Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học Lớp 7 - Nguyễn Văn Bình

Nội dung text: Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học Lớp 7 - Nguyễn Văn Bình

1. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 1 Toỏn BDHS Giỏi Hỡnh học 7 Bài toỏn 1: Cho tam giỏc ABC cú ãABC 300 và BãAC 1300 . Gọi Ax là tia đối của tia AB, đường phõn giỏc của gúc ãABC cắt phõn giỏc Cã Ax tại D. Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD tại E. So sỏnh độ dài AC và CE. Giải: Gọi Cy là tia đối của tia CB. Dựng DH, DI, DK lần lượt vuụng gúc với BC. AC, AB. Từ giả thiết ta suy ra DI = DK; DK = DH nờn suy ra DI = DH ( CI nằm trờn tia CA vỡ nếu điểm I thuộc tia đối của CA thỡ DI > DH). Vậy CD là tia phõn giỏc của ICảy và ICảy là gúc ngoài của tam giõc ABC suy ra àA Bà 300 1300 ãACD Dã Cy 800 . 2 2 Mặt khỏc CãAE 1800 1300 500 . Do đú, CãEA 500 nờn CAE cõn tại C. Vậy CA = CE Bài toỏn 2: Cho tam giỏc ABC cú BC = 10 cm. Cỏc đường trung tuyến BD và CE cú độ dài theo thứ tự bằng 9 cm và 12cm. Chứng minh rằng: BD  CE Giải: Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC. Khi đú ta cú: 2 2 GC CE .12 8 cm 3 3 2 2 GB BD .9 6 cm . Tam giỏc BGC cú 102 62 82 hay 3 3 BC 2 BG2 CG2 . Suy ra BGC vuụng tại G hay BD  CE Bài toỏn 3: Cho tam giỏc ABC , đường trung tuyến BD. Trờn tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi M, N theo thứ tự trung điểm của BC và CE. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh rằng BI = IK = KE Giải: Do AM và BD là hai trung tuyến của tam giỏc ABC cắt nhau tại I nờn I là trọng tõm của tam giỏc ABC, ta cú: 2 BI BD (1) 3 2 Ta cú K là trọng tõm tam giỏc ACE nờn EK ED (2) 3 1 1 Mà BD = DE từ (1) và (2) suy ra BI = EK (3) . Mặt khỏc, ta lại cú:ID BD và KD ED 3 3 2 suy ra ID = KD ( do BD = ED ) nờn IK BD (4). Từ (3) và (4) suy ra BI = IK = KE. 3 Bài toỏn 4: Cho tam giỏc ABC cú đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm. Tớnh độ dài BC (hớnh xỏc đến 0,1 cm) Giải:
2. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 2 Trờn tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho DM = DG khi đú 2 2 2 2 AG = GM = AD .12 8(cm) ; BG BE .9 6(cm) ; 3 3 3 3 BDM CDG(c.g.c) nờn suy ra GãCD DãBM (so le trong) nờn 2 2 BM//CG và MB = CG mà CG CF .15 10(cm) . Mặt 3 3 khỏc, ta cú 102 62 82 hay BM 2 BG2 MG2 . Suy ra BGD vuụng tại G. Theo định lý Pythagore ta cú BD BG2 GD2 62 42 52 . Vậy BC = 2BD = 2 52 14,4(cm) 3 Bài toỏn 5: Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giỏc lớn hơn 4 chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giỏc ấy. Giải: Ta cú 2AD AB AC ; 2BE AB BC ; 2CF BC AC nờn suy ra 2 AD BE CF 2 AB BC CA hay AD BE CF AB BC CA (1) 2 Trong tam giỏc BGC cú: BG + GC > BC mà BG BE 3 2 2 2 3 CG CF nờn BE CF BC BE CF BC . 3 3 3 2 3 3 Tương tự ta cú CF AD AC ; BE AD AB . Cộng cỏc bất đẳng thức vế theo vế ta cú: 2 2 3 3 2 AD BE CF AB BC CA D BE CF AB BC AC (2). 2 4 3 Kết hợp (1) và (2) suy ra AB BC AC AD BE CF AB BC AC (đpcm) 4 Bài toỏn 6: Cho tam giỏc ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Vẽ cỏc điểm M, N sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là giao điểm của AC và DM. Chứng minh N, E, K thẳng hàng. Giải: Tam giỏc MND cú BE = EC = CM nờn 2 ME MB mà MB là trung tuyến nờn E là 3 trọng tõm suy ra NE là trung tuyến của tam giỏc NMD. Mặt khỏc, DE //AC do DE là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC hay DE // KC mà C là trung điểm của ME nờn K là trung điểm của DM. Nờn ba điểm N, E, K thẳng hàng.
3. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 3 Bài toỏn 7: Cho tam giỏc ABC đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BM. Trờn tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA. Gọi N là trung điểm của EC. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua N Giải: Tam giỏc AEC cú CI là đường trung tuyến (vỡ IE = IA) nờn 2 CM CI nờn M là trọng tõm của tam giỏc AEC do đú AM đi qua 3 N Bài toỏn 8: Cho tam giỏc ABC cú AH vuụng gúc với BC và BãAH 2Cà. Tia phõn giỏc của Bà cắt AC tại E. a) Tia phõn giỏc BãAH cắt BE tại I. Chứng minh rằng tam giỏc AIE vuụng cõn. b) Chứng minh rằng HE là tia phõn giỏc ãAHC Giải: a) Chứng minh AIE vuụng cõn: Ta cú AH  BC nờn tam giỏc AHC vuụng tại H nờn CãAH Hã CA 900 (1). Do AI là phõn giỏc của BãAH nờn 1 IãAH Bã AI BãAH BãAH 2IãAH mà BãAH 2Cà (gt) nờn 2 IãAH Cà (2). Từ (1) và (2) suy ra CãAH IãAH 900 nờn 1 1 tam giỏc AIE vuụng tại A. Ta cú ãABI Bà ; Bã AI BãAH 2 2 1 1 Do ãAIE là gúc ngoài của tam giỏc BIA nờn ãAIE ãABI Bã AI (Bà BãAH ) .900 450 nờn tam 2 2 giỏc AIE vuụng cõn b)Chứng minh HE là tia phõn giỏc ãAHC Ta cú IA  AC mà AI là phõn giỏc trong của tam giỏc BAH nờn AE là phõn giỏc ngoài của tam giỏc ABH tại A. BE là phõn giỏc trong của tam giỏc ABH suy ra HE là phõn giỏc ngoài tại ãAHC Bài toỏn 9: Cho tam giỏc ABC cú gúc àA 1200 . Đường phõn giỏc AD, đường phõn giỏc ngoài tại C cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tớnh số đo của gúc BED Giải: Tam giỏc ADC cú hai phõn giỏc ngoài tại A và C cắt nhau tại K nờn DK là phõn giỏc trong của ãADC Trong tam giỏc BAD cú AE và DE là hai phõn giỏc ngoài của cỏc gúc A và D cắt nhau tại E nờn BE là phõn giỏc trong của gúc B. EãDC là gúc ngoài của tam giỏc BDE nờn ta cú EãDC Dã BE Dã EB mà EãDC ãADE ( do DE là phõn giỏc ãADC ) suy ra 1 2EãDA ãABD ãADC ãABC BãAD 600 Dã EB EãDC Dã BE EãDA ãABD 300 2 2 2 2 2
4. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 4 Bài toỏn 10: Cho tam giỏc ABC cú àA 1200 cỏc đường phõn giỏc AD, BE, CF. a) Chứng minh rằng DE là tia phõn giỏc ngoài của tam giỏc ADB b) Tớnh EãDF Giải: a) Chứng minh rằng DE là tia phõn giỏc ngoài của tam giỏc ADB. Tam giỏc BAD cú AE và BE là hai phõn giỏc ngoài và trong tại đỉnh A và B (Do àA 1200 ) nờn DE là phõn giỏc ngoài của tam giỏc ABD. b) Tớnh EãDF Trong tam giỏc ACD cú AF và CF là hai phõn giỏc ngoài và trong tại cỏc đỉnh A và C cuả tam giỏc ADC nờn DF là phõn giỏc ngoài của gúc D của tam giỏc ADC suy ra DE là phõn giỏc trong tại đỉnh D nờn DE  DF hay EãDF 900 Bài toỏn 11:Cho tam giỏc ABC cõn tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuụng gúc với AB . Gọi E là một điểm thuộc đoạn AH. Trờn cạnh AC lấy điểm F sao cho ãAEF 2.EãMH . Chứng minh FM là tia phõn giỏc của gúc EãFC Giải: Tam giỏc ABC cõn tại A cú AM là trung tuyến nờn AM là phõn giỏc BãAC . Tam giỏc AEF cú AM là phõn giỏc trong tại gúc A nờn ta phảI chứng minh EM là phõn giỏc gúc ngoài tại E của tam giỏc AEF. Thật vậy, Do tam giỏc EMH vuụng tại H nờn HãEM 900 EãMH mà 1 ãAEF 2.EãMH (gt) nờn ãAEF EãMH . Do đú 2 1 HãEM 900 EãMH 900 ãAEF 1 . Mặt khỏc ta cú 2 ã 0 ã ã 0 ã 0 1 ã 0 1 ã FEM 180 (AEF BEM ) 180 AEF 90 AEF 90 AEF (2) . Từ (1) và (2) suy ra 2 2 HãEM =FãEM hay EM là phõn giỏc của BãEF . Tia phõn giỏc trong AM của gúc A và tia EM là phõn giỏc ngoài của tam giỏc AEF cắt nhau tại M nờn FM là phõn giỏc ngoài của ãAFE hay FM là phõn giỏc EãFC Bài toỏn 12: Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường phõn giỏc BD và CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh rằng Bà =Cà hay Bà + Cà 1200 Giải: Qua I kẻ IH  AB và IK  AC , Do I là giao điểm của hai đường phõn giỏc nờn IH IK và ID IE gt nờn IHE IKD (cạnh huyền, cạnh gúc vuụng) nờn suy ra ãADB BãEC (1)
5. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 5 1 a) Trường hợp K AD; H BE thỡ ta cú BãEC àA Cà ( BãEC là gúc ngoài của AEC ) (2) 2 1 1 1 ãADB Cà Bà ( ãADB là gúc ngoài của DBC ) (3) . Từ (1); (2) và (3) àA Cà Cà Bà 2 2 2 1 1 àA Cà Bà 2àA Cà Bà 3àA àA Cà Bà 1800 àA 600 Cà Bà 1200 2 2 b) Nếu H AE và K DC thỡ suy ra tương tự trờn ta cú Cà Bà 1200 1 1 c) Nếu H EB và K DC thỡ àA Cà àA Bà Cà Bà 2 2 1 1 d)H AE và K DA thỡ Cà Bà Bà Cà Cà Bà . 2 2 Vậy cả bốn trường hợp trờn ta luụn cú Bà =Cà hoặc Cà Bà 1200 Bài toỏn 13: Cho tam giỏc ABC. Tỡm điểm E thuộc phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giỏc EBC cú chu vi nhỏ nhất. Giải: Chu vi tam giỏc EBC nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng EB + CE nhỏ nhất. Vẽ BH vuụng gúc với phõn giỏc ngoài tại gúc A cắt AC tại D vỡ đường thẳng a ( đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh A) cuả tam giỏc ABC nờn a là đường trung trực của BD nờn EB = ED . Do đú EB EC ED EC DC với mọi điểm E thuộc a ta cú EB EC DC xảy ra dấu đẳng thức thỡ E nằm giữa D và C. Vậy E  A thỡ chu vi tam giỏc EBC nhỏ nhất Bài toỏn 14: Cho tam giỏc ABC nhọn. Tỡm điểm M trờn cạnh BC sao cho nếu vẽ cỏc điểm D, E trong đú AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thỡ DE cú độ dài nhỏ nhất. Giải: Ta cú AB là đường trung trực của MD nờn AD AM ( 1) AC là đường trung trực của ME nờn AM AE (2) Từ (1) và (2) suy ra AD AE nờn tam giỏc ADE cõn tại A và Dã AE 2.BãAC khụng đổi nờn DE đạt nhỏ nhất nếu AD nhỏ nhất. AD AM AH với AH  BC xảy ra dấu bằng khi M  H khi đú DE đạt giỏ trị nhỏ nhất. Bài toỏn 15: Cho A nằm trong gúc xãOy nhọn. Tỡm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam giỏc ABC cú chu vi nhỏ nhất. Giải: Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox Nờn Oy, Ox lần lượt là cỏc đường trung trực của AD và AE. Khi đú ta cú CA = CD và BE = BA nờn chu vi của tam giỏc ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE
6. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 6 DE . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B  M ;C  N . Do đú ABC cú chu vi nhỏ nhất ở vị trớ AMN Bài toỏn 16: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Tia phõn giỏc của gúc Hã AB cắt BC tại D, tia phõn giỏc của gúc Hã AC cắt BC tại E. Chứng minh rằng giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc ABC là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc ADE Giải: Ta cú ãADE là gúc ngoài của tam giỏc ADB nờn ãADE Dã BA BãAD . Mặt khỏc ta cú:Dã AC CãAH Hã AD mà ãABH Hã AC ( cựng phụ với BãAH ); BãAD DãAH (Do AD là tia phõn giỏc của BãAH nờn ãADC Dã AC . Vậy tam giỏc CAD cõn tại C mà CK là đường phõn giỏc nờn CK cũng là đường trung trực của AD. Tương tự ABE cõn tại E mà BP là đường phõn giỏc nờn BP cũng là đường trung trực của AE. Nờn M là giao điểm của hai đường phõn giỏc CK và BP cũng là giao điểm của hai đường trung trực của tam giỏc ADE. Bài toỏn 17:Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cỏc điểm E và D theo thứ tự di chuyển trờn hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng cỏc đường trung trực của DE luụn đi qua một điểm cố định Giải: Khi D  B E  A . Đường trung trực của DE chớnh là đường trung trực của AB Khi D  A E  C . Đường trung trực của DE chớnh là đường trung trực của AC. Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực AB và AC. Ta phải chứng minh đường trung trực của DE đi qua O. Ta cú tam giỏc ABC cõn tại A nờn O nằm trờn đường trung trực của BC. Suy ra AH = KC mà AD = CE (gt) nờn DH = KE và OH = OK nờn HDO KEO c.g.c . Do đú OD = OC. Vậy mọi đường trung trực của DE đều đi qua một điểm cố định O Khai thỏc bài toỏn trờn: Nếu ABC bất kỳ với AC > AB và BD = CE thỡ cỏc đường trung trực của DE luụn đi qua điểm cố định nào? Tỡm điểm đặc biệt: Khi D  B E  C . Đường trung trực của DE chớnh là đường trung trực của BC. Khi D  A E  G . Với G AC .Đường trung trực của AG là (d’) cắt đường trung trực (d) của BC tại K. Vậy mọi đường trung trực của DE đều đi qua K. Thật vậy, trờn cạnh AC lấy điểm G sao cho AB = CG. Gọi K là giao điểm của hai đường trung trực (d) và (d’) của cỏc đoạn thẳng BC và AG khi đú ta cú KB = KC và KA = KG nờn
7. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 7 AKB GKC c.c.c nờn suy ra ãABK GãCK , hay Dã BK EãCK nờn DKB EKC c.g.c suy ra KD = KE. Vậy đường trung trực của DE luụn qua K (đpcm) Bài toỏn 18: Cho tam giỏc ABC, đường phõn giỏc AD. Trờn đoạn thẳng AD lấy điểm E và F sao cho ãABE CãBF . Chứng minh rằng ãACE BãCF . Giải: Vẽ K, H, I sao cho BC, AC, AB là cỏc đường trung trực của KF, EH, EI. Khi đú ta cú Hã CE 2.ãACE ; KãCF 2.FãCB . Ta phải chứng minh ãACE BãCF Ta cú AI = AE = AH (vỡ AB là đường trung trực của EI) nờn tam giỏc AHI cõn tại A mà AE là phõn giỏc nờn AD là đường trung trực của IH do đú IF = FH (1). Ta lại cú BK = BF ;IãBE FãBK và BI = BE nờn BEK BIF c.g.c suy ra EK = IF (2). Từ (1) và (2) suy ra EK = FH (3) Xột tam giỏc HCF và ECK ta cú HC = EC (4) ( vỡ AC là đường trung trực của EH); CF = CK (vỡ BC là đường trung trực của KF) (5) . Từ (3) ,(4) và (5) nờn HCF ECK c.c.c suy ra Hã CF EãCK Hã CE EãCF KãCF FãCE Hã CE KãCF ãACE BãCF (đpcm) Bài toỏn 19: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng AE  IK Giải: Ta cú Bà Hã AC ( vỡ cựng phụ với BãAH ) Bà ãABI IãBC ( Do BI là tia phõn giỏc của gúc B) 2 CãAH Hã AD Dã AC ( Do AD là tia phõn giỏc của gúcCãAH ) 2 Từ những đẳng thức trờn suy ra ãABI Dã AC mà Dã AC Kã AB 900 ãABI Kã AB 900 ãADB 900 nờn BD  AD . Chứng minh tương tự ta cũng cú CE  AI .Tam giỏc AIK cú hai đường cao cắt nhau tại E nờn E là trực tõm của tam giỏc nờn AE  IK Bài toỏn 20: Cho tam giỏc ABC, đường cao AH, vẽ ngoài tam giỏc ấy cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD, ACE với Bà =Cà 900 a) Qua điểm C vẽ đường thẳng vuụng gúc với BE cắt đường thẳng HA tại K. Chứng minh rằng DC  BK . b) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Giải: a) Chứng minh DC  BK : Ta cú BãEC Kã CA cựng phụ với Kã CE
8. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 8 Hã KC Hã BE cựng phụ với Kã IE nờn suy ra Kã AC EãCB và AC = CE (gt) nờn KAC BCE g.c.g suy ra KA = BC. Mặt khỏc ta cú BD =AB ; Kã AB Dã BC ; KA = BC nờn DBC BAK c.g.c suy ra BãKH Dã CB và Hã KB KãBH 900 suy ra Dã CB KãBH 900 BãMC 900 ( với M giao điểm của DC và KB) nờn DC  BK tại M. b) Trong tam giỏc KBC ba đường cao AH, CD, BE nờn đồng quy tại I. Bài toỏn 21: Gọi H là trực tõm của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC < AB + AC 2 b) HA HB HC AB BC AC 3 Giải: a) Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC. Ta kẻ NH // AC và HM //AB. Khi đú ta cú HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tớnh chất đoạn chắn). Do BH vuụng gúc với AC mà HN //AC nờn BH  HN . Do đú BH < BN. (2) Tương tự ta cũng chứng minh đựơc HC < CM (3). Từ (1) ; (2) và (3) suy ra HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm) b) Ta cú HA + HB + HC < AB + AC ( Theo cõu a) Tương tự HA + HB + HC < BC + AC HA + HB + HC < AB + BC Cộng cỏc bất đẳng thức trờn vế theo vế ta được: 2 3 HA HB HC 2 AB BC AC HA HB HC AB BC AC (đpcm) 3 Bài toỏn 22: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH CM tại H. Kẻ HE  AB tại E. Chứng minh rằng tam giỏc ABH cõn và HM là phõn giỏc của gúc BHE. Giải: Từ A ta kẻ AK CM tại K và AQ  HN tại Q. Hai tam giỏc 1 ã ã vuụng MAK và NCH cú MA = NC = AB ACH MAK (cựng 2 phụ với gúc KAC) nờn MAK NCH (cạnh huyền, gúc nhọn). Suy ra AK = HC (1) . Ta lại cú BAK ACH c.g.c BãKA ãAHC . Hai tam giỏc vuụng AQN và CHN cú NA = NC và ãANQ Hã NC (đ.đ) nờn ANQ CNH (cạnh huyền, gúc nhọn). Suy ra AQ = CH (2). Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ nờn HA là tia phõn giỏc của gúc KHQ suy ra ãAHQ 450 ãAHC 900 450 1350 ãAKB 1350 . Từ ãAKB BãKH ãAKH 3600 BãKH 1350 . Tam giỏc AKH cú KãHA 450 nờn nú vuụng cõn tại K KA KH . Xột hai tam giỏc BKA cà BKH cú BK chung ; BãKA BãKH 1350 ; AK KH BKA BKH c.g.c KãHB Mã AK; AB BH hay tam giỏc BAH cõn tại B Ta cú KãHB Mã AK và KE // CA nờn ãACH EãHM (đồng vị) vỡ ãACH Mã AK suy ra EãHM Mã HB nờn HM là tia phõn giỏc của EHB.
9. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 9 Dựng phương phỏp phản chứng để chứng minh hỡnh học: Bài toỏn 23: Tam giỏc ABC cú hai gúc B và C nhọn. Kẻ AH  BC . Chứng minh rằng H nằm giữa BC. Giải: Ta thấy H, B, C là ba điểm phõn biệt . Thật vậy, nếu H trựng với B hoặc C thỡ Bà 900 hoặc Cà 900 . Trỏi với giả thiết . Trong ba điểm phõn biệt thỡ cú một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm kia. Giả sử C nằm giữa B và H thỡ ãACH 900 suy ra BãCA 900 trỏi với giả thiết. Giả sử B nằm giữa C và H thỡ ãABH 900 suy ra CãBA 900 trỏi với giả thiết. Vậy H nằm giữa B và C. 1 Bài toỏn 24: a) Tam giỏc ABC cú Bà 600 và BC AB . 2 Chứng minh Cà 900 b) Tam giỏc ABC cú Bà 600 và BC = 2dm; AB = 3dm. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AD = AC Giải: a) Giả sử Cà 900 Kẻ AH BC thỡ H khụng trựng C nờn ABH vuụng tại H suy ra 1 1 BãAH 300 nờn BH AB . Theo giả thiết ta cú BC AB nờn BH = BC suy ra H trựng 2 2 với C mõu thuẩn. Nờn Cà 900 1 b) Gọi H là trung điểm của DC thỡ BH 1,5dm . Do đú BH AB . Theo cõu a) ãAHB 900 2 nờn AHD AHC c.g.c suy ra AD = AC Bài toỏn 25: Cho tam giỏc ABC đều, đường cao AH. Trờn tia HD lấy điểm C sao cho HD = HA. Trờn nửa mặt phẳmg bờ BD khụng chứa điểm A vẽ tia Dx sao cho BãDx 150 . Dx cắt AB tại E. Chứng minh HD = HE Giải: Giả sử HD > HE thỡ Hã ED 150 (1) . Mặt khỏc HD > HE nờn HA > HE do đú ãAEH 300 (2) . Từ (1) và (2) BãED 450 nờn ãABD BãED BãDE 450 150 600 . TrỏI với giả thiết tam giỏc ABC đều. Tương tự giả sử HD < HE ta cũng chứng minh được ãABD 600 , trỏi với giả thiết. Nờn HD = HE (đpcm) Bài toỏn 26: Tam giỏc ABC nhọn , đường cao AH, đường trung tuyến BI, đường phõn giỏc CK cắt nhau tại ba điểm phõn biệt D, E, F. Chứng minh tam giỏc DEF khụng thể là tam giỏc đều Giải: Giả sử tam giỏc DEF đều thỡ CãFH 600 nờn FãCH 300 suy ra ãACF 300 . Ta lại cú Cã EI 600 suy ra Bã IC 900 . Tam giỏc ABC cú BI là trung tuyến cũng là đường cao nờn tam giỏc ABC cõn tại B. lại cú ãACB 600 nờn tam
10. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 10 giỏc ABC đều. Do đú AH, BI, CK đồng quy tức là D, E, F trựng nhau, trỏi với giả thiết. Vậy tam giỏc DEF khụng thể là tam giỏc đều. Bài toỏn 27: Tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, cỏc đường phõn giỏc AD, đường trung tuyến BM, và đường cao CH đồng quy. Chứng minh rằng àA 450 Giải: Giả sử àA 450 . Trờn tia Hx lấy điểm E sao cho HE = HA thỡ ãAEC EãAC 450 ãACE 900 . Ta chứng minh ãACB ãACE nờn trỏi với giả thiết tam giỏc ABC cỏc gúc nhọn. Thật vậy, ta chứng tỏ B thuộc tia Ex. Gọi O là giao điểm của cỏc đường CH,BM,AD và F là giao điểm của EO và AC. Xột tam giỏc EAC cú EA > EC ( vỡ EA đối diện với gúc AC lớn hơn) mà FE là phõn giỏc của gúc CEA nờn AF > FC suy ra AF cũn M là trung điểm 2 của AC nờn M nằm giữa A và F vỡ thế B thuộc tia Ex. Do đú ãABC ãACE mà ãACE 900 ãACB 900 . Trỏi với giả thiết nờn àA 450 . Bài toỏn 28: Cho tam giỏc ABC cú BC = 2 AB. Gọi M là trung điểm của BC và D là trung điểm của BM. Chứng minh rằng AC = 2AD Giải: Trờn tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE nờn ta cú ãADB EãDM (đ.đ). DB = DM nờn ABD EMD (c.g.c) suy ra BC AB = ME và ãABD DãME . Vỡ AB = ME = MC = nờn MC = 2 ME. Ta lại cú ãAMC Bà BãAM ( gúc ngoài bằng tổng hai gúc trong khụng kề nú của tam giỏc ABM) mà ãABD DãME và BãAM BãMA (Do tam giỏc BAM cõn tại B). Suy ra ãAMC BãME BãMA ãAMC ãAME . Vậy AME AMC c.g.c . Suy ra AC = AE =2AD (đpcm). Bài toỏn 29:Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A và M là trung điểm của BC. Trờn tia BC lấy điểm D với D khỏc B và M. Kẻ BK vuụng gúc với AD tại K. Chứng minh KM là phõn giỏc trong hoặc phõn giỏc ngoài của tam giỏc BKD tại đỉnh K Giải: Khi D trựng với C thỡ K trựng với A. Khi đú AM  BC tại M nờn kết luận đỳng. Từ M ta hạ MH  KB và MI  KD nờn MH  MI tại M và MH //KD. Do đú ãAMI 900 ãAMH BãMH và ãAMI 900 BãMI BãMH Khi M nằm ngoài đoạn BD. Do đú BMH AMI ( cạnh huyền, gúc nhọn). Suy ra MI = MH. Do M cỏch đều hai đoạn thẳng KB và KD nờn KM là phõn giỏc của BãKD .
11. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 11 Tớnh số đo cỏc gúc trong tam giỏc Bài toỏn 30: Tam giỏc ABC cõn tại A cú àA 200 . Trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tớnh ãACD ? Cỏch giải 1: Vẽ tam giỏc BCE đều ( với E nằm cựng phia với A cú bờ đường thẳng 1800 200 BC) nờn EãCA 600 200 . Hay EãCA Dã AC 200 . 2 Xột tam giỏc DAC và ECA cú DA = EC; EãCA Dã AC ; AC cạnh chung nờn DAC = ECA (c.g.c) suy ra CãAE ãACD mà AEB AEC c.c.c nờn BãAE CãAE 100 . Vậy ãACD 100 . Cỏch giải 2: Vẽ tam giỏc đều ADE nằm ngoài tam giỏc ABC thỡ CãAE 800 . Do đú CAE ABC c.g.c nờn CE =AC ãACE BãAC 200 . Nờn ACD ECD c.c.c suy ra ãACD EãCD 100 Cỏch giải 3: Vẽ tam giỏc đều ACK ta chứng minh được tam giỏc CDK cõn tại K (vỡ KãAD 800 , KA = AB; AD = BC nờn KAD ABC c.g.c suy ra KD = AC = KC ) nờn Dã KC ãAKC ãAKD 600 200 400 suy ra KãCD (1800 Dã KC) : 2 (1800 400 ) : 2 700 Dã CA 700 600 100 Cỏch giải 4: Vẽ tam giỏc đều FAB với F và C cựng phớa đối với AB. Nờn tam giỏc AFC cõn tại A Tớnh được FãAC 400 nờn 1800 400 ãAFC 700 BãFC 100 CãBF 200 ADC BCF c.g.c ãACD BãFC 100 2 Chỳ ý : Nếu giả thiết cho ãACD 100 thỡ AD = BC ta xột DAC = ECA (c.g.c). Bài toỏn 31: Cho tam giỏc ABC cõn cú Bà Cà 500 . Gọi K là điểm trong tam giỏc sao cho Kã BC 100 ; KãCB 300 . Chứng minh rằng tam giỏc ABK cõn và tớnh BãAK ? Giải: Dựng tam giỏc đều EBC cú đỉnh E và A cựng nằm trờn một nửa mặt phẳng cú bờ là BC. Nờn EAB EAC c.c.c Do Bà Cà 500 nờn EãBA EãCA 600 500 100 và EA là phõn giỏc của BãEC BãEA CãEA 300 . Do đú EBA CBK (g.c.g) nờn AB = BK hay tam giỏc BAK cõn tại B. BãAK 1800 ãABK : 2 1800 400 : 2 700 . Bài toỏn 32: Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC cõn tại A biết rằng trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = DC = BC. Giải:
12. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 12 Đặt àA x thỡ ãACD x . Do đú BãDC 2x ; Bà 2x mà tam giỏc ABC cú àA Bà Cà 1800 nờn x 2x 2x 1800 5x 1800 x 360 . Vậy x àA 360 . Nờn Bà Cà 1800 360 : 2 720 . Bài toỏn 33: Tam giỏc ABC cú Bà 600 ;Cà 300 . Lấy điểm D trờn cạnh AC. Điểm E trờn cạnh AB sao cho ãABD 200 ; ãACE 100 . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc KDE. Giải: Tam giỏc ABC cú Bà 600 ;Cà 300 suy ra àA 900 . Do đú CãEA 900 100 800 ; BãDA 900 200 700 ; CãKB Dã KE 1800 KãCB CãBK 1800 (200 400 ) 1200 . Gọi I là giao điểm của hai đường phõn giỏc của cỏc gúc BãCK; Kã BC nờn Cã KI Bã KI 600 . Do đú Kã EA BãKE Kã BE BãKE Kã EA Kã BE 800 200 600 nờn IKB EKB g.c.g suy ra KI = KE. Tương tự ta chứng minh được IKC DKC g.c.g suy ra KI = KD. Do đú KD = KE. Tam giỏc KDE cõn tại K suy ra KãDE KãED (1800 1200 ) : 2 300 . Bài toỏn 34: Cho tam giỏc ABC gúc àA 900 và cỏc gúc B, C nhọn, đường cao AH vẽ điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của HD , AC là đường trung trực của HE. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của DE với AB và AC. Tớnh cỏc gúc ãAIC và ãAKB Giải: Trường hợp àA 900 Thỡ IB và KC là hai phõn giỏc ngoài của tam giỏc IHK. Do đú HA là phõn giỏc trong . Do ãAHC 900 nờn HC là phõn giỏc ngoài tại đỉnh H. Cỏc phõn giỏc ngoài cắt nhau tại C nờn IC là phõn giỏc của gúc Hã IK . Do 1800 đú BãIH Hã IC 900 Bã IC 900 hay ãAIC 900 . 2 Chứng minh tương tự ta cũng cú BK  KC ( phõn giỏc trong KB và phõn giỏc ngoài tại gúc K) nờn ãAKB 900 . Trường hợp àA 900 . Tam giỏc HIK cú KC, IB là cỏc tia phõn giỏc trong gúc Hã KI, Hã IK và KB , IC là cỏc tia phõn giỏc ngoài Hã KI, Hã IK nờn ãAIC ãAKB 900 Bài toỏn 35: Cho tam giỏc ABC cú AH là đường cao, phõn giỏc BD và ãAHD 450 . Nờu cỏch vẽ hỡnh và tớnh ãADB Giải:
13. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 13 *) Vẽ tam giỏc BHD sao cho BãHD 1350 , vẽ đường thẳng vuụng gúc với BH tại H. vẽ tia Bx sao cho Hã BD Dã Bx cắt đường thẳng vừa vẽ tại điểm A. Hai tia AD và BH cắt nhau tại C, ta được hỡnh thoả món đề cần vẽ. Xột ABH ta cú Hã Ax ãABH ãAHB ãABH 900 2ãABD 900 ( Do BD là tia phõn giỏc của gúc B). Ta lại cú Hã Ax 2Cã Ax (vỡ tia BD là phõn giỏc trong và tia HD là phõn giỏc ngoài cắt nhau tại D nờn AD là phõn giỏc ngoài của tam giỏc BHA). Vậy 2ãABD 900 =2Cã Ax ãABD 450 =Cã Ax (1). Mặt khỏc, trong tam giỏc ABD cú Cã Ax ãABD ãADB 2 (định lý gúc ngoài của tam giỏc ABD). Từ (1) và (2) suy ra ãABD 450 = ãABD ãADB ãADB 450 Bài toỏn 36: Cho tam giỏc ABC cú K là giao điểm của cỏc đương phõn giỏc, O là giao điểm cỏc đường trung trực, BC là đường trung trực của OK. Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC. Giải: Do O là giao điểm của cỏc đường trung trực của tam giỏc ABC nờn OB = OC. Suy ra OBC cõn tại O suy ra OãBC OãCB , Mà BC là đường trung trực của OK nờn BO = BK ; OC = CK . Do đú OãBC Kã BC;OãCB BãCK . K là giao điểm cỏc đường phõn giỏc nờn OãBC Kã BC Kã BA OãCB BãCK Kã CA . Ta lại cú OA = OB nờn Oã BA OãAB và CA = OC nờn OãCA OãAC . Do đú, BãAC BãAO OãAC ãABO OãCA 3 3 6 mà ABC cú BãAC ãABC BãCA 1800 2 6 2 1800 10 1800 180 . Vậy ãABC BãCA 360 ; BãAC 1080 . Bài toỏn 37: Cho tam giỏc ABC cú Bà 600 ;Cà 450 . Trong gúc ABC vẽ tia Bx sao cho xãBC 150 . Đường vuụng gúc với BA tại A cắt Bx tại I. Tớnh IãCB . Giải: Trờn cạnh BC lấy điểm K sao cho AB = BK nờn tam giỏc ABK cõn tại B cú Bà 600 nờn tam giỏc ABK đều . Do đú KB = KA. Ta lại cú tam giỏc ABI vuụng tại A mà ãABI ãABC IãBC 600 150 450 nờn tam giỏc ABI vuụng cõn tại A suy ra AB = AK = AI. Do Bà 600 ;Cà 450 nờn àA 750 . Nờn Kã AC BãAC BãAK 750 600 150 ; Cã AI 900 àA 900 750 150 . Do đú AKC AIC c.g.c ãACK ãACI 450 IãCB ãACK ãACI 900 . Vậy IãCB 900
14. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 14 Bài toỏn 38: Cho tam giỏc ABC cú Bà 750 ;Cà 450 . Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho BãAD 450 . Đường vuụng gúc với DC tại C cắt tia phõn giỏc của ãADC tại E. Tớnh CãBE . Giải: Ta cú Bà 750 ;Cà 450 và BãAD 450 suy ra BãDA 600 nờn ãADC 1200 mà DE là phõn giỏc của ãADC nờn ãADE EãDC 600 . Ta lại cú CE là phõn giỏc trong của DCE và DA là phõn giỏc ngoài của EãDC cắt nhau tại A nờn EA là phõn giỏc ngoài tại E. DCE vuụng tại C cú EãDC 600 Dã EC 300 . Do đú ãAED 1800 Dã EC : 2 1800 300 : 2 750 (do EA là phõn giỏc ngoài tại E) suy ra Dã AE 450 . Do đú ABD ADE g.c.g BD = ED nờn tam giỏc BDE cõn tại D nờn ta cú EãBD (1800 1200 ) : 2 300 . Bài toỏn 39:Cho tam giỏc ABC, vẽ về phớa ngoài tam giỏc ấy cỏc tam giỏc đều ABE; ACF. Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tõm của tõm giỏc ABE. Tớnh cỏc gúc cuả tam giỏc FIH. Giải: Trờn tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK. Gọi BãAC thỡ Hã AF 600 300 900 1 ( vỡ ACF đều nờn FãAC 600 và tam giỏc EAB đều cú H là trực tõm nờn Hã AB 300 nếu 0 900 ). Ta lại cú: BIH CIK c.g.c nờn suy ra Kã CI Hã BI ãABC 300 nờn ãACB 1800 ãABC . Do đú: Kã CI BãCA ãACF ãABC 300 +1800 ãABC 600 2700 KãCF 3600 Kã CI BãCA ãACF 3600 2700 900 2 . Từ (1) và (2) suy ra Hã AF KãCF .Nờn AHF CKF c.g.c HF KF; ãAFH CãFK Hã FK 600 do đú tam giỏc HFK đều suy ra tam giỏc HFI là nửa tam giỏc đều cạnh HF. Cỏc gúc của tam giỏc HFI cú số đo là: Hã IF 900 ; IãHF 600 ; Hã FI 300 . Bài toỏn 40: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú BãAC 200 . Trờn nửa mặt phẳng khụng chứa B cú bờ AC vẽ tia Cx sao cho ãACx 600 , trờn tia ấy lấy điểm D sao cho AB = CD. Tớnh ãADC . Giải: Trờn nửa mặt phẳng chứa B cú bờ AC vẽ tia Cy sao cho ãACy 600 . Tia này cắt AB tại E. Do tam giỏc ABC cõn tại A cú BãAC 200 nờn Bà Cà (1800 200 ) : 2 800 . Trong tam giỏc BCE cú Bà 800 . Gúc BãEC là gúc ngoài của tam giỏc AEC nờn ta cú BãEC àA EãCA 200 600 800 . Nờn tam giỏc CEB cõn tại C suy ra CE = CB. Từ đú ta cú AEC ADC c.g.c ãAEC ãADC 1800 800 1000
15. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 15 Bài toỏn 41: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Điểm E nằm trong tam giỏc sao cho tam giỏc EAC cõn tại E và cú gúc ở đỏy 150 . Tớnh gúc BãEA . Giải: Cỏch giải 1: Vẽ tam giỏc đều ACD. Ta cú tam giỏc EAC cõn tại E nờn EãAC ãACE 150 nờn BãAE 900 150 750 . Xột BAE và DAE cú AB = AD = AC ; BãAE Dã AE 750 ; AE cạnh chung. Nờn BAE DAE c.g.c ãAEB ãAED . Do AD = AC và EA = EC nờn ED là đường trung trực của AC. Đồng thời AE là phõn giỏc của ãAEC 1800 2.15 ãAEC nờn ãAED 750 2 2 Cỏch giải 2: Vẽ tam giỏc đều EAK nằm ngoài tam giỏc AEC. Ta được ABK ACE c.g.c và ABK BEK c.g.c BãEA BãEK Kã EA 150 600 750 Bài toỏn 42: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú àA 1000 . Điểm M nằm trong tam giỏc ABC sao choMã BC 100 ;Mã CB 200 . Tớnh ãAMB . Giải: 1800 1000 Tam giỏc ABC cõn tại A nờn ãACB 400 mà 2 Mã BC 200 Mã CA 200 nờn CM là tia phõn giỏc của BãCA . Trờn tia CA lấy điểm E sao cho CB = CE nờn MCB MCE c.g.c ME MB và EãMC BãMC 1800 300 1500 EãMB 3600 2.BãMC 3600 3000 600 . Do đú tam giỏc BME đều suy ra BM =BE. Ta cú:EãAB ãAEM 800 100 900 nờn AB  ME suy ra BA là phõn giỏc của gúc Mã BE EãBA Mã BA 600 : 2 300 nờn ABM ABE c.g.c BãEA ãAMB 600 100 700 . Bài toỏn 43: Cho tam giỏc cõn tại A cú àA 800 . Trờn cạnh BC lấy điểm D sao cho CãAD 300 . Trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho EãBA 300 . Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam giỏc IDE cõn và tớnh cỏc gúc của nú. Giải: Ta cú tam giỏc ABC cõn tại A cú àA 800 nờn Bà Cà 500 mà CãAD 300 nờn BãAD àA Dã AC 800 300 500 . Khi đú DBA cõn tại D suy ra AD = BD. Trờn BI lấy điểm K sao cho BãAK 100 nờn BãEA 1800 (BãAE EãBA) 1800 (800 300 ) 700 (1) Kã AE ãABC BãAK 800 100 700 (2) Từ (1) và (2) suy ra KAE cõn tại K nờn KA = KE. Ta cũng chứng minh được tam giỏc AkD cõn tại A nờn AK = AD . Do đú AD = KE. (3)
16. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 16 Mặt khỏc, Kã AI ãAKI 400 IKA cõn tại I nờn IA = IK (4). Từ (3) và (4) suy ra IE = ID nờn tam giỏc IED cõn tại I.ãAIK Dã IE 1800 2IãAK 1800 800 1000 . 1800 1000 IãDE IãED 400 . 2 Bài toỏn 44: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú àA 200 , cỏc điểm M,N theo thứ tự thuộc cỏc cạnh bờn AB, AC sao cho BãCM 500 ;CãBN 600 . Tớnh Mã NA Giải: Trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho AN = AD thỡ DN //BC và ãAND 800 . Ta tớnh DãNM . Gọi I là giao điểm của BN và CD thỡ cỏc tam giỏc IBC và IDN là cỏc tam giỏc đều vỡ IãBC 600 và tam giỏc ABC cõn tại A. Ta chứng minh MN là tia phõn giỏc của Dã NB .Thật vậy, Trong tam giỏc BDC cú Mã DI BãDC 1800 Dã BC Dã CB 180 800 600 400 (1) Trong tam giỏc BMC cú Mã BC 800 ;Mã CB 500 BãMC 500 BMC cõn tại B. Do đú BM = BC mà tam giỏc BIC đều nờn IB = BC suy ra MB = BI hay 1800 200 tam giỏc BMI cõn tại B mà Mã BI 200 BãIM 800 . Do đú 2 Mã ID 1800 Mã IB Dã IN 1800 800 600 400 (2) Từ (1) và (2) suy ra Mã DI Dã IM nờn MDI cõn tại M. Suy ra MD = MI. Ta lại cú NI = ND nờn MN là đường trung trực của DI suy ra Dã NB 600 MN là phõn giỏc của Dã NB hay DãNM 300 . 2 2 Vậy Mã NA Mã ND Dã NA 300 800 1100 Bài toỏn 45: Điểm M nằm bờn trong tam giỏc ABC vuụng cõn tại B sao cho KA: MB: MC = 1: 2: 3. Tớnh ãAMB Giải: Vẽ tam giỏc MBK vuụng cõn tại B ( K và A nằm cựng phớa đối với BM). Đặt MA = a; MB = 2a; MC = 3a. Khi đú ta cú AB = BC; Mã BC ãABK ; BM = BK nờn ABK CBM c.g.c suy ra CM = KA = 3a. Xột tam giỏc vuụng MBK vuụng tại B ta cú MK 2 MB2 MK 2 2a 2 2a 2 8a2 Xột tam giỏc AMB cú AM 2 MK 2 a2 8a2 9a2 3a 2 AK 2 ( vỡ AK = MC) nờn tam giỏc KMA vuụng tại M. Vậy ãAMB ãAMK KãMB 900 450 1350 Bài toỏn 46: Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thoả món điều kiện a2 b2 5c2 thỡ c là độ dài cạnh nhỏ nhất. Giải: Giả sử c a thỡ c c a c b 2c b 4c2 b2 và c a c2 a2 nờn ta cú 5c2 a2 b2 trỏi với giả thiết
17. Nguyễn Văn Bỡnh -THCS Phổ Chõu- Đức Phổ - Quảng Ngói 17 Giả sử c b thỡ c c b c a 2c a 4c2 a2 và c b c2 b2 nờn ta cú 5c2 a2 b2 trỏi với giả thiết. Vậy c là độ dài nhỏ nhất trong tam giỏc.