Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 3: Cực trị của hàm số liên quan đến hàm hợp g(x)=f(u(x)) khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm y=f(x)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 3: Cực trị của hàm số liên quan đến hàm hợp g(x)=f(u(x)) khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm y=f(x)

1. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CHỦ ĐỀ 3 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP g x f u x KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ HÀM y f x VẤN ĐỀ 1 CỰC TRỊ HÀM HỢP f u x KHÔNG CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG 1 BIẾT ĐỒ THỊ HÀM y f x Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số g x f x2 3x có bao nhiêu điểm cực đại ? A. 3. B. 4.C. 5. D. 6. Câu 2. Cho hàm số f (x)= ax 3 + bx 2 + cx + d (với a, b, c, d Î ¡ và a ¹ 0 ) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g(x)= f (- 2x 2 + 4x) là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 3. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số g x f x2 2x có bao nhiêu điểm cực trị? A. .2B. . 3C. . D.4 . 5 Trang 1
2. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 4. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x2 là A. 5 .B. .C. .D. . 3 7 11 Câu 5. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x4 2x2 5 là A. B.5. C. D. 3. 9. 11. Câu 6. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y O 1 4 x Số điểm cực trị của hàm số g x f x4 4x2 5 là A. 5 .B. .C. .D. . 3 7 11 Câu 7. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Trang 2
3. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số điểm cực trị của hàm số g x f 2x3 12x2 2 là A. 5 .B. .C. .D. . 3 7 11 Câu 8. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x2 4 là A. B.6. 9C D.7. 12. Câu 9. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x2 2 là A. 5. B. 3. C. 7. D. 11. Câu 10. Cho hàm số bậc bốn y f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) f (x3 x2 ) có bao nhiêu điểm cực trị? Trang 3
4. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. .5 B. . 11 C. . 4 D. . 6 Câu 11. Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số g(x)= f (- x3 + 3x) là A. .9 B. . 3 C. . 7 D. . 5 Câu 12. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x2 4 là A. 5. B. 3. C. 7. D. 11. Câu 13. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g x f x3 3x2 4 là A. .5 B. . 3 C. . 7 D. . 11 Câu 14. Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị như hình dưới. Số điểm cực trị của hàm số g x f x4 8x2 1 là Trang 4
5. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 5. B. 3. C. 9. D. 11 Câu 15. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. y -2 O 2 a 6 x y = f(x) Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y = f (x) là - 2;0;2;a;6 với 4 < a < 6. Số điểm cực trị của hàm số y = f (x 6 - 3x2) là A. 8 .B. 11. C. 9. D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn đáp án C. Câu 16. Cho hàm số y f x có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 . Hỏi hàm số y f x2 2x có bao nhiêu điểm cực trị. A. .3 B. . 4 C. . 5 D. . 6 Hướng dẫn giải Chọn A éx = - 2 ê Từ giả thiết suy ra ¢ = Û ê = - f (x) 0 êx 1. ê ëx = 0 Đặt g x f u ,u x2 2x thì g x 2 x 1 . f u nên Trang 5
6. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 1 2 x 1 x 2x 2(VN) g x 0 2 f u 0 u x 22;ux 11; 01 2 x 2x 0 2 Phương trình 1 có nghiệm kép là x 1 ; phương trình 2 có hai nghiệm đơn là x 0; x 2 nên phương trình g x 0 có hai nghiệm đơn là x 0; x 2 và một nghiệm bội ba là x 1 nên hàm số đã cho có ba cực trị. Câu 17. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. 2 Hàm số g x f x có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Hướng dẫn giải Chọn C éx = 0 éx = a 0 < a < 1 ê ê ( ) ê ê Dựa vào đồ thị, ta có f (x)= 0 Û êx = 1(nghiem kep) và f ¢(x)= 0 Û êx = 1 . ê ê ëêx = 3 ëêx = b (1< b < 3) é = 0 < < 1 êx a ( a ) ê êx = 1 é ¢ = 0 ê êf (x) êx = b (1< b < 3) Ta có g¢(x)= 2 f ¢(x). f (x); g¢(x)= 0 Û ê Û ê . f (x)= 0 êx = 0 ëê ê ê êx = 1 (nghiem boi 2) ê ëêx = 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Câu 18. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình bên. Trang 6
7. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Số điểm cực đại, cực tiểu của hàm số g(x)  f (x) là A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu Hướng dẫn giải Chọn đáp án D. Câu 19. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số g x f f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. B. 4.C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị ta thấy f (x) đạt cực trị tại x = 0, x = 2. é = 0 nghiem don êx ( ) Suy ra f ¢(x)= 0 Û ê . ëêx = 2 (nghiem don) éf ¢(x)= 0 Ta có g¢(x)= f ¢(x). f ¢éf (x)ù; g¢(x)= 0 Û ê . ë û ê ¢é ù ëêf ëf (x)û= 0 é = 0 nghiem don êx ( ) f ¢(x)= 0 Û ê . ëêx = 2 (nghiem don) éf (x)= 0 (1) ¢é ù ê f ëf (x)û= 0 Û ê . ëêf (x)= 2 (2) Dựa vào đồ thị suy ra: Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2). Trang 7
8. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a). Vậy phương trình g¢(x)= 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. é ù Suy ra hàm số g(x)= f ëf (x)û có 4 điểm cực trị. Chọn B Cách 2: u f x 0 ' ' ' ' fu 0 u f x 2 +) Ta có với u f x thì f ' f x fu.ux fu.fx f ' f x 0 x f ' 0 x 0 x x 2 +) Ta thấy f x 0 có hai nghiệm x1,2 0  x3 2 . +) Ta thấy f x 2 có hai nghiệm x4 x3 f ' f x 0 có nghiệm x 0 bậc 3, x 2, x3, x4 bậc 1 hàm số có 4 cực trị. Câu 20. Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. y 2 1 -1 o 1 2 x -1 -2 Hỏi hàm số y f f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 13 . B. 12 . C. 8 . D. 10 Hướng dẫn giải Chọn đáp án A. f '(x) 0 y f ( f (x)) y ' f '(x) f '( f (x)) 0 f '( f (x)) 0 1/ f '(x) 0 có 3 nghiệm x 1; x x1 (0;1), x x2 (1;2) 2/ f '( f (x)) 0 f (x) 1; f (x) x1 (0;1), f (x) x2 (1;2) */ f (x) 1 có 2 nghiệm; f (x) x1 (0;1) có 4 nghiệm; f (x) x2 (1;2) có 4 nghiệm Phương trình y’ = 0 có 13 nghiệm phân biệt Do vậy hàm số y f ( f (x)) có 13 điểm cực trị Câu 21. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ dưới đây. Khi đó phát biểu nào là đúng đối với hàm số g x f x 1 2 trong các phát biểu sau: Trang 8
9. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. Hàm số g x đồng biến trên khoảng ;1 . B. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;1 . C. Hàm số g x đạt cực đại tại x 1. D. Đồ thị hàm số g x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị lần lượt là : tịnh tiến đồ thịf x theo vec tơ i sau đó tịnh tiến đồ thị theo vec tơ  m 2 j ta được đồ thị hàm số g x như hình vẽ. Do đó hàm số nghịch biến trên 1;1 . x 1 Cách khác: Ta có g ' x f ' x 1 , g ' x 0 f ' x 1 0 . x 1 Từ đó lập bảng biến thiên của hàm số g x . Câu 22. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi hàm số y f f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 8 . Câu 23. Cho y = f (x) là hàm đa thức và có đồ thị như hình vẽ. Trang 9
10. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm sốg(x) = f 2 (x)- 4f (x) có bao nhiêu điểm cực đại? A. 4. B. 3. C.2. D.5. DẠNG 2 BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN y f x Câu 24. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau ? Hàm số g x 3 f x 1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ? A. .x 1 B. .C. x .1 D. . x 1 x 0 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g x 3 f x Do đó điểm cực tiểu của hàm số g x trùng với điểm cực tiểu của hàm số y f x . Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x 1 . Câu 25. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau ? Hàm số g x f 3 x có bao nhiêu điểm cực trị ? Trang 10
11. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 2. B. 3.C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g¢(x)= - f ¢(3- x). é3- x = 0 éx = 3 + g¢ x = 0 Û f ¢ 3- x = 0¬ ¾theo¾ BBT¾® ê Û ê . ( ) ( ) ê ê ë3- x = 2 ëx = 1 +g¢(x) không xác định Û 3- x = 1 Û x = 2. Bảng biến thiên Vậy hàm số g(x)= f (3- x) có 3 điểm cực trị. Câu 26. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau ? Hàm số g x f x2 1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0. B. 1.C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g¢(x)= 2x. f ¢(x 2 + 1); éx = 0 éx = 0 ê éx = 0 (nghiem don) ¢ = Û ê ¬ ¾theo¾ BBT¾® ê 2 + = - ê Û = g (x) 0 ê 2 êx 1 2 x 0(nghiem boi 3). f ¢x + 1 êx = 0 nghiem kep ëê ( ) ê 2 ëê ( ) ëêx + 1 = 1 Vậy g¢(x)= 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm cực trị. VẤN ĐỀ 2 Trang 11
12. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CỰC TRỊ HÀM HỢP f u x CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG 1 CỰC TRỊ HÀM HỢP f u x KHÔNG CHỨA THAM SỐ m LOẠI 1 BIẾT ĐỒ THỊ HÀM y f x Câu 27. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f x 1 là: A. 7 B. 5 C. 3 D. 6 Câu 28. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f x 1 là: A. 5 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 29. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 là: A. 5 B. 3 C. 1 D. 2 Trang 12
13. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 30. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. 1 Số điểm cực trị của hàm số y f x 1 là: 2 A. 5 B. 8 C. 10 D. 11 Câu 31. Cho đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. 7 Số cực trị của đồ thị hàm số y f x là: 2 A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 Câu 32. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số h x f x 2021có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3.C. 5. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn C Từ đồ thị ta thấy hàm số f (x) có 2 điểm cực trị dương ¾ ¾® hàm số f ( x ) có 5 điểm cực trị ¾ ¾® hàm số f x 2021có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi cực trị). Trang 13
14. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 33. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số g x f x 4 có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng ? A. 2. B. 3.C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn C Đồ thị hàm số g(x)= f (x)+ 4 có được bằng cách + Tịnh tiến đề thị hàm số f (x) lên trên 4 đơn vị ta được f (x)+ 4. + Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f (x)+ 4 qua Ox, ta được f (x)+ 4 . Dựa vào đồ thị hàm số g(x)= f (x)+ 4 , suy ra tọa độ các điểm cực trị là (- 1;0), (0;4), (2;0) ¾ ¾® tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4. Câu 34. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số g x f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 3.C. 5. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn C Trước tiên ta phải biết rằng, đồ thị hàm số f ( x - 2) được suy ra từ đồ thị hàm số f (x )bằng cách tịnh tiến sang phải 2 đơn vị rồi mới lấy đối xứng. Trang 14
15. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Dựa vào đồ thị hàm số f ( x - 2), suy ra hàm số g(x) có 5 điểm cực trị. Câu 35. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số g x f x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3.C. 5. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn B Đồ thị hàm số g(x)= f ( x - 2 )+ 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f (x) như sau: Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua. Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 1 sang phải 2 đơn vị. Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở Bước 2 lên trên 1 đơn vị. Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến Bước 2 và Bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f (x) là 3 điểm cực trị. Câu 36. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau ? Hỏi đồ thị hàm số g x f x 2017 2018 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3.C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn B Trang 15
16. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đồ thị hàm số u(x)= f (x - 2017)+ 2018 có được từ đồ thị f (x) bằng cách tịnh tiến đồ thị f (x) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của u(x) Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x)= u(x) có 3 điểm cực trị. Câu 37. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số g x 2 f x 3 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 4. B. 5.C. 7. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn C Xét g(x)= 2 f (x)- 3 ¾¾® g¢(x)= 2 f ¢(x); éx = - 1 ïì g(- 1)= 1 ê ï êx = 0 ï g(0)= - 7 theo do thi f (x) ê ï g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= 0¬ ¾ ¾ ¾ ¾® ê . Ta tính được í . êx = a (1 1 ê ï x = 2 ï ëê îï g(2)= 1 Bảng biến thiên của hàm số g(x) Dựa vào bảng biến thiên suy ra + Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị. + Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số h(x)= 2 f (x)- 3 có 7 điểm cực trị. Câu 38. Cho hàm số y f x ax4 bx3 cx2 dx e có đồ thị như hình vẽ Trang 16
17. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số cực trị của hàm số y f x 1 3 là A. 7 .B. .C. .D. . 5 6 3 LOẠI 2 BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN y f x Câu 39. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: Hàm số y f x 4 có mấy cực trị? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 40. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f x 9 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 41. Cho đồ thị của hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Trang 17
18. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số cực trị của đồ thị hàm số y f x 17 là: A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 42. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f x 1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 43. Giả sử tồn tại hàm số y f x xác định trên ¡ \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên. 1 Hàm số y f x có bao nhiêu cực trị? 2 A. 5 B. 7 C. 8 D. 6 Câu 44. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên các khoảng ;0 , 0; và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y f x 2 có bao nhiêu cực trị? A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 45. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau ? Hỏi đồ thị hàm số g x f x có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị ? A. 5. B. 7.C. 11. D. 13. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có đồ thị hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. Khi đó Trang 18
19. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 + Đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tối đa 4 điểm. + Hàm số f ( x ) có 3 điểm cực trị. Suy ra hàm số g(x)= f ( x ) sẽ có tối đa 7 điểm cực trị. DẠNG 2 CỰC TRỊ HÀM HỢP f u x CHỨA THAM SỐ m LOẠI 1 BIẾT ĐỒ THỊ HÀM HOẶC BẢNG BIẾN THIÊN y f x Câu 46. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. y 1 O x 3 Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g x f x m có 3 điểm cực trị là A. mhoặc 1 . m 3 B. hoặc m . 3 m 1 C. m 1 hoặc m 3 . D. .1 m 3 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số f (x) bằng A + B với A là số điểm cực trị của hàm f (x) B là số giao điểm của f (x) với trục hoành (không tính các điểm trùng với A ở trên) Áp dụng: Vì hàm f (x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f (x)+ m cũng luôn có 2 điểm cực trị. Do đó yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị f (x)+ m với trục hoành là 1 . Để số giao điểm của đồ thị f (x)+ m với trục hoành là 1 , ta cần Tịnh tiến đồ thị f (x) xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị ¾ ¾® m £ - 1. Hoặc tịnh tiến đồ thị f (x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị ¾ ¾® m ³ 3. Vậy m £ - 1 hoặc m ³ 3. Cách 2: - Đồ thị hàm số y f x m có được khi ta tịnh tiến (lên trên hoặc xuống dưới) đồ thị hàm số y f x theo phương trục tung m đơn vị - Đồ thị hàm số y f x m gồm hai phần. Phần 1: Là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của hàm số y f x m Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành của hàm số y f x m qua trục hoành. Nhận xét: Trang 19
20. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 - Ứng với mỗi điểm cực trị của đồ thị hàm sốy f x m sẽ cho ta một điểm cực trị của đồ thị hàm ysố f x m (các điểm cực trị tương ứng đó của hai đồ thị sẽ trùng nhau hoặc đối xứng nhau qua trục hoành) - Mỗi giao điểm của đồ thị của hàm số y f x m với trục hoành sẽ tạo thành một điểm cực trị của hàm số y f x m Do đồ thị hàm số y f x mđã có hai điểm cực trị nên để đồ thị hàm số y f x m có ba điểm cực trị, xảy ra hai trường hợp sau: TH1: Đồ thị hàm số y f x m có đúng một điểm chung với trục hoành y CD.yCT 0 m 1 m 1 . m 3 0 . m 3 TH2: Đồ thị hàm số y f x m có một điểm cực trị thuộc trục hoành y CD.yCT 0 m 1 m 1 . m 3 0 . m 3 Kết hợp cả hai trường hợp ta có m 3 hoặc m 1 là giá trị cần tìm. Câu 47. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị là A. mhoặc 1 . mB. 3.C. 1 hoặcm 3 . D. . m 1 m 3 1 m 3 Hướng dẫn giải Chọn B Vì hàm f x đã cho có 2 điểm cực trị nên f x m cũng luôn có 2 điểm cực trị. Do đó yêu câu bài toán số giao điểm của đò thị f x m với trục hoành là 3 giao điểm. Để số giao điểm của đồ thị f x m với trục hoành là 3, ta cần đồng thời Tịnh tiến đồ thị f x xuống dưới nhỏ hơn 1 đơn vị => m 1. Tịnh tiến đồ thị f x lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị => m 3 . Vậy 1 m 3 m Câu 48. Tổng các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 9x 5 có 5 điểm cực trị bằng 2 A. -2016. B. -496.C. 1952. D. 2016. Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số f x x3 3x2 9x 5 như hình bên dưới m Ta thấy hàm số f (x) có 2 điểm cực trị nên f (x)+ cũng luôn có 2 điểm cực trị. 2 Trang 20
21. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m Do đó yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị f (x)+ với trục hoành là 3 . 2 m Để số giao điểm của đồ thị f (x)+ với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f (x) lên trên nhưng phải nhỏ hơn 2 m 32 đơn vị ¾ ¾® 0 < < 32 Û 0 < m < 64 ¾ m¾Î ¢¾® m Î {1; 2; 3; ; 63} 2 ¾¾® å m= 2016. Chọn D. m Cách 2: Biện luận. Đồ thị hàm số y x3 3x2 9x 5 có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số 2 m m y x3 3x2 9x 5 lên trên đơn vị nếu m 0 hoặc tịnh tiến xuống dưới đơn vị nếu m 0 . 2 2 Có 3 trường hợp: TH1. m 0 , ta có đồ thị như sau m Hàm số y x3 3x2 9x 5 có ba cực trị. Không thỏa yêu cầu bài toán. 2 m TH2. 0 32 , ta có đồ thị như sau 2 m Hàm số y x3 3x2 9x 5 có năm cực trị. Thỏa yêu cầu bài toán. 2 m TH3. 32 , ta có đồ thị như sau 2 Trang 21
22. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 m Hàm số y x3 3x2 9x 5 có ba cực trị. Không thỏa yêu cầu bài toán. 2 m ¢ Vậy tất cả các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là m m 1,2, 63 . 0 32 2 Vậy tổng các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là 2016 . Câu 49. Hình vẽ là đồ thị hàm số y f x . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 1 m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng A. .9 B. . 12 C. . 18 D. . 15 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: Số cực trị của hàm số y f x 1 m bằng số cực trị của hàm y f x 1 hay y f x cộng với số nghiệm đơn của phương trình f x 1 m 0(*) Phương trình (*): f x 1 m 0 f x 1 m f t m,t x 1 Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình (*) có hai nghiệm đơn phân biệt Do đó 6 m 3 hoặc 2 m . Vậy m 3;4;5 . Cách 2: Đồ thị hàm số y f x 1 nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải 1 đơn vị nên không làm thay đổi tung độ các điểm cực trị. Trang 22
23. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đồ thị hàm số y f x 1 m nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y f x 1 lên trên m đơn vị nên ta có: yCD 2 m;yCT 3 m, yCT 6 m Đồ thị hàm số y f x 1 m nhận được bằng cách từ đồ thị hàm số y f x 1 m lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành và xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành. Để đồ thị hàm số có 5 cực trị 6 m 0 3 m 3 m 6 m 3;4;5 S 3;4;5 3 4 5 12. Câu 50. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  4;4 để hàm số g x f x 1 m có 5 điểm cực trị ? A. 3. B. 5.C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn B Vì hàm f (x) đã cho có 3 điểm cực trị nên f (x - 1)+ m cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Do đó yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị f (x - 1)+ m với trục hoành là 2. Trang 23
24. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Để số giao điểm của đồ thị f (x - 1)+ m với trục hoành là 2, ta cần +Tịnh tiến đồ thị f (x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ¾ ¾® m £ - 2. +Hoặc tịnh tiến đồ thị f (x) lên trên tối thiểu 3 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị ¾ ¾® 3 £ m - 2 Tịnh tiến đồ thị f (x) lên trên nhỏ hơn 3 đơn vị ¾¾® m < 3. + Vậy - 2 < m < 3 ¾ m¾Î ¢¾® m Î {1; 2}. Chọn A. Câu 52. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số g x f x 2018 m2 có 5 điểm cực trị khi A. 2. B. 3.C. 4. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B Vì hàm f (x) đã cho có 3 điểm cực trị nên f (x+ 2018)+ m2 cũng luôn có 3 điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Do đó yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị f (x+ 2018)+ m2 với trục hoành là 2. Để số giao điểm của đồ thị f (x+ 2018)+ m2 với trục hoành là 2, ta cần Tịnh tiến đồ thị f (x) xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị ¾ ¾® m2 £ - 2 : vô lý Hoặc tịnh tiến đồ thị f (x) lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn vị é £ < 2 ê 2 m 6 mÎ ¢ ¾ ¾® 2 £ m < 6 Û ê ¾ ¾¾® m Î {- 2;2}. ëê- 6 < m £ - 2 Trang 24
25. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 53. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Với m 1 thì hàm số g x f x m có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2.C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn C Đồ thị hàm số f ( x + m ) được suy ra từ đồ thị hàm số f (x) bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến. Lấy đối xứng trước ta được đồ thị hàm số f ( x ) như hình bên dưới Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta thấy có 3 điểm cực trị ¾ ¾® f ( x + m ) cũng luôn có 3 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị). Câu 54. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị. A. .m 1 B. .C. m . 1 D. . m 1 m 1 Lời giải Chọn A Nhận xét: Hàm g(x)= f ( x + m) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy ¾¾® x = 0 là một điểm cực trị của hàm số. x Ta có g¢(x)= . f ¢( x + m) với x = 0. x éx + m = 1 éx = 1- m theo do thi f (x) ê ê ¾ ¾® g¢(x)= 0 Û f ¢( x + m)= 0¬ ¾ ¾ ¾ ¾® ê Û ê . (*) ëêx + m = - 1 ëêx = - 1- m ïì 1- m > 0 ï Để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị Û (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 Û íï - 1- m > 0 Û m < - 1. ï îï 1- m ¹ - 1- m Cách 2. Trang 25
26. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đồ thị hàm số f ( x + m) được suy ra từ đồ thị hàm sốf (x) bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng. Để hàm số f ( x + m) có 5 điểm cực trị Û hàm số f (x + m) có 2 điểm cực trị dương. Do đó ta phải tịnh tiến điểm cực đại của đồ thị hàm số f (x) qua phía bên phải trục tung nghĩa là tịnh tiến đồ thị hàm số f (x )sang phải lớn hơn 1 đơn vị ¾¾® m . B. m ³ . C. m m ï Ta tính được íï g(3)= m . ï ï 1 ï g(a)= m - îï 2 Bảng biến thiên của hàm số g(x) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. é 1ù2 1 Suy ra đồ thị hàm số h(x)= f 2 (x)+ f (x)+ m = êf (x)+ ú + m - có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm ëê 2ûú 4 1 số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) ¾ ¾® m ³ . 4 Câu 56. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trang 26
27. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đồ thị hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị khi m 2 A. . 2 m 2 B. .C. . m 2 D. . m 2 m 2 Hướng dẫn giải Chọn C Vì hàm f (x) đã cho có 3 điểm cực trị nên f (x)- m cũng luôn có 3 điểm cực trị. Do đó yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị f (x)- m với trục hoành là 2. Để số giao điểm của đồ thị f (x)- m với trục hoành là 2, ta cần tịnh tiến đồ thị f (x) xuống dưới ít nhất 2 đơn vị (bằng 2 đơn vị vẫn được vì khi đó điểm cực trị trùng với điểm chung của đồ thị với trục hoành nên ta chỉ tính một lần) ¾ ¾® - m £ - 2 Û m ³ 2. Câu 57. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số g x f x 2m có 5 điểm cực trị khi 11 11 A. .m 4;11 B. .C. m . 2; D. . m 2; m 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Vì hàm f (x) đã cho có 2 điểm cực trị nên f (x)- 2m cũng luôn có 2 điểm cực trị. Do đó yêu cầu bài toán Û số giao điểm của đồ thị f (x)- 2m với trục hoành là 3 . Để số giao điểm của đồ thị f (x)- 2m với trục hoành là 3, ta cần tịnh tiến đồ thị f (x) xuống dưới lớn hơn 4 đơn ïì m > 2 ïì - 2m - 11 ï m < îï 2 LOẠI 2 BIẾT HÀM y f x,m Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f (x) x3 3x2 3 m có ba điểm cực trị. A. m 3 hoặc B.m 1. hoặc . m 1 m 3 C. 1 m 3. D. hoặc . m 3 m 1 Hướng dẫn giải Chọn D Nhận xét: Dùng phép biến đổi đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và nhận xét hình dạng đồ thị thông qua bảng biến thiên để kết luận về cực trị hàm số. Trang 27
28. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Phân tích: Xét hàm số y g (x ) x 3 3x 2 3 m trên ¡ . Hệ số a 1 0. 2 x 0 Hàm số có y g (x ) 3x 6x ; y 0 . Hàm số y g (x ) luôn có hai cực trị. x 2 Nếu g (x ) 0 có 3 nghiệm hay trục hoành giao với đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì hàm số y g (x ) có năm cực trị. Nếu g (x ) 0 có một hoặc hai nghiệm thì hàm số y g (x ) sẽ có ba cực trị. m 3 Điều kiện: g (x cd ).g (x ct ) 0 g (0).g ( 2) 0 hay ( 3 m )(1 m ) 0 . m 1 Câu 59. Cho hàm số y x3 3x2 9 . Tìm m để đồ thị hàm số y f x m có ba điểm cực tiểu. A. m 5 .B. .C. 5 m .D.9 . 5 m 9 5 m 9 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt F x f x m . y 5 m Đặt ct . ycd 9 m F x khi F x 0 Xét hàm số y F x F x khi F x 0 ycd 0 5 m 0 Để hàm số có 3 điểm cực tiểu 5 m 9 yct 0 9 m 0 1 Câu 60. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  5;5 để hàm số y x4 x3 x2 m có 5 điểm cực 2 trị? A. 7.B. 5.C. 4.D. 6. Hướng dẫn giải Chọn đáp án D. Phương pháp: Tính đạo hàm của hàm trị tuyệt đối, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để biện luận số điểm cực trị Cách giải: 1 4x3 3x2 x x4 x3 x2 m 1 2 Ta có y x4 x3 x2 m y' ;x D. 2 1 x4 x3 x2 m 2 1  4x3 3x2 x 0 x 1;0;  4 Phương trình y' 0  . 4 3 1 2 x x x m 0 4 3 1 2 2 m f x x x x 2 Trang 28
29. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1  Để hàm số có 5 điểm cực trị m f x có 2 nghiệm phân biệt khác 1;0; . (*) 4  4 3 1 2 3 2 1  Xét hàm số f x x x x , có f ' x 4x 3x x; f ' x 0 x 1;0; . 2 4  1 1 3 Tính f 1 ; f 0 0; f . 2 4 256 m 0 m 0 Khi đó * . 1 3 3 1 m ; m ; 2 256 256 2 Kết hợp với m ¢ và m  5;5, ta được m 5; 4; 3; 2; 1;0. Vậy có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Câu 61. Cho hàm số f x mx3 3mx2 3m 2 x 2 m với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10 để hàm số g x f x có đúng 5 điểm cực trị ? A. 7. B. 9.C. 10. D. 11. Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Để g(x)= f (x) có 5 điểm cực trị Û f (x)= 0 có 3 nghiệm phân biệt. (*) éx = 1 Xét f x = 0 Û x - 1 mx 2 - 2mx + m - 2 = 0 Û ê . ( ) ( )( ) ê 2 ëêmx - 2mx + m - 2 = 0 (1) ïì m ¹ 0 ï Do đó (*) Û phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û íï D ¢= m2 - m(m - 2)> 0 ï îï f (1)= - 2 ¹ 0 mÎ ¢ Û m > 0 ¾ m¾Î [-¾10;1¾0]® m Î {1; 2; 3; ; 10}. Cách 2: Hàm số y mx3 3mx2 3m 2 x 2 m có 5 điểm cực trị đồ thị hàm số y mx3 3mx2 3m 2 x 2 m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình mx3 3mx2 3m 2 x 2 m 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt. x 1 2 Ta có (1) x 1 mx 2mx m 2 0 2 . f x mx 2mx m 2 0(2) m 0 2 Yêu cầu bài toán phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt khác 1 m m m 2 0 f 1 2 0 m 0 . Vì m nguyên và m  10;10 , nên m 1,2,3, ,10 . Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 62. Cho hàm số vớif x làx 3tham 2 msố thực.1 x 2Tìm 2 tất mcả cácx 2giá trị củam m để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị. 5 5 5 5 A. . 2 m B. .C. . m 2 D. . m 2 m 2 4 4 4 4 Lời giải Chọn C Ta có f ¢(x)= 3x 2 - 2(2m- 1)x + 2- m. Trang 29
30. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số g(x)= f ( x ) có 5 điểm cực trị Û hàm số f (x) có hai cực trị dương ïì 2 ï (2m - 1) - 3(2- m)> 0 ïì D > 0 ï ï ï 2(2m - 1) 5 Û f ¢(x)= 0 có hai nghiệm dương phân biệt Û íï S > 0 Û íï > 0 Û 0 ï îï ï 2- m ï > 0 îï 3 3 Câu 63. Số nguyên bé nhất của tham số m sao cho hàm số y x 2mx2 5 x 3 có 5 điểm cực trị là: A. -2.B. 2.C. 5.D. 0. Hướng dẫn giải Chọn đáp án B. Phương pháp: 3 Đánh giá số điểm cực trị của hàm số y x 2mx2 5 x 3 qua hàm số y x3 2mx2 5x 3 Cách giải: 3 2 ' 0 Xét hàm số y x 2mx 5 x 3 có 5 điểm cực trị thì (x1, x2 là nghiệm của phương trình 0 x1 x2 y' 0) 2 15 4m 15 0 m 2 4m 15 0 15 m 3 m 2 5 2 0 3 m 0 3 Mà m Z m 2;3;4;  Số nguyên bé nhất của tham số m sao cho hàm số y x 2mx2 5 x 3 có 5 điểm cực trị là 2. 3 Câu 64. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm syố x 2m 1 x2 3m x 5 có ba điểm cực trị? 1 1 A. ; B. 0;  1; C. ;0 D. 1; 4 4 Lời giải Chọn B 3 Hàm số y x 2m 1 x2 3m x 5 có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số y x3 2m 1 x2 3mx 5 có hai điểm cực trị không âm. Δ 4m2 5m 1 0 1 2 0 m Vậy phương trình 3x 2 2m 1 x 3m 0 khi: 2 2m 1 4 . S 0; P m 0 3 m 1 Câu 65. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 2x4 4(m 8)x2 m 1 có 5 điểm cực trị ? A. 9. B. 10. C. 8 . D. Vô số. Trang 30
31. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 66. Cho hàm số f (x)= (m2018 + 1)x4 + (- 2m2018 - 22018 m2 - 3)x2 + (m2018 + 2018) , với m là tham số. Số cực trị của hàm số y f x 2017 là A. 3. B. 5. C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Xét hàm số g x f x 2017 m2018 1 x4 2m2018 22018 m2 3 x2 m2018 1 . Đặt t x2 t 0 ta có h t m2018 1 t 2 2m2018 22018 m2 3 t m2018 1 2018 2 2018 2018 2 2 m 1 4m 2 m 5 0 Nhận thấy phương trình h t 0 có nên luôn có hai nghiệm S 0; P 0 dương phân biệt. Do đó, phương trình g x 0 có 4 nghiệm phân biệt. Từ đó suy ra hàm số y g x f x 2017 có 7 điểm cực trị. Cách 2: Xét hàm số g x f x 2017 m2018 1 x4 2m2018 22018 m2 3 x2 m2018 1 . ïì a = m2018 + 1> 0 Nhận xét rằng, vì íï , với mọi m nên hàm số g x có 3 điểm cực trị. ï 2018 2018 2 îï b = - 2m - 2 m - 3< 0 Ta có g x 4ax3 2bx . Suy ra x 0 g 0 a 0, m g x 0 2m2018 22018 m2 3 b b2 2a b 2a b x2 g x2 a 0, m 2018 2a 4a 4a 2 m 1 (vì 2a b 4m2018 22018 m2 5 0 và 2a b 22018 m2 1 0 ) Từ đó suy ra hàm số y f x 2017 có 7 điểm cực trị. Cách 3: Đặc biệt hóa ta cho m 0 Câu 67. Cho hàm số f x m4 1 x4 ( 2m 1.m2 4)x2 4m 16 với m là tham số thực. Số cực trị của đồ thị hàm số g x f x 1 là A. 3. B. 5.C. 6. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn A 2 Cách 1: Ta có: y f x 1 f x 1 f x . f x 1 f x 0 Suy ra y ; y 0 2 f x 1 f x 1 0 f x 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì m4 1 2m 1.m2 4 0 với mọi m . 2 f x 1 0 vô nghiệm do 2m.m2 2 m4 1 . 4m 15 4.2m.m2 4 15m4 4m 15 2 2m m2 11m4 11 0 . Vậy hàm số đã cho có 3cực trị. Cách 2. Hàm số f (x) có 3 điểm cực trị (do hệ số a và b trái dấu) ¾¾® f (x)- 1 cũng có 3 điểm cực trị. Phương trình f (x)- 1= 0 vô nghiệm (đã giải thích ở trên). Trang 31
32. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy hàm số g(x)= f (x)- 1 có 3 cực trị. Cách 3: Đặc biệt hóa ta cho m 0 , khi đó ta được hàm f x 1 x4 4x2 16 . x 0 4 2 3 3 Đặt g x f x 1 x 4x 16 g x 4x 8x ; g x 0 4x 8x 0 x 2 . x 2 Ta có BBT Do đồ thị hàm số y g x nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàm số y g x cũng chính là đồ thị của hàm số y g x . Khi đó số điểm cực trị của hàm số y g x f x 1 là 3 . VẤN ĐỀ 3 MỘT SỐ DẠNG KHÁC Câu 68. Cho hàm số bậc ba f x ax4 bx2 c biết a 0, c 2018 và a b c 2018 . Số cực trị của đồ thị hàm số g x f x 2018 là A. 1. B. 3.C. 5. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt h(x)= f (x)- 2018= ax4 + bx2 + c - 2018. ïì a > 0 ï ïì a > 0 Từ giả thiết íï c > 2018 Þ íï ¾ ¾® đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị. (1) ï îï b 0 (dáng điệu của hàm trùng phương). (2) Từ (1) và (2), suy ra hàm số g(x)= f (x)- 2018 có 7 điểm cực trị. Chọn D. Cách 2. ïì a = 1 ï Trắc nghiệm. Chọn íï b = - 4 ¾ ¾® g(x)= f (x)- 2018 = x 4 - 4x 2 + 1 . ï îï c = 2019 Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có 7 điểm cực trị. Cách 3: Ta có a 0 , c 2018 nên a c 2018 b 2018 a c 0 nên hàm số f x 2018 có 3 cực trị. Vì f 0 2018 c 2018 0 và f 1 2018 a b c 2018 0 và lim f x 2018 nên x phương trình f x 2018 0 có đúng 4 nghiệm. Do đó, đồ thị hàm số y f x 2018 có 7 cực trị. Trang 32
33. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 69. Cho hàm số bậc ba f x x3 ax2 bx c với a, b, c ¡ , biết 8 4a 2b c 0 và 8 4a 2c c 0 . Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x f x là A. 1. B. 2.C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn D Hàm số f (x)= x3 + ax 2 + bx + c (là hàm số bậc ba) liên tục trên ¡ . ïì lim f (x)= - ¥ ï x® - ¥ ï ï f (- 2)= - 8 + 4a - 2b + c > 0 Ta có íï ¾ ¾® f (x)= 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên ¡ . ï f (2)= 8 + 4a + 2b + c 0 Ta có íï ¾ ¾® g(x)= 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên ¡ . ï g(1)= a + b + c + d - 2018 1: f (x2 )> 0 x x nên phương trình g x 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên ¡ . Khi đó đồ thị hàm số g x f x 2018 cắt trục hoành tại 3điểm phân biệt nên hàm số y f x 2018 có đúng 5 điểm cực trị. Câu 71. Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx2 cx d a 0 có đồ thị nhận hai điểm A 0;3 và B 2; 1 làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x ax2 x bx2 c x d là A. 5. B. 7.C. 9. D. 11. Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Trang 33
34. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có g(x)= ax 2 x + bx 2 + c x + d = f ( x ). Hàm số f (x) có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực trị dương ¾ ¾® hàm số f ( x ) có 3 điểm cực trị. (1) Đồ thị hàm số f (x) có điểm cực trị A(0;3)Î Oy và điểm cực trị B(2;- 1 )thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị f (x) cắt trục hoành tại 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có hoành độ dương) ¾ ¾® đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. (2) Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x)= f ( x ) có 7 điểm cực trị. Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị f (x) rồi suy ra đồ thị f ( x ) , tiếp tục suy ra đồ thị f ( x ). Câu 72. Cho hàm số bậc ba f x x3 mx2 nx 1 với m, n ¡ , biết m n 0 và 7 2 2m n 0 . Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x f x là A. 2. B. 5.C. 9. D. 11. Hướng dẫn giải Chọn D ì ï f (0)= - 1 ï Cách 1: Ta có í f (1)= m + n > 0 và lim f (x)= + ¥ Þ $p > 2 sao cho f (p)> 0. ï x® + ¥ ï îï f (2)= 7 + 4m + 2n < 0 Suy ra f (x)= 0 có ba nghiệm phân biệt c1 Î (0;1), c2 Î (1;2) và c3 Î (2; p). (1) Suy ra đồ thị hàm số f (x) có hai điểm cực trị x1 Î (c1;c2 ) và x2 Î (c2 ;c3 ). (2) Từ (1) và (2), suy ra đồ thị hàm số f (x) có dạng như hình bên dưới Từ đó suy ra hàm số f ( x ) có 5 điểm cực trị ¾ ¾® hàm số f ( x ) có 11 điểm cực trị. m n 0 f 1 0 Cách 2: ta có 7 2 2m n 0 f 2 0 Vì f 1 0 f 2 nên hàm số f x không thể đồng biến trên R . Vậy hàm số f x có hai điểm cực trị. Ta có f 0 1 , f 1 m n 0 , f 2 7 4m 2n 0 và lim f x p 2 sao cho x f p 0 . Suy ra phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt c1 0;1 , c2 1;2 và c3 2; p . Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị x1 c1;c2 và x2 c2 ;c3 , dễ thấy x1, x2 là các số dương, hơn nữa hai giá trị cực trị này trái dấu f x1 0 f x2 (vì hệ số cao nhất là 1). Đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị x1 , x2 là các số dương nên đồ thị hàm sốf x sẽ có 5 điểm cực trị. Trang 34
35. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Do f x có hai giá trị cực trị trái dấu và f 0 1 nên phương trình f x 0 có 6 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số f x có 5 6 11 điểm cực trị. Bình luận: Đây là dạng bài tập về đếm số điểm cực trị của hàm số dạng f x trong đó số điểm cực trị của hàm số f x và những điều kiện liên quan bị ẩn đi. Để giải quyết bài toán này bạn đọc cần dựa vào giả thiết bài toán để tìm: + Số điểm cực trị n của hàm số f x + Số điểm cực trị dương m(với m ) ncủa hàm số + Số giao điểm củap đồ thị hàm số với trục hoành trong đó có qđiểm có hoành độ dương Bây giờ giả sử ta tìm được các dữ kiện trên khi đó ta suy ra + Đồ thị hàm số f x có 2m 1 điểm cực trị + Đồ thị hàm số f x có n p điểm cực trị + Đồ thị hàm số f x có 2m 2q 1 điểm cực trị. Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, bài toán còn có nhiều hướng để ra đề khác ví dụ như hỏi số giao điểm với trục hoành, tính đồng biến nghịch biến của hàm số. 3 2 Câu 73. Cho hàm số bậc ba f x ax bx cx d đạt cực trị tại các điểm x1, x thỏa2 mãn x1 0; 1 , x2 1;2 . Biết hàm số đồng biến trên khoảng x1, x2 . Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây đúng? A. .a 0, b 0, c 0, d 0 B. . a 0, b 0, c 0, d 0 C. a 0, b 0, c 0, d 0 . D. .a 0, b 0, c 0, d 0 Hướng dẫn giải Chọn A 3 2 Vì hàm số hàm số y = ax + bx + cx + d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 và hàm số đồng biến trên khoảng (x1;x2 ) nên suy ra a 0. 2b Mặt khác x1 Î (- 1;0), x2 Î (1;2) nên x1 + x2 > 0 ¾ ¾® - > 0 Þ b > 0. Vậy a 0, c > 0, d < 0. 3a 3 2 a b 1 Câu 74. Cho hàm số f x x ax bx 2 thỏa mãn . Số điểm cực trị của hàm số y f x 3 2a b 0 bằng A. B.11 C. 9 D. 2 5 Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số y f x (là hàm số bậc ba) liên tục trên ¡ . Ta có f 0 2 0 , f 1 a b 1 0 , f 2 2a b 3 0 . và lim f x nên x0 2; f x0 0 . x Do đó, phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm dương phân biệt trên ¡ . Trang 35
36. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số y f x là hàm số chẵn. Do đó, hàm số y f x có 5 điểm cực trị. Vậy hàm số y f x có 11 điểm cực trị. a b c 1 3 2 Câu 75. Cho các số thực a, b, c thoả mãn 4a 2b c 8 . Đặt f x x ax bx c . Số điểm cực trị bc 0 của hàm số f x lớn nhất có thể có là A. 2 . B. 9. C. 11 D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C Từ giả thiết bài toán ta có f 1 0 , f 2 0 và lim f x , lim f x ta suy ra phương trình x x f x 0 có ba nghiệm phân biệt, suy ra hàm số f x có hai điểm cực trị x1 , x2 (x1 x2 ) và hai giá cực trị trái dấu nhau. b 0 b Khi thì ta có x1 x2 0 nên x1 0 x2 và f 0 c 0 nên f x 0 có hai nghiệm dương. Do c 0 3 đó đồ thị hàm số f x có 7 điểm cực trị. b 0 Khi thì ta cóx1. x2 0 và f 0 c 0 nên hàm số có hai điểm cực trị dương và ba giao điểm với trục c 0 hoành có hoành độ dương. Khi đó đồ thị hàm số f x có 11 điểm cực trị Trang 36