Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm y=f'(u(x)), xét tính đơn điệu của hàm y=f(x)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Chủ đề 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm y=f'(u(x)), xét tính đơn điệu của hàm y=f(x)

1. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CHỦ ĐỀ 6 BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM y f u x , XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM y f x VẤN ĐỀ 1 BIẾT ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP y f u x DẠNG 1 HÀM y f x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f 3x 5 như hình vẽ. Hàm số y f x nghịch trên khoảng nào? 7 4 A. ;8 . B. ; . C. ; . D. ;10 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt x 3t 5 . Khi đó g t f 3t 5 g t 3 f 3t 5 . Ta có g t 0 f 3t 5 0 t 1. x 5 Khi đó f x 0 1 x 8. 3 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1;8 . Câu 2. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số f 3x 2 nghịch biến trên khoảng ; . Khi đó giá trị lớn nhất của  là: A. 9 . B. 3 . C. 6 . D. 1. Trang 1
2. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y f 3x 2 y 3. f 3x 2 . Hàm số y f 3x 2 nghịch biến y 0 3. f 3x 2 0 f 3x 2 0 . 1 3x 2 4 1 x 2 . Vậy khoảng ; lớn nhất là 1;2 . Câu 3. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f 2 x như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 2;4 . B. 1;3 . C. 2;0 . D. 0;1 . Hướng dẫn giải Chọn C Đặt x 2 t ta có y f 2 t y f 2 t . y 0 f 2 t 0 2 t 4 hay Khi đó f x 0 2 2 x 4 2 x 0 . Vậy hàm số đồng biến trong khoảng 2;0 . Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên ¡ . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. y 2 -2 2 x O 1 3 -1 Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào? 3 5 A. ; 2 . B. 1;1 . C. ; . D. 2; . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị C ta có: f x 2 2 2,x 1;3 f x 2 0,x 1;3 . Đặt x* x 2 thì f x* 0,x* 1;1 . Trang 2
3. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy: Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1 . Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số f x sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự đồng biến của hàm số f x . Cách 2: Tịnh tiến đồ thị Từ đồ thị hàm số f '(x - 2)+ 2 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f '(x- 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới). y -2 2 x O 1 3 -3 Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f '(x- 2) sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f '(x) (tham khảo hình vẽ bên dưới). y x -1 1 O 3 -3 Từ đồ thị hàm số f '(x), ta thấy f '(x)< 0 khi x Î (- 1;1). Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên ¡ . Biết rằng hàm số y f x 2 2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng nào? A. 3; 1 , 1;3 . B. 1;1 , 3;5 . C. ; 2 , 0;2 . D. 5; 3 , 1;1 . Hướng dẫn giải Chọn B Dựa vào đồ thị C ta có: f x 2 2 2,x 3; 1  1;3 f x 2 0,x 3; 1  1;3 . Đặt x* x 2 suy ra: f x* 0,x* 1;1  3;5 .Vậy: hàm số f x đồng biến trên khoảng 1;1 , 3;5 . Trang 3
4. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 2 HÀM y f x CHỨA THAM SỐ m VẤN ĐỀ 2 BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM HỢP y f u x DẠNG 1 HÀM y f x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 6. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f x thỏa mãn f x 1 x x 2 g x 2018 với g x 0,x R .Khi đó hàm số y f 1 x 2018x 2019 nghịch biến trên khoảng nào? A. 1; . B. 0;3 . C. ( ;3) . D. 4; . Hướng dẫn giải Chọn D Xét hàm số y h(x) f (1 x) 2018x 2019 Ta có h'(x) f '(1 x) 2018 x(3 x)g(1 x) x 0 Vì g(x) 0,x R nên h'(x) 0 x 3 Bảng biến thiên Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 4; . 7 2 Câu 7. Cho hàm số y f (x) có f 2x 3x 12x 9 . Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng 2 nào sau đây. 1 9 9 5 3 5 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 4 4 4 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta cần giải bất phương trình f (x) 0 . 7 2 7 Từ f 2x 3x 12x 9 f 2x 0 1 x 3. 2 2 7 7 2t 7 2t 5 3 Đặt t 2x x . Khi đó ta có f t 0 1 3 t . 2 4 4 2 2 5 3 Vậy hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng ; . 2 2 Trang 4
5. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 Câu 8. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f 2x như hình vẽ bên. 2 Hàm số y f x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 1 7 5 1 3 1 A. . ; B. . C.; . D. . ; ; 2 2 4 4 4 2 Lời giải Chọn A Ta cần giải bất phương trình y f x 0 . 3 3 1 x 1 Dựa vào đồ thị y f 2x . Ta có f 2x 0 * 2 2 x 3 3 1 Đặt t 2x x 2x 3 . 2 4 2t 3 1 7 1 1 t 4 2 2 Khi đó * f t 0 . 2t 3 15 3 t 4 2 1 7 15 Do đó hàm số y f x đồng biến trên các khoảng ; và ; . 2 2 2 Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên ¡ . Biết rằng hàm số y f 3x 1 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. . ; 6 B. . 1;5 C. . 2D.;6 . ; 7 Lời giải Chọn D x 2 Dựa vào đồ thị hàm số y f 3x 1 ta có: f 3x 1 0 1 x 2 t 1 Đặt t 3x 1 x 3 Trang 5
6. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 t 1 2 3 t 1 6 t 7 Suy ra: f t 0 t 1 3 t 1 6 2 t 5 1 2 3 Do đó: Hàm số f x đồng biến trên các khoảng ; 7 và 2;5 7 Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f ' 2x 2 như hình bên 2 Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 1 9 9 5 3 5 A. . ; B. . ; C. . D. . ; ; 4 4 4 2 2 2 Lời giải Chọn C 7 7 7 Quan sát đồ thị hàm số y f ' 2x 2 ta có f 2x 0 f 2x 2 2 1 x 3(*) 2 2 2 (đồ thị hàm số nằm dưới đường thẳng y 2 khi và chỉ khi x 1;3 ) 7 7 2t 7 2t 5 3 Đặt t 2x x khi đó (*) f (t) 0 1 3 t 2 4 4 2 2 5 3 điều đó chứng tỏ hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 2 2 Câu 11. Cho đồ thị hàm số y f x3 1 như hình vẽ. Hàm số f x nghịch biến trong khoảng nào trong các khoảng sau? A. . 2;2 B. . 2;5 C. . 5D.;1 0. 10; Lời giải Chọn B 3 2 x 0 Từ đồ thị suy ra f x 1 0 . 1 x 2 Đặt t x3 1 x 3 t 1 . Trang 6
7. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 3 t 1 0 8 t 1 0 7 t 1 Suy ra f t 0 . 3 1 t 1 2 1 t 1 8 2 t 9 Vậy hàm số f x nghịch biến trong các khoảng 7;1 và 2;9 . Câu 12. Cho hàm số y f x 2 có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ Hàm số y f x nghịch biến tên khoảng nào sau đây A. 0;2 B. . 2;5 C. . 2;0 D. . 4; 2 Lời giải Chọn C Ta có f x 2 x 2 . f x 2 f x 2 Đặt t x 2 khi đó y f x 2 f t và y f x 2 f ' t x 4 Dựa vào bảng biến thiên của hàm y f x 2 ta có f x 2 0 x 2 t 2 Suy ra f t 0 t 0 Vậy ta có bảng biến thiên của hàm y f x như sau Suy ra hàm số y f x nghịch biến trên 2;0 DẠNG 2 HÀM y f x CHỨA THAM SỐ m Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , hàm số y f x 2 có đồ thị như hình dưới. Có 2 9 bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm sốg x f x 8x m nghịch biến trên khoảng 4; . 2 A. 1 B. .2 C. 3 D. . 4 Trang 7
8. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Lời giải Chọn A Ta có: đồ thị hàm số y f x 2 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y f x sang phải hai đơn vị. Khi đó hàm số y f x có bảng biến thiên: x 3 2 1 f x + 0 0 + 0 Mặt khác: g x f x2 8x m g x (2x 8) f x2 8x m 9 g x (2x 8) f x2 8x m 0x (4; ) 2 2 9 x 8x 3 m;x (4; ) 2 2 m 13 3 x 8x m 2 m 13. 9 m 13,75 x2 8x 2 m;x (4; ) 2 2 9 Do đó có 1 giá nguyên của m để g x f x 8x m nghịch biến trên khoảng 4; . 2 Câu 14. Cho hàm số y f x 2 có đạo hàm liên tục trên ¡ . Biết y f ' x 2 có bảng biến thiên như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn  2019;2019 để hàm số 1 2 3 y f x x4 x3 x2 2m 1 x m đồng biến trên 1;3 12 3 2 A. .2 021 B. . 2020 C. . 2019 D. . 2018 Lời giải Chọn A 1 2 3 1 y f x x4 x3 x2 2m 1 x m y ' f ' x x3 2x2 3x 2m 1 12 3 2 3 1 Để hàm số đồng biến trên 1;3 y ' f ' x x3 2x2 3x 2m 1 0,x 1;3 1 3 Trang 8
9. Chương 1 – Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số - Có lời giải chi tiết - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 3 2 Đặt x t 2 t 1;1 1 trở thành f ' t 2 t 2 2 t 2 3 t 2 2m 1 0,t 1;1 3 1 1 g t f ' t 2 t3 t 2m,t 1;1 g ' t f " t 2 t 2 1 3 3 Vẽ hai đồ thị y f " t và y t 2 1 trên cùng hệ trục Từ đồ thị ta thấy g ' t 0.t 1;1 g t là hàm số đồng biến t 1;1 3 2m g t ,t 1;1 2m min g t g 1 f ' 1 1 3 m  1;1 2 2 2 Câu 15. Cho hàm số g x f 5 x có đạo hàm g ' x 5 x 2 x x m 10 x 5m 41 với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số f x đồng biến trên khoảng ; 1 . A. .7 B. . 8 C. . 9 D. . 10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g ' x f ' 5 x f ' 5 x g ' x . Suy ra 2 2 f ' 5 x g ' x x 5 2 x x m 10 x 5m 41 2 f ' 5 x x 5 5 x 3 5 x 2 m 5 x 16 Hàm số f x đồng biến trên khoảng ; 1 khi và chỉ khi f ' x 0, x ; 1 (Dấu “ ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm ) x x 3 2 x2 mx 16 0, x ; 1 x2 mx 16 0, x ; 1 (vì x 0 và x 3 2 0,x ; 1 ) x2 16 m , x ; 1 m min h x x ; 1 x2 16 16 16 Với h x x 2. x . 8 , dấu “=” xảy ra khi x 4. x x x min h x 8 m 8 , kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta suy ra m 1;2;3;4;5;6;7;8 . 6; Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn. Trang 9