Bài hình nâng cao thi học kỳ I môn Toán 8 - Nguyễn Thị Hoa

Nội dung text: Bài hình nâng cao thi học kỳ I môn Toán 8 - Nguyễn Thị Hoa

1. Bài hình nâng cao thi HKI-toán 8 của Nguyễn Thị Hoa Lời bàn: Hôm bữa tôi thấy em Nguyễn Thị Hoa có gửi lên trang violet nhờ các thầy cô giải giúp câu cuối. Thấy bài toán hay cho nên tôi đã nâng cấp bài toán ở mức độ khó hơn, chỉ sử dụng kiến thức hình học của HKI-toán 8 để giải. Tôi viết ra để các bạn và thầy cô tham khảo. Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và cân tại A. Kẻ AH _|_ BC tại H. Gọi D là trung điểm của AC 1/ Chứng minh: Tứ giác ABHD là hình thang. Tính chu vi tứ giác ABDH trong trường hợp AH = 8cm, diện tích tam giác ABC là 48 cm2 2/ Gọi E là điểm đối xứng B qua D. Đường thẳng đi qua A song song với BE cắt BC tại I, HD cắt AE tại M. Chứng minh: Tứ giác AEBI là hình bình hành và tứ giác AHCM là hình chữ nhật 3/ Vẽ CK _|_ AB tại K. Chứng minh: Tứ giác AMHK là hình thang cân và giá trị của biểu thức A = có giá trị không đổi 4/ Đường thẳng đi qua B vuông góc với HK cắt HD tại G, CK cắt AH tại O, BO cắt AC tại N, NG cắt HK tại P. Gọi S là trung điểm của PC . Chứng minh: IK_|_ AS HẾT
2. Đáp án của bài hình học 1/ Chứng minh: Tứ giác ABHD là hình thang. Tính chu vi tứ giác ABDH trong trường hợp AH = 8cm, diện tích tam giác ABC là 48 cm2 Xét tam giác ABC cân tại A ta có AH là đường cao (AH_|_BC) => AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC => HB=HC Xét tam giác ABC ta có: HB= HC(cmt) , DA=DC (gt) => HD là đường trung bình của tam giác ABC=> AB // HD và AB =2 HD Xét tứ giác ABHD ta có: AB//HD (cmt) => Tứ giác ABHD là hình thang ( 2 cạnh đối song song với nhau) (đpcm) Ta có: => 48 = => 8BC = 96 => BC = 12cm Ta có: HB =HC => HB = HC = = 6cm Ta có: ( Định lý pi-ta-go trong tam giác ABH) => => AB= 10cm Ta có: AD = ( DA=DC và tam giác ABC cân tại A), AB =2HD( cmt) => AB + BH + +
3. = 2AB + BH = 2.10 + 6 = 26cm (đpcm) 2/ Chứng minh: Tứ giác AEBI là hình bình hành và tứ giác AHCM là hình chữ nhật Xét tứ giác ABCE ta có: DA=DC (gt), DB=DE (B đối xứng E qua B) => Tứ giác ABCE là hình bình hành( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mổi đường) => AE //BC và AE = BC Xét tứ giác AEBI ta có: AI//BE (gt), AE//BC(cmt) => Tứ giác AEBI là hình bình hành ( 2 cặp cạnh đối song song với nhau ) (đpcm) Xét tứ giác ABHM ta có: AE//BC (gt), AB//HD(cmt) => Tứ giác ABHM là hình bình hành ( 2 cặp cạnh đối song song với nhau ) => AM = HB. Mà HB = HC(cmt). Từ đó suy ra AM =HC Xét tứ giác AHCM ta có: AM = HC và AM//BC( do AE//BC) => Tứ giác AHCM là hình bình hành ( Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau). Lại có: AH_|_ BC (gt) => Tứ giác AHCM là hình chữ nhật ( hình bình hành có 1 góc vuông) (đpcm) 3/ Chứng minh: Tứ giác AMHK là hình thang cân và giá trị của biểu thức A = có giá trị không đổi Ta có: HD// AC(cmt) => góc = góc ( 2 góc ở vị trí sole trong) (1a) Xét tam giác BKC vuông tại K(BK_|_AC) có HK là đường trung tuyến => HK = HB =HC ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) => Tam giác BHK cân tại H => góc = góc (1b) Mà ta lại có: góc = góc (do tứ giác ABHM là hình bình hành ) (1c) Tứ (1a), (1b), (1c) => góc = góc Xét tứ giác AMHK ta có: AK// HM (do AB//HD) => Tứ giác AMHK là hình thang ( 2 cạnh đối song song với nhau). Lại có: góc = góc (cmt) => Tứ giác AMHK là hình thang cân(hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau) (đpcm) Kẻ IJ_|_ AE tại J. Ta có: AE//BC (cmt), AH_|_BC (gt) => AH_|_AJ Xét tứ giác AHIJ ta có: Góc (AH_|_BC), Góc (AH_|_AJ), Góc (AJ_|_IJ)
4. => Tứ giác AHIJ là hình chữ nhật(Tứ giác có 3 góc vuông) => AH = IJ và AJ= HI. Mà AH =MC(Tứ giác AHCM là hình chữ nhật) Từ đó suy ra AH =MC = IJ (1d) Xét tam giác AIC ta có: AI//BE(gt), DA=DC => BI =BC. Mà BC=2BH( HB =HC) => BI =2 BH => AJ = HI = BI + BH = 2BH + BH = 3BH Ta có: AE = BC (Tứ giác ABCE là hình bình hành ) =>AE = BC = 2BH. Từ đó suy ra: EJ = AJ + AE = 3BH + 2BH= 5BH IC = 2BC( BI =BC) = 4BH. Từ các chứng minh trên suy ra BC =2BH, IC=4BH, EJ=5BH (1e) Ta có: MC_|_ BC.(Tứ giác AHMC là hình chữ nhật), AH_|_BC(gt), IJ_|_EJ(giả thuyết thêm.). Áp dụng định lý pi-ta-go vào các tam giác vuông EIJ, BMC, IMC,AHB ta có: (1f) Từ (1d), (1e), (1f). Ta suy ra: A = => Giá trị của biểu thức A không đổi (đpcm) 4/ Chứng minh: IK_|_ AS Xét tam giác ABC ta có: AH và CK là 2 đường cao (AH_|_BC, CK_|_AB) cắt nhau tại O => O là trực tâm của tam giác ABC =>BO là đường cao thứ ba của tam giác ABC=> BN_|_AC. Xét tam giác BOC ta có OH vừa là đường cao (AH_|_BC) vừa là đường trung tuyến(HB=HC) => Tam giác BOC cân tại O => OB =OC Xét vuông tại K và vuông tại N (BN_|_AC) có: OB=OC (cmt), góc = góc (2 góc đối đỉnh) => = (ch –cgv) => BK = NC. Ta có: Tứ giác AMHK là hình thang cân(cmt) => MK=AH. Mà AH = MC (cmt) Từ đó suy ra MC = MK. Xét và ta có:
5. MC= MK(cmt), HC=HK(cmt), HM là cạnh chung => = (c-c-c) => góc = góc => HK_|_ MK Ta có: HK_|_ MK (cmt), HK_|_ BG (gt) => BG //MK. Xét tứ giác BGMK ta có: BG //MK(cmt), MG//BK(AB//HD) => Tứ giác BGMK là hình bình hành( 2 cặp cạnh đối song song với nhau) => BK=MG. Mà BK =NC(cmt) => NC =MG Ta có: DM=DC( tứ giác AHCM) là hình chữ nhật. Từ đó suy ra DN = DC – NC = DM – MG = DG. Hay DN =DG. Ta có: DN =DG(cmt)=> Tam giác DNG cân tại D => góc = góc Ta có: góc + góc + góc =180*( Định lý tổng số đo góc trong tam giác) => 2 góc + góc =180* => góc = (2a) Ta có: DM =DC(cmt)=> Tam giác DMC cân tại D => góc = góc Ta có: góc + góc + góc =180*( Định lý tổng số đo góc trong tam giác) => 2 góc + góc =180* => góc = (2b) Từ (2a), (2b) => góc = góc => GP// MC(2 góc ở vị trí đồng vị) Ta có: GP// MC (cmt), AH_|_BC(cmt) => GP_|_BC Xét tam giác BGP ta có: PK là đường cao (HK_|_ BG) và PG là đường cao (GP_|_ BC) Mà 2 đường cao này cắt nhau tại H => H là trực tâm của tam giác BGP =>HG là đường cao thứ ba => HG_|_ BP Ta có: HK=HC(cmt), MC=MK(cmt) =>MH là đường trung trực của KC => HG_|_KC Ta có: HG_|_BP(cmt), HG_|_KC(cmt) => BP//KC => góc = góc (2 góc ở vị trí sole trong) Xét và ta có: góc = góc (cmt), HB= HC(cmt), góc = góc (2 góc ở vị trí đối đỉnh) => = (c-c-c) => HK = HP. Xét tứ giác BKCP ta có: HK=HP(cmt), HB=HC(cmt) =>Tứ giác BKCP là hình bình hành(Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) => BK//CP và BK =CP. Gọi F là trung điểm của BK. => BK=2BF và PC=2CS (SC=SP)
6. Mà BK = CP(cmt). Từ đó suy ra BF=CS. Xét tứ giác CSBF ta có: BF//CS(BK//CP), BF=CS(cmt) => Tứ giác CSBF là hình bình hành => FS đi qua trung điểm H của đường chéo BC => 3 điểm F, H, S thẳng hàng và HF = HS. Gọi L là trung điểm của BI, T là trung điểm của FH và Q là trung điểm của AF Xét tam giác BKC ta có: HB=HC(cmt), FB=FK(gt thêm) => HF là đường trung bình của tam giác BKC=> HF//KC. Ta có: HF//KC(cmt), AB_|_ KC(gt) => HF_|_AB. Xét tam giác AFH ta có: QA=QF(gt thêm), TH=TF(gt thêm) => QT là đường trung bình của tam giác AFH=> QT//AH. Ta có: QT//AH(cmt), AH_|_ BC(gt) => QT_|_BC. Xét tam giác BQH ta có: HF là đường cao (HF_|_ AB) và QT là đường cao (QT_|_ BC) Mà 2 đường cao này cắt nhau tại T => T là trực tâm của tam giác BQH =>BT là đường cao thứ ba => BT_|_ QH Ta có: BC=2BH, BI=2BL (LI = LB). Mà BC = BI => BH = BL Xét tam giác HFL ta có: TF=TH(gt thêm), BH=BL(cmt) => BT là đường trung bình của tam giác HFL=> FL//BT. Xét tam giác IBK ta có: LI=LB(gt thêm), FB=FK(gt thêm) => FL là đường trung bình của tam giác IBK=> IK//FL. Ta có: BT // FL(cmt), IK//FL(cmt) => IK//BT. Ta có: IK//BT(cmt), BT_|_ QH (cmt) => IK_|_ QH Xét tam giác AFS ta có: QA=QF(gt thêm), HF=HS(cmt) => QH là đường trung bình của tam giác AFS=> QH//AS. Ta có: QH//AS(cmt), IK_|_ QH (cmt) => IK_|_ AS (đpcm)