Bài hình trong đề IMO năm 2019 và lời giải bằng kiến thức THCS (Bài số 2 ngày thứ nhất)

Nội dung text: Bài hình trong đề IMO năm 2019 và lời giải bằng kiến thức THCS (Bài số 2 ngày thứ nhất)

1. Bài hình (Bài số 2 ngày thứ nhất) IMO 2019 và lời giải bằng kiến thức THCS Đề bài: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm A1, trên cạnh CA lấy đểm B1. Trên các đoạn AA1; BB1 lấy P; Q tương ứng sao cho PQ // AB. Lấy P1 trên PB1 sao cho B1 nằm giữa Pvà P1 và góc PP1C = BAC, lấy Q1 trên QA1 sao cho A1 nằm giữa Q và Q1 và góc QQ1C = ABC. Chứng minh rằng các điểm P, Q, P1, Q1 cùng nằm trên một đường tròn. Lời giải: Gọi H, K lần lượt là giao của AP, BQ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1. Góc PP1C = BAC = BKC => CB1KP1 nội tiếp => góc PP1K = ACK = ABK = PQK => QPKP1 nội tiếp. 2. Góc QQ1C = ABC = AHC => CA1HQ1 nội tiếp => góc QQ1H = BCH = BAH = QPH => PQHQ1 nội tiếp. 3. Góc AHK = ABK = PQK => PQHK nội tiếp. Từ 3 kết quả trên ta có 6 điểm P, Q, H, K, P1, Q1 cùng nằm trên một đường tròn => P, Q, P1, Q1 cùng nằm trên một đường tròn