Bài tập Hình học Lớp 9 - Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Gia sư Trí Đức

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 9 - Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Gia sư Trí Đức

1. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG I. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUƠNG Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Định lí Pi-ta-go: BC2 AB 2 AC 2 AB2 BC. BH ; AC2 BC. CH AH2 BH. CH 1 1 1 AB AC BC AH AH2 AB 2 AC 2 Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = 3cm, BC = 5cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH. HD: BH 1,8 cm, CH 3,2 cm, AC 4 cm, AH 2,4 cm. Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AC = 10cm, AB = 8cm. AH là đường cao. Tính BC, BH, CH, AH. HD:BC=2 ; BH=32 /41 ; CH=50 /41; AH=40 /41. Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ BC = 12cm. Tính chiều dài hai cạnh 2 gĩc vuơng biết AB AC . 3 24 13 36 13 HD: AB () cm , AC () cm . 13 13 Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ đường cao AH. Biết BH=10cm, CH=42 cm. Tính BC, AH, AB và AC. HD: BC 52 cm , AH 2 105 cm , AB 2 130 cm , AC 2 546 cm . Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 1
2. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Bài 5. Hình thang cân ABCD cĩ đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm và gĩc A là 600 a) Tính cạnh BC. b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN. HD: a, Gọi P và Q là chân đường cao kẻ từ D và C xuống AB: AP=QB mà PQ=DC=10cm nên AP=QB=(30-10):2=10cm. b, NM=DP=AP. =10 cm. Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD cĩ AB = AC = AD = 10cm, gĩc B bằng và gĩc A là 900 a) Tính đường chéo BD. b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c)Tính HK. d) Vẽ BE  DC kéo dài. Tính BE, CE và DC. HD: a, BD2=AB2+AD2 => BD=10 cm. b, ABC đều (AB=AC mà ) nên BH=5 cm, ADK cĩ nên KD=1/2AD=5cm, c, ABH cĩ nên AH=1/2AB=5cm, mà AK2=AD2-DK2=75 nên AK=5 cm suy ra HK=5 -5 cm. d, ADC cân cĩ nên => nên BEC vuơng cân tại E nên BE=EC mà BE2+EC2=BC2 => BE=EC=5 cm. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 2
3. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Trong KDC cĩ KD=5cm, KC=AC-AK=10-5 cm Dùng pytago tính DC. Bài 7. Cho đoạn thẳng AB=2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox AB. Trên a Ox, lấy điểm D sao cho OD . Từ B kẻ BC vuơng gĩc với đường thẳng AD.a) 2 Tính AD, AC và BC theo a.b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường trịn. HD: a, AD= ADO ABC nên AD.AC=AB.AO => AC= Dùng pytago cho tam giác ABC để tính BC= . b, Chỉ ra OA=OB=OC=OE. Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC cĩ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho gĩc AMC= gĩc ANB=900. Chứng minh: AM = AN. HD: ABD ACE AM22 AC AD AB AE AN . AB 20 Bài 9. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết và AH = AC 21 420. Tính chu vi tam giác ABC. HD:Đặt AB 20 k , AC 21 k BC 29 k . Từ AH.BC = AB.AC k 29 .HD: PABC 2030 . Bài 10. Cho hình thang ABCD vuơng gĩc tại A và D. Hai đường chéo vuơng gĩc với nhau tại O. Biết AB 2 13, OA 6 , tính diện tích hình thang ABCD. Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5.HD: S 126,75. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 3
4. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN 1. Định nghĩa: Cho tam giác vuơng cĩ gĩc nhọn . cạnh đối cạnh kề cạnh đối cạnh kề sina ; cosa ; tana ; cota cạnh huyền cạnh huyền cạnh kề cạnh đối Chú ý: Cho gĩc nhọn . Ta cĩ: 0 sin 1; 0 cos 1. Cho 2 gĩc nhọn , . Nếu sinab sin (hoặc cos  cos , hoặc tanab tan , hoặc cotab cot ) thì ab . 2. Tỉ số lượng giác của hai gĩc phụ nhau: Nếu hai gĩc phụ nhau thì sin gĩc này bằng cơsin gĩc kia, tang gĩc này bằng cotang gĩc kia. Sin (900-a) = cosa tan(900-a)=cotana cos(900-a)=sina cotan(900-a)=tana Ví dụ: sin 250=cos650; tan200=cotan700 3. Tỉ số lượng giác của các gĩc đặc biệt: Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 4
5. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin 0 0 0 30 45 60 Tỉ số LG 1 2 3 sina 2 2 2 cos tana 3 1 3 3 cota 1 4. Một số hệ thức lượng giác sin cos tan ; cot ; tanaa .cot 1; cos sin 1 1 sin22 cos 1; 1 tan2 ; 1 cot2 a cos2 sin2 a 5. Cơng thức tính diện tích tam giác: =P.r= R: Bán kính đường trịn ngoại tiếp, r: Bán kính đường trịn nội tiếp. ( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin gĩc xen giữa hai cạnh đĩ). Trong tam giác bất kì: Với a là cạnh đối diện gĩc A, b là cạnh đối diện gĩc B, Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 5
6. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin c là cạnh đối diện gĩc C. BÀI TẬP: Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết BH=64cm và CH=81cm. Tính các cạnh và gĩc tam giác ABC. HD: AB2=BH.BC nên AB=96,3cm; AC2=HC.BC nên AC=108,4cm CosC= nên . Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Tìm các tỉ số lượng giác của gĩc B khi:a) BC =5cm, AB=3cm. b) BC=13 cm, AC=12 cm. c) AC= 4cm, AB=3cm. HD: a) sinB 0,8; cosB 0,6 Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AB = 10cm và AC = 15cm.a) Tính gĩc B. b) Phân giác trong gĩc B cắt AC tại I. Tính AI.c) Vẽ AH  BI tại H. Tính AH. HD: a, tanB= nên . b, tan nên AI=AB. tan =10.tan280 =5,3cm c, sin nên AH=AB.sin = 10.sin280 =4,7cm. Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:a) cos20 15 cos 20 25 cos 20 35 cos 20 45 cos 20 55 cos 20 65 cos 20 75 .b) sin20 10 sin 20 20 sin 20 30 sin 20 40 sin 20 50 sin 20 70 sin 20 80 .c) sin150 sin75 0 cos15 0 cos75 0 sin30 0 d) sin350 sin67 0 cos23 0 cos55 0 e) cos2 20 0 cos 2 40 0 cos 2 50 0 cos 2 70 0 f) sin200 tan40 0 cot 50 0 cos70 0 Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 6
7. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin HD: Dùng cơng thức: sin(900-a)=cosa; tan(900-a)=cota. a)( 3,5 3 b) c) 0,5 d) 0 e) 2 f) 0. 4 Bài 5. Cho biết một tỉ số lượng giác của gĩc nhọn , tính các tỉ số lượng giác cịn lại của : a) sina 0,8 b) cos 0,6 c) tana 3 d) cota 2 HD: Dùng các cơng thức trong mục 4 ( một số hệ thức lượng ) để tính. Chú ý gĩc nhọn thì sin >0; cos >0. a) b) 1 Bài 6. a. Cho gĩc nhọn . Biết cos sin . Tính cota .b. Cho tan =2. Tính 5 A=(sin -3cos )/(3sin +7cos ) HD: a, cos - sin = (1) nên (cos -sin )2= hay cos2 + sin2 -2cos .sin = hay sin .cos = Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 7
8. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Ta cĩ: (cos + sin )2=cos2 + sin2 + 2cos .sin = nên cos +sin = (2)Từ (1)(2) tính được cos và sin , từ đĩ tính cot . (HD: 4 cota= ) 3 b, Chia cả tử số và mẫu số cho cos ta được: A= . 5 Bài 7. Cho tam giác ABC vuơng tại C. Biết cos A . Tính tan B . 13 5 HD: tan B . 12 Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:a) (1 cos )(1 cos ) b) 1 sin22 cos c) sin sin cos2 d) sin4 cos 4 2sin 2 cos 2 e) tan2 sin 2a tan 2 f) cos2 tan 2 cos 2 HD: a) sin2 a b) 2 c) sin3 a d) 1 e) f) 1. cos 1 sin Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau:a) b) 1 sin cos (sin cos )22 (sin cos ) 4 sin .cos HD: a, Biến đổi tương đương hai vế b, Biến đổi vế trái. Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện a b c với các đỉnh A, B, C.a) Chứng minh: .b) Cĩ thể xảy ra sinABC sin sin đẳng thức sinABC sin sin khơng?c) Chứng Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 8
9. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin minh: ( Diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh kề với sin gĩc xen giữa hai cạnh đĩ). HD: a) Vẽ đường cao AH. Xét AHB và AHC cĩ: nên hay . Tương tự ta cũng chứng minh : b) khơng. Vì . (tính chất dãy tỉ số bằng nhau) Nếu thì a=b+c: Vơ lí. c) mà Suy ra: . Các cơng thức khác chứng minh tương tự. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 9
10. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin III. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VUƠNG Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ BC = a, AC = b, AB = c. b a.sin B a .cos C ; c a.sin C a .cos B b c.tan B c .cot C ; c b.tan C b .cot B BÀI TẬP: 0 Bài 1. Giải tam giác vuơng ABC, biết gĩc A=90 và:a) a 15 cm ; b 10 cm b) b 12 cm ; c 7 cm HD: a)B=420, C=480, c=11,18cm b) B=600, C=300, a=14cm. Bài 2. Cho tam giác ABC cĩ gĩc B=600, C=500, AC=35cm. Tính diện tích tam giác ABC. HD: S 509 cm2 . Vẽ đường cao AH. Tính AH, HB, HC. Bài 3. Cho tứ giác ABCD cĩ gĩcA=D=900, C=400, AB=4cm, AD=3cm. Tính diện tích tứ giác. HD: S 17 cm2 . Vẽ BH  CD. Tính DH, BH, CH. Bài 4. Cho tứ giác ABCD cĩ các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết 0 AC 4 cm , BD 5 cm , gĩc AOB =50 . Tính diện tích tứ giác ABCD. HD: S 8 cm2 . Vẽ AH  BD, CK  BD. Chú ý: AH OA.sin5000 , CK OC .sin50 . Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 10
11. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Bài 5. Chứng minh rằng:a) Diện tích của một tam giác bằng nửa tích của hai cạnh nhân với sin của gĩc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.b) Diện tích của một hình bình hành bằng tích của hai cạnh kề nhân với sin của gĩc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. HD: a) Gọi là gĩc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. Vẽ đường cao CH. CH AC.sina BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài 1. Cho tam giác ABC cĩ AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m.a) Chứng minh tam giác ABC vuơng. b) Tính sinBC ,sin . HD: a, Dùng Pytago b, Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết HB = 112, HC = 63.a) Tính độ dài AH. b) Tính độ dài AD. HD: a) AH = 84 b) AD 60 2 . Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết AH=5, CH=6.a) Tính AB, AC, BC, BH. b) Tính diện tích tam giác ABC. 5 61 25 305 HD: a) AB , AC 61 , BH b) S . 6 6 12 Bài 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Biết AH = 16, BH = 25.a) Tính AB, AC, BC, CH. b) Tính diện tích tam giác ABC. HD: a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuơng AHB để tính AB. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 11
12. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Dùng cơng thức: AB2=BH.BC để tính BC và suy ra HC. AH.BC=AC.AB để tính AC. b, . Bài 5. Cho hình thang ABCD cĩ gĩc A=D=900 và hai đường chéo vuơng gĩc với nhau tại O.a) Chứng minh hình thang này cĩ chiều cao bằng trung bình nhân của hai đáy.b) Cho AB = 9, CD = 16. Tính diện tích hình thang ABCD.c) Tính độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. HD: a) Vẽ AE // BD AB = ED và AE  AC. b) S = 150 c) OA 7,2; OB 5,4; OC 12,8; OD 9,6. Bài 6. Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35. HD: S = 210. Vẽ BE // AC (E CD) DE2 BD 2 BE 2 . Bài 7. Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.a) Chứng minh rằng tam giác đĩ là một tam giác vuơng.b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh. HD: a) Tính được AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm ABC vuơng tại A. b) Gọi O là giao điểm ba đường phân giác. SSSSABC OBC OCA OAB . Với ; ; ; ta được r=9cm. Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết gĩc A=480, AH=13cm. Tinh chu vi ABC HD: BC 11,6 cm ; AB AC 14,2 cm. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 12
13. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Bài 9. Cho ABC vuơng tại A, AB=a, AC=3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E DE DB sao cho AD=DE=EC.a) Chứng minh . b) Chứng minh BDE DB DC đồng dạng CDB.c) Tính tổng gĩc (AEB+BCD). 0 HD: a) DB22 2. a DE DC c) Gĩc(AEB+BCD)=ADB=45 . Bài 10. Cho hình thang ABCD cĩ hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuơng gĩc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.a) Tính BB sin cos . b) Tính diện tích hình thang ABCD. sinBB cos HD: a) 17 7 b) TH1: ABCD là hình thang cân, kẻ CH và DM cùng vuơng gĩc với AB, - Tính CH rồi suy ra HB, mà AM=HB nên DC=HM. => SABCD TH2: Nếu ABCD là hình bình hành thì SABCD=2SABC=AC.CB Bài 11. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE.a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. b) Tính c) Chứng minh d) Chứng minh: DE EC . 20 16 HD: a) AB 5 cm , AC cm , HC cm b) =3/2 3 3 d)gĩc =900. Bài 12. Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB < AC), đường cao AH. Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chứng minh rằng tam giác cĩ các cạnh a h;; b c h là một tam giác vuơng. HD: Chứng minh ()()b c2 h 2 a h 2 . Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 13
14. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Bài 13. Cho tam giác nhọn ABC, diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. 2 2 2 Chứng minh rằng:a) SSSABCAEF BFD CDE cos cos cos . b) 2 2 2 SABCDEF sin cos cos . SAEF 2 HD: a) Chứng minh cos A b) SSSSSDEF ABC AEF BFD CDE SABC 1 Bài 14. Cho ABC vuơng tại A cĩ sinC . Tính các tỉ số lượng giác của gĩc 4cosB B và C. 1 3 1 3 HD: cosB ; sin B ; sinC ; cosC . 2 2 2 2 Bài 15. Cho tam giác ABC cĩ ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:a) ANL ∽ ABC b) AN. BL . CM AB . BC . CA .cos A .cos B .cos C HD: a, Xét ALC và ANB cĩ nên ALC ANB (g.g) nên . Xét ANL và ABC cĩ ; nên ANL ABC (c.g.c) b, AN=AB.cosA; BL=BC.cosB; CM=AC.cosC. Bài 16. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ , BC = 4cm.a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Tính , AH, AM, HM, HC.b) Chứng minh 62 rằng: cos150 . 4 HD: a) ; AH 1 cm; AM 2 cm; HM 3 cm ; HC 2 3( cm ) Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 14
15. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin CH b) cos150 cosC . AC Bài 17. Cho tam giác ABC cân tại A, Cĩ , BC = 1cm. Kẻ phân giác CD. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của D trên AC.a) Tính AD, DC. 15 b) Kẻ CK  BD. Giải tam giác BKC.c) Chứng minh rằng cos360 . 4 HD: a, BCD cân tại C, CDA cân tại A ( Hai gĩc ở đáy bằng nhau) Nên DC=DA=BC=1cm b, BKC cĩ: nên CK=BC.sinB=1.sin720 Nên BK=BC.cosB=1.cos720 c, cos360=cosA= ; đặt AB=AC=2x, suy ra DB=AB-AD=2x-1, theo tính chất phân giác ta cĩ: suy ra . Tìm được x= ( vì x>0) hay AH= . Thay AD,AH vào cos360=cosA= => đpcm. Bài 18. Cho tam giác ABC cĩ AB = 1, , . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1. Vẽ ED // AB (D thuộc AC). Đường thẳng qua A vuơng gĩc với AC cắt BC tại F. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC.a) Chứng minh rằng tam giác ABE đều. Tính AH. b) Chứng minhgĩc Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 15
16. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin =450.c) Tính các tỉ số lượng giác của gĩc AED và gĩc AEF. d) Chứng minh AED AEF . Từ đĩ suy ra AD = AF. e) Chứng minh rằng: . HD: a, BEA cĩ AB=BE=1cm và nên BEA đều. AH=AB.cosB=1.cos600= . b, Vì mà nên . c, Ta cĩ: , từ đĩ tính sin600, cos600 d, AED và AEF cĩ: AE chung, ; nên AED = AEF ( g.c.g) và AD=AF ( hai cạnh tương ứng). e, Ta cĩ: . Bài 19. Giải tam giác ABC, biết:a) b) .c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma 5 , đường cao AH = 4.d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền , một gĩc nhọn bằng 470 . HD: a, ; AB=BC.cosB=10.cos750=2,59cm; AC=9,66cm b, ; Kẻ AH vuơng gĩc BC thì BH=HC. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 16
17. Gia Sư Trí Đức Nơi gửi gắm niềm tin Ta cĩ: BH=AB.cosB=6.cos300= cm nên BC= cm. c, BC==2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vuơng). AM=BM=5cm mà AH=4cm nên HM=3cm ( dùng Pytago) hay BH=2cm. Mà BH2+AH2=AB2. Từ đĩ tính AB và AC ( Dùng Pytago). d, nên ; BC=2ma=10 cm ( tính chất trung tuyến tam giác vuơng) AB=BC.cosB=10.cos470=6,8cm; AC= 7,33cm. Bài 20. Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.a) Giải tam giác vuơng ABC. b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH.c) Tính: EA.EB + AF.FC. 33 HD: a) AC 3 3( cm ), B=600, C=300 b) AH () cm 2 c)AE.EB = EH2; AF.FC = HF2; nên AE.EB+AF.FC=EH2+HF2=EF2=AH2= 27 . 4 Hệ thức lượng trong tam giác vuơng Trang 17