Bài tập Đại số Lớp 9 - Nguyễn Hồng Quân (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 9 - Nguyễn Hồng Quân (Có lời giải)

1. Nhờ các thầy cô giải hộ . Em xin cám ơn Bài tập Cho a,b,c dương thỏa mãn ab bc ca abc 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a 1 b 1 c 1 P a2 2a 2 b2 2b 2 c2 2c 2 Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1 từ giả thiết suy ra các kết quả sau: x y a) xyz x y z z xy 1 b) và a 1 b 1 c 1 x y z P 2 2 2 2 2 2 a 1 1 b 1 1 c 1 1 x 1 y 1 z 1 x y2 1 z2 1 y z2 1 x2 1 z x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 z2 1 xyz xy yz zx xy x y yz y z zx z x x y z x2 y2z2 x2 y2 y2z2 z2 x2 x2 y2 z2 1 xyz xy yz zx xy xyz z yz xyz x zx xyz y xyz 2 2 x2 y2z2 xy yz zx 2xyz x y z x y z 2 xy yz zx 1 xyz xy yz zx xyz xy yz zx 3xyz xyz 2 2 x2 y2z2 2xyzxyz xy yz zx 2 xy yz zx xyz 1 2xyz xy yz zx 1 2xyz 2 xy yz zx 1 xy yz zx 1 Khi đó: Do vai trò x, y, z như nhau nên ta dự đoán điểm rơi là x = y = z = 3 (suy từ a)). Tức là ta chứng minh 3 3 2xyz 3 3 P 4 xy yz xz 1 4 2 x y x y 8xyz 3 3 xy yz xz 3 3 8xy 3 3 xy 3 3 1 1 xy xy 2 8xy x y 3 3x2 y2 3 3xy 3 3 x y 3 3xy 3 3 3 3x2 y2 3 3x2 3 3y2 3 3 8x2 y 8xy2 4 3x2 2 4 3y2 2 3 y 3 x 3 x2 3 y2 3 0 3 3 3 Dựa vào nguyên lý Dirricle (phương pháp của thầy Nguyễn Minh Sang) ta thấy trong 3 số x, y, z luôn có 2 số không lớn hơn hoặc không nhỏ hơn 3 . Giả sử đó là x và y khi đó x2 3 y2 3 0 . Như vậy BĐT cuối cùng đúng. Từ đây ta có 3 3 max P có được khi x y z 3 hay a b c 3 1 4