Bài tập Đại số Lớp 9: Phương trình đường thẳng

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 9: Phương trình đường thẳng

1. Bài 4. Với giỏ trị nào của k, hàm số y = (3 - k) x + 2 nghịch biến trờn R. Hàm số nghịch biến khi trờn R khi và chỉ khi 3 - k 3 Bài 4. Tỡm giỏ trị của m để đường thẳng d : y 3x m 2 đi qua điểm A 0;1 . Tỡm giỏ trị của m d : y 3x m 2 đi qua điểm A 0;1 . 1 3.0 m 2 m 2 1 m 3 Vậy m 3 thỡ (d) đi qua điểm A 0;1 . Bài 4. Cho đường thẳng d cú phương trỡnh: ax + (2a - 1) y + 3 = 0 Tỡm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đú, hóy tỡm hệ số gúc của đường thẳng d. Đường thẳng đi qua điểm M (1; -1) khi a + (2a - 1) . (- 1) + 3 = 0 a - 2a + 4 = 0 a = 4 Suy ra đường thẳng đú là 4x + 7y + 3 = 0 - 4 3 7y = - 4x - 3 y = x - 7 7 4 nờn hệ số gúc của đường thẳng là 7 Bài 4. Tỡm m để đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại một điểm trờn trục tung. Đường thẳng y x m2 2 và đường thẳng y (m 2)x 11 cắt nhau tại một điểm trờn trục tung 1 m 2 m 3 m 3 2 2 m 3 m 2 11 m 9 m 3 Vậy m 3 là giỏ trị cần tỡm. Bài 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( 2; 3 ) và điểm B(-2;1) Tỡm cỏc hệ số a và b. Vỡ đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2; 3) nờn thay x = 2 và y = 3 vào phương trỡnh đường thẳng ta được: 3 = 2a + b (1). Tương tự: 1 = - 2a + b (2). Từ đú ta cú hệ: 1 2a + b = 3 2b = 4 a = 2 . - 2a + b = 1 2a + b = 3 b = 2 1 Bài 4. Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ) và song song với đường thẳng 2x + y 2 = 3. Tỡm cỏc hệ số a và b. Viết đường thẳng 2x + y = 3 về dạng y = - 2x + 3. Vỡ đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng trờn, suy ra a = - 2 (1) 1 1 Vỡ đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (2; ) nờn ta cú: 2a + b 2 2 (2). 9 Từ (1) và (2) suy ra a = - 2 và b = . 2
2. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tỡm hệ số a và b. Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + 1 nờn a = 3. Vỡ đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1;2) nờn ta cú:2 = 3.(- 1) + b b= 5 (t/m vỡ b 1 ) Vậy: a = 3, b = 5 là cỏc giỏ trị cần tỡm. Bài 4. Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - 1 đi qua điểm M (- 1; 1). Tỡm hệ số a. Đường thẳng y = ax - 1 đi qua điểm M (- 1; 1) khi và chỉ khi: 1 = a (- 1) -1 a = - 2. Vậy a = - 2 Bài 4. Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(2; 0). Đường thẳng (d) cú phương trỡnh y = ax + b đi qua điểm A (1; 2) và B (2; 0) khi và chỉ khi: a b 2 a 2 2a b 0 b 4 Vậy y = - 2x + 4 Bài 4. Trờn hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M (3; 2) và N (4; -1). Tỡm hệ số a và b. Đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M (3; 2) và N( 4; -1) nờn: 2 = 3a + b a = - 3 - 1 = 4a + b b = 11 5 Bài 4. Tỡm m để đường thẳng y 3x 6 và đường thẳng y x 2m 1cắt nhau tại một điểm 2 nằm trờn trục hoành. Ta gọi (d1 ) , (d 2 ) lần lượt là cỏc đường thẳng cú phương trỡnh 5 y 3x 6 và y x 2m 1 . Giao điểm của (d ) và trục hoành là 2 1 A(2, 0). Yờu cầu của bài toỏn được thoả món khi và chỉ khi (d 2 ) cũng 5 đi qua A 0 .2 2m 1 m 3 . 2 Bài 4. Cho đường thẳng d : y = (m- 1)x + n . Tỡm cỏc giỏ trị của m và n để đường thẳng d đi qua điểm A(1;- 1) và cú hệ số gúc bằng - 3 . Đường thẳng d cú hệ số gúc bằng - 3 nờn m- 1= - 3 Û m = - 2 . Đường thẳng d đi qua điểm A(1;- 1) nờn - 1= - 3.1+ n Û n = 2 Vậy m = - 2,n = 2 . Bài 4. Cho hàm số ycú= đồax thị+ b là . Tỡm a(,D b) biết rằng đi qua( haiD) điểm và A(5;1) B(- 1;- 1). Theo giả thiết (D) đi qua hai điểm A(5;1) và B(- 1;- 1) nờn ta cú:
3. ùỡ 1 ù a = ùỡ 1= 5a + b ùỡ 6a = 2 ù 3 ớù Û ớù Û ớù ù - 1= - a + b ù b = a- 1 ù 2 ợù ợù ù b = - ợù 3 1 2 Thay vào phương trỡnh của hàm số ta được: y = x - . 3 3 1 2 Vậy phương trỡnh đường thẳng cần tỡm là y = x - . 3 3 Bài 4. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để hàm số y = (m2 - m + 2017)x + 2018 đồng biến trờn Ă . Hàm số đồng biến trờn Ă Û a > 0 Û m2 - m + 2017 > 0 , với mọi m. ổ 1ử2 8067 Û ỗm- ữ + > 0 , với mọi m (luụn đỳng). ốỗ 2ứữ 4 Vậy với mọi giỏ trị của m thỡ hàm số luụn đồng biến trờn Ă . Bài 4. Xỏc định m để đường thẳng y = (2- m)x + 3m- m2 tạo với trục hoành một gúc a = 60° . Đường thẳng y = (2- m)x + 3m- m2 tạo với trục hoành một gúc a = 60° Û 2- m = tan60° Û m = 2- tan60° = 2- 3 Vậy m = 2- 3 . Bài 4. Cho đường thẳng: (m- 1)x + (m- 2)y = 1 (với m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng luụn đi qua một điểm cố định với mọi giỏ trị của m. Giả sử M(x0;y0 ) là điểm cố định thuộc đường thẳng đó cho. Ta cú: (m- 1)x0 + (m- 2)y0 = 1 với mọi m Û m(x0 + y0 )- (x0 + 2y0 + 1)= 0 với mọi m ùỡ x + y = 0 ùỡ y = - 1 Û ớù 0 0 Û ớù 0 ù ù ợù x0 + 2y0 + 1= 0 ợù x0 = 1 Vậy đường thẳng đó cho luụn đi qua điểm M(1;- 1) với mọi m. Bài 4. Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số xỏc định với mọi số thực x khỏc 1 2 khụng. Biết rằng: f(x) + 3f = x  x ≠ 0. Tớnh giỏ trị của f(2). x 1 2 Xột đẳng thức: f(x) + 3f = x x 0 (1) x 1 Thay x = 2 vào (1) ta cú: f(2) + 3.f = 4. 2 1 1 1 Thay x = vào (1) ta cú: f + 3.f(2) = 2 2 4 a + 3b = 4 1 13 Đặt f(2) = a, f = b ta cú. 1 . Giải hệ, ta được a = - 2 3a + b = 32 4 13 Vậy f(2) = - . 32 Bài 4. Trong cựng một hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(2;4), B(- 3;- 1),C(- 2;1) . Chứng minh ba điểm
4. A, B, C khụng thẳng hàng. Giả sử đường thẳng đi qua A(2;4) và B(- 3;- 1) cú phương trỡnh là y = ax + b . ùỡ 2a + b = 4 ùỡ a = 1 Khi đú: ớù Û ớù ợù - 3a + b = - 1 ợù b = 2 Suy ra phương trỡnh đường thẳng đi qua A và B là y = x + 2(d) . Mà C(- 2;1) khụng thuộc đường thẳng (d) vỡ 1ạ - 2 + 2 hay ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng. Chỳ ý: Ngoài ra, ta cú thể chứng minh ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng bằng cỏch chứng minh AB khỏc BC + AC hoặc BC khỏc AB + AC hoặc AC khỏc AB + BC . Khoảng cỏch giữa hai điểm A và B là 2 2 AB = (- 3- 2) + (- 1- 4) = 5 2 . Khoảng cỏch giữa hai điểm B và C là ộ ự2 ộ ự2 2 2 BC = ở- 2- (- 3)ỷ + ở1- (- 1)ỷ = 1 + 2 = 5 . Khoảng cỏch giữa hai điểm A và C là 2 2 2 2 AC = (- 2- 2) + (1- 4) = (- 4) + (- 3) = 5 Ta cú: BC + AC = 5 + 5> 5 2 = AB . Tương tự, ta cú BC khỏc AB + AC và AC khỏc AB + BC . Suy ra ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng. Tương tự, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta cú thể chứng minh AB = BC + AC (chứng minh tổng hai đoạn bằng độ dài một đoạn cũn lại). Bài 4. Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + 2 1) Tỡm m để hàm số nghịch biến trờn R. 2) Tỡm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2) a) Hàm số y = (2m - 1)x - m + 2 nghịch biến trờn R 1 khi và chỉ khi 2m - 1 > 0 m > 2 b) Đồ thị hàm số đi qua A (1; 2) khi: 2 = (2m - 1).1 - m + 2 m = 1. Vậy hàm số y = x + 1 Bài 4. 1) Cho đường thẳng d cú phương trỡnh: y mx 2m 4 . Tỡm m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. 2) Với những giỏ trị nào của m thỡ đồ thị hàm số y (m2 m)x2 đi qua điểm A(-1; 2). a) Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi 2m 4 0 m 2. b) Đồ thị hàm số y (m2 m)x2 đi qua điểm A(-1; 2) 2 (m2 m).( 1)2 m2 m 2 0 m 1; m 2
5. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng d cú hệ số gúc k đi qua điểm M (1;-3) cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại A và B. 1) Xỏc định tọa độ cỏc điểm A,B theo k. 2) Tớnh diện tớch tam giỏc OAB theo k. Phương trỡnh đường thẳng cú hệ số gúc k cú dạng: y = kx + b Vỡ đường thẳng d đi qua M (1;-3) nờn – 3 =k + b hay b = - k – 3. Do đú d cú dạng: y = kx – k – 3. Trục hoành cú dạng y = 0 k 3 Giao điểm của d và trục Ox là: kx – k – 3 = 0 x Tọa độ k k 3 điểm A là: ;0 k Trục tung cú dạng x= 0. Do đú giao điểm của d và trục Oy là : y = - k – 3 Vậy tọa độ điểm B là 0; k 3 5 5 b) Khi k = 2 thỡ tọa độ của A là ;0 , B là 0; 5 OA = , OB = 2 2 5. 1 25 Diện tớch của tam giỏc OAB là : =OA.OB. = (đvdt) 2 4 Bài 4. Cho đường thẳng (d): y = 2x + m- 1 . 1) Khi m = 3 , tỡm a để điểm A(a;- 4) thuộc đường thẳng (d) . 2) Tỡm m để đường thẳng (d) cắt cỏc trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho tam giỏc OMN cú diện tớch bằng 1. a) Khi m = 3 để điểm A(a;- 4) thuộc đường thẳng (d) thỡ - 4 = 2.a + 3- 1 Û a = - 3 . Vậy a = - 3 b) Đường thẳng (d) cắt cỏc trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N ổ1- m ử thỡ Mỗ ;0ữ và N(0;m- 1) nờn ốỗ 2 ứữ ổ ử 1 1 ỗ1- mữ SMNO = MO.NO = (m- 1).ỗ ữ 2 2 ốỗ 2 ứữ 1 ổ1- mử 2 ộm = 3 Mà S = 1 Û m- 1 .ỗ ữ= 1 Û m- 1 = 4 Û ờ MNO ( ) ỗ ữ ( ) 2 ố 2 ứ ởờm = - 1 Vậy m = 3,m = - 1 . Bài 4. 1) Vẽ đồ thị hàm số .y = 3x + 2 2) b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị hàm số trờn với trục tung và trục hoành. Tớnh diện tớch tam giỏc OAB. a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 2 ổ- 2 ử Đồ thị đi qua A(0;2) và Bỗ ;0ữ ốỗ 3 ứữ 1 1 - 2 2 b) Ta cú S = OA.OB = 2. = OAB 2 2 3 3
6. 2 Vậy S = . OAB 3 Bài 4. Cho đường thẳng (d): y = (m- 1)x + 3 (với m là tham số). Tỡm m để: 1) Khoảng cỏch từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) bằng 2 . 2) Khoảng cỏch từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. a) Cho x = 0 thỡ y = 3 . Suy ra (d) cắt trục Oy tại điểm B(0;3) 3 Cho y = 0 thỡ x = (m ạ 1) . Suy ra (d) cắt trục Ox tại điểm 1- m ổ 3 ử Aỗ ;0ữ ốỗ1- m ứữ 3 Ta cú: OA = ,OB = 3 . Gọi h là khoảng cỏch từ O đến đường 1- m thẳng (d) . 2 1 1 1 (1- m) 1 m2 - 2m + 2 ị = + = + = h2 OA2 OB2 9 9 9 Theo giả thiết, 9 2 ± 14 h = 2 Û h2 = 2 Û = 2 Û 2m2 - 4m- 5 = 0 Û m = m2 - 2m + 2 2 b) Ta thấy, khoảng cỏch từ O đến đường thẳng d đạt giỏ trị lớn nhất Û m2 - 2m + 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. 2 Ta cú: m2 - 2m + 2 = (m- 1) + 1³ 1," m . Đẳng thức xảy ra Û m = 1 Vậy hmax = 3 Û m = 1 Nhận xột: Dễ thấy điểm B(0;3) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luụn đi qua. Gọi H là hỡnh chiếu của O lờn (d) .
7. Ta cú: OH Ê OB . Đẳng thức xảy ra Û H º B Û d ^ Oy tại .B Û m = 1 Do vậy OH lớn nhất bằng 3 khi và chỉ khi m = 1 .