Bài tập Đại số Khối 11: Giới hạn dãy số

Nội dung text: Bài tập Đại số Khối 11: Giới hạn dãy số

1. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 1 1 1 1 1 1 a) a (1 )(1 ) (1 ) b) a GIỚI HẠN DÃY SỐ n 2 4 2n n n 1 n 2 2n Bài 1: Dùng định nghĩa, chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 (n 1) c) an d) an 2 n 1 1 1 2n2 2 1.2 2.3 (n 1)n 2n 3n a) lim b) lim n 2n 1 2 n 1 3n2 3 1 1 1 e) an 3 2 n 1 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) c) lim 0 d) lim 2 n n2 1 n n Bài 2: Tính các giới hạn sau: GIỚI HẠN HÀM SỐ 4n 1 2n2 2 n 8 a) lim b) lim Bài 1: Dùng định nghĩa, chứng minh rằng: n 2n 7 n n2 3 n 7 x 2 1 2n3 5n 1 n 3n 3 a) lim(2x 3) 6 b) lim c) lim d) lim x 1 x 1 2(x 1) 4 n 2n2 n 3 n n2 2n 2 c) lim x 4 3 d) lim sin x 0 (2n 1)(n 1)(3n 4) (3n 4)(n 2)(n 3) x 5 x 0 e) lim f) lim n (6n 1)3 n 2n(n2 n 4) 0 Bài 3: Tính các giới hạn sau:  DẠNG VÔ ĐỊNH : 0 a) lim( n2 2n 1 n2 7n 3) b) lim( n2 n n) n n Bài 2: Tính các giới hạn sau: c) lim( 3 n3 1 n) d) lim( 3 n n3 n) x 3 x2 x 6 x2 16 n n a) lim b) lim c) lim x 3 2 x 2 2 x 4 2 2 3 3 x 9 x 4 x x 20 4n 1 (2n 1) 2 n n 3 2 3 4 2 e) lim f) lim x x x 1 x 1 x 6x 27 n 2 n 2 d) lim e) lim f) lim n 4n 1 n n 1 n x 1 x2 3x 2 x 1 x3 x2 x 1 x 3 x3 3x2 x 3 g) lim( 3 n3 3n2 1 n2 4n) Bài 3: Tính các giới hạn sau: n x5 1 4x6 5x5 x Bài 4: Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim x 1 3 x 1 2 3 4n 3n 4n 5n 2n 1 3n 1 x 1 (1 x) a) lim b) lim c) lim 5 n n n n n n (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 (1 x) (1 5x) n 1 3.4 n 3 4 5 n 2 3 c) lim d) lim x 0 x x 0 x5 x2 2 2 2n 6n 4n 1 n 3n 1 d) lim n e) lim f) lim Bài 4: Tính các giới hạn sau: n 3n 6n 1 n 2n 1 n 4n 5 Bài 5: Xét sự hội tụ của các dãy số sau: 1
2. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 m sinx tgx sin(x 1) x 1 x a + a) lim b) lim (n Z ; a 0) a) lim b) lim c) lim 2 x 1 xn 1 x a xn an x 0 2x x 0 x x 1 x 1 2 n x x x x n (1 x)(1 2x) (1 nx) 1 sin2 c) lim d) lim sin5x 1 cosx x 0 x 1 x 0 x d) lim 2 e) lim f) lim x 0 x2 x 0 tg3x x 0 x.sin x Bài 5: Tính các giới hạn sau: 1 2x 1 4x x 7 3 Bài 9: Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 1 cosx tgx sin x cosx cos3x x 0 2x x 0 9 x 3 x 2 x 2 a) lim b) lim c) lim x 0 1 cos3x x 0 x3 x 0 sin2 x 2 3x 2 4x x 2 2x 7 x 4 3 4 1 cos x 1 cos x 1 3 cosx d) lim 2 e) lim 3 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 4x 3 d) lim e) lim f) lim 2 x 0 x.sin 2x x 0 x.sin3x x 0 sin x 2 2x 7 3 x 1 1 2 f) lim g) lim 1 sin x cosx 1 cosx cos2x x 1 x 0 2 g) lim h) lim 2 x 3 x 16 4 x 0 sin2 x x 0 x2 x 5 2x 1 x 1 x 4 3 h) lim k) lim Bài 10: Tính các giới hạn sau: x 4 x 4 x 0 x 1 1 1 1 1 a) lim( ) b) lim( ) Bài 6: Tính các giới hạn sau: x 0 sin x tgx x 0 sin x sin3x x 3 4x 2 2 3 19 x3 3 x 1 1 cosx 1 cos2x tg3x a) lim b) lim c) lim c) lim d) lim x 2 x 2 x 3 4x 3 3 x 1 3 4x 4 2 x 0 tg2x x 0 x.sin x 3 x 9 3 2x 6 1 x 3 1 x Bài 11: Tính các giới hạn sau: d) lim e) lim x 1 x3 1 x 0 x 2 sin x 1 sin x cosx 1 tgx a) lim b) lim c) lim 3 3 8x 11 x 7 3x 2 2x 1 x 2 cosx 1 x 4x x 1 cot gx 4 4 4 f)lim 2 g) lim 3 x 2 x 3x 2 x 1 x 1 cosx 1 d) lim e) lim( tgx) f) lim(1 cos2x)tgx Bài 7: Tính các giới hạn sau: x x cosx x 2 x 2 2 x x a a n x 1 a) lim b) lim (m, n Z+ ) 2 x a x a x 1 m x 1 2sin x 1 2sin x 1 tg3x 3tgx g) lim h) lim k) lim 3 4 5 2 (1 x)(1 x)(1 x)(1 x) x 2 cosx 3 x 4 cos x 3 x c) lim 6 6 3 cos(x ) x 1 (1 x)4 6  GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Bài 12: Tính các giới hạn sau: Bài 8: Tính các giới hạn sau: 2
3. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 cos(a x) cos(a x) 2x 1 2x2 3x 4 2x2 x 1 a) lim a) lim b) lim c) lim x 0 x x x 1 x 1 2x 4x2 x x 2 sin(a x) 2sin(a x) sin a 3 2 b) lim 2x 3 x x 1 (3x 1)(5x 3) x 0 2 d) lim e) lim f) lim x x x3 2x2 1 x x2 x 1 x (2x3 1)(x 4) sin(a x) sin(a x) tg(a x)tg(a x) tg2a c) lim d) lim Bài 16: Tính các giới hạn sau: x 0 tg(a x) tg(a x) x 0 x2 4x2 1 9x2 x 1 4x2 2x 1 a) lim b) lim x 3x 1 x x 1  GIỚI HẠN MỘT BÊN: x2 2x 3 4x 1 3x 2 x x4 5x Bài 13: Tính các giới hạn sau: c) lim d) lim x 2 x 2x2 4x 5 x 3 3x 1 1 cosx 1 cosx 4x 1 2 x a) lim b) lim c) lim Bài 17: x 1 x sin x Tính các giới hạn sau: x 1 x x 2 1 2 x x x3 3x 1 2 a) lim b) lim Bài 14: Tính giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của các hsố: x x 3 x x2 x x 3sin x x.sin x x 2 1 x nếu x 0 c) lim d) lim a) f(x) x khi x 0 x 2x2 1 x 1 x 3 x 1 nếu x 0 x 3 2  DẠNG VÔ ĐỊNH : nếu x 1 x 1 Bài 18: Tính các giới hạn sau: b) f(x) khi x 1 x2 3x 1 a) lim( x2 x x) b) lim(2x 1 4x2 4x 3) nếu x 1 x x 2 4(3x 5x 2) 2 2 3 3 c) lim( x x 1 x x 1) d) lim( x 1 x) 6(1 3 cosx) x x nếu x 0 3 3 2 3 3 2 3 3 sin2 x e) lim( x x x) f) lim( x 5x x 8x) c) f(x) khi x 0 x x x2 x nếu x 0 Bài 19: Tính các giới hạn sau: 2 2 1 1 3 x a) lim( ) b) lim( ) x 1 x2 1 x 1 x 1 1 x 1 x3 1 1  DẠNG VÔ ĐỊNH : c) lim( ) x 2 x2 3x 2 x2 5x 6 Bài 15: Tính các giới hạn sau: 3
4. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 2 3 1 1 sin x 2 2 7x 5x x d) lim( ) e) lim( tg x) 2 2 nếu x 2 x 0 tgx 2 x x cos x a) f(x) tại x 2 sin 2 x 3x 2 0 2 1 nếu x 2 Bài 20: Tính các giới hạn sau: 3 x x 2 3 nếu x 1 a) lim ( x x x x) x 1 x b) f(x) tại x0 1 4 nếu x 1 b) lim ( x x x x x x ) x 3 c) lim x( x2 2x 2 x2 x x) 1 2x 3 x nếu x 2 c) f(x) 2 x tại x0 2 d) lim ( 3 x3 3x2 x2 2x) 1 nếu x 2 x n e) lim [ (x a1)(x a2 ) (x an ) x] x 2 x nếu x 4 x 5 3 d) f(x) tại x0 4  DẠNG VÔ ĐỊNH : 3 nếu x 4 Bài 21: Tính các giới hạn sau: 2 3 3x 2 2 a) lim( x)tgx b) lim tg2x.tg( x) c) lim sin 5x.cotg3x nếu x 2 x 2 x 4 x 0 x 2 2 4 e) f(x) tại x0 2 3 2 nếu x 2 d) lim x.cot gx e) lim(1 x)tg x f) lim(x 4)sin 4 x 0 x 1 2 x x Bài 2: Xét tính liên tục tại x0 của hàm số trong các trhợp sau: 1 cosx nếu x 0 sin2 x a) f(x) tại x0 0 1 nếu x 0 4 cosx 1 sin2 x 2 nếu x 0 b) f(x) sin x tại x0 0 10 nếu x 0 HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục tại x0 của hàm số trong các trhợp sau: 4
5. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 1 cosx 1 cosx nếu x 0 nếu x 0 b) f(x) tại x0 0 sin x.sin 2x x 1 nếu x 0 c) f(x) tại x0 0 1 nếu x 0 1 3 cos2x 8 2 nếu x 0 sin x 1 3 cosx nếu x 0 2 2 c) sin x f(x) nếu x 0 tại x0 0 d) f(x) tại x0 0 3 1 nếu x 0 1 1 x 1 3 nếu x 0 6 x sin x nếu x 1 3 6(1 cosx) e) f(x) x 1 tại x0 1 nếu x 0 sin2 x nếu x 1 d) f(x) 1 nếu x 0 tại x0 0 1 cosx 2 2 nếu x 0 x x sin x nếu x 0 f) f(x) tại x0 0 1 x2 nếu x 0 4 x 2 2 2 nếu x 0 sin (x 4) x 4 2 nếu x 2 g) f(x) x 4x 4 tại x0 2 1 e) f(x) nếu x 0 tại x0 0 16 nếu x 2 2 2 1 x x sin nếu x 0 nếu x 0 h) f(x) x tại x0 0 tg2x 0 nếu x 0 cosx cos2x nếu x 0 x2 3 f) f(x) nếu x 0 tại x0 0 2 Bài 3: Xét tính liên tục tại x0 của hàm số trong các trhợp sau: 1 x 1 nếu x 0 x 5 1 x nếu x 5 a) f(x) 2x 1 3 tại x0 5 2 (x 5) 3 nếu x 5  TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC: 5
6. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 Bài 4: Định a để các hàm số sau liên tục tại x : x4 2x3 2x2 2x 1 0 b) Định f(1) để f(x) (x 1) liên tục tại 1 x2 1 x2 3 2 nếu x 0 a) f(x) x tại x0 0 x0 = 1. 3 2 a nếu x 0 x 1 2 c) Định f(3) để f(x) 2 (x 3) liên tục tại x0 = 3. 1 x 1 x x 4x 3 nếu x 0 2 x 1 x 1 b) f(x) tại x0 0 d) Định f(0) để f(x) (x 0) liên tục tại x0 =0. 4 x 3 1 x 1 a+ nếu x 0 x 2 cos2x 1 e) Định f(0) để f(x) (x 0) liên tục tại x0 =0. 3 3x 2 2 1 x2 1 nếu x 2 x 2 cosx cos2x c) f(x) tại x0 2 f) Định f(0) để f(x) (x 0) liên tục tại x0 = 0. 1 sin2 x ax nếu x 2 4 1 cosx g) Định f(0) để f(x) (x 0) liên tục tại x0 = 0. 1 cosx cos2x 1 cos3x nếu x 0 2 2 d) f(x) 2 tại x 0 sin (x 4) x 0 h) Định f(2) để f(x) (x 2) liên tục tại x = 2. 2 0 a nếu x 0 tg (x 2) 3 2sin x 3 1 cos4x 3x 2 2 i) Định f( ) để f(x) (x ) liên tục tại x = nếu x 0 0 xsin 2x 3 2 cosx 1 3 3 e) f(x) tại x0 0 x a nếu x 0  TÌM CÁC KHOẢNG TRÊN ĐÓ HÀM SỐ LIÊN TỤC: x 1 Bài 6: Tìm các khoảng và nửa khoảng trên đó hàm số đã cho sau 2 2 cosax nếu x 0 đây liên tục: f) f(x) x2 tại x 0 0 3 2 x nếu x 1 x x 1 nếu x 1 x a nếu x 0 a) f(x) b) f(x) x 1 nếu x 1 cosx nếu x 1 x 3 3 3x 5 nếu x 1 Bài 7: Chứng minh hàm số sau liên tục trên R: g) f(x) x 1 tại x0 1 x3 x 2 ax 1 nếu x 1 1 3 nếu x 1 x 1 xsin nếu x 0 Bài 5: Định f(x ) để các hàm số sau liên tục tại x : a) f(x) b) f(x) x 0 0 4 x3 3x2 2x nếu x 1 0 nếu x 0 a) Định f(-2) để f(x) (x 2) liên tục tại x0 = -2. 3 x2 5x 6 6
7. BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 x 1 1 sin 2x Bài 8: Định a để hàm số sau liên tục trên R: d) f(x) e) f(x) cos2 f) f(x) g) f(x) sin x x cosx sin x sin(x ) 3 Bài 13: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: nếu x f(x) 1 2 cosx 3 1 nếu x 0 tgx nếu x 0 sin x tg a nếu x a) f(x) b) f(x) x 6 3 x nếu x 0 nếu x 0 1 x Bài 9: Tìm A và B để hàm số sau liên tục trên R: 1 x 2x 2 2sin x nếu x x+1 nếu x 1 2 nếu x 1 2 c) f(x) x 3x 2 d) f(x) 1 nếu x 1 2 nếu x 1 2 f(x) Asin x B nếu x x 3x 2 2  CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM: Bài 14: Chứng minh rằng: cosx nếu x 2 a) x4 6x2 1 0 có 2 nghiệm ( 1; 3) . Bài 10: Định a để hàm số sau liên tục trên [ 3; ) : b) 2x3 6x 1 0 có 3 nghiệm ( 2;2) . x 3 3 3x 5 5 3 nếu x 1 c) x 5x 4x 1 0 có nghiệm phân biệt. f(x) x 1 d) a(x b)(x c) b(x c)(x a) c(x a)(x b) 0 luôn có ax 1 nếu x 1 nghiệm a,b,c R . Bài 15: Cho pt: ax2 bx c 0 (a 0) thỏa 2a + 3b + 6c = 0. Bài 11: Định a để hàm số sau liên tục trên [0;4] : CMR: Phương trình cho có ít nhất một nghiệm (0;1) . x 4 nếu x 4 f(x) 3( x 2) a nếu x 4  TÌM CÁC ĐIỂM GIÁN ĐOẠN: Bài 12: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: 3 2x 1 2x 1 a) f(x) b) f(x) c) f(x) x3 2x2 x2 2 x3 2x2 x 2 7