 00 300 450 600 90 1 2 3 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 0 2 2 2 3 || tan 0 1 3 3 3 cot || 3 1 0 3 FB: Toán Họa 0986 915 960
  14. Trang 14 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ví dụ minh họa: Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C. Hướng dẫn giải Ta có AC = 9 dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có B BC AC2 AB 2 9 2 12 2 15 (dm) 12 AC 9 3 Vậy sin B BC 15 5 A 9 C AB 12 4 AC 9 3 AB 12 4 Co s B ; tan B ; cot B BC 15 5 AB 12 4 AC 9 3 Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên: 3 4 3 4 Sin B cos C ; Cos B sin C ; tanB cot C ; cotB tan C 5 5 4 3 . Bài tập Bài 1: Chứng minh các hệ thức: 1 1 a) 1 tan2 b) 1 cot 2 cos2 sin2 Hướng dẫn giải 2 2 2 2 2 sin sin cos sin 1 a) Ta có 1 tan 1 1 2 2 2 cos cos cos cos 2 2 2 2 2 cos cos sin cos 1 a) Ta có 1 cot 1 1 2 2 2 sin sin sin sin Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại. Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng. FB: Toán Họa 0986 915 960
  15. Trang 15 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 2: Cho là một góc nhọn. Chứng minh rằng: a) sin tan ; b) cos cot . Hướng dẫn giải AC AC AC AC a) Ta có sin tan mà BC > AB nên BC AB BC AB Do đó sin tan ; AB AB AB AB b) Ta có cos cot mà BC > AC nên BC AC BC AC Do đó cos cot Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác. Bài 3: Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ a b c với sin của các góc đối diện: sin A sin B sin C Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao. * Trình bày lời giải: Vẽ đường cao CH. CH Xét ACH vuông tại H ta có: sin A (1) AC CH Xét BCH vuông tại H ta có: sin B (2) BC sin A CH CH BC a a b Từ (1) và (2) suy ra : . Do đó sin B AC BC AC b sin A sin B b c Chứng minh tương tự ta được sinBC sin a b c Vậy sin A sin B sin C a b Lưu ý: Nếu ABC có C 90 thì ta vẫn có: sin A sin B FB: Toán Họa 0986 915 960
  16. Trang 16 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 4: Tìm góc x, biết rằng: a) tan x 3 cot x ; b)sinx cos x 2 Hướng dẫn giải 3 1 a) tan x 3 cot x ; . Suy ra tan x (vì cot x ). tan x tan x Do đó tan2 x 3 tanx 3 tan 60 Vậy x 60o . b) sinx cos x 2 Bình phương hai vế ta được: sin2 x 2 sin x. cos x cos 2 x 2 2sin x . cos x 1 2 (vì sin2 x cos 2 x 1 ) 2sin x . cos x 1 1 – 2sin x. cos x 0 sinx2 2 sinxcosx . cosx 2 0 sin x – cos x 2 0 . Do đó sin x cos x sin x sin ( 90o – x) (vì cos x sin ( 90o – x) ) Dẫn tới x 90–o x 2 x 90 o x 45. o Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó Bài 5: Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí: a) P sin12 sin2 2  sin3 2   sin88 2  sin89 2  b) Q tan150 .tan 25 0 .tan 35 0 .tan 45 0 .tan 55 0 .tan 65 0 .tan 75 0 20 c) Biết cos Tính sin , tan và cot . 29 Hướng dẫn giải Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có: a) P sin12 sin2 2  sin3 2   sin88 2  sin89 2  sin2 1 sin 2 89  sin 2 2  sin 2 88  sin 2 44  sin 246  sin 2 45  sin2 1 cos 2 1  sin 2 2  c os 2 2  sin 2 44  c os 2 44  sin 2 45  FB: Toán Họa 0986 915 960
  17. Trang 17 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 2 2 = 1 1 1 1 44,5 2 b) Q tan150 .tan 25 0 .tan 35 0 .tan 45 0 .tan 55 0 .tan 65 0 .tan 75 0 tan150 .tan 75 0 . tan 25 0 .tan 65 0 . tan 35 0 .tan 55 0 .tan 45 0 tan150 .cot15 0 . tan 25 0 .cot 65 0 . tan 35 0 .cot 35 0 .tan 45 0 1.1.1.1 1 2 2 2 2 2 20 441 c) Ta có sin cos 1 sin 1 cos 1 29 841 21 sin 21 20 21 20 Do đó sin tan : cos 29 cos 29 29 20 21 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính sinBC , sin biết rằng: a) AB = 13 và BH = 5; b) BH = 3 và CH = 4. Hướng dẫn giải a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao A AH ta có AB213 2 AB2 BH. BC BC 33,8 13 BH 5 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác 5 vuông ABC ta có: AC BC2 AB 2 31,2 B C H AC 31,2 12 SinB BC 33,8 13 AB 13 5 SinC BC 33,8 13 A b) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có AH2 BH. CH 3.4 AH 2 3 Tam giác ABH vuông. Theo định lý Pytago ta có AB HB2 AH 2 3 2 12 21 3 4 C B AH 2 3 2 H SinB AB 21 7 FB: Toán Họa 0986 915 960
  18. Trang 18 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Tam giác ABC vuông, BC BH HC 3 4 7 Theo định lý Pytago ta có AC BC2 AB 2 49 21 28 2 7 AB 21 SinC BC 7 Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có AC AH2 HC 2 12 16 28 AH 12 3 21 SinC AC 28 7 7 Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông. ABC AC Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tan 2 AB BC Hướng dẫn giải Vẽ đường phân giác BD của ABC ( D AC ). AD AB AD DC Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có : DC BC AB BC AD AD DC AD AC . AB AB BC AB AB BC A AD Xét ABD có BAD 900 tan ABD D AB ABC AC tan C 2 AB BC B ABC AC Vậy tan 2 AB BC FB: Toán Họa 0986 915 960
  19. Trang 19 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG . Lý thuyết 1. Định lí Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề; Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. Trong hình vẽ bên thì: b a. sin B a . cos C ; c a. sin C a . cos B ; b c . tan B c . cot C ; c b . tan C b . cot B ; 2. Giải tam giác vuông Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài). . Bài tập Bài 1: Giải tam giác ABC biết B 35 ; C 50 và đường cao AH = 5,0cm. Hướng dẫn giải  Ta phải tìm A AB, AC và BC. A 180 (B C) 95  Xét ABH vuông tại H ta có: AH 5,0 AH AB . sin B AB 8,7(cm) sin B sin 35 BH AH . cot B 5,0. cot 35o 7,1 (cm). Xét ACH vuông tại H ta có AH 5,0 AH AC . sin C AC 6,5(cm) sin C sin 50 CH AH . cot C 5,0. cot 50o 4,2 (cm). Do đó BC BH CH 7,1 4,2 11,3 (cm). Vậy Aˆ 95 ; AB = 8,7cm; AC = 6,5cm và BC = 11,3cm. FB: Toán Họa 0986 915 960
  20. Trang 20 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC: BH AB . cos B ; CH AC . cos C . Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn. Bài 2: Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và B 40o . Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC. * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có: AH AB . sin B 14. sin 40o 9,0 (cm). BH AB. cos B 14. cos 40o 10,7 (cm). Xét AHC vuông tại H có: HC AC2 AH 2 11 2 9 2 6,3 (cm). Nếu H nằm giữa B và C thì BC BH HC 10,7 6,3 17 (cm). Nếu C' nằm giữa B và H thì BC' BH – HC ' 10,7 6,3 4,4 (cm). Lưu ý: Học sinh có thể chỉ giải một nghiệm hình là chưa đủ. Bài toán có 2 nghiệm hình Bài 3: Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B 70 Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có: AH AB. sin B 3,2. sin 70o 3,0 (cm). BH AB . cos B 3,2. cos 70o 1,1 (cm). Xét AHC vuông tại H có: HC AC2 AH 2 5,0 2 3,0 2 4,0 (cm). FB: Toán Họa 0986 915 960
  21. Trang 21 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C. Ta có BC BH HC 1,1 4,0 5,1 (cm). . GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ . Lý thuyết - Thường gọi độ dài một cạnh cần tìm là ẩn, từ đó thiết lập phương trình, giải phương trình tính ra kết quả . Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Hướng dẫn giải BH x Đặt . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường caoA AH. Ta được: AB2 BH . BC hay 202 x x 9 . 20 ? Thu gọn ta được phương trình : x2 9 x – 400 0 x 9 B H C Giải phương trình này ta được x1 16 ; x2 –25 (loại) Dùng định lý Pitago tính được AH = 12 cm Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh. Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả Bài 2: Cho tam giác ABC , B 600 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Hướng dẫn giải Kẻ AH  BC. Đặt AB 2 x . Từ đó tính được BH x và AH x 3 ; HC 8 – x Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H 2 2 Ta có: AC = x3 8 x = 4x2 16 x 64 A Do AB + AC = 12 nên 2x 4 x2 16 x 64 12 2x Giải PT trên ta được : x = 2,5 60 x C B H 8cm AB = 2.2,5 = 5cm FB: Toán Họa 0986 915 960
  22. Trang 22 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm . Diện tích tam giác ABC = 10 3 cm. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân) Bài giải sơ lược A 1cm Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm. D 10 cm Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC2 x 2 9 . 2 B Do AD = 1 nên DC = x 9 – 1 x C Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên : AB AD 3 1 hay . Từ đó ta được phương trình 8x2 – 6 x – 90 0 BC DC x x2 9 1 Giải phương trình tìm được x = 3,75cm Trả lời : BC = 3,75cm Bài 4: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Hướng dẫn giải Kẻ AH  CD ; BK  CD. Đặt AH = AB = x HK = x AHD BKC (cạnh huyền- góc nhọn) A X B 10 x Suy ra : DH CK . 2 X 10 x x 10 Vậy HC HK CK x = D H K C 2 2 10cm Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH 10 x 10 x Ta có : AH2 DH . CH hay x2 . 5x2 100 2 2 Giải phương trình trên ta được x 2 5 và x 2 5 (loại) Vậy : AH 2 5 FB: Toán Họa 0986 915 960
  23. Trang 23 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Hướng dẫn giải Đặt BC 2 x , từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH x A Áp dụng định lí Pitago tính được AC 15,62 x 2 Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được: BC KB 2x 12 15,6 hay K AC AH 15,62 x 2 15,6 12 B // // C Đưa về phương trình 15,62 x 2 6,76 x 2 H 2x Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC 2 . 6 , 5 13 (cm) Bài 6: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Hướng dẫn giải Đặt AB x ; AN y AC 2 y . A Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được / 6 BC 2 AM 2.6 12 (cm) N / Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC 9 // và ABN vuông tại A B M // C Ta được: x2 4 y 2 144 1 và x2 y 2 81 y2 81– x 2 2 Thay 2 vào 1 ta được phương trình : x2 4 81– x 2 144 Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 180 Nghiệm dương của phương trình : x 2 5 Trả lời: AB 2 5 cm FB: Toán Họa 0986 915 960
  24. Trang 24 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG PHẦN BÀI TẬP CƠ BẢN AB 5 Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A. Biết . Đường cao AH = 15cm. Tính HB, HC. AC 7 Bài 2: Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính HD, HB, HC. Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HB 1 . HC 4 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác góc B. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC. Bài 6: Cho tam giác ABC , = 60, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Bài 7: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài 8: a. Cho tam giác ABC có = 60, = 50, = 35 . Tính diện tích tam giác ABC. b. Cho tứ giác ABCD có = = 90, = 40, = 4, = 3. Tính diện tích tứ giác. c. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết = 4, = 5, = 50. Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi ∆AHB bằng 30cm, chu vi ∆ACH bằng 4dm. Tính BH, CH và chu vi ∆ABC. Bài 10: Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17. a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông. b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.  0 Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, B 600 và A 90 a) Tính đường chéo BD. b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c) Tính HK. d) Vẽ BE  DC kéo dài. Tính BE, CE và DC. FB: Toán Họa 0986 915 960
  25. Trang 25 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 12: Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD DE EC. DE DB a) Chứng minh . b) Chứng minh BDE đồng dạng CDB. DB DC c) Tính tổng + . Bài 13: Chình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a. a) Tính b) Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox  AB. Trên Ox lấy a điểm D sao cho OD . Từ B kẽ BC vuông góc với đường thẳng AD. 2 a) Tính AD, AC và BC theo a. b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn. Bài 15: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho = = 90. Chứng minh: AM = AN. AB 20 Bài 16: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết và AH = 420. Tính AC 21 chu vi tam giác ABC. Bài 17: Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết = 2√13; OA = 6. Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 4 cm có D AB, E BC, F AC. Biết AB > AC và SS . Tính AB ; AC. ADEF9 ABC Bài 19: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI. Bài 20: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ đường thẳng cắt BC ở E và 1 1 1 cắt đường thẳng DC ở F. Chứng minh: AE2 AF 2 a 2 Bài 21: Cho hình thang ABCD có = = 90. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại H. Biết AB = 3 5 cm, HA = 3cm. Chứng minh: a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8 1 1 1 1 b) AB2 CD 2 HB 2 HC 2 FB: Toán Họa 0986 915 960
  26. Trang 26 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 22: Cho ABC nhọn. đường cao AD và BE. Gọi I AD và Q BE sao cho ^ ^ BIC AQC 900 . a) Chứng minh: CA.CE = CD.CB b) Chứng minh: IQC là tam giác cân c) BI cắt AQ tại K. Chứng minh: CK IQ Bài 23: Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH. Biết AC = 12cm, BC = 15cm. a) Tính HA, HB, HC. b) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC. Chứng minh: AE.AB = AF.AC c) Chứng minh: HE2 + HF2 = HB.HC Bài 24: Cho hình vẽ: B A a/ Tính AC 74 5,5 4,1 2,8 Y 123 b/ Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX. X Hãy tính XY. D C c/ Tính diện tích tam giác BCX. Bài 25: Cho hình vẽ dưới đây biết = 60 . Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. Tính: a/ AP; BP b/ CP và diện tích tam giác ABC. C 30 20 B   A P Bài 26: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 18cm; BC = 30cm a/ Tính đường cao AH, số đo góc B và C. b/ Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD. FB: Toán Họa 0986 915 960
  27. Trang 27 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT c/ Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF. Bài 27: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên AC lấy các điểm D và E sao cho AD DE EC . DE DB a/ Chứng minh DB DC b/ Chứng minh BDE đồng dạng với CDB. c/ Tính tổng + . Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A, = 30; = 10 . a/ Tính AB, AC. b/ Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc. Chứng minh MN// BC và MN = AB. c/ Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. Bài 29: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 10cm; BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy 1 điểm I sao cho = 3 . Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D. a/ Tính các góc của tam giác ABC. b/ Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A . Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung tuyến AM . Các tia phân giác của các góc AMB; AMC cắt đường thẳng d lần lượt tại D và E. Chứng minh: a) Tứ giác BCED là hình thang BC 2 b) BD . CE = 4 c) Giả sử AC = 2AB , chứng minh EC = BC Bài 31: Cho hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính chu vi và diện tích hình thang cân đó biết đáy nhỏ bằng 14 cm , đáy lớn bằng 50 cm . Bài 32: Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: BC2 a) AB2 AC 2 2AM 2 2 b) AB2 AC 2 2BC.MH FB: Toán Họa 0986 915 960
  28. Trang 28 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 33: Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm. a) Chứng minh AC vuông góc với BD. b) Tính diện tích hình thang. Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE. a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. b) Tính tg IED và tg HCE. c) Chứng minh = d) Chứng minh: DE EC . Bài 35: Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh: a) ANL đồng dạng ABC b) . . = . . . . . Bài 36: Giải tam giác ABC, biết: a) = 90, = 10, = 75. b) = 120, = = 6. c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền = 5, đường cao AH = 4. o d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền = 5, một góc nhọn bằng 47 . Bài 37: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC. a) Giải tam giác vuông ABC. b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. c) Tính: EA.EB + AF.FC. Bài 38: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Cho biết khoảng cách từ O đến mỗi cạnh hình thoi là h; AC = m; BD = n. Chứng minh rằng: + = . Bài 39: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 33,6. Biết 24. AB = 7. AC. Tìm độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác. Bài 40: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD), = 2, = 6 và chiều cao bằng 4. Tính số đo góc tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh bên. Bài 41: Cho tam giác ABC có = 40, = 60, đường trung tuyến AM. Tính số đo góc AMC. FB: Toán Họa 0986 915 960
  29. Trang 29 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 42: Cho tam giác ABC nhọn, AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng = + − 2 = + − 2 = + − 2 Bài 43: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có = 30, = 60, = 2, = 6. a. Tìm AD. b. Tính diện tích hình thang. Bài 44: Cho tứ giác ABCD có + = 90. Chứng minh rằng: + = + Bài 45: Cho tam giác ABC cân tại A, < 90, = = 2√2 , = √2 .Kẻ đường cao BH. Chứng minh rằng: AH = 7.HC HẾT Nguồn bài tập tổng hợp: Sưu tầm FB: Toán Họa 0986 915 960
  30. Trang 30 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT ề đ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ủ GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Ch 2 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN . GÓC Ở TÂM . Lý thuyết A. Kiến thức cần nhớ 1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Ví dụ : AOB là góc ở tâm. Nếu 00 180 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung O nhỏ và cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn. Nếu 180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. A B Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn 2. Số đo cung Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn). Số đo của nửa đường tròn bằng 180 . Chú ý : “Cung không” có số đo bằng 00 và cung cả đường tròn có số đo bằng 360 . 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau : Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 4. Khi nào thì sđ AB = sđ AC + sđCB ? Nếu điểm C là một điểm nằm trên cung AB thì : sđ AB = sđ AC + sđCB . FB: Toán Họa 0986 915 960
  31. Trang 31 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 5. Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau : a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. D b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. C Trong hình bên : AB CD AB = CD. O 6. Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay B trong hai đường tròn bằng nhau : A a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. Trong hình bên : AB CD AB < CD 7. Định lí bổ sung Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thỡ qua trung điểm của dây căng cung ấy ( đảo lại không đúng) Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:  Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.  Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).  Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo 3600 .  Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.  Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung. FB: Toán Họa 0986 915 960
  32. Trang 32 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . Bài tập 0 Bài 1: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết APB 55 . Tính số đo cung lớn AB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB. Cuối cùng tính số đo cung lớn. Trình bày lời giải A Tứ giác APBO có OAP 90 ;OBP 90  ( vì PA, PB là tiếp tuyến), APB 550 nên: O AOB 360 90  90  550 125  (tổng các góc trong tứ P giác AOBP) suy ra số đo cung nhỏ AB là 1250. Vậy số đo cung lớn AB là: 3600 –125 0 235 0 . B Bài 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết AMB 400 . a) Tính AMO và AOM . b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau từ đó tính ra góc ở tâm. Cuối cùng tính số đo cung lớn. Trình bày lời giải a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên A 1 MO là tia phân giác của AMB hay AMO AMB 200 . 2 m M O Tam giác AMO vuông tại A, tính được AOM 700 . OM là tia phân giác của AOB nên AOB 2. AOM 1400 B n b) sđ AmB = sđ AOB 1400 sđ AnB 3600 140 0 220 0 . Bài 3: Trên một đường tròn (O) có cung AB bằng 140o . Gọi A’. B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD . Hướng dẫn giải FB: Toán Họa 0986 915 960
  33. Trang 33 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Tìm cách giải. OA và OA’ là hai tia đối nhau nên sđ AA' 1800 . Do AD nhận B’ là điểm chính giữa cung nên sđ sd AB ' sd B'D . Tương tự sđ BA' 1800 ’ sd A ' B sd A'C từ đó tính được số đo cung DC Trình bày lời giải Ta có AOB'' BOA (hai góc đối đỉnh) sd AB' = sd A'B A B’ và C’ lần lượt là điểm chính giữa cung AD và O B     cung BC nên ta có sd AB ' sd B ' D ; sd A ' B sd A ' C B' A' AB 140 sđ mà A’ là điểm đối xứng với A qua O nên D C sđ AOA' 1800 lại cós® AB s® BA'=180 0 sđ BA' 40 = sđ AB ' 40 sđ AC 40 sđ CB 80        sđ AB 40 sđ B'D 40 sđCD =1800 - sđ BC - sđ BD' 180 40 80 60 . Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM 2 R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). a) Tính AOM ; b) Tính AOB và số đo cung AB nhỏ; c) Biết OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Vận dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh (theo bán kính) từ đó tính ra được góc ở tâm. Trình bày lời giải a) Do MA và MB là các tiếp tuyến của (O) nên MA AO và MB BO Xét tam giác vuông MAO có A AO 1 sin A MO AMO 300 AOM 600 ; MO 2 C M O 0 0 b) Tương tự bài 1 tính được AOB 120 , sđ AB 120 ; B c) AOC BOC AC BC. FB: Toán Họa 0986 915 960
  34. Trang 34 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . Lý thuyết A 1. Định nghĩa . Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. O Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. B Trong hình bên thì C BAC là góc nội tiếp BC là cung bị chắn x Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm B trên đường tròn và một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh A kia chứa dây cung của đường tròn đó. O Theo hình bên thì y BAx và BAy là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 2. Định lý . Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc của cung bị chắn. 3. Hệ quả 1. Trong một đường tròn : a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 4. Hệ quả 2. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. FB: Toán Họa 0986 915 960
  35. Trang 35 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 5. Thêm dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Cho tam giác ACD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm P. Tia AP là tiếp tuyến của đường tròn A ngoại tiếp tam giác ACD nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau : a) ADC= PAC ; 2 P b) PA PC . PD . D C PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN  Điểm nằm chính giữa cung chia cung đó thành 2 cung có số đo bằng nhau. Hai góc nội tiếp chắn hai cung đó thì bằng nhau.  Để chứng minh đẳng thức hình học, suy nghĩ quy về chứng minh tam giác đồng dạng dựa vào các góc nội tiếp cùng ch ắn một cung hoặc hai cung bằng nhau trong một đường tròn.  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.  Góc nội tiếp ( nhỏ hơn bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung FB: Toán Họa 0986 915 960
  36. Trang 36 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . Bài tập. Bài 1: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC và gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA. Hướng dẫn giải A Tìm cách giải. Vận dụng tính chất trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau từ đó chỉ ra S M N các tam giác ASN và MSC cân tại S O Trình bày lời giải B C   Do M là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđ MB sđ MA  Do MN // BC nên NMC MCB sđ MB = sđ NC    Vậy sđ MB sđ MA =sđ NC NAS ANS (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) SMC SCM (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) Vậy các tam giác ASN và MSC cân tại C SN SA; SM SC Nhận xét: Ở bài toán này học sinh có thể nhớ tới bài toán: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau từ đó nhìn ra MB CN Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Ta có: AKM 90 nên DK  AM DMK KMA . Mặt khác hai tam giác có AMK chung. Do yêu cầu chứng minh về góc nên để chứng minh hai tam giác đồng MD MK dạng ta nên dùng c.g.c. Do vậy cần chứng minh . MK MA FB: Toán Họa 0986 915 960
  37. Trang 37 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Trình bày lời giải:       A AA1 2 mà BA1 2 ( góc nội tiếp) nên BA1 1 . 2 MD MB MD MK 1 MBD∽ MAB (g.g) K MB MA MK MA O B Kết hợp với DMK AMK (góc chung) 1 D C  ta có: DMK KMA (c.g.c) MDK MKA 90 M Vậy DK AM. Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM. a) Tính ACM ; b) Chứng minh BAH OCA ; c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao? Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Ta có: ACM 900 , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Nhận định tam giác AOC là tam giác cân nên nếu BAH OCA ta sẽ có BAH CAO từ đó tìm ra tam giác đồng dạng để giải toán. Trình bày lời giải 0 a) Ta có ACM 90 (góc nội tiếp). b) Vì ABC AMC (cùng chắn cung AC) và A AHB ACM 900 Nên ABH và AMC đồng dạng ( g-g)  O BAH OAC BAH OCA  OCA OAC  B H C 0 c) ANM 90 , AN NM và AN BC nên MN // BC N M MNBC là hình thang  BC// MN sđ BN sđCM (xem chứng minh Bài 1)  sđ BM sđCN BM CN MNBC là hình thang cân. FB: Toán Họa 0986 915 960
  38. Trang 38 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 4: Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Gọi D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC ( D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E. (E nằm giữa C và D). Chứng minh rằng: a) BED D AE . b) DE2 DA . DB . Hướng dẫn giải Tìm cách giải - Trong quá trình chứng minh về góc, nên sử dụng tính chất về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng hệ quả của chúng. - Để chứng minh DE2 DA . DB ., nên ghép chúng vào hai tam giác có cạnh là DA, DB và DE là cạnh chung của hai tam giác, rồi chứng minh chung đồng dạng. Do đó ta chọn BED và EAD. A Trình bày lời giải D E a) Ta có : EBC EAB ; DCB DAB nên C O EBC DCB EAB DAB . Mặt khác : EBC DCB BED, EAB DAB DAE . B Vậy BED D AE . b) Ta có : ADE ABC CAB EDB mà theo câu a): BED D AE , suy ra: DE DB BED∽ EAD (g-g) DE2 DA.DB DA DE Bài 5: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CA. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Khai thác điểm chính giữa của một cung , ta nhận được các tia phân giác của góc. Do vậy nếu khai thác tính chất đường phân giác của tam giác, ta được các tỉ số. Với suy luận đó, để chứng minh DE // BC ta cần vận dụng định lý Ta-lét đảo. FB: Toán Họa 0986 915 960
  39. Trang 39 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Trình bày lời giải: A AE AN P AP PC NE là đường phân giác của ANC (1) M EC NC D E AD AN O AM MB ND là đường phân giác của ANB DB NB B C (2) N BN NC NB = NC (3) AE AD Từ (1), (2) và (3) suy ra , do đó DE // BC. EC DB Bài 6: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến IC MC MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: . ID MD Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Khai thác góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung dễ dàng chỉ ra MAC∽ MDA và MBC∽ MDB . Từ đó biến đổi các hệ thức để giải bài toán. Trình bày lời giải Ta có MAC ADC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); AMD chung. Suy ra MA AC MAC∽ MDA (g-g) suy ra: MA2 MC . MD và MD AD MB BC Tương tự: MBC∽ MDB suy ra: MD BD B MC MC.MD MA2 MA MB AC BC Xét   (1) MD MD2 MD 2 MDMD ADBD IC AC O Mặt khác : IAC∽ IDB suy ra: M I IB BD C D IB BC IBC∽ IDA suy ra: ; A ID AD AC BC AC BC IC IB IC Do đó:    (2) AD BD BD AD IB ID ID IC MC Từ (1) và (2) suy ra: . ID MD FB: Toán Họa 0986 915 960
  40. Trang 40 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 7: Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Chỉ ra KB2 KM.KA và KC2 KM.KAtừ đó suy ra KA = KB (K là giao điểm của AM và BC) Trình bày lời giải Gọi K là giao điểm của AM và BC.  Xét ∆KBM và ∆KAB có: K chung; KBM KAB ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp chắn cùng chắn cung BM của (O) ) KB KM Do đó: KBM KAB KB2 KM.KA (1) KA KB MCK MBA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và A góc nội tiếp cùng chắn cung BM của (I)). M KAC MBA C (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và O AM góc nội tiếp cùng chắn cung cuả (O)). K  Do đó: MCK KAC . Xét ∆KCM và ∆KAC có: K I B chung , MCK KAC . Do đó KC KM KCM KAC KC2 KM.KA (2). KA KC Từ (1) và (2) ta có: KC2 KB 2 KC KB. Vậy AM đi qua trung điểm K của BC. Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, góc A < 900. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng mình rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB. Hướng dẫn giải B C Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành. O IA = IC IE. IA IE . IC I E IBE  ICD (g.g) IE. IC IB . ID A D IB IA Từ đó suy ra: IE.IA = IE.IC = IB.ID = IB2 . IE IB FB: Toán Họa 0986 915 960
  41. Trang 41 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT IB IA Ta có ∆IBE và ∆IAB có và BIA chung , suy ra IBE  IAB (c.g.c) nên IBE IAB. IE IB Suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB( định lí bổ sung) . GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN . Lý thuyết 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn A D Trong hình bên thì : E BEC có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O) gọi là góc có O đỉnh ở bên trong đường tròn. B Định lí : Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng C nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 1 sđ BEC = (sđ AD + sđ BC ) 2 2 . Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. C C D C E D O E O E O A A B B B H×nh b H×nh c H×nh a Trong hình (a,b,c) thì : BEC gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Định lí : Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN  Gặp bài toán tiên quan đến những góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn ta thường tính số đo của chúng theo số đo các cung bị chắn rồi biến đổi tổng hoặc hiệu của hai cung thành một cung  Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung FB: Toán Họa 0986 915 960
  42. Trang 42 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT  Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn . Bài tập. Bài 1: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn . Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng : MP NQ. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Để chứng minh MP NQ ta gọi I là giao điểm của MP và NQ và cần chứng minh MIQ 90 . Nhận thấy MIQ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, do vậy ta cần biểu diễn góc MIQ theo các cung của đường tròn và biến đổi các cung ấy. Trình bày lời giải b Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có. M N 1 A  C MIQ = (sđ MQ + sđ NP ) I 2 o 1 1 = . (sđ AB + sđ AD + sđ BC + sđCD ). Q 2 2 P 1 = . 360o 90 o . Vậy MP  NQ. d 4 Bài 2: Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng: a) DAE AFD ; b) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi. Hướng dẫn giải FB: Toán Họa 0986 915 960
  43. Trang 43 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT  sdDBM a) DAE (góc nội tiếp) . 2 C M  sdDB sd MB sdDBM E AFD ( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 1 2 2 B A 1 F Suy ra DAE AFD O     b) Ta có: D1 A 1 45 và E1 ADF ( cách chứn minh tương tự câu 1 DE AD D a) nên DAE∽ ADF g . g AF. DE AD2 . AD AF Mặt khác AEFD là tứ giác có hai đường chéo AF, DE vuông góc với nhau. 1 1 Do đó S AF  DE AD2 , không đổi. AEFD 2 2 . MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG I. Trắc nghiệm: Câu 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: A. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung luôn nhỏ hơn 900. B. Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. C. Góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn. D. Góc tù nội tiếp thì có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung. Câu 2: Cho hình vẽ, biết AB là đường kính của đường tròn (O), x xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? C A. Góc CAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. B. Góc BAy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. C. Góc ACB là góc tù. A B D. CAx BCO O y Câu 3: Ghép mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được khẳng định đúng A. Góc nội tiếp là góc 1) có số đo bằng 900 B. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 2) bằng nhau. FB: Toán Họa 0986 915 960
  44. Trang 44 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT C. Trong một đường tròn, góc tạo bởi 3) có đỉnh nằm trên đường tròn và hai tia tiếp tuyến và dây cung và góc cạnh chứa hai dây cung của đường nội tiếp cùng chắn một cung thì tròn. D. Trong một đường tròn, hai góc nội 4) chắn dây lớn hơn. tiếp không bằng nhau, góc lớn hơn thì 5) có cung bị chắn lớn hơn. II. Tự luận: A. Dạng cơ bản: Bài 1: Tam giác ABC nội tiếp (O;R). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A cắt (O) tại N. CMR: a) Tam giác MBC cân. b) 3 điểm M, O, N thẳng hàng. Bài 2: Cho (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại M. ( C thuộc cung nhỏ AB, B thuộc cung nhỏ CD). a) CMR: cung AC = cung DB. b) CMR: ∆MAC = ∆MDB. c) Tứ giác ACBD là hình gì? CM? Bài 3: Cho (O) và hai dây MA và MB vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI. a) CMR: A, O, B thẳng hàng. b) CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA. c) Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA. Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt (O) tại M. a) CMR : tam giác BMC cân. b) CMR : góc BMC = góc ABC + góc ACB. c) Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2. Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính CB, A thuộc nửa đường tròn sao cho AB < AC. Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC ở I. Kẻ AH vuông góc với BC. CMR: FB: Toán Họa 0986 915 960
  45. Trang 45 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT a) AB là tia phân giác của góc IAH. b) IA2 = IB. IC. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ (I) đường kính BH cắt AB ở M. Vẽ (K) đường kính CH cắt AC ở N. a) Tứ giác AMHN là hình gì ? CM ? b) CMR : MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K) ? c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR : Ax // MN. Bài 7 : Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy hai điểm M và N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN ; H là giao điểm của AN với BM. CMR : a) Tứ giác AMNB là hình thang cân. b) 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn. c) PH vuông góc với AB. d) ON là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PH. B. Bài tập nâng cao : Bài 1: Cho (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D. a) CMR : AC = AD. b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B. Bài 2: Cho (O) đường kính AB; C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại C, tiếp xúc với đường kính AB tại D. Đường tròn này cắt CA, CB lần lượt tại M và N. a) CMR: 3 điểm M, I, N thẳng hàng . b) CMR:ID vuông góc với MN . c) CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định. d) Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên. FB: Toán Họa 0986 915 960
  46. Trang 46 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 3 : Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, từ điểm M trên cung BC không chứa điểm A, hạ các đường vuông góc với BC; CA; AB lần lượt tại D; H; K. BC CA AB Chứng minh rằng: MD MH MK Bài 4: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên các đường tròn (O) và (O’) sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn (O) và (O’) đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung AM và AN có số đo bằng nhau. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. FB: Toán Họa 0986 915 960
  47. Trang 47 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 I. Trắc nghiệm: Câu 1: A. S B. Đ C. Đ D. S Câu 2: A. Đ B. Đ C. S D. S Câu 3: Nối: A – 3; B – 1; C – 2; D – 5 II. Tự luận: A. Dạng cơ bản: Bài 1: a) Chứng minh rằng tam giác MBC cân         Có AC1 1 ; AB2 1 . Mà AA1 2 => CB1 1 . Vậy tam giác MBC cân tại M. b) Chứng minh ba điểm M; O; N thẳng hàng: Có AM và AN là 2 tia phân giác của hai góc kể bù => AM  AN => MAN 900 => MN là đường kính của (O) => M; O; N thẳng hàng. Bài 2: a) Chứng minh rằng: AC DB - Có sđ AC + sđ CB = sđ AB C 1 - Có sđ BD + sđ CB = sđ DC B  AC DB . A 1 M 1 a) Chứng minh ∆MAC = ∆MDB.     - Có CB1 1 ; AC = BD; AD1 1 O 1 ∆MAC = ∆MDB D FB: Toán Họa 0986 915 960
  48. Trang 48 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 3: a) Chứng minh rằng 3 điểm A; O; B thẳng hàng. A b) CMR: P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MBA. - Có I là điểm chính giữa cung nhỏ AM; K là O điểm chính giữa cung nhỏ BM => AK; BI lần I lượt là tia phân giác của các góc MAB và P MBA của tam giác MBA => P là tâm đường B tròn nội tiếp tam giác MBA. M K c) Giả sử MA = 12cm, MB = 16cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA. Giả sử r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆MBA, a là độ dài cạnh huyền, p là nửa chu vi ∆MBA. Ta có: r = p – a Bài 4: a) Chứng minh rằng : tam giác BMC cân A - Có AM là tia phân giác của góc BAC => BM MC => BM = MC => tam giác BMC cân b) Chứng minh rằng: BMC ABC ACB - Có BMC BMA AMC Mà: BMA ACB; AMC ABC O B  BMC ABC ACB C c) Gọi D là giao điểm của AM và BC. CMR : AB. AC = AD. AM; MD. MA = MB2. M - ∆ABD ~ ∆AMC => AB. AC = AD. AM - ∆MBD ~ ∆MAB => MD. MA = MB2 Bài 5: FB: Toán Họa 0986 915 960
  49. Trang 49 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT a) CMR: AB là tia phân giác của IAH A - IAB ACB ( góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) I C B H O  BAH ACB (cùng phụ với ABH )  IAB BAH b) CMR: IA2 = IB. IC: Có ∆IAB ~ ∆ICA => IA2 = IB. IC Bài 6: a) Tứ giác AMHN là hình gì ? CM ? - Tứ giác AMHN là hình chữ nhật. A M b) CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). N - Có AMHN là hình chữ nhật B C I H K => NMH AHM => NMH MBH => MN là tiếp tuyến của (I) - Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến của (K). c) Có Ax là tiếp tuyến của (O) => xAB ACB => ACB NHA NMA => xAB NMA => Ax // MN Bài 7 : FB: Toán Họa 0986 915 960
  50. Trang 50 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT a) Tứ giác AMNB là hình thang cân. P - Tứ giác AMNB có MN // AB => AMNB là hình thang. M N Lại có: AN = BM => AMNB là hình thang H cân. A O B b) 4 điểm P, M, H, N cùng thuộc một đường tròn. - Có AMB 900 PMH 90 0 => P; M; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH. - Có ANB 900 PNH 90 0 => P; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH.  P; M; N; H cùng thuộc đường tròn đường kính PH. c) PH vuông góc với AB - Có H là trực tâm tam giác PAB => PH vuông góc với AB. d) ON là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PH. 1 - Có ONA NPH sđ NH của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N mà cung NH 2 nằm trong góc ONH => góc ONH là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung NH => ON là tia tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm P; M; H; N. B. Bài tập nâng cao Bài 1: a) CMR : AC = AD. A - (O) có góc ACB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AmB. O C O' - (O’) có góc ADB là góc nội tiếp chắn M B n cung nhỏ A B D - (O) và (O’) bằng nhau FB: Toán Họa 0986 915 960
  51. Trang 51 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT  ACB ADB => ∆ACD cân tại A  AC = AD. b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B. - Tam giác ACD cân tại A có M là trung điểm của CD => AM vuông góc với CD  AMB 900 => M thuốc đường tròn đường kính AB. Bài 2: a) CMR: 3 điểm M, I, N thẳng hàng C - Có ACB 900 => MCN 900 => MN là M N đường kính của (I) => M; I; N thẳng hàng. I b) CMR:ID vuông góc với MN. A O D B - Có AB là tiếp tuyến của (I) tại D => ID vuông góc với AB. - Có MN // AB => ID vuông góc với MN. c) CMR: đường thẳng CD đi qua một điểm cố định. - Chứng minh CD là tia phân giác của góc ACB => CD đi qua điểm chính giữa của cung AB. d) Suy ra cách dựng đường tròn (I) nói trên FB: Toán Họa 0986 915 960
  52. Trang 52 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT - Bài 3 : A - Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (O) tại N N => AB = NC => BMN AMC - Gọi E là giao điểm của BC và MN; CBM CAM ; O B H 1 1 E BEM sđ BM CN sđ BM AB ACM 2 2 K D C M AC BE  ∆BME ~ ∆AMC, có MH và MD là 2 đường cao tương ứng=> MH MD (1) - MCB MAB ; CMN AMB NC AB CE AB  ∆CME ~ ∆AMB; có MD; MK là 2 đường cao tương ứng => (2) MD MK AC AB BE CE BC - Từ (1) và (2) => MH MK MD MD MD Bài 4: Kẻ các đường kính BOC, BO’D thì C; A; D thẳng hàng, CAD là cát tuyến chung cố định. I N C A D C I A D N O O' O MO' B M B Ha Hb Trường hợp M thuộc cung BC không chứa A ( Ha): ABN ACM , ACM bù ABM nên ABN bù ABM , do đó M; B; N thẳng hàng. FB: Toán Họa 0986 915 960
  53. Trang 53 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Trường hợp M thuộc cung BC có chứa A (Hb): ABN ABM nên M; B; N thẳng hàng. Trong cả hai trường hợp, ta có CM và DN cùng vuông góc với MN. Do đó đường trung trực của MN luôn đi qua trung điểm I của CD, đó là điểm cố định. DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN I. Trắc nghiệm: Cho hình vẽ, hãy điền dấu (x) vào ô thích hợp trong bảng sau: TT Khẳng định Đúng Sai B 1 A BMD C 2 sđ BC sđ A D O BMC M 2 D A N 3 1 ABN N sđ BD 2 4 1 N( sđ BD sđ AC) 2 II. Tự luận: Bài 1. Cho đường tròn (O) trong đó có ba dây bằng nhau AB, AC, BD sao cho hai dây AC, BD cắt nhau tại M tạo thành góc vuông AMB. Tính số đo các cung nhỏ AB, CD. Bài 2. Cho đường tròn (O) và dây AB. Vẽ tiếp tuyến xy // AB có M là tiếp điểm. Chứng minh rằng MAB là tam giác cân. Bài 3. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Vẽ dây CD // AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M. Chứng minh: a) MB2 = MC.ME; b) M là trung điểm của AB FB: Toán Họa 0986 915 960
  54. Trang 54 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’). Vẽ dây AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng: BC AC2 a) AB2 = BC.BD b) BD AD2 Bài 5. Cho đường tròn (O) và hai đường kính vuông góc AB và CD. Trên cung BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt AB ở E ; CM cắt AB tại F. Chứng tỏ EF = EM. Bài 6. Cho tam giác ABC, phân giác trong AD. Đường tròn (O) đi qua A, tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn (O) cắt AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh MN // BC. Bài 7. Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn (B là tiếp điểm, C nằm giũa A và D). Tia phân giác của góc CBD cắt đường tròn tại m, cắt CD tại E và cắt tia phân giác của góc BAC tại H. Chứng minh rằng: a) AH BE ; b) MD2 = MB . ME Bài 8. Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và C là điểm nằm giữa A và B. Tia MC cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D. a) Chứng minh rằng MA2 = MC . MD. b) Vẽ đường tròn (O’) ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O’). c) Vẽ đường kính MN của đường tròn (O). Chứng minh ba điểm A, O’, N thẳng hàng. Bài 9. Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Các đường thẳng CM và DM cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của EF. FB: Toán Họa 0986 915 960
  55. Trang 55 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2 I. Trắc nghiệm: 1. sai 2. đúng 3. đúng 4. đúng II. Tự luận: Bài 1. Đường tròn (O) có dây: AB = AC = BD A Suy ra sđ AB = sđ AC = sđ BD Do đó: sđ AD = sđ AC - sđ CD D O = sđ BD - sđ DC = sđ BC M Theo định lý góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có: B AD BC BMC 2.900 180 0 C sđ + sđ = 2. sđ nên sđ AD = sđ BC = 900 Lại có: sđ AB + sđ CD = 2. sđ ABC 1800 Hơn nữa sđ AB = sđ BD = sđ BC + sđ DC = 900 + sđ DC Suy ra: sđ DC = 450; sđ AB = 900 + 450 = 1350 Bài 2. Ta có OM xy (tính chất của tiếp tuyến) A B Mà xy // AB nên O Suy ra MA MB (định lý đường kính vuông góc với dây cung) x y Do đó MA = MB (hai cung bằng nhau căng hai dây M bằng nhau) FB: Toán Họa 0986 915 960
  56. Trang 56 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 3. a) MBE và MCB có B    M1 chung; BC1 2 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp M O cùng chắn cung BE) A Nên MBE  MCB (g.g) E MB ME Suy ra C MC MB Do đó MB2 = MC.ME (1)   b) Ta có CD // AB nên AD1 1 (cặp góc so le trong)   Mặt khác CD1 1 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CE).    AC1 1    Xét MAE và MCA có: M2 chung; AC1 1 (chứng minh trên) MA ME Vậy MAE  MCA (g.g). Suy ra MC MA Do đó MA2 = MC.ME (2) Từ (1) và (2) suy ra MA2 = MB2 do đó MA = MB FB: Toán Họa 0986 915 960
  57. Trang 57 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 4.a) ABC và DBA có A     AD1 1 ; CA 2 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và O' O góc nội tiếp cung chắn cung AB) Do đó ABC  DBA (g.g) B D AB CB C Suy ra .Vậy AB2 = BC.BD BD AB AB CB AC b) ABC  DBA (chứng minh trên) => BD AB DA AB CB AC AC BC AC2 Do đó . Vậy BD AB DA DA BD AD2 Bài 5. Đường tròn (O) có: C 1 EMF sđ CBM (góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua 2 O B E tiếp điểm) A 1 EMF (sđ MB sđ BC) 2 M D 1 EFM (sđ MB sđA C ) (góc có đỉnh ở trong đường 2 tròn (O) Mà: sđB C sđAC 9 0o (vì CD AB ). Do đó: EMF EFM EFM cân tại E. Vậy: EF = EM. FB: Toán Họa 0986 915 960
  58. Trang 58 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 6. Chứng minh BMD  BDA , suy ra A BD2 = BM . BA Tương tự, cũng có CD2 = CN . CA, suy ra BD2 BM.BA CD2 CN.CA O M N BD AB AB2 BM.BA Mà , suy ra 2 nên CD CA CA CN.CA B C BM BA MN // BC D CN CA Bài 7. a) Vì CBM DBM nên MC MD B (hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung bị chắn bằng nhau) O H D Góc AEB là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn C A nên M sđ BC sđ M D AEB 2 sđ BC sđ MC sđ BCM (1) 2 2 sđ BCM Góc ABM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên sđ ABM (2) 2 Từ (1) và (2) suy ra AEB ABM , do đó ABE cân tại A. Có AH là tia phân giác của góc A nên AH BE b) MDE và MBD có MDE MBD (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); M chung. FB: Toán Họa 0986 915 960
  59. Trang 59 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT nên MDE  MBD (g. g). MD ME Suy ra , do đó MD2 = MB. ME MB MD Bài 8. M  a) MAC và MDA có: M1 chung; A B MAC MDA (hai góc nội tiếp chắn hai C cung bằng nhau). Vậy MAC  MDA (g. g). O D MA MC Suy ra . MD MA Do đó MA2 = MC . MD. N sđAC sđ AC b) Ta có: MAC D (chứng minh trên), mà D , nên MAC 2 2  AM là một tia tiếp tuyến của đường tròn (O’) (Định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) c) Ta có MAN 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MN). Suy ra NA AM . Mặt khác O'A AM (tính chất của tiếp tuyến). Qua điểm A chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với AM, do đó ba điểm A, O’, N thẳng hàng FB: Toán Họa 0986 915 960
  60. Trang 60 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 9 . Ta sẽ chứng minh NE = NF bằng cách D dùng NM làm trung gian. A B N F Ta có CD AB nên DA DB và CA CB O (định lí đường kính vuông góc với dây cung). M Góc F1 là góc có đỉnh ở bên trong một đường tròn nên: C     sđ BM sđ AD sđ BM sđ BD sđ MBD F1 (1) 2 2 2 sđ MBD M là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M (2) 3 3 2   Từ (1) và (2) suy ra FM1 3 do đó NMF cân tại N, suy ra NF = NM. Góc E là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên: sđ AC sđ BM sđ BC sđ BM sđ MC E (3) 2 2 2   sđ MC Góc M2 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên M . (4) 2 2       Từ (3) và (4) suy ra EM 2 , dẫn tới EM 1 (vì MM1 2 ) Do đó NME cân, suy ra NE = NM tại N. Do vậy NE = NF. Vậy N là trung điểm của EF FB: Toán Họa 0986 915 960
  61. Trang 61 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT ề đ TỨ GIÁC NỘI TIẾP ủ Ch 3 CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN . TỨ GIÁC NỘI TIẾP . Lý thuyết 1. Định nghĩa . A Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). B Hình bên :Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. O 2. Định lí. Trong một tứ giác nội tiếp,tổng số đo hai góc đối diện D 0 bằng 180 . C 3. Định lí đảo. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. 4. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp. Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Phương pháp 2: Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại Phương pháp 3: dưới một góc Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối Phương pháp 4: diện. (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện Định lý Ptoleme hay đẳng Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp thức Ptoleme cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn. FB: Toán Họa 0986 915 960
  62. Trang 62 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp. Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp 2: Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm Gọi O là trung điểm của BC. Xét BB’C có : BB'C 900 (GT) OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền A (1) OB’ = OB = OC = r C' B' Xét BC’C có : BC'C 900 (GT) Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2) B Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác O C BC’B’C nội tiếp đường tròn. Cách 2: Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lạ dưới một góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp. A Ta có: BB’  AC (giả thiết) BB'C 900 . C' B' CC’  AB (giả thiết) BC'C 900 . B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông B O C B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC Hay tứ giác BC'' B C nội tiếp đường tròn đường kính BC. Cách 3: Phương pháp 1 và phương pháp 4: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 và Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Ta có: BB’  AC (giả thiết) BB'A 900 . CC’  AB (giả thiết) CC'A 900 . FB: Toán Họa 0986 915 960
  63. Trang 63 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Xét AB B và AC C có AB B AC C 900 và BAC chung. AB' AB AB'' AC Vậy AB B AC C (g-g) A AC' AC AB AC AB'' AC C' Xét AB C và ABC ta có và BAC chung. B' AB AC Vậy AB C  ABC (c-g-c) AB 'C' ABC . Tứ giác BC'' B C có góc ngoài tại đỉnh B B ' bằng góc trong tại đỉnh B . Vậy tứ giác BC'' B C nội O C tiếp. (Phương pháp 2) Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác BC'' B C có C ' BC C ' B ' C 1800 nên tứ giác BC'' B C là tứ giác nội tiếp . Bài tập Bài 1: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được; b) Chứng minh MI2 = MH.MK; c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp rồi suy ra PQ MI; Hướng dẫn giải a) * BIM BKM 900 suy ra tứ giác BIMK nội tiếp. (phương pháp 1) * CIM CHM 900 suy ra tứ giác CIMH nội tiếp. (phương pháp 1) b) Tứ giác BIMK nội tiếp nên IKM IBM ; (nội tiếp cùng chắn cung MI); KIM KBM . (nội tiếp cùng chắn cung KM) (1) Tứ giác CIMK nội tiếp nên ICM IHM ; (cùng chắn cung MI); MIH MCH. (cùng chắn cung MH) (2) Xét đường tròn tâm (O) có : KBM BCM ; (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung(; MBI MCH. (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) (3) FB: Toán Họa 0986 915 960
  64. Trang 64 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Từ 1 , 2 , 3 suy ra KIM IHM ; MKI MIH. Do đó IMK MHI(.) g g MK MI MI2 MK. MH . MI MH c) * Ta có PMQ PIQ BMC PIM QIM BMC MCI MBC 1800 Hay PMQ PIQ 1800 Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp. (phương pháp 1) * Từ đó ta có MPQ MIQ MPQ MBC PQ// BC mà MI BC nên MI PQ Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2 R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB . Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn O tại D ( D khác B ). a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp (xem cách giải Bài 3) Hướng dẫn giải x N C M D I E A H O B FB: Toán Họa 0986 915 960
  65. Trang 65 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: MAO MCO 900 . Tứ giác AMCO có MAO MCO 1800 AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO. ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADM 900 (1) Lại có: OA OC R ; MA MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC AEM 900 (2). Từ (1) và (2) suy ra ADM AEM 900 . Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề nhau cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi. Vậy là tứ giác AMDE nội tiếp đường tròn đường kính MA. Bài 3: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E , F ( F ở giữa B và E ) 1. Chứng minh: ABD DFB . 2. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Hướng dẫn giải 1) ADB có ADB 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ABD BAD 90o (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180o )(1) X E ABF có ABF 90o ( BF là tiếp tuyến ). AFB BAF 90o (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180o ) (2) C Từ (1) và (2) ABD DFB D F 2) Tứ giác ACDB nội tiếp O ABD ACD 180o . mà ECD ACD 180o ( Vì là hai góc kề bù) ECD DBA A O B Theo trên ABD DFB , ECD DBA ECD DFB . Mà EFD DFB 180o ( Vì là hai góc kề bù) nên ECD AEFD 180o , do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp. FB: Toán Họa 0986 915 960
  66. Trang 66 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC 2 R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH BC . Nửa đường tròn đường kính BH , CH lần lượt có tâm O1 ; O2 cắt AB và CA thứ tự tại D và E . a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R 25 và BH 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. Hướng dẫn giải A Ta có BAC 90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn) E Tương tự có BDH CEH 90o D Xét tứ giác ADHE có A ADH AEH 90o hay ADHE là hình chữ nhật. B C O1 H O O2 Từ đó DE AH mà AH2 = BH. CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) hay AH2 10.40 20 2 BH 10; CH 2.25 10 40 DE 20 b) Ta có: BAH = C (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà DAH ADE (1) (Vì ADHE là hình chữ nhật) => C ADE do C BDE 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh một cách sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng dạng như sau: Tam giác AHB vuông tại H, đường cao AH. Ta có AH2 AD. AB Tam giác AHC vuông tại H, đường cao AE. Ta có AH2 AE. AC AD AE Ta có AD.AB AE.AC AC AB AD AE Xét tam giác ADE và tam giác ACB có , BAC DAE 900 (góc chung) AC AB FB: Toán Họa 0986 915 960
  67. Trang 67 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT ADE ACB ADE ACB mà ADE EDB 1800 nên ADE ECB 1800 Tứ giác BDEC có ADE ECB 1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. Bài 5: Từ bài toán quen thuộc cho (O,R). Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax và By với (O), lấy D N thuộc (O), kẻ tiếp tuyến với (O) tại N cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi I và K lần lượt là giao điểm N của AN và CO, MN và OD. Chứng minh NIOK là C hình chữ nhật. I K Ta có bài toán sau: A B O Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn O . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D . a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD từ đó suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp. Hướng dẫn giải x y D C N I K A M O B FB: Toán Họa 0986 915 960
  68. Trang 68 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT a) Ta có tứ giác ACNM có: MNC 900 (gt) MAC 900 (tínhchất tiếp tuyến). MNC MAC 1800 ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính. MD b) ANB và CMD có: ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ANB CMD (g.g) c) ANB CMD CMD ANB 90o (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O ) Suy ra IMK INK 900 INK IMK 1800 . Vậy IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn. Hướng dẫn giải sd AD MB Ta có : MEP (góc có đỉnh nằm bên trong (O)) 2 sd DM M Mà DCP (góc nội tiếp) 2 A E P B sd AD MA Hay DCP 2 O   D Lại có : AM MB Nên : MEP = DCP C Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C. Vậy tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn. FB: Toán Họa 0986 915 960
  69. Trang 69 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 7: Định lý Ptoleme. Tứ giác ABCD nội tiếp (O). Chứng minh: AC. BD = AB. DC + AD. BC Hướng dẫn giải Lấy E BD sao cho BAC = EAD B DAE  CAB (g. g) AD DE A AC BC C E O AD. BC = AC. DE (1) Tương tự: BAE  CAD (g. g) BE AB = D CD AC BE. AC = CD. AB (2) Từ (1) và (2) AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC AD. BC + AB. CD = AC. DB (đpcm) FB: Toán Họa 0986 915 960
  70. Trang 70 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN . Lý thuyết Phương pháp: - Chỉ ra khoảng cách từ một điểm tới tất cả các điểm đều bằng nhau.  Lợi dụng các tam giác vuông có cạnh huyền chung  Chứng minh các đỉnh của một đa giác cùng nằm trên một đường tròn.  Sử dụng cung chứa góc.  Chứng minh các tứ giác nội tiếp. . Bài tập. Bài 1: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 , AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a. Hướng dẫn giải Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có B OB = OD Do ABCD là hình thoi nên ta có AC BD . E F A 0 0 C Ta có BAD 60 nên BAO 30 (tính chất O đường chéo hình thoi) H G Tam giác ABO vuông tại O có a D OB ABsinBAO OB a.sin 300 2 Xét tam giác vuông ABO có ABO BAO 900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO 300 suy ra ABO 600 hay EBO 600 1 OE AB EB EA ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung 2 điểm của AB. Tam giác EOB là tam giác cân tại E có EBO 600 nên tam giác EBO là tam giác đều OE OB FB: Toán Họa 0986 915 960
  71. Trang 71 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có : OE OB OF OC OG OD OH a Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính OB 2 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó. Hướng dẫn giải Do DE BC DBE 900 Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF BF BE; DF DE F A BFD BED (c-c-c) BFD BED 900 D Cách 1. Gọi O là trung điểm của BD. O Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên B E C 1 AO BD OB OD (1) 2 1 Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên EO BD OB OD (2) 2 1 Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên FO BD OB OD (3) 2 Từ (1),(2),(3) OA OB OD OE OF . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC. Cách 2:  Tứ giác BADE có BAD DEB 1800 nên tứ giác BADE là tứ giác nội tiếp. Tâm của đường tròn này là trung điểm của BD  Tứ giác BFDE có BFD DEB 1800 nên tứ giác BFDE là tứ giác nội tiếp. FB: Toán Họa 0986 915 960
  72. Trang 72 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Tâm của đường tròn này là trung điểm của BD Từ  và  suy ra 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC. Bài 3: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn giải Do AC và AB là các tiếp tuyến nên C OCA OBA 900 A Do I là trung điểm của ED nên OI ED P (đường kính đi qua trung điểm của dây O D thì vuông góc với dây cung) I hay OID OIA 900 E B Gọi P là trung điểm của OA 1 Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên CP AO OP PA 2 1 Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên BP AO OP PA 2 1 Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên IP AO OP PA 2 Vậy OP PA PC PI PB nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn. FB: Toán Họa 0986 915 960
  73. Trang 73 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau Bài 1: Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D, gọi M là một điểm chính giữa cung BD. Đường thẳng MC cắt đường tròn tại E, đường thẳng DE cắt AM tại K. Đường thẳng đi qua C và song song với AD cắt DE tại F. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKCE nội tiếp một đường tròn b) CK  AD c) CF = CB Bài 2: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC ( AB AC ); D là điểm thuộc bán kính OC. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E, cắt tia BA tại F. a) Chứng minh tứ giác ADCF là tứ giác nội tiếp b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng : AME 2 ACB c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn (O) biết BC = 8cm; ABC 600 Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, AD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EAF 450 . Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. Chứng minh rằng a) ADFG; GHFE là các tứ giác nội tiếp b) Tam giác CGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Chứng minh rằng BAC 2 BDC b) Gọi M là điểm trên cung AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MC. Chứng minh rằng bốn điểm B; D; E; C thuộc một đường tròn Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B và D. Gọi A là điểm chính giữa cung lớn BD. Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx và Dy của đường tròn lần lượt tại N và M. Chứng minh. a) Tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn FB: Toán Họa 0986 915 960
  74. Trang 74 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT b) MN// BD c) MA. MB MD2 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, với AC > AB. Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính MC. Tia BM cắt đường tròn (O) tại D. Đường thẳng qua A và D cắt đường tròn (O) tại S. a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ABD ACD c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc SCB d) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. e) Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE f) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE k) Biết bán kính đường tròn (O) là R và ACB 300 . Tính độ dài cung MS. Bài 7: Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, còn CD kà đường kính thay đổi. Gọi (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại B; AC, AD lần lượt cắt (d) tại P, Q. a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn b) Chứng minh đường trung tuyến AI của tam tam giác AQP vuông góc với DC c) Khi CD thay đổi thì tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD chuyển động trên đường nào ? Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại F; E. Gọi H là giao điểm của BE, CF; D là giao điểm của AH với BC. 1. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AEHF; AEDB nội tiếp đường tròn b) AF.AB = AE.AC 2. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu AD BE CF 9 r thì tam giác ABC đều. FB: Toán Họa 0986 915 960
  75. Trang 75 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AC > BC) nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC. a) Chứng minh rằng: MAOH là tứ giác nội tiếp b) Tia HM là phân giác của góc AHB c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại E và F. Nối HE cắt AC tại F, nối HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ//EF. Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng các tứ giác BFEC, BFHD nội tiếp b) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF c) AD cắt cung BC tại M. Chứng minh rằng tam giác BHM cân. Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M vẽ tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q. AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F. a) Chứng minh rằng tứ giác APMC nội tiếp. b) Chứng minh rằng PCQ 1 v c) Chứng minh rằng EF // AB Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên đoạn AB lấy điểm E sao cho AE = AC; DE cắt BC tại H; AH cắt nửa đường tròn tại K. Chứng minh: a) DAH BAH b) OK  BC c) Tứ giác ACHE nội tiếp d) B, K, D thẳng hàng FB: Toán Họa 0986 915 960
  76. Trang 76 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C, D là hai điểm di động trên đường tròn. Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B và E). a) Chứng minh rằng ABF ~ BDF b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được c) Khi C, D di động trên nửa đường tròn. Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị không đổi. d) Cho BOD 300 , DOC 60 0 . Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh: AE. AB AF . AC d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh: a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được c) AC //FG. d) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy. Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B.Các tiếp tuyến tại A của hai đường tròn (O’); (O) cắt đường tròn (O); (O’) lần lượt tại C và D. Trung trực của AC và trung trực của AD cắt nhau tại S. a) Tứ giác AOSO' là tứ giác gì ? Vì sao? Chứng SB  AB. b) Lấy E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp FB: Toán Họa 0986 915 960
  77. Trang 77 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn Bài 1: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh AB2 AM . AN . b) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, C, O cùng nằm trên một đường tròn IB KB c) Gọi K là giao điểm của BC và AI. Chứng minh rằng: = IC KC Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua hai điểm B và C. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn). Gọi E là hình chiếu của O trên xy; AO cắt MN tại F. a) Chứng minh AM2 = AB . AC b) Chứng minh 5 điểm A, N, O, E, M cùng nằm trên một đường tròn c) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng IN // AB d) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Bài 3: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B sao cho ABO 900 . Đường thẳng BO cắt AN tại D, cắt đường thẳng AM tại C. Đường thẳng BM cắt AN tại K. Gọi I là trung điểm của AC. BI cắt AN tại E. Chứng minh: a) Năm điểm A, B, N, O, M cùng nằm trên một đường tròn. b) BD là phân giác của tam giác BKN. c) DN.AK = AN.DK d) Tam giác BEN cân Bài 4: Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên cạnh BC. Vẽ hình vuông AMPQ sao cho P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B. Chứng minh rằng: a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng b) Năm điểm A, M, C, P, Q cùng thuộc một đường tròn c) điểm P chạy trên một đoạn thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh BC Bài 5: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B và C là tiếp điểm) và cát tuyến AMN (M nằm giữa A và N) với đường FB: Toán Họa 0986 915 960
  78. Trang 78 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT tròn . Gọi E là hình chiếu của O trên MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. a) Chứng minh rằng năm điểm A, O, E, C, B cùng nằm trên một đường tròn b) Chứng minh AEC BIC c) Chứng minh BI//MN d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. FB: Toán Họa 0986 915 960
  79. Trang 79 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT ề đ CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ủ Ch 4 ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC MỤC LỤC D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 79 . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 81 A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 81 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau 81 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt 84 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. 85 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. 86 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian 87 B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 88 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng 88 3. Đường trung bình. 88 4. Định lý Talet: 89 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. 90 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác 91 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. 92 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. 93 . PHẦN BÀI TẬP. 94 FB: Toán Họa 0986 915 960
  80. Trang 80 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, sẽ có những yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc các đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung là đẳng thức hình học. Chủ đề dưới đây sẽ hệ thống một số biện pháp chứng minh đẳng thức hình học. Hãy nắm vững kiến thức đã học trong những năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập! FB: Toán Họa 0986 915 960
  81. Trang 81 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau Lấy một tờ bìa mỏng, gấp đôi lại. Trên nửa tờ bìa vẽ một tam giác. Vẫn gấp đôi tờ bìa, cắt lấy tam giác, ta được hai miếng tam giác có thể đặt trùng khít lên nhau. Đó là hình ảnh của hai tam giác bằng nhau. A A B C A' B C B' C' a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. AB ABAC ;, ACBC BC ABC AB C       AABBCC ;; b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A 'B ' AC A'C' ABC A'B'C'(c.c.c) BC B'C' FB: Toán Họa 0986 915 960
  82. Trang 82 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT *) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A 'B '   B B ' ABC A 'B 'C'(c.g.c) BC B 'C'  *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) - Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: BB'   BC B'C' ABC A'B'C'(g.c.g)   CC'  c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông  Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. FB: Toán Họa 0986 915 960
  83. Trang 83 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT  Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó bằng nhau.  Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.  Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. FB: Toán Họa 0986 915 960
  84. Trang 84 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt (chỉ khai thác yếu tố bằng nhau, tránh nhầm sang dấu hiệu nhận biết) 1. Hai cạnh bên của tam giác cân, tam giác đều. (Hình học lớp 7) Tam giác cân: Hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau. Tam giác đều: Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau. 2. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. (Hình học lớp 8) Hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau. Hình bình hành: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình chữ nhật: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình vuông: Bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình thoi: Bốn cạnh bằng nhau, giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. A A ABCD là hình thang cân AD = BC ABC đều AC = BD AB = AC= BC A B ABC cân AB = AC B B C C D C ABCD là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật ABCD là hình vuông AD = BC AB = CD; AC = BC AB = BC = CD = DA AB = CD AC = BD AC = BD OA = OC OA = OB = OC = OD OD = OB A B OA = OC = OD = OB A B A B O O O D C D C D C FB: Toán Họa 0986 915 960
  85. Trang 85 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT A ABCD là hình thoi ABC vuông tại A A AB = BC = CD = DA AM là đường trung tuyến ABC , phân giác BD OA = OC 1 M thuộc MD OD = OB AM = BC = BM = MC MN  BA, MP  BC N 2 A B MN = MP D M O C B B M C P D C G là trọng tâm ABC AG cắt BC tại D A AD là trung tuyến DB = DC G B C D B F A B A A OE = OG O AB = CD O P O D G C D C B AB CD AB CD PA, PB là tiếp tuyến của (O) PA = PB Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. 1. Sử dụng tính chất đường trung tuyến (đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác), đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác đặc biệt. + Trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. FB: Toán Họa 0986 915 960
  86. Trang 86 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT - “Đường thẳng xuất phát từ một đỉnh và đi qua trọng tâm của một tam giác là đường trung tuyến của tam giác đó” đi qua trung điểm cạnh đối diện. - Về các đường đồng quy trong tam giác đặc biệt: ví dụ: 2 đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau, các đường trung tuyến trong tam giác đều bằng nhau, (phần này khi sử dụng phải chứng minh) + Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. 2. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. - Điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều 2 cạnh của góc đó 3. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng. (Hình học 7): - Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB 4. Sử dụng tính chất trung điểm. (Hình học 7) - Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng nhau. 5. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (Hình học 7) - Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. 1. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn. (Hình học 9) - Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 2. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. (Hình học 9) - Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm FB: Toán Họa 0986 915 960
  87. Trang 87 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 3. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn. (Hình học 9) - Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian 1. Dùng tính chất bắc cầu: Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba. 2. Có cùng độ dài (cùng số đo) hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 3. Đường thẳng song song cách đều: - Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thằng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. 3. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau. 4. Sử dụng kiến thức về diện tích. (Hình học 8) 5. Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn để đưa về bình phương của chúng bằng nhau). FB: Toán Họa 0986 915 960