Bài tập Hình học Khối 11

Nội dung text: Bài tập Hình học Khối 11

1. BÀI TẬP PHÉP QUAY Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;0). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay bằng . 2 Bài giải - Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay . 2 OA' OA - Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có:   . OA'.OA 0  OA' x; y OA' x2 y2 - Với  . OA 1;0 OA 1 x 0 x 0 A' 0;1 OA' OA x2 y2 1 x 0 y 1 - Ta có:   y 1 2 OA'.OA 0 x 0 y 1 x 0 y 1 A' 0; 1 y 1 - Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(0;1). Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;3). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay bằng . 2 Bài giải - Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay . 2  OA' OA OA' x; y OA' x2 y2 - Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có:   . Với  . OA'.OA 0 OA 1;3 OA 10 OA' OA x2 y2 10 - Ta có:   OA'.OA 0 x 3y 0 x 3 x 3y A' -3;1 x2 y2 10 y2 1 y 1 - y 1 x 3y x 3y x 3 y 1 A' 3; 1 y 1 - Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(-3;1). Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;1). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm I(1;-2) góc quay bằng - . 2 Bài giải - Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm I góc quay - . 2 1
2. IA' IA - Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có:   . IA'.IA 0  2 2 IA' x 1; y 2 IA' x 1 y 2 - Với  . IA 1;3 IA 10 IA' IA x 1 2 y 2 2 10 x 1 3y 6   2 2 IA'.IA 0 x 1 3y 6 0 x 1 y 2 10 x 2 x 3y 5 A' 2; 1 x 3y 5 y 1 y 1 2 y 4y 3 0 x 4 y 3 A' 4; 3 y 3 - Do phép quay thực hiện theo chiều âm nên tọa độ điểm A’ là A’(4;-3). BÀI TẬP PHÉP VỊ TỰ Phương pháp: Cho điểm M(x;y), có ảnh M’(x’;y’) qua phép vị tự tâm I tỉ số k. - Ta có IM ' k IM 1 . - Từ (1) ta tìm được tọa độ M’ là ảnh của M. - Từ đó ta cũng tìm được phương trình của ảnh của đường (C) đã cho. Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy hai điểm A(4;5) và I(3;-2). Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3. Bài giải - Gọi A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3.   x-xI 3. xA xI x 3 3 4 3 x 6 - Ta có IA' 3IA A' 6;19 . y 19 y-yI 3. yA yI y 2 3 5 2 - Vậy: Ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3 là A’(6;19). Bài 2: Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x-5y+3=0 qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3. Bài giải - Gọi M(x;y) là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d: 2x-5y+3=0. - Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3. x' x=-   x' 3x 3 x' y' - Ta có OM ' 3OM M - ;- . y' 3y y ' 3 3 y 3 x' y' - Do điểm M - ;- d : 2x 5y 3 0 3 3 x ' y ' 2 5 3 0 2x ' 5y ' 9 0 M ' d ': 2x 5y 9 0. 3 3 - Vậy: Phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3 là: -2x+5y+9=0 Bài 3: Tìm ảnh của đường tròn (C): x 4 2 y 1 2 1 qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Bài giải Cách 1: 2
3. - Gọi M x; y C : x 4 2 y 1 2 1. - Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. x' x=   x' 2x 2 x' y' - Ta có OM ' 2OM M ; . y' 2y y ' 2 2 y 2 x' y' 2 2 - Do M ; C : x 4 y 1 1 . 2 2 2 2 x ' y ' 2 2 2 2 - Nên: 4 1 1 x ' 8 y ' 2 4 M ' C ' : x 8 y 2 4 . 2 2 - Vậy: C ' : x 8 2 y 2 2 4 là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Cách 2: - Đường tròn (C) có tâm I(4;-1) và bán kính R=1. - Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.   x 2xI x=8 - Ta có: OI ' 2OI ' 8;-2 . y 2yI y 2 - Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó (C’) có bán kính R’=2R=2. - Do đó (C’) có phương trình là: x 8 2 y 2 2 4 . 2 2 Bài 4: Cho C1 : x y 4x 2y 4 0 . Viết phương trình ảnh của các đường tròn trên. 1. Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2. 2. Qua phép vị tự tâm A(1;1), tỉ số k=-2. Bài giải 1. Viết phương trình ảnh của C1 . Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2. 2 2 - Gọi M x; y C1 : x y 4x 2y 4 0. - Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. x' x=   x' 2x 2 x' y' - Ta có OM ' 2OM M ; . y' 2y y ' 2 2 y 2 x' y' 2 2 - Do M ; C : x y 4x 2y 4 0 . 2 2 2 2 x ' y ' x ' y ' 2 2 - Nên: 4. 2 4 0 x ' y ' 8x ' 4y ' 16 0 . 2 2 2 2 - Vậy: C ' : x2 y2 8x 4y 16 0 là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Cách 2: - Đường tròn C1 có tâm I(-2;1) và bán kính R=3. - Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.   x 2xI x=-4 - Ta có OI ' 2OI ' 4;2 . y 2yI y 2 - Gọi (C’) là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó (C’) có bán kính R’=2R=6. - Do đó (C’) có phương trình là: x 4 2 y 2 2 36 . 3
4. 2. Viết phương trình ảnh của C1 . Qua phép vị tự tâm A, tỉ số k=-2. - Đường tròn C1 có tâm I(-2;1) và bán kính R=3. - Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm A, tỉ số k=-2.   x-1 2 2 1 x=7 - Ta có AI ' 2AI ' 7;1 . y-1 2 1 1 y 1 - Gọi (C’) là ảnh của (C1) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2. Khi đó (C’) có bán kính R’= 2 R=6. - Do đó (C’) có phương trình là: x 7 2 y 1 2 36 . 4