Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 1: Bài toán cho f'(x), f''(x)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 1: Bài toán cho f'(x), f''(x)

1. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 CHỦ ĐỀ 4 CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP LIÊN QUAN ĐẾN f ' x , f ' u VẤN ĐỀ 1 BÀI TOÁN CHO f ' x , f '' x DẠNG 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x LOẠI 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 1 x 4 với mọi x ¡ . Hàm số g x f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại? A. 0.B.1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f x Ta có g x f 3 x g x f 3 x . Từ bảng biến thiên của hàm số f x ta có 3 x 1 x 4 g x 0 f 3 x 0 . 1 3 x 4 1 x 2 Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g x Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x có một điểm cực đại. 2 Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 x 1 x 4 với mọi x ¡ . Hàm số g x f x2 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn B Trang 1
2. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 é êx = 0 2 5 2 2 2 2 ê Ta có g¢(x)= 2xf ¢(x )= 2x (x - 1)(x - 4) ; g¢(x)= 0 Û 2x5 (x2 - 1)(x2 - 4) = 0 Û êx = ± 1 . ê ê 2 2 ë(x - 2) (x + 2) = 0 Ta thấy x = ± 1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ ¾ ¾® hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. 2 Câu 3. Cho hàm số y f x xác định, liên tục, có đạo hàm trên ¡ và f x x2 x 2028 x 2023 . Khi đó hàm số y g(x) f x2 2019 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 2 2 Ta có y g(x) f x 2019 y g (x) x 2019 f x 2019 2x. f x 2019 . 2 Mặt khác f x x2 x 2028 x 2023 . Nên suy ra: 2 2 y g (x) 2x. f x2 2019 2x. x2 2019 x2 2019 2028 x2 2019 2023 . 2 2 2 2x. x2 2019 x2 9 x2 4 2x. x2 2019 x 3 x 3 x 2 2 x 2 2 x 0 (nghiem don) x 3 (nghiem don) 2 y 2x. x2 2019 x 3 x 3 x 2 2 x 2 2 0 x 3 (nghiem don) x 2 (nghiem boi 2) x 2 (nghiem boi 2) Ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y g(x) f x2 2019 có tất cả 3 điểm cực trị. Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 2x , x ¡ . Hàm số y f x2 8x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f x x2 2x x x 2 và y 2x 8 . f x2 8x 2 x 4 x2 8x x2 8x 2 x 4 x 4 0 x 0 y 0 x2 8x 0 x 8 . 2 x 8x 2 0 x 4 3 2 x 4 3 2 Bảng xét dấu y như sau: Trang 2
3. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy hàm số y f x2 8x có 5 điểm cực trị. LOẠI 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ CHỨA THAM SỐ m Câu 5. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f x có đúng một điểm cực trị? A. .7 B. . 0 C. . 6 D. . 5 Hướng dẫn giải Chọn đáp án C. x 0;x 1 Ta có f ' x 0 x2 x 1 x2 2mx 5 0 . 2 x 2mx 5 0(*) Vì f ' x không đổi dấu qua nghiệm x = 0 nên hàm số không đạt cực trị tại x 0. Do đó, hàm số y f x có đúng một cực trị trong các trường hợp sau: 1. Phương trình (*) vô nghiệm. Khi đó ' m2 5 0 5 m 5. 2 ' m 5 0 2. Phương trình (*) có nghiệm kép bằng -1. Khi đó (hệ vô nghiệm). 2 1 2m 5 0 3. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -1. 2 ' m 5 0 m2 5 0 Khi đó m 3. 2 1 2m 5 0 m 3 Vậy giá trị nguyên m 2; 1;0;1;2;3. 2 Câu 6. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x x 1 x2 2x với mọi x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x f x2 8x m có 5 điểm cực trị? A. 15. B. 16. C. 17. D. 18. Hướng dẫn giải Chọn A éx = 1 nghiem boi 2 ê ( ) 2 2 ê Xét f ¢(x)= 0 Û (x- 1) (x - 2x)= 0 Û êx = 0 . êx = 2 ëê Ta có g¢(x)= 2(x- 4) f ¢(x2 - 8x + m); éx = 4 ê ê 2 êx - 8x + m = 1 (nghiem boi 2) g¢(x)= 0 Û 2(x- 4) f ¢(x2 - 8x + m)= 0 Û ê . êx2 - 8x + m = 0 (1) ê ê 2 ëx - 8x + m = 2 (2) Trang 3
4. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Yêu cầu bài toán Û g¢(x)= 0 có 5 nghiệm bội lẻ Û mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*) 2 Xét đồ thị (C) của hàm số y = x - 8x và hai đường thẳng d1 : y = - m, d2 : y = - m + 2 (như hình vẽ). Khi đó (*) Û d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt Û - m > - 16 Û m < 16. Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa. 2 Cách 2: Đặt g x f x2 8x m . Ta có f x x 1 x2 2x 2 g ' x 2x 8 x2 8x m 1 x2 8x m x2 8x m 2 x 4 2 x 8x m 1 1 . Các phương trình 1 , 2 , 3 không có nghiệm chung từng đôi một g x 0 2 x 8x m 0 2 2 x 8x m 2 0 3 2 và x2 8x m 2 0 với m ¡ nên g x có 5 cực trị khi và chỉ khi 1 và 2 có hai nghiệm phân 16 m 0 m 16 biệt và khác 4 16 m 2 0 m 18 m 16. 16 32 m 0 m 16 16 32 m 0 m 18 Vậy m nguyên dương và m 16 nên có 15 giá trị m cần tìm. Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x)= x2 (x2 - 3x + 2)(x2 - x), với mọi x Î ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x2 16x 2m có 5 điểm cực trị? A. 30 . B. 31. C. 32 . D. 33 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: y¢= f ¢(x2 - 16x + 2m)(2x- 16). éx = 8 ê éx = 8 êx2 - 16x + 2m = 1 (1) Cho y¢= 0 Û ê Û ê . êf ¢ x2 - 16x + 2m = 0 ê 2 ëê ( ) êx - 16x + 2m = 0 (2) ê 2 ëêx - 16x + 2m = 2 (3) Do các nghiệm của (1) đều là nghiệm bội bậc chẵn còn (2) và (3) không thể có nghiệm trùng nhau nên hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi (2) và (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 8 . Trang 4
5. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 ì ' ï D 2 > 0 ïì 64- 2m > 0 ï ï ï ' ï ï D 3 > 0 ï 64- 2m + 2 > 0 í Û í Û m 0 êïì ém 2 ëêm > 2 êï êï êï P = 4 > 0 ï m > 0 ëîï ëêîï ïì m Î ¢ Kết hợp với íï Þ m Î {- 2;- 1;0;1;2; ;2018;2021} : có 2024 giá trị nguyên của m . îï m £ 2021 Câu 9. Cho hàm số f (x) có f ¢(x)= x(x- 1)(x2 - 2mx + 1). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m không vượt quá 2021 sao cho hàm số g(x)= f (x2 ) có 7 điểm cực trị? A. 2022 .B. 2024 .C. 2021.D. 2020 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: g¢(x)= 2x. f ¢(x2 )= 2x.x2 (x2 - 1)(x4 - 2mx2 + 1)= 2x3 (x2 - 1)(x4 - 2mx2 + 1). é êx = 0 ê g¢(x)= 0 Û êx = ± 1 ê 4 2 ëêx - 2mx + 1= 0 (*) Do x = 0 là nghiệm bội lẻ và x = ± 1 là các nghiệm đơn nên để g(x) có 7 điểm cực trị thì phương trình (*) phải có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác ± 1, hay phương trình t 2 - 2mt + 1= 0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1. ïì ém > 1 ì ¢ 2 ï ê ï D = m - 1> 0 ï ï ï ëêm 0 ï Û íï Û íï m > 0 Û m > 1. ï P = 1> 0 ï ï ï m ¹ 1 ï 2 ï îï 1 - 2m.1+ 1¹ 0 ï îï Kết hợp với điều kiện m nguyên, không vượt quá 2021 suy ra có 2022 giá trị của m . Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x)= (x2 - x)(x2 - 4x + 3), " x Î ¡ . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x)= f (x2 + m) có 3 điểm cực trị. Trang 5
6. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 0 . B. 6 . C. 3 . D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C éx = 0 2 ê Ta có f ' x = x x- 1 x- 3 ; f ' x = 0 Û êx = 1 ( x = 0, x = 3 là nghiệm đơn; x = 1 là nghiệm bội chẵn). ( ) ( ) ( ) ( ) ê ê ëx = 3 éx = 0 éx = 0 ê ê ê 2 ê 2 éx = 0 x + m = 0 êx = - m (1) Lại có g ' x = 2x. f ' x2 + m ; g ' x = 0 Û ê Û ê Û ( ) ( ) ( ) ê 2 ê 2 ê 2 êf '(x + m)= 0 êx + m = 1 êx = 1- m (2) ë ê ê 2 ê 2 ëêx + m = 3 ëx = 3- m (3) Do (2) có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình (1),(3) có nghiệm không chung nhau và - m 0 Vì m Î ¢ Þ m Î {0;1;2} . Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 3. 2 Câu 11. Cho hàm số y f x có f ¢(x)= (x- 2) (x2 - 4x + 3) với mọi x Î ¡ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f (x2 - 10x + m + 9) có 5 điểm cực trị? A. 18. B. 17. C. 16. D. 15. Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 Theo đề bài f ¢(x)= (x- 2) (x2 - 4x + 3) = (x- 2) (x- 1)(x- 3) Ta có y¢= (2x- 10) f ¢(x2 - 10x + m + 9). é2x- 10 = 0 éx = 5 ¢ ê ê y = 0 Û 2 Û ê 2 êf ¢ x - 10x + m + 9 = 0 x2 - 10x + m + 7 x2 - 10x + m + 8 x2 - 10x + m + 6 = 0 ëê ( ) ëê( ) ( )( ) éx = 5 ê ê 2 ê(x2 - 10x + m + 7) = 0 Û ê . ê 2 êx - 10x + m + 8 = 0 (1) ê 2 ëêx - 10x + m + 6 = 0 (2) 2 Giả sử x0 là một nghiệm của (1) Þ x0 - 10x0 + m + 8 = 0 . 2 Do đó x0 - 10x0 + m + 6 = - 2 =/ 0, " m , suy ra (1) và (2) không có nghiệm chung. Hàm số y = f (x2 - 10x + m + 9)cónăm điểmcựctrịkhimỗiphươngtrình(1),(2)cóhainghiệmphânbiệtkhác 5 ì 25- m- 8> 0 ì m 0 ï m < 19 mÎ ¢ + Û í Û í Û m < 17 ¾ ¾ ¾® m Î {1;2;3; ;15;16} . ï m- 17 ¹ 0 ï m ¹ 17 ï ï îï m- 19 ¹ 0 îï m ¹ 19 Vậy có 16 giá trị nguyên của m để hàm số y = f (x2 - 10x + m + 9) có 5 điểm cực trị. Trang 6
7. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x LOẠI 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x VÀ KHÔNG CHỨA THAM SỐ m 2 Câu 12. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 1 x 2 1 với mọi x ¡ . Hàm số g x f x x đạt cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B 2 Ta có g¢(x)= f ¢(x)- 1 = (x + 1)(x - 1) (x - 2); éx = - 1 ê ¢ = Û + - 2 - = Û ê = = - = = g (x) 0 (x 1)(x 1) (x 2) 0 êx 1 . Ta thấy x 1 và x 2 là các nghiệm đơn còn x 1 là nghiệm ê ëx = 2 kép ¾ ¾® hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. 2 2 Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x3 x2 x 3 . Khi đó số điểm cực trị của hàm số 9 9 2 y g x 2 f x x 1 là A. 1. B. 2 . C. 4 .D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 Ta có y g x 2 f x x 1 g x 2 f x 2 x 1 2 f x x 1 2 2 2 x3 x2 x 3 x 1 9 9 2 3 2 2 2 x x 2x 2 9 9 x 3 2 3 2 2 ta có: g x 0 x x 2x 2 0 x 1 . 9 9 x 3 Bảng xét dấu của hàm g x : Trang 7
8. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Từ bảng xét dấu ta có đáp án đúng là hàm số y g x có 3 điểm cực trị. Câu 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x 3 x x2 1 2x,x ¡ . Hỏi hàm số g x f x x2 1 đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây? A. x 1.B. x 1.C. x 3. D. x 0 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g ' x f ' x 2x 3 x x2 1 2x 2x 3 x x2 1 . 2 x 3 g ' x 0 3 x x 1 0 . x 1 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số g x đạt cực tiểu tại x 1 . Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có f ' x x 1 2x2 3x 9 . Hỏi hàm số g x f x x3 3x2 9x 6 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D Vì hàm số y f x liên tục trên ¡ nên hàm số g x f x x3 3x2 9x 6 cũng liên tục trên ¡ . Có g ' x f ' x 3x2 6x 9 x 1 2x2 3x 9 3 x 1 x 3 x 1 x 3 2x 6 x 1 g ' x 0 x 3 x 3 Ta có bảng biến thiên x 3 1 3 g ' x 0 0 0 g x Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x có 3 điểm cực trị. 2 Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đạo hàm f ' x x2 x 1 x 2 . Hỏi hàm số 2 g x f x x3 x2 9 có bao nhiêu điểm cực tiểu? 3 A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: Trang 8
9. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 g ' x f ' x 2x x 1 x x 1 x3 x2 2x 2 x 0 x 1 g ' x 0 x x 1 x 1 x2 2 0 x 1 x 2 x 2 Lập bảng biến thiên của hàm số y g x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y g x có 3 điểm cực tiểu. Câu 17. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 3. x2 1 x 2 . Khi đó hàm số g x f x x3 3x đạt cực đại tại A. x 1. B. x 2 . C. x 1. D. x 3. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: g x f x 3x2 3 3. x2 1 . x 2 3 x2 1 3 x2 1 . x 3 x 1 x2 1 0 g x 0 x 1 x 3 0 x 3 Bảng biến thiên: x 1 1 3 g x 0 0 0 g x Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số y g x đạt cực đại tại x 1. Câu 18. Cho hàm số y f x xác định trên ¡ và có đạo hàm f ' x thỏa mãn f x 1 x x 2 g x 2019 với g x 0 với x ¡ . Hàm số y f 1 x 2019x 2020 đạt cực đại tại A. x0 1. B. x0 2 .C. x0 0 . D. x0 3. Hướng dẫn giải ChọnD Đặt h x f 1 x 2019x 2020 Ta có: h x f 1 x 2019 1 1 x 1 x 2 g 1 x 2019 2019 x 0 x 3 x g 1 x ; h x 0 . x 3 Trang 9
10. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Bảng biến thiên của hàm số h x . Vậy hàm số đạt cực đại x0 3. 3 Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x x 2 . Số điểm cực trị của hàm số 3 g x f x 2 x là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 Ta có g x f x 3 2 x f x 3 x 2 x 2 x2 2x 3 x 2 g x 0 x 1. x 3 Bảng biến thiên của hàm số g x Từ BBT suy ra hàm số có 2 điểm cực trị. LOẠI 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x VÀ CHỨA THAM SỐ m Câu 20. Cho hàm số y f x có đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 12 ; 12 sao cho hàm số y f x mx 12 có đúng một điểm cực trị? y= -m A. 5.B. 18.C. 20.D. 12. Hướng dẫn giải Chọn C Đạo hàm y f x m ; y 0 f x m YCBT Phương trình y 0 (có 1 nghiệm đơn) Trang 10 y= -m
11. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 hoặc (có 1 nghiện đơn và nghiệm kép) đường thẳng y m cắt đồ thị đạo hàm y f x tại 1 điểm có có hoành độ là nghiệm đơn (bội lẻ) hoặc m 3 m 1 tại haiđiểm trong đó có điểm có hoành độ bội chẵn m 1 m 3 Kết hợp với m 12 ; 12 ta được m 12 ; 31 ; 12 và m là số nguyên nên có tất cả 9 11 20 giá trị nguyên. Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau: Tìm m để hàm số y f x mx có 3 điểm cực trị A. 0 m 4 . B. 0 m 4 . C. m 4 . D. m 0 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: y f x m ; y 0 f x m . Dựa vào đồ thị y f x , suy ra phương trình f x m có 3 nghiệm phân biệt và các đó là nghiệm đơn đường thẳng y m cắt đồ thị đạo hàm y f x tại 3 điểm phân biệt 0 m 4 . Vậy để hàm số y f x mx có 3 điểm cực trị thì 0 m 4 . Câu 22. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 3 x2 1 với x ¡ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x mx có 4 điểm cực trị? A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A Xét đạo hàm y f x m x2 3 x2 1 m ; y 0 x2 3 x2 1 m YCBT y 0 có 4 nghiệm phân biệt Đặt g x x2 3 x2 1 x4 2x2 3 ; g x 4x3 4x 4x x2 1 ; BBT x –∞ 1 0 1 +∞ y – 0 + 0 – 0 + +∞ 3 +∞ y 4 4 Vậy 4 m 3 , mà m nguyên nên không có m nào. Câu 23. Cho hàm số y f x có biểu thức đạo hàm f x x3 3x2 1và hàm số y g x f x mx 2021. Gọi S a;b là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y g x có ba cực trị. Giá trị của 2a 3b bằng Trang 11
12. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A.1. B. 3 . C. 5 . D. 7 . Hướng dẫn giải Chọn D Từ yêu cầu bài toán ta có: g x f x m g x x3 3x2 1 m . Suy ra g x 0 x3 3x2 1 m 0 x3 3x2 1 m . Để hàm số y g x có ba cực trị thì g x 0 có ba nghiệm phân biệt. Hay phương trình x3 3x2 1 m có ba nghiệm phân biệt. 3 2 2 x 2 Xét hàm số y h x x 3x 1 có h x 3x 6x và h x 0 . x 0 Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y h x như sau: x 2 0 y 0 0 3 y 1 Để phương trình x3 3x2 1 m có ba nghiệm phân biệt thì đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y h x tại ba điểm phân biệt. Nghĩa là 1 m 3 . Hay S 1;3 . Do đó 2a 3b 7 Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x3 2x2 ,x ¡ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x f x mx 3 có 3 điểm cực trị. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số g x f x mx 3 xác định trên ¡ . g ' x f ' x m x3 2x2 m Hàm số g x f x mx 3 có 3 điểm cực trị g ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt x3 2x2 m 0 có 3 nghiệm phân biệt x3 2x2 m có 3 nghiệm phân biệt x 0 3 2 2 Đặt g x x 2x ; g x 3x 4x ; g x 0 4 ; x 3 BBT: 4 x ∞ 3 0 +∞ y' + 0 0 + +∞ y 32 27 y = m 0 ∞ 32 Vậy 0 m , mà m nguyên dương nên m 1. 27 Trang 12
13. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 25. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x 4 x2 ,x  2;2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x f x m2 x 3m có 2 điểm cực trị. A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số g x f x m2 x 3m xác định trên  2;2. Đạo hàm g ' x f ' x m2 x 4 x2 m2 YCBT: Hàm số g x f x m2 x 3m có 2 điểm cực trị g ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt và g ' x đổi dấu qua các nghiệm đó Xét phương trình x 4 x2 m2 0 * x 4 x2 m2 Xét hàm số h x x 4 x2 , x  2;2 4 2x2 h' x , h' x 0 x 2 4 x2 Bảng biến thiên của hàm h x y = m2 2 2 m 2 Vậy 0 m 2 , m nguyên dương nên m 1;1 . m 0 Câu 26. Cho hàm số y f x có biểu thức đạo hàm f x x 3 x 1 x 2 và hàm số y g x 6 f x 2x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 2021. Gọi S ;a  b;c là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y g x có ba cực trị. Giá trị của a 2b 3c bằng A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn D Từ yêu cầu bài toán ta có: g x 6 f x 6x2 6 m 1 x 6 m 2 g x 6 x 3 x 1 x 2 6x2 6 m 1 x 6 m 2 g x 6 x 1 x2 2x m 4 . x 1 Suy ra . g x 0 2 x 2x m 4 0 Để hàm số y g x có ba cực trị thì g x 0 có ba nghiệm phân biệt phương trình x2 2x m 4 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. 5 m 0 m 5 Hay . Suy ra S ;1  1;5 . m 1 0 m 1 Như vậy a 1, b 1, c 5 và a 2b 3c 8 . Trang 13
14. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 3 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x h x 2 x Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2x , x ¡ . Hàm số y f 1 4x có mấy 2 điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C x Xét hàm số g x f 1 4x . 2 2 1 x 1 x x x2 9 g x f 1 4 = 1 2 1 4 0 x 6 . 2 2 2 2 2 8 2 Bảng xét dấu g x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị. 2019 Câu 28. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 2 x x2 8 , x ¡ . Hàm số 1 y f x2 2 x4 4x2 2021 có bao nhiêu điểm cực trị ? 2 A. 4 . B. 2021. C. 5 . D. 2020 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 Xét hàm số g x f x2 2 x4 4x2 2020 . 2 + g x 2x. f x2 2 2x3 8x . 2 3 2 2 + g x 0 2x. f x 2 2x 8x 0 2x f x 2 x 4 0 x 0 . 2 2 f x 2 x 4 0 Giải phương trình : Đặt t x2 2 . 2019 2019 f t t 2 0 2 t t 2 8 t 2 0 2 t t 2 8 1 0 2 t 0 t 2 t 2 2019 . 2 2 t 3 t 8 1 0 t 8 1 x2 2 2 x2 4 x 2 2 2 Suy ra x 2 3 x 5 . 2 2 x 5 x 2 3 x 1 Trang 14
15. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 g x 0 có 5 nghiệm (không có nghiệm bội chẵn). Vậy hàm số có 5 cực trị. DẠNG 4 k XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x 2 3 4 Câu 29. Biết rằng hàm số f x có đạo hàm là f ' x x x 1 x 2 x 3 . Hỏi hàm số f 3 x có bao nhiêu điểm cực trị? A 1 B. .C.2.D 4 3 Câu 30. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f '(x) 4x3 2x và f (0) 1. Số điểm cực tiểu của hàm số g(x) f 3 x2 2x 3 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Ta có f (x) 4x3 2x dx x4 x2 C và f (0) 1 C 1. Do đó ta có f (x) x4 x2 1 0,x . Ta có: g '(x) 3 2x 2 . f 2 x2 2x 3 . f ' x2 2x 3 x 1 2x 2 0 g '(x) 0 3 x 1 4 x2 2x 3 2 x2 2x 3 0 x 3 Bảng biến thiên x - -1 1 3 + g'(x) - 0 + 0 - 0 + g(x) Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y g(x) có 2 cực tiểu. 2 2 Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x 3x 3 và f 2 4 . Hàm số g x f 1 2x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải + Hàm số y f x có đạo hàm f ' x 3x2 3 . y f x f ' x dx 3x2 3 dx x3 3x C . Mà f 2 4 23 3.2 C 4 C 2 . f x x3 3x 2 . 2 + g x f 1 2x g ' x 2 f 1 2x . f 1 2x ' 4 f 1 2x . f ' 1 2x . Trang 15
16. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 1 2x 1 nghiem kep 1 2x 3 1 2x 2 0 f 1 2x 0 1 2x 2 g ' x 0 1 2x 1 f ' 1 2x 0 1 2x 1 1 2x 1 1 2x 1 x 0 nghiem boi ba x 1 . 3 x 2 3 phương trình g x 0 có 2 nghiệm đơnlà x 1, x và một nghiệm bội ba x 0 . 2 Bảng biến thiên: 2 Vậy hàm số g x f 1 2x có 3 điểm cực trị. Câu 32. Cho hàm số bậc bốn trùng phương y f x có đạo hàm f ' x 4x3 4x và f 0 1, f 1 2 . Hàm số g x 2 f 3 x 4 f 2 x 1có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 4 . B. 5 . C. 7 . D. 9 . Hướng dẫn giải x 1 3 + f ' x 0 4x 4x 0 x 0 . x 1 Bảng biến thiên của hàm số bậc bốn trùng phương y f x + g x 6 f 2 x . f x 8 f x . f x 0 f x 0 f x 0 . 4 f x 3 Dựa vào bảng biến thiên trên ta có: x 0 x x1 f x 0 , f x 0 , x 1 x x2 Trang 16
17. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x a 4 x b f x thỏa mãn: x a 1 b 0 c 1 d x . 3 x c 1 2 x d Khi đó để có nhiều điểm cực tiếu nhất thì bảng xét dấu của g x có dạng: x a 1 b 0 d x x 1 c 1 2 g x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Vậy hàm số g x 2 f 3 x 4 f 2 x 1 có nhiều nhất 5 điểm cực tiểu. DẠNG 5 DẠNG KHÁC Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 3, liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2 3 2 f x . f x x x 1 x 4 với mọi x ¡ . Hàm số g x f x 2 f x . f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g¢(x)= 2 f ¢¢(x) f ¢(x)- 2 f ¢(x).f ¢¢(x)- 2 f (x).f ¢¢¢(x)= - 2 f (x).f ¢¢¢(x); éx = 0 éx = 0 ê ê 2 3 ê 2 g¢(x)= 0 Û f (x). f ¢¢¢(x)= 0 Û x (x - 1) (x + 4) = 0 Û ê(x - 1) = 0 Û êx = 1 . ê ê = - êx = - 4 ëêx 4 ë Ta thấy x = 0 và x = - 4 là các nghiệm đơn ¾ ¾® hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2, liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2 4 f x f x f x 15x 12x với mọi x ¡ . Hàm số g x f x . f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B éx = 0 2 ê ¢ = é ¢ ù + ¢¢ = 4 + ¢ = Û 4 + = Û ê Ta có g (x) ëf (x)û f (x). f (x) 15x 12x. ; g (x) 0 15x 12x 0 ê 4 . êx = 3 - ë 5 4 Nhận thấy x = 0 và x = 3 - là các nghiệm bội lẻ ¾ ¾® hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. 5 Trang 17