Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 2: Bài toán cho đồ thị f'(x)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 2: Bài toán cho đồ thị f'(x)

1. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 2 BÀI TOÁN CHO ĐỒ THỊ f ' x DẠNG 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x LOẠI 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số y f x 2019 có mấy cực trị ? A. 1.B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn C ' y ' f x 2019 x 2019 ' f ' x 2019 f ' x 2019 Đồ thị f ' x 2019 là phép tịnh tiến của đồ thị f ' x theo phương trục Ox qua bên trái 2019 đơn vị nên đồ thị f ' x 2019 vẫn cắt trục Ox 3 điểm bằng số giao điểm mà đồ thị f ' x cắt trục Ox 3 cực trị Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số y f x 2 có mấy cực trị ? A. 0.B. 1. C. 2. D. 3. Trang 1
2. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hướng dẫn giải: Chọn A ' y ' f x 2 x 2 ' f ' x 2 f ' x 2 Đồ thị f ' x 2 là phép tịnh tiến của đồ thị f ' x theo phương trục Ox qua bên phải 2 đơn vị nên đồ thị f ' x 2 vẫn cắt trục Ox 2 điểm bằng số giao điểm mà đồ thị f ' x cắt trục Ox mà đồ thị f ' x cắt trục Ox tại 2 điểm nhưng qua 2 điểm đó hàm số không đổi dấu 0 cực trị Câu 3. Cho hàm số y f x . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g x f x 1 2021 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x 2. B. x 4. C. x 3. D. x 1. Hướng dẫn giải Chọn B x 1 1 x 2 1 x 1 3 2 x 4 Cách 1 : g' x f ' x 1 0 x 1 3 x 4 ; g' x f ' x 1 0 x 1 5 x 6 x 1 5 x 6 Ta chọn đáp án B Cách 2 : đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y f ' x theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị. f '(x) g'(x) Đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ x 2; x 4; x 6 và giá trị hàm số g ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x 4 . Câu 4. Hàm số y f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y f ' x trên K như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g x f x 1 trên K ? Trang 2
3. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g ' x f ' x 1 có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y f ' x theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm. Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số y f x 2020 2021 có mấy cực trị ? A. 1.B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn A ' y ' f x 2020 2021 x 2020 ' f ' x 2020 f ' x 2020 Đồ thị f ' x 2020 là phép tịnh tiến của đồ thị f ' x theo phương trục Ox qua bên trái 2020 đơn vị, đồ thị f ' x 2020 vẫn cắt trục Ox 1 điểm x 0 1 cực trị Câu 6. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ bên. y f x O x 2021 Hàm số g x f x 2021 có mấy điểm cực trị? 2022 A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C Đồ thị hàm số f ' x 2021 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' x 2021 vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm. Trang 3
4. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 7. Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ. y O x Khi đó trên K, hàm số y f x 2021 2021 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số f ' x 2021 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' x 2021 vẫn cắt trục hoành 1 điểm. Câu 8. Cho hàm số y f x . Biết f x có đạo hàm f ' x và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Đặt g x f x 1 . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số g x có hai điểm cực trị. B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;3 . C. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2;4 . D. Hàm số g x có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y f ' x theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. g'(x) f '(x) Ta thấy trên khoảng 2;4 đồ thị hàm số g ' x f ' x 1 nằm bên dưới trục hoành nên hàm số g x nghịch biến trên khoảng 2;4 , ta chọn đáp án C Cách 2 : Trang 4
5. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 1 1 x 0 1 x 1 3 0 x 2 g' x f ' x 1 0 x 1 3 x 2 ; g' x f ' x 1 0 x 1 5 x 4 x 1 5 x 4 Câu 9. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. 2022 Số điểm cực trị của hàm số y f 1 x là 2021 A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải x 2 Từ hình vẽ ta thấy đồ thị f ' x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hay f ' x 0 x 0 nhưng chỉ có 2 x 2 nghiệm x 0, x 2 là f ' x đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương, như vậy hàm số f x có hai điểm cực trị. 1 x 2 x 3 Nhận thấy f 1 x ' f ' 1 x 0 1 x 0 x 1 nhưng chỉ có hai nghiệm x 1; x 1 là 1 x 2 x 1 f ' x đổi dấu, như vậy hàm số f x chỉ có hai điểm cực trị. Chọn D. Câu 10. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Trang 5
6. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Xét hàm số g x f x2 3 và các mệnh đề sau: (I) Hàm số g x có 3 điểm cực trị. (II) Hàm số g x đạt cực tiểu tại x 0. (III) Hàm số g x đạt cực đại tại x 2. (IV) Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2;0 . (V) Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1;1 . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên? A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn D x 0 x 0 x 0 2 2 Cách 1: Ta có g x 2x. f x 3 ; g x 0 2 x 3 2 x 1 f x 3 0 2 x 3 1 x 2 2 2 x 2 và từ đồ thị của y f x ta có f x 3 0 x 3 1 x 2 Ta có bảng xét dấu g x Suy ra các mệnh đề I và IV đúng, còn lại sai. Cách 2: Dựa vào đồ thị, ta có f x 0 x 1(đơn), x 2(kép). Ta có g x 2x. f x2 3 x 0 2 2 g x 0 2 x 0, x 3 1, hoặc x 3 2 (kép) x 0(đơn), x 2 (đơn), x 1 (kép) f x 3 0 Ta có BBT thu gọn như sau Do đó, I đúng, II sai, III sai, IV đúng, V sai. Câu 11. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng biến thiên của đạo hàm f ' x như đồ thị hình bên dưới. Hỏi hàm số g x f x2 3x 3 có bao nhiêu điểm cực đại ? Trang 6
7. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g¢(x)= (- 2x + 3). f ¢(- x 2 + 3x); é 3 é 3 êx = êx = ê 2 ê 2 ê é- 2x + 3 = 0 ê ê 3± 17 g¢(x)= 0 Û ê ¬ ¾theo¾ do t¾hi f (¾x)® ê- x 2 + 3x = - 2 Û êx = . êf ¢- x 2 + 3x = 0 ê ê 2 ëê ( ) ê 2 ê ê- x + 3x = 0 êx = 0 ê ê ë ê ëx = 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A æ ö ç3+ 17 ÷ Chú ý: Dấu của g¢(x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 4 Î ç ;+ ¥ ÷ èç 2 ø÷ - 2x + 3 = - 5 0 ( vì f đang tăng). (2) æ ö ¢ ¢ 2 ç3+ 17 ÷ Từ (1) và (2), suy ra g (x)= (- 2x + 3) f (- x + 3x)< 0 trên khoảng ç ;+ ¥ ÷. èç 2 ø÷ Nhận thấy các nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 là các nghiệm bội lẻ nên g¢(x) qua nghiệm đổi dấu. Câu 12. Cho hàm số y = f (x)có đồ thị hàm f ¢(x)= ax2 + bx + c như hình bên. 2021 Hỏi hàm số g(x)= f (x- x2 )- có bao nhiêu cực trị ? 2022 A. 0. B. 1.C. 2.D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B Xét g(x)= f (x- x2 ) Þ g¢(x)= (1- 2x) f ¢(x- x2 ). Trang 7
8. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 é 1 êx = ê 2 é1- 2x = 0 ê g¢(x)= 0 Û ê Û êx- x2 = 1 (*) êf ¢ x- x2 = 0 ê ëê ( ) ê 2 êx- x = 2 ( ) ëê 1 Û x = (vì phương trình (*)( ) vô nghiệm). 2 1 Ta có: g¢(x) đổi dấu 1 lần khi qua nghiệm x = . 2 Câu 13. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên tập ¡ . Hàm số y = f ¢(x) có đồ thị như hình sau: Hàm số y = f (x2 - x)- 5 có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn C Xét hàm số y = f (x2 - x). Ta có y¢= (2x- 1) f ¢(x2 - x). é 1 é 1 êx = êx = ê 2 ê 2 ê é êx = 0 2x- 1= 0 ê 2 ê y¢= 0 Û ê Û êx - x = - 2 Û êx = 1 . ê ¢ 2 ê êf (x - x)= 0 ê 2 ê ë êx - x = 0 êx = - 1 ê ê 2 êx = 2 ëêx - x = 2 ê ëê é0 0 Û ê Û êx > 2 . ( ) ê 2 ê ëêx - x > 2 ê ëx < - 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x2 - x) là: Trang 8
9. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy hàm số y = f (x2 - x)- 5 có 3 điểm cực tiểu. Câu 14. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số g(x) f x2 5 2021 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Hướng dẫn giải ChọnC Xét hàm số y g(x) f x2 5 Ta có y g '(x) 2x. f x2 5 x 0 x 0 x 0 (nghiem boi 3) x2 5 5 x2 0 y 0 x 3 (nghiem don) . 2 2 x 5 2 x 3 2 2 x 2 2 (nghiem don) x 5 3 x 8 Trang 9
10. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 0 x 2 2 x 0 x 2 2 2 x 5 3 3 x 3 x 2 2 2 5 x 5 2 g ' x 0 . 0 x 3 x 0 x 0 2 2 x 3 2 2 x 5 3 2 2 x 2 2 x2 5 5 x 3 x 3 Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y g(x) f x2 5 như sau: Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g(x) f x2 5 2021 có tất cả 5 điểm cực trị. Câu 15. Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số f x như hình bên. Hàm số g x f x2 2021 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 .B. 3 .C. 5 .D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn C x 2 x 0 Từ đồ thị y f x ta có f x 0 ; x 1 x 3 x 3 x 2 f x 0 ; f x 0 . 2 x 1 1 x 3 x 0 x 0 x 0 x2 1 Ta có g x 2xf x2 ; g x 0 x 1 . 2 2 f x 0 x 3 2 x 3 x 0 Trang 10
11. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 1 x 1 0 x2 1 x 0 Ta có f x2 0 . 2 x 3 x 3 x 3 Ta có bảng biến thiên x 3 1 0 1 3 2x 0 f x2 0 0 0 0 0 g x 0 0 0 0 0 g x Từ bảng biến thiên ta có hàm số g x f x2 2021 có 5 điểm cực trị. Câu 16. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Tìm số 2021 2022 điểm cực trị của hàm số y g x f x2 3 . 3 A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn C x 2 nghiem don - Dựa vào đồ thị ta thấy: f ' x 0 . x 1 nghiem kep - Ta có g ' x 2x. f ' x2 3 . x 0 x 0 nghiem don 2 g ' x 0 x 3 2 x 1 nghiem don . 2 x 3 1 x 2 nghiem kep (Đến đây có thể kết luận hàm số có 3 điểm cực trị. Nếu muốn tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số thì ta cần lập bảng biến thiên) Trang 11
12. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 0 x 0 2 2 x 3 2 x 1 f ' x 3 0 2 g ' x 0 x 3 1 x 2 . x 0 x 0 1 x 0 2 f ' x 3 0 2 x 3 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số y g x . x -2 -1 0 1 2 g ' x - 0 - 0 + 0 - 0 + 0 + g x 2021 2022 Suy ra hàm số y g x f x2 3 có 3 điểm cực trị 3 Câu 17. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f '(x) trên ¡ và đồ thị của hàm số f '(x) như hình vẽ. 1 Xét hàm số g x f x2 2x 1 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2021 2021 A. Hàm số có sáu cực trị. B. Hàm số có năm cực trị. C. Hàm số có bốn cực trị. D. Hàm số có ba cực trị. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: g' x (2x 2) f '(x2 2x 1) . x 1 x 1 2 x 0 Nhận xét: g' x 0 x 2x 1 1 nghiêm kép qua 2 nghiêm nay ko dôi dâu x 2 2 x 2x 1 2 x 1 x 3 Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị. Trang 12
13. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 18. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có đúng hai điểm cực trị x 1, x 1, có đồ thị như hình vẽ sau: Hỏi hàm số y f x2 2x 1 2021 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 .B. 3 . C.1.D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Do hàm số y f x có đúng hai điểm cực trị x 1, x 1nên phương trình f x 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x 1, x 1. Ta có y 2x 2 f x2 2x 1 . 2x 2 0 x 1 2 y 0 x 2x 1 1 x 0 . 2 x 2x 1 1 x 2 Ta có x 1 x 1 2x 2 0 2 x 2x 1 1 x 2 2 f '(x 2x 1) 0 x 2 2 x 0 y ' 0 x 2x 1 1 2x 2 0 0 x 1 2 x 1 x 1 f '(x 2x 1) 0 2 0 x 2 1 x 2x 1 1 Do đó ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y f x2 2x 1 2021 có 3 cực trị. Chọn phương án B. Trang 13
14. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 19. Cho hàm số bậc bốn y f x . Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' x . 2021 Hàm số g x f x2 2x 2 3 có bao nhiêu điểm cực trị ? 2022 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải x + 1 Chọn A Ta có g¢(x)= f ¢( x 2 + 2x + 2). x 2 + 2x + 2 éx + 1 = 0 ê ê éx = - 1 éx + 1 = 0 x 2 + 2x + 2 = - 1 ê ê theo do thi f ' x ê ¢ ( ) ê ê Suy ra g (x)= 0 ê 2 ¬ ¾ ¾ ¾ ¾® Û êx = - 1+ 2 . êf ¢( x + 2x + 2)= 0 ê x 2 + 2x + 2 = 1 ê ë ê êx = - 1- 2 ê 2 ë ëê x + 2x + 2 = 3 Bảng xét dấu 2 Từ đó suy ra hàm số g(x)= f ( x + 2x + 2) có 1 điểm cực đại. Chú ý: Cách xét dấu - hay + của g '(x) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay 1 ¢ ¢ ¢ vào g (x). Chẳng hạn với khoảng (- 1;- 1+ 2) ta chọn x0 = 0 ¾ ¾® g (0)= f ( 2)< 0 vì dựa vào đồ thị ta 2 thấy f ¢( 2)< 0. Câu 20. Biết rằng hàm số f x xác định, liên tục trên ¡ có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y f f x . A. 5.B. 3. C. 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn C Xét hàm số y f f x , y f x . f f x ; Trang 14
15. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 0 x 0 f x 0 x 2 x 2 y 0 . f f x 0 f x 0 x a 2; f x 2 x b a; f x 0 Với x ;0 y 0 . f x 0 f f x 0 f x 0 Với x 0;2 y 0 . f x 0 f f x 0 f x 0 Với x 2;a y 0 . f x 0 f f x 0 f x 0 Với x a;b y 0 . 0 f x 2 f f x 0 f x 0 Với x b;+ y 0 . f x 2 f f x 0 Ta có bảng biến thiên Dựa vào BBT suy ra hàm số y f f x có bốn điểm cực trị. Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt g x 3 f f x 4 . Tìm số điểm cực trị của hàm số g x ? y 3 1 1 2 3 4 O x A. 2 . B. 8 . C. 10 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Trang 15
16. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 g x 3 f f x . f x . f x 0 f f x 0 f x a g x 0 3 f f x . f x 0 , 2 a 3 . f x 0 x 0 x a f x 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x1 , x2 , x3 khác 0 và a . Vì 2 a 3 nên f x a có 3 nghiệm đơn phân biệt x4 , x5 , x6 khác x1 , x2 , x3 , 0 , a . Suy ra g x 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm số g x 3 f f x 4 có 8 điểm cực trị. LOẠI 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ CÓ CHỨA THAM SỐ m Câu 22. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f ¢(x) với mọi x Î ¡ . và có đồ thị như hình vẽ. O Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x)= f (x 2 - 8x + m) có 5 điểm cực trị? A. 15. B. 16. C. 17. D. 18. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g¢(x)= 2(x - 4) f ¢(x 2 - 8x + m) Trang 16
17. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 éx = 4 ê ê 2 êx - 8x + m = 1 (nghiem boi 2) g¢(x)= 0 Û 2(x - 4) f ¢(x 2 - 8x + m)= 0 Û ê . êx 2 - 8x + m = 0 (1) ê ê 2 ëêx - 8x + m = 2 (2) Yêu cầu bài toán Û g¢(x)= 0 có 5 nghiệm bội lẻ Û mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*) ïì 16- m > 0 ï ï 16- m + 2 > 0 Cách 1: (*) Û íï Û m - 16 Û m < 16. Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện. DẠNG 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x LOẠI 1 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x VÀ KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Câu 23. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Hàm số y g x f x 4x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: y ' g ' x f ' x 4 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số f ' x theo phương Oy lên trên 4 đơn vị. Trang 17
18. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Khi đó đồ thị hàm số g ' x cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A Cách 2: Số cực trị của hàm g x bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình g ' x f ' x 4 0 f ' x 4 Dựa vào đồ thị của hàm f ' x ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn. Câu 24. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hàm số g x f x x đạt cực tiểu tại điểm: A. x 0 . B. x 1. C. x 2 . D. Không có điểm cực tiểu. Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: g x f x 1. Tịnh tiến đồ thị hàm số f x lên trên 1 đơn vị ta được đồ thị hàm sốg x Bảng biến thiên Cách 2: Ta có g¢(x)= f ¢(x)+ 1; g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= - 1. Suy ra số nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ¢(x) và đường thẳng y = - 1. éx = 0 ê ¢ = Û ê = Dựa vào đồ thị ta suy ra g (x) 0 êx 1 . ê ëx = 2 Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 1. Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng (- ¥ ;0) ta thấy đồ thị hàm f ¢(x) nằm phía dưới đường y = - 1 nên g¢(x) mang dấu - . Trang 18
19. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 25. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y f x 2x là A. 4 . B. 1. C. 3. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Xét hàm số g x f x 2x. Ta có g x f x 2 . Từ đồ thị hàm số f x ta thấy: x 1 + g x 0 f x 2 . x 0 x + g x 0 f x 2 . x 1 + g x 0 f x 2 x . Từ đó suy ra hàm số y f x 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x . Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị. Câu 26. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị của hàm số y f ' x như hình vẽ sau. Đặt g x f x x . Tìm số cực trị của hàm số g x ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g ' x f ' x 1. Đồ thị của hàm số g ' x là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số y f ' x theo phương Oy lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số g ' x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Trang 19
20. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 27. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hỏi hàm số g x f x 3x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2. B. 3. C. 4. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g¢(x)= f ¢(x)+ 3; g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= - 3. Suy ra số nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ¢(x) và đường thẳng y = - 3. éx = - 1 ê êx = 0 ¢ ê Dựa vào đồ thị ta suy ra g (x)= 0 Û ê . Ta thấy x = - 1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm êx = 1 ê ëêx = 2 kép nên đồ thị hàm số g(x)= f (x)+ 3x có 3 điểm cực trị. Chọn B Câu 28. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ .Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ sau: Số điểm cực trị của hàm số: y f (x) 5x là A. 2. B. 3. C. 4. D. 1 Hướng dẫn giải Chọn D y f (x) 5 .Khi đó đồ thị hàm số y f (x) dịch chuyển xuống dưới theo trục Oy 5 đơn vị Khi đó: y 0 cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. Vậy số điểm cực trị là 1. Câu 29. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x)= f (x)- x đạt cực đại tại Trang 20
21. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. x = - 1. B. x = 0. C. x = 1. D. x = 2. Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1 Ta có g¢(x)= f ¢(x)- 1; g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= 1. Suy ra số nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ¢(x) và đường thẳng y = 1. éx = - 1 ê ¢ = Û ê = Dựa vào đồ thị ta suy ra g (x) 0 êx 1 . Bảng biến thiên ê ëx = 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = - 1. Chọn A Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng (- ¥ ;- 1) ta thấy đồ thị hàm f ¢(x) nằm phía trên đường y = 1 nên g¢(x) mang dấu + . Cách 2 : Ta có g ' x f ' x 1. Đồ thị của hàm số g ' x là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số f ' x theo phương Oy xuống dưới 1 đơn vị. Ta thấy giá trị hàm số g ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x 1. Câu 30. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Hàm số y g x f x 3x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C y ' g ' x f ' x 3 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số f x theo phương Oy xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g ' x cắt trục hoành tại 3 điểm. Trang 21
22. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g x 2020 f x 2019x là A. 0.B. 1. C. 2.D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có g ' x 2020 f ' x 2019 . Từ đồ thị của hàm số y f ' x ta có g ' x 0 có ba nghiệm phân biệt và g ' x đổi dấu khi x qua ba nghiệm này. Do đó hàm số y g x có ba điểm cực trị. Câu 32. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ , có đạo hàm f x . Biết đồ thị của hàm số f x như hình vẽ. Trang 22
23. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Xác định điểm cực tiểu của hàm số g x f x x . A. Không có cực tiểu. B. x 0 . C. x 1. D. x 2 . Hướng dẫn giải Chọn C g x f x 1. Dựa vào đồ thị thấy g x đổi dấu từ “-” sang “+” qua điểm x 1 nên hàm số g x đạt cực tiểu tại x 1. Câu 33. Cho hàm số f x xác định trên ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ bên. Đặt g x f x x . Hàm số g x đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây? 3 1 A. ;3 . B. 2;0 . C. 0;1 . D. ;2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g x f x 1. g x 0 f x 1. Từ đồ thị, ta được x 1, x 1, x 2 . Từ đồ thị, ta cũng có bảng xét dấu của g x : Ta được hàm số g x đạt cực đại tại x 1. Trang 23
24. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: 2020x 1 Hàm số y f x có mấy cực trị ? 2021 A. 1.B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn C ' 2020x 1 2020 y ' f x f ' x 2021 2021 2020 2020 Đồ thị y ' f ' x là phép tịnh tiến của đồ thị f ' x theo phương trục Oy xuống dưới đơn vị. 2021 2021 2020 Đồ thị y ' f ' x cắt trục Ox 3 điểm 3 cực trị 2021 Câu 35. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 2019 2020x y g x f x có bao nhiêu cực trị? 2019 y 5 2 1 x x2 x x1 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D y 5 2 1 x x2 x x1 3 Trang 24
25. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2020 Ta có y ' g ' x f ' x . Suy ra đồ thị của hàm số g ' x là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y f ' x 2019 2020 theo phương Oy xuống dưới đơn vị. 2019 2020 Ta có 1 2 và dựa vào đồ thị của hàm số y f ' x , ta suy ra 2019 đồ thị của hàm số g ' x cắt trục hoành tại 4 điểm. Câu 36. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ , hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 2021 2022x y f x có số điểm cực trị là 2021 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: 2021 2022x 2022 y f x y' f ' x 2021 2021 2022 y' 0 f ' x 2021 2022 Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy phương trình f ' x có 4 nghiệm phân biệt. 2021 Vậy hàm số có 4 điểm cực trị. 2022 Lưu ý: Do 1 2 nên dựa vào đồ thị nhìn thấy đường thẳng nằm trong vùng từ 1 đến 2 từ đó quan sát thấy 2021 có 4 nghiệm. Câu 37. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hàm số y f ' x như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y f x x2 x 2021 đạt cực đại tại x 0 . B. Hàm số y f x x2 x 2021 đạt cực tiểu tại x 0 . C. Hàm số y f x x2 x 2021 không có cực trị. Trang 25
26. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 D. Hàm số y f x x2 x 2021 không đạt cực trị tại x 0 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: y ' f ' x 2x 1 y ' 0 f ' x 2x 1 (1) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y f x và y 2x 1 Dựa vào đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 2x 1có x 0,2 là các nghiệm của phương trình (1) y ' 1 f ' 1 2 1 0 y ' 1 f ' 1 2 1 0 y ' 3 f ' 3 6 1 0 Bảng xét dấu: Hàm số y f x x2 x 2021 đạt cực đại tại x 0 . Câu 38. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Hàm số g x 2 f x x2 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x 1 . B. x 0 . C. x 1. D. x 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Có g x 2 f x 2x g x 0 f x x (1) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y f x và y x Dựa vào đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y x có x 1,0,1,2 là các nghiệm của phương trình (1) (trong đó x 1 x 2 là các nghiệm bội chẵn). Trang 26
27. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Có bảng xét dấu x 1 0 1 2 g x 0 0 0 0 Từ đó suy ra hàm số g x đạt cực đại tại điểm x 1. Câu 39. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị của hàm số y f '(x) như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g(x) 2 f (x) x2 2x 2021. y 2 -1 O 1 3 x -2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số g x nghịch biến trên 1;3 . B. Hàm số g x có 2 điểm cực trị đại. C. Hàm số g x đồng biến trên 1;1 . D. Hàm số g x nghịch biến trên 3; . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có g '(x) 2 f '(x) 2x 2 2 f '(x) (x 1) . Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳngy x 1 cắt đồ thị hàm sốy f '(x) tại 3 điểm: ( 1; 2), (1;0), (3;2). y 2 -1 O 1 3 x -2 Dựa vào đồ thị ta có x 1 1 x 1 g '(x) 0 2 f '(x) (x 1) 0 x 1 . g '(x) 0 2 f '(x) (x 1) 0 3 x x 3 x 1 g '(x) 0 2 f '(x) (x 1) 0 1 x 3 Vậy hàm số y g(x) đồng biến trên các khoảng ( 1;1) Câu 40. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình vẽ bên dưới. Trang 27
28. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Hàm số g(x)= 2 f (x)+ x2 đạt cực tiểu tại điểm A. x = - 1. B. x = 0. C. x = 1. D. x = 2. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có g¢(x)= 2 f ¢(x)+ 2x; g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= - x. Suy ra số nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ¢(x) và đường thẳng y = - x. éx = - 1 ê êx = 0 ¢ ê Dựa vào đồ thị ta suy ra g (x)= 0 Û ê . Bảng biến thiên êx = 1 ê ëêx = 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 0. Chọn B Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng (- ¥ ;- 1) ta thấy đồ thị hàm f ¢(x) nằm phía trên đường y = - x nên g¢(x) mang dấu + . Câu 41. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x như hình vẽ. 1 Số điểm cực tiểu của hàm số g x f x x3 là 9 A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 Ta có: g x f x x2 . Khi đó g x 0 f x x2 . 3 3 1 Vẽ đồ thị hàm số y x2 trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị f x . 3 1 Dựa vào hình vẽ trên ta thấy phương trình f x x2 có ba nghiệm đơn x x x 3 1 2 3 Trang 28
29. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta lập được bảng xét dấu của g ' như sau Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g thay đổi từ sang hai lần. Vậy có hai điểm cực tiểu. Câu 42. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình vẽ bên dưới. x 3 Hàm số g(x)= f (x)- + x 2 - x + 2 đạt cực đại tại 3 A. x = - 1. B. x = 0 . C. x = 1. D. x = 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 Ta có g¢(x)= f ¢(x)- x 2 + 2x - 1; g¢(x)= 0 Û f ¢(x)= (x - 1) . Suy ra số nghiệm của phương trình g¢(x)= 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ¢(x) và parapol 2 (P): y = (x - 1) . éx = 0 ê ¢ = Û ê = Dựa vào đồ thị ta suy ra g (x) 0 êx 1 . Bảng biến thiên ê ëx = 2 Trang 29
30. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = 1. Chọn C Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng (- ¥ ;0) ta thấy đồ thị hàm f ¢(x) nằm phía trên 2 đường y = (x - 1) nên g¢(x) mang dấu - . Nhận thấy các nghiệm x = 0; x = 1; x = 2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g¢(x) đổi dấu. Câu 43. Cho hàm số f x có đồ thị f ' x như hình vẽ dưới. x3 Hàm số g x f x 2x2 5x 2021 có bao nhiêu điểm cực trị? 3 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Câu 44. Cho hàm số y f x xác định trên R. Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ. 1 3 3 Đặt g x f x x3 x2 x 2021. Điểm cực tiểu của hàm số g x đoạn [-3;1] là: 3 4 2 1 A. x 1. B. x . C. x 2. D. x 0. CT CT 2 CT CT Hướng dẫn giải Chọn đáp án A. Phương pháp: Tính g ' x , tìm các nghiệm của phương trình g ' x 0. Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y g x khi và chỉ khi g ' x0 0 và qua điểm x x0 thì g ' x đổi dấu từ âm sang dương. Cách giải: Trang 30
31. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 1 2 3 3 2 3 3 g ' x f ' x x x 0 f ' x x x x 1 2 2 2 2 x 3 3 3 Khi x 1 ta có: f ' x x2 x g ' x 0, khi x 1 ta có 2 2 3 3 f ' x x2 x g ' x 0 2 2 Qua x 1,g ' x đổi dấu từ dương sang âm x 1 là điểm cực đại của đồ thị hàm số y g x chứng minh tương tự ta được x 1 là điểm cực tiểu và x 3 là điểm cực đại của đồ thị hàm số y g x . LOẠI 2 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f x h x VÀ CÓ CHỨA THAM SỐ m Câu 45. Cho hàm số y f x xác định trên R và hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên dưới và f ' x 0 với mọi x ; 3,4  9; . Đặt g x f x mx 5 . Có bao nhiêu giá trị dương của tham số m để hàm số g x có đúng hai điểm cực trị? A. 4. B. 7.C. 8. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có g x f x m ; g x 0 f x m 0 f x m . Để hàm số y g x có đúng hai điểm m 5 cực trị khi và chỉ khi phương trình g x 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt . Khi đó 10 m 13 m 0;1;2;3;4;5;10;11;12. Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Trang 31
32. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 3 XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x h x Câu 46. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số y f x 1 x có mấy cực đại ? A. 0.B. 1. C. 3. D. 2. Hướng dẫn giải: Chọn D ' y ' f x 1 x f ' x 1 1 Đồ thị y ' f ' x 1 1 là phép tịnh tiến của đồ thị f ' x theo phương trục Ox qua bên trái 1 đơn vị và tịnh tiến theo phương trục Oy xuống dưới 1 đơn vị nên đồ thị y ' f ' x 1 1 vẫn cắt trục Ox 4 điểm bằng số giao điểm mà đồ thị f ' x cắt trục Ox mà đồ thị y f '(x) cắt trục Ox tại 2 điểm x 2; x 1 nhưng qua 2 điểm đó hàm số đổi dấu từ dương sang âm 2 cực đại Câu 47. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ sau: . Số điểm cực trị của hàm số y f x 2020 2021x 1 là: A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 48. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ bên dưới Trang 32
33. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số điểm cực trị của hàm số g(x)= f (x- 2018)- 2019x+ 2020 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có g¢(x)= f '(x- 2018)- 2019; g¢(x)= 0 Û f '(x- 2018)= 2019. Dựa vào đồ thị hàm số y = f '(x) suy ra phương trình f '(x- 2018)= 2019 có 1 nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số g(x) có 1 điểm cực trị. Câu 49. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên R, có đồ thị hàm y f x như hình vẽ sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số y g x f x 2019 2017x 2018. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lờigiải ChọnA Ta có: y g ' x f x 2019 2017 Tịnh tiến sang phải 2019 đơn vị rồi tịnh tiến lên trên 2017 đơn vị ta thấy đồ thị hàm số y g ' x f x 2019 2017 cắt trục Ox tại 1 điểm. Do đó hàm số có 1 cực trị. Câu 50. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Trang 33
34. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số điểm cực tiểu của hàm số g x 2 f x 2 x 1 x 3 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải ChọnA Ta có g x 2 f x 2 2x 4 . g x 0 f x 2 x 2 . Đặt t x 2 ta được f t t . 1 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f t và đường thẳng d : y t (hình vẽ) Dựa vào đồ thị của f t và đường thẳng y t ta có t 1 x 3 t 0 x 2 ta có f t t hay . t 1 x 1 t 2 x 0 Bảng biến thiên của hàm số g x . Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Câu 51. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Hàm số y f x2 4x x2 4x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng 5;1 ? Trang 34
35. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 5 . B. 4. C. 6 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt g x f x2 4x x2 4x 2 2 g x 2x 4 f x 4x 2x 4 2x 4 f x 4x 1 . 2x 4 0 2 x 4x 4 (1) Ta có g x 0 . x2 4x 0 (2) 2 x 4x a 1;5 (3) Xét phương trình x2 4x a 1;5 , ta có BBT của hàm số y x2 4x trên 5;1 như sau: Suy ra (1) có nghiệm kép x 2, (2) có 2 nghiệm phân biệt x 4; x 0 , (3) có 2 nghiệm phân biệt x x1; x x2 khác 2; 0; 4 . Do đó phương trình g x 0 có 5 nghiệm trong đó có x 2 là nghiệm bội ba, các nghiệm x 4; x 0 ; x x1; x x2 là các nghiệm đơn. Vậy g x có 5 điểm cực trị. Câu 52. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới. Hàm số g x 15 f x4 2x2 10x6 30x2 20 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn B g x 15 f x4 2x2 10x6 30x2 20 liên tục trên ¡ . Trang 35
36. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Có 3 4 2 5 3 4 2 2 g x 60 x x f x 2x 60x 60x 60 x x f x 2x x 1 x 0, x 1 g x 0 4 2 2 f x 2x x 1 0 * 4 2 2 2 Ta thấy x 2x x 1 1 1 x , kết hợp với đồ thị hàm số y = f ¢(x) , suy ra f x4 2x2 0 x . Hơn nữa, x2 1 0 x nên phương trình * vô nghiệm. mà x 0 , x 1 là các nghiệm đơn của phương trình g x 0 nên hàm số y g x có 3 điểm cực trị. Câu 53. Cho hàm số f ' x như hình vẽ. x6 Hàm số g x f x2 x4 x2 đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm? 3 A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D x6 Ta có: g x f x2 x4 x2 g ' x 2x f ' x2 x4 2x2 1 3 x 0 x 0 2 4 2 g ' x 0 f ' x x 2x 1 0 2 f ' x2 x2 2x2 1  k x Đặt t x2 t 0 ,phương trình trở thành f ' t t 2 2t 2 1 . Vẽ thêm đồ thị hàm số x2 2x 1 (màu đỏ) trên đồ thị f ' x đề cho. Trang 36
37. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 t 0 x 0 x 0(boäi chaün). 2 Dựa vào đồ thị, t 1 x 1 x 1. t 2 2 x 2 x 2. Theo đó ta lập bảng biến thiên như sau: Vậy g x đạt cực tiểu tại 1 điểm x 0 . Câu 54. Cho hàm số y f x , hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm số 5sin x 1 (5sin x 1)2 g(x) 2 f 3 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng (0;2 ) . 2 4 A. 9 . B. 7 . C. 6 . D. 8 . Hướng dẫn giải Trang 37
38. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 5sin x 1 5 Ta có: g (x) 5cos xf cos x 5sin x 1 . 2 2 5sin x 1 5 g (x) 0 5cos xf cos x 5sin x 1 0 2 2 cos x 0 5sin x 1 5sin x 1 f 2 2 cos x 0 5sin x 1 cos x 0 3 cos x 0 2 sin x 1 5sin x 1 6 5sin x 1 1 1 5sin x 1 2 sin x 2 5 2 5sin x 1 1 5sin x 1 1 3 sin x 2 3 3 5sin x 1 2 5sin x 1 3 1 sin x 2 5 3 x  x 2 2 cos x 0 3 x sin x 1 2 1 1 1 sin x x arcsin  x 2 arcsin , ( Vì 0 x 2 ). 5 5 5 1 1 1 sin x x arcsin  x arcsin 3 3 3 3 sin x 3 3 5 x arcsin  x arcsin 5 5 3 Suy phương trình g x 0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm x là nghiệm kép. 2 Vậy hàm số y g x có 7 cực trị. Trang 38
39. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 DẠNG 4 k XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x LOẠI 1 k XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ KHÔNG CHỨA THAM SỐ m Lý thuyết: Bước 1: Tính y ' = g '(x) = k.u '(x).[f (u(x))]k- 1 . f '(u(x)) é u '(x) = 0 ê + Nếu: k chẵn: y ' = g '(x) = 0 Û êf (u(x)) = 0 . ê ê ëf '(u(x)) = 0 é u '(x) = 0 + Nếu k lẻ: y ' = g '(x) = 0 Û ê ëêf '(u(x)) = 0 Bước 2: Giải tìm nghiệm: u '(x) = 0 ta giải bình thường. f '(u(x)) = 0 thì ta cho u(x) bằng các điểm cực trị của hàm số y = f (x) f (u(x)) = 0 thì ta cho u(x) bằng các các nghiệm x0 của phương trình f (x) = 0 hoặc điều kiện của x0 để chứng minh được phương trình có bao nhiêu nghiệm cụ thể. Kiểm chứng các nghiệm trên có nghiệm nào bội chẵn không Bước 3: Kết luận Câu 55. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và f (0)< 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f ¢(x) như hình vẽ bên dưới Trang 39
40. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Số điểm cực trị của hàm số g(x)= f 2 (x) là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải éx = - 2 ¢ ê Dựa vào đồ thị, ta có f (x)= 0 Û ê . ëx = 1 (nghiem kep) Bảng biến thiên của hàm số y = f (x) éx = - 2 ê éf ¢(x)= 0 êx = 1 (nghiem kep) ê theo BBT f (x) ê Xét g¢(x)= 2 f ¢(x) f (x); g¢(x)= 0 Û ê ¬ ¾ ¾ ¾ ¾® ê . êf (x)= 0 êx = a(a 0) Bảng biến thiên của hàm số g(x) Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. Chọn C Chú ý: Dấu của g¢(x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 0Î (- 1;b) x = 0 ¾ t¾heo ¾do th¾i f '(¾x)® f ¢(0)> 0. (1) Theo giả thiết f (0)< 0. (2) Từ (1) và (2), suy ra g¢(0)< 0 trên khoảng (- 1;b). Nhận thấy x = - 2; x = a; x = b là các nghiệm đơn nên g¢(x) đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm x = 1 là nghiệm kép nên g¢(x) không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x = 1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của g¢(x). Câu 56. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) trên ¡ . Đồ thị của hàm số y f (x) như hình vẽ Trang 40
41. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Đồ thị hàm số y f (x) 2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu? A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại. C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.D. 1điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Hướng dẫn giải Chọn A Từ đồ thị ta có: f (x) 0 có nghiệm đơn là x 0; x 3 và nghiệm kép x 1 . Và f '(x) 0 có 3 nghiệm đơn x x1 (0;1) ; x x2 (1;3) và x 1 . 2 Ta có: y f (x) y ' 2 f '(x). f (x) có các nghiệm đơn là x 0; x 3; x1; x2 và nghiệm bội 3 là x 1 . Ta có bảng xét dấu sau: Vậy đồ thị hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Câu 57. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f '(x) trên ¡ . Đồ thị của hàm số y f (x) như hình vẽ. 3 Đồ thị của hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. .1 B. . 2 C. .3 D. . 8 Hướng dẫn giải Chọn B 3 Ta có y f (x) y ' 3 f '(x). f 2 (x) . Từ đồ thị ta có: f '(x) 0 tại x 1, x 1 . Bởi f 2 (x) không đổi dấu trên ¡ . Trang 41
42. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 Từ đó suy ra y f (x) có hai điểm cực trị là x 1, x 1 . Câu 58. Cho hàm số y f (x) luôn dương và có đạo hàm f '(x) trên ¡ . Đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ. Đồ thị hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1điểm cực tiểu, 2 điểm cực đại. B. điểm1 cực đại, điểm2 cực tiểu. C. 1điểm cực tiểu, 1điểm cực đại. D. điểm1 cực tiểu, điểm0 cực đại. Hướng dẫn giải Chọn B f '(x) Ta có y f (x) xác định trên ¡ và y ' . 2 f (x) Do f (x) 0 , x ¡ , nên ta suy ra được số điểm cực trị của y f (x) bằng số điểm cực trị của y f (x) . Từ đồ thị trên ta thu được y f (x) có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Câu 59. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0;6. Đồ thị của hàm số f x trên đoạn 0;6 được cho bởi hình bên dưới. 2 Hỏi hàm số y f x có tối đa bao nhiêu cực trị? A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B f x 0 Ta có: y 2 f x . f x nên y 0 f x 0 Từ đồ thị ta suy ra f x 0 có tối đa 4 nghiệm, f x 0 có tối đa 3 nghiệm. Trang 42
43. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Do đó, hàm số y f x có tối đa 7 điểm cực trị nên có tối đa 7 cực trị. Câu 60. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn có f 1 0 , đồ thị hàm số y f x như hình vẽ 2 Số điểm cực trị của hàm số g x f x là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x x 1 3 f x 0 0 f x f 1 Ta có g x 2 f x f x . f x 0 Xét g x 0 . f x 0 Do f 1 0 nên f x 0,x ¡ x 1 Dựa vào đồ thị, ta có f x 0 . x 3 (nghiÖm kÐp) Do vậy hàm số g x chỉ có 1 điểm cực trị. Câu 61. Cho hàm số y f x mx5 nx3 px có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ: Trang 43
44. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 5 Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B 5 4 Ta có g x f x 2 g x 5 f x 2 f x 2 . 4 Do f x 2 0 nên dấu g x chỉ phụ thuộc dấu của 5 f x 2 . Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y f x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên f x a x x1 x x2 , a 0 f x a x 2 x1 x 2 x2 , Suy ra g x đổi dấu từ + sang - khi qua x x1 2 , từ - sang + khi qua x x2 2 . Hàm số g x có 2 điểm cực trị. Câu 62. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ 3 Số điểm cực đại của hàm số g x f 1 2x là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A 3 2 Ta có g x f 1 2x g x 6 f 1 2x f 1 2x . 2 Do f 1 2x 0 nên dấu g x chỉ phụ thuộc dấu của 6 f 1 2x . Trang 44
45. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2 Dựa vào đồ thị ta có f x a x 3 x 1 , a 0 f 1 2x a 4 2x 2x 2 Suy ra g x đổi dấu từ - sang + khi qua x 2 nên x 2 là điểm cực tiểu của hàm số g x . Hàm số g x không có điểm cực đại. Câu 63. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn có f 3 0, đồ thị hàm số y f x như hình vẽ 2020 Số điểm cực trị của hàm số g x f x 1 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x x 1 3 f x 0 0 f x f 1 y 0 Ta có g x 2020 f x 1 f 2019 x 1 . f x 1 0 1 Xét g x 0 . f x 1 0 2 x 1 Xét 1 . Dựa vào đồ thị, ta có f x 0 . x 3 (nghiÖm kÐp) x 1 1 x 0 f x 1 0 x 1 3 x 4(nghiÖm kÐp) Trang 45
46. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Xét 2 . Do f 3 0 nên f x 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc ; 2 và 3; Suy ra f x 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; 1 và x2 4; x 0 x 4 (nghiÖm kÐp) Ta có g x 0 . x x ; 1 1 x x2 4; Do vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị. Câu 64. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc bốn có f 1 0 đồ thị hàm số y f x như hình vẽ 4 2 Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2x là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D 4 3 2 2 2 Ta có g x f x 2x g x 8 f x 2x f x 2x . Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x x 3 x1 1 1 x2 f x 0 0 f x f 1 0 y 0 f 3 f x2 2x 0 1 Ta có g x 0 . 2 f x 2x 0 2 Xét 1 . Dựa vào đồ thị ta có f x a x 1 x 1 x 3 , a 0 f x2 2x 0 a x2 2x 1 x2 2x 1 x2 2x 3 0 Trang 46
47. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 x 1 2 f x 0 x 1 2 . x 1 (nghiÖm kÐp) Xét 2 : Do f 1 0 nên f x 0 có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt x1 ; 1 và x2 3; 2 2 2 Với nghiệm x1 ; 1 thì f x 2x 0 x 2x x1 vô nghiệm do x 2x 1 2 2 Với nghiệm x2 3; thì f x 2x 0 x 2x x2 có 2 nghiệm phân biệt. Ta có g x 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số g x có 4 điểm cực trị. Câu 65. Cho hàm số y f x là hàm đa thức có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ 2021 2 Số điểm cực trị của hàm số g x f x là A. 5. B. 6. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn A 2021 2020 2 2 2 Ta có g x f x g x 4042x. f x . f x 2m Dựa vào đồ thị ta có f x k x a x b x c x d , k 0 2m f x2 0 k x2 a x2 b x2 c x2 d 2m 2020 2 2 2 2 2 g x 4042k.x. x a x b x c x d . f x 2020 2m 2 2 Do f x 0; x b 0 g x 0 có 5 nghiệm c; d ;0 Vậy hàm số g x có 5 điểm cực trị. Câu 66. Cho hàm số f x có đạo hàm trên tập ¡ và đồ thị hàm số y f x được cho như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y f 2019 x3 1 là y 1 O 1 2 x 4 Trang 47
48. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y 2019. f 2018 x3 1 . f x3 1 .3x2 , Ta có y f 2018 x3 1 0 x ¡ và 3x2 0 x ¡ nên dấu của y cũng chính là dấu của biểu thức f x3 1 . x3 1 1 x 0 3 3 3 Ta có f x 1 0 x 1 1 x 2 . 3 3 x 1 2 x 3 x3 1 1 x 0 3 Dựa vào đồ thị của hàm số y f x ta thấy f x 1 0 x3 1 1 x 3 2 . 3 3 x 1 2 x 3 Tương tự f x3 1 0 1 x3 1 1 0 x 3 2 . Vì vậy suy ra hàm số y f 2019 x3 1 có hai điểm cực trị. Câu 67. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ thỏa f 2 f 2 0 và đồ thị hàm số y f x có dạng như hình vẽ bên dưới. y 2 1 1 2 O 3 x 2 2022 Số điểm cực trị của hàm số y f 2x 1 là A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 5. Hướng dẫn giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta lập được bảng biến thiên của y f x như sau: x 2 1 2 y 0 0 0 0 0 y 2020 Xét hàm số y f 2x 1 , ta có y 2020. f 2021 2x 1 .2. f 2x 1 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f 2x 1 0, x ¡ f 2021 2x 1 0, x ¡ . Nên dấu của y cũng chính là dấu của biểu thức: f 2x 1 . 1 x 2x 1 2 2 Ta có y 0 f 2x 1 0 . 1 2x 1 2 3 1 x 2 1 x 1 2 2x 1 1 2 Tương tự y 0 f 2x 1 0 2x 1 2 3 x 2 Trang 48
49. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 2022 Từ đó suy ra hàm số y f 2x 1 có 3 điểm cực trị. LOẠI 2 k XÉT CỰC TRỊ HÀM g x f u x VÀ CÓ CHỨA THAM SỐ m Câu 68. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc 6 có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ: 3 7 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x 1 m có 2 điểm cực trị? A. 2. B. 0. C. 1. D.Vô số. Hướng dẫn giải Chọn D 3 7 3 6 2 Ta có g x f x 1 m g x 21. f x 1 m . f x 1 . f x 1 3 6 2 Ta có f x 1 m . f x 1 nên dấu của g x phụ thuộc vào dấu f x 1 . Hàm số f x cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên có 2 điểm cực trị, số điểm cực trị hàm f x 1 bằng số điểm cực trị hàm f x nên g x có 2 điểm cực trị với mọi m . Vậy với mọi m hàm số g x đều có 2 điểm cực trị. Câu 69. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ: 2 2 2 Biết f x 4 m để hàm số g x f x 4 có 5 điểm cực trị. Khẳng định nào đúng? A. m f 2 ; f 0 ; f 2 . B. m f 4 ; f 2 ; f 2 . Trang 49
50. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 C. m f 4 ; f 0 . D. m f 0 ; f 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 2 2 Ta có g x f x 4 g x 2x. f x 4 . f x 4 x 0 g x 0 2x. f x2 4 . f x2 4 0 f x2 4 0 1 . 2 f x 4 0 2 Xét 1 . Do đồ thị y f x đổi dấu 1 lần khi qua x 0 nên f x 0 x 0 Do đó f x2 4 0 x2 4 0 x 2. Để hàm số g x có 5 điểm cực trị thì 2 phải có 3 nghiệm phân biệt khác 2;0;2. Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x x 0 f x 0 f x f 0 Để f x2 4 m có 2 nghiệm thì x2 4 0 x 2. Vậy m f 4 ; f 0 . Câu 70. Cho hàm số y f x;m có đồ thị hàm số y f x;m như hình vẽ: 2 Biết f a f c 0; f b 0 f e . Số điểm cực trị của hàm số g x f x m là A. 4. B. 7. C. 5. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn B Từ đồ thị của hàm số y f x;m ta có bảng biến thiên: Trang 50
51. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x;m có 4 điểm cực trị. Khi f a f c 0; f b 0 f e thì đồ thị hàm số y f x;m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt f x m 0 có 4 nghiệm phân biệt 2 Ta có g x f x m g x 2 f x m . f x m . f x m 0 3 nghiÖm g x 0 2 . f x m f x m 0 4 nghiÖm Các nghiệm không trùng nhau nên hàm số g x có 7 điểm cực trị. Trang 51