Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Giới hạn của hàm số

Nội dung text: Bài tập Đại số và Giải tích Lớp 11: Giới hạn của hàm số

1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Các giới hạn đặc biệt c 1)lim x x0 2) limC C ( C: hằng số) 3)lim 0 (c: hằng số, k ¥ * ) x k x x0 x x0 x 1 k k neu k chan 4)lim k 0 5)lim x (k ¥ * ) 6) lim x x x x x neu k le Định lí về giới hạn ở hữu hạn Định lí 1. - Nếu lim f (x) L và lim g(x) M , thì: x x0 x x0  lim c. f (x) c.L (với C là hằng số)  lim [ f (x) g(x)] L M x x0 x x0 lim [ f (x) g(x)] L M  lim [ f (x).g(x)] L . M x x0 x x0 f (x) L  lim (M 0)  lim f (x) L x x0 g(x) M x x0 1 lim 3 f (x) 3 L  Nếu lthìim f (x) lim 0 x x0 x x0 x x0 f (x) - Nếu f x 0 và lim f (x) L thì L 0 và lim f (x) L x x0 x x0  Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi x Định lí 2. lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L x x x x x x 0 0 0 Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x 0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp J \x0 . Nếu f x g x h x , x J \x0 và lim f (x) lim h(x) L thì lim g(x) L . x x0 x x0 x x0  Quy tắc về giới hạn vô cực f(x) Quy tắc tìm giới hạn của tích f x .g x Quy tắc tìm giới hạn của thương g(x) lim f (x) lim g(x) lim f (x).g(x) Dấu f (x) x x x x lim f (x) lim g(x) lim 0 0 x x0 x x x x 0 0 của x x x x x x x x0 g(x) 0 0 0 x x x x x x 0 0 x x x x x 0 g x x + + L > 0 L Tùy ý 0 + + L > 0 0 + L < 0 + + L < 0 0 + BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tính các giới hạn sau: 3x 5 1 a) lim b) lim c) lim( x3 x2 2x 1) x 2 x 1 x 4 x 3 x 3 Bài 2: Tính các giới hạn sau: 3x 5 1 2x 1 2x 1 2x 1 x 2 x 2 x 2 a) lim ; lim b) lim ; lim ; lim c) lim ; lim ; lim x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 2x 3 khi x 2 Bài 3: Cho hàm số: f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) (nếu có) 3 4x 29 khi x 2 x 2 x 2 x 0 2 x 1 khi x 1 Bài 4: Cho hàm số: f (x) . Tính lim f (x) , lim f (x) và lim f (x) (nếu có) 2x2 1 khi x 1 x ( 1) x ( 1) x 1
2. 2 4x 5x khi x 2 Bài 5: Cho hàm số: f (x) . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x 2. x 7 4a khi x 2 Bài 6: Tính các giới hạn sau: 5x 2 3x2 5x2 7 a) lim b) lim ( x3 x2 2x 1) c) lim (x4 x2 x 1) d) lim x 3x 1 x x x x2 x 1 x2 5x 1 x 3 e) lim f) lim g) lim 2x2 3x 12 x 3x 4 x 2x2 x 7 x Bài 7: Tính các giới hạn sau: x2 x 2x 2x2 7x 1 x2 2x 3 4x a) lim b) lim c) lim x x x 2 2x 3 3x 7 4x 1 x 1 Bài 8: Tính các giới hạn sau: x 2 2x2 5x 3 x2 4x 3 x5 x3 2 a)lim 2 b)lim c) lim 2 d) lim 2 x 2 x 4 x 3 x 3 x 3 x 9 x 1 x 1 4x5 5x4 1 xn 1 e) lim 3 f)lim x 1 (x 1)(x x 2) x 1 x 1 Bài 9:Tính các giới hạn sau: 3 x 2 4 x 2x x2 1 a) lim b) lim c) lim 2 x 9 9 x x 0 x x 1 x x 8 2x 2 2x 1 x2 3x 1 d)lim e)lim 2 x ( 2) x 2 x 1 x 1 Bài 11:Tính các giới hạn sau: a)lim 2x4 3x 12 b) lim x2 3 x c) lim x2 x 4 x2 d) lim x2 1 x 1 x x x x Bài 12:Tính các giới hạn sau: 1 1 1 1 2 1 n 1 a) lim b)lim c)lim e) lim 2 2 2 n x 0 x x x 2 x 2 x 4 x 1 1 x 1 x x 1 1 x 1 x Bài 13:Tính các giới hạn sau: 3 3x 8 2 3 1 x 1 4 4x 3 1 5 5x 1 1 a)lim b) lim c) lim d) lim x 0 5x x 0 x x 1 x 1 x 0 x Bài 14:Tính các giới hạn sau: 2. 1 x 3 8 x 1 2x 3 1 3x 4 2x 1 5 x 2 a)lim b) lim 2 c) lim x 0 x x 0 x x 1 x 1 2 3 2 1 x x x 1 y y Bài 15:Cho hai hàm số f (x) và g(x) . x2 x2 1) Tính lim f (x) , lim g(x) , lim f (x) , lim g(x) . x 0 x 0 x x 1 2) Hai đường cong sau là dồ thị của hai hàm số đã cho. 1 Từ kết quả câu 1), hãy xác định xem đường cong O x O x nào là đồ thị của hàm số nào? -1 a) y b) 2x2 15x 12 Bài 16:Cho hàm số : f (x) có đồ thị như hình vẽ. x2 5x 4 1) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm số f(x) khi x 1 , x 1 , x 4 , x 4 , x và x . 3 2 O 1 4 x
3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm các giới hạn sau: x2 1 2x 6 17 x 3 3 2x2 x 1 1) lim 2) lim 3)lim 2 4)lim 5) lim x 3 x 1 x 4 x x x 1 x 6 x 6 x 3 x 2x 7 2x 7 2x 3 6)lim 7) lim 8)lim 9) lim (x4 x2 x 1) 10) lim ( 2x3 3x2 5) x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 x 4 x x x2 1 x x 3 11)lim x2 2x 5 12)lim 13) lim x x 5 2x x 2 x2 x 4 Bài 2. Tìm các giới hạn sau: x2 x 2x x2 x 5 1)lim 2) lim x2 1 x 3)lim 2x2 1 x 4) lim x 2x 3 x x x 2x 1 x2 3x x 4x2 x 1 x2 2x 3 4x 5)lim 6)lim 7) lim (3x3 5x2 7) 8) lim x x 2 x 1 2x x x 4x2 1 x 1 Bài 3.Tìm các giới hạn sau: 1 3 1 x 3 1 x 1 x 3 1 x2 1 2x 1)lim 2) lim 3) lim 2 x 0 3x x 0 x x 0 x x Bài 4. Tìm giới hạn bên phải, bên trái và giới hạn (nếu có) của cá hàm số: x2 4 , x 2 2 | x | 1 , x 2 x 2 1)f (x) khi x 2 ; 2)f (x) khi x 2 2x2 1 , x 2 x 6 2 , x 2 x 2 Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số sau có giới hạn khi x 1 ? Tìm giới hạn đó. x3 1 1 3 , x 1 , x 1 1)f (x) x 1 2) f (x) x 1 x3 1 mx 2 , x 1 mx 2 , x 1 HÀM SỐ LIÊN TỤC  Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa:  Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; b và x0 a; b . Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: lim f (x) f (x0 ) x x0  Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f x .  Theo định nghĩa trên, hàm số f x xác định trên khoảng a; b là liên tục tại điểm x a; b nếu và chỉ nếu lim f (x) và lim f (x) tồn tại và lim f (x) lim f (x) f (x ) 0 0 x x0 x x0 x x0 x x0  Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn  Hàm số f x xác định trên khoảng a; b được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.  Hàm số f x xác định trên đoạn a; b được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên khoảng a; b và lim f (x) f (a) , lim f (x) f (b) (liên tục bên phải tại a và bên trái tại b ) x a x b Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.  Tính liên tục của một số hàm số:  Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàn số liên tục tại
4. điểm đó (giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).  Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.  Các hàm y sin x, y cos x, y tan x, y cot x liên tục trên tập xác định của chúng.  Tính chất của hàm số liên tục  Định lí: (Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) Giả sử hàm số liênf tục trên đoạn a . ;Nếu b f a f thì b với mỗi số thực nằmM giữa f a và f b , tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho f c M .  Hệ quả 1:Nếu hàm f liên tục trên a; b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho f c 0 .  Hệ quả 2:Nếu hàm f liên tục trên a; b và f x 0 vô nghiệm trên a; b thì hàm số f có dấu không đổi trên a; b . Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x0 đã chỉ ra: x2 3x 2 x 1 khi x 2 2 khi x 1 a)f (x) x 2 (x0 2) b) f (x) x 1 (x0 1) 1 khi x 2 2 khi x 1 x3 x2 x 1 2 khi x 1 c) f (x) x 3x 2 (x0 1) 1 khi x 1 Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x0 đã chỉ ra: x 5 (x 1)2 khi x 0 khi x 5 a)f (x) (x0 0) b) f (x) 2x 1 3 (x0 5) 1 khi x 0 2 (x 5) 3 khi x 5 Bài 3. Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x0 : x3 x2 2x 2 x2 3x 2 khi x 1 2 khi x 2 a)f (x) x 1 (x0 1) b) f (x) x 2x (x0 2) 3x m khi x 1 mx m 1 khi x 2 x 2 2 x2 4x 3 khi x 2 khi x 1 c)f (x) x 7 3 (x0 2) d) f (x) x 1 (x0 1) 2 x 3mx khi x 2 12 m khi x 1 Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau: x2 2 2 1 khi x 2 a)f (x) x x 3 b) f (x) 1 x 2 x c) f (x) x 2 x 2 2 2 khi x 2 x3 27 3 1 2 khi x 3 x 8 khi x 1 x 9 khi x 2 x 2 d) f (x) 4x 8 e)f (x) f) f (x) 5 khi x 3 1 3 khi x 2 khi x 1 2x 1 khi x 3 x x2 x khi x 1 Bài 5. Tìm m để hàm số f (x) 1 khi x 1 liên tục trên tập xác định của nó mx 1 khi x 1 Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số f theo a :
5. x3 x2 2x 2 x3 5x2 5x 3 khi x 1 khi x 3 1)f (x) x 1 2) f (x) x2 9 a khi x 1 a 4x khi x 3 x3 8 x2 x 2 khi x 2 khi x 2 3)f (x) x 2 4) f (x) x 2 a khi x 2 a x khi x 2 Bài 7. Định a để hàm số f liên tục trên ¡ : x2 3x 2 x 1 khi x 1 2 khi x 2 1)f (x) x 2x 2) f (x) 2 3 ax khi x 1 ax a 1 khi x 2 3 3x 2 2 2 khi x 2 x 1 khi x 2 x 2 3)f (x) 4) f (x) 3x a khi x 2 1 ax khi x 2 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số f tại:x0 x3 x 2 x3 x2 x 1 khi x 1 khi x 1 3 1)f (x) 2 tại x 1 2) f (x) x 1 tại x 1, x 3x 2 0 0 4 1 khi x 1 khi x 1 3 1 2x 3 x 2 khi x 2 khi x 4 3)f (x) tại x 2 4) f (x) tại x 4 . 2 x 0 x 5 3 0 1 khi x 2 1 khi x 4 x2 4x 3 x 5 khi x 3 khi x 5 5)f (x) x 3 tại x0 3 . 6) f (x) 2x 1 3 tại x0 5, x0 6 . 2 2x 4 khi x 3 (x 5) 3 khi x 5 Bài 2. Định a để hàm số f liên tục tại x0 : x2 6x 5 khi x 1 2x 1 x 5 x2 1 khi x 4 1)f (x) tại x0 1 . 2) f (x) x 4 tại x0 4 . 5 a khi x 1 a 2 khi x 4 2 x2 x 2 khi x 2 3)f (x) x 2 tại x0 2 . a khi x 2 Bài 3. Định a, b để hàm số f liên tục tại x0 : 1 x 1 x 3 3x 2 2 khi x 0 khi x 2 x x 2 1)f (x) tại x0 0 . 2) f (x) tại x0 2 . 4 x 4 a khi x 0 ax khi x 2 x 2 4
6. Chứng minh phương trình có nghiệm BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Chứng minh phương trình: a)3x3 12x 1 0 có ít nhất một nghiệm. b)x5 x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2) . c)x5 5x3 4x 1 0 có đúng 5 nghiệm. d)x2 cos x xsin x 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) . e)x3 x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn.– 1 Bài 2. Chứng minh phương trình 2x 6 3 1 x 3 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-7;9) 4 2 3 Bài 3. Chứng minh phương trình x x 4 0 có ít nhất một nghiệm x0 thỏa mãn x0 4 Bài 4. Chứng minh rằng với mọi m phương trình: 3 2 luôn có một nghiệm dương. x mx 1 0 Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m phương trình: | x |3 mx2 m 1 x 2 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 7. Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 luôn luôn có nghiệm thuộc khoảng (0;1) với mọi tham số trong trường hợp 2a 3b 6c 0 . Bài 8. Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 luôn luôn có nghiệm với mọi tham số trong trường hợp 12a 15b 20c 0 .