›
›
›

Bài tập Đại số và giải tích 12 - Đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN tương giao của đồ thị hàm (VD-VDC)

pdf 43 trang hoaithuk2 23/12/2022 2010
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số và giải tích 12 - Đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN tương giao của đồ thị hàm (VD-VDC)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_dai_so_va_giai_tich_12_don_dieu_cuc_tri_gtln_gtnn_tu.pdf

Nội dung text: Bài tập Đại số và giải tích 12 - Đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN tương giao của đồ thị hàm (VD-VDC)

  1. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GTLN-GTNN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM (VD-VDC) CÂU 1. Cho hàm số y f (x) liên tục và xác định Trong khoảng (0;π) đồ thị hàm số y f ′(x) nằm = = trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số phía trên trục hoành nên hàm số f (x) đồng biến y f ′(x) có đồ thị như hình vẽ, trên khoảng (0;π). = y Chọn đáp án D □ CÂU 3. Cho hàm số y f (x). Đồ thị hàm số y = = f ′(x) như hình bên. y 1 O 1 x 4 − khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số f (x) đồng biến trên R. 2 1 O 1 x B. Hàm số f (x) nghịch biến trên R. − − Khẳng định nào sau đây sai? C. Hàm số f (x) chỉ nghịch biến trên khoảng A. Hàm số f (x) đồng biến trên ( 2;1). ( ;0). − −∞ B. Hàm số f (x) đồng biến trên (1; ). D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng +∞ (0; ). C. Hàm số f (x) nghịch biến trên đoạn có độ +∞ dài bằng 2. ɓ Lời giải. D. Hàm số f (x) nghịch biến trên ( ; 2). Trong khoảng (0; ) đồ thị hàm số y f ′(x) −∞ − +∞ = ɓ Lời giải. nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f (x) Dựa vào đồ thị của hàm số y f ′(x) ta thấy: nghịch biến trên khoảng (0; ). " = +∞ 2 x 1 Chọn đáp án D f ′(x) 0 − ⇔ x 1 ⇒ > CÂU 2. Cho hàm số y f (x) liên tục và xác định khoảng ( 2;1), (1; ). = − +∞ trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số Suy ra A đúng, B đúng. y f (x) có đồ thị như hình vẽ. f ′(x) 0 khi x 2 f (x) nghịch biến trên ′ < < − ⇒ = khoảng ( ; 2). Suy ra D−∞ đúng.− y Vậy C sai. π 1 Chọn đáp án C □ − 2 π O π π x CÂU 4. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f ′(x) có − = = 1 2 đồ thị như hình bên. − y y f ′(x) Xét trên ( π;π), khẳng định nào sau đây = − 1 O 1 4 x đúng? − A. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( π;π). − B. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng Hàm số y g(x) f (2 x) đồng biến trên ( π;π). = = − − khoảng C. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng ³ π´ ³π ´ A. (1;3). B. (2; ). π; − và ;π . +∞ − 2 2 C. ( 2;1). D. ( ; 2). − −∞ − D. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0;π). ɓ Lời giải. ɓ Lời giải. Ta có: g′(x) (2 x).f ′(2 x) f ′(2 x) = − − = − − 1 Đại số và giải tích 12
  2. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC Hàm số đồng biến khi g′(x) 0 f ′(2 x) 0 Nhận thấy các nghiệm của g′(x) là nghiệm đơn " " > ⇔ − . 1 2 x 4 ⇔ 2 x 1 Chọn đáp án C □ ⇔ x 5 Dựa vào đồ thị, suy ra f ′(x) 0 ⇔ 3 2x 5 ⇔ Xét g′(x) 0 f ′(1 2x) 0 − > ⇔ − x 1  1 . −−−−−−−−−−−→ − = − < = Đại số và giải tích 12 2
  3. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½  2f ( 3) 0 f (x 4) 10, khi 3 x 4 a ′ .  − − > 1 µ + >¶ ¶ − 4 ⩽ 3 9 = µ 3¶ 3 2x , do đó g 2x f (8) 5. y f ′(x) ∀ ∈ 4 8 µ9 ¶ 5 Do đó hàm số đồng biến trên ;3 . 4 4 O x Chọn đáp án B □ 3 8 1011 CÂU 8. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) xác định, liên tục trên R và f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên. 1 y 1 − O 3 x y g′(x) = µ 3¶ Hàm số h(x) f (x 4) g 2x đồng biến trên = + − − 2 khoảng nào dưới đây? 4 − µ 31¶ µ9 ¶ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5; . B. ;3 . A. Hàm số đồng biến trên (1; ). 5 4 +∞ µ31 ¶ µ 25¶ B. Hàm số đồng biến trên ( ; 1) và (3; ). C. ; . D. 6; . −∞ − +∞ 5 +∞ 4 C. Hàm số nghịch biến trên ( ; 1). −∞ − ɓ Lời giải. D. Hàm số đồng biến trên ( ; 1) (3; ). −∞ − ∪ +∞ 3 ɓ Lời giải. Cách 1 Đặt X x 4, Y 2x . Ta có h′(x) = + = − 2 = Trên khoảng ( ; 1) và (3; ) đồ thị hàm số f ′(X) 2g′(Y ). −∞ − +∞ − µ 3¶ f ′(x) nằm phía trên trục hoành. Để hàm số h(x) f (x 4) g 2x đồng biến = + − − 2 Chọn đáp án B □ thì h′(x) ⩾ 0 CÂU 9. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) xác f ′(X) ⩾ 2g′(Y ) với X,Y [3;8] định, liên tục trên R và f ′(x) có đồ thị như hình ⇒3 x 4 8 ∈ ⇒  ⩽ + ⩽ vẽ bên. 3 . y 3 2x 8 ⩽ − 2 ⩽  1 x 4  1 x 4  − ⩽ ⩽  − ⩽ ⩽ 9 19 x 9 19 9 19 ⩽ x ⩽ .Vì ⇔  2x ⇔  x ⇔ 4 4 O 1 2 ⩽ ⩽ 2 4 ⩽ ⩽ 4 µ9 ¶ µ9 19¶ ;3 ; nên 4 ⊂ 4 4 Cách 2 Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng? = y f ′(x) tại A(a;10), a (8;10). A. Hàm số f (x) đồng biến trên ( ;1). = ∈ −∞ 3 Đại số và giải tích 12
  4. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC B. Hàm số f (x) đồng biến trên ( ;1) và hàm số y f ′(x) ta có bảng biến thiên như sau: −∞ = (1; ). x 2 0 2 +∞ −∞ C. Hàm số f (x) đồng biến trên (1; ). − +∞ +∞ g′ 0 0 0 D. Hàm số f (x) đồng biến trên R. − + − + ɓ Lời giải. g Trên khoảng (1; ) đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía trên trục hoành.+∞ Chọn đáp án D Chọn đáp án C □ □ CÂU 12. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có CÂU 10. Hàm số y f (x) liên tục và xác định đồ thị của hàm số f (x) như hình vẽ. = ′ trên R. Biết f (x) có đạo hàm f ′(x) và hàm số y y f ′(x) có đồ thị như hình vẽ, 4 = y 1 3 2 x − − O O 1 2 x Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng = ( ; 2); (0; ). Khẳng định nào sau đây đúng? −∞ − +∞ B. Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng A. Hàm số f (x) đồng biến trên R. = ( 2;0). B. Hàm số f (x) nghịch biến trên R. − C. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng C. Hàm số f (x) chỉ nghịch biến trên khoảng = ( 3; ). (0;1). − +∞ D. Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng D. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (0; ). = +∞ ( ;0). −∞ ɓ Lời giải. ɓ Lời giải. Trong khoảng (0;1) đồ thị hàm số y f ′(x) nằm Trên khoảng ( 3; ) ta thấy đồ thị hàm số f ′(x) = − +∞ phía dưới trục hoành nên hàm số f (x) nghịch nằm trên trục hoành. biến trên khoảng (0;1). Chọn đáp án C □ Chọn đáp án C □ CÂU 13. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. CÂU 11. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có y O 2 đồ thị hàm số f ′(x) là đường cong trong hình bên. y 1 x − 2 O − 2 x 4 − Mệnh đề nào sau đây đúng? Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng = ( 4;2). A. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng − B. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng ( 1;1). = − ( ; 1). B. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (1;2). −∞ − C. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng C. Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng ( 2;1). = − (0;2). D. Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (0;2). D. Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng = ɓ Lời giải. ( ; 4) và (2; ). −∞ − +∞ Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của ɓ Lời giải. Đại số và giải tích 12 4
  5. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ ( ( Trong khoảng ( ; 1) đồ thị hàm số f ′(x) nằm x 2 2 x 2 −∞ − x 2 | | Chọn đáp án B □ (1;2) và ngược lại tức là những khoảng còn lại 4 3 2 f ′(u) 0. CÂU 14. Cho hàm số f (x) ax bx cx dx e ⇔ µ 1 =1¶ x2 2 2 x ( ; 2) (2; ) và ngược lại. A. − ; . B. (0;2). − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ 2 2 x 2 1 0 1 2 µ ¶ −∞ − − +∞ 1 2x 0 C. − ;0 . D. ( 2; 1). − − − + + + 2 − − 2 f ′(2 x ) 0 0 0 0 ɓ Lời giải. − + − − − − + 2 g(x) 0 0 0 0 0 Đặt g(x) f (u), u x 0 thì g′(x) 2x f ′(u) nên − + + − − + = = " ⩾ = · x 0 Chọn đáp án A □ g′(x) 0 = = ⇔ f ′(u) 0 u 1; u 4 ⇔ CÂU 17. Cho hàm số y f (x). Đồ thị hàm số " = ⇔ = ± = = x 0 y f ′(x) như hình bên dưới. = = x 1; x 2 y = ± = ± g (x) Lập bảng xét dấu của hàm số ′ 2 x 2 1 0 1 2 −∞ − − +∞ g (x) 0 0 0 0 0 ′ + − + − + − x Lưu ý: Cách xét dấu của g′(x) O 1 2 2 B1: Xét dấu f ′(u): Hỏi hàm số g(x) f (1 x ) nghịch biến trên " " 2 1 u 4 1 x 4 khoảng nào trong các= khoảng− sau? Ta có f ′(u) 0 ⇔ u 1 ⇔ x2 1(loại) ⇔ < A. (1;2). B. (0; ). < − < − +∞ 5 Đại số và giải tích 12
  6. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC C. ( 2; 1). D. ( 1;1). C. (2;3). D. ( 2; 1). − − − − − ɓ Lời giải. ɓ Lời giải. 2 2 Cách 1.Ta có g′(x) 2x f ′(1 x ). Hàm số g(x) Ta có: y′ 2x f ′(3 x ) = − ·( −2x 0 = − · − "x 0 − > y 0 f (3 x2) ( 2x) 0 = .  2 ′ ′ 2  f ′(1 x ) 0 = ⇔ − · − = ⇔ f ′(3 x ) 0 nghịch biến g′(x) 0 ( −  2  Trường hợp 1: 3 x 1 x 2. ( (  − = − ⇔ = ± 2x 0 x 0 3 x2 2 x 1 − > y′ 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 x 0. − + − + − + − + f ′(1 x ) 0 ⇔ 1 x 1 1 x 2 ⇔ > Cách− 2. > − "x 0 y = Theo đồ thị f ′(x) Ta có g′(x) 0 2 = ⇔ f ′(1 x ) 0 ←−−−−−−−−−−−→  − = x 0 Lập bảng xét dấu của hàm số y f (3 x2) ta được = = − 1 x2 1 x 0 hàm số đồng biến trên ( 1;0).  . −  − = ⇔ = Chọn đáp án B 1 x2 2 □ − = Bảng biến thiên CÂU 19. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên R. = x 0 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của −∞ +∞ hàm số y f ′(x). g′ 0 + − = y g 1 O 3 x − Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án Xét hàm số g(x) f (3 x2). Mệnh đề nào dưới đây = − Chú ý: Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví là đúng? dụ chọn x 1 (0; ). A. Hàm số g(x) đồng biến trên ( ;1). = ∈ +∞ −∞ B. Hàm số g(x) đồng biến trên (0;3). ○ x 1 2x 0. (1) = −→− ɓ Lời giải. Từ (1) và (2), suy ra g′(1) 0 trên khoảng (0; ). < +∞ 2 Nhận thấy nghiệm của g′(x) 0 là nghiệm đơn ○ Ta có g′(x) 2x f ′(3 x ); f ′(3 "= − 2 · − − nên qua nghiệm đổi dấu. = 3 x 1 x2) 0 − = − Chọn đáp án B □ = ⇔ 3 x2 3 (nghiệm kép) ⇔ " − = CÂU 18. Cho hàm số y f (x). Biết rằng hàm số x 2 = = ± y f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. x 0 (nghiệm kép) = y = ○ Ta có bảng xét dấu x 2 0 2 O −∞ − +∞ x 0 6 1 2 x − + | + − | − − − 2 f ′(3 x ) 0 0 Hàm số y f (3 x2) đồng biến trên khoảng − − + | + − = − g (x) 0 0 A. (0;1). B. ( 1;0). ′ − + − | + − Đại số và giải tích 12 6
  7. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ ○ Hàm số g(x) nghịch biến trên ( ; 2) và ɓ Lời giải. −∞ − 2 (0;2). Ta có g′(x) (1 2x) f ′(x x ). = − · − Cách 1 Hàm số g(x) nghịch biến g′(x) 0 Chọn đáp án D □ (1 2x 0 ⇔ . y f ′(x) như hình bên. ( =  1 2x 0 y  − > 2 f ′(x x ) 0 − x Hàm số g(x) f (x3) đồng biến trên khoảng nào  > 2 1 = " 2 x . trong các khoảng sau? x x 1 ⇔ > 2  − +∞ ɓ Lời giải. (1 2x 0 ○ Trường hợp 2: − > 2 3 2 ○ Ta có g′(x) 3x f ′(x ); g′(x) 0 f ′(x x ) 0 ⇔ = · = ⇔ − 2 " ○ Ta có bảng biến thiên 1 2x 0 − = Cách 2 Ta có g′(x) 0 2 x 1 0 1 = ⇔ f ′(x x ) 0 ⇔ −∞ − +∞ − = g (x) 0 0 0  1 ′ − + − + x  = 2 1 g(0)  +∞ +∞ x x2 1 x .  − = ⇔ = 2 g(x) x x2 2 − = g( 1) g(1) Bảng biến thiên − x 1 −∞ 2 +∞ ○ Hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng g (x) 0 ′ + − ( 1;0) và (1; ). ¡ 1 ¢ − +∞ g 2 Chọn đáp án C □ g(x) CÂU 21. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f ′(x) có = = đồ thị như hình bên. −∞ −∞ y µ1 ¶ Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ; . y f ′(x) = 2 +∞ µ 1¶2 1 2 Cách 3 Vì x x2 x − = − − 2 + 4 ⩽ 1 theo đồ thị của f ′(x) 2 f ′(x x ) 0. O 1 2 x 4 −−−−−−−−−−−−−−→ − > Suy ra dấu của g′(x) phụ thuộc vào dấu của Hàm số y f (x x2) nghịch biến trên 1 1 2x. Do đó g′(x) 0 1 2x 0 x . = − − 2 khoảng? µ ¶ µ 1 ¶ µ 3 ¶ 1 A. ; . B. ; . Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ; . −2 +∞ −2 +∞ 2 +∞ µ 3¶ µ1 ¶ Chọn đáp án D C. ; . D. ; . □ −∞ 2 2 +∞ 7 Đại số và giải tích 12
  8. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC CÂU 22. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f ′(x) có Ta có bảng biến thiên = = đồ thị như hình bên. x 1 0 1 2 3 y −∞ − +∞ y f ′(x) g′(x) 0 0 0 0 0 = − + + − − + g(1) 2 +∞ +∞ g(x) O 1 2 x g( 1) g(3) Hàm số y f (1 2x x2) đồng biến trên khoảng − = + − dưới đây? Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng ( 1;0). − A. ( ;1). B. (1; ). Chọn đáp án D −∞ +∞ □ C. (0;1). D. (1;2). ɓ Lời giải. CÂU 24. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm là hàm 2 = Ta có y′ (2 2x) f ′(1 2x x ); y′ 0 số f ′(x) trên R. Biết rằng hàm số y f ′(x 2) 2  = − · + − = ⇔ = − + x 1 x 1 có đồ thị như hình vẽ bên. =  2 = y 1 2x x 1 x 0.  + − = ⇔  = 2 1 2x x 2 x 2 2 + − = = Bảng biến thiên 1 x 0 1 2 2 −∞ +∞ O x y′ 0 0 0 1 3 + − + − 1 y(0) y(2) − Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng nào? y A. ( ;2). B. ( 1;1). µ−∞3 5¶ − y(1) C. ; . D. (2; ). −∞ −∞ 2 2 +∞ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2). ɓ Lời giải. Chọn đáp án D □ Cách 1: Dựa vào đồ thị (C) ta có: f ′(x 2) 2 − + < 2, x (1;3) f ′(x 2) 0, x (1;3). ∀ ∈ ⇔ − < ∀ ∈ CÂU 23. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) = Đặt x x 2 thì f ′(x ) 0, x ( 1;1). trên R và đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ ∗ = − ∗ < ∀ ∗ ∈ − bên. Vậy: Hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng y ( 1;1). Cách− 2: Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số 1 O 1 2 x − f ′(x) sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự 2 f (x) − đồng biến của hàm số . * Bước 1: Từ đồ thị hàm số f ′(x 2) 2 tịnh 4 − + − tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số Hàm số g(x) f (x2 2x 1) đồng biến trên khoảng f ′(x 2) như sau − nào dưới đây?= − − y 2 A. ( ;1). B. (1; ). −∞ +∞ O x C. (0;2) D. ( 1;0) 1 3 . . 1 − − ɓ Lời giải. 2 2 − Ta có g′(x) (2x 2)f ′(x 2x 1); g′(x) 0  = − − − = ⇔ 3 x 1 x 0 − =  2 = x 2x 1 1 x 1 f (x 2)  − − = − ⇔  = ± * Bước 2: Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số ′ 2 − x 2x 1 2 x 2; x 3 sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số f ′(x) − − = = = Đại số và giải tích 12 8
  9. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ như sau thiên của hàm số f (x) như sau y x 2 1 2 −∞ − +∞ y′ 0 0 0 1 O 1 x + − + − − 1 0 0 − 2 y − 3 y(1) − −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy ra f (x) ⩽ 0, x R. * Bước 3: Từ đồ thị hàm số f ′(x), ta thấy f ′(x) 0 ∀ ∈ ⇔ Chọn đáp án B □ f ′(3 x) 0 2 3 x 1 2 x 5 − ⇔ x 4 CÂU 26. Cho hàm số ( ). Đồ thị hàm số " > = x 1 y f ′(x) như hình bên = f ′(x) 0 1 x 3 1 = 2 x− 4⇒ = − > 2 O 1 2 0 − > hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (3;4), ⇒ (7; ). +∞ Với x 3 khi đó g(x) f (3 x) g′(x) f ′(3 x) 2 0 f (3 x) 0 và f ( 2) f (2) 0. Hàm số g(x) [f (3 x)] " ′ " − = = = − ⇔3 x− 1 sau? ⇔ 1 3 x 4 ⇔ 1 x 2. < − < − < < A. ( 2; 1). B. (1;2). hàm số g(x) đồng biến trên khoảng ( 1;2). − − ⇒ − C. (2;5). D. (5; ). Chọn đáp án B +∞ □ ɓ Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y f ′(x), suy ra bảng biến CÂU 28. Cho hàm số y f (x). Đồ thị hàm số = = 9 Đại số và giải tích 12
  10. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC µ1 ¶ y f ′(x) như hình bên. C. ; . D. ( 1; ). = y 2 +∞ − +∞ ɓ Lời giải. Ta có µ ¶ 1 1 3 x 1 1 − g′(x) (x 1) O = + px2 2x 3 − px2 2x 2 × ³ 2 + 2 + ´ + + f ′ px 2x 3 px 2x 2 . × + + − + + 1 1 ³ ´ ○ 0 với mọi x R. Hàm số g(x) f px2 2x 2 nghịch biến trên px2 2x 3 − px2 2x 2 ∀ ∈ Dựa vào đồ thị, suy ra f ′(x) 0 x 1 . Ta có = ⇔ = Từ (1) và (2), suy ra dấu của g′(x) phụ thuộc vào x 3 = dấu của nhị thức x 1 (ngược dấu) x 1 ³ 2 ´ + g′(x) + f ′ px 2x 2 ; Bảng biến thiên = px2 2x 2 + +  x 1 + +x 1 0 theo đồ thị f (x) −∞ +∞ g (x) 0 + = ′ ′  ³p 2 ´ g′(x) 0 = ⇔ f ′ x 2x 2 0 ←−−−−−−−−−−→ + − + + = x 1 0 x 1 (nghiệm bội ba) + = = − p  g(x)  x2 2x 2 1 x 1 2p2 + + = = − − p ⇔  x2 2x 2 3 x 1 2p2. + + = = − + Chọn đáp án A □ Bảng xét dấu g′(x): y f (x) x 1 2p2 1 1 2p2 CÂU 30. Cho hàm số có đạo hàm liên tục −∞ = − − − − + +∞ trên R và hàm số y f ′(x) có đồ thị như hình vẽ g (x) 0 0 0 = ′ − + − + bên. y Chú ý: Cách xét dấu g′(x) như sau: Ví dụ xét trên khoảng ¡ 1; 1 2p2¢ ta chọn x 0. Khi đó 4 − − + = 1 ¡ ¢ g′(0) f ′ p2 0 vì dựa vào đồ thị f ′(x) ta = p2 < ¡ ¢ 2 thấy tại x p2 (1;3) thì f ′ p2 0. Các nghiệm = ∈ < của phương trình g′(x) 0 là nghiệm bội lẻ nên = qua nghiệm đổi dấu. O x Chọn đáp án A □ 2 1 1 − − CÂU 29. Cho hàm số y f (x). Đồ thị hàm số = Mệnh đề nào sau đây đúng? y f (x) ′ như hình bên. A. Hàm số y f (x) đạt cực đại tại điểm x 1. = y = = − B. Hàm số y f (x) đạt cực tiểu tại điểm x 1. = = C. Hàm số y f (x) đạt cực tiểu tại điểm x = = 2 2. − D. Hàm số y f (x) đạt cực đại tại điểm x 2. = = − x ɓ Lời giải. O 1 2 Giá trị của hàm số y f ′(x) đổi dấu từ âm sang = ³ 2 2 ´ dương khi qua x 2. Hàm số g(x) f px 2x 3 px 2x 2 đồng = − = + + − + + Chọn đáp án C □ biến trên khoảng nào sau đây? µ 1¶ CÂU 31. Cho hàm số y f (x) xác định trên R và A. ( ; 1). B. ; . = có đồ thị hàm số y f ′(x) là đường cong trong −∞ − −∞ 2 = Đại số và giải tích 12 10
  11. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ hình bên. y f ′(x) cắt trục Ox tại mấy điểm mà thôi, không y = kể các điểm mà đồ thị y f ′(x) tiếp xúc với trục = 4 Ox (vì đạo hàm ko đổi dấu). Chọn đáp án B □ 2 2 CÂU 34. Hàm số f (x) có đạo hàm f (x) trên − ′ p2 O p2 x khoảng K. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f (x) − ′ Mệnh đề nào dưới đây đúng? trên khoảng K. y A. Hàm số y f (x) đạt cực đại tại x 2. = = B. Hàm số y f (x) đạt cực tiểu tại x 0. = = C. Hàm số y f (x) có 3 cực trị. = D. Hàm số y f (x) đạt cực đại tại x p2. 1 O 1 2 x = = − ɓ Lời giải. Giá trị của hàm số y f ′(x) đổi dấu từ dương = sang âm khi qua x 2. Hỏi hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? = Chọn đáp án A □ A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. ɓ Lời giải. CÂU 32. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có Đồ thị hàm số f (x) cắt trục hoành tại điểm đồ thị của hàm số f (x) như hình vẽ bên. ′ ′ x 1. y = − Chọn đáp án B □ 2 CÂU 35. Cho hàm số y f (x) xác định trên R và = có đồ thị hàm số y f ′(x) là đường cong trong 1 hình bên. = y 3 2 1 1 2 − − − O x Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 1 O 1 2 x A. f (x) đạt cực tiểu tại x 0. − = B. f (x) đạt cực tiểu tại x 2. = − C. f (x) đạt cực đại tại x 2. = − D. Giá trị cực tiểu của f (x) nhỏ hơn giá trị cực đại của f (x). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số y f (x) đạt cực tiểu tại x 2 và ɓ Lời giải. = = x 0. Giá trị hàm số y f ′(x) đổi dấu từ dương sang = = B. Hàm số y f (x) có 4 cực trị. âm khi qua x 2. = = − C. Hàm số y f (x) đạt cực tiểu tại x 1. Chọn đáp án B □ = = − D. Hàm số y f (x) đạt cực đại tại x 1. CÂU 33. Hàm số y f (x) liên tục trên khoảng K, = = − = ɓ Lời giải. biết đồ thị của hàm số y f ′(x) trên K như hình = Giá trị của hàm số y f ′(x) đổi dấu từ âm sang vẽ bên. = y dương khi qua x 1. = − Chọn đáp án C □ CÂU 36. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục = trên R. Biết đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. 2 1 O 1 2 x y − − Tìm số cực trị của hàm số y f (x) trên K. = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. O 1 2 3 x ɓ Lời giải. Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị 11 Đại số và giải tích 12
  12. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC Tìm điểm cực tiểu của hàm số y f (x) trên đoạn Khi đó trên K, hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm = = [0;3] ? cực trị? A. x 0 và x 2. B. x 1 và x 3. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. = = = = C. x 2. D. x 0. = = ɓ Lời giải. ɓ Lời giải. Đồ thị hàm số f ′(x) cắt trục hoành tại 1 điểm x0 Đồ thị hàm số f ′(x) có 4 điểm chung với trục và đổi đấu từ âm sang dương khi qua x0. hoành, nhưng cắt trục hoành tại 3 điểm trong Chọn đáp án A □ đó f ′(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 2. = Chọn đáp án C □ CÂU 39. Cho hàm số y f (x). Hàm số y f ′(x) có = = CÂU 37. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. y đồ thị hàm số y f ′(x). y f ′(x) = y = O x O x3 x x1 x2 x4 Số điểm cực trị của hàm số y f (x) là = A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. ɓ Lời giải. Chọn khẳng định đúng? Ta thấy đồ thị hàm số f (x) có 4 điểm chung với ′ A. Hàm số y f (x) có 2 cực đại và 2 cực tiểu. trục hoành x1;0;x2; x3 nhưng chỉ cắt thực sự tại = B. Hàm số y f (x) có 3 cực đại và 1 cực tiểu. hai điểm là 0 và x3. Bảng biến thiên = C. Hàm số y f (x) có 1 cực đại và 2 cực tiểu. = x x1 0 x2 x3 D. Hàm số y f (x) có 2 cực đại và 1 cực tiểu. −∞ +∞ = ɓ Lời giải. y 0 0 0 0 ′ + + − − + Qua x3 thì y f ′(x) không đổi dấu, nên ta coi f (0) = như không xét x3. y Dựa vào đồ thị của hàm số y f ′(x), ta có bảng xét dấu: = f (x3) x x1 x2 x4 −∞ +∞ Vậy hàm số y f (x) có 2 điểm cực trị. y′ 0 0 0 = − + − + Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f ′(x) có 4 Như vậy, trên K, hàm số y f (x) có điểm cực đại điểm chung với trục hoành nhưng cắt và băng = là x2 và điểm cực tiểu là x1, x4. qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai Chọn đáp án C cực trị. □ Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì CÂU 40. Cho hàm số y f (x). Biết f (x) có đạo đó là điểm cực đại. = hàm f (x) và hàm số y f (x) có đồ thị như hình Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là ′ ′ vẽ. = điểm cực tiểu. y Chọn đáp án A □ CÂU 38. Cho hàm số f (x) có đồ thị f (x) của nó ′ 4 x trên khoảng K như hình vẽ. y O 1 2 3 5 Hàm số g(x) f (x 1) đạt cực đại tại điểm nào = − 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 x dưới đây? − − − − A. x 2. B. x 4. C. x 3. D. x 1. = = = = ɓ Lời giải. Đại số và giải tích 12 12
  13. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ Cách 1: Ta có g′(x) f ′(x 1) vẫn cắt trục hoành tại hai điểm. = + Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của g′(x) g (x) f (x 1) 0 = ′ ′ f ′(x 1): =  − = + x 1 1 x x1 0 − = −∞ x 1 3 +∞ ⇔  − = f ′(x 1) 0 0 x 1 5 + − + + − = Vậy hàm số g(x) f (x 1) có 1 cực trị. x 2 = + = Chọn đáp án B □ x 4 ⇔  = CÂU 42. Cho hàm số f (x) có đồ thị f (x) của nó x 6. ′ = trên khoảng K như hình vẽ. g′(x) f ′(x 1) 0 y = " − > y f ′(x) 1 x 1 3 = 2 x 4 O Ta chọn đáp án B. Cách 2: Đồ thị hàm số g′(x) f ′(x 1) là phép = − Khi đó trên K, hàm số y f (x 2018) có bao nhiêu tịnh tiến đồ thị hàm số y f ′(x) theo phương trục = − = điểm cực trị? hoành sang phải 1 đơn vị. Hình vẽ A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. y f ′(x 1) y = − ɓ Lời giải. Đồ thị hàm số f ′(x 2018) là phép tịnh tiến của − đồ thị hàm số f ′(x) theo phương trục hoành nên dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của f ′(x 2018): − 4 x x x1 x2 x3 O 1 2 3 5 6 −∞ +∞ f ′(x 2018) 0 0 0 − − + + + Vậy hàm số g(x) f (x 2018) có 1 cực trị. = − Chọn đáp án A □ Đồ thị hàm số g′(x) f ′(x 1) cắt trục hoành tại = − các điểm có hoành độ x 2; x 4; x 6 và giá trị CÂU 43. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có = = = hàm số g (x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. ′ y điểm x 4. Chọn đáp= án B □ y f ′(x) = CÂU 41. Hàm số y f (x) liên tục trên khoảng K, = y f (x) K biết đồ thị của hàm số ′ trên như hình x vẽ. = y O y f ′(x) = Hàm số f (x 2018) có mấy điểm cực trị? + A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x ɓ Lời giải. 1 O Đồ thị hàm số f ′(x 2018) là phép tịnh tiến của − + đồ thị hàm số f ′(x) theo phương trục hoành nên Tìm số cực trị của hàm số g(x) f (x 1) trên K đồ thị hàm số f ′(x 2018) vẫn cắt trục hoành tại = + + ? các điểm như đồ thị hàm f ′(x). Dựa vào đồ thị ta A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. có bảng xét dấu của f ′(x 2018): − ɓ Lời giải. x x1 x2 x3 x4 −∞ +∞ Ta có g′(x) f ′(x 1) có đồ thị là phép tịnh tiến = + f ′(x 2018) 0 0 0 0 của đồ thị hàm số y f ′(x) theo phương trục + − + − + + = hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số Vậy hàm số g(x) f (x 2018) có 3 cực trị. = − 13 Đại số và giải tích 12
  14. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC Chọn đáp án C □ vẽ bên. y CÂU 44. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có 2 đồ thị của hàm số f (x) như hình vẽ. 1 ′ O y 1 1 2 x 2 x − 1 − 1 O 2 − − Đặt g(x) f (x) x. Tìm số cực trị của hàm số = + g(x)? 4 − y f ′(x) = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hàm số y g(x) f (x) 4x có bao nhiêu điểm cực = = + trị? ɓ Lời giải. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. y ɓ Lời giải. 2 1 Số cực trị của hàm g(x) bằng số nghiệm bội lẻ O 1 1 2 x của phương trình − 1 − g′(x) f ′(x) 4 0 f ′(x) 4 2 = + = ⇔ = − − Dựa vào đồ thị của hàm f ′(x) ta thấy phương trình trên có một nghiệm đơn. Ta có g′(x) f ′(x) 1. = + Chọn đáp án A □ Đồ thị của hàm số g′(x) là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số y f ′(x) theo phương Oy lên trên 1 CÂU 45. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục = = đơn vị, khi đó đồ thị hàm số g′(x) cắt trục hoành trên R. Đồ thị hàm số y f ′(x) như hình vẽ bên. tại hai điểm phân biệt. =y 2 Chọn đáp án B □ 1 2 1 1 2 − − O x 1 − CÂU 47. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên và 2 = − đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f ′ (x). Số điểm cực trị của hàm số y f (x) 2x là y = + A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. 1 O 1 2 ɓ Lời giải. − x Xét hàm số g(x) f (x) 2x. Ta có g′(x) f ′(x) 2. 1 = + = + − Từ đồ thị hàm số f ′(x) ta thấy: " x 1 Ë g′(x) 0 f ′(x) 2 = − = ⇔ = − ⇔ x α (α 0). Hàm số g(x) f (x) x đạt cực tiểu tại điểm " = > = + x α Ë g′(x) 0 f ′(x) 2 ⇔ > − ⇔ x 1. = ̸= − B. x 1. Ë g′(x) 0 f ′(x) 2 x α. = C. x 2. Từ đó suy ra hàm số y f (x) 2x liên tục và có = = + D. Không có điểm cực tiểu. đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x α. = Từ đó ta có bảng xét dấu g (x): ′ ɓ Lời giải. x 1 α −∞ − +∞ g (x) 0 0 ′ + + − Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị. Chọn đáp án B □ CÂU 46. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục ○ Cách 1: g′(x) f ′(x) 1. Tịnh tiến đồ thị = = + trên R, có đồ thị của hàm số y f ′(x) như hình hàm số f ′(x) lên trên 1 đơn vị ta được đồ = Đại số và giải tích 12 14
  15. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ thị hàm số g′(x). đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f ′(x). y y 1 1 1 2 3 − O x 1 1 O 1 2 − − 2 x −3 − 4 1 − − Hỏi hàm số g(x) f (x) 3x có bao nhiêu điểm cực trị ? = + A. 2. B. 3. C. 4. D. 7. ɓ Lời giải. Từ đó ta có bảng biến thiên: Ta có g′(x) f ′(x) 3; g′(x) 0 f ′(x) 3. Suy ra x = + = ⇔ = − 0 1 2 số nghiệm của phương trình g′(x) 0 chính là số −∞ +∞ = y′ 0 0 0 f x − − + − giao điểm giữa đồ thị của hàm số ′( ) và đường thẳng y 3. y = − y 1 1 1 2 3 − O x ○ Cách 2: Ta có g′(x) f ′(x) 1; g′(x) 0 = + = ⇔ f ′(x) 1. Suy ra số nghiệm của phương 1 = − − trình g′(x) 0 chính là số giao điểm giữa đồ = f (x) y 1 2 thị của hàm số ′ và đường thẳng . − y = − 3 y 3 − = − 1 O 1 2 4 − − x x 1 = − y 1  = − 1 x 0 − Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) 0  = . Ta = ⇔ x 1  = x 2 − thấy x 1 ,x 0, x 1 là các nghiệm đơn và x 2 = − = = = x 0 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g(x) f (x) 3x = + = có 3 điểm cực trị. Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) 0 x 1. = ⇔  = Chọn đáp án B x 2 □ = Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy CÂU 49. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có g(x) đạt cực tiểu tại x 1. đồ thị f ′(x) như hình vẽ bên. = y 2 1 Chú ý x 1 1O 1 2 − − 2 Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên − khoảng ( ;0) ta thấy đồ thị hàm f ′(x) nằm phía Hàm số g(x) f (x) x đạt cực đại tại −∞ = − dưới đường y 1 nên g′(x) mang dấu “- ”. A. x 1. B. x 0. C. x 1. D. x 2. = − = − = = = ɓ Lời giải. Chọn đáp án B □ ○ Cách 1: Ta có g′(x) f ′(x) 1; g′(x) 0 = − = ⇔ f ′(x) 1. Suy ra số nghiệm của phương = CÂU 48. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên và trình g′(x) 0 chính là số giao điểm giữa đồ = = 15 Đại số và giải tích 12
  16. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC thị của hàm số f ′(x) và đường thẳng y 1. đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. y = y 5 2 4 3 y 1 = 1 2 1 3 2 1 O 1 x O x 1 1 1 2 − − − − − 1 Hàm số y g(x) f (x) 3x có bao nhiêu điểm cực − trị? = = − 2 − A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ɓ Lời giải. x 1 y = − 5 Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) 0 x 1 . 4 = ⇔  = x 2 3 = 2 Ta có bảng biến thiên: 1 x 1 1 2 −∞ +∞ x y − 3 2 1 O 1 1 ′ 0 0 0 − − − − + − − + 2 − 3 y − Ta có y′ g′(x) f ′(x) 3 có đồ thị là phép tịnh = = − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt tiến đồ thị của hàm số f ′(x) theo phương O y cực đại tại x 1. xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g′(x) = − cắt trục hoành tại 3 điểm. Chú ý Chọn đáp án C □ Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ( ; 1) ta thấy hàm số f ′(x) CÂU 51. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục −∞ − = nằm phía trên đường thẳng y 1 nên g′(x) trên R .Đồ thị hàm số y f (x) như hình vẽ bên. = ′ mang dấu “+ ”. =y 4 3 ○ Cách 2: Ta có g′(x) f ′(x) 1. Đồ thị của 2 = − hàm số g′(x) là phép tịnh tiến đồ thị của 1 hàm số f (x) theo phương O y xuống dưới 1 ′ 2 1 O 1 2 x − − 1 đơn vị. − y Hỏi số điểm cực trị của hàm số g(x) f (x) 5x 2 là = − 1 A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. ɓ Lời giải. 1 O 1 2 x − 1 Ta có g′(x) f ′(x) 5. Khi đó đồ thị hàm số − = − y′ f ′(x) dịch chuyển theo phương trục O y xuống 2 = − dưới 5 đơn vị ta được đồ thị hàm số g′(x). Khi đó: g′(x) 0 cắt trục hoành tại 1 điểm duy = Ta thấy giá trị hàm số g′(x) đổi dấu từ nhất.Vậy số điểm cực trị là 1. dương sang âm khi qua điểm x 1. = − Chọn đáp án D □ □ CÂU 50. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có CÂU 52. Cho hàm số y f (x) liên tục trên R. = Đại số và giải tích 12 16
  17. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ Hàm số y f ′(x) có đồ thị như hình bên. Đồ thị hàm số y f ′(x) như hình vẽ bên. = y =y 5 1 4 1 1 2 − 3 O x 2 1 − 1 2 x x x x − 1 O 1 2 3 − 2017 2018x Hàm số y g(x) f (x) − có bao 2 = = + 2017 Hàm số g(x) 2f (x) x đạt cực tiểu tại điểm nhiêu cực trị? = + A. x 1. B. x 0. C. x 1. D. x 2. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. = − = = = ɓ Lời giải. ɓ Lời giải. y y 5 1 4 1 1 2 3 − 2 O x 1 1 − x x x x 1 O 1 2 3 2 − 2018 − Ta có y′ g′(x) f ′(x) . Suy ra đồ thị của = = − 2017 hàm số g′(x) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số 2018 y f ′(x) theo phương O y xuống dưới đơn Ta có g′(x) 2f ′(x) 2x; g′(x) 0 f ′(x) x. = 2017 = + = ⇔ = − Suy ra số nghiệm của phương trình g′(x) 0 vị. = 2018 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số Ta có 1 2 và dựa vào đồ thị của hàm số f ′(x) và đường thẳng y x. < 2017 < = −  y f (x), ta suy ra đồ thị của hàm số g (x) cắt x 1 ′ ′ = − =  trục hoành tại 4 điểm. x 0 Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) 0  = Chọn đáp án D = ⇔ x 1 □  = x 2. CÂU 53. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên R. = = Đồ thị hàm số y f ′(x) như hình vẽ bên. Bảng biến thiên = y x 1 0 1 2 4 −∞ − +∞ g 0 0 0 0 ′ + − + + + 2 g 1 O 1 x − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực Số điểm cực trị của hàm số g(x) f (x 2017) tiểu tại x 0. = − − = 2018x 2019 là + A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Chú ý ɓ Lời giải. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên Ta có g′(x) f ′(x 2017) 2018; g′(x) 0 f ′(x = − − = ⇔ − khoảng ( ; 1) ta thấy đồ thị hàm f ′(x) nằm 2017) 2018. −∞ − = phía trên đường y x nên g′(x) mang dấu “ ”. Dựa vào đồ thị hàm số y f ′(x) suy ra phương = − + = trình f ′(x 2017) 2018 có 1 nghiệm đơn duy − = nhất. Suy ra hàm số g(x) có 1 điểm cực trị. Chọn đáp án B □ Chọn đáp án A □ CÂU 54. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên R. CÂU 55. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) = = 17 Đại số và giải tích 12
  18. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC như hình bên. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. y ɓ Lời giải. 1 y O 1 x 1 1 Số điểm cực tiểu của hàm số g(x) f (x) x3 = − 9 x1 O 1x2 x3 x là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 1 2 Ta có: g′(x) f ′(x) x . Khi đó g′(x) 0 f ′(x) ɓ = − 3 = ⇔ = Lời giải. 1 y x2. 3 1 Vẽ đồ thị hàm số y x2 trên mặt phẳng toạ độ = 3 đã có đồ thị f ′(x). 1 x1 O 1 x2 x3 x Dựa vào hình vẽ trên ta thấy phương trình 1 2 f ′(x) x có ba nghiệm đơn x1 x2 x3. 1 2 = 3 < < Ta có: g′(x) f ′(x) x . Khi đó g′(x) 0 f ′(x) = − 3 = ⇔ = Ta lập được bảng xét dấu của g′ như sau 1 x2. 3 x x1 x2 x3 1 2 −∞ +∞ Vẽ đồ thị hàm số y x trên mặt phẳng toạ độ g 0 0 0 = 3 ′ − + − + đã có đồ thị f ′(x). Dựa vào hình vẽ trên ta thấy phương trình g 1 f (x) x2 có ba nghiệm đơn x x x . ′ 3 1 2 3 = < < Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g thay Ta lập được bảng xét dấu của g như sau ′ ′ đổi từ “ ” sang “ ” hai lần. Vậy có hai− điểm+ cực tiểu. x x1 x2 x3 −∞ +∞ g′ 0 0 0 − + − + Chọn đáp án B □ g Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu của g′ thay đổi từ “ ” sang “ ” hai lần. − + CÂU 57. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên R. Vậy có hai điểm cực tiểu. = Đồ thị hàm số y f ′(x) như hình vẽ bên. Chọn đáp án B □ = y 1 CÂU 56. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) = 1 như hình bên. − y O 1 2 x 2 1 − x3 Hàm số g(x) f (x) x2 x 2 đạt cực đại O 1 x = − 3 + − + tại 1 Số điểm cực tiểu của hàm số g(x) f (x) x3 = − 9 là A. x 1. B. x 0. C. x 1. D. x 2. = − = = = Đại số và giải tích 12 18
  19. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ 2 ɓ Lời giải. Ta có g′(x) 2xf ′(x 3); "= − y x 0 (P) = g′(x) 0 2 = ⇔ f ′(x 3) 0 1 − = Theo đồ thị f ′(x) ta có: f ′(x) 0 " = ⇔ 1 x 2 − = − O 1 2 x x 1 (nghiệm kép) = x 0 =  2 Do đó: g′(x) 0 x 3 2 2 = ⇔  − = − ⇔ − x2 3 1 (nghiệm kép) 2  − = Ta có g′(x) f ′(x) x 2x 1; g′(x) 0 f ′(x) x 0 = − + − = ⇔ = = (x 1)2. x 1 −  = ± Suy ra số nghiệm của phương trình g′(x) 0 x 2 (nghiệm kép). chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm= số = ± 2 Bảng biến thiên f ′(x) và parapol (P): y (x 1) . = −  x 2 1 0 1 2 x 0 −∞ = − − +∞ Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) 0 x 1. g′ 0 0 0 0 0 = ⇔  = − − + − + + x 2 = g Bảng biến thiên x 0 1 2 −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên kết luận số điểm cực g 0 0 0 ′ − + − + trị là 3. g Chú ý Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví dụ xét tại x 1. trên khoảng (2; ) = +∞ x (2; ) x 0. (1) ∈ +∞ → > theo đồ thị f (x) Chú ý x (2; ) x2 4 x2 3 1 ′ ∈ 2 +∞ → > −→ − > −−−−−−−−−−−→ f ′(x 3) 0. (2) Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên − > 2 Từ (1) và (2), suy ra g′(x) 2xf ′(x 3) 0 trên = − > khoảng ( ;0) ta thấy đồ thị hàm f ′(x) nằm phía khoảng (2; ) nên g (x) mang dấu “ ”. −∞ 2 ′ trên đường y (x 1) nên g′(x) mang dấu “ ”. +∞ + = − − Nhận thấy các nghiệm x 1 và x 0 là các Nhận thấy các nghiệm x 0; x 1; x 2 là các = ± = = = = nghiệm bội lẻ nên g′(x) qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm đơn nên qua nghiệm g′(x) đổi dấu. nghiệm x 2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào = ± đồ thị ta thấy f ′(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua nghiệm không Chọn đáp án C □ đổi dấu. CÂU 58. Cho hàm số y f (x) và đồ thị hình bên = là đồ thị của đạo hàm f ′(x). Chọn đáp án B y □ 4 CÂU 59. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên R = và có bảng biến thiên của đạo hàm f ′(x) như sau: x 2 1 3 −∞ − +∞ g 0 0 0 ′ − + + − 2 1 O 1 x − − Hỏi hàm số g(x) f (x2 2x) có bao nhiêu điểm Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) f (x2 cực tiểu? = − = − 3). A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. ɓ Lời giải. 2 ɓ Lời giải. g′(x) (2x 2)f ′(x 2x); = − − 19 Đại số và giải tích 12
  20. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC " 2x 2 0 B. Hàm số có năm cực trị. − = g′(x) 0 2 = ⇔ f ′(x 2x) 0 C. Hàm số có bốn cực trị. − = Dựa vào bảng xét dấu của hàm f ′(x) 0 D. Hàm số có ba cực trị. x 2 = ⇔ = − ɓ Lời giải. x 3 2  = Ta có: g′(x) (2x 2)f ′(x 2x 1). x 1 (nghiệm kép). = − − −x 1 =  = x 1  2 = Nhận xét: g′(x) 0 x 2x 1 1  2 = ⇔  − − = − ⇔ x 2x 2 2 g (x) 0  − = − x 2x 1 2 Do đó: ′  2 − − = = ⇔ x 2x 3 ⇔ x 0  − = = x2 2x 1 (nghiệm kép)  x 1  − = = ± x 1 x 2; x 3. =  = = x 1 Ta có bảng biến thiên:  = − x 3 x 1 0 1 2 3  = − x 1 p2 (nghiệm kép). y 0 0 0 0 0 = ± ′ − + + − − + Bảng biến thiên x 1 1 p2 1 1 p2 3 y −∞ − − + +∞ g 0 0 0 0 0 ′ + − − + + − g Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị. Dựa vào bảng biến thiên kết luận hàm số g(x) Chọn đáp án D □ một điểm cực tiểu. Chú ý CÂU 61. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên R và đồ thị hình bên dưới= là đồ thị của đạo hàm f (x). Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví dụ xét ′ trên khoảng (3; ) y +∞ x (3; ) 2x 2 0. (1) ∈ +∞ → − > 2 theo BBT của f ′(x) 2 x (3; ) x 2x 3 f ′(x ∈ +∞ → − > −−−−−−−−−−−−−→ − x 2x) 0. (2) < 2 O Từ (1) và (2), suy ra g′(x) (2x 2)f ′(x 2x) 0 = − − < trên khoảng (3; ) nên g′(x) mang dấu “ ”. +∞ − Nhận thấy các nghiệm x 1 và x 3 là các Hàm số g(x) f ( x ) 2018 có bao nhiêu điểm cực = ± = = | | + nghiệm bội lẻ nên g′(x) qua nghiệm đổi dấu. trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7. Chọn đáp án A □ ɓ Lời giải. CÂU 60. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) Từ đồ thị hàm số f (x) ta thấy f (x) cắt trục = ′ ′ trên R và đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ. hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm y 1 1 2 x có hoành độ âm) − f (x) có 2 điểm cực trị dương O −→ f ( x ) có 5 điểm cực trị −→ | | 2 f ( x ) 2018 có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh − −→ | | + 3 tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng − 4 đến số điểm cực trị của hàm số). − Chọn đáp án C Xét hàm số g(x) f (x2 2x 1). Mệnh đề nào sau □ đây đúng? = − − A. Hàm số có sáu cực trị. CÂU 62. Cho hàm số y f (x) và đồ thị hình bên = Đại số và giải tích 12 20
  21. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ là đồ thị của đạo hàm f ′(x). đồ thị của hàm số f ′(x) như hình vẽ bên. y y 2 1 1 1 2 x − O O 1 2 3 x 2 Hỏi đồ thị của hàm số g(x) 2f (x) (x 1) có tối Khẳng định nào dưới đây đúng? đa bao nhiêu điểm cực trị?= | − − | A. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng = A. 9. B. 11. C. 8. D. 7. ( ;2). −∞ B. Hàm số y f (x) đồng biến trên khoảng = ɓ Lời giải. ( ; 1). −∞ − y C. Hàm số y f (x) có ba điểm cực trị. = D. Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng = 2 (0;1). 1 ɓ Lời giải. O 1 2 3 x Đồ thị f ′(x) nằm phía trên trục hoành nên hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;1), (2; ). − +∞ 2 Đồ thị f (x) nằm phía dưới trục hoành nên hàm Đặt h(x) 2f (x) (x 1) h′(x) 2f ′(x) 2(x 1). ′ = − − ⇒ = − − số nghịch biến trên khoảng ( ; 1), (1;2). Ta vẽ thêm đường thẳng y x 1. Ta có h′(x)  = − = −∞ − x 0 Đồ thị hàm số f ′(x) cắt trục hoành tại 3 điểm.  = x 1 Chọn đáp án C □  =  0 f ′(x) x 1 x 2 ⇔ = − ⇔  = x 3 CÂU 64. Cho hàm số y f (x). Đồ thị của hàm số  = = x a(a (1;2)). y f ′(x) như hình bên. = ∈ = y Theo đồ thị h′(x) 0 f ′(x) x 1 x (0;1) > ⇔ > − ⇔ ∈ ∪ (a;2) (3; ). ∪ +∞ 1 Lập bảng biến thiên của hàm số h(x). x 0 1 a 2 3 1 O 1 2 x −∞ +∞ − 1 − h′(x) 0 0 0 0 0 Đặt g(x) f (x) x. Mệnh đề nào dưới đây đúng? − + − + − + = − A. g( 1) g(1) g(2). − < < B. g(2) g(1) g( 1). < < − h(x) C. g(2) g( 1) g(1). < − < D. g(1) g( 1) g(2). < − < Đồ thị hàm số g(x) có nhiều điểm cực trị nhất ɓ Lời giải. khi h(x) có nhiều giao điểm với trục hoành nhất. y Vậy đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm số g(x) có tối đa 1 11 điểm cực trị. 1 O 1 2 x − 1 Chọn đáp án B □ − Ta có: g′(x) f ′(x) 1; g′(x) 0 f ′(x) 1. = − = ⇔ = Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ = CÂU 63. Cho hàm số f (x) xác định trên R và có thị hàm số y f ′(x) tại 3 điểm là x 1; x 1 và = = − = 21 Đại số và giải tích 12
  22. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC x 2 Bảng xét dấu = x 2. Vậy g′(x) 0 x 1 x 1 1 3 = = ⇔  = −∞ − +∞ x 1. g′(x) 0 0 0 = − − + − + Bảng biến thiên Vậy hàm số y g(x) đồng biến trên các khoảng = x 1 1 2 ( 1;1). −∞ − +∞− Chọn đáp án C □ g′(x) 0 0 0 + − − + CÂU 66. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục = g( 1) trên R và có f ( 2) 0 và đồ thị hàm số f (x) như − +∞ ′ hình vẽ bên. − ∈ −∞ − ∪ +∞ ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ O 1 3 ¯ ¡ 2018¢¯ Đặt g(x) ¯f 1 x ¯, ta có g′(x) 2017 = − = 2018 x f ′(t) f (t) · · t · 2 − p 2 − 2 f (t) Do đó, ta có bảng biến thiên của y g(x) như Ta có g′(x) 2f ′(x) 2x 2 2[f ′(x) (x 1)]. = − + = − − = Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y sau: = x 2018p 0 2018p x 1 cắt đồ thị hàm số y f ′(x) tại 3 điểm: 3 3 − = −∞ − +∞ ( 1; 2),(1;0),(3;2). g′(x) 0 0 0 − + − + Dựa− − vào đồ thị ta có x 1 +∞ +∞ = − g(x) g′(x) 0 2[f ′(x) (x 1)] 0 x 1 = ⇔ − − = ⇔  = x 3. = Đại số và giải tích 12 22
  23. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ Từ bảng biến thiên, ta có “hàm số y ¯ ¡ 2018¢¯ = y ¯f 1 x ¯ có hai cực đại và một cực tiểu”. − Chọn đáp án C □ 2 ³ x´ y f = 2 CÂU 67. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục y f (x) = trên [ 2;2], có đồ thị của hàm số y f (x) như = ′ 1 2 hình bên.− = y O x 2 2 1 O 1 x 2 − − − y 3 3 ³ x´ y f Tìm giá trị x0 để hàm số y f (x) đạt giá trị lớn = 2 2 = 2 nhất trên [ 2;2]. − A. x0 2. B. x0 1. y f (x) = = − = C. x0 2. D. x0 1. = − = 1 2 ɓ Lời giải. O x " ³ x´ x 1 (nghiệm kép) y f Từ đồ thị ta có f ′(x) 0 = − . = ⇔ x 1 = 2 = 2 Bảng biến thiên: − x 2 1 1 2 Vậy M 3, m 0 M m 3. − − = = ⇒ + = 3 ³ x´ y 0 0 Cách khác: Ta có g′(x) f ′ , g′(x) 0 ′ − = 4 2 = ⇔ + + " f (1) ³ x´ x 0 f ′ 0 = . Từ đó lập bảng biến thiên của y 2 = ⇔ x 4 = hàm số g(x). Chọn đáp án A Từ bảng biến thiên, ta có x0 1. □ = Chọn đáp án D □ CÂU 69. Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính CÂU 68. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. = bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây y thứ nhất đến giây thứ 3 và ghi nhận được a(t) là 2 một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới. y 6 1 2 x O 3 2 2 3 − Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị O 11,5 x 3 ³ x´ nhỏ nhất của hàm số y f trên đoạn [0;2]. = 2 2 Khi đó M m là + 6 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. − Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây ɓ Lời giải. thứ 3 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị: vận tốc lớn nhất? ³ x´ Ta suy ra đồ thị hàm số y 3f từ đồ thị hàm = 2 A. giây thứ 2. B. giây thứ nhất. số y f (x) bằng cách thực hiện phép dãn theo C. giây thứ 1,5. D. giây thứ 3. = trục hoành với hệ số dãn 2. Sau đó thực hiện ɓ Lời giải. 3 phép dãn theo trục tung với hệ số dãn . Phương pháp: a(t) v′(t). Từ đồ thị ta có: a(t) 2 = = 23 Đại số và giải tích 12
  24. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC 0 v′(t) 0 t 2. [0;5]? ⇒ = ⇔ = t 1 1,5 2 3 A. m f (0), M f (5). B. m f (2), M f (0). = = = = C. m f (1), M f (5). D. m f (2), M f (5). = = = = a(t) v′(t) 0 = + + − ɓ Lời giải. v(2) x 0 2 3 5 f (x) 0 v(t) v(1,5) ′ − + f (0) f (5) v(1) v(3) f (x) f (3) Chọn đáp án A □ f (2) CÂU 70. Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một t min f (x) f (2) và f (3) f (2) vật thể chuyển động ( là khoảng thời gian tính [0;5] = > bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây Mà f (0) f (3) f (2) f (5) f (0) f (5) f (2) + = + ⇒ − = − thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t) f (3) 0 f (0) f (5). là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên f (0) f (1) 2f (2) f (4) f (3) f (0) f (4) 2f (2) + − = − ⇔ − = − f (3) f (1) 0 f (0) f (4). O 2 5 x − > ⇒ > Chọn đáp án A □ Biết rằng f (0) f (3) f (2) f (5). Tìm giá trị nhỏ + = + nhất m và giá trị lớn nhất M của f (x) trên đoạn CÂU 73. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và Đại số và giải tích 12 24
  25. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ có đồ thị hàm số y f ′(x) như hình vẽ. ɓ Lời giải. = y y 6 4 B O A 3 1 1 4 x − 2 3 − 1 O 1 3 x − 2 Biết rằng f ( 1) f (2) f (1) f (4), các điểm − − + = + A(1;0),B( 1;0) thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất và − giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1;4] Ta có y g(x) là hàm số liên tục trên R và có − ¡= ¢ g′(x) 2 f ′(x) (x 1) . Để xét dấu g′(x) ta xét vị lần lượt là = − + trí tương đối giữa y f ′(x) và y x 1. f (1); f ( 1) f (0); f (2) = = + A. . B. . Từ đồ thị ta thấy y f ′(x) và y x 1 có ba − = = + C. f ( 1); f (4). D. f (1); f (4). điểm chung là A( 3; 2),B(1;2),C(3;4); đồng thời − − − g′(x) 0 x ( 3;1) (3; ) và g′(x) 0 x ɓ Lời giải. > ⇔ ∈ − ∪ +∞ = 0 f (4) f ( 1). tục trên R. Biết rằng đồ thị hàm số y f ′(x) như ⇒ > − hình bên. = y Chọn đáp án D □ 5 3 CÂU 74. Cho hàm số y f (x) liên tục trên R. Đồ = 1 thị của hàm số y f (x) như hình bên. − ′ O 1 2 x = y 1 6 − 4 Lập hàm số g(x) f (x) x2 x. Mệnh đề nào = − − 3 sau đây đúng? choice g( 1) g(1) g( 1) g(1) 2 − > − = g(1) g(2) g(1) g(2) 3 = > − ɓ 1 O 1 3 x Lời giải. − 2 x 1 1 2 − −∞ − +∞ g (x) 0 0 0 ′ − + − + Đặt g(x) 2f (x) (x 1)2. Mệnh đề nào dưới đây g(1) +∞ +∞ đúng. = − + g(x) A. min g(x) g(1). [ 3;3] = − g( 1) g(2) B. max g(x) g(1). − [ 3;3] = − Ta có g′(x) f ′(x) 2x 1. Ta thấy đường thẳng C. max g(x) g(3). = − − [ 3;3] = y 2x 1 là đường thẳng đi qua các điểm − = + D. g(x) A( 1; 1),B(1;3),C(2;5). Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của − − trên [ 3;3]. Từ đồ thị hàm số y f ′(x) và đường thẳng y − = = 25 Đại số và giải tích 12
  26. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC   2x 1 ta có bảng biến thiên: f ′( 1) 2 g′( 1) 0 +  − = −  − = Suy ra đáp án đúng là D. ta có: f ′(1) 1 g′(1) 0 y  = ⇒  = f ′( 3) 3 g′( 3) 0 − = − = 3 3 5 Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 x = + 2 − 2 trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường 3 nét đứt ), ta thấy (P) đi qua các điểm ( 3;3), µ 3 33¶ − ( 1; 2), (1;1) với đỉnh I ; . − − −4 −16 1 Rõ ràng − 3 3 x 2 O 1 2 Trên khoảng ( 1;1) thì f ′(x) x x , nên 1 • − > + 2 − 2 − g′(x) 0 x ( 1;1) > ∀ ∈ − 2 3 3 Trên khoảng ( 3; 1) thì f ′(x) x x , nên • − − < + 2 − 2 g (x) 0 x ( 3; 1) Chọn đáp án D □ ′ Từ những< ∀ nhận∈ − định− trên, ta có bảng biến thiên CÂU 76. Cho hàm số y f (x) có đồ thị y f ′(x) của hàm y g′(x) trên [ 3;1] như sau: như hình vẽ. = = = − x 3 1 1 y − − g′(x) 0 0 0 3 − + g( 3) g(1) − 1 1 g(x) − 3 O 1 x − g( 1) − 2 − Vậy min g(x) g( 1). [ 3;1] = − − 1 3 3 Chọn đáp án A □ Xét hàm số g(x) f (x) x3 x2 x 2018. = − 3 − 4 + 2 + Mệnh đề nào dưới đây đúng? CÂU 77. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) A. min g(x) g( 1). = [ 3;1] = − trên R. Đồ thị của hàm số y f (x) như hình vẽ. − ′ B. min g(x) g(1). y = [ 3;1] = 4 − C. min g(x) g( 3). [ 3;1] = − − g( 3) g(1) D. min g(x) − + . 2 [ 3;1] = 2 − ɓ Lời giải. 2 O x − y 1 1 2 − Đồ thị của hàm số y (f (x))3 có bao nhiêu điểm 3 = cực trị? choice 1 2 3 8 1 ɓ Lời giải. 1 − 3 2 3 O 1 x Ta có y (f (x)) , y′ 3f ′(x)f (x). − = = Từ đồ thị ta có f ′(x) 0 tại x 1, x 1. 2 2 = = = − 3 Bởi f (x) không đổi dấu trên R suy ra y′ (f (x)) − = có 2 điểm cực trị là x 1, x 1. = = − Chọn đáp án D 1 3 3 2 3 □ Ta có: g(x) f (x) x x x 2018 g′(x) = − 3 − 4 + 2 + ⇒ = 3 3 f (x) x2 x ′ 2 2 CÂU 78. Cho hàm số y f (x) luôn dương và có − − + = Căn cứ vào đồ thị y f ′(x), đạo hàm f ′(x) trên R. Đồ thị của hàm số y f ′(x) = = Đại số và giải tích 12 26
  27. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ như hình vẽ. y f (x) 4 y 4 | + | − 1 O x x − 2 Dựa vào đồ thị hàm số g(x) f (x) 4 suy ra tọa = | + | p độ các điểm cực trị là ( 1;0), (0;4), (2;0). Đồ thị hàm số y f (x) có bao nhiêu điểm cực − = Suy ra tổng tung độ các điểm cực trị bằng T đại, bao nhiêu điểm cực tiểu? = 0 4 0 4. A. 1 điểm cực tiểu, 2 điểm cực đại. + + = B. 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. Chọn đáp án D □ C. 1 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại. CÂU 80. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình D. 1 điểm cực tiểu, 0 điểm cực đại. bên dưới. = ɓ Lời giải. y p f ′(x) Ta có y f (x) xác định trên R và y′ . 2 = = 2pf (x) Bởi vì pf (x) 0, x R, nên ta suy ra được số O x > ∀ ∈ điểm cực trị của y pf (x) bằng số điểm cực trị 1 1 2 = − của y f (x). = p 2 Từ đồ thị trên ta thu được y f (x) có 1 điểm − = cực đại, 2 điểm cực tiểu. Đồ thị hàm số h(x) 2f (x) 3 có bao nhiêu điểm = | − | Chọn đáp án B □ cực trị ? choice 4 5 7 9 ɓ Lời giải. CÂU 79. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình = Xét g(x) 2f (x) 3 g′(x) 2f ′(x). bên dưới. = − ⇒  = y x 1 = − 1 2 x  − x 0 3 g′(x) 0 f ′(x) 0  = = ⇔ = ⇔ x a, 1 a 2  = = 1. 4 − Bảng biến thiên của hàm số là Đồ thị hàm số g(x) f (x) 4 có tổng tung độ của = | + | x 1 0 a 2 các điểm cực trị bằng bao nhiêu? −∞ − +∞ choice 2 3 4 5 g (x) 0 0 0 0 ′ − − ɓ Lời giải. + + + 1 g(a) Đồ thị hàm số g(x) f (x) 4 có được bằng cách +∞ = | + | g(x) ○ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f (x) lên trên 4 7 1 = đơn vị ta được f (x) 4. −∞ − + Dựa vào bảng biến thiên suy ra ○ Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số 4 qua f (x) 4 ta được f (x) 4 . ○ Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị. + | + | y f (x) 4 4 + ○ Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm − phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số h(x) g(x) có 7 điểm cực trị. = | | 1 O x − Chọn đáp án D 2 □ 27 Đại số và giải tích 12
  28. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC CÂU 81. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình y bên dưới. = 4 y x 2 1 x O 1 4 − O 3 g(x) f ( x 2) = | | − Đồ thị hàm số h(x) f ( x ) 2018 có bao nhiêu = | | + điểm cực trị ? choice 2 3 5 7 ɓ Lời giải. -16 Từ đồ thị ta thấy hàm số f (x) có 2 điểm cực trị Dựa vào đồ thị hàm số g(x) f ( x 2), suy ra dương = | | − hàm số f ( x ) có 5 điểm cực trị hàm số g(x) có 5 điểm cực trị. ⇒ | | hàm số h(x) có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh Chọn đáp án D □ tiến⇒ không làm thay đổi số điểm cực trị). CÂU 83. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình bên. = y Chọn đáp án D □ 1 1 x − O 3 CÂU 82. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình − y= 4 − 4 Đồ thị hàm số g(x) f ( x 2 ) 1 có bao nhiêu = | − | + điểm cực trị? choice 2 3 5 7 ɓ Lời giải. Đồ thị hàm số g(x) f ( x 2 ) 1 được suy ra từ = | − | + x đồ thị hàm số f (x) như sau: 1 O 2 bên dưới. Đồ thị Bước 1: Lấy đối xứng qua O y nhưng vì đồ thị hàm số g(x) f ( x 2) có bao nhiêu điểm = | | − đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua. cực trị? choice 1 3 5 7 Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 ɓ Lời giải. đơn vị. Ta biết rằng, đồ thị hàm số g(x) f ( x 2) được Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn = | | − suy ra từ đồ thị hàm số y f (x) bằng cách tịnh vị. = tiến sang phải 2 đơn vị rồi mới lấy đối xứng. Vì phép tịnh tiến không làm thay đổi số cực trị y nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ 4 nhận xét bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị x hàm số f (x) là 3 điểm cực trị. O 1 4 Chọn đáp án D □ y f (x 2) = − CÂU 84. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục = trên R và có bảng biến thiên như sau. x 1 0 1 −∞ − +∞ f 0 0 ′ − + − + 2 +∞ +∞ f -16 1 1 Đại số và giải tích 12 28
  29. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ Hàm số g(x) 3f (x) 1 đạt cực tiểu tại điểm nào 1 ³ x´ Ta có g′(x) f ′ 1 1. Xét g′(x) 0 = + = −2 − 2 + ɓ Lời giải. ³ x´ x TH1: f ′ 1 2 2 1 3 4 x 2. Ta có g′(x) 3f ′(x). − 2 > ⇔ ⇔ − < − 2 < < ⇔ < Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x 1. 2 2a x 4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên ± − < < Chọn đáp án C □ khoảng (2 2a;4) chứ không nghịch biến trên − toàn khoảng (2;4). CÂU 85. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục ³ x´ = Vậy hàm số g(x) f 1 x nghịch biến trên trên R và có bảng biến thiên như sau. = − 2 + x 0 1 2 ( 4; 2). −∞ +∞ Chú− − ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn nhưng cứ y′ 0 0 + − + − xét tiếp trường hợp 2 xem thử. 3 2 Chọn đáp án A □ y CÂU 87. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục 1 = +∞ − −∞ trên R và có bảng biến thiên như sau. Hàm số g(x) f (3 x) có bao nhiêu điểm cực x 1 3 −∞ trị? = − − +∞ f ′(x) 0 0 A. 2. B. 3. C. 5. D. 6. + − + ɓ 2018 Lời giải. f (x) +∞ Ta có g′(x) f ′(3 x). 2018 = − − −∞ − " " Hỏi đồ thị hàm số g(x) f (x 2017) 2018 có 3 x 0 x 3 = | − + | ○ g′(x) 0 f ′(3 x) 0 − = = bao nhiêu điểm cực trị? = ⇔ − = ⇔ 3 x 2 ⇔ x 1. − = = A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. ɓ Lời giải. ○ g′(x) không xác định 3 x 1 x 2 ⇔ − = ⇔ = Đồ thị hàm số u(x) f (x 2017) 2018 có được từ = − + Bảng biến thiên đồ thị f (x) bằng cách tịnh tiến đồ thị f (x) sang x 1 2 3 phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị. Suy ra −∞ +∞ bảng biến thiên của u(x). g′ 0 0 + − + − x 2016 2020 2 3 −∞ +∞ u (x) 0 0 g ′ + − + 4036 1 +∞ +∞ − −∞ u(x) 0 Vậy hàm số g(x) f (3 x) có ba điểm cực trị. −∞ = − Chọn đáp án C □ Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g(x) u(x) có 3 điểm cực trị. CÂU 86. Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên = | | Chọn đáp án B □ R. Bảng biến thiên của hàm số f ′(x) như hình vẽ. x 1 0 1 2 3 CÂU 88. Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên − như hình vẽ. = 3 4 x 1 3 −∞ − +∞ f (x) 2 ′ 1 f (x) 0 0 ′ + − + 1 − 5 ³ x´ f (x) +∞ Hàm số g(x) f 1 x nghịch biến trên = − 2 + 3 khoảng nào trong các khoảng sau? −∞ − A. ( 4; 2) . B. ( 2;0) . − − − Phương trình f (1 3x) 3 3 có bao nhiêu C. (0;2) . D. (2;4) . | − + | = nghiệm. ɓ Lời giải. A. 4. B. 3. C. 6. D. 5. 29 Đại số và giải tích 12
  30. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC ɓ Lời giải. CÂU 90. Cho hàm số y f (x) xác định, liên tục = Đặt g(x) f (1 3x) 3 g′(x) 3 f ′(1 3x) 0 trên R và có bảng biến thiên như sau.  = − + ⇒ = − · − = ⇔ 2 x 1 3 1 3x 1 x −∞ +∞  − = − ⇔ = 3 y −0 0  ′ −  2 + + 1 3x 3 x . f ( 1) − = ⇔ = −3 y − +∞ Bảng biến thiên f (3) −∞ 2 2 Hỏi đồ thị hàm số g(x) f ( x ) có nhiều nhất x = | | | | −∞ −3 3 +∞ bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 7. C. 11. D. 13. g′(x) 0 0 − + − ɓ Lời giải. 6 +∞ Ta có đồ thị hàm số y f (x) có điểm cực tiểu g(x) nằm bên phải trục tung= nên đồ thị hàm số cắt 2 − −∞ trục hoành tại tối đa 2 điểm có hoành độ dương. 2 6 Khi đó +∞ +∞ g(x) | | 0 0 0 ○ Đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành tối đa 4 | | Vậy g(x) 3 có bốn nghiệm. điểm. | | = Chọn đáp án A □ CÂU 89. Cho hàm số y f (x) xác định trên R\{0} ○ Hàm số f ( x ) có 3 điểm cực trị. | | và có bảng biến thiên như= hình vẽ. x 0 1 Suy ra hàm số g(x) f ( x ) sẽ có tối đa 7 điểm −∞ +∞ = | | | | y 0 cực trị. ′ − − + Chọn đáp án B □ y +∞ +∞ +∞ 3 2 3 CÂU 91. Cho hàm số y f (x) ax bx cx d = = + + + −∞ (a 0) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 3 f (2x 1) 10 0 ̸= | − | − = y là 2 A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. ɓ Lời giải. Đặt t 2x 1, ta có phương trình trở thành 2 1 O 1 2 x =10 − − − f (t) . Với mỗi nghiệm của t thì có một | | = 3 2 t 1 − nghiệm x + nên số nghiệm t của phương Phương trình f (f (x)) 0 có bao nhiêu nghiệm = 2 = 10 thực? choice 3 7 9 5 trình f (t) bằng số nghiệm của 3 f (2x 1) | | = 3 | − |− ɓ Lời giải. 10 0. Bảng biến thiên của hàm số y f (x) là Đặt t f (x), phương trình f (f (x)) 0 trở thành = = | | = = f (t) 0( ) (số nghiệm phương trình ( ) là số giao x x0 0 1 = ∗ ∗ −∞ +∞ điểm của đồ thị hàm số y f (x) với trục Ox). = Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình ( ) có 3 y′ 0 ∗ − + − + nghiệm t thuộc khoảng ( 2;2), với mỗi giá trị t − như vậy phương trình f (x) t có 3 nghiệm phân +∞ +∞ +∞ +∞ = y biệt. Vậy phương trình f (f (x)) 0 có 9 nghiệm. = Lưu ý: khi t có 3 giá trị thuộc ( 2;2) thì nghiệm 0 3 − phương trình f (x) t là giao điểm của đồ thị 10 = Suy ra phương trình f (t) có 4 nghiệm hàm số y f (x) và đường thẳng y t, t ( 2;2) = = ∈ − | | = 3 Ox phân biệt nên phương trình 3 f (2x 1) 10 0 (là hàm hằng song song trục ). | − | − = có 4 nghiệm phân biệt. Chọn đáp án D □ Chọn đáp án C □ CÂU 92. Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hìn- = Đại số và giải tích 12 30
  31. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ hvẽ. f ( x ). Điều kiện là 4 m 0 0 m 4. Do | | − = f ( x m) 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm? TH1: Nếu f (cos2x) a 1 thì phương trình này | | + = vô nghiệm. = > choice 4 5 6 3 TH2: Nếu f (cos2x) a 1 thì cos2x 1, ɓ Lời giải. = − phương trình này vô nghiệm. Phân tích: Vì hàm số y f ( x m) là hàm chẵn TH3: Nếu f (cos2x) 0 cos2x a (vô nghiệm) = | | + = ⇔ = ± nên đồ thị đối xứng nhau qua trục O y và đồ thị và cos2x 0 có 4 điểm trên vòng tròn lượng giác. hàm số y f (x m) có được bằng cách tịnh tiến = = + Vậy có 4 điểm. đồ thị hàm số y f (x) qua trái hay qua phải m = | | Chọn đáp án D □ đơn vị. Do đó, ta chỉ cần chọn giá trị tham số m CÂU 93. Cho hàm số f (x) x3 3x2. Có bao để phương trình f (x m) 0 có số nghiệm x 0 = − + = > nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số nhiều nhất. Áp dụng: Phương trình f (x) 0 có ba nghiệm g(x) f ( x ) m cắt trục hoành tại 4 điểm phân = = | | + phân biệt nên phương trình f (x m) 0 có tối đa biệt? + = A. 3. B. 4. C. 2. D. 0. ba nghiệm phân biệt lớn hơn 0. Do đó phương trình f ( x m) 0 có nhiều nhất là 6 nghiệm ɓ Lời giải. | | + = " phân biệt. 2 x 0 f ′(x) 3x 6x; f ′(x) 0 = . Bảng biến thiên Giả sử phương trình f (x) 0 có ba nghiệm phân = − = ⇒ x 2 = biệt x1 0 x2 1 x3. Ta chỉ cần chọn m x1 = < < < < < < của hàm số y f (x) 0. Khi đó hàm số y f (x m) có bảng biến thiên = = + x 0 2 x 0 x1 m m x2 m 1 m x3 m −∞ +∞ −∞ − − − − − +∞ f ′(x) 0 0 3 + − + +∞ 0 f (x m) f (x) +∞ + 4 −∞ −∞ −∞ −∞ − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình Bảng biến thiên của hàm số y f ( x ) f (x m) 0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 0 và do = | | + = x 2 0 2 đó phương trình f ( x m) 0 có 6 nghiệm phân −∞ +∞ f (x) −0 0 0 | | + = ′ − + − + biệt. 0 Chọn đáp án D f ( x ) +∞ +∞ □ | | 4 4 − − x 1 Đồ thị hàm số g(x) f ( x ) cắt trục hoành tại 4 CÂU 95. Cho hàm số f (x) + . Có bao nhiêu = | | = x 2 điểm phân biệt giá trị nguyên của m để đồ− thị hàm số g(x) phương trình g(x) 0 có 4 nghiệm phân biệt = ⇔ = f ( x ) m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt? phương trình f ( x ) m có 4 nghiệm phân | | + biệt⇔ | | = − A. 0. B. 2. C. 4. D. 6. đường thẳng d : y m cắt đồ thị hàm số f ( x ) ɓ Lời giải. ⇔ = − | | tại 4 điểm phân biệt. 3 TXĐ: D R \{2}; f ′(x) 0, x D. Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số = = −(x 2)2 < ∀ ∈ − 31 Đại số và giải tích 12
  32. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC · 3 3¸ Bảng biến thiên hàm số f (x) 2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn ; x 2 −2 2 −∞ +∞ phương trình g(x) 0 có 2 nghiệm phân biệt f ′(x) ⇔ · 3 3¸ = − − thuộc đoạn ; 1 −2 2 +∞ phương trình f ( x ) m có 2 nghiệm phân f (x) ⇔ · 3| |3¸= − biệt thuộc đoạn ; 1 −2 2 −∞ đường thẳng d : y m cắt đồ thị hàm số f ( x ) Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ⇔ = − | | | | tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn x 2 0 2 · ¸ −∞ − +∞ 3 3 f (x) ; . ′ + + − − −2 2 1 Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số f ( x ). +∞ − +∞ | | Điều kiện là 5 m 1 1 m 5. f ( x ) − ≤ < − ⇔ < ≤ | | Do m Z nên m {2;3;4;5}. Vậy có 4 giá trị 1 1 ∈ ∈ −∞ −∞ nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. Đồ thị hàm số g(x) f ( x ) m cắt trục hoành tại Chọn đáp án C □ = | | + 4 điểm phân biệt CÂU 97. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên phương trình g(x) 0 có 4 nghiệm phân biệt của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của ⇔ = ¯ ¯ phương trình f ( x ) m có 4 nghiệm phân ¯1 19 ¯ ⇔ | | = − hàm số y ¯ x4 x2 30x m 20¯ trên đoạn biệt = ¯4 − 2 + + − ¯ đường thẳng d : y m cắt đồ thị hàm số f ( x ) [0;2] không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S ⇔ = − | | tại 4 điểm phân biệt. bằng Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số f ( x ) A. 210. B. 195. C. 105. D. 300. | | − thì không tồn tại giá trị nào của m thỏa mãn. ɓ Lời giải. Chọn đáp án A 1 19 1 □ Đặt t x4 x2 30x, ta xét hàm g(x) = 4 − 2 + = 4 − x 1 19 2 CÂU 96. f (x) x 30x với x [0;2]. Cho hàm số + . Có bao nhiêu 2 + ∈ = x 2 3 giá trị nguyên của m để đồ− thị hàm số g(x) g′(x) x 19x 30 (x 2)(x 5)(x 3) 0; x = = − + = − + − ≥ ∀ ∈ f ( x ) m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có [0;2]. | | + · 3 3¸ Do đó g(x) là hàm số đồng biến trên [0;2] suy ra hoành độ thuộc đoạn ; ? −2 2 t [0;26]. ∈ A. 0. B. 2. C. 4. D. 6. Đặt f (t) t m 20 , khi t [0;26] thì f (t) liên = | + − | ∈ ɓ Lời giải. tục trên [0;26] nên 3 max f (t) max{ m 20 ; m 6 }. TXĐ: D R \{2}; f ′(x) 0, x D. t [0;26] = | − | | + | = = −(x 2)2 < ∀ ∈ ∈ − Bảng biến thiên hàm số f (x) Nếu m 7 thì max f (t) max{ m 20 ; m 6 } ≥ t [0;26] = | − | | + | = x 2 ∈ −∞ +∞ m 6 , do đó ta có f ′(x) | + | − − m 6 20 26 m 14 nên m {7;8; ;14}. 1 | + | ≤ ⇔ − ≤ ≤ ∈ +∞ Nếu m 7 thì max f (t) max{ m 20 ; m 6 } f (x) < t [0;26] = | − | | + | = ∈ 1 m 20 , do đó ta có −∞ | − | Bảng biến thiên của hàm số f ( x ) m 20 20 0 m 40 nên m {0;1; ;6}. | | | − | ≤ ⇔ ≤ ≤ ∈ x 2 3 0 3 2 Vậy tổng các giá trị nguyên thỏa mãn là −∞ − − 2 2 +∞ f (x) 14 15 ′ + + + − − − 1 2 14 · 105. 1 + + ··· + = 2 = +∞ − +∞ f ( x ) Tìm công thức cho bài toán tổng quát: | | Cho hàm số y f (x) h(m) với x [a; b]. Hãy 1 1 = | + | ∈ −∞ −∞ tìm giá trị lớn nhất của hàm số theo m. Đồ thị hàm số g(x) f ( x ) m cắt trục hoành tại Giả sử khi x [a; b] thì f (x) [α;β] và y = | | + ∈ ∈ = Đại số và giải tích 12 32
  33. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ f (x) h(m) liên tục trên [α;β] nên ta có max y y y | + | x [a;b] = © ¯ ¯ª ∈ max α h(m) ;¯β h(m)¯ . Đặt u h(m), đồ thị | + | + © ¯ = ¯ª của hàm g(u) max α u ;¯β u¯ được mô | | phỏng như hình= vẽ: + + O x O x A Dựa vào các đồ thị trên ta thấy số nghiệm lớn nhất của phương trình f (x) m có thể có là 8. | | = B C u h(m) Chọn đáp án C □ = CÂU 99. Cho hàm số bậc bốn f (x) ax4 bx2 c = + + biết a 0, c 2018 và a b c 2018. Số cực trị > > + + a 0 = − 2 Từ giả thiết c 0 > đồ thị  > ⇒ b 0 ⇒ Cũng từ mô phỏng trên ta suy ra g(u) a b c 2018  = có thể có của phương trình f (x) m, m R là Chọn b 4 y | | = ∈  = − A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. c 2019. g(=x) ɓ Lời giải. ⇒ = f (x) 2018 Do ab 0 nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị ¯| 4 − 2 |¯ = > + > ⇒ b 2018 a c 0. ± − = + + − Lại có = − 2018 0 và lim [f (x) 2018] nên phương ⇔ · a · > ⇔ − · 4a > + + + − < nằm khác phía với A so với trục hoành. Suy ra 0. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số dạng đồ thị của hàm số f (x) lúc này là g(x) f (x) 2018 là | | = | − | 33 Đại số và giải tích 12
  34. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Vậy hàm số y f (x) có đúng 5 điểm cực trị. = | | ɓ Lời giải. Chọn đáp án D □ Cách 1: Hàm số g(x) f (x) 2018 (là hàm số bậc CÂU 102. Cho hàm số f (x) ¡m218 1¢ x4 = − = + + ba) liên tục trên R. ¡ 2m2018 22018m2 3¢ x2 ¡m2018 2018¢, với m là  lim g(x) − − − + +  x = −∞ tham số. Số cực trị của hàm số y f (x) 2017  →−∞ = | − | g(0) d 2018 là Ta có = − g(x) 0 có A. 3. B. 5. C. 6. D. 7. g(1) a b c d 2018 0 ⇒ =   = + + + − = + + + − Vì lim g(x) và lim g(x) nên x1 S 0; P 0. x x →−∞ = −∞ →+∞ = +∞ ∀ > 0: f (x1) 0 và x2 0: f (x2) 0 nên phương nên luôn có hai nghiệm dương phân biệt. trình g(x) 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên Do đó, phương trình g(x) 0 có 4 nghiệm = = R. phân biệt. Từ đó suy ra hàm số y g(x) Khi đó đồ thị hàm số g(x) f (x) 2018 cắt trục = | | = = − f (x) 2017 có 7 điểm cực trị. hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số g(x) | − | = f (x) 2018 có đúng 5 điểm cực trị. ○ Cách 2: Xét hàm số g(x) f (x) 2017 = − = | − | ¡m2018 1¢ x4 ¡ 2m2018 22018m2 3¢ x2 Chọn đáp án D □ + + − − − + ¡m2018 1¢. CÂU 101. Cho hàm số bậc ba f (x) x3 ax2 bx c + = + + + Nhận xét rằng, với a, b, c R, biết 8 4a 2b c 0 và 8 4a ( 2018 ∈ − + − + > + + a m 1 0 2b c 0. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm vì = + > , với mọi m + ∀2 lim f (x) g′(x) 0  2 2m 2 m 3 b  x = −∞ = ⇔  x + +  →−∞ = 2¡m2018 1¢ = −2a· f ( 2) 8 4a 2b c 0 + Ta có − = − + − + > f (x) 0 có 2 f (2) 8 4a 2b c 0 ⇒ = ¡ 2¢ b (2a b)(2a b)  g x a − + 0, m.  = + + + + = đúng 3 nghiệm phân biệt trên R. 22018m2 1 0). − − = + + + + c 0. trị của m để hàm số g(x) f ( x ) có 5 điểm cực < = | | Và lim f (x) ; lim f (x) . trị. x = −∞ x = +∞ 5 5 Nên→−∞ phương trình →+∞f (x) 0 có đúng 3 nghiệm A. 2 m . B. m 2. = − < < 4 −4 < < thực phân biệt. 5 5 Do đó, đồ thị hàm số y f (x) cắt trục hoành tại C. m 2. D. m 2. = 4 < < 4 < ≤ 3 điểm phân biệt. ɓ Lời giải. Đại số và giải tích 12 34
  35. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ 2  2  1 Ta có f ′(x) 3x 2(2m 1)x 2 m. ∆′ 4m 5m 1 0 = − − + −  = − + > 0 m Hàm số g(x) f ( x ) có 5 điểm cực trị hàm số 2(2m 1)  ≤ = ≥ =  1 > có hai nghiệm dương phân biệt 0 m  ≤ ∆ 0  − − − >  > 2(2m 1) Chọn đáp án B □   − 0 5 S 0 m 2. 3 2 ⇔ > ⇔ 3 > ⇔ 4  − 0 − ∈ + > + + 0. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) f ( x ) là = | | | | Chọn đáp án C □ A. 2. B. 5. C. 9. D. 11. ɓ Lời giải. CÂU 104. Cho hàm số bậc ba f (x) ax3 bx2 = + + cx d (a 0) có đồ thị nhận hai điểm A(0;3) và f (0) 1 + ̸=  B(2; 1) làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực  = − − ¯ ¯ ¯ ¯ ○ Cách 1: Ta có f (1) m n 0 và trị của đồ thị hàm số g(x) ¯ax2¯ x¯ bx2 c¯ x d  = + > f (2) 7 4m 2n 0 là = + + |+ | lim f (x) p 2=sao+ cho+f (p) > Suy→+∞ ra f (x) 0 có ba nghiệm phân biệt ɓ Lời giải. = c1 (0;1), c2 (1;2) và c3 (2; p) (1) ∈ ∈ ∈ ¯ ¯ ¯ ¯ ○ Cách 1: Ta có g(x) ¯ax2¯ x¯ bx2 c¯ x d Suy ra đồ thị hàm số f (x) có hai điểm cực = + + |+ | = f ( x ) . Hàm số f (x) có hai điểm cực trị trị x1 (c1; c2) và x2 (c2; c3) (2) | | | | ∈ ∈ trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số f (x) có điểm cực trị dương hàm số f ( x ) có 3 dạng như hình bên dưới điểm cực trị.⇒ | | (1) y Đồ thị hàm số f (x) có điểm cực trị A(0;3) y f (x) ∈ = O y và điểm cực trị B(2; 1) thuộc góc phần − tư thứ IV nên đồ thị f (x) cắt trục hoành tại O 3 điểm (1 điểm có hoành độ âm, 2 điểm có x hoành độ dương) đồ thị hàm số f ( x ) cắt ⇒ | | 1 trục hoành tại 4 điểm phân biệt. (2) − Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm số g(x) = f ( x ) có 7 điểm cực trị. | | | | Từ đó suy ra hàm số f ( x ) có 5 điểm cực trị | | hàm số f ( x ) có 11 điểm cực trị. ○ Cách 2: Vẽ phác họa đồ thị f (x) rồi suy ra ⇒ | | | | đồ thị f ( x ), tiếp tục suy ra đồ thị f ( x ) . y | | | | | | | y f ( x ) = | | Chọn đáp án B □ CÂU 105. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của O x tham số m để hàm số y x 3 (2m 1)x2 3m x 5 = | | − + + | |− 1 có ba điểm cực trị? − µ 1¶ · 1¶ A. ; . B. 0; (1 ). −∞ 4 4 ∪ + ∞ C. ( ;0]. D. (1; ). y −∞ +∞ y f ( x ) ɓ Lời giải. = | | | | (Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số 1 y x 3 (2m 1)x2 3m x 5 có ba điểm cực trị = | | − + + | | − khi và chỉ khi hàm số y x3 (2m 1)x2 3mx 5 = − + + − có hai điểm cực trị không âm. O x Vậy phương trình 3x2 2(2m 1)x 3m 0 khi − + + = 35 Đại số và giải tích 12
  36. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC ( m n 0 Bình luận: Đây là dạng bài tập về đếm số điểm ○ Cách 2: Ta có + > 7 2(2m n) 0 ⇔ cực trị của hàm số dạng f ( x ) trong đó số điểm ( + + quan bị ẩn đi. f (2) 0. > giả thiết bài toán để tìm đồng biến trên R. Vậy hàm số f (x) có hai điểm cực trị. ○ Số điểm cực trị n của hàm số f (x); Ta có f (0) 1, f (1) m n 0, f (2) 7 = − = + > = + ○ Số điểm cực trị dương m (với m n) của 4m 2n 0 và lim f (x) p 2 sao hàm số; cho f (p) 0. Suy→+∞ ra phương trình f (x) 0 > = có ba nghiệm phân biệt c1 (0;1), c2 (1;2) ○ Số giao điểm p của đồ thị hàm số với trục ∈ ∈ và c3 (2; p). Do đó đồ thị hàm số có hai hoành trong đó có q điểm có hoành độ ∈ điểm cực trị x1 (c1; c2) và x2 (c2; c3), dễ dương. ∈ ∈ thấy x1, x2 là các số dương, hơn nữa hai giá Bây giờ giả sử ta tìm được các dữ kiện trên khi trị cực trị này trái dấu f (x1) 0 f (x2) (vì > > hệ số cao nhất là 1). Đồ thị hàm số f (x) có đó ta suy ra hai điểm cực trị x1, x2 là các số dương nên ○ Đồ thị hàm số f ( x ) có 2m 1 điểm cực trị; đồ thị hàm số f ( x ) sẽ có 5 điểm cực trị. | | + | | ○ Đồ thị hàm số f (x) có n p điểm cực trị; | | + y y f (x) ○ Đồ thị hàm số f ( x ) có 2m 2q 1 điểm cực = trị. | | | | + + O Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, bài toán còn có x nhiều hướng để ra đề khác ví dụ như hỏi số giao điểm với trục hoành, tính đồng biến nghịch biến 1 − của hàm số. Chọn đáp án D □ CÂU 107. Cho các số thực a, b, c thoả mãn  y a b c 1 y f ( x )  + + bc 0. lim f (x) , lim f (x) ta suy ra phương y x = −∞ x = +∞ trình→−∞ f (x) 0 có→+∞ ba nghiệm phân biệt, suy ra y f ( x ) = = | hàm| | | số f (x) có hai điểm cực trị x1, x2 (x1 x2) và hai giá cực trị trái dấu nhau. O x và f (0) c 0 nên f (x) 0 có hai nghiệm dương. = > = Do đó đồ thị hàm số f ( x ) có 7 điểm cực trị. ( b 0 | | | | Khi > thì ta có x1 x2 0 và f (0) c 0 nên Do f (x) có hai giá trị cực trị trái dấu và c 0 · > = < < f (0) 1 nên phương trình f ( x ) 0 có 6 hàm số có hai điểm cực trị dương và ba giao điểm nghiệm= − | | = với trục hoành có hoành độ dương. Khi đó đồ thị phân biệt nên đồ thị hàm số f ( x ) có 5 6 hàm số f ( x ) có 11 điểm cực trị. | | | | + = | | | | 11 điểm cực trị. Chọn đáp án C □ Đại số và giải tích 12 36
  37. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ CÂU 108. Cho hàm số f (x) x3 ax2 bx 2 thỏa (1;4). ( = + + − 2 a b 1 Ta có f ′(x) (x 1) (x 1)(5 x) 0, x (1;4). mãn + > . Số điểm cực trị của hàm số = + − − > ∀ ∈ 3 2a b 0 Nên hàm số y f (x) đồng biến trên (1;4) mà + + = biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 2a b 3 0. + + > C. (1; ). D. (3; ). Do đó, phương trình f (x) 0 có đúng 3 nghiệm +∞ +∞ = ɓ dương phân biệt trên R. Lời giải. Ta có g′(x) f ′(1 x) 2018. Hàm số y f ( x ) là hàm số chẵn. Do đó, hàm số = − − + = | | Theo giả thiết f ′(x) (1 x)(x 2) t(x) 2018 y f ( x ) có 5 điểm cực trị. = − + · + ⇒ = | | f ′(1 x) x(3 x) t(1 x) 2018. Vậy hàm số y f ( x ) có 11 điểm cực trị. − = − · − + = | | | | Từ đó suy ra g′(x) x(3 x) t(1 x). Chọn đáp án A = − − · − □ Mà t(x) 0, x R t(1 x) 0, x R nên dấu 3 2 ∀ ∈ CÂU 109. Cho hàm số bậc ba f (x) ax bx của g′(x) cùng dấu với x(3 x). = + + − cx d đạt cực trị tại các điểm x1, x2 thỏa mãn Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng + x1 (0;1), x2 (1;2). Biết hàm số đồng biến trên ( ;0), (3; ). ∈ ∈ −∞ +∞ khoảng (x1; x2) và đồ thị hàm số cắt trục tung tại Chọn đáp án D □ điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây đúng? CÂU 112. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) A. a 0, b 0, c 0, d 0. 2 ³ x´ = > > > ⇔ Chọn đáp án B □ Mặt khác x1 (0;1), x2 (1;2) nên x1 x2 0 2b ∈ ∈ + > ⇒ 0 b 0. CÂU 113. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) −3a > ⇒ > = = Vậy a 0, b 0, c 0, d 0. x2(x 9)(x 4)2. Khi đó hàm số g(x) f (x2) đồng > < biến− trên khoảng− nào? = Chọn đáp án A □ A. ( 2;2). B. (3 : ). − +∞ C. ( ; 3). D. ( ; 3) (0;3). CÂU 110. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm −∞ − −∞ − ∪ 2 = ɓ Lời giải. f ′(x) (x 1)(x 1)(5 x). Mệnh đề nào sau đây = − + − 2 2 4 2 đúng? Ta có f ′(x) x (x 9)(x 4) g′(x) 2x x (x 2 2 = − − ⇒ = · − A. f (1) f (4) f (2). B. f (1) f (2) f (4). 9)(x 4) . < < < < − x 0 C. f (2) f (1) f (4). D. f (4) f (2) f (1). = < < < < 5 2 2 2 ɓ g′(x) 0 2x (x 9)(x 4) 0 x 3. Ta có Lời giải. = ⇔ − − = ⇔  = ± Dựa vào sự so sánh ở các phương án, ta thấy chỉ x 2 = ± cần xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng bảng biến thiên 37 Đại số và giải tích 12
  38. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC x (2; ). 3 2 0 2 3 +∞ −∞ − − +∞ Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số g 0 0 0 0 0 ′ − + + − − + g(x). Chọn đáp án B □ g CÂU 116. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) = = x(x 1)2(x 2) với mọi x R. Hàm số g(x) µ −5x ¶ − ∈ = f đồng biến trên khoảng nào trong các x2 4 khoảng+ sau? Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (3; ). +∞ A. ( ; 2). B. ( 2;1). Chọn đáp án B −∞ − − □ C. (0;2). D. (2;4). CÂU 114. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) ɓ Lời giải. 2 = = x (x 1)(x 4) t(x) với mọi x R và t(x) 0 với mọi  x 0 − − · ∈ > x R g(x) f ¡x2¢ 2 = . Hàm số đồng biến trên khoảng Ta có f ′(x) 0 x(x 1) (x 2) 0  x 1 . Xét ∈ = = ⇔ − − = ⇔ = nào trong các khoảng sau? x 2 A. ( 2). B. ( 2; 1). 2 µ ¶ = −∞ − − − 20 5x 5x C. ( 1;1). D. (1;2). g′(x) − f ′ , = ¡x2 4¢2 · x2 4 − + ɓ Lời giải. + 2 ¡ 2¢ 20 5x 0 Ta có g′(x) 2xf ′ x . − = =  5x Theo giả thiết f (x) x2(x 1)(x 4)t(x) f ¡x2¢  0 x 2 ′ ′  2 4 ¡ 2 ¢¡ 2 ¢ ¡ =2¢ − − ⇒ =  x 4 = = ± x x 1 x 4 t x .  5+x x 0 − − · 5 ¡ 2 ¢¡ 2 ¢ ¡ 2¢  1  = Từ đó suy ra g′(x) 2x x 1 x 4 x . g′(x) 0c  x2 4 =  = − − · = ⇔  5+x ⇔ x 1( nghiệm bội chẵn) Mà t(x) 0, x R nên dấu của g′(x) cùng dấu  2  = 5 ¡ 2 >¢¡ ∀2 ∈¢  2 2x x 1 x 4 .  x 4 = x 4( nghiệm bội chẵn). − −  5+x = Bảng biến thiên 2 x2 4 = x 2 1 0 1 2 + −∞ − − +∞ Bảng biến thiên y 0 0 0 0 x 2 0 1 2 4 ′ − + − + − + −∞ − +∞ g (x) 0 0 0 0 0 ′ − + − − + + y g(x) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên ( 2; 1). Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp − − Chọn đáp án B □ án, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2;4). Chú ý: Dấu của g′(x) được xác định như sau: Ví CÂU 115. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) 2 ¡ 2 ¢ = dụ xét trên khoảng (4 ) ta chọn x 5 (x 1) x 2x với mọi x R. Hỏi số thực nào 20 5x2 + ∞ = − − ∈ x 5 − 0 (1) dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số ¡ ¢2 2 = → x2 4 +∞ Chọn đáp án D ¡ 2 ¢ □ g′(x) 2(x 1) f ′ x 2x 2 = − · − + h ³ CÂU 117.ii Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) ¡ 2 ¢2 ¡ 2 ¢2 ¡ 2 ¢ = = 2(x 1) x 2x 2 1 x 2x 2 2 x (2xx 1)(32 x) với mọi x R. Hàm số y f (x) đạt cực = − − + − − + − − −+ − ∈ = 2(x 1)5 £(x 1)4 1¤. đại tại = − − − A. x 0. B. x 1. C. x 2. D. x 3. · = = = = 5 £ 4 ¤ 0 x 1 ɓ Lời giải. Xét 2(x 1) (x 1) 1 0 ⇔ x 2 · x 1 > Ta có f ′(x) 0 (x 1)(3 x) 0 = . ra hàm số đồng biến trên các khoảng (0;1) và = ⇔ − − = ⇔ x 3 = Đại số và giải tích 12 38
  39. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ Bảng biến thiên ɓ Lời giải. 2 x 1 3 Ta có g′(x) f ′(x) 1 (x 1)(x 1) (x 2). −∞ +∞ = − = + − − x 1 f ′(x) 0 0 − + − 2 = − g′(x) 0 (x 1)(x 1) (x 2) 0 x 1 . = ⇔ + − − = ⇔  = x 2 f (x) = Ta có bảng biến thiên x 1 1 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f (x) −∞ − +∞ = đạt cực đại tại x 3. h′(x) 0 0 0 = − + + − Chọn đáp án D □ +∞ CÂU 118. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) h(x) = = ¡x2 1¢(x 4) với mọi x R. Hàm số g(x) f (3 x) − − ∈ = − có bao nhiêu cực đại? −∞ A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Ta thấy x 1 và x 2 là các nghiệm đơn còn = − = ɓ Lời giải. x 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm £ 2 ¤ = Ta có g′(x) f ′(3 x) (3 x) 1 [4 (3 x)] cực trị. = − − = − − · − − = (2 x)(4 x)(x 1). Chọn đáp án B □ − − +  x 1 = − CÂU 121. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm cấp 3, g′(x) 0 (2 x)(4 x)(x 1) 0  x 2 . = = ⇔ − − + = ⇔ = liên tục trên R và thỏa mãn x 4 = 2 3 f (x) f ′′′(x) x(x 1) (x 4) với mọi x R. Lập bảng biến thiên · = − + ∈ 2 x 1 2 4 Hàm số g(x) £f (x)¤ 2f (x) f (x) có bao nhiêu −∞ +∞ ′ ′′ − điểm cực trị?= − · g′(x) 0 0 0 − + − + A. 1. B. 2. C. 3. D. 6. ɓ Lời giải. g(x) Ta có g′(x) 2f ′′(x) f ′(x) 2f ′(x) f ′′(x) 2f (x) = · − · − · f ′′′(x) 2f (x) f ′′′(x). = − · x 0 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực = 2 3  đại tại x 2. g′(x) 0 f (x) f ′′′(x) 0 x(x 1) (x 4) 0 x 1 . = = ⇔ · = ⇔ − + = ⇔ = Chọn đáp án B x 4 □ = − CÂU 119. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) Ta có bảng biến thiên = = x2(x 1)(x 4)2 với mọi x R. Hàm số g(x) f ¡x2¢ − − ∈ = x 4 0 1 có bao nhiêu điểm cực trị? −∞ − +∞ A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. g (x) 0 0 0 ɓ Lời giải. ′ − + + − ¡ 2¢ 5 ¡ 2 ¢¡ 2 ¢2 Ta có g′(x) 2x y′ x 2x x 1 x 4 . +∞ = · 5 ¡= 2 ¢¡ −2 ¢2 − g′(x) 0 2x x 1 x 4 0 g(x) = ⇔ − − = ⇔ x 1 = ± −∞ x 0 . Ta thấy x 1 và x 0 là  = = ± = Ta thấy x 0 và x 4 là các nghiệm đơn nên (x 2)2(x 2)2 0. = = − − + = hàm số g(x) có 2 điểm cực trị. các nghiệm bội lẻ, do đó hàm số g(x) có 3 điểm Chọn đáp án B □ cực trị. CÂU 122. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) Chọn đáp án B = □ (x 1)4 (x 2)5 (x 3)3. Số điểm cực trị của hàm số + − + CÂU 120. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) f ( x ) là = = | | (x 1)(x 1)2 (x 2) 1 với mọi x R. A. 5. B. 3. C. 1. D. 2. + − − + ∈ Hàm số g(x) f (x) x có bao nhiêu điểm cực ɓ Lời giải. = − trị? Nhận xét. Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) là | | A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2a 1, trong đó a là số điểm cực trị dương của + 39 Đại số và giải tích 12
  40. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC hàm số f (x). Ta có bảng biến thiên 3 5 3 Ta có f ′(x) 0 (x 1) (x 2) (x 3) 0 x 2 0 x 1 = ⇔ + − + = ⇔ −∞ − +∞ = − y′ 0 0 x 2 . − − +  = x 3 +∞ +∞ = − y Do f ′(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x 3 và x 2 = − = f (0) nên hàm số f (x) có 2 điểm cực trị x 3 và x 2 = − = trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương. Suy ra bảng biến thiên của hàm số y ( x ) = | | Do f ( x ) f (x) nếu x 0 và f ( x ) là hàm số chẵn x | | = ≥ | | 0 nên hàm số f ( x ) có 3 điểm cực trị x 2, x 0. −∞ +∞ | | = = y′ 0 − + Chọn đáp án B □ +∞ +∞ y CÂU 123. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) f (0) = = (x 1)(x 2)4(x2 4). Số điểm cực trị của hàm số − − − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y y f ( x ). = = | | f ( x ) có 1 điểm cực trị. | | A. 2. B. 3 . C. 4 . D. 5. Chọn đáp án D □ ɓ Lời giải. CÂU 125. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) 2 2 = = x 1 x(x 1) (x mx 9) với mọi x R và m là tham = − + + ∈ 4 2 số. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số f ′(x) 0 (x 1)(x 2) (x 4) x 2 = ⇔ − − − ⇔  = g(x) f (3 x) đồng biến trên khoảng (3; )? x 2. = − +∞ = − A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Ta có bảng biến thiên ɓ Lời giải. x 2 0 1 2 −∞ − +∞ Từ giả thiết suy ra f ′(3 x) (3 x)(2 2 £ 2 ¤ − = − − y′ 0 0 0 x) (3 x) m(3 x) 9 . − + + − + − + − + Ta có g′(x) f ′(3 x). f (0) = − − +∞ +∞ Do đó hàm số g(x) đồng biến trên (3; ) khi và y +∞ chỉ khi g′(x) 0, x (3; ) f ( 2) f (2) ≥ ∀ ∈ +∞ − f ′(3 x) 0, x (3; ) ⇔ − ≥ ∀2 £ ∈ +∞2 ¤ Suy ra bảng biến thiên của hàm số y ( x ) (3 x)(2 x) (3 x) m(3 x) 9 0, x = | | ⇔ − − − + − + ≥ ∀ ∈ x 2 1 0 1 2 (3; ) −∞ − − +∞ +∞ (x 3)2 9 y′ 0 0 0 0 m − + , x (3; ) m min h(x) − + − + − + ⇔ ≤ x 3 ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ (3; ) +∞ f ( 1) f (1) (x− 3)2 9 −∞ − +∞ với h(x) − + . y = x 3 − 9 f ( 2) f (0) f (2) Theo bất đẳng thức Cô-si ta có h(x) x 3 − = − + x 3 ≥ r Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y 9 − = 2 (x 3) 6, x (3; ) f ( x ) có 5 điểm cực trị. − · x 3 = ∀ ∈ +∞ | | Suy ra min−h(x) 6 khi x 6. Do đó m 6 m Chọn đáp án D (3; ) = = ≤ ⇒ ∈ □ {1,2,3,4,5+∞,6}. Chọn đáp án B □ CÂU 124. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) CÂU 126. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) 4 2 = = = = x(x 2) (x 4). Số điểm cực trị của hàm số y x2(x 1)(x2 mx 5), x R và m là tham số. Có + + = − + + ∀ ∈ f ( x ). bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) f (x2) | | = A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. đồng biến trên (1; )? +∞ A. 3. B. 4. C. 5. D. 7. ɓ Lời giải. ɓ Lời giải. " 2 4 2 4 2 4 2 x 0 Từ giả thiết suy ra f ′(x ) x (x 1)(x mx 5). f ′(x) 0 x(x 2) (x 4) = 2 = − + + = ⇔ + + ⇔ x 2. Ta có g′(x) 2xf ′(x ). = − = Đại số và giải tích 12 40
  41. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; ) Vậy 18 m 100. +∞ ≤ = − 2m 6 0 Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; ) " − + = +∞2 m p5 khi và chỉ khi g′(x) 0, x (0; ) 2xf ′(x )  ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥  > 0, x (0; ) 2x x2(x2 1)2(3x8 mx6 1) 0, m p5 m 3. Vậy giá trị nguyên ∀ ∈ +∞ ⇔8 · 6 − + + ≥ ⇔  ⇔ x 2  2 > x 8x m 1 Xét hàm số g (x) (2x 8)f (x2 8x m).  − + = ′ ′  2 = − − + x 8x m 0 (1) Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (4; )  − + = +∞ 2 khi và chỉ khi g′(x) 0, x 4 x 8x m 2 (2) 2 ≥ ∀ > 2 − + = (2x 8)f ′(x 8x m) 0, x 4 f ′(x 8x m) Yêu cầu bài toán g′(x) 0 có 5 nghiệm bội lẻ ⇔ − − + ≥ > ⇔ − + ≥ ⇔ = 0, x 4 mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm "∀ 2> ⇔ x 8x m 0, x (0; ) phân biệt khác 4. ( ) − + ≤ ∀ ∈ +∞ x 18. ∗ ⇔ x2 8x m 2, x (0; ) ⇔ ≥ Xét đồ thị (C) của hàm số y x2 8x và hai đường − + ≥ ∀ ∈ +∞ = − 41 Đại số và giải tích 12
  42. ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ L HÀM SỐ VD-VDC  2  thẳng d1 : y m, d2 : y m 2 (như hình vẽ). x 0 x 0 y = − = − +  = = Xét f ′(x) 0 x 1 0 x 1 . = ⇔  + = ⇔  = − 4 x x2 2mx 5 0 x2 2mx 5 0 (1) + + = + + = Do đó ( ) (1) có hai nghiệm dương phân biệt  ∗ ⇔2 ∆′ m 5 0  = − > S 2m 0 m p5. ⇔  = − > ⇔ { 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3}. ∈ − − − − − − − Chọn đáp án B □ y 2 m CÂU 132. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) = − = = x2(x 1)(x2 2mx 5) với mọi x R. Có bao nhiêu + + + ∈ y m giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số = − g(x) f ( x ) có đúng 1 điểm cực trị? 16 = | | − A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Khi đó ( ) d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ∗ ⇔ ɓ Lời giải. m 16 m 16 ⇔ − > − ⇔ 2 2  một và (x 8x m 2) ⩾ 0 với x R nên g(x) có âm phân biệt S 2m 0 m p5 − + − ∀ ∈ ⇔  = − 5 cực trị khi và chỉ khi (1) và (2) có hai nghiệm P 5 0  = > 16 m 0 Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu  − > 16 m 2 0 bài toán. phân biệt và khác 4 − − > ⇔ 16 32 m 0 ⇔ Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc  − + ̸= 2  có nghiệm kép ∆′ m 5 0 p5 m p5. 16 32 m 2 0 ⇔ = − ⩽ ⇔ − ⩽ ⩽  − + − ̸= Suy ra m { 5; 1}. m 16 ∈ − −  − x 3 0 g(x) f ( x ) có 5 điểm cực trị? + = = | | x 1 6 7 8 9 = − A. . B. . C. . D. . x 3  = − ɓ Lời giải. x2 m2 3m 4 0(1) + − − = Do tính chất đối xứng qua trục O y của đồ thị Yêu cầu bài toán (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ hàm thị hàm số f ( x ) nên yêu cầu bài toán m2 3m 4 0 1 m 4. | | ⇔ − − < ⇔ − < < f (x) có 2 điểm cực trị dương. ( ) Suy ra m {0;1;2;3}. ⇔ ∗ ∈ Đại số và giải tích 12 42
  43. L HÀM SỐ VD-VDC ½ Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ½ Chọn đáp án B □ CÂU 134. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f ′(x) = = (x 1)4(x m)5(x 3)3 với mọi x R. Có bao nhiêu + − + ∈ giá trị nguyên của tham số m [ 5;5] để hàm số ∈ − g(x) f ( x ) có 3 điểm cực trị? = | | A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. ɓ Lời giải. x 1 0 x 1 + = = − Xét f ′(x) 0 x m 0 x m = ⇔  − = ⇔  = x 3 0 x 3 + = = − Nếu m 1 thì hàm số y f (x) có hai điểm cực = − = trị âm (x 3; x 1). Khi đó, hàm số g(x) f ( x ) = − = − = | | chỉ có 1 cực trị là x 0. Do đó m 1 không thỏa yêu cầu đề bài. = = − Nếu m 3 thì hàm số y f (x) không có cực trị. = − = Khi đó, hàm số g(x) f ( x ) chỉ có 1 cực trị là = | | x 0. Do đó m 3 không thỏa yêu cầu đề bài. = ( = − m 1 Khi ̸= − thì hàm số y f (x) có hai điểm cực m 3 = ̸= − trị là x m và x 3. = = − Để hàm số g(x) f ( x ) có 3 điểm cực trị thì hàm = | | số y f (x) phải có hai điểm cực trị trái dấu = m 0. Suy ra m {1;2;3;4;5}. ⇔ > ∈ Chọn đáp án C □ 43 Đại số và giải tích 12