›
›
›

Bài tập Hình học không gian Lớp 12 - Hoàng Triều

doc 33 trang thaodu 3650
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học không gian Lớp 12 - Hoàng Triều", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_hinh_hoc_khong_gian_lop_12_hoang_trieu.doc

Nội dung text: Bài tập Hình học không gian Lớp 12 - Hoàng Triều

  1. CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA  (ABC) . Từ A kẻ AD  SB và AE  SC . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE? Phân tích - tìm lời giải AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC S D E A C B Tính đường cao: ABC vuông tại B nên AB  BC Giả thiết cho :SA  (ABC) SA  BC BC  (ABC) AD  BC AD là đường cao trong tam giác SAB AD  SB AD  (SBC) AD  SC Mặt khác : AE  SC SC  (ADE) Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE: AS.AB AS.AB a.c AD SB AS2 AB2 a 2 c2 AS.AC SA.AC c. a 2 b2 AE SB SA2 AC2 a 2 b2 c2 Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có: 2 2 2 2 2 2 2 c (a b ) c SE AS AE c 2 2 2 = a b c a 2 b2 c2 Diện tích tam giác ADE: HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  2. c2.b2 DE = AE2 AD2 = (a 2 b2 c2 ).(a 2 c2 ) 1 1 c2.b2 ac S = .AD.AE = . . 2 2 (a 2 b2 c2 ).(a 2 c2 ) a 2 c2 1 a.c3.b3 = . 2 (a 2 b2 c2 ).(a 2 c2 ) Thể tích: 1 1 1 c 1 a.c3.b3 V = .SE. .AD.DE = . . 3 2 3 a 2 b2 c2 2 (a 2 b2 c2 ).(a 2 c2 ) 1 a.b2.c4 . 6 (a 2 c2 )(a 2 b2 c2 ) Xét một cách giải khác như sau: DE (SAB) BC  (SAB) => DE // BC Pytago trong các tam giác vuông: SD2 = AS2 - AD2; SE2 = AS2 - AE2 SB2 = SA2+AB2 SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2 Lập các tỷ số: c SA2 AE2 a 2 b2 c2 SA2 AD2 SA2 AE2 . SA2 AB2 SA2 SB2 SC2 2 2 2 2 2 2 c .a 2 c (a b ) c c 4 2 2 2 2 2 2 2 c b .c a c . c a b . a 2 c2 c2 a 2 b2 (a 2 c2 )2 (c2 a 2 b2 )2 SA SD SE b.c3 => . . SA SB SC (c2 a 2 b2 )(a 2 c2 ) 3 VSADE SA SD SE b.c . . = 2 2 2 2 2 VSABC SA SB SC (c a b )(a c ) b.c3 =>V = .V SADE (c2 a 2 b2 )(a 2 c2 ) SABC HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  3. b.c3 1 1 1 a.b2.c4 = SA. .AB.BC = . (c2 a 2 b2 )(a 2 c2 ) 3 2 6 (c2 a 2 b2 )(a 2 c2 ) (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a.Cạnh SA  (ABC) , góc B· AC 1200 . Tìm thể tích của khối chóp S.ABC? S A C D B Trình bày lời giải: Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có: SA chung SB = SC => SAB = SAC (c.c) => AB = AC => ABC là tam giác cân Gọi D là trung điểm của BC ta có : CD tanC· AD = => AD = AD CD a tanC· AD 2. 3 1 a 2. 3 Diện tích đáy: S AD.BC ABC 2 4 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  4. a 3 SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD = 2 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: 3.a 2 a 2 2a 2 a 2 SA2 = SD2 - AD2 = =>SA = 4 12 3 3 Thể tích cần tính: 1 a3. 2 V = SA.S = (đvtt) 3 ABC 36 Tổng quát hóa ta có bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc B· AC (0 900 ). Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và ? Một cách hoàn toàn tương tự ta có lời giải như sau: AD a AD = tanC· AD 2.tan 1 1 a a 2 Diện tích tam giác: S AD.BC a ABC 2 2 2.tan 4.tan a 3 SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD = 2 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: 3.a 2 a 2 2a 2 a 2 SA2 = SD2 - AD2 = =>SA = 4 12 3 3 Thể tích cần tìm: 1 1 1 1 a3 2 V SA.S =.B.h .SA. .AD.BC = 3 ABC 3 3 2 12 3.tan (đvtt) Bài 3 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;22 ). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN? HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  5. S N M D O C A B Lời giải Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối chóp S.ABN và S.MBN Theo định nghĩa về thể tích ta có: VS.ABMN = VS.ABN + VS.MBN VS.ABN SN 1 1 1 =>VS.ABN = VS.ABD = VS.ABCD VS.ABD SO 2 2 4 Tương tự ta có: VS.MBN SM SN 1 1 . =>VS.MBN = VS.BCD = VS.BCD SC SD 4 4 1 V 8 S.ABCD Do vậy: 1 1 8 V = V + V = V S.ABMN 4 S.ABCD 8 S.ABCD 3 S.ABCD Thể tích khối chóp S.ABCD 1 1 8 V = .SO.S .SO.AC.BD = 2 3 ABCD 6 3 Thể tích cần tính: VS.ABMN = 2 (đvtt) Nghiên cứu lời giải 1 1 Gọi V là thể tích khối đa diện nằm dưới (ABMN): V = VS.ABMN Khi đó: 1 VS.ABCD = VS.ABMN + VABCMN hay V = V + VS.ABMN HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  6. 1 Ta có :V = VN.ABD + VB.CDMN 1 V V = V = N.ABD 2 S.ABD 4 S N M D O C A B Hai hình chóp B.SCD và B.DCMN có chung đỉnh và mặt phẳng chứa đáy nên: 3 S .S DCMN 4 SDC Thể tích của chóp S.ABCD là: 1 1 8 V = .SO.S .SO.AC.BD = 2 3 ABCD 6 3 Thể tích cần tính: Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy điểm M A trên Ax, lấy N C trên Cy. Đặt AM = m ; BN = n. Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n? Trình bày lời giải HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  7. Theo giả thiết ta có: CN  (ABCD) CN  CB , O là tâm đáy nên OB  AC OB  (ACMN) hay OB là đường cao AC a 2 MA  AC Độ dài OB = = . Mặt khác MA // NC nên tứ 2 2 NC  AC giác ACMN là hình thang MA NC 2 S AC a(m n) ACMN 2 2 Thể tích khối chóp: 1 a 2 V OB.S (m n) ( đvtt ) 3 ACMN 6 Nghiên cứu lời giải Nhận thấy do AM  AB , AM  AD , AB  AD nên ta đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ đó ta xác định được tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau đó áp dụng công thức tính thể tích 1    a 2 của khối hộp: V AB,AC AM = (m n) (đvtt) 6 6 Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh SA  (ABC) , SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCMN? S N M A C B Trình bày lời giải Xét SAB và SAC có AB = AC, SA chung, A = 900 SAB = SAC SB =SC mặt bên SBC là tam giác cân. Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có: HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  8. AB.AS 2a AC.AS 2a AM = AN = AB2 AS2 5 AC2 AS2 5 Áp dung định lý Pytago: 4a SM = SA2 AM2 5 4a SN SA2 AN2 5 SM SN 4 V 16 Ta có các tỷ số: = = S.AMN = SB SC 5 VS.ABC 25 16 8a 3 3 V = V = S.AMN 25 S.ABC 75 Thể tích : a3 3 8a 3 3 3a3 3 V = V - V = - = (đvtt) ABCNM S.ABC S.AMN 6 75 50 Nghiên cứu lời giải Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a). Ta xác định được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng công thức sau: 1    V AM,AN AS 600 B· AC S.AMN 6 1    3a3 3 V AM,AN AS V = V - V = (đvtt) S.AMN 6 ABCNM S.ABC S.AMN 50 Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tam giác ABC vuông tại C, góc 600 B· AC , hình chiếu vuông góc của E lên (ABc) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC? HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  9. E D F G B A M C Trình bày lời giải Ta có: EG  (ABC) nên EG là đường cao của chóp Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EGB ta có: a 3 EG = EBsinB = asin600 = 2 Áp dụng pytago: a 2 3 BG BE2 EG2 = mà BG = BM BM = BG = 2 3 2 3a 4 Áp dung Pytago trong tam giác BMC: 3a 3a MC = MBsin150 = sin150 , AC = 2MC = sin150 , 4 2 3a BC = ACtan600 = sin150 3 2 Thể tích của khối chóp: 1 3 V = EG.S a3. sin2 150 (đvtt) 3 ABC 4 Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  10. ABCD? A E C B D Trình bày lời giải Dụng hình bình hành ABDE, do AE // (BCD) nên 1 V V V = S .d(B,CDE) ABCD E.BCD B.ECD 3 ECD 1 1 1 = CE.CD.sinE· CD AB.CD.d.sin (đvtt) 3 2 6 Nghiên cứu lời giải Ta xét một cách giải khác như sau: F A B E C M N D HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  11. Dựng hình hộp chữ nhật AEBF.MDNC ngoại tiếp tứ diện ABCD , AB (ABEF), CD (CDMN) Vì (ABEF) // (CDMN) nên chiều cao của hộp bằng d Thể tích cần tính: 1 1 1 1 V V S d = MN.CD.d.sin = ABCD 3 hôp 3 MDNC 3 2 1 AB.CD.d.sin 6 Bài 8: Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG.tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b? E(0,0,b) H F G M A(0,0,0) D (0,a,0) B (a,0,0) C Trình bày lời giải x x x C G a M 2 yC yG M là trung điểm của CG nên: yM a 2 zC zG b zM 2 2  b   Tọa độ các vectơ: BM (0;a; ), BD (-a;a;0), BE (-a;0;b) 2 Xét tích hữu hướng: HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  12. b b   a 0 0 a ab ab 2 MB,BD 2 , 2 , , ,a a a 2 2 a 0 0 a Tích vô hướng:    3a 2b MB,BD BE = 2 1    1 3a 2b a 2b Thể tích: V = MB,BD BE = = (đvtt) 6 6 2 4 Nghiên cứu lời giải Kẻ CO  BD , kéo dài EM cắt SO tại N, mặt phẳng (BDM) chia khối 1 chóp thành hai khối chóp E.BDM và N.BDM nên V V E.BDM 2 E.BDN Vì M là trung điểm của SG nên: CN = CA Diện tích tam giác BDN: 1 1 3 2a 3a 2 S = BD.NO a 2. = 2 2 2 2 E F H G M A O B D C N 1 1 1 3a 2 a 2b Thể tích: V V = 2b = (đvtt) E.BDM 2 E.BDN 2 6 2 4 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  13. Bài 9: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c? Trình bày lời giải Dựng tứ diện APQR, đây là tứ diện vuông tại đỉnh A, thật vậy: PQ AD = BC = BC là đường trung bình của tam giác PQR 2 BC = QD = DP AD = QD = PD AQ  AP Hoàn toàn tương tự ta có: AQ  AR , AR  AP Ta có: VAPQR VADBQ VABCD VACDP VACBR 1 1 1 1 V V AP.S AP.AQ.AR ABCD 4 APQR 4 3 AQR 24 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác APQ, AQR, APR AP2 AQ2 QP2 4BC2 4a 2 AQ2 AR 2 QR 2 4CD2 4c2 AP = 2(a 2 b2 c2 ) , AQ = 2(b2 c2 a 2 ) , AR = 2(a 2 c2 b2 ) Thể tích: 1 3 V 2 (b2 c2 a 2 )(a 2 c2 b2 )(a 2 b2 c2 ) 24 2 = (b2 c2 a 2 )(a 2 c2 b2 )(a 2 b2 c2 ) (đvtt) 2 Bài tập đề nghị Bài 1 ( khối A - 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều, (SAD)  (ABCD) , gọi M, N, P là trung điểm của SB,BC,CD. Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a? Bài 2 ( Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 , gọi I là trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a? Bài 3 (Khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a2 , SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC, I là giao điểm của AC và BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB? HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  14. Bài 4 (Khối A - 2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a3 . Hình chiếu vuong góc của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC? 2. Thể tích của khối lăng trụ Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao V B.h trong đó : B là diện tích đáy h là chiều cao Bài 1 Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ ? F E G H K B C A D Trình bày lời giải Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED AK  ED , AB // EF (EFD) do đó AB // (EFD) nên d(A,EFD) = d(AB,ED) Mà EF  (EFDA) nên EF  AK AB  AK AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2 Đặt EK = x ( 0 x 5 ). Trong tam giác vuông AED ta có: AK2 = KE.KD x 1 2 4 = x(5-x) x - 5x + 4 = 0 x 4 2 2 Với x = 4 ta có AE = AK KE 5 V = AE.SABCD = 5 ( đvtt) Với x = 4 ta có AE = 25 V = 105 ( đvtt) HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  15. Bài 2 Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) một góc 300 . Tam giác DBC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ đó? D F E A C K B Trình bày lời giải Đặt CK = x, DK vuong góc với BC nên D· KA = 300 AK Xét tam giác ADK có: cos300 = AK = x3 , DK = 2x DK Diện tích tam giác BCD: S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2 3 AD = AK.tan300 = x3 = 2 3 Thể tích khối lăng trụ: 1 8 V = AD.CK.AK = (đvtt) 3 3 Bài 3 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và B· AD = 450 , các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc 450 và 600 . Chiều cao của lăng trụ bằng 2. Tính thể tích của lăng trụ đó? Trình bày lời giải Từ giả thiết: G· AC = 450 , B· DF = 600 , AC = AG = 2, BD = 2.cot600 = 2 3 Áp dụng định lý cosin trong tam giác: BD2 AB2 AD2 2.AB.AD. cos450 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  16. AC2 AD2 CD2 2.AD.CD.cos1350 BD2 AC2 2.AD.AB.cos450 2.CD.AD.cos1350 = -22 AB.AD 4 4 - 4 = -22 AB.AD AB.AD = 3 3 2 - Thể tích cần tìm: V = AB.AD.EA.sin450 4 2 = 2 (đvtt) 3 2 2 Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 2 . Biết mặt phẳng (AED) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AE = 3 . Góc A· EB là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của lăng trụ? E G H K B A M C Trình bày lời giải HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  17. Hạ EK  AB(K AB) EK  (ABC) . Vì A· EB là góc nhọn nên K thuộc đoạn AB Kẻ KM  AC EM  AC ( theo định lý ba đường vuông góc ) E· MK = 600 . Giả sử EK = x ,EK EA2 EK2 = 3 x2 2 MK = AK.sinK· AM = 3 x2 2 x 2 x 3 Mà MK = EKcot600 = , do đó: 3 x2 = x = 3 2 3 5 1 3 5 Vậy V = EK.S = AC.CB.EK = ( đvtt) ABC 2 10 Bài tập đề nghị Bài 1 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có độ dài cạnh bằng a. Góc B· AD = 600 , AF  BH . Tính thể tích của khối lăng trụ đó? Bài 2 Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. M là trung điểm của AD, góc B· MC = . Tính thể tích của lăng trụ đó? 3. Thể tích của khối hộp chữ nhật Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau: thể tích của khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước B là diện tích đáy h là chiều cao Bài 1 Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng a, B· AD = E· AD = ( 0 900 ). Tính thể tích khối hộp đó? HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  18. F G E H D M C A K B Trình bày lời giải Hạ EM  AC(M AC) (1) tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED )BD  EO Mà BD  AC BD  (BAO) BD  EM (2) Từ (1) và (2) ta có: EM  (ABCD) hay EM là đường cao Đặt E· AO = , hạ EK  AB MK  AK (định lý ba đường vuông góc) AM AK AK cos cos = = = cos 2 AE AM AE cos cos2 cos = EM = a.sin = a 1 = cos cos2 2 2 a cos2 cos2 cos 2 2 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  19. Thể tích cần tính: V = AB.AD.EM.sin = a a 2.sin cos2 cos2 cos 2 2 = a3.sin cos2 cos2 2 2 (đvtt) Bài 2: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy là hình chữ nhật có AB = 3 , AD = 7 , hai mặt bên (ABDE) và (ADEH) lần lượt tạo với đáy các góc 450 và 600 , độ dài tất cả các cạnh bên đều bằng 1. Tính thể tích của khối hộp đó? F E G H B N K C A M D Trình bày lời giải Kẻ EK  (ABCD),(K ABCD) , KM  AD(M AD) , KN  AB(N AB) Theo định lý ba đường vuông góc ta có: AD  EM,AB  NK x Ta có: E· MK = 600 , E· NK = 450 ,đặt EK = x khi đó: EM = = sin600 2x 3 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  20. 3 4.x2 AM = EA2 EM2 = = KN mà KN = x.cot450 3 3 4.x2 3 Nên x = do đó x = 3 7 Thể tích khối hộp chữ nhật: 3 V = AB.AD.x = 7 .3 . = 3 (đvtt) 7 Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với đáy góc , tạo với mặt bên lớn góc  ,tính thể tích của khối hộp đó? H E G F D A C B Trình bày lời giải Đường chéo AG có hình chiếu lên (ABCD) là AC,lên mặt phẳng (BCGF0 là BG nên: G· AC , A· GB  Áp dụng định lý Pytago trong các tam giác: ACG, GBA, ABC có CG = d.sin , AC = d.cos ,AB = d.sin , BC = AC2 AB2 = d. cos2 sin2  ta có V = AB.BC.CG = d3.sin .sin .cos2 sin2  1 cos2 1 cos2 1 Mà: cos2 cos2 = cos( + ).cos( -  ) 2 2 2 Vậy V = d3.sin .sin .cos( ).cos( ) (đvtt) Bài tập đề nghị Bài 1 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  21. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, góc B· AD , đường chéo AD tạ với đáy góc  . Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó? Bài 2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua mỗi cạnh của tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng nhận được xác định một hình hộp: 1) Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật? 2) CMR Vhhcn 3VABCD 3) Gọi IJ, EF, MN là các dường trung bình của tứ diện. 1 CMR: V IJ.MN.EF ABCD 3 Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp? 4. Bài toán cực trị thể tích Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn lại bằng 1,với giá trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó? S M A B N C Trình bày lời giải Gọi M, N là trung điểm của SA, BC, ta có: VS.ABC = 2.VS.MBC , các tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS ABS = ACS và là các tam giác cân HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  22. Ta có: BM  SA,CM  SA SA  (MBC) SM  (MBC) , x SM là đường cao, SM = 2 Tính diện tích đáy: x2 BC2 x2 y2 MB = MC = 1 , MN = BM2 = 1 4 4 4 1 y x2 y2 S = MN.BC = 1 MBC 2 2 4 1 x y x2 y2 xy Thể tích: V = 1 = , V = S.MBC 3 2 2 4 12 S.ABC xy x2 y2 1 6 4 x2 y2 xy Ta có: ( x-y)2 0 x2 + y2 2xy 4 2 xy x2 y2 xy xy 1 2 xy V = 1 1 (xy)2 S.ABC 6 4 6 2 6 2 1 xy xy 2 (2 xy) 6 2 2 xy xy Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số , , (2-xy) ta có: 2 2 3 xy xy (2 xy) xy xy 2 2 16 (2-xy) = 2 2 33 27 x2 y2 2xy 1 16 2 3 V = , dấu bằng xảy ra khi xy x = y = 6 27 27 2 xy 2 2 3 Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a, gọi là góc giữa mặt bên với mặt đáy, với giá trị nào của thì thể tích của khói chóp là lớn nhất? HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  23. S D H C N I M A B Trình bày lời giải M, N là trung diểm của BC và AD nên S·MN , vì AD // BC suy ra AD // (SBC) d(A,SBC) = d(N,SBC) (1) Mặt khác: MN  BC,SM  BC BC  (SMN) (SBC)  (SMN) Do SM = (SBC)  (SMN) , kẻ NH  SM NH  (SBC) , d(N,SBC) = NH (2) từ (1) và (2) ta có NH = 2a NH 2a Hệ thức lượng trong tam giác vuông MNH ta có: MN = = sin sin 4a 2 Diện tích đáy : S AB2 MN2 ABCD sin Gọi I là tâm đáy thì ta có a a SI = MI.tan = tan sin cos Thể tích: 1 4a3 thể tích V = SI.S = 3 ABCD 3sin2 .cos 2 2 Vmin sin .cos đạt GTLN cos (1 - cos ) đạt GTLN Đặt x = cos , xét hàm số y = x - x3 trên (0,1), xét dấu hàm y ta được 3 2 3 3 3 y = y( ) khi và chỉ khi x = cos = max 3 9 3 3 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  24. 3 Vậy Vmin 2a 3 ( đvtt ) Bài 3 Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng(OAB) lấy điểm M, đặt OM = x,Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB.Đường thẳng EF cắt d tại N. Xác định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất? M E B A F O N Trình bày lời giải Gọi V là thể tích khối tứ diện ABMN ta có 1 1 V = V V = OM.S ON.S = M.OAB N.OAB 3 OAB 3 OAB 1 (OM ON).S 3 OAB Do đó thể tích V nhỏ nhất ( OM + ON ) đạt GTNN Hai tam giác OMB : OFN suy ra: OM.ON = OF.OB = hằng số vì O, F, B cố định, ta có: OM + ON 2 OM.ON dấu “ = ” xảy ra OM = ON nên ( OM + ON ) đạt GTNN OM = ON = x a 2 a 2 a Vì OM.ON = OF.OB x2 x ( OF = , OB = a ) 2 2 2 a 2 Vậy M thuộc d sao cho OM = x thì thể tích là nhỏ nhất , khi đó: 2 1 a 2 6 V = (OM ON).S = ( đvtt ) 3 OAB 12 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  25. Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có 7 cạnh bằng 1, cạnh bên SC = x. Tinh sthể tích của khối chóp, với giá trị nào của x thì thể tích là lớn nhất? S D H O C A B Trình bày lời giải SH là đường cao trong tam giác ÁC nên ta có: SA.SC x SH.AC = SA.SC SH = AC x2 1 (3 x2 ) 3 x2 Ta có: OB2 = AB2 - AD2 = nên OB = ( 0 x 3 ) 4 2 1 Diện tích đáy S = AC.OB = 3 x2 . x2 1 ABCD 2 1 1 2 2 x 1 2 Thể tích V = SABCD.SH = (3 x )(x 1) = x 3 x 3 6 x2 1 6 1 Ta có: V2 = x2 (3 x2 ) vì x2 (3 x2 ) = 3 không đổi nên 36 9 6 Max x2 (3 x2 ) = x2 (3 x2 ) x 4 2 9 6 1 6 V2 đạt giá trị lớn nhất là x V x 4.36 2 max 4 2 Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, một góc x· Ay 450 chuyển HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  26. động trên đáy quay quanh điểm A các cạnh Ax, Ay cắt CB và CD tại M, N, đặt BM = x, CN = y, tìm x, y để thể tích của VAMCN đạt GTLN? S A D N B M C Trình bày lời giải a 2 xy Trướ hết ta chứng minh đẳng thức: x + y = a Ta có B· AM N· AD M· AN 900 , B· AM N· AD 450 Đặt B· AM N· AD   450 tan( ) = 1 tan tan x y Ta có 1 , mà tan ,tan 1 tan tan 2 2 x y a 2 xy suy ra 2 1 x y = , xy 1 a a 2 ax ay ta có S S S S a 2 AMCN ABCD ABM ADN 2 2 1 a ax ay a V SA.S (a 2 ) = (a 2 xy) AMCN 3 AMCN 3 2 2 6 (x y)2 (x y)2 ta có xy suy ra Max (xy) = 4 4 HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  27. (x y)2 V (xy) đạt GTLN khi (xy) = đạt GTLN suy ra max 4 (x y)2 a(x y) a 2 suy ra x y 2a( 2 1) 4 a 2 V (2 2) khi x = y = a( 2 1) max 3 Bài tập đề nghị Bài 1 Cho hình chóp S.ABC trong đó SA  (ABC) , ABC là tam giác vuông cân tại C. Giả sử SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp là lớn nhất, tìm giá giá trị lớn nhất đó? Bài 2 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo) Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Xét tam diện Oxyz. Điểm M cố định nằm trong góc tam diện. Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c. Tính OA, OB,OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện là nhỏ nhất? 5. Chứng minh hệ thức hình học Để chứng minh các hệ thức trong khối đa diện ta có thể sử dụng các kiến thức về thể tích để giải như sau: Gắn bài toán cần chứng minh vào một hệ thức nào đó về thể tích, các hệ thức này thường là: Thể tích của một khối nào đó có thể biểu diễn thành tổng hoặc hiệu các thể tích của khối đa diện cơ bản ( như khối chóp, khối lăng trụ ) Với các hệ thức về thể tich ấy sau các phép biến đổi tương đương đơn giản ta nhận được điều phải chứng minh. Bài 1 Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi hA ,hB ,hC ,hD lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. 1 1 1 1 1 CMR r hA hB hC hD HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  28. A H C B D Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Ta có: V r OBCD VABCD hA V r OCAD VABCD hB V r OABD VABCD hC V r OABC VABCD hD Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có: VOBCD VOCAD VOABD VOABC 1 1 1 1 r VABCD hA hB hC hD VABCD 1 1 1 1 r VABCD hA hB hC hD 1 1 1 1 1 ( đpcm ) r hA hB hC hD Bài 2 Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ diện đến các mặt đối diện của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong tứ diện đó? HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  29. O K G F H A B C Giả sử M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tứ diện đều ABCD Gọi d1,d2 ,d3,d4 là khoảng cách từ điểm M đến các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) Gọi V1,V2 ,V3,V4 là thể tích của 4 khối tứ diện chung đỉnh M, V là thể tích của tứ diện ABCD ta có: V V V V V = V V V V 1 1 2 3 4 1 2 3 4 V V V V Vì ABCD là tứ diện đều nên khoảng cách từ đỉnh xuống mặt đối diện bằng nhau. Ta giả sử khoảng cách này là h, hai tứ diện ABCD và MBCD d V có chung đáy nên: 1 1 h V V d Hoàn toàn tương tự ta có kết quả: i i (i= 2,3,4) V h d d d d Do đó: 1 1 2 3 4 h = d d d d ( đpcm) h h h h 1 2 3 4 Bài 3 Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O trên Ox, Oy, Ox lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA + OB + OC + AB + AC + BC = L, gọi V là L3 ( 2 1) thể tích của tứ diện ABCD. CMR: V 162 Hướng dẫn giải HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  30. A B O C Đặt OA = a, OB = b, OC = c áp dụng BĐT Bunhiacôpxki: a + b 2(a 2 b2 ) , a + c 2(a 2 c2 ) , b + c 2(c2 b2 ) cộng vế với vế các BĐT trên: 2(a b c) (a 2 b2 ) (a 2 c2 ) (c2 b2 ) (a + b + c)( 1 + 2 ) (a 2 b2 ) (a 2 c2 ) (c2 b2 ) (a b c) (a + b + c)( 1 + 2 ) L (1) dấu “ = “ trong (1) xảy ra khi a = b = c Áp dụng BĐT Cauchy cho a, b, c ta có: a + b + c 3 abc (2) abc Ta có V = , BĐT (2) a + b + c 33 6V (3) 6 Dầu “=” trong (3) xảy ra khi a = b = c L3 ( 2 1) Từ (1), (3) ta có L 3.(1 2).3.3 6V hay V (4) 162 L( 2 1) Dấu “ = “ (4) xảy ra khi a = b = c = 3 Bài 4 Cho OABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, với OA = a, OB = b, OC = c, gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. 1 1 1 1 3 3 CMR: r a b c a b c Hướng dẫn giải HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  31. O B H A C Kẻ OH  (ABCD) và giả sử OH = h Do OABC là tứ diện vuông nên a, b, c, h là 4 đường cao của tứ diện lần lượt kẻ từ A, B, C, O theo kết quả của bài tập 2 ta có: 1 1 1 1 1 (1) r a b c h 1 3 3 Từ (1) suy ra BĐT cần chứng minh có dạng: (2) h a b c Vì OABC là tứ diện vuông nên ta có kết quả sau: 1 1 1 1 (3) h2 a 2 b2 c2 Theo (3) và áp dụng BĐT Cauchy ta có: 1 1 1 1 1 1 1 33 (4) h2 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 Ta lại có: ( a + b + c )2 9 3 a 2b2c2 (5) Từ (3), (4), (5) ta có: 1 9 3 h2 a 2 b2 c2 1 3 3 h a b c Vậy (2) đúng suy ra đpcm, dấu “=” xảy ra khi a = b = c h Từ bài toán trên ta có kết quả: 1 3 r Thật vậy: HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  32. 1 1 1 1 1 Theo (1) r a b c h 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Do: 3 2 2 2 3 2 hay a b c a b c h a b c h 1 1 3 h 1 3 ( đpcm ) r h h r Bài tập đề nghị Bài 1 Chứng minh khoảng cách từ một diểm nằm trong hình lăng trụ đến các mặt của nó không phụ thược vào vị trí của điểm nằm trong lăng trụ đó? Bài 2 a b c Cho hình chóp tam giác có , trong đó a, b, c là sin sin sin  ba cạnh của tam giác đáy. Các góc ,  ,  tương ứng là các góc nhị diện cankj a, b, c. Chứng minh tổng khoảng cách từ một điểm O trên mặt đáy đến các mặt xung quanh của hình chóp là một hằng số? HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716
  33. HOÀNG TRIỀU TTYMO 0984902716