Bài tập Đại số Lớp 9: Phương trình nghiệm nguyên (Có lời giải)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 9: Phương trình nghiệm nguyên (Có lời giải)

1. Bài toán:Tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a5 b a b5 2c 2 Hướng dẫn:-Nếu a=b ta có a5 a 2c 2 + Nếu c lẻ ta có 2c chia cho 3 dư 2 a5 a chia cho 3 dư 2 (vô lý) 4 x 2 2 a 1 2 + Nếu c chẵn c 2k a5 a 2k a5 a 2k a a4 1 y a 2 Vì a, b N a4 1 a 2x 2y 2x M2y a4 1Ma 1Ma a 1 a b 1 và c=2 - Nếu a b , vì a, b có vai trò như nhau nên ta giả sử a>b a5 b 2x Vì a5 b a b5 2c , vì a,b N * a5 b 2;a b5 2 x, y N * 2x ,2y chẵn 5 y a b 2 a,b cùng chẵn hoặc cùng lẻ +Nếu a, b cùng chẵn Ta có 2x 2y a5 b a b5 (a b) a4 a3b a2b2 ab3 b4 1 Vì a b a b 0; vì a,b N * a4 a3b a2b2 ab3 b4 1 >0 2x 2y 0 2x 2y 2x M2y 2x 2y M2y a5 b a b5 (a b) a4 a3b a2b2 ab3 b4 1 M2y m * n * Vì a, b nguyên dương chẵn a t1 2 với t1 lẻ và m N và b t2 2 với t2 lẻ và n N y y m n Ta có 2 a b 2 t1 2 t2 2 y m; y 5n y m; y n 4 m n 4 3 2 2 3 4 y Nên ta có (t1 2 t2 2 ) a a b a b ab b 1 M2 5 5n n x n 5 4n x 5 4n n x + Nếu m=n ta có t1 2 t2 2 2 2 t1 2 t2 2 , mà t1 2 t2 lẻ nên 2 M2 vô lý vì n n ta có 2 (t1 2 t2 ) a a b a b ab b 1 M2 m n 4 3 2 2 3 4 n y Mà (t1 2 t2 ) a a b a b ab b 1 lẻ 2 M2 vô lý vì n 1 a>b>1, vì a, b nguyên a t1 2 1 với t1 lẻ và m N và b t2 2 1 với t2 lẻ và n N y y m n Ta có 2 a b 2 t1 2 1 t2 2 1 y m; y 5n y m; y n 4 5 5 5 5 m n m n y Ta có a b a b = t1 2 1 t2 2 1 t1 2 1 t2 2 1M2 5 5m 4 4m 3 3m 2 2m m 5 5n 4 4n 3 3n 2 2n n m n y t1 2 5t1 2 10t1 2 10t1 2 5t1 2 t2 2 5t2 2 10t2 2 10t2 2 5t2 2 t1 2 t2 2 M2 5 5m 4 4m 3 3m 2 2m m 5 5n 4 4n 3 3n 2 2n n y t1 2 5t1 2 10t1 2 10t1 2 4t1 2 t2 2 5t2 2 10t2 2 10t2 2 6t2 2 M2 5 5n 4 4n 3 3n 2 2n n 5 5n 4 4n 3 3n 2 2n n y + Nếu m=n ta có t1 2 5t1 2 10t1 2 10t1 2 4t1 2 t2 2 5t2 2 10t2 2 10t2 2 6t2 2 M2 n 1 5 4n 1 4 3n 1 3 2n 1 2 n 5 4n 1 4 3n 1 3 2n 1 2 n y 2 t1 2 5t1 2 10t1 2 5t1 2 2t1 t2 2 5t2 2 10t2 2 5t2 2 3t2 M2 5 4n 1 4 3n 1 3 2n 1 2 n 5 4n 1 4 3n 1 3 2n 1 2 n Mà t1 2 5t1 2 10t1 2 5t1 2 2t1 t2 2 5t2 2 10t2 2 5t2 2 3t2 lẻ 2n 1 M2y Vô lý vì 2n 1 2y + Nếu m>n ta có 5 5m 4 4m 3 3m 2 2m m 5 5n 4 4n 3 3n 2 2n n y t1 2 5t1 2 10t1 2 10t1 2 4t1 2 t2 2 5t2 2 10t2 2 10t2 2 6t2 2 M2 n 1 5 5m n 1 4 4m n 1 3 3m n 1 2 2m n 1 m n 5 4n 1 4 3n 1 3 2n 1 2 n y 2 t1 2 5t1 2 10t1 2 10t1 2 2t1 2 t2 2 5t2 2 10t2 2 5t2 2 3t2 M2 5 5m n 1 4 4m n 1 3 3m n 1 2 2m n 1 m n 5 4n 1 4 3n 1 3 2n 1 2 n Mà t1 2 5t1 2 10t1 2 10t1 2 2t1 2 t2 2 5t2 2 10t2 2 5t2 2 3t2 lẻ 2n 1 M2y Vô lý vì 2n 1 2y Vậy Nghiệm của PT a5 b a b5 2c là a=b=1 và c=2