Bài tập Giải tích Lớp 12: Nguyên hàm - Tích phân

Nội dung text: Bài tập Giải tích Lớp 12: Nguyên hàm - Tích phân

1. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN §1. NGUYÊN HÀM I. Tính nguyên hàm bằng định nghĩa, tính chất A. Tóm tắt lý thuyết 1 . Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: F'(x) f (x) , x K Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: f (x)dx F(x) C , C R. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất f '(x)dx f (x) C f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx (k 0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp xn 1 1)k.dx k.x C 2) xndx C n 1 1 1 1 3)dx C 4) dx ln x C x2 x x 1 1 1 1 5)dx C ; 6) dx ln ax b C (ax b)n a(n 1)(ax b)n 1 (ax b) a 7) sin x.dx cos x C 8) cos x.dx sin x C 1 1 9) sin(ax b)dx cos(ax b) C 10) cos(ax b)dx sin(ax b) C a a 1 1 11) dx (1 tan2 x)dx tan x C 12) dx (1 cot2 x)dx cot x C 2 2 cos x sin x 1 1 1 1 13) dx tan(ax b) C 14) dx cot(ax b) C 2 2 cos (ax b) a sin (ax b) a 15) exdx ex C 16) e xdx e x C 1 1 (ax b)n 1 17) e(ax b)dx e(ax b) C 18) (ax b)n .dx . C (n 1) a a n 1 a x 1 19) a xdx C 20) dx arctan x C 2 ln a x 1 1 1 x 1 1 x 21) dx ln C 22) dx arctan C x2 1 2 x 1 x2 a 2 a 1 1 x a 1 23)dx ln C 24) dx arcsin x C 2 2 2 x a 2a x a 1 x 1 x 1 25)dx arcsin C 26) dx ln x x2 1 C 2 2 2 a x a x 1 1 x a 2 x 27)dx ln x x2 a 2 C 28) a 2 x2 dx a 2 x2 arcsin C 2 2 x a 2 2 a Trang 1
2. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x a 2 29) x2 a 2 dx x2 a 2 ln x x2 a 2 C 2 2 d MÁY TÍNH: (F(x)) f (X ) 0 ; dx x X Bài tập Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 7x . 7x 7x 1 A. 7x dx 7x ln 7 C B. 7x dx C C. 7x dx 7x 1 C D. 7x dx C ln 7 x 1 Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) cos 2x . 1 1 A. B. f (x)dx sin 2x +C f (x)dx sin 2x +C 2 2 C. f (x)dx 2sin 2x +C D. f (x)dx 2sin 2x +C 1 f (x) Câu 3 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 2x2 x f (x)ln x ln x 1 ln x 1 A. f (x)ln xdx 2 2 C B. f (x)ln xdx 2 2 C x 2x x x ln x 1 ln x 1 C. f (x)ln xdx 2 2 C D. f (x)ln xdx 2 2 C x x x 2x 1 f (x) Câu 4 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f (x)ln x . ln x 1 ln x 1 A. f (x)ln xdx C B. f (x)ln xdx C x3 5x5 x3 5x5 ln x 1 ln x 1 C. f (x)ln xdx C D. f (x)ln xdx C x3 3x3 x3 3x3 Câu 5: Cho F(x) x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . A. f (x)e2x dx x2 2x C B. f (x)e2x dx x2 x C C. f (x)e2x dx 2x2 2x C D. f (x)e2x dx 2x2 2x C Câu 6 : Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? b b b b a A.  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx .B. f (x)dx . f (x)dx a a a a b b b b b C. kf (x)dx k f (x)dx . D. . xf (x)dx x f (x)dx a a a a 1 Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f '(x)= và f (1)= 1 thì f (5) có giá trị bằng 2x - 1 A. ln 2. B. ln 3. C. ln 2 + 1. D. ln 3+ 1. Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ex (2 e x ) A. .2 ex x CB. . C. .e x e x D.C . 2ex x C 2ex 2x C Trang 2
3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN x 2 é ù Câu 9. Cho F(x) = ò(t + t)dt . Giá trị nhỏ nhất của F(x) trên ëê- 1;1ûú là: 1 1 5 5 A. B. 2 C. - D. 6 6 6 Câu 10.( Chuyên Thái Bình – Lần 3) Một nguyên hàm F (x) của hàm số f x 4x.22x 3 thỏa mãn 3 2 F(1).ln 2 F (0) = . Tính A ln 2 210 A. A 1. B. A 8. C. A 16. D. A 32. Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 . 2 1 A. f (x)dx (2x 1) 2x 1 C . B. f (x)dx (2x 1) 2x 1 C . 3 3 1 1 C. .D.f (x)dx 2x 1 C . f (x)dx 2x 1 C 3 2 Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) e4x 2 . 1 A. f x dx e2x 1 C . B. f x dx e2x 1 C . 2 1 1 C. f x dx e4x 2 C . D. f x dx e2x 1 C . 2 2 2 Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 sin 3x 2 2 sin 6x 2 2 sin 6x A. x cos3x C . B. x cos3x C . 3 3 12 3 3 12 2 2 sin 6x 1 2 sin 6x C. x cos3x C . D. x cos3x C . 3 3 12 3 3 12 Câu 14. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f '(x)= 2x + 1 và f (1)= 5 . Phương trình f (x)= 5 có hai nghiệm x1, x2 . Tính tổng S = log2 x1 + log2 x2 A. S = 0. B. S = 1. C. S = 2. D. S = 4. 1 Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 2x 1 A. f x dx 2x 1 C . B. f x d .x 2 2x 1 C 2x 1 C. f x dx C . D. f x dx 2 2x 1 C . 2 1 Câu 16. Nếu f (x)dx = + ln x + C thì f (x) là ò x 1 1 x - 1 A. . f (x)= - B.+ ln x + C . C.f ( x.D.)=.- x + + C f (x)= x + ln x + C f (x)= x 2 x x 2 1  2 Câu 17. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x , f 0 1 và f 1 2 . Giá 2 2x 1 trị của biểu thức f 1 f 3 bằng A. .4 ln15 B. . 2 C.ln 1. 5 D. . 3 ln15 ln15 Trang 3
4. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN II. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, từng phần A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương pháp đổi biến số é ù é ù Nếu ò f (x)dx = F (x)+ C thì ò f ëu(x)û.u '(x)dx = F ëu(x)û+ C . Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ò f (x)dx , trong đó ta có thể phân tích f (x)= g(u(x))u '(x) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u(x) , suy ra dt = u '(x)dx . é ù Khi đó ta được nguyên hàm: ò g(t)dt = G(t)+ C = G ëu(x)û+ C. Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x) . 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] . Khi đó: òudv = uv - òvdu. (*) Để tính nguyên hàm ò f (x)dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = udv [chú ý dv = v '(x)dx ]. Sau đó tính v = ò dv và du = u '.dx . Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính òvdu . Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân òvdu dễ tính hơn òudv . Ta thường gặp các dạng sau ésin(a x + b) ù ● Dạng 1. I = P x ê údx , trong đó P x là đa thức. ò ( )ê ú ( ) ëcos(a x + b)û ì ï u = P (x) ï Với dạng này, ta đặt í ésin(a x + b) ù . ï dv = ê údx ï ê ú îï ëcos(a x + b)û ● Dạng 2. I = ò P (x)e ax + b dx , trong đó P (x) là đa thức. ì ï u = P (x) Với dạng này, ta đặt í . ï ax + b îï dv = e dx ● Dạng 3. I = ò P (x)ln(mx + n)dx , trong đó P (x) là đa thức. ì ï u = ln(mx + n) Với dạng này, ta đặt í . ï îï dv = P (x)dx ésin(a x + b) ù ● Dạng 4. I = ê úe ax + b dx . ò ê ú ëcos(a x + b)û ïì ésin(a x + b) ù ï u = ê ú Với dạng này, ta đặt íï êcos(a x + b)ú .(từng phần 2 lần và giữ nguyên cách đặt ) ï ë û ï ax + b îï dv = e dx ● Dạng 5. I = ò g(x). f '(x)dx . ïì u = g(x) Với dạng này, ta đặt íï . îï dv = f '(x)dx Thứ tụ ưu tiên cách chọn u,dv trong tích phân từng phần: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”. Trang 4
5. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài tập Câu 1: Cho F(x) (x 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2 .x Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . 2 x A. f (x)e2x dx (4 2x)ex C B. f (x)e2x dx ex C 2 C. f (x)e2x dx (2 x)ex C D. f (x)e2x dx (x 2)ex C Câu 2: Cho F(x) x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e2x . A. f (x)e2x dx x2 2x C B. f (x)e2x dx x2 x C C. f (x)e2x dx 2x2 2x C D. f (x)e2x dx 2x2 2x C Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x x2 1 . 1 2 A. f (x)dx (x2 1) x2 1 C . B. f (x)dx (x2 1) x2 1 C . 3 3 1 1 C. f (x)dx x2 1 C . D. f (x)dx x2 1 C . 3 2 Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số y cos2 x sinx . 1 1 1 A. cos3 x C . B. cos3 x C . C. cos3 x C . D. sin3 x C . 3 3 3 Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) (x 1)ex . A. xex C . B. 2xex C . C. (x 1)ex C . D. (x 2)ex C . x Câu 6: Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) 2 và F . Tính F . cos x 3 3 4 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 A. F . B. F . C. F . D. F 4 3 2 4 3 2 4 4 2 4 4 2 1 Câu 7: Tìm nguyên hàm I dx 4 x2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 A. I ln C B. I ln C C. I ln C D. I ln C 2 x 2 2 x 2 4 x 2 4 x 2 e x + e- x + 3 13 Câu 8: Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) = và F (0) + F (ln 2) = - . Tính e x + e- x + 2 30 F (ln 4) 1 5 1 3 A. F (ln 4) = ln 2 . B. F (ln 4) = ln 2 . C. F (ln 4) = - ln 2 . D. F (ln 4) = ln 2 . 2 2 2 2 Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f x 4x 1 ln x là A. .2 x2 ln x B. 3 .x 2 C. . D.2x 2. ln x x2 2x2 ln x 3x2 C 2x2 ln x x2 C 1 f (x) Câu 10: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 3x3 x f (x)ln x . ln x 1 ln x 1 A. f (x)ln xdx C B. f (x)ln xdx C x3 5x5 x3 5x5 ln x 1 ln x 1 C. f (x)ln xdx C D. f (x)ln xdx C x3 3x3 x3 3x3 Trang 5
6. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN §2. TÍCH PHÂN I. Tính tích phân bằng định nghĩa, tính chất A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên b [a;b]. Khi đó:. f (x)dx F(x) b F(b) F(a) a a 2. Tính chất của tích phân a b a 1. f (x)dx 0 2. f (x)dx f (x)dx a a b b c c b b 3. f (x)dx f (x)dx f (x)dx (a b c ) 4. k. f (x)dx k. f (x)dx (k ¡ ) a b a a a b b b 5. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx . a a a . Bài tập 1 Câu 1 : Tích phân dx có giá trị bằng 0 A. 1 .B. . 1 C. .D. . 0 2 a Câu 2 : Cho số thực a thỏa mãn ex 1dx e2 1 , khi đó a có giá trị bằng 1 A. 1 . B. .C. .D. . 1 0 2 5 5 Câu 3 : Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho f (x)dx 2 và g(x)dx 4 . Giá trị 1 1 5 của g(x) f (x)dx là 1 A. 6 . B. . 6 C. .D. . 2 2 3 3 Câu 4 : Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu f (x)dx 2 thì tích phân x 2 f (x)dx có giá 0 0 trị bằng 5 1 A. 7 .B. . C. . D.5 . 2 2 5 3 5 Câu 5 : Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu f (x)dx 2 và f (x)dx 7 thì f (x)dx có giá 1 1 3 trị bằng A. 5 . B. 5 . C. .D. . 9 9 4 Câu 6: Nếu f 1 12 , f ' x liên tục và f ' x dx 17 . Giá trị của f 4 bằng 1 A. 29 B. 5 C. 15 D. 19 sin x 2 sin x Câu 7: Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y trên khoảng (0; ) . Khi đó dx có x 1 x giá trị bằng Trang 6
7. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN A. F(2) F(1) . B. .C. F(1) .D. .F(2) F(2) F(1) § 3. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ I. PHƯƠNG PHÁP Một số phân tíchthường gặp: æ ö 1 1 ç a b ÷ · = ×ç - ÷× (ax + m) ×(bx + n) an - bm èçax + m bx + n ÷ø 1 1 1 æ 1 2 ö Ví dụ 1: = = ×ç - ÷× 2 ç ÷ 2x - 3x - 5 (x + 1)(2x - 5) 1.(- 5) - 1.2 èçx + 1 2x - 5ø÷ P(x) A B C · = + + ×××+ × n x - x 2 n (x - xo ) o (x - xo ) (x - xo ) 3x 2 - 5x + 2 A B C Ví dụ 2: = + + × (x - 1)3 x - 1 (x - 1)2 (x - 1)3 P(x) A B C · = + + + ××× (x - x1)(x - x2)(x - x3) ××× x - x1 x - x2 x - x3 2x 2 - x A B C Ví dụ 3: = + + × (x - 1)(x + 3)(x + 8) x - 1 x + 3 x + 8 Trang 7
8. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1 A Bx + C · = + , với D = b2 - 4ac 0 B. . c 0 1 xdx Câu 10. Cho a bln 2 c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của3 a b c bằng 2 0 x 2 A. . 2 B. . 1 C. . 2 D. . 1 Trang 8
9. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1 x7 Câu 11: Tích phân dx bằng 2 5 0 (1 x ) 1 2 (t 1)3 3 (t 1)3 1 2 (t 1)3 3 4 (t 1)3 A. .B. dt . C. dt .D. . dt dt 5 5 4 4 2 1 t 1 t 2 1 t 2 1 t 4 3 1 Câu 12: Tích phân I dx bằng 4 1 x(x 1) 3 1 3 1 3 1 3 A. ln .B. .C. .Dl.n . ln ln 2 3 2 5 2 4 2 a dx Câu 13: Với 0 a 1 , giá trị của tích phân sau dx là: 2 0 x 3x 2 a 2 a 2 a 2 a 2 A lB.n .C D. . ln ln ln 2a 1 a 1 2 a 1 2a 1 1 4x3 Câu 14: Cho 2 3m dx 0 . Khi đó giá trị của 144m2 1 bằng 4 2 0 (x 2) 2 2 3 2 3 A. . B. . 4 3 1 C. . D. . 3 3 3 a dx b B Câu 15: Biết rằng A ,2dx B (với a,b 0 ). Khi đó giá trị của biểu thức 4aA bằng 2 2 0 x a 0 2b A. 2 .B. . C. . D.3 . 4 2 x2 Câu 16: Tích phân I dx có giá trị bằng 2 1 x 7x 12 A. 5ln 2 6ln 3 .B. 1 2ln 2 . 6l nC3. 3 5ln 2 . D. 7 ln 3 1 25ln . 2 16ln 3 2 x2 5x 2 Câu 17: Biết dx a bln 3 c ln 5 , a,b,c ¤ . Giá trị của abc bằng 2 0 x 4x 3 A B.8.C D 10 12 16 0 3x2 5x 1 2 Câu 18: Giả sử rằng dx a ln b . Khi đó, giá trị của a 2b là 1 x 2 3 A. .3 0 B. . 60 C. . 50 D 40 2 3sin x cos x 11 b Câu 19: Biết dx ln 2 bln 3 c b,c Q . Tính ? 0 2sin x 3cos x 3 c 22 22 22 22 A B C D 3 3 3 13 4 x3 x2 7x 3 a a Câu 20: Biết dx c ln 5 với a,b,c là các số nguyên dương và là phân số tối 2 1 x x 3 b b 2 3 giản. Tính P a b c . A B.5.C.5. 4D.0. Trang 9
10. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1 4x2 15x 11 Câu 21: Cho dx a bln 2 c ln 3với a,b,c là các số hữu tỷ. Biểu thức T a.c b 2 0 2x 5x 2 bằng 1 1 A 4B C D.6. 2 2 1 1 a Câu 22: Biết rằng dx a,b ¢ ,a 10 . Khi đó a b có giá trị bằng 2 0 x x 1 b A 1B.4. C 15 D 13 12 §4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN LOẠI 1 b 1. Phương pháp đổi biến chung để tính I f (x).g(x).dx . Nếu có f '(x) k.g(x) thì đặt a t f (x) và ngược lại 2. Một số cách đổi biến hay gặp Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ 3 3 x dx 1 Có f (x), 3 f (x) t căn I . Đặt t x 1 0 x 1 1 2 Có (ax b)n t ax b I x(x 1)2016 dx . Đặt t x 1 0 etan x 3 3 Có a f (x) t f (x) I 4 dx . Đặt t tan x 3 0 cos2 x dx t ln x hoặc biểu e ln xdx 4 Có và ln x I . Đặt t ln x 1 x thức chứa ln x 1 x(ln x 1) x ln 2 2x x x x t e hoặc biểu thức I e 3e 1dx . Đặt t 3e 1 5 Có e dx 0 chứa ex 6 Có sin xdx t cos x I 2 sin3 xcos xdx . Đặt t sin x 0 3 sin x 7 Có cos xdx t sin xdx I dx Đặt t 2cos x 1 0 2cos x 1 1 1 dx I 4 dx 4 (1 tan2 x) dx 8 Có t tan x 0 cos4 x 0 cos2 x cos2 x Đặt t tan x dx ecot x ecot x 9 Có t cot x I 4 dx dx . Đặt t cot x 2 1 cos2x 2 sin x 6 2sin x Chú ý: Nếu biểu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng hữu tỉ mà không có một trong các dấu hiệu trên thì chúng ta có thể sử dụng cách đặt t mẫu số 3. Các ví dụ 3.1. Hàm ẩn Ví dụ 1. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y x3 sin5 x trên khoảng (0; ) . Khi đó tích phân 2 81x3 sin5 3xdx có giá trị bằng 1 A. 3F(6) F(3) .B. F(6) . F (3) C. .D. 3F(2) F . (1) F(2) F(1) Trang 10
11. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 6 2 Ví dụ 2. [ĐỀ 2017] Cho ò f (x)dx = 12 . Tính I = ò f (3x)dx . 0 0 A. I = 6 B. I = 36 C. I = 2 D. I = 4 9 f ( x ) Ví dụ 3. Cho f (x) là các hàm số liên tục trên ¡ thỏa mãn I = ò dx = 4 và 1 x p 2 3 J = ò f (sin x)cos xdx = 2 . Tính tích phân .K = ò f (x)dx 0 0 A. K = 2 B. K = 4 C.K = 6 D. K = 10 3.2. Hàm vô tỉ 3 x 2 Ví dụ 1. Biến đổi ò dx thành ò f (t )dt , với t = 1+ x . Khi đó f (t ) là hàm nào trong 0 1+ 1+ x 1 các hàm số sau? A. .f (t ) =B.2 .t 2 - 2tC. . D.f ( t. ) = t 2 + t f (t ) = t 2 - t f (t ) = 2t 2 + 2t 1 Ví dụ 2. Tích phân I x x2 1dx có giá trị là 0 3 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 A. .B. .C. .D. . 3 3 2 2 0 Ví dụ 3. Tính tích phân I x.3 x 1dx 1 9 3 11 9 A.I B. I C. I D. I 8 28 28 28 27 æ ö x 2 ç 2÷ 5p Ví dụ 4. Kết quả tích phân I dx có dạng I = 5ç 3 - 1+ ln ÷- 3 2 ç 3÷ 12 1 x x è ø æ ö ç a p÷ I = 5ç b - 1+ ln + ÷ a, b, c Î ¢ . Tính tổng S = a + b - c èç 3 c ø÷ A . S 17 B. S 7 C. S 10 D. S 27 1 dx Ví dụ 5. Tính tích phân I 2 11 x 1 x 4 9 A. I 1 ln B. I 1 ln C. I 1 ln3 D. I 1 7 7 1 dx a b 3 Ví dụ 6. Tính tích phân I ln ,a, b Î ¢ . Tính tổng S = a - 3b (HD đặt 2 0 1 x x 3 3 2 3 x 1 x x2 t . )ĐS I ln 3 A.S = 3 B. S = - 3 C.S = 5 D.S = - 8 Trang 11
12. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2 dx Ví dụ 7. Biết I a b c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 x 1 x x x 1 P a b c . A. .P 24 B. . P 1C.2 . D.P . 18 P 46 Bài tập 21 dx Câu 1. Cho a ln 3 bln 5 c ln , 7với a,b , làc các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây 5 x x 4 đúng? A.a b 2c B.a b 2c C.a b c D. a b c 55 dx Câu 2. Cho a ln 2 bln 5 c ln11 , với a,b,c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây 16 x x 9 đúng? A.a b 3c B.a b 3c C.a b c D. a b c 2 Câu 3. Tính tích phân I 2x x2 1dx bằng cách đặt u x2 1 , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 3 1 2 3 2 A.I udu B.I udu C.I 2 udu D. I udu 0 2 1 0 1 ln 6 ex Câu 4. Biết tích phân dx a bln 2 c ln 3 , với a , b , c là các số nguyên. Tính x 0 1 e 3 T a b c . A TB. .C. 1.D T 0 T 2 T 1 1 dx Câu 5.Tích phân bằng 0 3x 1 4 3 1 2 A B C D 3 2 3 3 2 dx Câu 6. Biết dx a b vớic a,b , làc các số nguyên dương. Tính 1 (x 1) x x x 1 P a b c A.P 18 B.P 46 C.P 24 D. P 12 e ln x Câu 7. Biết dx a b 2 với a,b là các số hữu tỷ.Tính S a b . 1 x 1 ln x 1 3 2 A SB. .C.1 .D S S S 2 4 3 2 2 Câu 8. Cho tích phân I 16 x2 dx và x 4sin t . Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 4 4 4 4 A IB. . 8 1C. c.D.os.2t dt I 16 sin2 tdt I 8 1 cos2t dt I 16 cos2 tdt 0 0 0 0 5 1 Câu 9. Biết dx a bln 3 c ln 5 (a,b,c Q) . Giá trị của a b c bằng 1 1 3x 1 Trang 12
13. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 7 5 8 4 A B C D 3 3 3 3 1 x 1 b b Câu 10. Cho dx ln d , với a, b, c, d là các số nguyên dương và tối giản. Giá trị 3 1 x 1 a c c 2 của a b c d bằng A.12 B.10 C.18 D.15 7 x3 m m Câu 11 .Cho biết dx với là một phân số tối giản. Tính m 7n 3 2 0 1 x n n A 0B C D 1 2 91 1 dx Câu 12. Biết rằng a ln 2 bln 3 c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 0 3x 5 3x 1 7 a b c bằng 10 5 10 5 A. B. C. D. 3 3 3 3 e ln x Câu 13. Biết dx a b 2 với a,b là các số hữu tỷ.Tính S a b . 1 x 1 ln x 1 3 2 A SB. .C.1 .D S S S 2 4 3 3 x a Câu 14. Cho dx bln 2 c ln 3 với a,b,c là các số nguyên.Giá trị a b c bằng: 0 4 2 x 1 3 A.9 B.2 C.1 D. 7 3 x a a Câu 15. Cho I dx bln 2 c ln d , với a,b,c,d là các số nguyên và là phân số tối 0 4 2 x 1 d d giản. Giá trị của a b c d bằng A.16.B.4.C.28.D 2 a x3 x Câu 16. Tính I dx . 2 0 x 1 1 A I a2 1 a2 1 1 B I a2 1 a2 1 1 3 1 C ID. . a2 1 a2 1 1 I a2 1 a2 1 1 3 1 2 x Câu 17. Giá trị của tích phân dx bằng tích phân nào dưới đây? 0 1 x 1 4 2 sin2 x 4 sin2 y 2 A B.2.sC.in.2D.y.dy dx dy 2sin2 ydy 0 0 cos x 0 cosy 0 2 2 x b a Câu 18. Biết dx ln 5 c ln 2 với a,b,c là các số nguyên và phân số là tối 2 2 3 x 1 x 1 a b giản.Tính P 3a 2b c . A 1B.1.C D 12 14 13 Trang 13
14. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 4 25 x2 5 6 12 Câu 19. Cho tích phân với a,b,c,d là các số hữu tỉ. dx a b 6 c ln d ln 2 1 x 5 6 12 Tính tổng a b c d . 1 3 3 3 A B C D 3 25 2 20 1 dx Câu 20. Cho tích phân I nếu đổi biến số x 2sin t,t ; thì ta được. 2 0 4 x 2 2 π π π π 3 6 4 6 dt A IB. .C. d.D.t . I dt I tdt I 0 0 0 0 t 1 x3 a b c Câu 21. Biết dx với a, b, c là các số nguyên và b 0 . Tính P a b2 c . 2 0 x 1 x 15 A PB. . 3 C D P 7 P 7 P 5 1 n Câu 22. Cho n là số nguyên dương khác 0 , hãy tính tích phân I 1 x2 xdx theo n . 0 1 1 1 1 A IB. .C D I I I 2n 2 2n 2n 1 2n 1 64 dx 2 Câu 23. Giả sử I a ln b với a, b là số nguyên. Khi đó giá trị a b là 3 1 x x 3 A B.15.7 C D 5 17 2 x Câu 24. Biết dx a b 2 c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính P a 2b c 7 . 2 1 3x 9x 1 1 86 67 A B C D 2 9 27 27 2 dx Câu 25. Biết a b c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 x x 1 x 1 x P a b c . A P 44 B. . P C.42 . D. . P 46 P 48 4 2x 1dx 5 Câu 26. Biết a bln 2 c ln a,b,c ¢ . Tính T 2a b c . 0 2x 3 2x 1 3 3 A TB. .C.4.D T 2 T 1 T 3 3.3. Hàm mũ, lũy thừa, lôgarit 1 6 Ví dụ 1. Giá trị của tích phân I x5 1 x3 dx là 0 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 167 168 166 165 1 7x 1 99 Ví dụ 2. Giá trị của tích phân:I dx là 101 0 2x 1 1 1 1 1 A. 2100 1 .B 21C01. 1 .D. 299 1 . 298 1 900 900 900 900 Trang 14
15. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ln3 ex Ví dụ 3. Giá trị của tích phân I dx là x 3 0 e 1 A. 2 2 1 .B. .C. 2 .D1. . 2 2 2 2 2 2 e dx Ví dụ 4. Giá trị của tích phân I là e x ln x A. 2ln 3 .B. .C. . D. ln 3 . ln 2 2ln 2 e 8ln x 1 Ví dụ 5. Tích phân I dx bằng 1 x 13 3 3 A. 2 .B. .C. .D. . ln 2 ln 3 6 4 5 1 6x dx Ví dụ 7. Tính I x x x 0 9 3.6 2.4 ln 5 ln14 ln16 ln14 ln15 ln14 ln15 ln 4 A.I B. I C. I D. I ln 6 ln 2 ln 4 ln 2 ln 4 ln 2 ln3 ln 2 Bài tập 1 dx 1 e Câu 1. Cho a bln , với a, b là các số hữu tỉ. Tính S a3 b3 . x 0 e 1 2 A SB. . 2 C D S 0 S 1 S 2 e 3ln x 1 Câu 2. Cho tích phân I dx . Nếu đặt t ln x thì 1 x 1 3t 1 e 3t 1 e 1 A IB. . C.dt. D I dt I 3t 1 dt I 3t 1 dt t 0 e 1 t 1 0 e ln x c Câu 3. Cho I dx a ln 3 bln 2 , với a,b,c ¢ . Khẳng định nào sau đâu đúng. 2 1 x ln x 2 3 A aB.2 . C.b.2 c2D. .1 a2 b2 c2 11 a2 b2 c2 9 a2 b2 c2 3 4 Câu 4. Biết I x ln x2 9 dx a ln 5 bln 3 c trong đó a,b,c là các số thực. Giá trị của biểu thức 0 T a b c là: A.T 11. B.T 9. C.T 10. D.T 8. e ln x Câu 5. Cho I dx có kết quả dạng I ln a bvới a 0 , b ¡ . Khẳng định nào sau đây 2 1 x ln x 2 đúng? 3 1 3 1 A 2B.ab. 1 C D.2. ab 1 b ln b ln 2a 3 2a 3 e 2ln x 1 a c a c Câu 6. Cho dx ln với a , b , c là các số nguyên dương, biết ; là các phân số 2 1 x ln x 2 b d b d tối giản. Tính giá trị a b c d ? A 1B.8 . C D.15. 16 17 Trang 15
16. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1 x3 2x ex3.2x 1 1 e Câu 7. Biết dx ln p với m , n , p là các số nguyên dương. x 0 e.2 m eln n e Tính tổng S m n p . A. .S 6 B. . S 5 C. . S D.7 . S 8 e 3x3 1 ln x 3x2 1 Câu 8. Cho dx a.e3 b c.ln e 1 với a,b, c là các số nguyên và lne 1 . 1 1 x ln x Tính P a 2 b2 c 2 . A PB. . 9 C D P 14 P 10 P 3 ln 2 dx 1 Câu 9. Biết I ln a ln b ln c với a , b , c là các số nguyên dương. 0 ex 3e x 4 c Tính P 2a b c . A PB. . 3 C D. P 1 P 4 P 3 2 x 1 Câu 10. Biết dx ln ln a b với a , b là các số nguyên dương. Tính P a2 b2 ab . 2 1 x x ln x A 1B.0 . C 8D 12 6 1 x2 x ex Câu 11. Cho dx a.e bln e c với a , b , c . Tính P a 2b c . x ¢ 0 x e A PB. . 1 C D P 1 P 0 P 2 3.4. Nhóm tách theo mẫu + đổi biến (Thường là đổi biến bằng mẫu số) Ví dụ 1. Tính các tích phân sau 1 x ln(x2 1) x3 e x2 ln x x2 ln2 x 1. dx 2. dx 2 2 2 0 x 1 1 x (1 ln x) e x2 ex 2x2ex 4 x sin x (x 1)cos x 3. dx 4. dx x 1 1 2e 0 x sin x cos x e x 1 ln x 2 e 1 a Ví dụ 2. Biết dx a.e b.ln trong đó a,b là các số nguyên. Khi đó, tỷ số là 1 1 x ln x e b 1 A. . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 3.5. Tích phân lượng giác 1. Tính I = òcosm(ax + b)sinn (ax + b)dx * Phương pháp chung: + Nếu m = n = 1 thì sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng → nguyên hàm cơ bản + Nếu m là số nguyên lẻ đặt sinn (ax + b) = t + Nếu n là số nguyên lẻ đặt cosn (ax + b) = t + Nếu m,n là các số nguyên chẵn thì hạ bậc sinn (ax + b) và cosm (ax + b) * Các công thức lượng giác hay sử dụng I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Hệ thức cơ bản: 1 1 a)sin2 a + cos2 a = 1; b)tan a cot a = 1 c)1+ tan2 a = ; d) 1+ cot 2 a = cos2 a sin2 a 2. Cung liên kết: Trang 16
17. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Cung đối Cung hơn kém p Cung bù nhau Cung phụ nhau Cung hơn kém nhau p 2 æ ö æ ö çp ÷ sin(p + a) = - sin a çp ÷ cos(- a) = cosa sin(p - a) = sin a sinç - a÷= cosa sinç + a÷= cosa èç2 ÷ø èç2 ø÷ æ ö æ ö sin(- a) = - sin a çp ÷ cos(p + a) = - cosa çp ÷ cos(p - a) = - cosa cosç - a÷= sin a cosç + a÷= - sin a èç2 ø÷ èç2 ø÷ æ ö æ ö tan(- a) = - tan a tan(p - a) = - tan a çp ÷ çp ÷ tanç - a÷= cot a tan(p + a)= tan a tanç + a÷= - cot a èç2 ø÷ èç2 ø÷ æ ö æ ö cot(- a) = - cot a çp ÷ çp ÷ cot(p - a) = - cot a cot ç - a÷= tan a cot(p + a)= cot a cot ç + a÷= - tan a èç2 ø÷ èç2 ø÷ 3 Công thức nhân đôi: sin 2a = 2sin a.cosa cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a 2tan a cot 2 a - 1 tan 2a = ; cot 2a = 1- tan2 a 2cot a Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 3 2 1- cos2a sin 3a = 3sin a - 4sin a sin a = 2 cos3a = 4cos3 a - 3cosa 1+ cos2a cos2 a = 3tan a - tan3 a 2 tan 3a = 1- cos2a 1- 3tan2 a tan2 a = 1+ cos2a a 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : 2 a 2t 1- t 2 2t Đặt: t = tan (a ¹ p + 2kp) thì: sin a = ; cosa = ; tan a = 2 1+ t 2 1+ t 2 1- t 2 1 cosa.cosb = écos(a - b) + cos(a + b)ù 2 ëê ûú 1 5. Công thức biến đổi tích thành tổng: sina.sinb = écos(a - b) - cos(a + b)ù 2 ëê ûú 1 sina.cosb = ésin(a - b) + sin(a + b) ù 2 ëê ûú f (cosu) u 2. Tính I = ò dx . Phương pháp chung: t = tan f (sinu) 2 Các ví dụ p 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I = ò sin2 x.cos3 xdx. 0 2 1 4 8 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 15 15 15 15 p Ví dụ 2. Tích phân òcos2 x sinxdx bằng 0 Trang 17
18. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2 2 3 A. - B. C. D. 0 3 3 2 p 2 Ví dụ 3. Tính tích phân I = ò cos2x(sin4 x + cos4 x)dx 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 p 4 Ví dụ 4. Giá trị của tích phân ò tan4 xdx là : 0 p p 3 128 p 3 A. B. - C. D. - 4 4 4 315 4 2 p 3 dx Ví dụ 5. Tính tích phân I = ò 2 4 p sin x.cos x 4 8 3 - 4 3 - 4 8 3 + 4 8 3 - 4 A. I = B. I = C. I = D. I = 3 2 3 3 3 p dx Ví dụ 6. Tính tích phân I = ò p 2 + 3 sin x - cosx 3 1 1 1 1 A. I = . B. I = C. I = D. I = 3 2 3 4 3 4 2 2 Ví dụ 7. Giá trị của tích phân I cos4 xsin2 xdx là 0 A. I .B. .C. I .D. . I I 32 16 8 4 Bài tập Câu 1. Tính tích phânI cos3 x.sin xdx . 0 1 1 A.I B.I 4 C.I 4 D. I 0 4 4 2 cos x 4 Câu 2. Cho dx a ln b, tính tổng S a b c 2 0 sin x 5sin x 6 c A SB. .C.1 .D S 4 S 3 S 0 2 Câu 3. Cho tích phân I 2 cos x.sin xdx . Nếu đặt t 2 cos x thì kết quả nào sau đây đúng? 0 2 3 2 2 A IB. . tdt C D.I . tdt I 2 tdt I tdt 3 2 3 0 Trang 18
19. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 4 sin2 x Câu 4. Tính tích phân I dx bằng cách đặt u tan x , mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 0 cos x 4 2 1 1 1 A IB. . u2du C D I du I u2du I u2du 2 0 0 u 0 0 π 3 sin x Câu 5. Tính tích phân I dx . 3 0 cos x 5 3 π 9 9 A IB. . C D I I I 2 2 3 20 4 2 sin x Câu 6. Cho tích phân dx a ln 5 bln 2 với a, b ¢ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? cos x 2 3 A.2a b 0. B.a 2b 0. C.2a b 0. D. a 2b 0. a 2 Câu 7. Có bao nhiêu số a 0;20 sao cho sin5 xsin 2xdx . 0 7 A.10.B.9.C.20.D.19. sin 2x cos x Câu 8. Biết F(x) nguyên hàm của hàm số f (x) và F(0) 2 . Tính F 1 sin x 2 2 2 8 2 2 8 4 2 8 4 2 8 A.F B.F C.F D. F 2 3 2 3 2 3 2 3 6 dx a 3 b Câu 9. Biết , với a,b ¢ ,c ¢ và a,b,c là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị 0 1 sin x c của tổng a b c bằng A 5B C D.12. 7 1 2 sinx Câu 10. Cho tích phân số dx a ln 5 bln 2 với a,b ¢ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? cos x 2 3 A.2a b 0. B.a 2b 0. C 2 a b 0.D a 2b 0. 2 sin x 4 Câu 11. Cho dx a ln b , với a , b là các số hữu tỉ, c 0 . Tính tổng 2 0 cos x 5cos x 6 c S a b c . A. .S 3 B. . S 0 C. . S D.1 . S 4 3.6. Một số lớp hàm đặc biệt Trang 19
20. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN a 1) Nếu hàm số f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [- a;a] với a>0 thì f (x)dx 0 a 1 Ví dụ: (x3 2x)dx 0 vì hàm số f (x) x3 2x là hàm số lẻ 1 a a 2) Nếu hàm số f (x) chẵn và liên tục trên đoạn [- a;a] với a>0 thì f (x)dx 2 f (x)dx a 0 1 1 Ví dụ: (x4 7x2 3)dx 2 (x4 7x2 3)dx vì hàm số f (x) x4 7x2 3 là hàm số chẵn 1 0 3) Nếu hàm số f (x) là hàm liên tục trên đoạn [0;1] 2 2 2 sin3 x 2 cos3 x a) f (sin x)dx f (cos x)dx . Ví dụ: dx dx 0 0 0 cos x sin x 0 cos x sin x 2 x.sin3 x 2 sin3 x b) x. f (sin x)dx f (sin x)dx . Ví dụ: dx dx 0 2 0 0 cos x sin x 2 0 cos x sin x *Tổng quát : Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a b x) f (x) thì b a b b x. f (x)dx f (x)dx a 2 a Áp dụng: 1) x. f (sin x)dx f (sin x)dx 2 2 2 2) x. f (cos x)dx f (cos x)dx f (x) 4) Nếu hàm số f (x) chẵn và liên tục trên đoạn ¡ thì dx f (x)dx vôùi R va ø 0 a 1 x a 1 0 1 x4 7x2 3 1 Ví dụ: dx (x4 7x2 3)dx vì hàm số f (x) x4 7x2 3 là hàm số chẵn x 1 2 1 0 b b 5) Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] thì f (x)dx f (a b x)dx a a Ví dụ 1. Tính các tích phân sau: 2 cosn x 2 cos4 x 2 sin6 x 1) dx vôùi n Z+ 2) dx 3) dx n n 4 4 6 6 0 cos x sin x 0 cos x sin x 0 sin x cos x 2 x cosx 1 x4 sin x 4) xsin5 xdx 5) dx 6) dx 2 2 4 sin x x 1 0 1 2 xsin x 7) dx 8) x cos4 x sin3 xdx 2 0 4 cos x 0 Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 1 x4 1 1 x2 sin2 x 1) dx 2) dx 3) dx x x x 1 2 1 1 1 2 3 1 II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN LOẠI 2 Trang 20
21. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN b Giả sử cần tính I = ò f (x)dx ta thực hiện các bước sau a Bước 1. Đặt x = u t [với u t là hàm có đạo hàm liên tục trên éa;bù , f éu t ù xác định ( ) ( ) ëê ûú ëê ( )ûú é ù trên ëêa;bûú và u (a) = a, u (b) = b ] và xác định a, b . b b Bước 2. Thay vào, ta có: I = f éu t ù.u ' t dt = g t dt = G t b = G b - G a . ò ëê ( )ûú ( ) ò ( ) ( ) a ( ) ( ) a a Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại 2 Dấu hiệu (a > 0 ) Cách chọn é é p p ù êx = a sint t Î ê- ; ú ê ê ú a - x 2 .x 2k ê ë 2 2û êx = a cost t Î é0;pù ëê ëê ûú é a é p p ù êx = t Î ê- , ú\ 0 ê ê ú { } ê sint ë 2 2û x 2 - a.x 2k ê ê a ïì pïü x = t Î é0,pù\ íï ýï ê ëê ûú ï ï ëê cost îï 2þï æ ö 2 2k ç p p÷ (x + a)x x = a tant t Î ç- ; ÷ èç 2 2ø÷ æ ö a - x ç p÷ x = a cos2t t Î ç0; ÷ a + x èç 2ø÷ Bài tập p 3 Câu 1. Tính tích phân I = ò sin2 x tan xdx 0 3 3 3 3 A. I = ln2- B. I = ln2+ C. I = - ln2+ D. I = 2ln2+ 8 8 8 8 p 2 Câu 2. Tính tích phân I = ò(sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x)dx . 0 33 13 33 25 A. I = p B.I = p C. I = p D. I = p 128 128 18 128 - p 2 Câu 3. Tính tích phân I = ò cos3xdx . 0 3 3 3 3 3 3 A. I = 3 3 . B. I = C. I = . D.I = 2 4 8 Trang 21
22. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN p 2 Câu 4. Giá trị của tích phân ò cos9 xdx là : p 2 32 64 128 256 A. B. C. D. 315 315 315 315 p 3 Câu 5. Giá trị của tích phân ò sin2 x.tan xdx là : 0 3 3 A. ln2- B. ln2+ C. ln 2 - 3 D. ln 2 + 3 8 8 p 2 Câu 6. Giá trị của tích phân ò cos4 x sin5 xdx là : 0 16 8 4 2 A. B. C. D. 315 315 315 315 p 4 Câu 7. TínhI = ò tan2xdx 0 p p A.I = 2 B. I = ln2 C. I = 1- D. I = 4 3 p 4 1+ sin 2x Câu 8. Giá trị của tích phân dx là : ò 2 0 cos x A. ln2 B. 1 + ln 2 C. ln 2 D. 1+ ln 2 p 4 1- 2sin2 x Câu 9. Giá trị của tích phân dx là : ò 1+ sin 2x 0 A. ln2 B. ln 3 C. ln3 D. ln 2 p 4 cos2x Câu 10. Giá trị của tích phân dx là : ò 1+ 2sin 2x 0 1 1 1 1 A. ln3 B. ln3 C. ln3 D. ln3 2 4 6 8 p 2 sin 3x Câu 11. Giá trị của tích phân dx là : ò 2cos3x + 3 0 ln 3 ln3 1 5 1 5 A. - B. C. - ln D. ln 3 3 6 3 6 3 Trang 22
23. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN p 2 sin 2x.cosx Câu 12. Tính tích phân dx . ò 1+ cosx 0 æ ö 1 1 1 ç 1÷ A. 2çln 2 - ÷ . B. 2ln2- . C. ln2+ . D. 2ln2+ . èç 2ø÷ 2 2 2 p 2 cosx Câu 13. Tính tích phân I=dx . ò 2 0 sin x - 5sin x + 6 4 2 4 A. I = ln . B. I = ln . C. I = ln . D. I = 2ln 2 + 1 . 5 3 3 p 4sin3 x Câu 14. Tính tích phân I = 2 dx ò0 1+ cosx A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 p 2 sin2x.cosx Câu 15. Tính tích phân I = dx ò 1+ cosx 0 A. I = 2ln2- 1 B. I = 2ln 2 + 1 C. I = 3ln2- 1 D. I = 2ln3- 1 p 2 sin2x I = dx Câu 16. Tính tích phân ò 2 0 (2+ sinx) 3 2 3 2 3 2 3 2 A. I = 3ln - B. I = 2ln + C. I = 4ln - D. I = 2ln - 2 3 2 3 2 3 2 3 p dx Câu 17. bằngI = 4 ò 4 2 0 cos x (1+ tan x) 1 2 A. 1B.0 C. D. 2 2 p Câu 18. Tính tích phân I = ò sin2 x(2 - 1+ cos2x)dx p 2 p 2 3p 2 p 2 p 2 A. I = - B.I = - C. I = + D. I = - 2 4 2 3 2 3 2 3 p 6 Câu 19. Tính tích phân I = ò 4sin x + 1cosxdx . 0 3 3 - 1 3 3 - 1 A. I=3 + 3 . B. I= 3- 3 C. I= . D. I= . . 6 2 Trang 23
24. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN p 2 sin x - cosx Câu 20. Giá trị của tích phân I = ò dx là : p 1+ sin 2x 4 A. 0 B. - ln 2 C. ln 2 D. ln 3 p 2 sin 2x Câu 21. Giá trị của tích phân I = dx là ò 2 2 0 cos x + 4sin x 2 1 3 5 A. B. C. D. 3 3 2 3 p 2 sin 2x + sin x Câu 22. Tính tích phân I = ò dx . 0 1+ 3cosx 34 36 33 35 A. I=I = . B. I = . C. I = . D. I = . 27 29 27 28 4 2 Câu 23. Nếu f (x) liên tục và ò f (x)dx = 10 , thì ò f (2x)dx bằng 0 0 A. 5. B. 29. C. 19. D. 9. 2 Câu 24. Cho I = ò 2x x 2 - 1dx và u = x 2 - 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: 1 3 3 2 2 3 A. .I = B.u d. u C. . I = D. .udu I = u 2 I = 2 3 ò ò 3 0 1 0 3 1+ x 2 x 2 + 1 Câu 25. Cho tích phân I = dx . Nếu đổi biến số t = thì: ò 2 x 1 x 2 2 3 t 2dt 3 t 2dt 3 t 2dt 3 t 2dt A. I = - . B. .I = C. . D. . I = I = ò t 2 - 1 ò t 2 + 1 ò t 2 - 1 ò t 2 - 1 2 2 2 2 2 dx Câu 26. Kết quả của tích phân I = có dạng I = a ln 2 + bln 2 - 1 + c với ò 3 ( ) 1 x 1+ x a, b, c Î ¤ . Khi đó giá trị của a bằng 1 1 2 2 A. .a = B. . a = C.- . D. . a = - a = 3 3 3 3 Trang 24
25. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN §5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN é ù é ù Cho hai hàm số u và v liên tục trên ëêa;bûú và có đạo hàm liên tục trên ëêa;bûú . b b b b b b Khi đó: òudv = uv - òvdu Hay òu(x).v '(x)dx = uv - òv(x).u '(x)dx a a a a a a Xem lại một số cách chọn u và dv trong phần nguyên hàm. Bài tập e Câu 1. Tính tích phân I x ln xdx : 1 e2 1 1 e2 2 e2 1 A.I B.I C.I D. I 4 2 2 4 e Câu 2. Cho 1 x ln x dx ae2 be c với a , b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 A.a b c B.a b c C.a b c D. a b c e Câu 3. Cho 2 x ln x dx ae2 be c với a,b,c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 A.a b c B.a b c C.a b c D. a b c 1 Câu 4. Tích phân x 2 e2xdx bằng 0 5 3e2 5 3e2 5 3e2 5 3e2 A B C D. . 4 4 2 4 1 Câu 5. Biết rằng tích phân 2x +1 exdx = a + b.e , tích a.b bằng 0 A B.1.5C.1. 1D.20. 2 ln x b b Câu 6. Cho tích phân I dx aln 2 với a là số thực, b và c là các số dương, đồng thời là 2 1 x c c phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P 2a 3b c . A PB. .C.6. D P 5 P 6 P 4 4 Câu 7. Cho tích phân I x 1 sin 2xdx. Tìm đẳng thức đúng? 0 4 4 1 4 A I x 1 cos2B.x. cos2xdx I x 1 cos2x cos2xdx 0 2 0 0 4 4 1 4 1 4 C ID. . x 1 cos2x cos2xdx I x 1 cos2x cos2xdx 2 2 0 0 0 0 3 Câu 8. Biết rằng tồn tại duy nhất các bộ số nguyên a,b,c sao cho 4x 2 ln xdx a bln 2 c ln 3 . 2 Giá trị của a b c bằng A 1B.9 .C D 19 5 5 Trang 25
26. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 2 ln 1 x Câu 9. Cho dx a ln 2 bln 3 , với a,b là các số hữu tỉ. Tính P a 4b . 2 1 x A.P = 0 B.P = 1 C.P = 3 D. P = - 3 1000 2 ln x Câu 10. Tính tích phân I dx , ta được 2 1 x 1 ln 21000 2 1000ln 2 21000 A I B.10.01ln I ln 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000 ln 21000 2 1000ln 2 21000 C I 100D.1ln. I ln 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000 2 Câu 11. Biết 2xln x 1 dx a.lnb , với a,b ¥ * , b là số nguyên tố. Tính 6a 7b . 0 A 6B.a. C.7.bD. . 33 6a 7b 25 6a 7b 42 6a 7b 39 a Câu 12. Biết rằng ln xdx 1 2a, a 1 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 1 A aB. .C. 1.8 ;21 D a 1;4 a 11;14 a 6;9 1 Câu 13. Cho tích phân (x 2)exdx a be , với a;b ¢ . Tổng a b bằng 0 A 1B C D 3 5 1 2 Câu 14. Tính tích phân I xexdx . 1 A IB. .C.e2.D I e2 I e I 3e2 2e 3 Câu 15. Biết rằng x ln x dx mln 3 nln 2 p trong đó m,n, p ¤ . Tính m n 2 p 2 5 9 5 A B C D 0 4 2 4 2 Câu 16. Biết 2x ln 1 x dx a.ln b , với a, b ¥ * , b là số nguyên tố. Tính 3a 4b . 0 A 4B.2.C D 21 12 32 2 ln x b Câu 17. Cho tích phân I dx a ln 2 với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng 2 1 x c b thời là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P 2a 3b c . c A.P 6 B.P 6 C.P 5 D. P 4 3 x 3 Câu 18. Biết I dx lnb . Khi đó, giá trị của a2 b bằng 2 0 cos x a A 1B.1.C D 7 13 9 3 2 F x 2x ln x 1 Câu 19. Cho ln x x dx F x , F 2 2ln 2 4 . Khi đó I dx bằng 2 x A 3B.ln.C.3 .D.3 3ln 3 2 3ln 3 1 3ln 3 4 Trang 26
27. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 3 x 3 Câu 20. Biết I dx ln b , với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức 2 0 cos x a T a2 b. A TB. .C.9 .D T 13 T 7 T 11 2 ln 1 2x a dx ln 5 bln 3 c ln 2 x2 2 Câu 21. Cho 1 , với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a 2 b c là: A.0.B.9.C.3.D.5. 2 ln 1 x Câu 22. Chodx a ln 2 bln 3 , với a , b là các số hữu tỉ. Tính P ab . 2 1 x 3 9 A PB. .C D P 0 P P 3 2 2 1 Câu 23. Cho tích phân (x 2)exdx a be , với a;b ¢ . Tổng a b bằng 0 A 1B C D 3 5 1 π 4 ln sin x 2cos x Câu 24. Cho dx a ln 3 bln 2 cπ với a , b , c là các số hữu tỉ. Giá trị của ab c 2 0 cos x bằng 15 5 5 17 A. B. C. D. 8 8 4 8 12 1 c 1 x a a c Câu 25. Biết 1 x e x dx e d trong đó a,b,c,d là các số nguyên dương và các phân số , 1 x b b d 12 là tối giản. Tính bc ad . A.12.B.1.C.24.D.64. 2 x ln x 1 a c a c Câu 26. Cho dx ln 3 (với a,c ;b,d *; là các phân số tối giản). Tính 2 ¢ ¥ 0 x 2 b d b d P a b c d . A 7B C D. .7 3 3 1 1 Câu 27. Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . Tính f x dx . 0 0 A.I 1 B.I 8 C.I 12 D. I 8 2 Câu 28. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f (2) 16, f (x)dx 4 . Tính 0 1 I xf (2x)dx . 0 A.I 20 B.I 7 C.I 12 D. I 13 Trang 27
28. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1 1 Câu 29. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn x2 f x dx , f 1 0 và 0 21 1 2 1 1 f ' x dx . Giá trị của f x dx bằng 0 7 0 5 1 4 7 A B C D. . 12 5 5 10 1 Câu 30. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x dx 1, f 1 cot1 . Tính 0 1 2 tích phân I f x tan x f x tan x dx . 0 A B.1.C.0.D 1 ln cos1 1 cot1 1 f x 2 1 Câu 31. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 , x f x dx 0 3 1 Tính x3 f ' x dx . 0 A. 1 B.1 C.3 D. 3 Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 0 . Biết 1 9 1 x 3 1 f 2 x dx và f x cos dx . Tích phân f x dx bằng 0 2 0 2 4 0 6 2 4 1 A. B. C. D. 2 Câu 33. Biết m là số thực thỏa mãn x cos x 2m dx=2 2 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 2 A.m 0 . B.0 m 3 . C.3 m 6 . D.m 6 . 1 Câu 34. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn f 1 0,  f (x)2dx 7 và 0 1 1 1 x2 f (x)dx . Tính tích phân f (x)dx 0 3 0 7 7 A.4 B. C.1 D. 5 4 Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết 1 1 1 1 f 2 x dx , f x cos x dx . Tính f x dx . 0 2 0 2 0 3 2 1 A B C D 2 1 2 Câu 36. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 , f x dx 7 0 1 1 1 và x2 f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 3 0 Trang 28
29. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 7 7 A. B.1 C. D. 4 5 4 1 2 Câu 37. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 4 , f x dx 36 0 1 1 1 và x. f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 5 0 5 3 2 A. B. C.4 D. 6 2 3 2 2 Câu 38. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 thỏa mãn f 2 3 , f x dx 4 0 2 1 2 và x2 f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 3 0 2 297 562 266 A. B. C. D. 115 115 115 115 1 2 Câu 39. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 4 , f x dx 5 0 1 1 1 và x. f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 2 0 15 17 17 15 A. B. C. D. 19 4 18 4 2 2 Câu 40. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 thỏa mãn f 2 6 , f x dx 7 0 2 17 2 và x. f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 2 0 A.8 B.6 C.7 D.5 3 2 Câu 41. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;3 thỏa mãn f 3 6 , f x dx 2 0 3 154 3 và x2. f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 3 0 53 117 153 13 A. B. C. D. 5 20 5 5 1 2 Câu 42. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 2 , f x dx 8 0 1 1 và x3. f x dx 10 . Tích phân f x dx bằng 0 0 2 194 116 584 A. B. C. D. 285 95 57 285 Trang 29