Bài tập Hình học Lớp 9: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 9: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết AH = 30cm, AB/AC = 5/6 a) CMR: AB2 /AC2 = BH/HC b) Tính: HB,HC 2) Cho hình vuông ABCD. Một đường thẳng d đi qua B cắt tia AD ở M 1 1 1 và cắt tia CD ở N. CM: = + 2 2 2 3 3) Cho tam giác ABC vuông tại A; = ; BC =125cm AH là đường 4 cao. Tính BH,AH và AC 4) Tìm độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông biết tỉ số 2 cạnh góc vuông bằng 5:4 và AH=40cm 5) Cho hình thang vuông ABCD có AB là đường cao, hai đường chéo AC và BD vuong góc tại O a) CM: AD.BC=AB2 b) CM: SAOB = sCOD 6) Cho tam Ggiác ABC vuông tại A; AD là đường cao E,F lần là hình chiếu của D trên AC và AB. CMR: 2 a) = 2 3 b) = 3 퐹 c) EF3 = BF.BC.CE 7) Cho tam giác ABC có AB=26dm; AC=25dm, đường cao AH=240cm. Tính BC 8) Cho tam giác ABC cân tại A có AH và BK là các đường cao. CMR: 1 1 1 = + 퐾2 2 4 2 9) Cho tam giác ABC vuông tại A, DϵBC. Vẽ DE⊥AB tại E; DE⊥AC tại F 10) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Chu vi tam giác ABH=30cm, chu vi tam giác ACH=40cm. Tính chu vi tam giác ABC và AH
2. 11) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Vẽ HE⊥AB tại E HE⊥AC tại F CM a) AH = EF b) AE.AB = AF.AC c) Góc AEF = Góc ACB (bằng 2 cách) d) Gọi M là trung điểm BC. CM: AM⊥EF e) Cho AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH; AE; AF và SBEFC 12) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm; BC = 18cm, Vẽ AH⊥BC tại H và D là hình chiếu của H trên AB a) CM: AH2 = AD.AB b) Tính AH; HD 13) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC. Biết BH = 4cm; HC = 9cm a) Tính độ dài đoạn DE b) Cm: AD.AB = AE.AC c) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. CM: M là trung điểm BH d) Tính SDENM 14) Cho tam giác ABC, đặt BC=a; AB=c; AC=b CH là đường cao, BH=a’; AH=b’. CMR: a) Góc A 900 thì a2 = b2+c2 + 2b’c 15) Cho hình thang vuông ABCD; góc A = góc D = 900 AB=15cm; AD=20cm các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O a) Tính độ dài các đoạn OB,OD b) Tính độ dài đường chéo AC c) Tính S hình thang ABCD
3. 16) Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia Ax bà By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD=900 a) CM AB2 =4AC.BD b) M là 1 điểm thuộc cd. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên OC, OD, CM: MC.MD = EO.EC+FO.FD 17) Tam giác ABC có duongt792 cao AH ( H nằm giữa B và C ) AH=12cm; HB=9cm ; BC=25cm a) CM tam giác vuông ở A b) kẻ tia Bx//AC cắt AH ở D. Tính HD và C/m AB2 = AC.BD c) Kẻ DE⊥AC (EϵAC) DE cắt BC ở F c/m BH2 = HF.HC d) C/m: SABH = SCDH 18) Tam giác ABC vuông ở A có AB=12cm; AC=16cm a) Tính độ dài trung tuyến AM b) Kẻ đường cao AH. Tính chu vi tam giác ABH C) Tia phân giác của góc AMB và góc AMC cắt AB,AC lần lượt ở D và E. C/m tam giác ABC ∾ tam giác ADE d) Tính SBDEC và SDME 19) Cho hình chữ nhật BCD có AB=8cm AD=6cm. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo BD tại H cắt các đường thẳng vuông góc CD,BC lần lượt tại I,K a) Tính DH, IH, ID, IK b) C/m BC2=DH.DB c) Goị S là trung điểm BH, R là trung điểm AH. C/m SH.BD=SR.DC
4. 20)Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau AB, AC, AH, HB, HC, BC. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết a) AB=6 và AC=8 b) AB=15 và HB=9 c) AC =44 và BC=55 d) AC=40 và AH=24 e) AH=9,6 và HC=12,8 f) HB=12,5 và HC=72 g) BC=25 và AH=12 (AB<AC) h) AB=15 và HC=16 i) AH=12 và trung tuyến AM=13 21) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, phân giác AD. Biết BD=15, DC=20. Tính AH, AD (làm tròn đến chữ số thâp phân thứ 2) 22) Cho tam giác ABC có AC–AB=7,AH là đường cao (H nằm giữa B, C) và HB=6; HC=15. Tính AB, AC 23) Cho tam giác ABC vuông ở A duong92 cao AH, trung tuyến AM 3 a) Biết BC=125, = . Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc 4 vuông trên cạnh huyền 3 b) Biết AH=42; . Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông = 7 trên cạnh huyền c) Biết AH=48; HB:HC=9:16, Tính AB, AC, BC 40 d) Biết và AB<AC. Tính tỉ số = 41
5. 24) Cho hình thang ABCD (AB//CD). Hai đường chéo vuông góc. Biết BD=15 và đường cao hình thang bằng 12. Tính Shình thang 25) Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH=32, đường cao BK=38,4 a) Tính các của tam giác ABC b) Đường trung trực của AC cắt AH tại O. Tính OH 3 26) Cho tam giác ABC có góc A=900 và đường cao AH. Biết và = 5 AB=15 a) Tính HB, HC b) Gọi E,F là hình chiếu của H lên AB,AC. C/m AH3=BC.BE.CF 27) Cho hình chữ nhật ABCD có AD=8, DC=15 a) Tính AC b) Đường thẳng qua D và vuông góc với AC tại M cắt AB ở N và cắt tia CB ở I. Tính DM 28) Cho tam giác ABC có AC=16, AB=12,BC=20 a) C/m tam giác ABC vuông. Tính AH b) Từ H kẻ HE,HF lần lượt vuông góc với AC,AB. Tính HE,HF 29 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH. Từ H vẽ HE⊥AB HF⊥AC a) C/m AE.AB=AF.AC b) Cho BH=3, AH=4. Tính AE,BE c) Cho góc HAC=300. Tính FC 30) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH. Từ H vẽ HE⊥AB
6. HF⊥AC a) C/m AE.AB=AF.AC b) Tứ giác AEHF là hình gì nếu AH2=BH.HC c) Trong trường hợp ở câu b). C/m AB.AC=EF.BC 31) Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm, trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia Ax⊥AB và By⊥ AB. Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD=900 a) C/m AB2=4AC.BD b) M là 1 điểm ϵ CD . Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên OC,OD. C/m MC.MD=EO.EC+FO.FD 32 Cho hình chữ nhật ABCD (AB>BC) và DH⊥AC có HA=9 BC=15 a) Tính HD, góc DAC b) Tia DH cắt AB, CB lần lượt tại M,E. Tính HC và SCHE c) C/m HD.DE=HC.AC và HD2= HM.HE 33) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD, đường cao AH. Biết BD=7,5 và DC=10. Tính AH,BH,HD 34) Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao ứng với cạnh đáy =15,6 và đường cao ứng với cạnh bên =12 35) Cho tam giác ABC cân có AB=AC=9, BC=12, đường cao AH, I là hình chiếu của H trên AC a) Tính CI b) Kẻ đường cao BK của tam giác ABC. C/m điểm K nằm giữa 2 điểm C và A
7. 36) Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, AB=20, HC=9. Tính AH 37) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt HC ở D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC. Biết BC=25, DK=6. Tính AB 38) Tam giác ABC có AB=6, AC=8, 2trung tuyến BD và CE vuông góc nhau. Tính BC 39) Cho tam giác ABC có góc B=600, BC=80, AB+AC=12. Tinh1 AB,AC 40) Tam giác ABC vuong tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD ở I. Biết IB=10 5 , ID=5 5. Tính SABC 41) Tam giác ABC vuông ở A. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác a) Biết AB=5, IC=6. Tính BC b) Biết IB= 5, IC= 10. Tính AB, AC 42) Cho tam giác ABC vuông tại A, I là giao điểm của các đường phân giác, M là trung điểm BC a) Biết AB=6, AC=8. Tính góc BIM b) Biết góc BIM=900, 3 cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với 3 số nào 43) Cho tam giác ABC vuông tại có AD là đường cao kẻ DE⊥AC và DF⊥AB 2 a) C/m = 2 3 b) C/m = 3 퐹 c) C/m EF3=BF.CE.BC 44) Cho hinh thang ABCD có góc A=góc D và AC⊥ BD
8. a) C/m AD2=AB.AC 1 1 1 b) C/m = + 2 2 2 45) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là giao điểm các đường phân giác. Biết IA=2 5, IB=3. Tính AB 46) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có AD là đường cao a) Cho AB=15, BC=25. Tính AC, AD 2 b) Không dùng giả thiết câu a. Chứng minh = 2 c) Kẻ AE là đường phân giác của tam giác DAC (E thuộc DC). Kẻ CH vuong góc với AE tại H. Chứng minh: DE.EC=EA.EH d) Chứng minh: AD.AC=AE2+DE.EC 46) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. C/m a) AB.AE=AC.AF b) AH3=BC.BE.CF