Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 5: Cực trị liên quan đến hàm mũ, logarit

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Chủ đề 4, Vấn đề 5: Cực trị liên quan đến hàm mũ, logarit

1. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 VẤN ĐỀ 5 CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM MŨ, LOGARIT Mọi thắc mắc, đóng góp liên hệ facebook của mình: Câu 1. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên 0; và f '(x) ln x x . Hỏi hàm số g(x) f (x) x 2021 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; ? A. 3 .B. 2 .C. 1. D. 0 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: g '(x) f '(x) 1 ln x x 1. 1 1 x Xét hàm số h(x) ln x x 1trên 0; . Ta có: h'(x) 1 . x x Có h'(x) 0 x 1. Bảng biến thiên của hàm h(x) như sau: x 0 1 h'(x) + - 0 h(x) Vậy h(x) 0,x 0; g '(x) 0,x 0; Do đó g '(x) không đổi dấu trên 0; nên hàm số g x không có cực trị trên khoảng đó. Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x ex 2 ex x , x ¡ . Biết hàm số y g x f ln x x 2ln x đạt cực tiểu tại x x0 . Chọn khẳng định đúng? 3 3 2 3 A. x0 0; . B. x0 ;3 . C. x0 e ;e . D. x0 ln 2;ln 3 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Xét hàm số y g x f ln x x 2ln x , x 0 . Ta có 1 2 1 x 2 1 x 2 y g x f ln x 1 eln x 2 eln x ln x x 2 x ln x x x x x x x x 2 x ln x 1 . x x 0 x 0 g x 0 x 2 0 x 2 . x ln x 1 0 x ln x 1 0 (1) Hàm số y x ln x 1 đồng biến trên 0; nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất. Dễ thấy x 1 là nghiệm duy nhất của (1). Bảng biến thiên Trang 1
2. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 3 Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y g x đạt cực tiểu tại x x0 2 . Vậy x0 ;3 . 2 Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x2 6x 11, x ¡ . Hàm số y f ex 6x có mấy điểm cực tiểu? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C Xét hàm số g x f ex 6x . x e 1 x 0 x x 3x 2x x x g x e f e 6 e 6e 11e 6 0 e 2 x ln 2 . x x ln 3 e 3 Bảng xét dấu g x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 điểm cực tiểu. Câu 4. Cho hàm số y f (x) có tập xác định D 0; và có đạo hàm f '(x) 2x ln x x , " x > 0. Hàm số 1 y g(x) f (x) x3 x2 có bao nhiêu điểm cực trị? 3 A. 1 B. 0 . C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải ChọnA Ta có: g '(x) f '(x) x2 2x 2x ln x x2 x x 2ln x x 1 , x 0 g '(x) 0 2ln x x 1 0 (*) Xét hàm số h x 2ln x x 1, x 0 2 h' x 1 0 , x 0 Hàm số y h x đồng biến trên khoảng 0; x Mặt khác: h(1) 0 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 1 Bảng xét dấu: Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y g x có một điểm cực trị. Trang 2
3. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 5. Cho hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây Hàm số g x ln f x có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0 . B.1. C. 2 .D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D f x g x ln f x . f x Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy f x 0 với mọi x ¡ . Vì vậy dấu của g x là dấu của f x . Ta có bảng biến thiên của hàm số g x Vậy hàm số g x ln f x có 3 điểm cực trị. Câu 6. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên sau Tìm số cực trị của hàm số y g x ln f x . A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 Hướng dẫn giải ChọnB Điều kiện: f (x) 0 x 1 f x Ta có g ' x ; giải phương trình y 0 f x 0 x 3 và y đổi dấu khi qua x 3 . f x Do đó hàm số y g x ln f x có một cực trị. Trang 3
4. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau Hàm số y ln f x có tất cả bao nhiêu điểm cực đại? A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện : f x 0 x a;b :0 a 3 b . f x Ta có: y ln f x y . f x Dấu của y là dấu của f x . Dễ thấy trên a;b hàm số f x đạt cực đại tại duy nhất 1 điểm x 3 . Do đó hàm số y ln f x có đúng 1 điểm cực đại. Câu 8. Cho hàm số f x xác đinh, liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu f ' x như sau: x Hàm số f 2 đạt cực tiểu tại x bằng A. 0 B. 1 C. 2 D. 0 và 2 Hướng dẫn giải Chọn B x Xét hàm số g x f 2 g ' x 2x ln 2. f ' 2x 2x 1 x 0 g ' x 0 x 2 2 x 1 x Nếu x ;0 thì 2 0;1 ; x x x Suy f ' 2 0,x ;0 , hay g ' x 2 ln 2. f ' 2 0 , x ;0 x Nếu x 0;1 thì 2 1;2 ; x x x Suy f ' 2 0,x 0;1 , hay g ' x 2 ln 2. f ' 2 0 , x 0;1 x Nếu x 1; thì 2 2; ; x x x Suy f ' 2 0,x 1; , hay g ' x 2 ln 2. f ' 2 0 , x 1; Bảng xét dấu g ' x Trang 4
5. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Từ bảng xét dấu ta có g ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua 1. x Kết luận: Hàm số g x f 2 đạt cực tiểu tại x 1 Câu 9. Cho hàm số f x xác đinh, liên tục trên ¡ và f ' x có bảng xét dấu như sau x 2 0 1 f ' x 0 + 0 0 + x2 x 2 Số điểm cực trị của hàm số f e là A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn D x2 x 2 Đặt g x f e f x xác định trên ¡ suy ra g x xác định trên ¡ x 2 x 2 x2 x 2 Hơn nữa g x f e f e g x Suy ra g x là hàm số chẵn, đồ thị hàm số g x đối xứng qua trục Oy . Xét x 0 2 g x f ex x 2 2 2 g ' x 2x 1 .ex x 2. f ' ex x 2 2x 1 0 2x 1 0 g ' x 0 2 2 2 f ' ex x 2 0 ex x 2 1 vì ex x 2 0,x 1 2x 1 0 x 2 2 x x 2 0 x 2 vì x 0 Nếu x 2 thì x2 x 2 0 , 2 suy ra ex x 2 1 x2 x 2 suy ra f ' e 0 Nếu 0 x 2 thì x2 x 2 0 , 2 suy ra 0 ex x 2 1 x2 x 2 suy ra f ' e 0 Từ đó ta có bảng xét dấu g x trên 0; x 1 0 2 2 Trang 5
6. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 g' x 0 0 + Suy ra g x có hai điểm cực trị dương. Do g x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ suy ra g x có 5 điểm cực trị trên ¡ Câu 10. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm liên tục trên ¡ . Có bảng xét dấu của y = f ¢(x) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g x f log2 x . Chọn đáp án đúng A. 1. B. 3. . C. 2 . D. 5. Hướng dẫn giải Chọn A Đk: x 0 1 1 log x 2 2 x Ta có g x f log2 x ; g '(x) 0 4 xln 2 log2 x 1 x 2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án ta chọn A. Câu 11. Cho hàm số y = f (x). Xác định và có đạo hàm liên tục trên R. Bảng xét dấu hàm số y = f ¢(x) như hình bên dưới y g(x) f log x2 2x 3 Tìm số điểm cực trị của hàm số 3 . Chọn đáp án đúng: A. 5. B. 3. C. 4.D.7. Hướng dẫn giải Chọn A Đk: x ¡ 2x - 2 2 Ta có: y' g'( x ) f ' log3( x - 2x 3) ; ( x2 - 2x 3)ln3 x 1 x 1 x 0 2x 2 0 2 g'( x ) 0 log3( x 2x 3) 1 x 2 Khi đó f '(log ( x2 2x 3)) 0 3 2 x 1 7 log3( x 2x 3) 2 x 1 7 2 2 log3( x 2x 3) 1 1 7 x 0 f ' log ( x 2x 3) 0 Mặt khác: 3 2 log3( x 2x 3) 2 2 x 1 7 Ta có bảng biến thiên. Trang 6
7. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Vậy hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn đáp án A Câu 12. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: x 3 1 y ' 0 0 3 y 2 2 x Hỏi hàm số g x f (e 3) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. Hướng dẫn giải Chọn B g ' x 2.ex. f (ex 3). f '(ex 3) g ' x 0 f (ex 3) 0 Hoặc f '(ex 3) 0 Dựa vào BBT ta được: Giải. f (ex 3) 0 . ex 3 a(a 3) ex a 3 0 (vô nghiệm) . ex 3 b( 3 b 1) x b 3 (*) x ln(b 3) ( 1 nghiệm) . ex 3 c(c 1) ex c 3 ( ) x ln(c 3) ( 1 nghiệm) Giải. f '(ex 3) 0 ex 3 3 ex 0 (vô nghiệm) Hoặc ex 3 1 ex 4 x ln 4 (1 nghiệm) Lấy x ln 4 thay vào (*) và ( ) không thỏa mãn đều kiện của b và c nên 3 nghiệm trên không trùng nhau g '(x) 0 có 3 nghiệm đơn Vậy g(x) có 3 cực trị Trang 7
8. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Câu 13. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên: y O x 1 Tìm số điểm cực trị của hàm số y 2 f x 3 f x . A. 6 .B. 5 . C. 4 .D. 3 . Hướng dẫn giải ChọnD Dựa vào đồ thị hàm số f x ta thấy f x 1, x ¡ . Khi đó xét hàm số g x 2 f x 3 f x f x f x Ta có g x f x. 2 .ln 2 3 .ln 3 f x 0 g x 0 f x f x 2 .ln 2 3 .ln 3 0 Xét phương trình 2 f x .ln 2 3 f x .ln 3 0 trên khoảng ; . f x 2 log2 3 f x log 2 log2 3 1,4 (loại). 3 3 Do đó số điểm cực trị của hàm g x cũng bằng số điểm cực trị của hàm f x . Tức là hàm g x có 3 điểm cực trị. Câu 14. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên: Tìm số điểm cực trị của hàm số y 3 f x 2 f x . A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta thấy f x xác định trên ¡ nên f x xác định trên ¡ . f x f x f x f x Ta có: y f x .3 f x .2 f x 3 2 . Trang 8
9. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Xét y 0 f x 0 (do 3 f x 2 f x 0 , x ¡ ). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f x 0 có 4 nghiệm phân biệt. Vậy y 0 có 4 điểm cực trị. Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị x 1 2 f x của hàm số y e 2 là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 g x x 1 Xét y e , g x f x 2 g x g x g x Hàm số xác định trên ¡ , có y g x e f x x 1 .e , trong đó e 0, x ¡ nên x 1 x 1 y 0 g x 0 f x x 1 0 f x x 1 x 2 x 3 (Vì đường thẳng y x 1 cắt đồ thị f x tại 4 điểm có hoành độ x 1; x 1; x 2; x 3 ) và dấu của y là dấu của g x . Trang 9
10. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Bảng biến thiên: Suy ra hàm số y eg x có ba điểm cực trị là x 1; x 2; x 3. Câu 16. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ bên. f f x 1 Tìm số điểm cực trị của hàm số y 2021 . A. 13. B. 11. C. 10. D. 12. Hướng dẫn giải Chọn D Trang 10
11. Chương 1 – Bài 2: Cực trị của hàm số - Có lời giải chi tiết full - 2021 Trương Ngọc Vỹ 0978 333 093 Ta có y ' f ' x f ' f x 1 2021f f x 1 ln 2021 . f ' x 0 (1) y ' 0 . f ' f x 1 0 (2) x1 1 x 1 Giải (1) : f ' x 0 2 . x 3 3 x4 6 f (x) 1 1 f (x) 0 f (x) 1 1 f (x) 2 Giải (2) : f ' f (x) 1 0 . f (x) 1 3 f (x) 4 f (x) 1 6 f (x) 7 Dựa vào đồ thị ta có: +) f (x) 0 có 1 nghiệm x5 6 là nghiệm bội l, +) f (x) 2 có 5 nghiệm x6 1; 1 x7 1;1 x8 3;3 x9 6;6 x10 x5 là các nghiệm bội 1, +) f (x) 4 có 1 nghiệm x11 x6 là nghiệm bội 1. +) f (x) 7 có 1 nghiệm x12 x11 là nghiệm bội 1. Suy ra y ' 0 có 12 nghiệm phân biệt mà qua đó y' đổi dấu. f f x 1 Vậy hàm số y 2021 có 12 điểm cực trị. Trang 11