Bài tập luyện thi THPT Quốc gia môn Hình học Lớp 12

30 trang thaodu 5440

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập luyện thi THPT Quốc gia môn Hình học Lớp 12", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_tap_luyen_thi_thpt_quoc_gia_mon_hinh_hoc_lop_12.doc

Nội dung text: Bài tập luyện thi THPT Quốc gia môn Hình học Lớp 12

Trang 1
VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN CỦA QUAN HỆ VUƠNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. CÁC ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 90 0. a  b (a,b) 900 Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuơng gĩc với mặt phẳng nếu nĩ vuơng gĩc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đĩ. a  ( ) b  ( ) : a  b Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 90 0. ( )  ( ) (( ),( )) 900 . Định nghĩa 4: Gĩc giữa hai đường thẳng a và b là gĩc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b. Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng (α) thì ta nĩi rằng gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 900. Nếu đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mặt phẳng (α) thì gĩc giữa a và hình chiếu a’ của nĩ trên mặt phẳng (α) gọi là gĩc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α). Định nghĩa 6: Gĩc giữa hai mặt phẳng là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai mặt phẳng đĩ. Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đĩ H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆). Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đĩ của a đến mặt phẳng (α). Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ. II. CÁC ĐỊNH LÝ THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG a  b  d  (P)  2)  d  a 1) a,b  (P)  d  (P) a  (P) d  a,d  b d  (P) (P) / /(Q) 3)  d '  (P) 4)  d  (Q) d '/ /d  d  (P)  Trang 2
d / /(P)  d  (P)  5)  d '  d 6)  (P)  (Q) d '  (P) d  (Q) (P)  (Q)  (P)  (Q)  (P)  (Q) (P)  (R)   (R) d (Q)   8) 7) d  (P) (Q)  (R)  d   a kh«ng vu«ng gãc víi (P)  b  (P)  b  a 9) a' lµ h × nh chiÕu cđa a trªn (P) b  a'  (ĐL ba đường vuơng gĩc ) B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng, đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng, mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng. 1) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại C, SA  (ABC) a) Chứng minh rằng: BC  (SAC) b) Gọi E là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE  (SBC) c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuơng gĩc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB  (P). d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF  (SAB) 2) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với đáy. M và N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. a) CMR: AM  (SBC); AN  (SCD); b) CMR: BD  (SAC) c) CMR: MN / /BD; MN  (SAC) d) Gọi K là giao của SC với (AMN), CMR: tứ giác AMKN cĩ hai đường chéo vuơng gĩc. 3) Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng, tam giác SAB là tam giác đều, (SAB)  (ABCD). Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: FC  (SID) Trang 3
4) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, SA  (ABCD) , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng tam giác SCD vuơng. 5) Cho hình chĩp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: MN  BD 6) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng, tam giác SAD đều, (SAD)  (ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: AM  BP 7) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD a 2 , SA  (ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: (SAC)  (SMB) 8) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB= a, BC = a3 . Mặt bên SBC vuơng tại B, SCD là tam giác vuơng tại D, SD= a 5 a) CM: SA (ABCD) b) Đường thẳng đi qua A và  AC, cắt các đt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là h/c của A lên SC. Xđ các giao điểm K, L của SB, SD với mp (HIJ). CMR: AK (SBC), AL (SCD) 9) Cho tứ diện ABCD cĩ SA (ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC và SBC. CMR: a) AH, SK, BC đồng quy b) SC (BHK); (SAC)  (BHK) c) KH (SBC); (SBC)  (BHK) Dạng 2. Bài tốn xác định gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng, gĩc giữa hai mặt phẳng 10) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, (SAB)  (ABCD), H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD 11) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SA a 6 . Tính sin của gĩc giữa: a) SC và (SAB) b) AC và (SBC) 12) Cho hình chĩp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a 3 . Tính gĩc giữa SA và mp(ABC) 3 13) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng 2a, SA a,SB a 3,(SAB)  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM và DN? 14) Cho hình chĩp S.ABC, SA  (ABC) a) Xác định gĩc giữa (ABC) và (SBC) b) Giả sử tam giác ABC vuơng tại B xác định gĩc giữa hai mp (ABC) và (SBC) Trang 4
a 3 15)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD cạnh a gĩc BAD = 600 và SA = SB = SD = 2 a) CMR: (SAC) (ABCD) b) CMR SB BC c) Tính tan của gĩc giữa hai mp(SBD) và (ABCD) 16)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuơng gĩc, ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB cân tại S. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC a) Chứng minh DC (SMN) b) Tính gĩc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD) c) Tính gĩc giữa 2mp(SMC) và (ABCD) 17) Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O, cạnh a, SO vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Cho biết MN tạo với (ABCD) gĩc 600. a) Tính MN và SO b) Tính gĩc giữa MN và (SBD) Dạng 3. Bài tốn xác định khoảng cách từ một điểm điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giưa hai đường thẳng chéo nhau. 18) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA  (ABCD) , SA=2a, a) Tính d(A,(SBC)) b) Tính d(A,(SBD)) 19) Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB đều, (SAB)  (ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính d(I,(SFC)) 20) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD a 3 . Hình chiếu vuơng gĩc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính d(B',(A'BD)) 21) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, ·ABC 300 , SBC là tam giác đều cạnh a, (SBC)  (ABC) . Tính d(C,(SAB)) Trang 5
22) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, SD  (ABCD) , SD=a. a) Tính d(D,(SBC)) b) Tính d(A,(SBC)) 23) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, BA=3a, BC=4a, (SBC)  (ABC),SB 2a 3,S· BC 300 . Tính d(B,(SAC)) 24) Cho tứ diện ABCD cĩ AB=a, tất cả các cạnh cịn lại bằng 3a. Tính d(AB,CD) 25) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, SH  (ABCD),SH a 3 . Tính d(DM ,SC) a 2 26) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA' . Tính 2 d(AB,CB') 27) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên bằng a 2 . Tính d(AD,SB) 28) Cho hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính d(SA,BD) 29) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính d(AB,SN) 30) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB=a, AA’=2a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính d(A,(IBC)) · 0 31) Cho hình chĩp SABC, SA 3a,SA  (ABC), AB 2a, ABC 120 . Tính d(A,(SBC)) 32) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang , ·ABC B· AD 900 , BA=BC=a, AD=2a, SA  (ABCD) , SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuơng và tính d(H,(SCD)) 33) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, BA=BC=a, AA' a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính d(AM ,B'C) Trang 6
34) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Chứng minh rằng: MN  BD . Tính d(MN, AC) Phần 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN GHI NHỚ A. MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CẦN GHI NHỚ LÀM CƠ SỞ ĐỂ TÍNH TỐN 1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho tam giác ABC vuơng ở A, đường cao AH. Khi đĩ ta cĩ: 1 1 1 AB2 AC2 BC2 AB2 BC.BH, AC 2 B C .CH AH 2 AB2 AC 2 b) Cho tam giác ABC cĩ các cạnh là a, b, c. Định lý cosin: a2=b2 c2 –2bc.cosA; b2 c2 a2 2ca.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC a b c Định lý sin: 2R sin A sin B sin C b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 Cơng thức trung tuyến: m2 ; m2 ; m2 a 2 4 b 2 4 c 2 4 2. Cơng thức diện tích a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1 S a.h b.h c.h S bcsin A ca.sin B absin C 2 a 2 b 2 c 2 2 2 abc S S pr S p p a p b p c 4R ABC vuơng tại A: 2S AB.AC BC.AH a2 3 ABC đều cạnh a: S 4 b) Hình vuơng: S = a2 (a: cạnh hình vuơng) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành:S = AB.AD.sin·BAD Trang 7
1 e) Hình thoi: S AB.AD.sin·BAD AC.BD 2 1 f) Hình thang: S a b .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2 1 g) Tứ giác cĩ 2 đường chéo vuơng gĩc: S AC.BD 2 3. Thể tích khối chĩp 1 V S .h (trong đĩ S là diện tích đáy, h là chiều cao) 3 đáy đáy B. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 CẦN NHỚ ĐỂ HỌC HÌNH KHƠNG GIAN LỚP 12. §1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song a với nhau nếu chúng khơng cĩ điểm nào chung. a//(P) a(P)  (P) II.Các định lý ĐL1:Nếu đường thẳng d khơng nằm trên d mp(P) và song song với đường thẳng a nằm d  (P) trên mp(P) thì đường thẳng d song song với a mp(P) d / /a d / /(P) (P) a  (P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với (Q) a mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) a/ /(P) d thì cắt theo giao tuyến song song với a. a(Q) d/ /a (P)(Q) d (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao (P)(Q) d d (P)/ /a d/ /a tuyến của chúng song song với đường thẳng a (Q)/ /a Q đĩ. P Trang 8
§2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với (P)/ /(Q) (P)(Q)  nhau nếu chúng khơng cĩ điểm nào chung. P Q II. Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b a,b (P) a cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng ab I (P)/ /(Q) P b I (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. a/ /(Q),b/ /(Q) Q ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong a hai mặt phẳng song song thì song song với (P) / /(Q) P a / /(Q) mặt phẳng kia. a  (P) Q ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song R song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng (P) / /(Q) a P song song. (R)  (P) a a / /b Q b (R)  (Q) b §3. ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuơng gĩc amp(P) ac,c(P) a với một mặt phẳng nếu nĩ vuơng gĩc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đĩ. P c II. Các định lý: Trang 9
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm d trong mp(P) thì đường thẳng d vuơng gĩc da,db với mp(P). a,bmp(P) dmp(P) a,b cắt nhau b P a ĐL2: (Ba đường vuơng gĩc) Cho đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mp(P) và a đường thẳng b nằm trong (P). Khi đĩ, điều a  mp(P),bmp(P) kiện cần và đủ để b vuơng gĩc với a là b ba ba' a' b vuơng gĩc với hình chiếu a’ của a trên (P). P §4. HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 900. II. Các định lý: ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường Q thẳng vuơng gĩc với một mặt phẳng khác a thì hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với nhau. a  mp(P) mp(Q)  mp(P) P a  mp(Q) ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng P gĩc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào (P)(Q) a nằm trong (P), vuơng gĩc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuơng gĩc với mặt (P)(Q) d a(Q) a(P),ad phẳng (Q). d Q ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng P gĩc với nhau và A là một điểm trong (P) thì (P)  (Q) a đường thẳng a đi qua điểm A và vuơng gĩc A A (P) với (Q) sẽ nằm trong (P) a  (P) A a Q a  (Q) Trang 10
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng P Q vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba thì giao a tuyến của chúng vuơng gĩc với mặt phẳng (P)(Q) a thứ ba. (P)  (R) a  (R) (Q)  (R) R §5. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 mặt O phẳng: H a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đĩ H là O hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH P 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: a O Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đĩ của a đến mp(P). H P d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: O P là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt H phẳng kia. d((P);(Q)) = OH Q A 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài a đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ. b d(a;b) = AB B §6. GĨC Trang 11
a a' 1. Gĩc giữa hai đường thẳng a và b b' là gĩc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần b lượt cùng phương với a và b. 2. Gĩc giữa đường thẳng a khơng vuơng gĩc với mặt phẳng (P) a là gĩc giữa a và hình chiếu a’ của nĩ trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuơng gĩc với mặt phẳng (P) thì ta nĩi rằng gĩc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900. a' P 3. Gĩc giữa hai mặt phẳng là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai mặt phẳng đĩ. a b Hoặc là gĩc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng P Q vuơng gĩc với giao tuyến tại 1 điểm b a P Q 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong S mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S' Scos C (trong đĩ là gĩc giữa hai mặt phẳng (P),(P’)) A B Phần 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP CỤ THỂ Dạng 1. KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY (Với khối chĩp loại này đường cao chính là độ dài cạnh bên vuơng gĩc với đáy) Trang 12
1. Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với AC = a biết SA vuơng gĩc với đáy ABC và SB hợp với đáy một gĩc 60o. Tính thể tích khối chĩp. 2. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cĩ cạnh a và SA vuơng gĩc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một gĩc 60 o.Tính thể tích hình chĩp SABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). 3. Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA=BC=a biết SA vuơng gĩc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một gĩc 30o. Tính thể tích hình chĩp . 4. Cho hình chĩp SABC cĩ SB = SC = BC = CA = a. Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuơng gĩc với (SBC). Tính thể tích hình chĩp. 5. Cho khối chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác cân tại A với BC=2a, ¼BAC 120o , biết SA  (ABC)và mặt (SBC) hợp với đáy một gĩc 45o . Tính thể tích khối chĩp SABC. 6. Cho khối chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA  (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một gĩc 60o Tính thể thích khối chĩp SABCD. 7. Cho khối chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và gĩc nhọn A bằng 60 o và SA  (ABCD). Biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.Tính thể tích khối chĩp SABCD. 8. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên (SAB) và (SAD) vuơng gĩc với đáy, SA = AB = a, gĩc S· DA 300 . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. 9. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA vuơng với đáy, gĩc giữa SC và (SAB) bằng 450. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.Tính thể tích khối chĩp G.ABCD. 10. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ACBD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳmg (ABCD), gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. (THPT QG 2015) 11. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác cân tại B , ·ABC 1200 , AB a , SB vuơng gĩc với mặt phẳng ABC , gĩc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 45 .0 Gọi M là trung điểm của AC và N là trung điểm của SM . Tính theo a thể tich khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABN . (dự bị THPT QG 2015) 12. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD, gĩc giữa (SMN) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. 13. Hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân (BA = BC), cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và cĩ độ dài là a 3 , cạnh bên SB tạo với đáy một gĩc 600. Tính thể tích khối chĩp và diện tích tồn phần của hình chĩp. Trang 13
14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA  ( ABCD) và SA=a. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm của CD. 15. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a. AD = 2a. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy, gĩc giữa SB và mặt đáy là 450. a) Tính thể tích khối chĩp S.ABCD b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chĩp S.AHKD. 16. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a biết SA vuơng gĩc với đáy và SC hợp với (SAB) một gĩc 300. Tính thể tích khối chĩp S.ABC. 17. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, AB BC a ,CD 2a , SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và SA a . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). 18. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B biết AB = AC = a, AD = 2a, SA vuơng gĩc với đáy và (SCD) hợp với đáy một gĩc 600. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. 19. Cho hình chĩp S.ACB cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân (BA BC) , cạnh SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và cĩ độ dài bằng a 3 , cạnh bên SB tạo với mặt đáy một gĩc 600 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC và diện tích tồn phần của hình chĩp. 20. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Đường SD tạo với mặt phẳng (SAB) một gĩc 300 . Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a . · 21. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, BAC = 300, SA = AC = a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 22. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật cĩ AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuơng gĩc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một gĩc 600. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. 23. Cho khối chĩp S.ABC cĩ SA vuơng gĩc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuơng cân tại B, SA= a, SB hợp với đáy một gĩc 300 .Tính thể tích của khối chĩp S.ABC. 24. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. SA (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN). 25. Hình khơng gian Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B. SA  (ABC) , SA=AB=a; BC=a3 . Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối tứ diện GSIC. 26. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA (ABCD), SB = a3 , gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích khối chĩp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB. Trang 14
27. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 450 và SC 2a 2 . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD theo a . 28. Hình khơng gian Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B. SA  (ABC) , SA=AB=a; BC=a3 . Gọi I là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối tứ diện GSIC. 29. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SC  (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cĩ cạnh bằng a 3 và ·ABC 1200. Biết rằng gĩc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 450 .Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BD. 30. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B , BC 3a , AC a 10 . Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. Gĩc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC bằng 60 .0 Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a , biết M là điểm trên đoạn BC sao cho MC 2MB . 31. Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN). 32. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. Gĩc giữa SC và mặt đáy bằng 450 . Gọi E là trung điểm BC. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a. 33. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB 2a , B· AC 600 , cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,CM. 34. Trong khơng gian cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, BC = 3a, AC a 10 , cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, gĩc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo a, biết M là điểm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Trang 15
35. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA vuơng gĩc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật cĩ AD = 3a, AC = 5a, gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 0. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và tính gĩc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). 36. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD 2a , SA  (ABCD) . Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung 1 điểm của CD biết gĩc giữa SC và mặt phẳng chứa đáy là với tan 5 Dạng 2: KHỐI CHĨP CĨ MẶT BÊN VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY. Chú ý: Đối với khối chĩp này thì đường cao của tam giác nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy hạ từ đỉnh của khối chĩp) chính là chiều cao của khối chĩp. 37. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cĩ cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáyABCD. Chứng minh rằng chân đường cao khối chĩp trùng với trung điểm cạnh AB. Tính thể tích khối chĩp SABCD. 38. Cho tứ diện ABCD cĩ ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuơng cân tại D , (ABC) (BCD) và AD hợp với (BCD) một gĩc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD. 39. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, cĩBC = a. Mặt bên SAC vuơng gĩc với đáy, các mặt bên cịn lại đều tạo với mặt đáy một gĩc 45 0. Chứng minh rằng chân đường cao khối chĩp trùng với trung điểm cạnh AC. Tính thể tích khối chĩp SABC. 40. Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC vuơng cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một gĩc 45 o. Tính thể tích của SABC. 41. Cho hình chĩp SABC cĩ B· AC 90o ;A· BC 30o ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB)  (ABC). Tính thể tích khối chĩp SABC. 42. Cho hình chĩp SABCD cĩ ABCD là hình chữ nhật , D SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một gĩc 30o .Tính thể tích hình chĩp SABCD. 43. Cho hình chĩp SABCD cĩ ABCD là hình chữ nhật cĩ AB = 2a , BC = 4a, SAB  (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một gĩc 30o .Tính thể tích hình chĩp SABCD. 44. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AD = CD = a; AB =2a, D SAB đều nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với (ABCD). Tính thể tích khối chĩp SABCD . 45. Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và D SAD vuơng cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với ABCD. Tính thể tích hình chĩp SABCD. Trang 16
46. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuơng gĩc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Tính thể tích hình chĩp S.ABCD. 47. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Gĩc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chĩp S. ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. 48. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuơng tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy, hình chiếu vuơng gĩc của S trên đường thẳng AB là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Gọi I là giao điểm của HC và BD. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD). 49. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a, gĩc BAD 1200 .Mặt bên (SAB) cĩ SA a, SB a 3 và vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích hình chĩp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB). 50. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết SD 2a 3 và gĩc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 . Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). 51. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC 2a, BD 4a , tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. 52. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 2 , tam giác SAB cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) . Biết gĩc giữa mặt phẳng (SAC )và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD . Gọi H là trung điểm cạnh AB tính gĩc giữa hai đường thẳng CH và SD. 53. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một gĩc 60 0. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a. 54. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một gĩc bằng 600 . Xác định rõ gĩc và tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a. 55. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB = a; AC = 2a. Mặt bên (SBC) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Biết gĩc giữa hai mặt (SAB) và (ABC) bằng 300. Tính thể tích khối chĩp SABC và khống cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a. Trang 17
56. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng a , hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB . Gĩc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy bằng 450 . Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) . 3a 57. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a , SD . Hình chiếu vuơng gĩc H của đỉnh 2 S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD . 58. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a. Gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của SC, biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD). Dạng 3: KHỐI CHĨP ĐỀU Chú ý: Đối với khối chĩp này thì chiều cao chính là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của mặt đáy. 59. Cho chĩp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chĩp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chĩp đều SABC . 60. Cho khối chĩp tứ giác SABCD cĩ tất cả các cạnh cĩ độ dài bằng a. Tính thể tích khối chĩp SABCD. 61. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC), Suy ra thể tích hình chĩp MABC. 62. Cho hình chĩp đều SABC cĩ cạnh bên bằng a và cạnh bên hợp với đáy ABC một gĩc 60 o. Tính thể tích khối chĩp. 63. Cho hình chĩp tam giác đều SABC cĩ cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một gĩc 60 o. Tính thể tích khối chĩp SABC. 64. Cho hình chĩp tứ giác đều cĩ mặt bên hợp với đáy một gĩc 45 o và khoảng cách từ chân đường cao của chĩp đến mặt bên bằng a.Tính thể tích hình chĩp. 65. Cho hình chĩp SABCD cĩ tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chĩp tứ giác 9a3 2 đều.Tính cạnh của hình chĩp này khi thể tích của nĩ bằng V . 2 66. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C và D . Tính thể tích của khối đa diện ADD .BCC . Trang 18
67. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN  BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 68. (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 5a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 69. Cho hình chĩp đều A.BCD cĩ AB a 3;BC a . Gọi M là trung điểm của CD. Tính thể tích khối chĩp A.BCD theo a và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AD. 70. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN). Vấn đề 4. BÀI TẬP TỔNG HỢP (Về khối chĩp trong các đề thi đại học, thi thử đại học) 71. Cho hình chĩp S.ABC cĩ ABC là tam giác vuơng tại B, AB a 3 , A· CB 600 , hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE a 3 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). 72. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Gĩc B· AC 600 , hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng SAC hợp với mặt phẳng (ABCD) gĩc 600. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ B đến (SCD) theo a. 73. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, gĩc B· AC 60o , SO  ABCD và 3a SO . Gọi E là trung điểm CD, I là trung điểm DE. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng 4 cách từ O đến mp(SCD). 74. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a .Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một gĩc bằng 45 0. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD). 75. Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại A , AB AC a , I là trung điểm của SC , hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC , mặt phẳng SAB tạo với đáy Trang 19
1 gĩc bằng 60 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SAB theo a . 76. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Gĩc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chĩp S. ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. 77. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh S lên 5 mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD. Biết SA a 2, AC 2a, SM a, 2 với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC. 78. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC 2a, BD 4a , tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. 3a 79. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SD = , hình chiếu vuơng gĩc của S 2 trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). (A-2014) 80. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuơng gĩc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. (D-2014) 81. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45°, SA = SB. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa AC và SB. (A-2010) 82. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, AB = a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30°. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích của khối chĩp S.ABM theo a. (D-2011) 83. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, AB = a2 , SA = SB = SC. Gĩc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chĩp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối chĩp S.ABC theo a. (D-2012) Trang 20
84. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. SA vuơng gĩc với đáy, SC tạo với đáy một gĩc bằng 45°. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). (D-2013) 85. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a3 . Tính thể tích khối chĩp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. (A-2010) 86. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chĩp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. (A-2011) 87. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. (A-2012) 88. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại A, gĩc ABC = 30°. SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuơng gĩc với đáy. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). (A-2013) 89. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuơng gĩc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chĩp S.ABH theo a. (B-2012) 90. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). (B-2013) Trang 21
VẤN ĐỀ 2. THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Hình lăng trụ Hình hợp bởi các hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, , AnA1A’nA’1 và hai miền đa giác A1 A2 An, A’1A’2 A’n nằm trong hai mặt phẳng song song đươc goi là hình lăng trụ. Các hình bình hành A 1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2, , AnA1A’nA’1 là các mặt bên. Hai miền đa giác A 1A2 An, A’1A’2 A’n là hai mặt đáy. Các đoạn thẳng A 1A1′, , AnA’n là các cạnh bên. Các đoạn thẳng A 1A2, , A’1A’2 là các cạnh đáy. Ký hiệu hình lăng trụ: A 1A2 An. A’1A’2 A’n . Gọi tên lăng trụ theo tên các đa giác đáy: Lăng trụ tam giác (cĩ đáy là tam giác), lăng trụ tứ giác (cĩ đáy là tứ giác), 2. Hình lăng trụ đứng: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ cĩ các cạnh bên vuơng gĩc với mặt đáy. Suy ra: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuơng gĩc với mặt đáy. 3. Hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều. Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ngồi ra, hình lăng trụ đều cĩ các tính chất của hình lăng trụ đứng. 4. Hình hộp Hình lăng trụ tứ giác cĩ đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. Nhận xét: Sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành. Mỗi mặt cĩ một mặt song song với nĩ, hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện. 5. Hình hộp đứng: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình bình hành. Trang 22
Nhận xét: Trong hình hộp đứng cĩ bốn mặt bên là hình chữ nhật. 6. Hình hộp chữ nhật: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng cĩ đáy là hình chữ nhật. Nhận xét: Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật. 7. Hình lập phương: Hình lập phương là hình hộp cĩ tất cả sáu mặt là hình vuơng. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP I. KHỐI LĂNG TRỤ, HÌNH HỘP CĨ CĨ CẠNH BÊN VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY (LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỘP ĐỨNG). 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuơng cân tại A cĩ cạnh BC = a2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. 2. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' cĩ cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. 3. Cho lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. 4. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' cĩ đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' a 6 . Tính thể tích của lăng trụ. 5. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B cĩ đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. 6. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a, biết A'B hợp với đáy ABC một gĩc 600 . Tính thể tích lăng trụ. 7. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A với AC = a, A· CB 600 biết BC' hợp với (AA'C'C) một gĩc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ. 8. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một gĩc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . Trang 23
9. Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼BAD = 60 o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một gĩc 30o .Tính thể tích của hình hộp. 10.Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một gĩc 30o . Tính thể tích lăng trụ. 11.Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một gĩc 30o . Tính thể tích lăng trụ. 12. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cĩ đáy ABC vuơng tại A biết AC = a và ¼ACB 60obiết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một gĩc 30o .Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. 13. Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' cĩ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một gĩc 300 . Tính thể tích lăng trụ . 14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cĩ đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một gĩc 30o và hợp với (ABB'A') một gĩc 45o .Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. 15. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B với BA = BC = a, biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một gĩc 600 .Tính thể tích lăng trụ. 16. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' cĩ cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một gĩc 60o. Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cĩ AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một gĩc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một gĩc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 18. Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cĩ AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một gĩc 30 o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một gĩc 600 .Tính thể tích hộp chữ nhật. 19. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một gĩc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ. 20. Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và ¼BAC 120o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một gĩc 45o. Tính thể tích lăng trụ. 21. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' cĩ cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: a) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một gĩc 45o. b) BD' hợp với đáy ABCD một gĩc 600. c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a. Trang 24
22. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một gĩc 60o . b) Tam giác BDC' là tam giác đều. 0 c) AC' hợp với đáy ABCD một gĩc 45 . II. KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Ví dụ 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một gĩc 60o . Tính thể tích lăng trụ. Ví dụ 2. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một gĩc 60 . 1)Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2)Tính thể tích lăng trụ. Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = 3 AD =7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những gĩc 45 0 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Bài 1. Cho lăng trụ ABC A'B'C'cĩ các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một gĩc 45o . Tính thể tích lăng trụ. Bài 2. Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC một gĩc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Bài 3. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'cĩ AB =a;AD =b;AA' = c vàB· AD 30o và biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC một gĩc 60o.Tính thể tích lăng trụ. Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' = 2a 3 .Tính thể tích lăng trụ. 3 Bài 5. Cho lăng trụ ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' cĩ hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một gĩc 60o . 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'. Trang 25
Bài 6. Cho lăng trụ ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC 1 gĩc 60o và C' cĩ hình chiếu trên ABC trùng với O . 1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B. 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'. Bài 7. Cho lăng trụ ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuơng gĩc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a. 1) Tìm gĩc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. 2) Tính thể tích lăng trụ Bài 8. Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một gĩc 90o Bài 9. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' cĩ 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuơng gĩc của A' trên(ABCD) nằm trong hình thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đơi một tạo với nhau một gĩc 60o . 1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD. 2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'. 3) Tính thể tích của hộp. Bài 10. Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và gĩc A = 60o chân đường vuơng gĩc hạ từ B' xuơng ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a. 1) Tìm gĩc hợp bởi cạnh bên và đáy. 2) Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp. MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP, THI ĐẠI HỌC 2014. 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuơng gĩc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy một gĩc bằng 45 . Tính thể tích của khối lăng trụ này . 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gĩc giữa CA và' mặt (AA ' B ' B) bằng 30° . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B 'C 'và khoảng cách giữa A ' Ivà AC với I là trung điểm AB. 3. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A với AC = a ·ACB 600 , biết AC’=3a. Tính thể tích lăng trụ và gĩc hợp bởi BC’ với (AA'C'C). Trang 26
4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuơng gĩc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng a 3 cách giữa AA’ và BC là 4 5. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C ' , ABC đều cĩ cạnh bằng a , AA' a và đỉnh A' cách đều A, B,C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A'B . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C ' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN) . 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A , AB a, ·ABC 600. Gĩc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABC) bằng 450 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và cosin của gĩc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng (A' BC) . 7. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuơng gĩc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’, gĩc giữa A’B với mặt phẳng (A’B’C’) bằng 60 0. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và A’B theo a. 8. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C ' cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một gĩc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2015 1. Cho lăng trụ ABC.A' B' C' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B , AC 2a . Hình chiếu vuơng gĩc của A' trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh AC , đường thẳng A' Btạo với mặt phẳng ( ABC ) một gĩc 450 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A' B' C' và chứng minh A' B vuơng gĩc với B' C . 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác đều cĩ cạnh bằng a và AB' a 3. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’. 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' cĩ đáy A'B'C ' là tam giác vuơng tại A’, mặt bên ABB' A 'là hình vuơng. Cho biết B'C ' a 3, gĩc giữa đường thẳng B'C và mặt phẳng A'B'C ' bằng 30 0 . Tính theo a, thể tích của khối lăng trụ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BA' và B'C. 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, biết AB = a 2 . Hình chiếu vuơng gĩc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theoa thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC. MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH LĂNG TRỤ TRONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC THÁNG 5-6/2016 Trang 27
1. Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuơng gĩc của A¢ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA¢C ¢C )tạo với đáy một gĩc bằng 45o . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ và khoảng cách từ B đến mp(AA’C’C). · 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cĩ AB a, AC 2a, AA1 2 5a , BAC 120 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 . Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A1BM ). 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C ' cĩ đáy A'B'C ' là tam giác vuơng tại A’, mặt bên ABB' A ' là hình vuơng. Cho biết B'C ' a 3, gĩc giữa đường thẳng B'C và mặt phẳng A'B'C ' bằng 300 . Tính thể tích của khối lăng trụ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BA' và B'C. 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C cĩ đáy ABC là tam giác vuơng với AB AC a , mặt phẳng (A BC) tạo với mặt đáy gĩc 450 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B , B C . 5. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' cĩ đáy là tam giác vuơng tại A , AB a, AC a 3 . Hình chiếu vuơng gĩc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC ; Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C 'và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' , CB ' . 6. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ gĩc giữa BC’ và mặt phẳng (ABB’A’) là 30 ,0 cạnh đáy là a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường BC’ và AC. 7. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh CC’. Tính theo a thể tích khối chĩp A.BB’C’C và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N). 8. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. Điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C. Gĩc giữa AA’ và mặt phẳng (ABC) là 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và CC’. 9. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C ' , ABC đều cĩ cạnh bằng a , AA' a và đỉnh A' cách đều A, B,C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A'B . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C ' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN) . Trang 28
10. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A , AB a , ·ABC 600 .Gĩc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABC) bằng 450 . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và cosin của gĩc giữa đường thẳng AB ' và mặt phẳng (A' BC) . 11. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a. Hình chiếu vuơng gĩc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’, gĩc giữa A’B với mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và A’B theo a. MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH CHĨP TRONG ĐỀ THI THỬ THPT 2016 1. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cĩ cạnh bằng a 3 , B· AD 1200 và cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 0. Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC. 2. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , AB 2a, B· AC 600 . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) và SA a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, SA . Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (CMN) . 3. Cho hình chĩp S.ABC cĩ cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và AB = a, AC = 2a, gĩc BAC = 1200. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một gĩc 60o . Tính thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a. 4. Cho hình chĩp S.ABC cĩ ABC là tam giác vuơng tại B, AB a 3 , A· CB 600 , hình chiếu vuơng gĩc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết SE a 3 . Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). 5. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật cĩ AB= 3a, AD=4a, SA  ABCD , SC tạo với đáy gĩc 450 . Gọi M là trung điểm BC. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM. 6. Cho hình chĩp S.ABC, cĩ đáy là tam giác ABC vuơng cân tại A, AB AC a và M là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuơng gĩc của điểm S lên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BMC và gĩc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng 60 0. Tính theo a thể tích khối chĩp S.BMC và khoảng cách từ B đến mp(SAC). 7. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA (ABCD), SB = a3 , gọi M là trung điểm AD. Tính theo a thể tích khối chĩp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AB. Trang 29
8. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 450 và SC 2a 2 . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD theo a . 9. Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ÐABC = 600 . Gọi O là giao điểm của AC và BD, SO vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), tam giác SOA cân tại O. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BC. 10. Cho hình chĩp đều A.BCD cĩ AB a 3;BC a . Gọi M là trung điểm của CD. Tính thể tích khối chĩp A.BCD theo a và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, AD. Trang 30