Bài tập Đại số Lớp 9: Chứng minh bất đẳng thức (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 9: Chứng minh bất đẳng thức (Có đáp án)

1. Bài tập : Cho a,b,c>0 thỏa mãn 3 a b c abc . Chứng minh rằng: 2 a b c 1 1 1 2 2 2 b c a a b c Hướng dẫn 1 1 1 1 Từ giả thiết 3 a b c abc ab bc ac 3 1 Nếu a,b,c Xét hiệu 2 2 a b c 1 1 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 H 2 2 2 2 2 2 2 b c a a b c b c a a a a a 1 1 b 1 1 c 1 1 1 1 1 2 H 2 2 2 b b c c a a a b c 3 a 1 b b 1 c c 1 a 1 1 1 2 H 2 2 2 b c a a b c 3 2a 1 2b 1 2b 1 2c 1 2c 1 2a 1 1 1 1 2 H 2 2 2 2b 2c 2a a b c 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 H 2a 1 2 2 2b 1 2 2 2c 1 2 2 2b 2a 2b 2c 2c 2a a b c 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 . ; ; ; 2b2 2a2 2b2 2a2 ab 2b2 2c2 cb 2c2 2a2 ac Nên 2a 1 2b 1 2c 1 1 1 1 2 H K ab bc ca a b c 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 H K 2 a b c ab bc ca a b c 3 1 1 1 1 2 1 1 1 H K 1 a b c 3 3 a b c 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta lại có 3 3. 1 a b c ab bc ca 3 a b c 2 2 a b c 1 1 1 a b c 1 1 1 Vậy H K 0 suy ra 2 2 2 0 2 2 2 (*) b c a a b c b c a a b c 1 1 Nếu có 1 số nhỏ hơn giả sử c do: 2 2 abc 3a bc 3 abc 3b ac 3 a 6 abc 3 a b c ;a,b,c 0 abc 3c ab 3 b 6 vậy nếu có 1 số nhỏ hơn 1 1 1 c c c 2 2 2 1 1 thì 2 số còn lại lớn hơn 6, xét c , a,b 6 2 2
2. 2 2 2 a b c b 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 (1); 2 (2) b c a c c a b c 6 6 c 3 c c 3c 9 Từ (1);(2) xét hiệu 6 1 2 1 5 2 1 5 1 2 1 10 1 1 M 2 2 2 0 vi : 2 c c 3c 9 c 3c 9 c c 3 9 3 9 c 2 2 6 1 2 1 a b c b 6 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 c c 3c 9 b c a c c c 3c 9 6 6 c a b c 2 a b c 1 1 1 2 2 2 ( ) b c a a b c 2 a b c 1 1 1 Từ (*);( ) vai trò bình đẳng a,b,c ta có 2 2 2 b c a a b c 1 1 1 1 ab bc ca 3 1 1 1 Dấu “=” xảy ra khi ;a,b,c 0 a b c 3 a b c 1 1 1 1 a b c