›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm y=f'(x), xét tính đơn điệu của hàm hợp

doc 61 trang hangtran11 10/03/2022 1840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm y=f'(x), xét tính đơn điệu của hàm hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_dai_so_lop_12_chuong_1_bai_1_tinh_don_dieu_cua_ham_s.doc

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm y=f'(x), xét tính đơn điệu của hàm hợp

  1. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CHỦ ĐỀ 5 BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM y f ' x , XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP VẤN ĐỀ 1 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f x Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có f x x 1 2 x 1 3 2 x . Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ; 1 .B. 1;2 . C. 1;1 . D. 2; . Hướng dẫn giải x 1 2 3 Ta có f x 0 x 1 x 1 2 x 0 x 1 . x 2 Lập bảng xét dấu của f x ta được: x 1 1 2 y ' - 0 - 0 + 0 - y Vậy hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1;2 . Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 1 x 1 5 x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. . f 1 f 4 f 2 B. . f 1 f 2 f 4 C. . f 2 f 1 f 4 D. . f 4 f 2 f 1 Hướng dẫn giải Chọn B Dựa vào sự so sánh ở các phương án, ta thấy chỉ cần xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng 1 ;4 . 2 Ta có: f x x 1 x 1 5 x 0,x 1;4 . Nên hàm số y f x đồng biến trên 1;4 mà 1 2 4 f 1 f 2 f 4 . Lưu ý: dùng tích phân để giải: Có thể dùng máy tính casio 2 Bấm: f x dx thấy dương f 2 f 1 ; 1 4 Bấm: f x dx thấy dương f 4 f 2 . 2 Vậy:.f 1 f 2 f 4 Trang 1
  2. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 3. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ thị hàm số f ' x là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1 . B. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1; 2 . C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;1 . D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có bảng biến thiên như sau: Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y f ' x Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' x nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì f x đồng biến trên K . Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' x nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì f x nghịch biến trên K . Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' x vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó. Trên khoảng 0; 2 ta thấy đồ thị hàm số y f ' x nằm bên dưới trục hoành. Câu 4. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có đạo hàm y f ' x . Biết rằng hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng ? Trang 2
  3. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 1 B. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; 1 C. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng (1;2) Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có bảng biến thiên sau: x 1 1 2 y ' - 0 + 0 - 0 + y Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 1 Cách 2: Quan sát đồ thị y f ' x Từ đồ thị của f ' x ta có: + f ' x 0 trên mỗi khoảng 1;1 và 2; suy ra y f x đồng biến trên mỗi khoảng 1;1 và 2; + f ' x 0 trên mỗi khoảng ; 1 và 1;2 suy ra y f x nghịch biến mỗi khoảng ; 1 và 1;2 . Câu 5. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 4;2 . B. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; 1 . C. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 0;2 . D. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 4 và 2; . Hướng dẫn giải Chọn B Trong khoảng ; 1 đồ thị hàm số f x nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến ; 1 . Trang 3
  4. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên ¡ và f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. y O 1 -1 3 x -4 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f x nghịch biến trên ; 1 . B. Hàm số y f x đồng biến trên 1; . C. Hàm số y f x đồng biến trên ¡ . D. Hàm số y f x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 và 3; . Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có bảng biến thiên sau: x 1 3 y ' + 0 - 0 + y Hàm số y f x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 và 3; . Cách 2: Quan sát đồ thị y f ' x Từ đồ thị của f ' x ta có: + f ' x 0 trên mỗi khoảng ; 1 và 3; suy ra y f x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 và 3; + f ' x 0 trên khoảng 1;3 suy ra y f x nghịch biến trên khoảng 1;3 . Câu 7. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? Trang 4
  5. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; 2 ; 0; . B. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 2;0 . C. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 3; . D. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 0 Hướng dẫn giải Chọn C Trên khoảng 3; ta thấy đồ thị hàm số f x nằm trên trục hoành. Câu 8. Cho hàm số f x có đạo hàm f x xác định, liên tục trên ¡ và f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. y x O 1 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên ;1 . B. Hàm số f x đồng biến trên ;1 và 1; . C. Hàm số f x đồng biến trên 1; . D. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . Hướng dẫn giải Chọn C Trên khoảng 1; đồ thị hàm số f ' x nằm phía trên trục hoành. Câu 9. Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Trang 5
  6. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . B. Hàm số f x nghịch biến trên ¡ . C. Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng 0;1 . D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0; . Hướng dẫn giải Chọn C Trong khoảng 0;1 đồ thị hàm số y f ' x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;1 . Câu 10. Cho hàm số f (x)= ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e (a ¹ 0). Biết rằng hàm số f (x) có đạo hàm là f '(x) và hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai? y 4 x -2 -1 O 1 A. Trên (- 2;1) thì hàm số f (x) luôn tăng. B. Hàm f (x) giảm trên đoạn [- 1;1]. C. Hàm f (x) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ). D. Hàm f (x) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2) Hướng dẫn giải Chọn C Trên khoảng [- 1;1]đồ thị hàm số f '(x) nằm phía trên trục hoành. Câu 11. Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên ¡ . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Trang 6
  7. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số f x đồng biến trên ¡ . B. Hàm số f x nghịch biến trên ¡ . C. Hàm số f x chỉ nghịch biến trên khoảng ;0 . D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; . Hướng dẫn giải Chọn D Trong khoảng 0; đồ thị hàm số y f ' x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0; . Câu 12. Cho hàm số y = f (x) liên tục và xác định trên ¡ . Biết f (x) có đạo hàm f '(x) và hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. Xét trên (- π;π), khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (- π;π). B. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (- π;π). æ - πö æπ ö C. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng ç- π; ÷ và ç ;π÷. èç 2 ø÷ èç2 ø÷ D. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0;π). Hướng dẫn giải Chọn D Trong khoảng (0;π) đồ thị hàm số y = f '(x)nằm phía trên trục hoành nên hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0;π). Câu 13. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên. Trang 7
  8. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số f (x) đồng biến trên (- 2;1). B. Hàm số f (x) đồng biến trên (1;+¥ ). C. Hàm số f (x) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 . D. Hàm số f (x) nghịch biến trên (- ¥ ;- 2). Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '(x) ta thấy: é- 2 0 khi ê ¾ ¾® f x đồng biến trên các khoảng - 2;1 , 1;+¥ . Suy ra A đúng, B đúng. ( ) ê ( ) ( ) ( ) ëx > 1 ● f '(x)< 0 khi x < - 2 ¾ ¾® f (x) nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 2). Suy ra D đúng. Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C Câu 14. Cho hàm số y f ' x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; . B. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1; . C. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 2 và 1;1 . D. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 2; 1 . Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Quan sát đồ thị y f ' x luôn dương trên khoảng ; do đó Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; . Câu 15. Cho hàm số f x ax4 bx3 cx2 dx m , (với a,b,c,d,m R ). Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Trang 8
  9. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Tập nghiệm của phương trình f x 48ax m có số phần tử là: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f x 4ax3 3bx2 2cx d 1 . Dựa vào đồ thị ta có f x a x 1 4x 5 x 3 4ax3 13ax2 2ax 15a 2 và a 0 . 13 Từ 1 và 2 suy ra b a , c a và d 15a . 3 Khi đó: f x 48ax m ax4 bx3 cx2 dx 48ax 4 13 3 2 a x x x 63x 0 3 4 3 2 x 0 3x 13x 3x 189x 0 . x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình f x 48ax m là S 0;3 . Câu 16. Cho hàm số f x x4 bx3 cx2 dx m , (với a,b,c,d,m R ). Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Biết rằng phương trình f x nx m có 4 nghiệm phân biệt. Tìm số các giá trị nguyên của n . A. 15 . B. 14 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f x 4x3 3bx2 2cx d 1 . Dựa vào đồ thị ta có f x x 1 4x 5 x 3 4x3 13x2 2x 15 13 Từ 1 và 2 suy ra b , c 1 và d 15. 3 Khi đó: f x nx m x4 bx3 cx2 dx nx Trang 9
  10. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 0 13 x4 x3 x2 15x nx 13 3 x3 x2 x 15 n (*) 3 Phương trình f x nx m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 13 Xét hàm số g(x) x3 x2 x 15 3 x 3 26 g ' (x) 3x2 x 1 0 1 3 x 9 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khác 0 biệt khi và chỉ khi n 1; 2; ; 14 Câu 17. Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d , a,b,c,d ¡ ,a 0 có đồ thị là C . Biết rằng đồ thị C đi qua gốc tọa độ và có đồ thị hàm số y f x cho bởi hình vẽ y 4 1 1 O 1 x Tính giá trị H f 4 f 2 . A. .H 58 B. . H 51C. . D.H . 45 H 64 Hướng dẫn giải Chọn A Do f x là hàm số bậc ba nên f x là hàm số bậc hai. Dựa vào đồ thị hàm số f x thì f x có dạng f x ax2 1 với a 0 . Đồ thị đi qua điểm A 1;4 nên a 3 vậy f x 3x2 1 . Trang 10
  11. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 4 4 Vậy H f 4 f 2 f x dx 3x2 1 dx 58 . 2 2 VẤN ĐỀ 2 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP g x f u x DẠNG 1 BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f u x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 18. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới Trang 11
  12. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số g(x)= f (3- 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (0;2). B. (1;3). C. (- ¥ ;- 1). D. (- 1;+ ¥ ). Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1. é- 2 0 Û ê . Ta có g¢ x = - 2 f ¢3- 2x . ( ) ê ( ) ( ) ëx > 5 é1 5 é- 2 0 Û ê Û ê . ( ) ( ) ê 2 2 ë3- 2x > 5 ê ëêx 0. Nhận thấy các nghiệm của g¢(x) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 19. Cho hàm số y f x . Hàm số y f '(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y g x f (2 x) đồng biến trên khoảng A. 1;3 B. 2; C. 2;1 D. ; 2 Trang 12
  13. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: g x 2 x . f 2 x f 2 x 2 x 1 x 3 Hàm số đồng biến khi g x 0 f 2 x 0 . 1 2 x 4 2 x 1 Câu 20. Cho hàm số y f ' x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f x 1 đồng biến trên khoảng A. ; 2 . B. 1; . C. 0; . D. ;0 . Hướng dẫn giải Chọn đáp án B y x 1 ' f ' x 1 f ' x 1 + Đồ thị f ' x 1 là phép tịnh tiến của đồ thị f ' x theo phương trục Ox qua bên phải 1 đơn vị. + đồ thị f ' x đồng biến trên khoảng 0; . đồ thị f ' x 1 đồng biến trên khoảng 1; . Câu 21. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới Hàm số g(x)= f (1- 2x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- 1;0). B. (- ¥ ;0). C. (0;1). D. (1;+ ¥ ). Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. éx < - 1 Dựa vào đồ thị, suy ra f ¢ x < 0 Û ê . Ta có g¢x = - 2 f ¢1- 2x . ( ) ê ( ) ( ) ë1< x < 2 Trang 13
  14. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 éx > 1 é1- 2x 0 Û f ¢1- 2x 0. 1 Nhận thấy các nghiệm x = - ;x = 0 và x = 1của g¢(x) là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu; nghiệm 2 3 x = - là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu. 2 Câu 22. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Hàm số y g x f 3 2x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. ; 1 . B. 1; . C. 0;2 . D. 1;3 . Hướng dẫn giải Trang 14
  15. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Chọn A 2 x 2 Từ đồ thị C : y f ' x ; f ' x 0 1 x 5 Mà g' x 2.f ' 3 2x 2 1 5 2 3 2x 2 x 1 , 2 ; g' x 0 f ' 3 2x 0 2 2 . 3 2x 5 x 1 1 5 Vậy hàm số g x nghịch biến trên các khoảng ; và ; 1 . 2 2 Câu 23. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f x2 có bao nhiêu khoảng nghịch biến. A. 5. B. 3. C. 4 . D. 2 . Hướng dẫn giải 2 2 Chọn B Ta có y f x 2x. f x x 0 x 0 2 1 x 2 f x 0 2 2 theo dt f '(x) x 11 x 4 Hàm số nghịch biến y 0  x 2 x 0 x 0 1 x 0 2 2 2 f x 0 1 x 1 x 4 Vậy hàm số y f x2 có 3 khoảng nghịch biến. éx = 0 ê éx = 0 éx = 0 êx 2 = - 1 ê ¢ = 0 Û ê ¬ ¾theo¾ do t¾hi f ¾'(x)® ê Û ê = ± 1. Cách 2. Ta có g (x) ê 2 ê 2 x f ¢(x )= 0 êx = 1 ê ëê êx = ± 2 ê 2 ë ëêx = 4 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của g¢(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+¥ ) x Î (2;+¥ )® x > 0. (1) x Î (2;+¥ )® x2 > 4. Với x 2 > 4 ¾ t¾heo ¾do th¾i f '(¾x)® f ¢(x 2 )> 0. (2) Từ (1) và (2), suy ra g¢(x)= 2xf (x 2 )> 0 trên khoảng (2;+¥ ) nên g¢(x) mang dấu + . Nhận thấy các nghiệm của g¢(x) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Trang 15
  16. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 24. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên. Hỏi hàm số g(x)= f (x 2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥ ;- 1). B. (- 1;+ ¥ ). C. (- 1;0). D. (0;1). Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1. Ta có g¢(x)= 2xf ¢(x 2 ). é ïì x > 0 éì > 0 êï êï x êí 2 í ï f ¢(x )> 0 êï 2 2 êîï theo do thi f '(x) êîï - 1 1 éx > 1 Hàm số g(x) đồng biến Û g¢(x)> 0 Û ê ¬ ¾ ¾ ¾ ¾® ê Û ê . êïì x 0. (1) x Î (1;+¥ )® x2 > 1. Với x 2 > 1 ¾ t¾heo ¾do th¾i f '(¾x)® f ¢(x 2 )> 0. (2) Từ (1) và (2), suy ra g¢(x)= 2xf (x 2 )> 0 trên khoảng (1;+¥ ) nên g¢(x) mang dấu + . Nhận thấy các nghiệm của g¢(x) là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 25. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f x2 đồng biến trong khoảng y y = f '(x ) O - 1 1 4 x Trang 16
  17. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 1 1 A. ; . B. 0; 2 . C. ;0 . D. 2; 1 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt g x f u ,u x2 0 thì g x 2x. f u nên x 0 x 0 g x 0 f u 0 u 1;u 4 x 1; x 2 Lập bảng xét dấu của hàm số g x Lưu ý: cách xét dấu g x B1: Xét dấu f u : 1 u 4 1 x 2 4 ta có f u 0 1 x 2 2 u 1 x 1 loai x 2 2 x 2 x 2; 1  1;2 và ngược lại tức là những khoảng còn lại f u 0 . x 1 x 1 x 1 B2 : xét dấu x (trong trái ngoài cùng). B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của f u và x ta được như bảng trên Câu 26. Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f 3 x2 đồng biến trên khoảng A. 0;1 . B. 1;0 . C. 2;3 . D. 2; 1 . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: x 0 Ta có: f 3 x2 0 f 3 x2 . 2x 0 . 2 f 3 x 0 2 3 x 6 x 3 Từ đồ thị hàm số suy ra 2 2 . f 3 x 0 3 x 1 x 2 2 x 1 3 x 2 Bảng biến thiên Trang 17
  18. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Lập bảng xét dấu của hàm số y f 3 x2 ta được hàm số đồng biến trên 1;0 . Cách 2: ' 2 2 Ta có: y ' f 3 x 2x . f ' 3 x x 0 2 f ' 3 x 0 Hàm số y f 3 x2 đồng biến khi và chỉ khi 2x . f ' 3 x2 0 x 0 2 f ' 3 x 0 x 0 x 0 2 2 3 x 6 x 9 2 2 1 3 x 2 1 x 4 x  1 x 0. x 0 x 0 1 x 0 6 3 x2 1 4 x2 9 2 2 3 x 2 x 1 Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm f x như hình vẽ dưới đây. Hàm số g x f x2 x đồng biến trên khoảng nào? 1 1 A. ;1 . B. 1;2 . C. 1; . D. ; 1 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C g x f x2 x g x 2x 1 f x2 x . Trang 18
  19. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 x 1 2 x 2 x 0 2x 1 0 g x 0 x2 x 0 x 1 . f x2 x 0 2 x 1 x x 2 x 2 2 2 x 2 Từ đồ thị f x ta có f x x 0 x x 2 , x 1 Xét dấu g x : 1 Từ bảng xét dấu ta có hàm số g x đồng biến trên khoảng 1; . 2 Câu 28. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f 1 x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3; . B. 3; 1 . C. 1; 3 . D. 0;1 . Hướng dẫn giải Chọn C x 0 x 0 2 2 2 Ta có y f 1 x 2x. f 1 x y 0 1 x 2 x 1 . 2 1 x 4 x 3 Mặt khác ta có 3 x 1 f 1 x2 0 2 1 x2 4 . 1 x 3 Ta có bảng xét dấu: Trang 19
  20. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy hàm số y f 1 x2 nghịch biến trên khoảng 1; 3 . Câu 29. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số y f x2 5 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? 1 3 A. ; 3 . B. 5; 2 . C. ; . D. 2; . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Xét hàm số y f x2 5 Ta có y 2x. f x2 5 x 0 x 0 x 0 (nghiem boi 3) 2 2 x 5 5 x 0 y 0 x 3 . x2 5 2 x2 3 2 2 x 2 2 x 5 3 x 8 Ta lại có: khi x 3 f x 0 suy ra: x2 5 3 x 2 2 f x2 5 0 2x. f x2 5 0 Từ đó ta có bảng biến thiên: Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên các khoảng 2 2; 3 ; 0; 3 ; 2 2; . Trang 20
  21. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 3 Mà ;  0; 3 . 2 2 Câu 30. Cho hàm số y f x ax4 bx3 cx2 dx e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y f x . y 1 O 1 2 x 2 4 Xét hàm số g x f x2 2 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ; 2 . B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2; . C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;0 . D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . Hướng dẫn giải Chọn C x 0 x 0 x 0 2 Ta có: g '(x) 2x. f ' x2 2 ; g ' x 0 x 2 1 x 1 f ' x2 2 0 2 x 2 2 x 2 Từ đồ thị của y f (x) suy ra f (x2 2) 0 x2 2 2 x ; 2  2; và ngược lại. Câu 31. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên. Trang 21
  22. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hỏi hàm số g(x)= f (1- x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (1;2). B. (0;+¥ ). C. (- 2;- 1). D. (- 1;1). Hướng dẫn giải Chọn B éïì - 2x > 0 êï êí 2 êï f ¢(1- x ) 0 ëêîï ( ) ì ï - 2x > 0 ïì x 0 + Trường hợp 2: íï Û íï Û x > 0. Chọn B ï f ¢1- x 2 > 0 ï 2 2 îï ( ) îï 1- x 2 éx = 0 éx = 0 ê Cách 2. Ta có g¢(x)= 0 Û ê ¬ ¾theo¾ do t¾hi f ¾'(x)® ê1- x 2 = 1 Û x = 0. Bảng biến thiên êf ¢1- x 2 = 0 ê ëê ( ) ê 2 ëê1- x = 2 Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu của g¢(x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 1Î (0;+ ¥ ). + x = 1¾¾® - 2x 0. (2) Từ (1) và (2), suy ra g¢(1)< 0 trên khoảng (0;+ ¥ ). Nhận thấy nghiệm của g¢(x)= 0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 32. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới Hỏi hàm số g(x)= f (x 2 - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải éx = 0 éx = 0 ê ê éx = 0 êx 2 - 5 = - 4 êx = ± 1 ¢ ¢ 2 ¢ ê theo do thi f '(x) ê ê Chọn C Ta có g (x)= 2xf (x - 5); g (x)= 0 Û 2 ¬ ¾ ¾ ¾ ¾® ê Û . êf ¢ x - 5 = 0 2 êx = ± 2 ëê ( ) êx - 5 = - 1 ê ê 2 ê ëêx - 5 = 2 ëêx = ± 7 Bảng biến thiên Trang 22
  23. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C Câu 33. Cho hàmsố y f (x) có đạo hàm trên ¡ . Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số y f '(x) . Xét hàm số g(x) f (3 x2 ) . y -1 O 3 x Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số g (x) đồng biến trên ( ;1) . B. Hàm số g (x) đồng biến trên (0;3) . C. Hàm số g (x) nghịch biến trên ( 1; ) . D. Hàm số g (x) nghịch biến trên ( ; 2) và (0;2) . Hướng dẫn giải 3 x2 1 x 2 Chọn D Ta có g' x 2xf ' 3 x2 ; f ' 3 x2 0 2 3 x 3 (nghiemkep) x 0 (nghiemkep) Ta có bảng xét dấu: x ∞ 2 0 2 + ∞ x + + 0 2 f(3-x ) 0 + + 0 g'(x) 0 + 0 0 + Hàm số g (x) nghịch biến trên ( ; 2) và (0;2) . 2 Câu 34. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f '(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f (x x ) nghịch biến trên khoảng? 1 3 3 1 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải éïì 1- 2x 0 2 îï Chọn D Ta có g '(x)= (1- 2x) f ¢(x - x ). ; Hàm số g(x) nghịch biến Û g¢(x) 0 êï êí ï f ¢ x - x 2 1 Trường hợp 1: íï Û íï 2 Û x > . ï ¢ 2 ï ï f (x - x )> 0 ï 2 2 2 îï îï x - x 2 ì ïì 1 ï 1- 2x > 0 ï x . Chọn D 2 Trang 23
  24. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 é 1 êx = ê 2 é1- 2x = 0 ê 1 Cách 2. Ta có g¢(x)= 0 Û ê ¬ ¾theo¾ do t¾hi f ¾'(x)® Û êx - x 2 = 1: vo nghiem Û x = . Bảng biến thiên êf ¢ x - x 2 = 0 ê 2 ëê ( ) ê 2 êx - x = 2 : vo nghiem ëê 2 2 æ 1ö 1 1 theo do thi f '(x) 2 Cách 3. Vì x - x = - çx - ÷ + £ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® f ¢(x - x )> 0. èç 2ø÷ 4 4 Suy ra dấu của g '(x) phụ thuộc vào dấu của 1- 2x. 1 Yêu cầu bài toán cần g '(x) . 2 Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Hàm số g x f x x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 1 A. ; 1 . B. 1; . C. ; . D. 1;0 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B x 0 Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có: f ' x 0 0 x 4 và f ' x 0 x 4 Xét hàm số g x f x x2 có g ' x 1 2x f ' x x2 1 2x 0 2 f ' x x 0 Để hàm số g x nghịch biến thì g ' x 0 1 2x f ' x x2 0 1 2x 0 2 f ' x x 0 1 1 x x 2 2 2 x x 0 x 1, x 0 x x2 4 x  x 0 1 1 1 x x 1 x 2 2 2 2 x x 0 x ¡ 2 x x 4 1 x 0 Trang 24
  25. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 Suy ra hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1; và 0; . 2 Vậy B là đáp án đúng. Câu 36. Cho hàm số bậc ba y f x , hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g x f x x2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 1 A. 1;0 . B. ;0 . C. 2; 1 .D. 1;2 . 2 Câu 37. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) trên ¡ và đồ thị của hàm số f (x) như hình vẽ. y 1 O 1 2 x 2 4 Hàm số g x f (x2 2x 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;1 . B. 1; . C. 0;2 .D. 1;0 . Hướng dẫn giải Chọn D x 1 x 0 2 Ta có: g ' x (2x 2) f '(x2 2x 1) . Nhận xét: g ' x 0 x 2x 1 1 x 1 2 x 2x 1 2 x 2; x 3 Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 . Câu 38. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f (x) có đồ thị như hình bên. Trang 25
  26. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số y f (1 2x x2 ) đồng biến trên khoảng dưới đây? A. ;1 . B. 1; . C. 0;1 .D. 1;2 . Hướng dẫn giải Chọn D x 1 x 1 2 2 Ta có: y ' 2 2x f (1 2x x ) . Nhận xét: y' 0 1 2x x 1 x 0 2 1 2x x 2 x 2 Bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) . Câu 39. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) trên R và đồ thị của hàm số f (x) như hình vẽ. Hàm số g x f (x2 2x 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;1 . B. 1; . C. 0;2 . D. 1;0 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: g ' x (2x 2). f '(x2 2x 1) . x 1 x 0 g ' x 0 x2 2x 1 1 Lại có x 1 2 x 2x 1 2 x 2; x 3 Trang 26
  27. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên 1;0 . Câu 40. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới Hàm số g(x)= f (x 3 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥ ;- 1). B. (- 1;1). C. (1;+ ¥ ). D. (0;1). Hướng dẫn giải Chọn C é 2 êx = 0 éx 2 = 0 ê 3 é 2 3 theo do thi f '(x) êx = 0 x = 0 Ta có g¢(x)= 3x f ¢(x ); g¢(x)= 0 Û ê ¬ ¾ ¾ ¾ ¾® Û ê . ê 3 ê 3 ê êf ¢(x )= 0 êx = - 1 ëx = ± 1 ë ê ê 3 ëx = 1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C Câu 41. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Biết hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y f x2 1 . A. ; 3 , 0; 3 . B. ; 3 , 3; . C. 3;0 , 3; . D. ; 3 , 0; . Trang 27
  28. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hướng dẫn giải ChọnC x Xét hàm số y f x2 1 y f x2 1 . x2 1 x 0 2 x 1 1 x 0 x 0 x 0 x 0 2 2 2 y 0 2 x 1 0 x 1 1 x 1 1 x 3 f x 1 0 2 2 2 x 1 4 x 1 1 x 1 2 x 3 2 x 1 2 Bảng biến thiên Vậy hàm số y f x2 1 đồng biến trên các khoảng 3;0 , 3; . Câu 42. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới Hàm số g(x)= f ( x 2 + 2x + 2) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥ ;- 1- 2 2). B. (- ¥ ;1). C. (1;2 2 - 1). D. (2 2 - 1;+ ¥ ). Hướng dẫn giải Chọn A Trang 28
  29. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 éx = - 1 ê ¢ = Û ê = Dựa vào đồ thị, suy ra f (x) 0 êx 1 . ê ëx = 3 x + 1 Ta có g¢(x)= f ¢( x 2 + 2x + 2); x 2 + 2x + 2 éx + 1 = 0 éx = - 1 (nghiem boi ba) éx + 1 = 0 ê ê ê theo do thi f '(x) ê ê g¢(x)= 0 Û ê ¬ ¾ ¾ ¾ ¾® ê x 2 + 2x + 2 = 1 Û êx = - 1- 2 2 . êf ¢( x 2 + 2x + 2)= 0 ê ê ë ê 2 ê = - 1+ 2 2 ë x + 2x + 2 = 3 ëêx Lập bảng biến thiên và ta chọn A Chú ý: Cách xét dấu g¢(x) như sau: Ví dụ xét trên khoảng (- 1;- 1+ 2 2) ta chọn x = 0. Khi đó 1 g¢(0)= f ¢( 2) 0," x Î ¡ . (2) 2 2 (x + 1) + 2+ (x + 1) + 1 2+ 1 Từ (1) và (2), suy ra dấu của g¢(x) phụ thuộc vào dấu của nhị thức x + 1 (ngược dấu) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A Trang 29
  30. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 44. Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới Hàm số g(x)= f (3- x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥ ;- 1). B. (- 1;2). C. (2;3). D. (4;7). Hướng dẫn giải Chọn B é- 1 0 Û ê và f ¢ x 4 ë1 3 khi đó g x = f x - 3 ¾ ¾® g¢ x = f ¢ x - 3 > 0 Û ê Û ê x ( ) ( ) ( ) ( ) ê ê ëx - 3 > 4 ëx > 7 ¾ ¾® hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (3;4), (7;+ ¥ ). Với x 0 Û f ¢(3- x) 4 (loaïi) Û ê Û ê ¾ ¾® hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (- 1;2). ê ê ë1 < 3- x < 4 ë- 1 < x < 2 Câu 45. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có f 2 0 . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số y f 1 x2 nghịch biến trên ; 2 . B. Hàm số y f 1 x2 đồng biến trên ; 2 . C. Hàm số y f 1 x2 nghịch biến trên 1;0 . D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x Trang 30
  31. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có f 2 0;1 x2 1 f 1 x2 0.x ¡ t 1 x2 f ' t 0 t 2;1 x 3; 3 0 f ' t t ; 2 x ; 3  3; 4xf t f ' t g x f 1 x2 g ' x f 2 1 x2 f 2 t Câu 46. Cho hàm số y f x , hàm số f x x3 ax2 bx c a,b,c ¡ có đồ thị như hình vẽ Hàm số g x f f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 3 A. 1; . B. ; 2 . C. 1;0 . D. . ; 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Vì các điểm 1;0 , 0;0 , 1;0 thuộc đồ thị hàm số y f x nên ta có hệ: 1 a b c 0 a 0 3 2 c 0 b 1 f x x x f '' x 3x 1 1 a b c 0 c 0 Ta có: g x f f x g x f f x . f '' x x3 x 0 3 3 2 x x 1 Xét g x 0 g x f f ' x . f x 0 f x x 3x 1 0 x3 x 1 2 3x 1 0 Trang 31
  32. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 1 x 0 x 1,325 x 1,325 3 x 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên g x nghịch biến trên ; 2 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f u x CHỨA THAM SỐ m Câu 47. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Biết đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Biết S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thoả mãn m 2019;2019 sao cho hàm số g x f x m đồng biến trên khoảng 2;0 . Số phần tử của tập S là A. 2017 . B. 2019 . C. 2015 . D. 2021. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g ' x f ' x m . x m 1 x m 1 Suy ra g ' x 0 . x m 2 x m 2 Do đó từ đồ thị hàm số y f ' x suy ra g ' x 0 f ' x m 0 x m 2 x m 2 . Hàm số g x f x m đồng biến trên khoảng 2;0 khi và chỉ khi g ' x 0,x 2;0 m 2 2 m 4 . Mà tham số m 2019;2019 và là gía trị nguyên thoả mãn m 4 nên m 2018; 2017; ; 5; 4. Vậy tập S có 2015 phần tử. Câu 48. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như bên. Trang 32
  33. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x2 x m nghịch biến trên (0;1) là A. .0 B. . 1 C. . 2 D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có y (2x 1) f x2 x m . Hàm số y f x2 x m nghịch biến trên (0;1) khi và chỉ khi y 0,x (0;1) . Vì 2x 1 0,x (0,1) nên điều này tương đương với x2 x m 1,x (0;1) x2 x 1 m,x (0;1) f x2 x m 0,x (0;1) 2 2 x x m 1,x (0;1). x x 1 m,x (0;1). Ta có hàm số g(x) x2 x luôn đồng biến trên [0;1] ; do đó, ràng buộc trên tương đương với 1 m g(0) 0 m 1. 1 m g(1) 2 Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. DẠNG 2 BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f u x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 49. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau Hỏi hàm số y g x f x2 2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. . ;0 B. . 2;1 C. . D. . ; 2 2; Hướng dẫn giải Chọn C Tập xác định D ¡ . 2 2 2 2 Ta có y g x f x 2x x 2x . f x 2x 2x 2 . f x 2x . 2 Ta có x2 2x x 1 1 1 với x ¡ dựa vào bảng xét dấu trên ta có f x2 2x 0 với x ¡ dấu " " chỉ xảy ra tại x 1 . Trang 33
  34. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Từ đó y 0 2x 2 . f x2 2x 0 2x 2 0 x 1 nên hàm số đồng biến trên ; 1 . Mặt khác ; 2  ; 1 nên phương án C thỏa mãn bài toán. Câu 50. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Biết hàm số y f x có bảng xét dấu như sau Hàm số g x f 2cos x 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. . 0; B. . ; C. . D. . ; ; 6 4 3 3 2 2 Lời giải Chọn C Nhận thấy các tập hợp trong các đáp án đều là tập con của tập 0; nên ở bài này ta xét trên khoảng 0; . Hàm số g x đồng biến g x 0 và g x 0 tại hữu hạn điểm 2sin x. f 2cos x 1 0 f 2cos x 1 0 ( do sin x 0,x 0; ) 1 1 2cos x 1 2 0 cos x x . 2 3 2 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f u x CHỨA THAM SỐ m Câu 51. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x m đồng biến trên khoảng 0 ;2 . A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A Từ giả thiết suy ra hàm số y f x đồng biến trên các khoảng 1;1 , 1;3 và liên tục tại x 1 nên đồng biến trên 1;3 . Ta có g x f x m và x 0;2 x m m;m 2 . m 1 g x đồng biến trên khoảng 0 ;2 m;2 m  1;3 1 m 1 . 2 m 3 Vì m ¢ nên m có 3 giá trị là m 1;m 0;m 1 . Câu 52. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x m đồng biến trên khoảng 0 ;2 . A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A Trang 34
  35. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Từ giả thiết suy ra hàm số y f x đồng biến trên các khoảng 1;1 , 1;3 và liên tục tại x 1 nên đồng biến trên 1;3 . Ta có g x f x m và x 0;2 x m m;m 2 . m 1 g x đồng biến trên khoảng 0 ;2 m;2 m  1;3 1 m 1 . 2 m 3 Vì m ¢ nên m có 3 giá trị là m 1;m 0;m 1 . Câu 53. Cho hàm số y f x là một hàm đa thức và có bảng xét dấu của f x như hình bên dưới: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f ( x 2 m) (1) nghịch biến trên khoảng 11;25 . A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x 2 m , với x 11;25 thì t 3 m;5 m , hàm số trở thành: y f (t) (2) Dễ thấy x và t cùng chiều biến thiên nên hàm (1) nghịch biến trên 11;25 thì hàm (2) nghịch biến trên 3 m;5 m . Dựa vào bảng xét dấu của hàm f x suy ra hàm f (t) nghịch biến trên khoảng 1;3 . Do đó hàm f (t) nghịch m 3 1 m 2 biến trên 3 m;5 m khi và chỉ khi m 2 m 5 3 m 2 Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 54. Cho hàm số y f x cáo đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu như sau x -∞ -2 1 2 4 +∞ y' + 0 + 0 - 0 - 0 + Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 0;2020 để hàm số g x f x 2 x m nghịch biến trên khoảng 1;0 ? A. .2 017 B. . 2018 C. . 2016 D. . 2015 Hướng dẫn giải Chọn C g' x 2x 1 . f ' x 2 x m Hàm số g x nghịch biến trên 1;0 g' x 0,x 1;0 * Vì 2x 1 0,x 1;0 nên * f ' x 2 x m 0,x 1;0 x 2 x m 1,x 1;0 2 x x m 4,x 1;0 Trang 35
  36. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m x 2 x 1,x 1;0 2 m x x 4,x 1;0 x 2 x 1 m,x 1;0 2 x x 4 m,x 1;0 1 m m 1 4 m m 4 Vậy m 4;5;6; ;2019 . Chọn đáp số C. DẠNG 3 BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f u x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m 2 Câu 55. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 x 9 x 4 . Khi đó hàm số g(x)= f (x 2 ) đồng biến trên khoảng nào? A. 2; 2 B. 3; C. ; 3 D. ; 3  0;3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 Ta có f x x2 x 9 x 4 f x2 2xx4 x2 9 x2 4 . éx = 0 2 ê ¢ = Û 5 2 - 2 - = Û ê = ± g (x) 0 2x (x 9)(x 4) 0 êx 3. . Do x 0; x 2 không đổi dấu ê ëx = ± 2 Vậy hàm số y f x2 đồng biến trên khoảng . 3; Câu 56. Cho hàm số y f (x) có f (x) x 2 x 5 x 1 . Hàm số y f x2 đồng biến trong khoảng nào dưới đây ? A. 0;1 . B. 1;0 . C. 2; 1 . D. 2;0 . x 0 2 x 0 x 2 x 0 Ta có y f x2 2x. f x2 0 2 2 f x 0 x 5 x 2 2 x 1 Trang 36
  37. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Chọn x 1 0; 2 ta có y 1 2.1. f 12 2. f 1 0 . Do đó cả khoảng 0; 2 âm. Từ đó ta có trục xét dấu y f x2 Vậy hàm số y f x2 đồng biến trên 1;0 . 2 Câu 57. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x)= x (x - 1)(x - 4).t(x) với mọi x Î ¡ và t(x)> 0 với mọi x Î ¡ . Hàm số g(x)= f (x 2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥ ;- 2). B. (- 2;- 1). C. (- 1;1). D. (1;2). Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g¢(x)= 2xf ¢(x2 ). Theo giả thiết f ¢(x)= x 2 (x - 1)(x - 4).t (x)¾ ¾® f ¢(x 2 )= x 4 (x 2 - 1)(x 2 - 4).t (x 2 ). Từ đó suy ra g¢(x)= 2x 5 (x 2 - 1)(x 2 - 4).t (x 2 ). Mà t (x)> 0, " x Î ¡ ¾ ¾® t (x 2 )> 0, " x Î ¡ nên dấu của g '(x) cùng dấu 2x 5 (x 2 - 1)(x 2 - 4). Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B Câu 58. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 1 x 2 x 2 . Hỏi hàm số g x f x x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 1;1 . B. 0;2 . C. ; 1 . D. 2; . Hướng dẫn giải Chọn C x 1 x 2 1 0 f x 0 x 2 1 x 2 x 2 0 x 1 . 2 x x 2 0 x 2 Bảng xét dấu f x Ta có g x 1 2x f x x 2 . 1 1 x x 2 2 1 2x 0 2 1 5 g x 0 1 2x f x x 2 0 x x 1 x f x x2 0 . 2 2 x x 1 2 1 5 x x 2 x 2 Bảng xét dấu g x Trang 37
  38. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Từ bảng xét dấu suy ra hàm số g x f x x 2 đồng biến trên khoảng ; 1 . 2 2 Câu 59. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ¢(x)= (x - 1) (x - 2x) với mọi x Î ¡ . Hỏi số thực nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số g(x)= f (x 2 - 2x + 2) ? 3 A. - 2. B. - 1. C. . D. 3. 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g¢(x)= 2(x - 1) f ¢(x 2 - 2x + 2) é 2 2 ù 5 4 = 2(x- 1)ê(x2 - 2x + 2- 1) (x2 - 2x + 2) - 2(x2 - 2x + 2) ú= 2(x- 1) é(x- 1) - 1ù. ë ( )û ëê ûú 5 4 é0 0 Û ê . ( ) ê( ) ú ê ë û ëx > 2 Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (0;1), (2;+¥ ). Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm sốg (x). 2 æ 5x ö Câu 60. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x)= x (x - 1) (x - 2) với mọi x Î ¡ . Hàm số g(x)= f ç ÷ èçx 2 + 4ø÷ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (- ¥ ;- 2). B. (- 2;1). C. (0;2). D. (2;4). Hướng dẫn giải Chọn D éx = 0 ê ¢ = Û - 2 - = Û ê = Ta có f (x) 0 x (x 1) (x 2) 0 êx 1 . ê ëx = 2 é 2 ê20- 5x = 0 ê 5x é = ± ê = 0 x 2 ê 2 ê 2 x + 4 ê 20- 5x æ 5x ö ê x = 0 ¢ ¢ç ÷ ¢ ê ê Xét g (x)= 2 f ç 2 ÷; g (x)= 0 Û 5x Û ê . 2 èç + 4÷ø ê x = 1 (nghiem boi chan) x + 4 x 2 = 1 ê ( ) êx + 4 ê ê êx = 4 (nghiem boi chan) ê 5x ë ê = 2 ëêx 2 + 4 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D Chú ý: Dấu của g¢(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (4;+¥ ) ta chọn x = 5 2 20- 5x (1) x = 5 ® 2 0 trên khoảng (4;+¥ ). Trang 38
  39. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f u x CHỨA THAM SỐ m 2 Câu 61. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x2 mx 9 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g x f 3 x đồng biến trên khoảng 3; ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 Từ giả thiết suy ra f 3 x 3 x 2 x 3 x m 3 x 9 . Ta có g x f 3 x . Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 3; khi và chỉ khi g x 0, x 3; f 3 x 0, x 3; 3 x 2 x 2 3 x 2 m 3 x 9 0, x 3; x 3 2 9 m , x 3; x 3 x 3 2 9 m min h x với h x . 3; x 3 2 x 3 9 9 9 Ta có h x x 3 2 x 3 . 6. x 3 x 3 x 3 Vậy suy ra m 6 m ¢ m 1;2;3;4;5;6. Câu 62. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 x 1 x2 mx 5 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x f x2 đồng biến trên 1; ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn B Từ giả thiết suy ra f x2 x4 x2 1 x4 mx2 5 . Ta có g x 2xf x2 . Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 1; khi và chỉ khi g x 0, x 1; 2xf x2 0, x 1 2x.x4 x2 1 x4 mx2 5 0, x 1 x4 mx2 5 0, x 1 x4 5 m , x 1 x2 x4 5 m max h x với h x . 1; x2 x4 5 Khảo sát hàm h x trên 1; ta được max h x 2 5. x2 1; Suy ra m 2 5 m ¢ m 4; 3; 2; 1. Trang 39
  40. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Câu 63. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 3x4 mx3 1 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x f x2 đồng biến trên khoảng 0; ? A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B 2 Từ giả thiết suy ra f x2 x2 x2 1 3x8 mx6 1 . Ta có g x 2xf x2 .Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi g x 0, x 0; 2xf x2 0, x 0; 2 2x.x2 x2 1 3x8 mx6 1 0, x 0; 3x8 mx6 1 0, x 0; 3x8 1 m , x 0; x6 3x8 1 m max h x với h x . 0; x6 3x8 1 Khảo sát hàm h x trên 0; ta được max h x 4. x6 0; Suy ra m 4 m ¢ m 4; 3; 2; 1. Câu 64. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 x 2 x2 mx 5 với x ¡ . Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số g x f x2 x 2 đồng biến trên khoảng 1; là A. 7 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g x 2x 1 f x2 x 2 . Hàm số g x f x2 x 2 đồng biến trên khoảng 1; g x 0,x 1; 2x 1 f x2 x 2 0,x 1; f x2 x 2 0,x 1; ( vì 2x 1 0,x 1; ) 2 2 x2 x 2 x2 x x2 x 2 m x2 x 2 5 0,x 1; 2 2 x2 x 2 m x2 x 2 5 0,x 1; (*)( vì x2 x 2 x2 x 0, 1; ). Đặt t x2 x 2 . Khi đó x 1 t 0 . 5 (*) trở thành t 2 mt 5 0,t 0 m t ,t 0 . t 5 5 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có t 2 5 t 2 5 . t t 5 t Dấu " " xảy ra t t 5 . t 0 5 max t 2 5 m 2 5 . 0; t Trang 40
  41. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Mà m nguyên âm nên m 4; 3; 2; 1. Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn bài toán. 2 Câu 65. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x2 2x với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m 20 để hàm số g x f x2 8x m đồng biến trên 4; . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: g x 2x 8 f x2 8x m Hàm số g x đồng biến trên 4; g x 0,x 4; f x2 8x m 0,x 4; (vì 2x 8 0,x 4; ). 2 2 2 x 2 Ta có f x 0 x 1 x 2x 0 x 1 x x 2 0 . x 0 x2 8x m 2,x 4; (1) Do đó f x2 8x m 0,x 4; . 2 x 8x m 0,x 4; (2) Xét h x x2 8x m Ta có h x 2x 8 . Lập bảng biến thiên của h x x2 8x m , ta được Dựa vào bảng biến thiên: + (2) vô nghiệm vì x2 8x m m 16,x 4; . + 1 m 16 2 m 18 . Theo giả thiết thì m 20 và m là số nguyên nên m 18;19;20. Chọn B Câu 66. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ là f x x 1 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;20 để hàm số y f x2 3x m đồng biến trên khoảng 0;2 ? A. 18 B. 17 . C. 16 . D. 20 . Hướng dẫn giải Chọn A Xét dấu f x ta được Ta có: y 2x 3 f x2 3x m . Vì 2x 3 0,x 0;2 . Do đó, để hàm số y f x2 3x m đồng biến trên khoảng 0;2 thì f x2 3x m 0,x 0;2 (*). Trang 41
  42. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đặt t x2 3x m . Vì x 0;2 t m;10 m . (*) trở thành: f t 0,t m;10 m . 13 m 20 10 m 3 m 13 Dựa vào bảng xét dấu của f x ta có: 10 m 1 1 m m 1 m Z m 10; 9; ; 1;3;4; ;20}. 2 Câu 67. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 x 2028 x 2023 . Khi đó hàm số y g(x) f x2 2019 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 2;2 . B. 0;3 . C. 3;0 . D. 2; . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 2 Ta có y g(x) f x 2019 y g (x) x 2019 f x 2019 2x. f x 2019 . 2 Mặt khác f x x2 x 2028 x 2023 . Nên suy ra: 2 2 y g (x) 2x. f x2 2019 2x. x2 2019 x2 2019 2038 x2 2019 2023 . 2 2 2 2x. x2 2019 x2 9 x2 4 2x. x2 2019 x 3 x 3 x 2 2 x 2 2 x 0 (nghiem don) x 3 (nghiem don) 2 y 2x. x2 2019 x 3 x 3 x 2 2 x 2 2 0 x 3 (nghiem don) x 2 (nghiem boi 2) x 2 (nghiem boi 2) Ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y g(x) f x2 2019 đồng biến trên khoảng 3;0 và 3; . Câu 68. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 x 2 x2 mx 5 với x R . Số giá trị nguyên âm của m để hàm số g x f x2 x 2 đồng biến trên 1; là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g x 2x 1 f x2 x 2 . Hàm số đồng biến trên 1; khi 2x 1 f x2 x 2 0 , x 1; 2 2 f x2 x 2 0 , x 1; x2 x 2 x2 x x2 x 2 m x2 x 2 5 0 , x 1; 1 . Đặt t x2 x 2 với t 0 , do x 1; . Trang 42
  43. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 2 2 5 1 t t 2 t mt 5 0 , t 0 t mt 5 0 , t 0 m t , t 0 t m 2 5 4,47 . Do m nguyên âm nên m 4; 3; 2; 1. Câu 69. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ là f x x 1 x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;20 để hàm số y f x2 3x m đồng biến trên khoảng 0;2 . A. 18 . B. 17 . C. 16 . D. 20 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y f x2 3x m 2x 3 f x2 3x m . Theo đề bài ta có: f x x 1 x 3 x 3 suy ra f x 0 và f x 0 3 x 1. x 1 Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 khi y 0,x 0;2 2x 3 f x2 3x m 0,x 0;2 . Do x 0;2 nên 2x 3 0,x 0;2 . Do đó, ta có: x2 3x m 3 m x2 3x 3 y 0,x 0;2 f x2 3x m 0 2 2 x 3x m 1 m x 3x 1 m max x2 3x 3 0;2 m 13 . m min x2 3x 1 m 1 0;2 Do m  10;20 , m ¢ nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài. 2 Câu 70. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ¢(x)= (x - 1) (x 2 - 2x) với mọi x Î ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m 0 Û ê . ( ) ( ) ( ) ê ëx > 2 Xét g¢(x)= (2x - 8). f ¢(x 2 - 8x + m). Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (4;+ ¥ ) khi và chỉ khi g¢(x)³ 0, " x > 4 Û (2x - 8). f ¢(x 2 - 8x + m)³ 0, " x > 4 Û f ¢(x 2 - 8x + m)³ 0, " x > 4 éx 2 - 8x + m £ 0, " x Î (4;+ ¥ ) Û ê Û m ³ 18. ê 2 ëêx - 8x + m ³ 2, " x Î (4;+ ¥ ) Vậy 18 £ m < 100. . Câu 71. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x 1 x 4 ; x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên 2 x m 2021 để hàm số g x f m đồng biến trên 2; . 1 x A. 2022 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021 Hướng dẫn giải Trang 43
  44. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Chọn C 3 2 x Ta có: . g x 2 f m x 1 1 x Hàm số g x đồng biến trên 2; g x 0; x 2; 3 2 x 2 x 2 f m 0; x 2; f m 0; x 2; x 1 1 x 1 x x 1 Ta có: f x 0 x 1 x 1 x 4 0 1 x 4 2 x m 1; x 2; 1 2 x 1 x Do đó: f m 0; x 2; 1 x 2 x 1 m 4; x 2; 2 1 x 2 x Hàm số h x m ; x 2; có bảng biến thiên: 1 x Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện 2 không có nghiệm m thỏa mãn. Điều kiện 1 m 1 m 1, kết hợp điều kiện m 2021 suy ra có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. VẤN ĐỀ 3 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP g x f x h x DẠNG 1 BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f x h x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 72. Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f ' x như hình bên. Trang 44
  45. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đặt g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. g 1 g 1 g 2 . B. g 2 g 1 g 1 . C. g 2 g 1 g 1 . D. g 1 g 1 g 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: g ' x f ' x 1; g ' x 0 f ' x 1. Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số x 2 y f ' x tại 3 điểm là và x 2. Vậy x 1; x 1 g ' x 0 x 1 x 1 Dựa vào BBT ta thấy: g 2 g 1 g 1 . Câu 73. Cho hàm số y f ' x có đạo hàm trên  1; và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y f x 4x 2021 nghịch biến trên khoảng A. ; 1 . B. 3; . C. 1; . D. 1;3 . Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Câu 74. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới Trang 45
  46. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đặt g(x)= f (x)- x, khẳng định nào sau đây là đúng? A. g(2) g(1)> g(2). D. g(1)< g(- 1)< g(2). Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g¢(x)= f ¢(x)- 1¾¾® g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= 1. Số nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ¢(x) và đường thẳng d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới). éx = - 1 ê ¢ = Û ê = Dựa vào đồ thị, suy ra g (x) 0 êx 1 . ê ëx = 2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ¾¾® g(2)< g(- 1)< g(1). Chọn C Chú ý: Dấu của g¢(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+ ¥ ), ta thấy đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y = 1 nên g¢(x)= f ¢(x)- 1 mang dấu + . Câu 75. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới. Trang 46
  47. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số g x 2 f x x2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ; 2 . B. 2;2 . C. 2;4 . D. 2; . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g x 2 f x 2x g x 0 f x x. Số nghiệm của phương trình g x 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng d : y x (như hình vẽ bên dưới). x 2 Dựa vào đồ thị, suy ra g x 0 x 2 . x 4 Lập bảng biến thiên hàm số g x đồng biến trên 2;2 và 4; . So sánh 4 đáp án Chọn B Câu 76. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên. Hỏi hàm số 2 g(x)= 2 f (x)+ (x + 1) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? Trang 47
  48. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. (- 3;1). B. (1;3). C. (- ¥ ;3). D. (3;+ ¥ ). Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g¢(x)= 2 f ¢(x)+ 2(x + 1)¾¾® g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= - x - 1. Số nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ¢(x) và đường thẳng d : y = - x - 1 (như hình vẽ bên dưới). éx = - 3 ê ¢ = Û ê = Dựa vào đồ thị, suy ra g (x) 0 êx 1 . ê ëx = 3 éx 0 Û ê (vì phần đồ thị của f ' x nằm phía trên đường thẳng = - - 1 ). Đối ( ) ê ( ) y x ë1< x < 3 chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B Câu 77. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ dưới đây. Hàm 2 số y g x 2 f x x 1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1;3 . B. Đồ thị hàm số y g x có 2 điểm cực trị. Trang 48
  49. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 C. Hàm số y g x đạt cực tiểu tại x 1 . D. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 3; . Câu 78. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới. x3 Hàm số g x f x x2 x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 3 A. 1;0 . B. 0;2 . C. 1; 2 . D. 0;1 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 Ta có g x f x x2 2x 1, g x 0 f x x 1 . Suy ra số nghiệm của phương trình g x 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm số f x và parabol 2 P : y x 1 . x 0 Dựa vào đồ thị ta suy ra g x 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta Chọn D Lưu ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm f x nằm phía trên 2 đường y x 1 nên g x mang dấu . Nhận thấy các nghiệm x 0, x 1, x 2 là các nghiệm đơn nên qua g x đổi dấu. Câu 79. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Trang 49
  50. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 y 3 2 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 Hỏi hàm số g x 2 f x x 1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 3; . B. 1;3 . C. 3;1 . D. ;3 . Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định của g x là ¡ . Ta có g x 2 f x x 1 . Hàm số đồng biến khi và chỉ khi f x x 1, (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). Vẽ chung đồ thị y f x và y x 1 trên cùng một hệ trục như sau: y 3 2 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 x 3 Từ đồ thị ta có f x x 1 . Chọn B 1 x 3 Câu 80. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên  1;5 có đồ thị của hàm y f x được cho như hình bên dưới. Hàm số g x 2 f x x2 4x 4 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? Trang 50
  51. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 1;0 . B. 0;2 . C. 2;3 . D. 2; 1 . Hướng dẫn giải Chọn C Xét hàm số g x 2 f x x2 4x 4 trên  1;5 ta có: x x1 0; 2 g x 2 f x 2x 4 ; g x 0 f x x 2 x 3 . x x2 4; 5 Bảng xét dấu g x : Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 2;3 . Câu 81. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ dưới đây. Xét hàm số 1 3 3 g x f x x3 x2 x 2021. Hàm số y g x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 3 4 2 Trang 51
  52. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. ; 2 B. 3; 1 . C. 1;1 . D. 1; . Hướng dẫn giải ChọnC 2 3 3 2 3 3 Ta có: g ' x f ' x x x f ' x x x 2 2 2 2 3 3 g ' x 0 f ' x x2 x 2 2 3 3 Ta vẽ đồ thị hàm số y x2 x 2 2 x 3 Dựa nào đồ thị g ' x 0 x 1 x 1 Bảng biến thiên Câu 82. Cho hàm số y f x . Đồ thị y f x như hình bên dưới. Trang 52
  53. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hỏi hàm số g x f x 1 f 2 x x2 6x 3 đồng biến trên khoảng nào cho dưới đây A. ;0 B. 0;3 C. 1;2 D. 3; Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g x f x 1 f 2 x 6 2x 0x K ta chỉ cần chọn x sao cho x 1 1 f x 1 0 x 1 2 f 2 x 0 2 2 x 1 1 x 3đối chiếu đáp án ta tìm được đáp án C x 3 6 2x 0 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f x h x CHỨA THAM SỐ m Câu 83. Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ bên. Các giá trị của m để hàm số y f x m 1 x đồng biến trên khoảng 0;3 là Trang 53
  54. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. m 4 . B. m 4 . C. m 4 . D. 0 m 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y f x m 1 x y f x m 1. Hàm số y f x m 1 x đồng biến trên khoảng 0;3 y 0, x 0;3 f x m 1 0,x 0;3 m 1 f x ,x 0;3 m 1 min f x m 1 3 m 4 . x 0;3 Câu 84. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. 1 Xét hàm số g x f x x2 m2 3 x m . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng ? 2 A. Với mọi giá trị của tham số m thì g x nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 2; , đồng biến trên ; 2 và 0;2 . B. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để g x nghịch biến trên các khoảng 2;0 và 2; , đồng biến trên ; 2 và 0;2 . C. Với mọi giá trị của tham số m thì g x đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; , nghịch biến trên ; 2 và 0;2 . D. Chỉ có đúng 1 giá trị của tham số m để g x đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; , nghịch biến trên ; 2 và 0;2 . Hướng dẫn giải Chọn C Trang 54
  55. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Với mọi giá trị của tham số m ta luôn có: g x f x x 3 . x 2 g x 0 f x x 3 x 0 . x 2 Bảng biến thiên: g x đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; , nghịch biến trên ; 2 và 0;2 . Câu 85. Cho hàm số y f x có đồ thị y f x như hình vẽ: 3 Xét hàm số g x 2 f x 2x 4x 3m 6 5 m ¡ . Để g x 0 với x 5; 5 thì điều kiện của m là 2 2 A. .m f 5 B. . m f 5 3 3 2 2 C. .m f 0 2 5 D. . m f 5 4 5 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g x 2 f x 6x2 4 ; g x 0 f x 3x2 2 0 f x 3x2 2 0 Trang 55
  56. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Để g x 0 với x 5; 5 thì max g(x) 0 với x 5; 5 2 2 Dựa vào đồ thị hàm số y f x và y 3x 2 ta thấy f x 3x 2 0 x 5; 5 g x 0 x 5; 5 nên hàm số g x luôn đồng biến trên 5; 5 . 2 Suy ra Max g x g 5 2 f 5 3m 2 f 5 3m 0 m f 5 . 3 DẠNG 2 BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f x h x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 86. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x 2 0 1 f x 0 + 0 0 + 1 1 Đặt y = g(x)= f (x)+ x3 - x2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 3 2 A. Hàm số y = g(x)đồng biến trên khoảng ;1 . B. Hàm số y = g(x)đồng biến trên khoảng 1;2 . C. Hàm số y = g(x)đồng biến trên khoảng 0;1 . D. Hàm số y = g(x)nghịch biến trên khoảng 2;1 . Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định của hàm số y = g(x) là ¡ Trang 56
  57. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có: 1 1 y = g(x)= f (x)+ x3 - x2 Þ y¢= g¢(x)= f ¢(x)+ x2 - x 3 2 éx = - 2 ê éx = 0 f ¢ x = 0 Û êx = 0 ; x2 - x = 0 Û ê ( ) ê ê ê ëx = 1 ëx = 1 Bảng xét dấu của y¢= g¢(x) như sau: x 2 0 1 f x 0 + 0 0 + x2 - x + + 0 0 + y¢= g¢(x) Chưa + 0 0 + xác định dấu Từ bảng xét dấu của y¢= g¢(x) suy ra: Hàm số y = g(x)nghịch biến trên khoảng 0;1 . Hàm số y = g(x)đồng biến trên các khoảng 2;0 và 1; mà 1;2  1; nên đáp án B đúng. Câu 87. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và bảng biến thiên của y = f ' (x) như sau: x x – ∞ -1 1 + ∞ + ∞ f’(x) 3 3 – -3 ∞ Hàm số g(x)= f (x)- 3x đồng biến trên khoảng nào? A. (2;2019) B. (- 2019;- 2) C. (1;2) D. (- 1;1) Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định của hàm số là ¡ ' Ta có: g '(x)= f (x)- 3 Hàm số y = g(x) đồng biến Û g '(x)³ 0 Û f ' (x)- 3³ 0 Û f ' (x)³ 3 Û x ³ 2. Trang 57
  58. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f x h x CHỨA THAM SỐ m DẠNG 3 BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y f ' x LOẠI 1 HÀM HỢP g x f x h x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 88. Cho hàm số y = f (x) có f '(x) = (x- 3)(x- 4)(x- 2)2 (x- 1), " x Î ¡ . Hàm số x4 5x3 y = g(x) = f (x) + - + 4x2 - 4x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 4 3 æ 3ö A. (- ¥ ;1) B. (1;2). C. (3;5). D. ç0; ÷. èç 2ø÷ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g '(x) = f '(x) + x3 - 5x2 + 8x- 4 = f '(x) + (x- 1)(x- 2)2 = (x- 1)(x- 2)2 (x2 - 7x + 13). éx = 1 Khi đó g '(x) = 0 Û ê . ëêx = 2 Bảng xét dấu của hàm số g '(x) như sau Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên (- ¥ ;1). 2 1 Câu 89. Cho hàm số y f x có f ' x x2 x 1 x 3 . Hàm số g x f x x3 5 đồng biến trên 3 khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 3 5 3 5 3 5 A. 0; 2 . B. 2; . C. ; 2 . D. 0; . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: g x f x x2 , x 0 2 x 0 x 0 g x 0 x2 x 1 x 3 x2 x 2 2 3 2 x 1 x 3 1 x 5x 7x 2 0 3 5 x 2 Ta có bảng xét dấu của g ' x : Trang 58
  59. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 5 Dựa vào bảng xét dấu g ' x ta thấy trên khoảng ; 2 thì hàm số y g x đồng biến. 2 2 Câu 90. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f '(x) x 1 x 2 , " x Î ¡ . Hàm số y g(x) f (x) 2x2 4x đồng biến trên khoảng nào? A. 4;0 B. . ;0 C. . 4;1 D. . 0; Hướng dẫn giải ChọnA 2 g '(x) f '(x) 4x 4 x 1 x 2 4 x 1 x 1 x2 4x , " x Î ¡ x 1 x 1 0 g '(x) 0 x 0 2 x 4x 0 x 4 Bảng xét dấu Kết luận: Hàm số y g(x) đồng biến trên khoảng 4;0 2 Câu 91. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và f x x (x 1)(4 x) . Hàm số y g(x) f (x) f 1 x đồng biến trên khoảng 1 1 3 A. 2; . B. 0;1 . C. ; . D. 1;2 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có g '(x) f '(x) f '(1 x) x2 (x 1)(4 x) (1 x)2 ( x)(x 3) g '(x) x x 1 x(4 x) (x 1)(x 3) x(x 1)(6x 3) x 0 1 g '(x) 0 x . 2 x 1 Ta có bảng biến thiên : Trang 59
  60. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 LOẠI 2 HÀM HỢP g x f x h x CHỨA THAM SỐ m Câu 92. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) = 3x2 + 6x + 1, " x Î R . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (- 50;50) của tham số m để hàm số g(x) = f (x)- (m + 1)x - 2 nghịch biến trên khoảng (0;2)? A. 26. B. 25. C. 51. D. 50. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g(x) = f (x)- (m + 1)x - 2 Þ g'(x) = f '(x)- (m + 1) Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 khi g ' x 0,x 0;2 ( dấu '' ''chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng 0; 2 ). f ' x m 1 0,x 0;2 3x2 6x m,x 0;2 * Xét hàm số h x 3x2 6x, x 0;2 . Ta có h' x 6x 6 0,x 0;2 . Bảng biến thiên: x 0 2 h' x 24 h x 0 Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để * xảy ra là: m 24 . Do m Z , thuộc khoảng (- 50;50) nên m 24;50 và m Z hay m 24,25, ,49. Vậy có 26 số nguyên m thỏa mãn. 2 Câu 93. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đạo hàm f x x x 1 x2 mx 16 . Có bao nhiêu 1 2 1 giá trị nguyên của tham số m  2021;2021 để hàm số g x f x x4 x3 x2 2021 đồng biến 4 3 2 trên khoảng 5; ? A. 2022 . B. 2021. C. 2030 . D. 4038 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g ' x f ' x x3 2x2 x x x 1 2 x2 mx 16 x x 1 2 2 x x 1 x2 mx 17 . Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 5; thì g ' x 0x 5; x x 1 2 x2 mx 17 0x 5 x2 mx 17 0x 5 Trang 60
  61. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x2 17 m x 5 . x x2 17 17 Xét hàm số h x x trên khoảng 5; x x 17 h' x 1 0 x 17 . x2 42 Từ bảng biến thiên suy ra m . 5 Vậy có 2030 giá trị của m thỏa mãn bài ra. Trang 61