Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 - Bài 2: Phương trình lượng giác - Lê Đình Năng

Nội dung text: Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11 - Bài 2: Phương trình lượng giác - Lê Đình Năng

1. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) BÀI 2. Phương trỡnh lượng giỏc A-KIẾN THỨC GIÁO KHOA CẦN NHỚ 1) Cụng thức cơ bản: sin x cos x 1 1 sin2 x cos2 x 1 ; tan x cot x tan x.cot x 1 tan2 x 1 cot2 x 1 cos x sin x cos2 x sin2 x sin(x k2 ) sinx cos(x k2 ) cos x tan(x k ) t anx;cot(x+k )=cotx 2) Hai gúc liờn quan đặc biệt( ‘sin bự’, ‘cos đối’, ‘phụ chộo’, ‘hơn nhau pi tang, cụtang) Phụ nhau: Hơn nhau : Bự nhau: Hơn nhau : Đối nhau: 2 x và x x và x x và x x và x 2 x và x 2 cos( x) cos x cos( x) sin x sin(x ) cos x sin( x) sinx sin(x ) sin x sin( x) sin x 2 2 cos( x) cos x cos(x ) cos x tan( x) tan x sin( x) cos x cos(x ) sin x tan( x) tan x tan(x ) tan x cot( x) cot x 2 2 cot( x) cot x cot(x ) cot x tan( x) cot x tan(x ) cot x 2 2 cot( x) tan x cot(x ) tan x 2 2 3) Cụng thức cộng (‘cos .cos +-sin sin => cos-+; sin cos +- cos sin=>sin+-; .) tan x tan y tan(x y) cos x.cos y sin x.sin x cos(x y) sin x.cos y cos x.sin y sin(x y) 1 tan x.tan y cos x.cos y sin x.sin y cos(x y) sin x.cos y cos x.sin y sin(x y) tan x tan y tan(x y) 1 tan x.tan y 1 tan x 1 tan x Hệ quả: tan x ; tan x 4 1 tan x 4 1 tan x Cụng thức nhõn đụi: cos 2x cos2 x sin2 x 2cos2 x 1 1 2sin2 x , sin 2x 2sin x.cos x Cụng thức nhõn ba: cos3x 4cos3 x 3cos x; sin 3x 3sin x 4sin3 x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x Cụng thức hạ bậc: , cos2 x sin2 x tan2 x 2 2 1 cos 2x 1 3 Đẳng thức sin4 x cos4 x 1 sin2 2x ; sin6 x cos6 x 1 sin2 2x 2 4 4) Cụng thức biến đổi tớch thành tổng: 1 1 cos x cos y [cos(x y) cos(x y)] sin x.cos y [sin(x y) sin(x y)] 2 2 1 1 sin xsin y [cos(x y) cos(x y)] cos x.sin y [sin(x y) sin(x y)] 2 2 5) Cụng thức biến đổi tổng thành tớch: x y x y x y x y cos x cos y 2cos cos sinx sin y 2sin cos 2 2 2 2 x y x y x y x y cos x cos y 2sin sin sin x sin y 2cos sin 2 2 2 2 Hệ quả: sin x cos x 2.sin x 2.cos x 1 ; sin x cos x 2.sin x 2.cos x 2 4 4 4 4 Học, học nữa, học mói Trang 1
2. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) I.Phương trỡnh lượng giỏc cơ bản (Dạng 1) 1) sin x m (1) ( Bấm SHIFT sin m ) Với u u x ,v v x . +)|m|>1 (1) vụ nghiệm vỡ |sinx| 1 với xR . u v k2 +)|m| 1, (1) cú nghiệm nếu cú đẹp sao cho m=sin , thỡ sin u sin v  (a) u v k2 x k.2 1 sin x sin  (k Z). x k2 sin u sin v sin u sin( v) (a1) Nếu -lẻ thỡ ta dựng hàm ngược arcsin(m) x arcsin m k2 sin x m  k . x arcsin m k2 sin u cosv sin u sin( v) (a2) 3 trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm) 2 . sin x 0 x k , k Z; . sin x 1 x k2 , k Z; 2 sin u cosv sin u sin(v ) (a3) 2 . sin x 1 x k2 , k Z. 2 2) cos x m (2) ( Bấm SHIFT cos m ) +)|m|>1 (1) vụ nghiệm vỡ |cosx| 1 với  x R. u v k2 cosu cosv  (b) +)|m| 1, nếu cú đẹp sao cho m cos , thỡ u v k2 x k2 2 cos x cos  (k Z). x k2 Nếu -lẻ thỡ dựng hàm ngược arccos(m) cosu cosv cosu cos( v) (b1) x arccos m k2 cos x m  k x arccos m k2 Trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm) . cos x 0 x k , k Z; 2 . cos x 1 x k2 , k Z; . cos x 1 x k2 , k Z. 3) tanx=m (3) ( Bấm SHIFT tan m ) Với mọi m thỡ phương trỡnh (3) luụn cú nghiệm tan u tan v u v k (c) Nếu - đẹp sao cho m tan thỡ tan u tan v tan u tan v 3 tan x tan x k , k Z. Nếu - lẻ thỡ 3 x arctan m k . tan u cot v tan u tan v 2 4) cotx=m (4) ( Bấm SHIFT tan 1: m ) Với mọi m thỡ phương trỡnh (4) luụn cú nghiệm: cot u cot v u v k (d) Nếu - đẹp sao cho m cot thỡ cot u cot v cot u cot v 4 cot x cot x k , k Z. Nếu -lẻ thỡ cot x m x arccot m k (k ). Đặc biệt: cot x 0 x k . 2 Lưu ý: Trong cụng thức nghiệm đối với sin và cụsin thường được 2 họ nghiệm cộng với k2 hoặc k.3600 ; cũn trong cụng thức nghiệm đối với tang và cụtang thường ta được 1 họ nghiệm cộng với k hoặc k.1800 -Đối với phương trỡnh k phải cơ bản chứa tang, cụtang hoặc h/s lượng giỏc ở mẫu cần đặt điều kiện Học, học nữa, học mói Trang 2
3. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) -Lưu ý về giải phương trỡnh sin2 x m và cos2 x m sin2 x m cos2 x m 2 m 0 sin x 0 sin x 0 x k 2 cos x 0 cos x 0 x k 2 m 1 sin2 x 1 1 cos2 x 1 cos2 x 0 cos2 x 1 1 sin2 x 1 sin2 x 0 m 0  m 1 sin2 x m (vụ nghiệm) cos2 x m (vụ nghiệm) 0 m 1 Hạ bậc Hạ bậc 1 cos 2x 1 cos 2x sin2 x m m cos2 x m m 2 2 Bài 1. Giải cỏc phương trỡnh sau 1) sin x sin 20 2) cos x cos1 3) tan x tan 250 4) cot x cot1000 sin 2x sin 400 cos3x cos750 5) 6) 7) tan 4x tan 8) cot 2x cot 3 12 Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau: 1) sin 2x sin x 2) sin 3x cos x 3) cos3x cos x 4) tan 3x tan x 5) tan 2x tan x 6) cos 4x cos 2x 7) cot 5x cot 3x 8) cot 3x cot 2x 9) sin 2x sin 3x 10) tan 2x.tan x 1 11) tan 3x.tan x 1 12) sin 3x sin 2x 0 1 13) sin 2x cos x cos 2xsin x 2 2 3 2 2 14) cos x sin x 15) 2cos 2x 1 2 2 8 2 Bài 3. Giải cỏc phương trỡnh sau: 0 1 3 3) sin 3x cos78 0 0 1 1) sin x 2) sin(3x ) 4) sin x 25 2 4 2 2 3 2 7) cos 2x cos1320 5) cos x 6) cos 3x 450 8) cos(2x ) sin x 2 2 6 1 11) tan 3x cot x 0 12) tan 2 x 2 tan x 0 9) tan x 3 10) 4 cos2 2x 13) cot x 1 1 15) cot 3 x cot 2 x cot x 1 0 16) cot 5x tan 2x 0 14) 2 sin 2 2x Bài 4. Giải cỏc phương trỡnh sau 1 1 3 1) sin2 x 2) sin2 x 3) cos2 x 4 2 4 4) sin2 2x 1 5) cos2 3x 1 6) cos2 x 3sin2 x 1 2 1 2 3 2 1 sin (2x ) sin x cos 2x 7) 6 4 8) 4 4 9) 2 Bài 5. Giải cỏc phương trỡnh sau 1) tan2 x 3 1 3 2) sin x 3) cos x 2 4 1 4) tan 2x 1 5) cot x 3 6) cos3x 3 3 3 Bài 6. Cú nhiờu nghiệm trờn đoạn  50 ;100  của phương trỡnh a) cos x 0 ; b)sin 2x 1 Học, học nữa, học mói Trang 3
4. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) Bài 7. Tớnh tổng tất cả cỏ nghiệm trờn đoạn 0;123  của phương trỡnh a) sin x 0 b)tan x 1 . Bài 8. Tớnh tổngr tất cả cỏc nghiệm trờn  ;21  của phương trỡnh a)cos 2x 1 b) cot x 3 . m 1 Bài 9. Cho phương trỡnh sin x (1). 3 a) Cú nhiờu số nguyờn m để phương trỡnh trờn cú nghiệm. b) Cú bao nhiờu số nguyờn m thuộc 15;21 để phương trỡnh (1) vụ nghiệm. Bài 10. Tớnh tổng tất cả cỏc nghiệm trờn đoạn 0;2021 của phương trỡnh sin x 1 . II. Phương trỡnh lượng giỏc thường gặp II.1.Phương trỡnh bậc nhất đối với sinx và cosx (Dạng 2) 1) Dạng: a cos x bsin x c (1) hoặc asin x bcos x c (2). 2) Điều kiện cú nghiệm: phương trỡnh (1) hoặc (2) cú nghiệm a2 b2 c2 . 3) Cỏch giải: b a sin x bcos x 0 a sin x bcos x tan x TH1. c 0 , tức giải phương trỡnh a TH2. c 0 . Ta chia cỏc số hạng của 2 vế cho a 2 b2 để đưa phương trỡnh đó cho về phương trỡnh cơ c2 bản sin X =m hoặc cos X m với m . a 2 b2 4) Một số phương trỡnh cú cựng cỏch giải 1/ asin x bcos x a2 b2 .sin y (3) hoặc asin x bcos x a2 b2 .cos y (4) 2/ asin x bcos x asin y bcos y (5). Phương phỏp giải: Chia cỏc số hạng của 2 vế cho a2 b2 đưa phương trỡnh về dạng sin u sin v hoặc cosu cosv . Cụng thức cộng cần nhớ: cos x.cos y sin x.sin y cos(x y) sin x.cos y cos x.sin y sin(x y) cos x.cos y sin x.sin y cos(x y) sin x.cos y cos x.sin y sin(x y) Bài 11. Giải cỏc phương trỡnh sau: 1 1/;3 cos x sin x 2 2/ cos x ; 33s/in x 1 sin 4 x cos 4 (x ) 4 4 sin 2x - sin x = 3 4/sin 3x 3 cos3x 2sin 2x ; 5/;cos7x sin 5x 3(cos5x sin 7x) 6/ cos2x - cosx 7/ 3sin x 4cos x 5 8/ 3sin 2x 2cos 2x 13 9/3sin 5x 2cos5x 4 . 10/ sin x 3 cos x 0 11/cos3x sin 3x 0 12/sin 2x cos 2x 0 . Bài 12.Tỡm điều kiện của tham số m để mỗi phương trỡnh sau cú nghiệm a) msin x 2m 1 cos x m 1 b) 3sin x mcos x 2m 1 Bài 13.Tỡm điều kiện của tham số m để mỗi phương trỡnh vụ nghiệm a) 3sin x 4cos x m b) 3sin x mcos x 2m 3 . Bài 14.Giải cỏc phương trỡnh sau (bài tập rốn luyện) ổ ử 1 / 3 cos 3x - sin 3x = - 2 ỗ 1 ữ 2 / tan x - sin 2x - cos2x + 2ỗ2 cosx - ữ = 0 ốỗ cosx ứữ (1 - 2 sin x)cosx 3 1 3 / = 3 4 / 8 sin x = + (1 + 2 sin x)(1 - sin x) cosx sin x 5 / 9 sin x + 6 cosx - 3 sin 2x + cos2x = 8 6 / 2 sin 2x - cos2x = 7 sin x + 2 cosx - 4 Học, học nữa, học mói Trang 4
5. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) 7 / sin 2x - cos2x = 3 sin x + cosx - 2 8 / 2 cos3 x + cos2x + sin x = 0 9 / 4(sin4 x + cos4 x) + 3 sin 4x = 2 10 / 2 cos2x = 6(sin x - cosx) 2 11 / 10 cosx = 3 cotx + 4 12 / (1 + 2 sin x) cosx = 1 + sin x + cosx Bài 15.Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m để mỗi phương trỡnh sau cú nghiệm a) 2sin x 5cos x m b)msin x m 1 cos x 2m 3 . c) 2m 1 cos 2x 2sin 2x 3m 5 d)3cos x msin x 3m 2 . II.2.Phương trỡnh chỉ chứa một hàm số lượng giỏc (Dạng 3) Với u là hàm số lượng giỏc chẳng hạn u sin x,u cos x,u tan x,u cot x, ,u sin f x , b 1/ Phương trỡnh bậc nhất au b 0 u với u là 1 hàm số lượng giỏc. a Bài 16.Giải cỏc phương trỡnh sau: a) 2sin x 3 0 b) 2cos x 60 1 0 c) 3cot 2x 3 0 d)3tan 2x 3 0 . 5 2/ Phương trỡnh bậc hai au2 bu c 0 trong đú u sin x,u cos x,u tan x,u cot x, Lưu ý nếu u sin x hoặc u cos x thỡ | u | 1 ; cũn u tan x hoặc u cot x thỡ khụng cú điều kiện với u . 2 tan x Cụng thức nhõn đụi: sin 2x 2sin x.cos x ; tan 2x ; 1 tan2 x cos 2x cos2 x sin2 x 2cos2 x 1 1 2sin2 x Cụng thức nhõn ba: sin 3x 3sin x 4sin3 x cos3x 4cos3 x 3cos x 1 1 tan x.cot x 1 tan x; cot x Hằng đẳng thức: sin2 x cos2 x 1 sin2 x 1 cos2 x ; cot x tan x 1 1 cos2 2x 3 1 3cos2 2x sin4 x cos4 x 1 sin2 2x sin6 x cos6 x 1 sin2 2x 2 2 4 4 *) Một số phương trỡnh đưa về phương trỡnh bậc 2 và cỏch giải Dạng 1. asin2 x bcos x c 0 a 1 cos2 x bcos x c 0 a cos2 x bcos x a c 0. Dạng 2. a cos2 x bsin x c 0 a 1 sin2 x bsin x c 0 asin2 x bsin x a c 0 . Dạng 3. a cos 2x bcos x c 0 a 2cos2 x 1 bcos x c 0 Dạng 4. a cos 2x bsin x c 0 a 1 2sin2 x bsin x c 0 Dạng 5. a tan x bcot x c 0 . Điều kiện sin x 0;cos x 0 sin 2x 0 1 Khi đú phương trỡnh tương đương với a tan x b. c 0 a tan2 x c tan x b 0 tan x Bài 17. Giải cỏc phương trỡnh sau: 1/;2cos 2 x 5sin x 4 0 2/.3sin2 x 2cos x 2 0 1 x 1 x 3/;4cos 2x 10sin x 7 0 4/cos 2x ; 53/cos x 2 0 cos2 sin2 4 3 2 2 6/;sin 4 2x cos 4 2x 1 2sin 4x 7/.2cos 2x 8cos x 5 0 8/ 94/.cos4 x 8sin2 x 3 tan x 3cot x 2 10/ 2(sin 4 x cos 4 x) 2sin 2x 1 11/ 2cos x.cos 2x 1 cos 2x cos3x . 4x 12/cos cos 2 x . 13/ tan x 4cot x 5 . 3 II.3.Phương trỡnh đẳng cấp theo sinx và cosx (Dạng 4) 1/ Phương trỡnh đẳng cấp bậc hai: asin 2 x bsin x.cos x c.cos 2 x 0 (1) hoặc asin 2 x bsin x.cos x c.cos 2 x d (2). Học, học nữa, học mói Trang 5
6. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) (2) ta sử dụng d d(sin 2 x cos 2 x) chuyển vế và đưa về (1), nờn chỉ giải (1). Cỏch 1: Xột và chia +)Xột phương trỡnh khi cos x 0 (hoặc sinx=0). 1 +)Xột cos x 0 , chia cả hai vế của phương trỡnh cho cos 2 x , đặt t=tanx ; tan2 x cos2 x 1 cos 2x 1 cos 2x Cỏch 2: Hạ bậc;,sin 2 x thếco vàos 2 x (1) ta thu được phương trỡnh bậc 2 2 nhất đối với sin2x và cos2x. 2/Phương trỡnh đẳng cấp bậc ba:là phương trỡnh lượng giỏc mà cỏc số hạng chỉ chứa sinx hoặc cosx với bậc cao nhất là 3 hoặc bậc 1 đối với sinx và cosx Dạng: asin3 x bsin2 x cos x csin x cos2 x d cos3 x esin x f .cos x 0 Cỏch giải:xột cosx=0; cos x 0 , chia cả hai vế cho cos3 x , đặt t=tanx, thu được pt bậc 3 đối với t=tanx. Bài 18. Giải cỏc phương trỡnh sau 1/2sin 2 x 5sin x.cos x cos 2 x 0 ; 2/3sin 2 x 8sin x.cos x (8 3 9)cos 2 x 0 ; 3/ 6sin x 2cos3 x 5sin 2x.cos x ; 4/sin3 2x 3 cos 2x sin 2x . II.4.Phương trỡnh đối xứng (Dạng 5): Dạng 1. a sin x cos x b.sin x.cos x c 0 1 Dạng 2. a sin x cos x b.sin x.cos x c 0 2 u2 1 1 u2 Đặt sin x cos x u, u 2 sin x.cos x Đặt sin x cos x u, u 2 sin x.cos x 2 2 u2 1 1 u2 Khi đú 1 a.u b. c 0 Khi đú 2 a.u b. c 0 2 2 Dạng 3. a sin x cos x b.sin 2x c 0 3 Dạng 4. a sin x cos x b.sin 2x c 0 4 Đặt sin x cos x u, u 2 sin 2x u2 1 Đặt sin x cos x u, u 2 sin 2x 1 u2 Khi đú 1 a.u b. u2 1 c 0 Khi đú 4 a.u b. 1 u2 c 0 Bài 19.Giải cỏc phương trỡnh sau 1/ sin x cos x sin x.cos x 1 0 2/ sin x cos x sin x cos x 1 0 . Bài 20.Giải cỏc phương trỡnh sau 1/3(sin x cos x) 2sin 2x 3 0 ; 2/sin 2x 12(sin x cos x) 12 ; 3/2(cos x sin x) 4sin x.cos x 1 ; 4/cos x sin x 2sin 2x 1 . II.5. Sử dụng biến đổi tớch tổng, tổng tớch, nhõn đụi, hạ bậc để giải phương trỡnh(Dạng 6) Tổng thành tớch Tớch thành tổng x y x y 1 cos x cos y 2cos cos cos x.cos y [cos(x y) cos(x y)] 2 2 2 x y x y 1 cos x cos y 2sin sin sin x.sin y [cos(x y) cos(x y)] 2 2 2 x y x y 1 sin x sin y 2sin cos sin x.cos y [sin(x y) sin(x y)] 2 2 2 x y x y 1 sin x sin y 2cos sin cos x.sin y sin x y sin y x  2 2 2   Nhõn đụi: sin 2x 2sin x.cos x cos 2x cos2 x sin2 x 2cos2 x 1 1 2sin2 x 1 cos 2x 1 cos 2x Hạ bậc: cos2 x ; sin2 x 2 2 Bài 21. Giải cỏc phương trỡnh sau: 1) cos6x.cos x cos3x cos 4x 2) sin 2xsin 5x sin 3xsin 4x Học, học nữa, học mói Trang 6
7. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) 3) cos5xsin 4x sin 5x cos 4x 4) cos 2xsin 5x cos 2x cos8x 5) sin 7xsin x sin 3xsin 5x 6) 2cos6x cos 2x 1 0 7) 2cos6x cos 2x 1 0 8) sin 2x sin 4x sin 6x 9) sin x sin 2x cos x cos 2x 10) sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos3x 11) cos x cos5x cos 2x cos 4x 12) cos2 x cos2 2x cos2 3x cos2 4x 2 13) 3sin4 x 5cos4 x 3 0 14) sin2 4x sin2 3x sin2 2x sin2 x 15) cos x cos3x sin 2xsin 6x sin 4xsin 6x 0 16) sin2 x sin2 3x 2sin2 2x 17) sin x sin 2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x 0 18) sin x sin 3x sin 4x 19) tan x tan 2x sin 3x cos x 20) sin 4xsin 5x sin 4xsin 3x sin 3xsin x 0 21) sin x sin 2x sin 3x 0 22) cos 2x cos 4x cos6x 1 23) sin x cos 2x sin 3x 0 24) cos x cos5x sin 3x sin 3x 1 1 2 25) tan x tan 2x 26) cos x sin 2x cos 2x sin 4x 2 2 2 27) sin x cos 2x cos 3x 2 2 2 2 3 28) cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2 2 2 2 2 2 x 2 2 x 30) sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x 29) sin tan x cos 0 2 4 2 II.6.Phương trỡnh đưa về phương trỡnh tớch A.B=0 (Dạng 7) 1 1 Bước 1. Thử cỏc nghiệm đặc biết như sin x 1 , sin x ; cos x 1 ; cos x ; và phương trỡnh 2 2 cú chứa thừa số (cosx sinx). Sử dụng đẳng thức sin 2 x cos 2 x 1 . Bước 2. Dựng cỏc cụng thức biến đổi như hạ bậc, tớch thành tổng, tổng thành tớch, hàm lượng giỏc của hai gúc cú quan hệ đặc biệt, cần lưu ý những biến đổi sau: 2 1 cot x tan x ; cot x tan x 2cot 2x ; cot x cot 2x . sin 2x sin 2x -Đặt cỏc nhõn tử chung. Tham khảo thờm bảng họ cỏc biểu thức cú nhõn tử chung sau: Bảng họ một số biểu thức cú nhõn tử chung f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) sinx sin2x, tanx, tan2x, 1-cos2x, cosx sin2x, tan2x, cotx, 1+cos2x, x x 1+cosx cos 2 , cot 2 , sin 2 x , tan 2 x , sin3 x,sinn x (n>3), 2 2 x x 1-cosx sin 2 , tan 2 , sin 2 x , tan 2 x ,sin3 x,sinn x (n>3), 2 2 x x 1+sinx cos 2 x , cot 2 x , cos 2 ( ) , sin 2 ( ) ;cos3 x,cosn x (n>3) 4 2 4 2 x x 1-sinx cos 2 x , cot 2 x , cos 2 ( ) , sin 2 ( ) ;cos3 x,cosn x (n>3) . 4 2 4 2 sin x cos x cos 2x , cot2x, 1+sin2x, 1+tanx, 1+cotx, tanx+cotx, sin x cos x cos 2x , cot2x, 1-sin2x, 1-tanx, 1-cotx, tanx-cotx, Bài 22. Giải cỏc phương trỡnh sau: 3 1/;cos3x 2cos 2x cos x 0 2/;sin 2 x sin 2 2x sin 2 3x 2 1 3/;cos3x.cos 4x sin 2x.sin 5x (cos 2x cos 4x) 4/;2sin 3 x cos 2x cos x 0 2 1 tan x 5/sin 2x cos 2x 1 4(sin x cos x) ; 6/; 1 sin 2x 1 tan x Học, học nữa, học mói Trang 7
8. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) x 7/sin x.cos 4x sin 2 2x 2.sin 2 ( ) . 8/ cos x cos3x 1 2 sin(2x p) 4 2 + = + + 4 C-Bài tập rốn luyện kĩ năng giải phương trỡnh lượng giỏc I.Phương phỏp đặt ẩn phụ-hoặc phương trỡnh quy về bậc nhất, bậc cao đối với hslg. Bài 23.Giải cỏc phương trỡnh sau: 1/;cos 2x 3cos x 2 0 2/2 cos 2x 5si ;n 3x/;6 4cos 2 x 9sin x 0 3 4/;2cos 2x cos x 1 5/;2 tan 2 x 3 6/;4sin 4 x 12cos 2 x 7 cos x x x x 7/;4(sin 3x cos 2x) 5(sin x 1) 8/;1 sin sin x cos sin 2 x 2cos 2 ( ) 2 2 4 2 1 9/;1 3tan x 2sin 2x 10/;2cos 2x 8cos x 7 cos x 11/;sin 2x(cot x tan x) 4cos 2 x 12/;2cos 2 2x cos 2x 4sin 2 2x cos 2 x 13/cos3x cos 2x 2 ; 14/4sinx+2cosx=2+3tanx; 15/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 16/;sin 2 x sin 2 3x 3cos 2 2x 17/.tan 3 (x ) tan x 1 4 II.Phương trỡnh đẳng cấp bậc n theo sinx, cosx. Bài 24. Giải cỏc phương trỡnh sau: 1.;sin 2 x 2sin 2x 3 7cos 2 x 0 2.;cos3 x sin 3 x cos x sin x 3.;sin xsin 2x sin 3x 6cos3 x 4.;sin 3 x cos3 x 2(sin 5 x cos5 x) 5.;sin 3 (x ) 2 sin x 6.;3cos 4 x sin 2 2x sin 4 x 0 4 7.;3sin 4 x 5cos 4 x 3 0 8. 6sin x 2cos3 x 5sin 2x cos x III.Phương trỡnh đối xứng-phương trỡnh phản đối xứng Bài 25. Giải cỏc phương trỡnh sau: 1/2c/os3 x sin 3 x sin 2x sin x cos x 2cos3 x cos 2x sin x 0 3 3/41/ sin 3 cos3 x sin 2x 6(cos x sin x) sin x cos x 6 0 2 1 1 10 5/6si/n 3 x cos3 x 1 sin x cos x sin x cos x cos x sin x 3 7/ tan x tan 2 x tan 3 x cot x cot 2 cot 3 x 6 2 8/9/ 2 tan 2 x 5tan x 5cot x 4 0 1 cos3 x sin 3 x sin 2x sin 2 x 10/ 2cos 2x sin 2 x cos x cos 2 sin x 2(sin x cos x) 11/.cos3 x sin 3 x 1 IV.Phương trỡnh tớch và phương trỡnh lượng giỏc khỏc. Bài 26. Giải cỏc phương trỡnh sau (bài tập rốn luyện) 1. sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4cos x x x 2. sin 2 ( ) tan 2 x cos 2 0 2 4 2 3. sin 2 x sin 2 3x 3cos 2 2x 0 4. cos x cos 2x cos3x sin x sin 2x sin 3x 5. sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 x 9x 6. cos3x sin 7x 2sin 2 ( ) 2cos 2 4 2 2 3 3 3 3 3 1 8. sin sin x cos x 1 cos x 7. cos3x.cos x sin 3x.sin x cos 4x 4 x x 10. sin 3x cos 2x 2(sin 2x cos x 1) 9. sin 4 cos 4 1 2sin x 2 2 11. cos3x 2cos 2x cos x 0 12. 4cos x 2cos 2 x cos 2x cos 4x 0 13. sin 6 x cos6 x sin 4 x cos 4 x 14. 2(cos 4 x sin 4 x) cos 4x cos 2x 0 15. sin 4 x cos 4 x cos 2 x 1 2sin 2 .cos 2 x sin x 2 16. 1 1 cos 2x Học, học nữa, học mói Trang 8
9. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) 3 17. 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin x 18. 2(cos 4 x sin 4 x) cos( 2x) 2 cos x sin x 20. 2cos x cos 2x 1 cos 2x cos3x 19. sin x 1 cos x x x 4 4 21. sin 2 ( ) tan 2 x cos 2 0 22. 4(cos x sin x) 3 sin 4x 2 2 4 2 1 2 23. cot x tan x 4sin x 24. sin 2x cos 2x 1 3 sin 2x 2 3 cos x sin x 2 25. sin x.cos x cos x 2sin x sin x 1 4 4 1 2 26. cos x sin x cos 2x sin 2x 0 4 27. sin 3x cos x cos 2x(tan 2 x tan 2x) 28. cos3x 4cos 2x cos x 4 0 1 sin 2x cos2x 30. cos7x sin8x cos3x sin 2x 29. 2 sin x sin 2x 1 cot2 x 31. sin 2 3x cos 2 4x sin 2 5x cos 2 6x 32. sin 2x 2 2 cos x 2sin(x ) 3 0 3 33. cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0 2(cos6 x sin 6 x) sin 2x 1 34. 1 2 2sin x (2 sin 2 2x)sin 3x x 35. tan 4 x 1 36. cot x sin x(1 tan x tan ) 4 cos 4 x 2 x 38. cos3x 4cos 2x 3cos x 4 37. tan x cos x cos 2 x sin x(1 tan x tan ) 2 cos 2x 1 2 2 39. cot x 1 sin 2 x sin 2x 40. (1 sin x)cos x (1 cos x)sin 1 sin 2x 1 tan x 2 41. 3 tan x(tan x 2sin x) 6cos x 0 42. 2sin2 2x sin 7x 1 sinx 2 x x 43. cos 2x cos x(2 tan x 1) 2 44. (sin cos )2 3 cos x 2 2 2 2 45. cot x tan x 4sin 2x 46. 3(cos 2x cos x 1) (3 2cos x)sin x 0 sin 2x cos 2 x(cos x 1) 2sin x 1 1 47. 2(1 sin x) 48. 2cos x cos x sin x cos x 2cos2x 1 2sin x 1 3 3 2 2cos 4x 50. 4cos x 2cos 2x cos 4x 1 49. cot x tan x sin 2x x x 1 52. 2cos x cos 2x cos3x 5 7cos 2x 51. sin3 cos3 cos x(2 sin x) 2 2 3 1 2 53. tan 2x tan x cos xsin 3x 54. (cos 4x cos 2x) 5 sin 3x 3 55. (sin x cos x)3 2(sin 2x 1) sin x cos x 2 0 56. sin xsin 2x sin 3x 6cos3 x 2 2 4sin 2x 6sin x 9 3cos 2x 2 2 17 57. 0 58. sin 2x cos 8x sin(10 ) cos x 2 59. sin 2 x sin 2 2x sin 2 3x 2 60. 2cos3 x cos 2x sin x 0 61. 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 62. cos3 3x cos 2x cos 2 x 0 6 6 sin x cos x 13 4 4 3 63. tan 2x 64. cos x sin x cos(x )sin(3x ) 0 cos 2 x sin 2 x 8 4 4 2 65. tan 2x cot x 8cos 2 x 66. 5sin x 2 3(1 sin x) tan 2 x 67. sin x sin 2x sin 3x 3(cos x cos 2x cos3x) 68. (2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x cos 2x 1 2 69. sin 4 x cos 4 x cos 2x sin 2 2x 0 70. cot x tan x 4sin 2x 4 sin 2x Học, học nữa, học mói Trang 9
10. Trường THPT Lý Thỏi Tổ Thầy giỏo Lờ Đỡnh Năng (0987.898.225) x 80 Bài 27. Tớnh tổng cỏc nghiệm của phương trỡnh sin 2 cos 2 0 . x 6 2 x 32x 332 Bài 28. Tớnh số nghiệm của phương trỡnh sin2019 x cos2020 x 2 sin2021 x cos2022 x cos 2x trờn đoạn  10;30 . V.Phương trỡnh cú chứa tham số. Bài 29. Cho phương trỡnh sin x mcos x 3 (1). a) Giải phương trỡnh khi m 3 . b) Tỡm tất cả giỏ trị nguyờn của m thuộc đoạn  20;20 để phương trỡnh cú nghiệm. Bài 30. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của tham số m để phương trỡnh sau cú nghiệm 3sin x 4cos x m Bài 31. Cho phương trỡnh sin x cos2x 2m 1 . a) Giải phương trỡnh khi m 1 . b) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh cú nghiệm.   c) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh cú nghiệm trờn đoạn ; .  6 2  4 4 1 2 Bài 32. Cho phương trỡnh sin x cos x cos 2x sin 2x m 0 . Tỡm m để pt cú nghiệm. 4 1 1 1 Bài 33. Tỡm m để phương trỡnh sin x cos x 1 (tan x cot x ) m cú nghiệm. 2 sin x cos x 4 2 Bài 34. Cho phương trỡnh 2( cos 2 x) m( cos x) 1 .Tỡm m để pt cú nghiệm thuộc (0; ) . cos 2 x cos x 2 Bài 35. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m sao cho: sin 6 x cos6 x sin x.cos x m , đỳng với x R . Bài 36. Cho phương trỡnh: cos 2x (2m 1)cos x m 1 0 (1) 3 3 a) Giải phương trỡnh (1) khi m . b) Tỡm m để (1) cú nghiệm trờn ; . 2 2 2 Bài 37. Cho phương trỡnh (cos x 1)(cos2x m.cos x) m.sin 2 x (1)  2  a) Giải phương trỡnh (1) khi m 2 . b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú đỳng 2 nghiệm trờn 0;   3  2 Bài 38. Cho phương trỡnh (1 m) tan 2 x 1 3m 0 (1) cos x a) Giải (1) khi m=1/2. b) Tỡm m để pt (1) cú 2 nghiệm p/b trờn 0; 4 Bài 39. Cho phương trỡnh cos 4x 6sin x.cos x m (1)   a) Giải (1) khi m=1. b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm p/b trờn 0;   4  Bài 40. Số giỏ trị nguyờn của tham số m để phương trỡnh sin 2x sin x cos x 2 m cú đỳng một 3 nghiệm thuộc khoảng 0; . 4 Học, học nữa, học mói Trang 10