Bài tập Đại số Lớp 9 - Chủ đề: Hệ thức Viet và ứng dụng (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 9 - Chủ đề: Hệ thức Viet và ứng dụng (Có đáp án)

1. CHỦ ĐỀ HỆ THỨC VIET VD1: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau Giải: a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P 0 Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là và S Ví dụ 2: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: 2 2 3 3 a) x1 + x2 b) x1 + x2 c) x1 x2 Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1 2 2 2 2 a) x1 + x2 = (x1 +x2) - 2x1x2 = m - 2 3 3 3 3 b) x1 + x2 = (x1+x2) - 3x1x2(x1+ x2) = -m + 3m 2 2 2 2 c) (x1 - x2) = (x1 +x2) - 4x1x2 = m - 4 nên x1 x2 = m 4 2 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 2 2 2 2 a) 3x1 + 2x2 = 1 b) x1 -x2 = 6 c) x1 + x2 = 8 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 m 1
2. x1 x2 2 (1) a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ: 3x1 2x2 1 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7 x1x2 m (3) Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ: 2 2 x1 x2 6 (1) 5 1 x1 x2 2 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 2 2 x1x2 m (3) 5 Thay vào (3) ta được m = - (thoả mãn điều kiện) 4 2 2 2 c) x1 + x2 = (x1+ x2) - 2x1x2 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn) 2 Ví dụ 4: Tìm m để PT x - mx + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6 Giải: Để PT có nghiệm thì 0 hay m2 - 12 0 m 2 3 hoặc m -2 3 Kết hợp với hệ thức Viét ta có x1 x2 m (1) 6 m 3m 6 3x1 x2 6 (2) giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 2 2 x1x2 3 (3) Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn) 2 4 4 Ví dụ 5: Giả sử x1, x2 là nghiệm của PT x + 2mx + 4 = 0. Xác định m để x1 + x2 32 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 hay m2 - 4 0 m 2 2 Ta có: x 4 + x 4 = (x 2 + x 2)2 - 2x 2x 2 = x x 2 2x x 2(x x )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x1 x2 2m 4 4 2 2 Theo hệ thức Viét ta có: nên x1 + x2 32 (4m - 8) - 32 32 x1x2 4 m2 2 2 2 m2 2 2 m 2 Kết hợp với điều kiện ' 0 ta được m = 2 hoặc m = -2 Dạng: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1 Phương trình đã cho có nghiệm 1 ' 0 m - 2 x1 x2 2(m 1) (1) b ) Theo hệ thức Viét ta có 2 x1x2 m (2) 2 x1 x2 x1 x2 Từ (1) ta có m = 1 thay vào (2) ta được x1x2 1 2 2 2 hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2) là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
3. Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ) Biết PT luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải : Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có: 2(m 3) 6 x1 x2 2 (1) m m m 1 1 x x 1 (2) 1 2 m m 6 Ta có (2) 6x1x2 = 6 + (3). m Cộng vế theo vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8. Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 8 DẠNG TÌM GTLN-GTNN Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức A = x 1 2 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Giải: Ta có ' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + 6 > 0 nên PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5 2 2 2 2 x1 + x2 = (x1+x2) - 2x1x2 = 4(m - 1) - 2(m - 5) 2 2 5 11 11 = 4m - 10m +14 = 2m 2 4 4 5 11 5 Dấu bằng xẩy ra khi m = . Vậy Amin = khi m = 4 4 4 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - mx + m - 1= 0 với m là tham số. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của PT. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 2x1x2 3 C 2 2 x1 x2 2(x1x2 1) Giải: Ta có = m2 -4(m - 1) = (m - 2)2 0 nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = m và x1x2 = m - 1 2 2 2 2 x1 +x2 =(x1+x2) - 2x1x2 = m -2m + 2 . 2x1x2 3 2m 1 Thay vào ta có C 2 2 = 2 x1 x2 2(x1x2 1) m 2 2m 1 Đặt t = ta có tm2 - 2m + 2t - 1 = 0 (1) m2 2 1 Nếu t = 0 thì m = 2 Nếu t 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với m. Ta có : ' = 1 - t(2t - 1) 0 -2t2+ t + 1 0 1 (t - 1)(-2t - 1) 0 t 1 2
4. 1 t = - khi m = -2 ; t =1 khi m = 1 2 1 Vậy Cmin = khi m = -2; Cmax= 1 khi m = 1 2 1 Hoặc ta chứng minh C - 1 0 và C + 0 2 DẠNG TÌM 2 SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH x y 3 x y 2 Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết a) 2 2 b) 2 2 x y 5 x y 34 Giải: S 3 S 3 a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ 2 S 2P 5 P 2 Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2 . Vậy (x ; y) 2;1 ; 1;2  S 2 S 2 b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ 2 S 2P 34 P 15 Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình 2 X - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y) 3;5 ; 5;3  BÀI TẬP DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT Câu 1: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình trên khi m = 6. b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 3 . Đáp án: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0 ∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2. b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m 25 Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0 m (*) 4 Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2). Mặt khác theo bài ra thì x1 x2 3 (3). Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4) Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn. Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho khi m = 3. 2 2 b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 T/M: ( x1 +1 ) +( x2+1 ) = 2. Đáp án: a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0. Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3 5; x2 3 5 .
5. / 2 / m 2 b) Ta có: ∆ = m – 4 . Phương trình (1) có nghiệm 0 (*). m -2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4. 2 2 Suy ra: ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = 2 2 2 2 2 x1 + 2x1 + x2 + 2x2 = 0 (x1 + x2) – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m – 8 + 4m = 0 m1 1 m2 + m – 2 = 0 . m2 2 Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm. Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 2 2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7. Đáp án: a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. 2 2 2 2 2 Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7 (x1 + x2) – 3x1.x2 = 7 4m + 3 = 7 m = 1 m = ± 1. Câu 4: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0. b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ). Đáp án: a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm. b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m. - 3 Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 - 3 – 4m 0 4m 3 m (1). 4 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4 m = ± 2. Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn Câu 5: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x 1-x2 = 4 Đáp án: a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0 b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9 x1 + x2 = 6 (1) Theo hệ thứcViét ta có x1 . x2 = m (2) Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4 (3) Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1 Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn) Vậy m = 5 là giá trị cần tìm. Câu 6: Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
6. a) Giải phương trình với m = 5 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2. Đáp án: a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0. 2 ∆’ = 6 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - 6 - 11 ; x2 = - 6 + 11 b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: - 1 ∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > (*) 2 Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0 2 m = 0 m - 4m = 0 (thoả mãn điều kiện (*)) m = 4 Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm. Câu 7: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0. a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0. b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình. Đáp án: a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0 m 1. b) Phương trình có 2 nghiệm khi: ∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0 m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng  m. m + 1 3 Ta có x1.x2 = 5 = 5 m + 1 = 5m - 5 4m = 6 m = . m - 1 2 3 1 5 Với m = ta có phương trình: x2 - 3x + = 0 x2 - 6x + 5 = 0 2 2 2 - b Khi đó x1 + x2 = = 6 a Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = -3 2 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thứcx 1 + x2 = 10. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. Đáp án: 2 x = 0 a) Với m = - 3 ta có phương trình: x + 8x = 0 x (x + 8) = 0 x = - 8 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi: ∆’ 0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 1 15 m2 - m + 4 > 0 (m )2 0 đúng m 2 4 Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m x1 + x2 = 2(m - 1) (1) Theo hệ thức Vi ét ta có: x1 - x2 = - m - 3 (2) 2 2 2 2 Ta có x1 + x2 = 10 (x1 + x2) - 2x1x2 = 10 4 (m - 1) + 2 (m + 3) = 10 m = 0 4m2 - 6m + 10 = 10 2m (2m - 3) = 0 3 m = 2
7. c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có: x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m. Câu 9: Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.Tìm m để x1 + x2 - x1x2 = 7 Đáp án: a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a. c = 1 . (-1) = -1 0, phương trình có hai nghiệm phân - 3 33 biệt x1, 2 = 2 b) Ta có ∆ = - (2m +12 - 4 (m2 + 5m) = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 20m = 1 - 16m. 1 Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 1 - 16m ≥ 0 m 16 Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m. Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m2 + 5m = 6 m2 + 5m - 6 = 0 Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6. Đối chiếu với điều kiện m ≤ 1 thì m = - 6 là giá trị cần tìm. 16 Câu 11: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2. b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1, x2 thỏa mãn đẳng thức 2 2 x1 + x2 = 5 (x1 + x2) Đáp án: a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + 3 = 0
8. Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0 Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3 b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , b'2 - ac 0 22 (m 1) 0 x1 x2 4 3 - m 0 m 3 (1) Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : x1x2 m 1 2 2 2 x1 + x2 = 5 (x1+ x2) (x 1 + x 2 ) - 2x1x2 = 5 (x1 + x2) 42 - 2 (m +1) = 5.4 2 (m + 1) = - 4 m = - 3 Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3 Câu 12: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 2 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 + x1x2 = 24 Đáp án: x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1) a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0 a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0 x1 = 1; x2 = 5 b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi: (-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0 m = - 20 c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + 1 Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*) Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có: 2 2 S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: x1 x2 x1x2 24 x1x2 (x1 x2 ) 24 ( m 6)(m 5) 24 m2 m 6 0 m 3; m 2. Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Câu 13: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt: x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1). Đáp án: (1) x3 - 2mx2 + m2x + x - m = 0 x (x2 - 2mx + m2) + x - m = 0 x = m 2 2 x (x - m) + (x - m) = 0 (x - m) (x - mx + 1) = 0 2 x - mx + 1 = 0 (2) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác m. Dễ thấy x = m không là nghiệm của (2). Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 m > 2 m > 2 ∆ = m - 4 > 0 .Vậy các giá trị m cần tìm là: m < - 2 m < - 2 Câu 14: Cho phương trình 2x 2 2m 1 x m 1 0 với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2 . 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 4x1 2x1x2 4x2 1. Đáp án: a) Với m 2 , ta có phương trình: 2x 2 3x 1 0 . Các hệ số của phương trình thoả mãn 1 a b c 2 3 1 0 nên phương trình có các nghiệm: x 1, x . 1 2 2
9. b) Phương trình có biệt thức 2m 1 2 4.2. m 1 2m 3 2 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m . 2m 1 x1 x2 2 2 2 Theo định lý Viet, ta có: .Điều kiện đề bài 4x1 2x1 x2 4x2 1 m 1 x .x 1 2 2 2 2 2 4 x1 x2 6x1 x2 1. Từ đó ta có: 1 2m 3 m 1 1 4m 7m 3 0 . Phương trình này có tổng các hệ số a b c 4 ( 7) 3 0 nên phương trình này có các 3 3 nghiệm m 1, m . Vậy các giá trị cần tìm của m là m 1, m . 1 2 4 4 Câu 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0 biết p + q = 198. 2 Đáp án: Phương trình có nghiệm khi 0 p + 4q 0; gọi x1, x2 là 2 nghiệm. - Khi đó theo hệ thức Viét có x1+ x2 = - p và x1x2 = q mà p + q = 198 => x1x2 - (x1+ x2) = 198  (x1 - 1)(x2 - 1) = 199 = 1 . 199 = (- 1)(-199) ( Vì x1, x2 Z ) Nên ta có : x1 - 1 1 -1 199 -199 x2 - 1 199 -199 1 -1 x1 2 0 200 -198 x2 200 -198 2 0 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên: (2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0) Câu 16: Cho phương trình x 2 2x m 3 0 với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 3 . b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn điều 2 kiện: x1 2x2 x1 x2 12 . Đáp: a) Khi m 3 phương trình trở thành x 2 2x 0 x x 2 0 x 0; x 2 . b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ' 1 m 3 0 m 4 . Khi đó theo định lí Vi-et ta có: x1 x2 2 (1) và x1 x2 m 3 (2). 2 Điều kiện bài toán x1 2x2 x1 x2 12 x1 x1 x2 2x2 12 2x1 2x2 12 (do (1)) x1 x2 6 (3). Từ (1) và (3) ta có: x1 2, x2 4 . Thay vào (3) ta được: 2 .4 m 3 m 5 , thoả mãn điều kiện. Vậy m 5 . Câu 17: Cho phương trình x2 ax b 1 0 với a,b là tham số. a) Giải phương trình khi a 3 và b 5 . b) Tìm giá trị của a,b để PT trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn điều kiện: x1 x2 3 3 3 . x1 x2 9 Đáp án: a) Khi a 3 và b 5 ta có phương trình: x 2 3x 4 0 .
10. Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x1 1, x2 4 . 2 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 a 4(b 1) 0 (*) x1 x2 a Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1). x1x2 b 1 x x 3 x1 x2 3 1 2 x1 x2 3 Bài toán yêu cầu 3 (2). x 3 x 3 9 x x 2 1 2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 9 1 2 2 2 2 2 a 1 Từ hệ (2) ta có: x1 x2 x1 x2 4x1x2 3 4( 2) 1, kết hợp với (1) được b 1 2 a 1,b 3 . a 1,b 3 Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm. Câu 18: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 1. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: (x1x2 2 – 1) = 9( x1 + x2 ). Đáp án: a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + 1 = 0 Vì ∆ = - 3 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7 2 2 2 (x1 + x2) – 3x1.x2 = 7 4m + 3 = 7 m = 1 m = 1. Câu 20: Cho phương trình 2x 2 m 3 x m 0 (1) với m là tham số. a) Giải phương trình khi m 2 . b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x1 x2 . Đáp án: a) Với m 2 phương trình trở thành 2x 2 5x 2 0 .
11. 1 52 4.2.2 9 nên phương trình có hai nghiệm x 2 , x . 1 2 2 b) Phương trình có biệt thức m 3 2 4.2.m m 2 2m 9 m 1 2 8 0 với mọi m . m 3 x x 1 2 2 Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó theo định lý Viet thì . m x x 1 2 2 2 2 2 m 3 m Biểu thức A = x1 x2 = x1 x2 = x1 x2 4x1 x2 = 4 = 2 2 1 1 m 2 2m 9 m 1 2 8 . 2 2 Do m 1 2 0 nên m 1 2 8 8 2 2 , suy ra A 2 . Dấu bằng xảy ra m 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 , đạt được khi m 1. Câu 21: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm. Đáp án: a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 + 3x + 2 = 0 Vì a = 1; b = 3; c = 2 => a - b + c = 0 Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - 2 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi: 2 2 3 0 (2m 1) 4(m 1) 0 m 4m 3 0 4 3 S 0 (2m 1) 0 m . 2m 1 0 1 4 P 0 m2 1 0 m 2 Câu 22: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án: Đặt x = t, được t2 + 2(m - 1)t + m + 1 = 0 (1) Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt  (1) có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có nghiệm kép t > 0. +) (1) Có 2 nghiệm khác dấu m + 1 m m - 3m = 0 m 3 Thay vào (1) để xét thì m = 0 thỏa mãn, m = 3 bị loại. Vậy m < - 1 hoặc m = 0. Câu 23: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án:
12. a) Với m = 2, ta có phương trình 2 2 x x 2 0 x 1; x 2 (x - x - 2)(x - 1) = 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2 b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1 1 0 1 4m 0 m 1 4 m . f (1) 0 1 1 m 0 4 m 0 - Hoặc phương trình f(x) = x 2 - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1. 1 0 1 4m 0 m 4 m 0. f (1) 0 m 0 m 0 Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = - 1 ; m = 0. 4 Câu 24: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 4. b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt. Đáp án: a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0 2 2 Đặt x = t , với t 0 ta có pt t - 5t + 4 = 0 t1 = 1; t2 = 4 x2 1 x 1 Từ đó, ta được: . 2 x 4 x 2 Vậy phương trình có 4 nghiệm x 1; x 2. b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2) (với y = x2 ; y > 0) Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt phương trình (2): 25 0 m 25 1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 4 m . f (0) 0 4 m 0 2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu m 0. Vậy m = 25 hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt 4 Câu 25: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 3. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
13. 1 1 2 2 = 1. x1 x2 Đáp án: a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - 3 = 0 Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3 b) Phương trình có nghiệm ' > 0 1 - m > 0 m m2 + 2m - 4 = 0 ' = 1 + 4 = 5 => ' = 5 nên m = -1 + 5 (loại); m = - 1 - 5 (T/m vì m < 1). Vậy giá trị m cần tìm là: m 1 5 Câu 26: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2 b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Đáp án: a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = 0 ' = 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6. c) Phương trình (1) có nghiệm ' 0 m2 + 6m m 6; m 0 (2) x1 + x2 = 2m Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: (3) x1x2 = - 6m Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi: 2 2 x1 2x2 ; x2 2x1 (x1 2x2 )(x2 2x1) 0 5x1x2 2(x1 x2 ) 0 2 2 5x1x2 2[(x1 x2 ) 2x1x2 ] 0 9x1x2 2(x1 x2 ) 0 (4) 27 Từ (3), (4), ta có: 54m 8m2 0 m 0; m (TMĐK (2)) 4 27 Vậy các giá trị m cần tìm là m 0; m . 4 Câu 27: Cho phương trình: (1 3)x2 2x 1 3 0 (1) a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1 , x2 . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1 và 1 . x1 x2 Đáp án : a) Do ac (1 3)(1 3) 1 3 2 0 nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Vì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có:
14. 2 1 3 x x , x x . 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 x x 2 2(1 3) Do đó: S 1 2 (1 3) . x1 x2 x1x2 1 3 2 1 1 1 1 3 (1 3)2 4 2 3 và P = . (2 3) . x1 x2 x1x2 1 3 2 2 Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: X2 (1 3)X (2 3) 0. Câu 28: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 3. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1 1 3 x1 x2 2 Đáp án: a) Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0 4x2 - 4x + 1 = 0 2 (2x 1) 0 Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2 m 1 0 b) Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì 2 ' m 2m 1 (m 1)(m 2) 0 m 1 0 m 1 m 3 (*) 2 2 ' m 2m 1 m m 2 0 m 3 0 m 1 2(m 1) m 2 Mà theo ĐL Vi-ét ta có: x1 x2 ;x1x2 m 1 m 1 1 1 3 x x 3 Từ ta có: 1 2 x1 x 2 2 x1x 2 2 2(m 1) m 2 3 2(m 1) m 1 3 : . m 1 m 1 2 m 1 m 2 2 2(m 1) 3 4m 4 3m 6 m 2 thoả mãn (*) m 2 2 Vậy m phải tìm là -2. Câu 29:Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0 a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Đáp án: a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi: m 0 m 0 m 0 2 9 (2m 3) 4m(m 4) 0 28m 9 0 m 28 9 Vậy với 0 m thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt. 28
15. 2m 3 3 x x x x 2 1 2 m 1 2 m b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: m 4 4 x x x x 1 1 2 m 1 2 m 12 4(x x ) 8 1 2 m Cộng 2 vế pt trên ta đợc: 12 3x x 3 1 2 m 4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.