Bài tập môn Toán Lớp 12 - Một số bài toán về thể tích

Nội dung text: Bài tập môn Toán Lớp 12 - Một số bài toán về thể tích

1. Một số bài toán về tỷ số thể tích A. Mục tiêu: - Rèn kỹ năng dựng thiết thiện và tính diện tích thiết diện. - Nắm được công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. - Vận dụng bài toán về tỷ số thể tích của góc tam diện vào làm bài tập tính tỷ số thể tích. S B. Nội dung: I. Công thức cần nhớ: 1. Thể tích khối chóp: D 1 A V= B.h 3 H B: Diện tích đa giác đáy. B h: Độ dài đường cao. C B C A 2. Thể tích khối lăng trụ: D V=B.h B' C' B: Diện tích đa giác đáy. S A H ' h: Độ dài đường cao. ' D' B' 3. Tỷ số thể tích: C' A' S Cho khối chóp S.ABC. C A A' SA, B' SB, C' SC M V SA.SB.SC S.ABC B C VS.A'B'C ' SA'.SB '.SC ' A V SA.SB.SM SM * M SC, ta có: S.ABM VS.ABC SA.SB.SC SC B II. Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0 x 2a). 1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất. 2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau. Hd:
2. S 1. Thiết diện là hình thang vuông MNCB, vuông tại B và M. 1 M N S (MN CB)MB MNCB 2 * BM2=BA2+AM2 D BM= a2 x2 A * SMN đồng dạng SAD, SM.AD (2a x).b MN B C SA 2a Vậy 1 2ab bx 2 2 b 2 2 SMNCB b . a x (4a x) a x 2 2a 4a b 2. Xét hàm số f (x) (4a x) a2 x2 (0 x 2a) 4a b 2x2 4ax a2 f '(x) 4a a2 x2 1 x a(1 ) 2 f'(x)=0 1 x a(1 ) 2 Ta có: f(0)=ab. 5 f(2a)= ab 1,118ab 2 1 1 1 1 f( a(1 ) )= ab .(3 ) 1 (1 )2 1,134ab 2 4 2 2 1 1 1 1 f( a(1 ) )= ab .(3 ) 1 (1 )2 0,96ab 2 4 2 2 1 1 1 1 Max f (x) ab. .(3 ) 1 (1 )2 khi x a(1 ) 0;2a 4 2 2 2 1 Kết luận: Vậy với x a(1 ) thì diện tích của thiết diện lớn nhất. 2 1 2a2b 3. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD V .SA. V S.ABCD 3 S ABCD 3 Gọi V1 là thể tích khối S.MNCB V1=V(SMBC)+V(SMNC) V SM.SB.SC SM 2a x Ta có SMBC VSABC SA.SB.SC SA 2a 2 1 1 2 V 2a x V 2a x a b (2a x)ab VSABC= SA.dt(ABC) .2a b V . . 3 6 2 SMBC 2a 2 2a 3 6 2 2 2 VSMNC SM.SN.SC SM SN MN (2a x) V a b * Ta có: . 2 VSACD= VSACD SA.SC.SD SA SD AD 4a 2 3
3. (2a x)2 a2b (2a x)2.b VSMNC= . 4a2 3 12 (2a x)ab (2a x)2 b V1= VSMNCB= 6 12 2 2 2 V a b (2a x)ab (2a x) b a b 2 2 Ycbt V1= x -6ax+4a =0 2 3 6 12 3 x a(3 5) 2a (loai) x a(3 5) (t / m) Kết luận: Vậy x= x a(3 5) thì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tương đương. Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1. Các mặt phẳng (ABC1) và (A1B1C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. Hd: A B Gọi V =V ; V =V 1 C.MNC1 1 C1.MNB1A1 V3=V ; V4=V C C.MNBA MNABB1A1 M Gọi V là thể tích của lăng trụ. N V V V B' C.A1B1C1 1 2 A' Mặt khác: V CM.CN.CC 1 1 1 V CA .CB .CC 4 C' C.A1B1C1 1 1 1 1 V V 1 V V V . ; V .V 1 4 3 12 2 3 12 4 V V V V V V 3 C1ABC CMNC1 CA1B1C1 CMNC1 2 V V 3 4 5V V V V V V 4 1 2 3 12 Vậy V1: V2: V3: V4= 1:3:3:5 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x 2 (0<x<a). ( ) là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD). 1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ). Tính diện tích thiết diện theo a và x. 2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính tỷ số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện. Hd:
4. 1. Ta có S SA(ABCD) ( ) (ABCD) M SA // ( ) ( )(SAB)=MN // SA K A ( )(SAC)=OK // SA N D ( )(SABCD)=NH qua O O H ( )(SCD)=KH B C Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK. Ta có MN// OK // SA MN  (ABCD); OK (ABCD) 1 1 Std=Sht MKON + SKOH = (MN KO).ON .OK.OH 2 2 a2 MN=BN=x; KO=SA/2; NH= IN 2 IH 2 (2x a)2 a2 x2 ax 2 1 a2 Std= (a x). x2 ax 2 2 2. Để thiết diện là hình thang vuông MK// MO// BC N là trung điểm AB x=a/2. 1 a3 S V= .SA.dt(ABCD) 3 3 V1=VSOECH+VKOE.MNB 3 1 1 a a3 VS.OECH .OK.dt(OECH ) 3 3 2 24 M K 2 a 1 a a3 VKOE.MNB ON.dt(MNB) . A 2 2 2 16 a3 a3 5a3 11a3 D N V1 V2 V V1 24 16 48 48 O H V2 11 Vậy B E C V1 5 Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tương đương (có thể tích bằng nhau). Hd:
5. SM Đặt x (0 x 1) SA S Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD là V V SM.SN.SC S.MNC x2 (1) M N VS.ABC SA.SB.SC V SM.SC.SD S.MCD x (2) V SA.SC.SD A S.ACD B Ta có CD=4AB 3 SADC=4.SABC SADC= S 4 ABCD D C 3 3 V V V .V; V S.ADC 4 S.ABCD 4 S.ABC 4 V 3V Ta có V x2. ; V x. SMNC 4 SNCD 4 V 2 V1=VSMNC+VSNCD= (x 3x) 4 3 17 2 x (t / m) V x 3x 1 2 2 1 x 3x 2 0 V 4 2 3 17 x (loai) 2 3 17 KL: Vậy x 2 Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB=2R.S là điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SB tại K, C là điểm trên (C), SC cắt mp(Q) tại H. ã Đặt BAC 0 2 1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h và  2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị 0 của sao cho 0> . Tính 0. 4 Hd: 1. * Ta chứng minh được AH  SC. 4 VSAHK SH SH SH.SC SK.SB SA * . 2 . 2 2 2 VSACB SC SB SC SB SB .SC 2 1 1 2 R h.sin 2 * VABC= dt(ABC).SA AB .cos .sin .SA 3 6 3 R2h5.sin 2 * V SAHK 3(h2 4R2 )(h2 4R2 cos2 ) sin 2 2. Đặt P= (h2 2R2 2R2 cos2 ) 1 MaxP= h2 4R2.h2
6. Dấu bằng xảy ra S cos 2 sin 2 2 2R P K 1 cos2 (h2 2R2 2R2 cos 2 ) sin 2 2R2 sin 2 2 H 2R cos 2 0 h2 2R2 2 tù > B 4 KL: Vậy 0 = 4 C